北师大数学选修课时分层作业2 条件概率与独立事件 含解析
2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-2《条件概率与独立事件》课时同步练习及答案解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-2§2 独立性检验 2.1 条件概率与独立事件课时目标 1.在具体情境中，了解条件概率的概念.2.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．1．条件概率定义：已知________________A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P(A|B)．2．公式P(A|B)＝__________.一、选择题1．设P(A|B)＝P(B|A)＝12，P(A)＝13，则P(B)等于( )A.12B.13C.14D.162．100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件，已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为( )A.599B.120C.19396D.95993．甲乙两人独立地解同一道题，甲解对的概率为34，乙解对的概率为23，则恰有1人解对的概率为( )A.34B.23C.12D.512 4．某人独立射击三次，每次射中的概率为0.6，则三次中至少有一次射中的概率为( ) A ．0.216 B ．0.064 C ．0.936D ．0.0365．某零件加工由两道工序完成，第一道工序的废品率为a ，第二道工序的废品率为b ，假定这两道工序是否出废品彼此无关，那么产品的合格率为( )A ．ab －a －b ＋1B ．1－a －bC ．1－abD ．1－2ab二、填空题6．某种电子元件用满3 000小时不坏的概率为34，用满8 000小时不坏的概率为12.现有一只此种电子元件，已经用满3 000小时不坏，还能用满8 000小时的概率是________．7．一个家庭中有两个小孩，假定生男，生女是等可能的．已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是________．8．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P(A)＝________.三、解答题9．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．10.甲、乙、丙三位学生用计算机联网进行数学测试，每天独立完成10道数学题，已知甲及格的概率是810，乙及格的概率是610，丙及格的概率是710，三人各答一次，求三人中只有一人答题及格的概率．能力提升11．根据历年气象资料统计，某地四月份刮东风的概率是830，既刮东风又下雨的概率是730.问该地四月份刮东风时下雨的概率是________．12．栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为0.6,0.5，移栽后成活的概率分别为0.7,0.9.(1)求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；(2)求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率．1．所谓条件概率，是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下的概率．2．已知事件A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，求P(B|A)时，除按公式外，还可把A看做新的基本事件空间来计算B发生的概率．3．事件A、B独立，B发生不影响A的概率．§2 独立性检验2．1 条件概率与独立事件答案知识梳理1．B 发生的条件下 2.P(AB)P(B)作业设计1．B [P(AB)＝P(A)P(B|A)＝13×12＝16，由P(A|B)＝P(AB)P(B)，得P(B)＝P(AB)P(A|B)＝16×2＝13，故选B.] 2．D [第1次抽出的是次品之后，还剩下4件次品，95件正品，所以所求概率为9599.]3．D [记“甲解对此题”为事件A ，“乙解对此题”为事件B ，它们相互独立． 则恰有1人解对为事件A B ∪A B ， ∴P(A B ∪A B)＝P(A B )＋P(A B) ＝P(A)P(B )＋P(A )P(B) ＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23＝512.] 4．C [可以考虑利用对立事件的概率以及相互独立事件的关系来求． P ＝1－0.4×0.4×0.4＝0.936.]5．A [合格率为(1－a)·(1－b)＝ab －a －b ＋1.] 6.23解析 记事件A ：“用满3 000小时不坏”，P(A)＝34；记事件B ：“用满8 000小时不坏”，P(B)＝12.因为B ⊂A ，所以P(AB)＝P(B)＝12，则P(B|A)＝P(AB)P(A)＝1234＝12×43＝23.7.23解析 一个家庭的两个小孩只有4种可能{两个都是男孩}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}，由题意知，这4个事件是等可能的．设基本条件空间为Ω，A ＝“其中一个是女孩”，B ＝“其中一个是男孩”，则Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝2434＝23.8.23解析 由已知P(A ·B )＝P(A )P(B )＝19①又P(A ·B )＝P(A ·B)，即[1－P(A )]·P(B )＝P(A )[1－P(B )]② 由①②解得P(A )＝P(B )＝13，所以P(A)＝23.9．解 设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝6×5＝30，n(A)＝4×5＝20， 于是P(A)＝n(A)n(Ω)＝2030＝23.(2)因为n(AB)＝4×3＝12， 于是P(AB)＝n(AB)n(Ω)＝1230＝25.(3)方法一 由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝2523＝35.方法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝n(AB)n(A)＝1220＝35.10．解 设甲、乙、丙三人答题及格分别为事件A 、B 、C ， 则P(A)＝810，P(B)＝610，P(C)＝710，设三人各答题一次，只有一人及格为事件D ， 则D 的情况为：A B C 、A B C 、A B C. 所以P(D)＝P(A B C )＋P(A B C )＋P(A B C) ＝P(A)P(B )P(C )＋P(A )P(B)P(C )＋P(A )·P(B )P(C)＝810×⎝⎛⎭⎪⎫1－610⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－810×610×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－810⎝ ⎛⎭⎪⎫1－610×710＝47250.11.78解析 记“某地四月份刮东风”为事件A ，“某地四月份下雨”为事件B ， 则P(A)＝830，P(AB)＝730，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝78.12．解 分别记甲、乙两种果树成苗为事件A 1、A 2；分别记甲、乙两种果树苗移栽后成活为事件B 1、B 2，则P(A 1)＝0.6，P(A 2)＝0.5，P(B 1)＝0.7，P(B 2)＝0.9.(1)甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为 P(A 1＋A 2)＝1－P(A 1·A 2)＝1－0.4×0.5＝0.8.(2)分别记甲、乙两种果树培育成苗且移栽成活为事件A 、B ，则P(A)＝P(A 1B 1)＝0.42，P(B)＝P(A 2B 2)＝0.45.恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为P(A B ＋A B)＝0.42×0.55＋0.58×0.45＝0.492.。
高中数学北师大选修学业分层测评 条件概率与独立事件 含解析
学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是()A．0.56B．0.48C．0.75D．0.6【解析】设甲击中为事件A，乙击中为事件B．∵A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.7＝0.56.【答案】 A2．下列说法正确的是()A．P(B|A)＜P(AB) B．P(B|A)＝P(B)P(A)是可能的C．0＜P(B|A)＜1 D．P(A|A)＝0【解析】由条件概率公式P(B|A)＝P(AB)P(A)及0＜P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB)，故A选项错误；当事件A包含事件B时，有P(AB)＝P(B)，此时P(B|A)＝P(B)P(A)，故B选项正确，由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D选项错误．故选B．【答案】 B3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是()A．110B．210C．810D．910【解析】某人第一次失败，第二次成功的概率为P＝9×110×9＝110，所以选A．【答案】 A4．一袋中装有5只白球和3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与A2是()A．相互独立事件B．不相互独立事件C．互斥事件D．对立事件【解析】由题意可得A2表示“第二次摸到的不是白球”，即A2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与A2是相互独立事件．【答案】 A2．如图1-2-1，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性是()图1-2-1A．0.504 B．0.994C．0.496 D．0.06【解析】系统可靠即A，B，C 3种开关至少有一个能正常工作，则P＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.【答案】 B二、填空题6．将两枚均匀的骰子各掷一次，已知点数不同，则有一个是6点的概率为________.【解析】设掷两枚骰子点数不同记为事件A，有一个是6点记为事件B．则P(B|A)＝2×530＝13.【答案】1 37．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.【解析】设A＝“两个闹钟至少有一个准时响”，∴P(A)＝1－P(A)＝1－(1－0.80)×(1－0.90)＝1－0.2×0.1＝0.98.【答案】0.988．如图1-2-2，四边形EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”．则：【导学号：67720004】图1-2-2(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________.【解析】正方形的面积为2，圆的面积为π.(1)∵A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，∴P(A)＝2π.(2)∵B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，∴P(AB)＝12π，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝1 4.