第2章 第8讲 圣维南原理
圣维南原理及其证明
圣维南原理及其证明
圣维南原理又称为中值定理,是微积分中一个重要的定理。它是由法国数学家约瑟夫·路易·圣维南于1690年发现并提出的。该原理主要用
于描述实函数的连续性与导数之间的关系,并说明在一定条件下函数在其中一区间上的平均变化率与其中一点上的瞬时变化率之间存在关系。
1.第一中值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在开区间(a,b)上可导(注意不一定连续),则在开区间(a,b)内存在一个点c,使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。即函数在区间[a,b]上有一点的导数等于
该区间上函数值的平均变化率。
2.第二中值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且在开区间(a,b)上可微,且f(a)≠f(b),则在开区间(a,b)内存在一个点c,使得
f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。即函数在区间[a,b]上其中一点的导数等于该区间上函数值的平均变化率。
3.第三中值定理:设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续且在开区间(a,b)上可微,且g'(x)≠0且g(a)≠g(b),则在开区间(a,b)内存在一个点c,使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。即两个函数在区间[a,b]上的斜率之比等于它们在开区间(a,b)内其中一点的导数之比。
对于圣维南原理的证明,需要运用微积分的基本概念和定理。以下以第一中值定理为例进行证明。
证明:
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在开区间(a,b)上可导。我们
定义一个新的函数g(x)=f(x)-[(f(b)-f(a))/(b-a)](x-a)。
弹性力学课后答案
弹性力学课后答案第二章习题的提示与答案
2-1 是
2-2 是
2-3 按习题2-1分析。
2-4 按习题2-2分析。
2-5 在的条件中,将出现2、3阶微量。当略去3阶微量后,得出的切应力互等定理完全相同。
2-6 同上题。在平面问题中,考虑到3阶微量的精度时,所得出的平衡微分方程都相同。其区别只是在3阶微量(即更高阶微量)上,可以略去不计。
2-7 应用的基本假定是:平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形,物理方程─理想弹性体。
2-8 在大边界上,应分别列出两个精确的边界条件;在小边界(即次要边界)上,按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。
2-9 在小边界OA边上,对于图2-15(a)、(b)问题的三个积分边界条件相同,因此,这两个问题为静力等效。
2-10 参见本章小结。
2-11 参见本章小结。
2-12 参见本章小结。
2-13 注意按应力求解时,在单连体中应力分量必须满足
(1)平衡微分方程,
(2)相容方程,
(3)应力边界条件(假设 )。
2-14 见教科书。
2-15 2-16 见教科书。见教科书。
2-17 取
它们均满足平衡微分方程,相容方程及x=0和的应力边界条件,因此,它们是该问题的正确解答。
2-18 见教科书。
2-19 提示:求出任一点的位移分量和,及转动量,再令 ,便可得出。
第三章习题的提示与答案
3-1 本题属于逆解法,已经给出了应力函数,可按逆解法步骤求解:
(1)校核相容条件是否满足,
(2)求应力,