【答案】(1)2π(2)14三、解答题9．有红色、蓝色两颗骰子，设事件A为“抛红骰子所得点数为偶数”，设事件B为“抛蓝骰子所得点数大于4”，求在事件A发生的条件下，事件B发生的概率．【解】画示意图如图所示，横轴表示抛红骰子所得点数，纵轴表示抛蓝骰子所得点数．∴P(A)＝1836＝1 2，P(A∩B)＝636＝16，∴P(B|A)＝P(A∩B)P(A)＝1612＝13.则在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为13.10．集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．【解】将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，则所有可能的抽取结果为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共30个．其中甲抽到奇数的情形有15个，在这15个数中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有9个，所以所求概率P＝915＝35.[能力提升]1．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于()A．2个球都是白球的概率B．2个球都不是白球的概率C．2个球不都是白球的概率D．2个球中恰有1个是白球的概率【解析】记从甲口袋内摸出1个白球为事件A，从乙口袋内摸出1个白球为事件B，则A，B是独立事件，于是P(AB)＝P(A)P(B)＝13×12＝16，它表示从甲、乙口袋中摸出来的都是白球，故56为2个球不都是白球的概率．【答案】 C2．如图1-2-3，已知电路中4个开关闭合的概率都是12且互相独立，灯亮的概率为()图1-2-3A．316B．34C．1316D．14【解析】因为灯不亮的概率为12×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×12＝316，所以灯亮的概率为1－316＝1316. 【答案】 C3．从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A ，则第2次也抽到A 的概率为________.【解析】 设第1次抽到A 为事件M ，第2次也抽到A 为事件N ，则MN 表示两次都抽到A ，P (M )＝452＝113， P (MN )＝4×352×51＝113×17，P (N |M )＝P (MN )P (M )＝117.【答案】 1174．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45，56，23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．【解】 (1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为 45×56×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝29， 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－56×23＝445， 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×56×23＝19， ∴恰有两个项目成功的概率为29＋445＋19＝1945.(2)三个项目全部失败的概率为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－56×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝190， ∴至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.。
高中数学北师大版选修1-2课时作业：1.2.1 条件概率与独立事件 Word版含解析
选修1-2 第一章 §2 课时作业33一、选择题1．生产某零件要经过两道工序，第一道工序的次品率为0.1，第二道工序的次品率为0.03，则该零件的次品率是( )A ．0.13B ．0.03C ．0.127D ．0.873解析：两道工序的次品率相互独立，该零件的正品率为(1－0.1)×(1－0.03)＝0.873. ∴该零件的次品率是1－0.873＝0.127.答案：C2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一目标，则他们都中靶的概率是( )A.1425B.1225C.34D.35解析：设“甲命中目标”为事件A ，“乙命中目标”为事件B ，依题意知，P (A )＝810＝45，P (B )＝710，且A 与B 相互独立． 故他们都命中目标的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝45×710＝1425. 答案：A3．下列说法正确的是( )A. P (B |A )＝P (AB )B. P (B |A )＝P (B )P (A )是可能的 C. 0<P (B |A )<1D. P (A |A )＝0解析：∵P (B |A )＝P (AB )P (A )，1P (A )≥1， ∴P (B |A )≥P (AB )，故A 不正确；当P (A )＝1时，P (B )＝P (AB )，则P (B |A )＝P (B )＝P (B )P (A )，所以B 正确； 而0≤P (B |A )≤1，P (A |A )＝1，∴C 、D 不正确．答案：B4．[2014·山东莱州一中高二期末]某地一农业科技试验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( )A. 0.02B. 0.08C. 0.18D. 0.72解析：设“这粒水稻种子发芽”为事件A ，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件B |A ，“这粒水稻种子能成长为幼苗”为事件AB ，且P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.9，由条件概率计算公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.答案：D二、填空题5．某条道路的A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内平均开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是__________．解析：P ＝2560×3560×4560＝35192. 答案：351926．抛掷骰子2次，每次结果用(x 1，x 2)表示，其中x 1，x 2分别表示第一次、二次骰子的点数．若设A ＝{(x 1，x 2)|x 1＋x 2＝10}，B ＝{(x 1，x 2)|x 1>x 2}．则P (B |A )＝________.解析：∵P (A )＝336＝112，P (AB )＝136， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝136112＝13. 答案：137．袋中有7只白球，3只红球，白球中有4只木球，3只塑料球，红球中有2只木球，1只塑料球，现从袋中任取1球，假设每个球被取到的可能性相同，若已知取到的球是白球，则它是木球的概率是__________．解析：设A 表示“取到的球是白球”；B 表示“取到的球是木球”．则n (A )＝7，n (AB )＝4，所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝47.答案：47三、解答题8．一只口袋内装有2个白球和2个黑球，那么(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？解：(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A ，“再摸出1个白球”为事件B ，则“先后两次摸到白球”为A ∩B ，先摸一球不放回，再摸一球共有4×3种结果．∴P (A )＝2×34×3＝12，P (AB )＝2×14×3＝16. ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1612＝13. (2)设“先摸出一个白球放回”为事件A 1，“再摸出一个白球”为事件B 1，两次都摸到白球为事件A 1∩B 1.P (A 1)＝2×44×4＝12，P (A 1B 1)＝2×24×4＝14， ∴P (B 1|A 1)＝P (A 1B 1)P (A 1)＝1412＝12. ∴先摸一个白球不放回，再摸一个白球的概率为13；先摸一个白球后放回再摸出一个白球的概率为12. 9．把外形相同的30个球分装在三个盒子里，每盒装10个．其中，第一个盒子中7个球标有字母a,3个球标有字母b ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母a 的球，则在第二个盒子中任取一个球；若在第一个盒子中取得标有字母b 的球，则在第三个盒子中任取一个球．若第二次取出的是红球，则称试验成功．求试验成功的概率．解：设从第一个盒子中取得标有字母a 的球为事件A ，从第一个盒子中取得标有字母b 的球为事件B ，第二次取出的球是红球为事件R ，第二次取出的球是白球为事件W ，则容易求得P (A )＝710，P (B )＝310， P (R |A )＝12，P (W |A )＝12， P (R |B )＝45，P (W |B )＝15.事件“试验成功”表示为(RA)∪(RB)，又事件RA与事件RB互斥，由概率的加法公式得P[(RA)∪(RB)]＝P(RA)＋P(RB)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)＝12×710＋45×310＝0.59.。
数学北师大版选修1-2知识导航 1.2.1条件概率与独立事
§2 独立性检验2.1 条件概率与独立事件自主整理1.已知B 发生的条件下,A 发生的概率,称为____________,记为____________.2.一般地,对两个事件A 、B,如果P(AB)=P(A)P(B),则称____________.高手笔记1.解答概率问题,首先要区分是条件概率,还是无条件概率,条件概率的前提条件是:在知道事件A 必然发生的前提下,只需局限在A 发生的范围内考虑问题,在事件A 发生的前提下事件B 发生,等价于事件A 和事件B 同时发生,即AB 发生,由古典概型知其条件概率为: P(B|A)=)()()()()()()()(A P AB P n A n n AB n A n AB n =ΩΩ=,其中n(Ω)为一次试验中可能出现的结果数,n(A)为事件A 所包含的结果数,n(AB)为AB 同时发生时的结果数.2.如果B 、C 是两个互斥事件,在事件A 发生的前提下,互斥事件B 、C 有一个发生的概率为P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).特殊地.若事件A 是一次试验的所有可能结果就与无条件的概率统一起来.3.区别事件间的“互斥”与“相互独立”概念，两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.4.应用公式时要注意前提条件,只有对于相互独立事件才能用P(A·B)=P(A)·P(B),而1-P(A)P(B)是表示相互独立事件A 与B 中至少有一个不发生的概率,它在求概率计算中经常用到.而在一般情况下,对于n 个随机事件A 1,A 2,…,A n ,有P(A 1+A 2+…+A n )=1-P(1A ·2A ·…·n A ).5.如果A 、B 相互独立,则A 与B ,A 与B,A 与B 也相互独立,如果A 1,A 2, …,A n 相互独立,则有P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2)…P(A n ).名师解惑如果A 、B 相互独立,证明A 与,A 与B,A 与B 也相互独立.证明:∵A 、B 相互独立,则P(B|A)=P(B)=)()(A P AB P , 从而P(B |A)=1-P(B|A)=1-P(B)=P(B)=)()(A P B A P , ∴P(A B )=P(A)P(B ).∴A 与B 相互独立.同理,A 与B 也相互独立.∴P(A B)=P(A )P(B).又∵P(B|A )=1-P(B|A )=1-P(B)=P(B )=)()(A P B A P , ∴P(A ·B )=P(A )P(B ).∴A 与B 也相互独立.讲练互动【例1】在由12道选择题和4道填空题组成的考题中,如果不放回地依次抽取2道题. 求:(1)第一次抽到填空题的概率;(2)第一次和第二次都抽到填空题的概率;(3)在第一次抽到填空题的前提下,第二次抽到填空题的概率.分析：(1)为无条件古典概型,(2)为相互独立事件同时发生的概率,(3)为条件概率,可由(1)(2)求出. 解：设第一次抽到填空题为事件A,第二次抽到填空题为事件B,则第一次和第二次都抽到填空题为事件AB. (1)P(A)=21611514A A A =411516154=⨯⨯. (2)P(AB)=60315163421624=⨯⨯=A A . (3)P(B|A)=5141603)()(==A P AB P . 绿色通道求概率时分清是否为条件概率,并弄清事件A 、事件B 及计算公式.变式训练1.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个,甲、乙两人依次各抽1题,在甲抽到选择题的前提下,乙抽到判断题的概率是多少?解:设甲抽到选择题为事件A,乙抽到判断题为事件B,则P(A)=5311016=A A ,P(AB)=154910462101416=⨯⨯=∙A A A .则P(B|A)=9453154)()(==A P AB P . 答:在甲抽到选择题的前提下,乙抽到判断题的概率是94. 【例2】10张奖券中有3张有奖,甲、乙两人从中各抽1张,甲先抽、乙后抽,求:(1)甲中奖的概率;(2)乙中奖的概率;(3)在甲未中奖的情况下,乙中奖的概率.分析：甲未中奖与甲中奖是对立事件,(3)为条件概率.解：设甲中奖为事件A,乙中奖为事件B.(1)则P(A)=103,(2)P(B)=P(AB+A B)=P(AB)+P(A B),P(AB)=103×15192=, P(A B)=107×93=307,∴P(B)=151+307=309=103. (3)P(A )=107,P(A B)=307, ∴P(B|A )=)()(A P B A P 31107307=. 答:甲中奖的概率为103,乙中奖的概率为103,在甲未中奖的条件下,乙中奖的概率为31. 绿色通道在无任何条件下,甲、乙不论谁先、谁后中奖概率相同,但在已知甲未中奖的情况下乙中奖的概率就变大了.变式训练2.15张奖券中有5张能中奖,甲、乙、丙三人依次抽1张.解:设甲中奖为事件A,乙中奖为事件B,丙中奖为事件C,则P(A)=31155=,P(B)=31155=,P(C)=31. 设甲、乙都未中奖为事件D,则P(D)=P(A B )=1510×149=73,P(CD)=1510×149×135=9115, ∴P(C|D)=135739115)()(==D CD P . ∴在甲、乙都未中奖的前提下,丙中奖的概率是135. 求:(1)甲中奖的概率;(2)乙中奖的概率;(3)在甲、乙都未中奖的前提下,丙中奖的概率.【例3】甲射击命中目标的概率是21,乙命中目标的概率是31,丙命中目标的概率是41,现在三人同时射击目标,求目标被击中的概率.分析：甲、乙、丙分别射中目标是相互独立的,利用独立事件来求概率,目标被击中是指甲、乙、丙三人至少有一人射中目标.解：设甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,丙击中目标为事件C,目标未被击中为事件C B A ,则目标被击中的概率P=1-P(C B A )=1-P(A )P(B )P(C )=1-［1-P(A)］［1-P(B)］［1-P(C)］=1-(121-)(131-)(141-)=43. 答:目标被击中的概率为43. 绿色通道已知事件A 、事件B 、事件C 为相互独立事件,则A 、B 、C 也为相互独立事件,∴P(C B A )=P(A )P(B )P(C ).变式训练3.甲、乙两人各进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是0.6.求:(1)两人都击中目标的概率;(2)其中恰有1人击中目标的概率;(3)至少有1人击中目标的概率.答案：设甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,则P(A)=0.6,P(B)=0.6,P(A)=0.4,P(B)=0.4.(1)P(AB)=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36.(2)P(A B+A B)=P(A B)+P(A B)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.6×0.4+0.4×0.6=0.48.(3)至少有一人击中目标的概率为P(AB)+P(A B+A B)=0.36+0.48=0.84或1-P(A B)=1-P(A)P(B)=1-0.4×0.4=0.84.【例4】有三种产品,合格率分别为0.90,0.95,0.95,各抽取一件进行检验,(1)求恰有一件不合格的概率;(2)求至少有两件不合格的概率.分析：恰有一件不合格分三种情况,可以看成由三个基本事件构成的,三个事件之间又是相互独立的,至少有两件不合格,正面考虑情况复杂,可考虑此事件的对立事件.解：设三种产品各抽取一件,抽到合格产品的事件分别是A、B和C,P(A)=0.90,P(B)=P(C)=0.95,P(A)=0.10,P(B)=P(C)=0.05.(1)∵事件A、B、C相互独立,恰有一件不合格的概率为P(AB C)+P(A B C)+P(A BC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=2×0.90×0.95×0.05+0.1×0.95×0.95=0.176.答:恰有一件产品不合格的概率为0.176.(2)方法一:至少有两件不合格的概率为P(A B C)+P(A B C)+P(A B C)+P(A B C)=0.90×0.052+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.052=0.012.答:至少有两件不合格的概率为0.012.方法二:三件产品都合格的概率是P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.9×0.952=0.812,由(1),知恰有一件不合格的概率为0.176,∴至少有两件不合格的概率为1-［P(ABC)+0.176］=1-(0.812+0.176)=0.012.答:至少有两件不合格的概率为0.012.绿色通道把一个笼统事件等价转化后,分解成几个具体的相互独立的事件是解决问题的关键.变式训练4.某工人看管三台设备,在一天内不需要工人维护的概率,第一台为0.9,第二台为0.8,第三台为0.85.问一天内:(1)3台机器都要维护的概率是多少?(2)其中恰有一台要维护的概率是多少?(3)至少有一台要维护的概率是多少?解:用A、B、C分别表示事件第一、第二、第三台设备不需要维护,这三个事件是相互独立的.(1)三台机器都要维护的概率为P=P(A B C)=P(A)P(B)P(C)=(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)=0.003.(2)恰有一台要维护的概率是P(A BC+A B C+AB C)=P(A BC)+P(A B C)+P(AB C)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=(1-0.9)×0.8×0.85+0.9·(1-0.8)×0.85+0.9×0.8(1-0.85)=0.329.(3)三台设备都不需要维护的概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.612.∴至少有一台需要维护的概率为1-0.612=0.388.。
高中数学第二章概率条件概率与独立事件学案含解析北师大版选修2_3
新人教A 版选修1_2高中数学学案含解析：§3 条件概率与独立事件知识点一 条件概率[填一填](1)求已知B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时，A 发生的条件概率，记为P (A |B )，P (A |B )＝P (A ∩B )P ( B )(其中，A ∩B 也可写成AB )．(2)A 发生时B 发生的条件概率为P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )． [答一答]1．如何判断条件概率？提示：题目中出现“已知在……前提下(或条件下)”等字眼时，一般为求条件概率．题目中没有出现上述明显字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，一般也为条件概率．如：从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，其中一张放到验钞机上发现是假钞．求2张都是假钞的概率．题目中没有明显的条件提示，但“其中一张放到验钞机上发现是假钞”，此事件的出现影响了所求事件的概率，故此题为求条件概率．2．任意向区间(0,1)上投掷一个点，用x 表示该点的坐标，设事件A ＝{x |0<x <12}，B ＝{x |14<x <1}，你能求出P (B |A )吗？提示：P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝1412＝12＝0.5.知识点二 独立事件[填一填]一般地，对两个事件A ，B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称A ，B 相互独立．可以证明，如果A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立．[答一答]3．若事件A 与B 相互独立，则P (AB )＝P (A )·P (B )，与P (AB )＝P (A |B )·P (B )矛盾吗？ 提示：不矛盾，若事件A 与B 相互独立，则P (A |B )＝P (A )． 4．求相互独立事件的概率应注意的问题是什么？提示：求相互独立事件的概率，首先要分析题意，判断所给事件是否相互独立，然后选用公式求解．在具体解题时，常常与互斥事件、古典概型等联系在一起，要注意正确地选择解题方法．1．如何理解条件概率？(1)事件B 在“事件A 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的；(2)应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，而这里所说的条件概率，则是当试验结果的—部分信息已知(即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率；(3)若B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 2．怎样求解条件概率？求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P (B |A )＝n (AB )n (A )，其中n (AB )表示事件AB 包含的基本事件个数，n (A )表示事件A 包含的基本事件个数．二是直接根据定义计算，P (B |A )＝P (AB )P (A )特别要注意P (AB )的求法．3．如何理解事件的相互独立性？(1)对于事件A ，B ，如果事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响，则称这两个事件相互独立．