(3)推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。
3-2 用逆解法求解。由于本题中 l>>h, x=0,l 属于次要边界(小边界),可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。
圣维南原理的应用的条件
圣维南原理的应用的条件
介绍
圣维南原理是指在动力学中,对于一个物体的转动,其角动量在没有外力矩的
作用下保持不变。这个原理在许多物理学领域都有广泛的应用。然而,要应用圣维南原理,需要满足一些特定的条件。本文将从数学角度解释这些条件,并提供一些应用圣维南原理的示例。
条件
要应用圣维南原理,必须满足以下条件:
1.系统关闭:被研究的系统必须是一个闭合系统,即不受外部影响和外
部干扰;
2.恒定矩阵:系统的质量分布必须是恒定的,也就是说在系统的运动过
程中,质量分布不会改变;
3.系统不存在外部扭矩:系统不能受到任何外部扭矩作用,在没有外部
扭矩作用下,角动量会保持不变;
4.系统受到内部扭矩:系统内部可能存在着内部扭矩的作用,这个内部
扭矩会导致系统的角动量发生变化;
5.系统平衡:系统在不受外部力矩作用下,达到动态平衡状态,系统中
的各个部分都不会移动。
应用示例
以下是一些具体的应用示例,展示了圣维南原理在不同领域的应用:
1. 机械工程
在机械工程中,圣维南原理常常用于分析和设计旋转机械装置,例如汽车引擎
和风力发电机。通过应用圣维南原理,可以确定旋转机械的转速、转动惯量以及阻力等参数,从而进行优化设计,提高系统的效率和稳定性。
2. 物理学
在物理学中,圣维南原理被广泛应用于研究刚体的转动行为。通过圣维南原理,可以计算刚体的角加速度、角速度以及角位移等物理量。这对于研究刚体的运动规律以及力矩的作用机制有着重要的意义。
3. 天体物理学
在天体物理学中,圣维南原理被用于研究恒星和行星的旋转行为。通过分析恒星和行星的角动量守恒条件,可以推导出它们的自转周期、自转轴的变化以及星系的旋转规律等重要参数。这对于理解天体外部结构和内部运动有着重要的意义。
弹性力学2-7圣维南原理2-8按位移求解平面问题
v y
s
m
m
v y
u x
s
l
1
2
1
2
u y
v x
v x
u y
s
s
X Y
(2-21)
2021/5/7
—— 用位移表示的应力边界条件 14
(3)按位移求解平面问题的基本方程
(1)平衡方程:
E
1 2
E
1 2
2u x 2
2v y 2
1
2
1
2
2u y 2 2v x 2
1
2
① 小部分边界(次要边界); ② 静力等效;
2021/5/7 ③ 影响范围限于近处,远处不受影响;
3
3.圣维南原理的应用
对复杂的力边界,用静力等效的分布面力代替。
注意事项: (1) 必须满足静力等效条件; (2) 只能在次要边界上用圣维南原理,在主要边界上不能使用。 如: 主要边界
A
B
P
P
A
2021/5/7
1
2
2v xy
2u xy
X Y
0 0
(2)边界条件:
(2-20)
位移边界条件:
us u ,vs v
(2-17)
应力边界条件:
E
1
2
E
1
圣维南原理的力学应用
圣维南原理的力学应用
1. 圣维南原理的概念
圣维南原理是力学中的一项基本原理,用于分析和解决物体的平衡和运动问题。它由法国科学家圣维南在1669年提出,是力学中最重要的原理之一。该原理描述
了物体在受到外力作用时,产生平衡或运动的条件。
2. 圣维南原理的基本假设
圣维南原理基于以下两个基本假设:
•假设物体是刚体,即其形状和体积不会随时间变化;
•假设物体是受力平衡的,即内力和外力之间不存在任何差异。
在这两个假设的前提下,圣维南原理可以应用于研究物体的平衡和运动。
3. 圣维南原理的力学应用
3.1 平衡问题的分析
圣维南原理可以用于解决物体静止时的平衡问题。通过分析受力和力矩的平衡