例如：甲袋中装有3个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲袋中摸出1个球，得到白球”记为事件A ，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记为事件B ，显然A 与B 相互独立；(2)一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都是相互独立的；(3)如果事件A 1，A 2，A 3，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)·P (A 2)…P (A n )．4．如何判断事件是否相互独立？(1)定义法：事件A 、B 相互独立⇔P (AB )＝P (A )·P (B )；(2)利用性质：若A 与B 互相独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立； (3)有时通过计算P (B |A )＝P (B )可以判断事件A ，与B 相互独立. 5．相互独立事件与互斥事件的区别与联系(1)事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生对另一个事件是否发生没有影响．(2)事件的独立性是对两个任意事件而言，而事件的互斥是对一个试验中的两个事件而言．(3)相互独立事件不是对立事件，一般情况下必定不是互斥事件；相互对立事件是互斥事件，不能是相互独立事件；互斥事件有可能是对立事件，一定不是相互独立事件．(4)在实际应用中，事件的独立性常常不是根据定义判断，而是根据实际问题(意义)来加以判断，如在一部仪器上工作的两个元器件，它们各自的工作状况是互相独立的；两个人同时射击一个目标，各自命中状况也是互相独立的．题型一 条件概率问题[例1] 甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名．设甲班有30名同学，其中女同学15名，则在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率为( )A.12 B.13 C.14D.15[解析] 设“碰到甲班同学”为事件A ，“碰到甲班女同学”为事件B ，则P (A )＝37，P (AB )＝37×12，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12，故选A. [答案] A规律方法 本题为直接条件概率公式求解，要注意分清谁是条件．[例2] 在10个球中有6个红球和4个白球(除颜色外完全相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸到红球的条件下，求第二次也摸到红球的概率．[思路探究] 思路一由题意易知第一次摸到红球后剩余9个球，其中有5个红球→利用A |B 的含义直接求解思路二求出相关事件发生的概率→代入公式求解[解] 记A 表示“第二次摸到红球”，B 表示“第一次摸到红球”，则A |B 表示“第一次摸到红球，第二次也摸到红球”．方法一：直接利用A |B 的含义求解．由题意，事件B 发生后，袋中还有9个球，其中5个红球，4个白球，则A 发生的概率为59，即P (A |B )＝59. 方法二：用公式求解．P (B )＝610＝35，而AB 表示两次都摸到红球，则P (AB )＝C 26C 210＝13.所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝1335＝59. 规律方法 计算P (A |B )的两种方法(1)利用条件概率的计算公式计算．分别计算P (AB )，P (B )，将它们相除即得． (2)利用缩小基本事件范围的观点计算．即将原来的基本事件空间Ω缩小为B ，原来的事件A 缩小为AB ，每个基本事件发生的概率相等，从而利用古典概型的概率公式可得P (A |B )＝n (AB )n (B )，其中n (B )，n (AB )分别表示事件B ，事件AB 所包含的基本事件个数．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？解：设“甲地为雨天”为事件A ，“乙地为雨天”为事件B ，由题意，得P (A )＝0.20，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12.(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是 P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.120.18≈0.67.(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是 P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.120.2＝0.60.题型二 相互独立性的判断[例3] 判断下列各对事件是否是相互独立事件：(1)甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的苹果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”．[思路探究] 解答本题可先看两个事件中其中一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，再判断两事件是否相互独立．[解] (1)“从甲组选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57， 可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)由于把取出的苹果又放回筐内，故对“从中任意取出1个，取出的是梨”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．规律方法 相互独立事件的特点是：(1)对两个事件而言；(2)其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率各为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}， B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB ＝{(男，女)，(女，男)}， 于是P (A )＝12，P (B )＝34，P (AB )＝12，由此可知P (AB )≠P (A )P (B )， 所以事件A 、B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件， AB 中含有3个基本事件．于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (AB )＝38，显然有P (AB )＝38＝P (A )P (B )成立．从而事件A 与B 是相互独立的． 题型三 相互独立事件的概率[例4] 某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲，乙，丙三人100 m 跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100 m 跑的成绩进行一次检测，则(1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大？[思路探究] 若用A ，B ，C 表示甲，乙，丙三人100米跑的成绩合格，则事件A ，B ，C 相互独立．[解] 记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0,1,2,3)． (1)三人都合格的概率：P 3＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝110.(2)三人都不合格的概率：P 0＝P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝35×14×23＝110.(3)恰有两人合格的概率：P 2＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360.恰有一人合格的概率：P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512.结合(1)(2)可知P 1最大．所以出现恰有1人合格的概率最大．规律方法 (1)公式P (AB )＝P (A )P (B )可以推广到一般情形：如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．(2)求相互独立事件同时发生的概率的程序：①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件发生的概率，再求其积．甲、乙、丙3位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲答题及格的概率为810，乙答题及格的概率为610，丙答题及格的概率为710，3人各答题1次，则3人中只有1人答题及格的概率为( C )A.320 B.42125C.47250D ．以上全不对解析：设“甲答题及格”为事件A ，“乙答题及格”为事件B ，“丙答题及格”为事件C ，显然事件A ，B ，C 相互独立．设“3人各答题1次，只有1人及格”为事件D ，则D 的可能情况为A B C ，A B C ，A B C (其中A ，B ，C 分别表示甲、乙、丙答题不及格)．A B C ，A B C ，A B C 不能同时发生，故两两互斥．所以P (D )＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝810×410×310＋210×610×310＋210×410×710＝47250.题型四 概率知识的综合应用[例5] 某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率； (3)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列．[解] (1)由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，根据分层抽样原理，若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，则从甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人．(2)记A 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则P (A )＝C 14C 16C 210＝815.(3)ξ的可能取值为0,1,2,3.A i 表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i 名男工人，i ＝0,1,2，B 表示事件：从乙组抽取的是1名男工人．A i 与B 独立，i ＝0,1,2.P (ξ＝0)＝P (A 0·B )＝P (A 0)·P (B )＝C 24C 210·C 13C 15＝675，P (ξ＝1)＝P (A 0·B ＋A 1·B )＝P (A 0)·P (B )＋P (A 1)·P (B )＝C 24C 210·C 12C 15＋C 16C 14C 210·C 13C 15＝2875，P (ξ＝3)＝P (A 2·B )＝P (A 2)·P (B )＝C 26C 210·C 12C 15＝1075，P (ξ＝2)＝1－[P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)]＝3175.故ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P675287531751075如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p ；(2)求电流能在M 与N 之间通过的概率． 解：记A i 表示事件：电流能通过T i ，i ＝1,2,3,4， A 表示事件：T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流，B表示事件：电流能在M与N之间通过．(1)由题知：A＝A1·A2·A3，A1，A2，A3相互独立，P(A)＝P(A1·A2·A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝(1－p)3.又P(A)＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，故(1－p)3＝0.001，p＝0.9.(2)B＝A4＋A4·A1·A3＋A4·A1·A2·A3，P(B)＝P(A4＋A4·A1·A3＋A4·A1·A2·A3)＝P(A4)＋P(A4·A1·A3)＋P(A4·A1·A2·A3)＝P(A4)＋P(A4)P(A1)P(A3)＋P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.989 1.——误区警示系列——概念理解不到致误[例6]设某种灯管使用了500h还能继续使用的概率是0.94，使用到700h还能继续使用的概率是0.87，问已经使用了500h的一个此种灯管还能继续使用到700h的概率是多少？[错解一]P＝0.94×0.87＝0.817 8.[错解二]设A＝“使用了500h还能继续使用”，B＝“使用到700h还能继续使用”，则P(A)＝0.94，P(B)＝0.87，则P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(A)P(B)P(A)＝P(B)＝0.87.[错解分析]本题所求事件的概率属于条件概率，错解一当成了相互独立事件．错解二中错用公式P(B|A)＝P(A∩B)P(A)＝P(A)P(B)P(A)，注意只有事件A，B相互独立时才有P(A∩B)＝P(A)P(B)．[正解]设A＝“使用了500h还能继续使用”，B＝“使用到700h还能继续使用”，则P(A)＝0.94，P(B)＝0.87，而所求的概率为P(B|A)．由于A∩B＝B，故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝0.87 0.94＝87 94.有一批种子的发芽率为0.8，发芽后的幼苗成活率为0.7, 在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率．解：设A ＝“种子发芽成功”，B ＝“种子能成长为幼苗”．根据题意知P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.7，故由P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )知P (A ∩B )＝P (A )P (B |A )＝0.8×0.7＝0.56.又由于A ∩B ＝B ，故P (A ∩B )＝P (B )＝0.56，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.56.1．把一枚硬币抛掷两次，记事件A ＝{第一次出现正面}，事件B ＝{第二次出现反面}，则P (B |A )等于( A )A.12 B.14 C.13D ．1解析：由题意可知P (B )＝P (A )＝12，P (AB )＝14，故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12.2．抛掷红，蓝两枚均匀的骰子，记事件A ＝{红骰子出现4点}，事件B ＝{蓝骰子出现的点数是偶数}，则P (A |B )为( D )A.12B.536C.112D.16解析：先求出P (B )，P (AB )，再利用条件概率公式P (A |B )＝P (AB )P (B )来计算．∵P (B )＝12，P (AB )＝112，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝16.3．若事件A 与B 相互独立，则下面不是相互独立事件的是( A ) A ．A 与A B ．A 与B C.A 与BD.A 与B解析：当A ，B 相互独立时，A 与B ，A 与B 以及A 与B 都是相互独立的，而A 与A 是对立事件，不相互独立．4．在某道路A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则在三处都不停车的概率为( A )A.35192B.25192C.35576D.21192解析：由题意可知，设事件A ＝{在道路A 处不停车}，B ＝{在道路B 处不停车}，C ＝{在道路C 处不停车}，则有P (A )＝512，P (B )＝712，P (C )＝34.在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率P (ABC )＝P (A )·P (B )·P (C )＝512×712×34＝35192.5．若P (A )＝0.3，P (B )＝0.4，P (A ∩B )＝0.1，则P (A |B )＝1,4，P (B |A )＝1,3. 解析：P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )＝14，P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝13.6．设甲、乙两人独立地射击同一目标，甲击中目标的概率为910，乙击中目标的概率为89，现各射击一次，则目标被击中的概率为8990.解析：“目标被击中”包含“甲中、乙不中”“甲不中、乙中”“甲乙都中”三种情况，其对立事件“甲乙都不中”．∴所求概率为1－110×19＝8990.7．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第一次抽到舞蹈节目的概率；(2)第一次和第二次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第一次抽到舞蹈节目的条件下，第二次抽到舞蹈节目的概率．解：设第一次抽到舞蹈节目为事件A ，第二次抽到舞蹈节目为事件B ，则第一次和第二次都抽到舞蹈节目的事件AB .(1)P (A )＝4×56×5＝23.(2)P (AB )＝4×36×5＝25.(3)方法一：由(1)(2)可得，在第一次抽到舞蹈节目的条件下，第二次抽到舞蹈节目的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2523＝35.方法二：因为n (AB )＝12，n (A )＝20，所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝1220＝35.。
北师版数学高二-选修2-3课时作业2.3条件概率与独立事件
条件概率与独立事件一、选择题1．抛掷一颗骰子，A 表示事件：“出现偶数点”，B 表示事件：“出现3点或6点”，则事件A 与B 的关系是( ) A ．相互互斥事件 B ．相互独立事件C ．既相互互斥又相互独立事件D ．既不互斥又不独立事件2．设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为( )A.25B.35C.45D.3103．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A.49B.29C.23D.134．某农业科技站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地取出一粒，则这粒水稻种子发芽能成长为幼苗的概率为( ) A ．0.02 B ．0.08 C ．0.18D ．0.725．6位同学参加百米短跑比赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率为( ) A.16 B.15 C.14D.136．甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能获冠军．若每局两队获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A.12B.35C.23D.347．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 叶上，则跳三次之后停在A 叶上的概率是( ) A.13 B.29 C.49 D.827二、填空题8．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.则甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为________，________，________. 9．某种元件用满6000小时未坏的概率是34，用满10000小时未坏的概率是12，现有一个此种元件，已经用过6000小时未坏，则它能用到10000小时的概率为________．10．如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则：(1)P (A )＝________； (2)P (B |A )＝________.11．设两个相互独立事件A 与B ，若A 发生的概率为p ，B 发生的概率为1－p ，则A 与B 同时发生的概率的最大值为________． 三、解答题12．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，问：(1)在从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱中取出红球的概率是多少？13．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56、45、34、13，且各轮问题能否正确回答互不影响． (1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列．四、探究与拓展14．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是1,2,3,4,5,6点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，记事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (B |A )＝________.15．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p ⎝⎛⎭⎫p >12，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59.(1)求p 的值；(2)设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列．答案精析1．B [A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，A ∩B ＝{6}，所以P (A )＝12，P (B )＝13，P (AB )＝16＝12×13，所以A 与B 是相互独立事件．] 2．B [由题意知，P (AB )＝310， P (B |A )＝12，∴P (A )＝P (AB )P (B |A )＝31012＝35.]3．A [左边圆盘指针落在奇数区域的概率为46＝23，右边圆盘指针落在奇数区域的概率为23，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49.]4．