条件,可以确定物体所受到的外力和力矩。
具体步骤如下:
1.确定物体所受到的所有外力和其作用点;
2.列出物体受到的所有外力和力矩的平衡条件;
3.根据平衡条件,求解未知量,确定物体的平衡状态。
3.2 运动问题的分析
圣维南原理可以用于解决物体运动的问题。通过分析受力和加速度的关系,可
以确定物体的运动状态。
具体步骤如下:
1.确定物体所受到的所有外力和其作用点;
2.根据物体的受力情况,列出牛顿第二定律的方程;
3.根据方程求解未知量,确定物体的加速度和运动状态。
3.3 圣维南原理的局限性
虽然圣维南原理在力学中有着广泛的应用,但也存在一定的局限性。圣维南原
理假设物体是刚体,但在实际情况中,很多物体并不是完全刚性的,会发生形变和变形。此外,圣维南原理只适用于平稳运动和平衡情况,对于非平稳运动和瞬态过程的分析有一定的局限性。
4. 总结
圣维南原理是力学中的一项基本原理,用于分析和解决物体的平衡和运动问题。通过分析受力和力矩的平衡条件,可以确定物体所受到的外力和力矩,从而解决平衡问题。通过分析受力和加速度的关系,可以确定物体的运动状态,从而解决运动问题。然而,圣维南原理也存在局限性,只适用于刚体和平稳运动的情况。在实际应用中,需要考虑到物体的形变和变形,以及非平稳运动和瞬态过程的影响。因此,在实际问题中,需要综合考虑多种因素,选择合适的力学原理和方法进行分析。
圣维南原理
圣维南原理
维南原理(Saint Venant’s Principle)是弹性力学的基础性原理,是法国力学家圣维南于1855年提出的。其内容是:分布于弹性体上一小块面积(或体积)内的荷载所引起的物体中的应力,在离荷载作用区稍远的地方,基本上只同荷载的合力和合力矩有关;荷载的具体分布只影响荷载作用区附近的应力分布。还有一种等价的提法:如果作用在弹性体某一小块面积(或体积)上的荷载的合力和合力矩都等于零,则在远离荷载作用区的地方,应力就小得几乎等于零。不少学者研究过圣维南原理的正确性,结果发现,它在大部分实际问题中成立。因此,圣维南原理中“原理”二字,只是一种习惯提法。
在弹性力学的边值问题中,严格地说在面力给定的边界条件及位移给定的边界条件应该是逐点满足的,但在数学上要给出完全满足边界条件的解答是非常困难的。另一方面,工程中人们往往只知道作用于物体表面某一部分区域上的合力和合力矩,并不知道面力的具体分布形式。因此,在弹性力学问题的求解过程中,一些边界条件可以通过某种等效形式提出。这种等效将出带来数学上的某种近似,但人们
在长期的实践中发现这种近似带来的误差是局部的,这是法国科学家圣维南首先提出的。
圣维南原理并说明它的用途
圣维南原理并说明它的用途
圣维南原理(Saint-Venant's principle)是弹性力学中的一个基本原理,也被称为等效自由力原理或诺特尔对偶原理。它是由法国数学家和工程师阿道夫·圣维南(Adhémar Jean Claude Barréde Saint-Venant)于19世纪中期提出的。圣维南原理的基本思想是,当对结构施加作用力并达到平衡状态时,结构内部的应力分布在离作用点足够远的地方将变得无关紧要,只保留结构的整体行为。
具体来说,圣维南原理认为结构在受力下,仅在应力集中的区域附近才会出现显著的变形和应力,而在远离这些集中应力区域的地方,结构的变形和应力将逐渐趋于均匀分布,从而使结构产生一个等效的自由体力或力偶。这种等效力或力偶可以反映出结构的整体行为和响应,用来简化对结构的分析和计算。
圣维南原理的主要用途如下:
1. 结构受力分析:在结构力学中,使用圣维南原理可以简化结构的受力分析。通过将外部作用力转化为等效的自由力或力偶,并结合结构的边界条件和材料性质,可以有效地求解结构的应力、应变和变形等问题。这对于设计和优化复杂结构的强度和刚度具有重要意义。
2. 结构变形衡量:通过圣维南原理,可以量化结构的变形情况。根据等效自由力或力偶的大小和方向,可以确定结构的变形形态和位移分布。这对于工程师评估和控制结构的变形行为,尤其是在弹性阶段的变形情况,非常有帮助。
3. 结构优化设计:圣维南原理可以在结构优化设计中发挥重要作用。通过分析结构的等效自由力或力偶,可以直观地了解结构的受力特点和存在的问题,从而指导工程师进行合理的结构调整和优化。这可以使结构更加经济高效,减轻结构在受力中的应力集中和可能的破坏。
圣维南原理应用的正负号
圣维南原理应用的正负号
引言
圣维南原理(Saint-Venant’s Principle)是结构力学中经常应用的原理之一,在工程设计和分析中起着重要的作用。它主要用来简化复杂结构的力学行为,并且可以通过近似计算来获得结构的响应。
在圣维南原理中,正负号的使用具有重要意义。本文将介绍圣维南原理的基本概念和应用,并着重讨论正负号的使用。
圣维南原理概述
圣维南原理是基于线弹性理论的一个近似原理,它可以用来近似分析结构的应力和应变分布。根据该原理,当应力和应变小于结构的临界值时,结构的力学行为可以近似为线弹性行为。这意味着结构在小变形条件下可以看作是一个弹性体。
圣维南原理假设结构的变形局部化主要发生在结构的细长区域内,而在其他区域内则变形较小。这样,我们只需要关注结构上关键部位的应力和应变分布,即可得到结构的整体响应。
正负号的含义
在圣维南原理中,正负号的使用非常重要。正号表示拉应力或拉应变,而负号表示压应力或压应变。具体来说,正号表示拉伸或膨胀,而负号表示压缩或收缩。
正负号的选择在于方向的定义。在力学分析中,一般约定拉伸方向为正,压缩方向为负。因此,在应用圣维南原理时,需要根据具体情况确定正负号的选择。
正负号的应用
在使用圣维南原理进行近似分析时,我们需要注意正负号在以下方面的应用。
1. 弯曲
当分析梁的弯曲问题时,正负号的选择与悬臂梁和简支梁的情况有关。在悬臂梁的上表面,正号表示拉应力或拉应变,而在简支梁的上表面,正号表示压应力或压应变。
2. 剪切
在分析剪切问题时,正负号的选择与剪切方向有关。一般来说,沿着剪切方向的右侧为正号,而左侧为负号。
圣维南原理的有限元模拟
圣维南原理的有限元模拟
圣维南原理(Saint-Venant's Principle)是工程力学中的一个重要
原理,用于分析材料在受载时的变形和应力分布。该原理假设材料仅在距
离应力集中点足够远的地方受到载荷的影响,从而简化了复杂的应力和变
形问题。
有限元模拟是一种工程力学中常用的数值计算方法,可以通过将一个
复杂的结构或体系离散成许多小的有限元单元,然后利用计算机进行数值
模拟和解析。有限元模拟可以有效地分析材料的强度、刚度、变形等力学
性质。
在有限元模拟中,圣维南原理可以用来简化材料的边界条件,即只考
虑距离载荷集中点足够远的地方的变形和应力。这样可以大大简化计算过程,提高计算效率,并且准确性也能满足实际需求。
圣维南原理主要适用于线弹性材料和几何线性问题。在进行有限元模
拟时,需要首先选择合适的有限元类型和网格划分。然后根据问题的边界
条件和加载方式,建立材料的刚度矩阵和载荷向量。接下来进行迭代计算,通过求解线性方程组获得每个节点的变形和应力。
在模拟过程中,需要注意以下几点:
1.如何选择适当的有限元类型和网格划分,以使模拟能够在较小的计
算误差下得到准确结果。
2.圣维南原理只适用于距离应力集中点足够远的区域,在选择边界条
件时需要考虑这一点。
3.模拟过程中要注意选取合适的加载方式和边界条件,以便准确描述实际工程问题。
4.模拟结果应该与实际情况进行对比,以验证模拟的准确性。
有限元模拟在工程实践中具有广泛应用,可以用于预测材料的性能、优化设计方案、评估结构的稳定性等。而圣维南原理作为简化边界条件的一种方法,可以在有限元模拟中减少计算量和复杂性。通过合理应用圣维南原理的有限元模拟,可以更加高效地进行工程力学问题的分析和解决。
简述圣维南原理
简述圣维南原理