D [设“这粒水稻种子发芽”为事件A ，“这粒水稻种子发芽能成长为幼苗”为事件AB ，“这粒种子能成长为幼苗”为事件B |A ，则P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.9，由条件概率公式，得 P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72.]5．B [甲排在第一跑道，其他5位同学共有A 55种排法，乙排在第二跑道共有A 44种排法，所以所求概率为A 44A 55＝15.]6．D [根据已知条件，可知甲队要获得冠军可分为甲队直接胜一局，或乙队先胜一局，甲队再胜一局，由概率加法公式，我们分别求出这两种情况的概率，进而可得结论．甲队直接胜一局，其概率为p 1＝12；乙队先胜一局，甲队再胜一局，其概率为p 2＝12×12＝14.故甲队获胜的概率为p ＝12＋12×12＝34.]7．A [青蛙跳三次要回到A 只有两条途径： 第一条：按A →B →C →A ，P 1＝23×23×23＝827；第二条，按A →C →B →A ，P 2＝13×13×13＝127，所以跳三次之后停在A 叶上的概率为P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13.]8．0.2 0.25 0.59.23解析 设“用满6 000小时未坏”为事件A ，“用满10 000小时未坏”为事件B ，则P (A )＝34，P (AB )＝P (B )＝12， 所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1234＝23.10．(1)2π (2)14解析 (1)由几何概型概率计算公式可得P (A )＝S 正S 圆＝2π.(2)事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”，则P (AB )＝S △EOH S 圆＝12×12π＝12π.由条件概率的计算公式可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12π2π＝14.11.14解析 事件A 与B 同时发生的概率为p (1－p )＝p －p 2(p ∈[0,1])， 当p ＝12时，最大值是14.12．解 设“最后从2号箱中取出的是红球”为事件A ，“从1号箱中取出的是红球”为事件B .P (B )＝42＋4＝23，P (B )＝1－P (B )＝13.(1)P (A |B )＝3＋18＋1＝49.(2)∵P (A |B )＝38＋1＝13， ∴P (A )＝P (A ∩B )＋P (A ∩B )＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B ) ＝49×23＋13×13＝1127. 13．解 记事件A i (i ＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i 轮问题”， 由已知P (A 1)＝56，P (A 2)＝45，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13.(1)记事件B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”， 则P (B )＝P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝56×45×⎝⎛⎭⎫1－34＝16. (2)记事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则P (C )＝P (A 1∪A 1A 2∪A 1A 2A 3) ＝P (A 1)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2A 3) ＝16＋56×15＋56×45×⎝⎛⎭⎫1－34＝12. (3)X 的可能取值为1,2,3,4. P (X ＝1)＝P (A 1)＝16，P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＝56×⎝⎛⎭⎫1－45＝16， P (X ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝56×45×⎝⎛⎭⎫1－34＝16， P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3)＝56×45×34＝12，所以X 的分布列为14.13解析 根据题意，事件A 为“x ＋y 为偶数”，则x ，y 两个数均为奇数或偶数，共有2×3×3＝18个基本事件．∴事件A 发生的概率为P (A )＝2×3×36×6＝12，而A ，B 同时发生，基本事件有“2＋4”“2＋6”“4＋2”“4＋6”“6＋2”“6＋4”，一共有6个基本事件，∴事件A ，B 同时发生的概率为P (AB )＝66×6＝16，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1612＝13.15．解 (1)当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故p 2＋(1－p )2＝59，解得p ＝13或p ＝23.又因为p >12，所以p ＝23.(2)依题意知ξ的所有可能取值为2,4,6. P (ξ＝2)＝59，P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫1－59×59＝2081， P (ξ＝6)＝1－59－2081＝1681.所以随机变量ξ的分布列为。
2016-2017学年高中数学北师大版选修1-2学案：1.2.1 条件概率与独立事件 Word版含解析
§2 独立性检验2．1 条件概率与独立事件1．了解条件概率的概念及计算．(重点)2．理解相互独立事件的意义及相互独立事件同时发生的概率乘法公式．(重点)3．掌握利用概率的知识分析解决实际问题的方法．(难点)[基础·初探]教材整理1 条件概率阅读教材P 17～P 18部分，完成下列问题．1．概念已知事件B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P (A |B )．2．公式当P (B )＞0时，P (A |B )＝.P (AB )P (B)从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A ． B ． 1814C ． D ．2512【解析】 从1,2,3,4,5中任取两个数共有10种取法，事件A 包含(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个基本事件，事件B 包含(2,4)一个基本事件，故P (A )＝，P (AB )＝.所以P (B |A )＝＝.410110P (AB )P (A )14【答案】 B教材整理2 相互独立事件阅读教材P 19“练习”以上部分，完成下列问题．1．定义对两个事件A ，B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称A ，B 相互独立．2．性质如果A ，B 相互独立，则A 与，与B ，与也相互独立．B A A B 3．如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为( )A ．B ．1625C ．D ．21556【解析】 记“从甲袋中任取一球为白球”为事件A ，“从乙袋中任取一球为白球”为事件B ，则事件A ，B 是相互独立事件，故P (AB )＝P (A )P (B )＝×＝.242616【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________解惑：___________________________________________________疑问2：___________________________________________________解惑：___________________________________________________疑问3：___________________________________________________解惑：___________________________________________________[小组合作型],条件概率 一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A ，事件“第二次抽到黑球”为B ．(1)分别求事件A ，B ，AB 发生的概率；(2)求P (B |A )．【精彩点拨】 解答本题可先求P (A )，P (B )，P (AB )，再用公式P (B |A )＝求概率．P (AB )P (A )【自主解答】 由古典概型的概率公式可知：(1)P (A )＝，25P (B )＝＝＝，2×1＋3×25×482025P (AB )＝＝.2×15×4110(2)P (B |A )＝＝＝.P (AB )P (A )1102514用定义法求条件概率P (B |A )的步骤是：(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P (A )，P (AB )；(3)代入公式求P (B |A )＝.P (AB )P (A)[再练一题]1．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是( )A ． B ．1423C ．D ．1213【解析】 一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．记事件A 为“其中一个是女孩”，事件B 为“另一个是女孩”，则A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB ＝{(女，女)}．于是可知P (A )＝，P (AB )＝.问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发3414生的概率，即求P (B |A )，由条件概率公式，得P (B |A )＝＝.143413【答案】 D,事件独立性的判断 判断下列各对事件是否是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．【精彩点拨】 利用相互独立事件的定义判断．【自主解答】 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件58发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；47若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，57对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．判断两事件是否具有独立性的三种方法：(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)公式法：检验P (AB )＝P (A )P (B )是否成立．(3)条件概率法：当P (A )>0时，可用P (B |A )＝P (B )判断．[再练一题]2．(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，则事件A 与事件B ( )A ．相互独立但不互斥B ．互斥但不相互独立C ．相互独立且互斥D ．既不相互独立也不互斥(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是( )A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥C ．互斥且相互独立D ．既不相互独立也不互斥【解析】 (1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B 可能同时发生，所以事件A 与B 不是互斥事件．(2)事件A ＝{2,4,6}，事件B ＝{3,6}，事件AB ＝{6}，基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}．