圣维南原理是指在一个封闭系统内,熵的增加趋势是不可逆的。这个原理是热
力学第二定律的一个重要表述,也是热力学基本原理之一。圣维南原理的提出,对于热力学和统计力学的发展产生了深远的影响。
圣维南原理最早是由德国物理学家克劳修斯·门德尔在1854年提出的。他认为,封闭系统内熵的增加是不可逆的,即热力学过程总是趋向于使系统的熵增加。这一原理在热力学和统计力学中有着重要的地位,它揭示了自然界中一种普遍的趋势,即系统总是朝着混乱和无序的状态发展。
在热力学中,熵是描述系统混乱程度的物理量。系统的熵增加意味着系统的无
序程度增加,而熵减少则意味着系统的有序程度增加。圣维南原理告诉我们,封闭系统内熵的增加是不可逆的,这意味着系统总是朝着更加混乱的状态发展。这也是为什么我们会感觉时间是朝着一个方向流逝的原因之一。
圣维南原理的重要性在于它揭示了自然界中一种普遍的趋势,这种趋势与时间
的箭头密切相关。在统计力学中,我们可以通过微观粒子的运动来理解圣维南原理。微观粒子的运动会导致系统的混乱程度增加,从而使系统的熵增加。这种微观层面的理解有助于我们更深入地理解圣维南原理。
圣维南原理还对能量转化和利用提出了重要的限制。在能量转化过程中,总会
有一部分能量转化为无用的热能,从而使系统的熵增加。这也是为什么热机的效率总是低于100%的原因之一。圣维南原理告诉我们,能量转化过程总是伴随着熵的
增加,这为能源利用和节约能源提出了重要的挑战。
总的来说,圣维南原理是热力学第二定律的一个重要表述,它揭示了自然界中
一种普遍的趋势,即系统总是朝着更加混乱的状态发展。这一原理对于热力学和统计力学的发展产生了深远的影响,也对能源转化和利用提出了重要的限制和挑战。
圣维南原理验证过程
圣维南原理验证过程
课程:有限元方法及CAE软件
班级:
姓名
学号:
圣维南原理验证过程
一、圣维南原理简介
圣维南原理属于弹性力学中一个局部效应原理,是由法国力学家圣维南于1855年提出。意在表述:分布于弹性体上一小块面积(或者体积)内的载荷所引起的物体中的应力,在离载荷作用区域较远的地方,基本只同载荷的合力和合力矩有关,载荷的具体分布只影响载荷作用区域附近的应力分布。(弹性力学一般原理-圣维南原理)
二、圣维南原理验证实验的前提条件
1.载荷作用于弹性体。
2.满足静力学等效条件。
3.只能在边界上用圣维南原理,在主要边界上不能使用。
三、圣维南实验验证的准备工作
此次实验验证使用的零件是一根梁,长为800mm,截面宽为50mm,截面高为30mm,材料属性为弹性模量为2.07E11Pa,泊松比为0.29。
分析软件为ANSYS15.0。
图1 梁二维图
四、圣维南原理有限元分析过程
4.1 模型建立
使用ANSYS建模工具,建立三维模型图,如图2。
图2 三维模型
4.2 有限元分析前置处理
前处理包括:单元选取、常数设置、材料属性定义、网格划分和载荷施加等。单元选取为solid 8nodes185。
常数不需设定。
材料选取为stl_AISI-C1020(钢)。
采用映射网格划分,如图3所示。
图3 网格划分
对模型一端施加全约束,另一端施加集中力1500000N,如图4所示。
图4 载荷施加
4.3 有限元求解
对已经前置处理好的模型进行求解,求解成功后,如图5所示。
图5 求解图
4.4 有限元后处理
通过GUI显示,施加载荷后模型的应力分布情况,如图6所示。
圣维南原理
图3 均布载荷及约束施加结果
圣维南原理
3、查看分析结果
分别生成在长方体端面施加集中力与等效均布载荷 情况下,其平均应力分布图以及各节点处平均应力 分布变化曲线。如下图所示。
图4 施加集中力所得平均应力分布图
圣维南原理
图5 施加均布载荷所得平均应力分布图
圣维南原理
圣维南原理
The end
圣 维 南 原 理
圣维南原理
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圣维南原理 (Saint-Venant’s Principle):若在物体 任一小部分作用一个平衡力系,则该平 衡力系在物体内所产生的应力分布仅局 限与该力系作用的附近区域,在离该区 域的相当远处,这种影响便急剧的减小。 它也可以这样来陈述:若把作用在物体 局部边界上的面力用另一组与静力等效 (即有相同的主矢量和主矩)的力系来 代替,则在力系作用区域的附近,应力 分布将有显著的变化,但在远处所受的 影响可以不计。
圣维南原理
圣维南原理
1、创建有限元模型。
图1 矩形截面直杆模型的ANSYS建模与网格划分
圣维南原理
2、施加载荷并求解
(1)在长方体一端加上全自由度位移约束,另 一端面中心加上F的集中力作用,求解。
图2 集中力及约束施加结果
圣维南原理的理解及其在工程问题中的应用
一、题目圣维南原理的理解及其在工程问题中的应用
二、涉及到的弹性力学相关概念介绍
1855年,圣维南在梁理论研究中提出:若在物体一小部分区域上作用一平衡力系,则此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生影响,只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。这就是著名的圣维南原理。
圣维南原理的一种较为实用的提法是:若作用在物体局部表面上的外力,用一个静力等效的力系(具有相同的主矢和主距)代替,则离此区域较远的部分所受影响可以忽略不计[1]。
三、正文部分
1圣维南原理的理解
圣维南原理的提出背景
求解弹性力学问题就是在给定边界条件下求解偏微分方程。边界条件不同,问题的解答也不一样。但是要求出严格满足边界条件的精确解,有时是非常困难的,另外,对于一些实际问题,不能确切的给出面力的分布,只是知道它在某边界上的合理与合力偶的大小。于是我们会提出一个问题,能不能用一个可解的等效力系来代替它;满足合力、合力偶条件的解是否可以替换它。这个问题可由圣维南发原理来回答。
凭借生活经验的理解
对于圣维南原理的第一种提法:若在物体一小部分区域上作用一平衡力系,则此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生影响,只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形,可以用一个实例先简单理解。例如用钳子剪钢丝即使外力大道把钢丝剪断的程度,根据生活经验,钢丝的应力和变形仅局限于潜口附近。经验表明,这一平衡力系越小,对钢丝其它部分的影响越小[3]。
对于圣维南原理的另一种提法是:若作用在物体局部表面上的外力,用一个静力等效的力系(具有相同的主矢和主距)代替,则离此区域较远的部分所受影响可以忽略不计。可以这样理解:悬臂梁在端部不沿受集中力作用,基础上增加一对自相平衡的力系。再减少一对相平衡的力系,根据圣维南原理,仅在小区域那有明显差异,而在该区域之外应力几乎是相同的[1]。
圣维南原理
用ANSYS证明圣维南原理
一、圣维南原理
圣维南原理(Saint-V enant’s Principle):如果把物体的一小部分边界上的面力,变换为分布不同但静力等效的面力(主矢量相同,对于同一点的主矩也相同),那么,近处的应力分布将有显著的改变,但是远处所受的影响可以不计。
它也可以这样来陈述:如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系(主矢量和主矩都等于零),那么,这个面力就只会使得近处产生显著的应力,远处的应力可以不计。
二、证明思路
圣维南原理提出至今已有一百多年的历史,虽然还没有确切的数学表示和严格的理论证明,但无数的实际计算和实验测量都证实了它的正确性。本文将利用ANSYS软件,通过对实例模型的数值分析计算,证明圣维南原理。