所以P (A )＝＝，P (B )＝＝，P (AB )＝＝×，即P (AB )＝P (A )P (B )，因36122613161213此，事件A 与B 相互独立．当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件．【答案】 (1)A (2)B[探究共研型],相互独立事件同时发生的概率探究1 甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求：甲、乙都未击中的概率．【提示】 记A ＝“甲击中”，B ＝“乙击中”，C ＝“甲、乙都没有击中”．由题意，甲击中与否并不影响乙，由此可认为A 与B 是相互独立的，则，A 也是相互独立的，则B P (C )＝P ( )＝P ()·P ()＝(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2.A B A B 探究2 上述问题中如何求敌机被击中的概率？【提示】 记D ＝“敌机被击中”，则P(D)＝1－P()＝1－0.2＝0.8.A B 某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：【导学号：67720003】(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．明确已知事件的概率及其关系【精彩点拨】 →把待求事件的概率表示成已知事件的概率选择公式计算求值→【自主解答】 设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB．(1)由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05×0.05＝0.002 5.B A(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A)＋(B)表示．由于事件A与B互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事B A件的概率为B A B AP(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.05×(1－0.05)＋(1－0.05)×0.05＝0.095.即恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095.B(3)法一 “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB)＋(A)＋(A B AB)表示．由于事件AB，A和B两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为P (AB )＋P (A )＋P (B )＝0.002 5＋0.095＝0.097 5.B A 法二 1－P ( )＝1－(1－0.05)2＝0.097 5.A B 即至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.097 5.求P (AB )时注意事件A ，B 是否相互独立，求P (A ＋B )时同样应注意事件A ，B 是否互斥，对于“至多”、“至少”型问题的解法有两种思路：(1)分类讨论；(2)求对立事件，利用P ()＝1－P (A )来运算．A [再练一题]3．甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为、.求：1314(1)两个人都破译出密码的概率；(2)两个人都破译不出密码的概率；(3)恰有一人破译出密码的概率；(4)至多一人破译出密码的概率；(5)至少一人破译出密码的概率．【解】 记事件A 为“甲独立地破译出密码”，事件B 为“乙独立地破译出密码”．(1)两个人都破译出密码的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝×＝.1314112(2)两个人都破译不出密码的概率为P ( )＝P ()P ()A B A B ＝[1－P (A )][1－P (B )]＝＝.(1－13)(1－14)12(3)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出；乙破译出甲破译不出，即A ＋B ，B A ∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )B A B A ＝P (A )P ()＋P ()P (B )B A ＝×＋×＝.13(1－14)(1－13)14512(4)至多一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，∴1－P (AB )＝1－＝.1121112(5)至少一人破译出密码的对立事件为两人都没有破译出密码，∴1－P ( )AB＝1－＝.1212[构建·体系]1．已知P (B |A )＝，P (A )＝，则P (AB )等于( )1325A ． B ． 56910C ． D ．215115【解析】 由P (B |A )＝，得P (AB )P (AB )P (A )＝P (B |A )·P (A )＝×＝.1325215【答案】 C2．一件产品要经过两道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a ，第二道工序的次品率为b ，则产品的正品率为( )A ．1－a －bB ．1－abC ．(1－a )(1－b )D ．1－(1－a )(1－b )【解析】 ∵2道工序相互独立，∴产品的正品率为(1－a )(1－b )．【答案】 C3．把一枚硬币投掷两次，事件A ＝{第一次出现正面}，B ＝{第二次出现正面}，则P (B |A )等于________.【解析】 P (AB )＝，P (A )＝，∴P (B |A )＝＝.1412141212【答案】 124．在同一时间内，两个气象台预报天气准确的概率分别为，，两个气象91045台预报准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一个气象台预报准确的概率为________.【解析】 P ＝1－＝.(1－910)(1－45)4950【答案】 49505．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是为，，，求汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率．131223【解】 设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A ，B ，C ，则P (A )＝，P (B )＝，P (C )＝.131223停车一次即为事件BC ＋A C ＋AB ，A B C 故概率为P ＝××＋××＋××＝.(1－13)122313(1－12)231312(1－23)718我还有这些不足：(1) ___________________________________(2)___________________________________我的课下提升方案：(1) ___________________________________(2) ___________________________________学业分层测评(二) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是( )A ．0.56B ．0.48C ．0.75D ．0.6【解析】 设甲击中为事件A ，乙击中为事件B ．∵A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.7＝0.56.【答案】 A2．下列说法正确的是( )A ．P (B |A )＜P (AB )B ．P (B |A )＝是可能的P (B )P (A )C ．0＜P (B |A )＜1D ．P (A |A )＝0【解析】 由条件概率公式P (B |A )＝及0＜P (A )≤1知P (B |A )≥P (AB )，P (AB )P (A )故A 选项错误；当事件A 包含事件B 时，有P (AB )＝P (B )，此时P (B |A )＝，故B 选项正确，由于0≤P (B |A )≤1，P (A |A )＝1，故C ，D 选项错P (B )P (A )误．故选B ．【答案】 B3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是( )A ．B ．110210C ．D ．810910【解析】 某人第一次失败，第二次成功的概率为P ＝＝，所以9×110×9110选A ．【答案】 A4．一袋中装有5只白球和3只黄球，在有放回地摸球中，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则事件A 1与是( )A 2A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件【解析】 由题意可得表示“第二次摸到的不是白球”，即表示“第A 2A 2二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A 1与是相互独立事件．A 2【答案】 A2．如图121，A ，B ，C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性是( )图121A ．0.504B ．0.994C ．0.496D ．0.06【解析】 系统可靠即A ，B ，C 3种开关至少有一个能正常工作，则P ＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.【答案】 B 二、填空题6．将两枚均匀的骰子各掷一次，已知点数不同，则有一个是6点的概率为________.【解析】 设掷两枚骰子点数不同记为事件A ，有一个是6点记为事件B ．则P (B |A )＝＝.2×53013【答案】 137．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.【解析】 设A ＝“两个闹钟至少有一个准时响”，∴P (A )＝1－P ()＝1－(1－0.80)×(1－0.90)A＝1－0.2×0.1＝0.98.【答案】 0.988．如图122，四边形EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”．则： 【导学号：67720004】图122(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________.【解析】 正方形的面积为2，圆的面积为π.(1)∵A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，∴P (A )＝.2π(2)∵B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，∴P (AB )＝，12π∴P (B |A )＝＝.P (AB )P (A )14【答案】 (1) (2)2π14三、解答题9．有红色、蓝色两颗骰子，设事件A 为“抛红骰子所得点数为偶数”，设事件B 为“抛蓝骰子所得点数大于4”，求在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．【解】 画示意图如图所示，横轴表示抛红骰子所得点数，纵轴表示抛蓝骰子所得点数．∴P (A )＝＝，183612P (A ∩B )＝＝，63616∴P (B |A )＝＝＝.P (A ∩B )P (A )161213则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为.1310．集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．