本文选择建立一个横截面积相对较小的混凝土柱体作为研究对象,然后对此矩形截面直杆模型进行数值证明。分别对直杆两端施加集中力,以及与此集中力静力等效的均布载荷。比较两种情况下其所受的平均应力分布情况,从而利用此结果证明圣维南原理。
三、ANSYS建模及求解
1、创建有限元模型。
选择Solid —10 node 92单元类型,弹性模量EX=2.5E9,泊松比PRXY=0.35。然后创建一个长、宽、高分别为1m,0.05m,0.05m的长方体,并对其进行自由网格划分。建模及网格划分结果如下图1所示。
图1 矩形截面直杆模型的ANSYS建模与网格划分
2、施加载荷并求解。
(1)在长方体一端加上全自由度位移约束,另一端面中心加上F=10KN的集中力作用,求解。约束及载荷施加结果如图2所示。
圣维南原理的有限元模拟
圣维南原理的有限元模拟
一、引言
1.1 背景介绍
圣维南原理(Saint-Venant principle)是结构力学中的一个重要原理,用于描述材料在载荷作用下的变形和应力分布规律。有限元模拟是一种数值计算方法,可以通过将材料划分成多个小区域,近似求解对应的微分方程,得到材料的应力和变形信息。本文将探讨圣维南原理在有限元模拟中的应用。
1.2 本文结构
本文将按照以下结构对圣维南原理的有限元模拟进行全面、详细、完整且深入地探讨。
1.圣维南原理简介
2.有限元方法概述
3.圣维南原理的有限元建模步骤
4.圣维南原理的有限元模拟实例分析
5.结论与展望
二、圣维南原理简介
2.1 原理概述
圣维南原理是由法国的物理学家圣维南(Barré de Saint-Venant)提出的。原理
表明,当材料受到外部载荷作用时,在远离载荷集中区域的地方,材料的应变和应力分布几乎不受载荷的具体形状和大小影响,只受载荷的总体效果影响。也就是说,当材料足够远离载荷区域时,可以将载荷看作是完全分布在材料上的,而不再考虑具体的载荷形状。
2.2 适用范围
圣维南原理适用于线弹性材料受到小应变、小变形和小应力情况下的力学分析。对于非线性材料、大应变和大变形的情况,圣维南原理的适用性将受到限制。
三、有限元方法概述
3.1 什么是有限元方法
有限元方法是一种将连续介质离散化的数值计算方法,将连续的材料划分成多个小单元,通过对每个单元进行有限元分析,近似求解材料的应力、应变等物理量。有限元方法通过求解以下微分方程来描述材料的行为:
其中,σ为应力张量,ε为应变张量,C为弹性模量矩阵,F为外力矢量。
圣维南原理的基本概念
圣维南原理的基本概念
圣维南原理(St. Venant's principle),也被称为维南原理或惯性
原理,是弹性力学中一个基本的概念。圣维南原理描述了在一个受力体系中,在应力场已经达到平衡状态的情况下,外界施加的一个局部载荷的效
果将在有限的距离内逐渐减弱。这个原理是由法国工程师阿多尔夫・圣维
南(Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant)于1855年首次提出。
1.定义:圣维南原理描述了在充分远离加载区域时,结构体系的不同
部分对于局部载荷的响应是相同的。也就是说,当一个力作用于一个结构
体系上时,它会在整个结构中以波动的方式传播,并且在传播过程中逐渐
减弱。
2.局部载荷:圣维南原理适用于局部载荷,即作用点处的载荷集中在
一个较小的区域。这个载荷可以是一个力、一个力矩或者其他一些形式的
载荷。
3.有限距离:圣维南原理指出,这种载荷的响应会在有限的距离内传播。这个有限的距离取决于结构体系的特性,如材料的刚度、几何形状等。
4.平衡状态:圣维南原理的适用条件是结构体系的应力场已经达到平
衡状态。也就是说,体系中各个部分的应力分布已经稳定,没有出现明显
的不均衡情况。
圣维南原理的应用可以在结构力学领域中发现。当一个结构受到局部
载荷时,通过圣维南原理可以预测载荷对结构体系的整体影响。根据原理,从作用点处开始,载荷的影响将逐渐减小,并在一些距离内消失。这个距
离通常被称为圣维南剪切段(St. Venant shear region)或圣维南区域。
在应用圣维南原理时,需要注意以下几点:
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2.8 圣维南原理
2.圣维南原理(Saint-Venant Principle)
圣维南原理可以有效 解决无法严格满足的边界 条件问题。 圣维南原理是法国力 学家圣维南于1855年关于 柱体扭转的论文中提出的, 并得到了工程的检验。但 至今没有严格的证明。
圣维南(Adhemar Jean Claude Barre de SaintVenant,1797~1886), 法国力学家。主要研究 弹性力学,注重理论研 究成果应用于工程实际。
2.圣维南原理(Saint-Venant Principle)
F O
x
F/2 O F/2
x
F/ A
y
y
O
x
y
2.8 圣维南原理
3.圣维南原理的几种推广
如果物体一小部分边界上的面力是一 个平衡力系(主矢量及主矩都等于零), 那么这个面力就只会使近处产生显著的应 力,而远处的应力可以不计。
F
F
2.8 圣维南原理
0, ql ,
2 1 ql . 2
(
x )x l dy xy )x l dy x )x l ydy
0, 0, 0.
h h h h
(
(
(
x )x 0 ydy
(
2.8 圣维南原理
5.本讲小结
圣维南原理解决了小边界条件不能完全满 足的情况。从形式上完善了边界条件。 弹性力学问题的基本数学模型已经完全建 立: 所有的弹性力学问题都可以简单描述为:平 衡方程、几何方程、物理方程共8个基本方程 (也叫控制方程),在边界条件下的解。而 长边界上边界条件应完全满足,小边界上可 使用圣维南原理放松要求。
2.8 圣维南原理
2.圣维南原理(Saint-Venant Principle)
如果把物体的一小部分边界上的面力变换为分布 不同但静力等效的面力,那么近处的应力分布将有显 著的改变,但是远处所受的影响可以不计。
F
F
F/ 2 F/ 2 F/ A
F
F/ 2 F/ 2 F/ 2 F/ 2 F/ A
F
F
2.8 圣维南原理
m m
yx ) s y) s
fx (s ) fy (s )
2.8 圣维南原理
1.问题的提出
求解弹性力学问题时,使应力分量、应变分量、 位移分量完全满足8个基本方程并不困难,但要使 边界条件完全满足,往往很困难。 如图所示,在力的作用点处边界条件无法列出。
P P P P P
不仅如此,实际工程中的约束条件通常也无法严格满足。
解:① 在主要边界(上、 下表面处),应精确满 MF S O 足下列边界条件: FN ( yx )y h ( y )y h 0;
q h h l
x
(
yx )y
h
0, (
h h
y )y
h
q.
y
h h h h h h
(l
h)
② 左、右端面为次要边界,分别列出三个积分的应力边界条件:
(
x )x 0dy xy )x 0dy
第二章 平面问题的基本理论
第8讲 圣维南原理
第二章 平面问题的基本理论
上一讲回顾
弹性力学平面问题的基本方程共有8个,需 要在相应的边界条件才能求解,弹性力学的边 界条件有:位移边界条件、应力边界条件和混 合边界条件。
在Su上:
(u )s (v )s
u (s ) v (s )
在S上:
Leabharlann Baidu
(l (l
x xy
本讲结束!
3.圣维南原理的几种推广
如果物体一小部分边界上的面力是一 个平衡力系(主矢量及主矩都等于零), 那么这个面力就只会使近处产生显著的应 力,而远处的应力可以不计。
2.8 圣维南原理
4.圣维南原理的注意事项
仅适用于小边界;
只要求边界上应力的合力与原面力静力等 效;
例1:试列出图示问题的边界条件。