【解】 将甲抽到数字a ，乙抽到数字b ，记作(a ，b )，则所有可能的抽取结果为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共30个．其中甲抽到奇数的情形有15个，在这15个数中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有9个，所以所求概率P ＝＝.91535[能力提升]1．从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率13是，从两个口袋内各摸出1个球，那么等于( )1256A ．2个球都是白球的概率B ．2个球都不是白球的概率C ．2个球不都是白球的概率D ．2个球中恰有1个是白球的概率【解析】 记从甲口袋内摸出1个白球为事件A ，从乙口袋内摸出1个白球为事件B ，则A ，B 是独立事件，于是P (AB )＝P (A )P (B )＝×＝，它表示从131216甲、乙口袋中摸出来的都是白球，故为2个球不都是白球的概率．56【答案】 C2．如图123，已知电路中4个开关闭合的概率都是且互相独立，灯亮的12概率为( )图123A ． B ．31634C ．D ．131614【解析】 因为灯不亮的概率为××1212(1－12×12)＝，所以灯亮的概率为1－＝.3163161316【答案】 C3．从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A ，则第2次也抽到A 的概率为________.【解析】 设第1次抽到A 为事件M ，第2次也抽到A 为事件N ，则MN 表示两次都抽到A ，P (M )＝＝，452113P (MN )＝＝，4×352×51113×17P (N |M )＝＝.P (MN )P (M )117【答案】 1174．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为，，，且455623三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率；(2)求至少有一个项目成功的概率．【解】 (1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××＝，4556(1－23)29只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为××＝，45(1－56)23445只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为××＝，(1－45)562319∴恰有两个项目成功的概率为＋＋＝.29445191945(2)三个项目全部失败的概率为××＝，(1－45)(1－56)(1－23)190∴至少有一个项目成功的概率为1－＝.1908990。
北师大版数学【选修2-3】练习：2.3条件概率与独立事件(含答案)
第二章§3一、选择题1．一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为() A．1 B．0.629C．0 D．0.74或0.85[答案] B[解析]事件“两根保险丝都熔断”即事件“甲保险丝熔断”“乙保险丝熔断”同时发生，依题意得事件“两根保险丝都熔断”的概率为0.85×0.74＝0.629.2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是()A.512B.12C.712D.34[答案] C[解析]依题意得P(A)＝12，P(B)＝16，事件A，B中至少有一件发生的概率等于1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－(1－12)×(1－16)＝1－512＝712.3．(2014·哈师大附中高二期中)一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率是()A.12B.13C.14D.23[答案] A[解析]解法1：设A＝“第一次取到二等品”，B＝“第二次取得一等品”，则AB＝“第一次取到二等品且第二次取到一等品”，∴P(A|B)＝P ABP B＝2×35×42×3＋3×25×4＝12.解法2：设一等品为a、b、c，二等品为A、B，“第二次取到一等品”所含基本事件有(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)共12个，其中第一次取到一等品的基本事。
高二数学北师大版选修2-3同步课时作业2.3条件概率与独立事件(有答案)
高二数学北师大版选修2-3同步课时作业2.3条件概率与独立事件一、选择题1.将3颗骰子各掷一次，记事件A 表示为“三个点数都不同”，事件B 表示为“至少出现一个1点”，则条件概率()|P A B 和()|P B A 分别为( )A.160,291B.560,1891C.601,912D.911,21622.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.7，在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为( )A.2144 B.1522 C.2150 D.9253.小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是( ) A.0.2B.0.3C.0.4D.0.54.已知12(|),()35P B A P A ==，则()P A B ⋂等于( )A.56 B.910 C.215 D.1155.某学校甲、乙等10位同学组成的志愿者服务队由李老师和张老师负责,每次献爱心活动均需该服务队中的4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学,且所发信息都能收到,则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( )A.25 B.1225 C.1625D.45 6.高一新生健康检查的统计结果:体重超重者占40％，血压异常者占15％，两者都有的占8％今任选一人进行健康检查，已知此人体重超重，他血压异常的概率为( ) A.15B.25 C.35D.457.甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙每次投篮命中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响.设投篮的轮数为X ，若甲先投，则()P X k =等于( )A.10.60.4k -⨯B.10.240.76k -⨯C.10.40.6k -⨯D.10.760.24k -⨯8.位于直角坐标系原点的质点P 按以下规则移动:①每次移动一个单位,②向左移动的概率为14，向右移动的概率为34.移动5次后落点在(1,0)-的概率为( ) A.32351344C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.23351344C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.32241344C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.23241344C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题9.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军.若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率为23，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为__________. 10.某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人.从中任选3名班干部参加学校的义务劳动.设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，则()|P B A =_____________.11.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于__________. 三、解答题12.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立． 1.设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； 2.玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？3.玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．参考答案1.答案：C解析：由题意知31116543C C C 55(),()1696P A P B ⎛⎫===-= ⎪⎝⎭1111116554433C C C C C C 915,()216618P AB -==，条件概率(|)P A B 表示在事件B 发生的情况下，事件A 发生的概率，即()60(|)()91P AB P A B P B ==，同理，()1(|)()2P AB P B A P A ==. 2.答案：A解析：根据题意，记“甲击中目标”为事件A ，“乙击中目标”为事件B ，“目标被击中”为事件C ，则()1()()1(10.6)(10.7)0.88P C P A P B =-=--⨯-=.则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为()0.60.721(|)()0.8844P A B C P A B C P C ⋂⋂⨯⋂===.故选A. 3.答案：D解析：记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A ，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B ，则()0.4,()0.5P A P B ==，()0.2P A B ⋂=，所以()0.2(|)0.5()0.4P A B P B A P A ⋂===，故选D.4.答案：C解析：由乘法公式得122()(|)()3515P A B P B A P A ⋂==⨯=，故选C.5.答案：C解析：设甲同学收到李老师的信息为事件A ,收到张老师的信息为事件B ,事件,A B 相互独立.易知42()()105P A P B ===,则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1[1()][1()]15525P AB P A P B -=---=-⨯=.故选C. 6.答案：A解析：记事件A 表示体重超重，事件B 表示血压异常.则()()()0.081|0.45P A B P B A P A ⋂===故选A.7.答案：B解析：∵甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，∴本题是一个相互独立事件同时发生的概率， ∵每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，甲投篮的次数为X ，甲先投，则X k =表示甲第K 次投中篮球，而乙前1k -次没有投中， 根据相互独立事件同时发生的概率得到1110.40.60.40.240.4k k k ---⨯⨯=⨯；故选B ． 8.答案：A解析：根据题意，质点P 移动5次后位于点(1,0)-，其中向左移动了3次，向右移动了2次，其中向左平移的3次有35C 种情况，剩下的2次向右平移，则其概率为32351344C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A9.答案：2510.答案：5解析：根据题意，事件“男生甲被选中且女生乙被选中”发生的概率为1436C 1()C 5P A B ⋂==，事件“男生甲被选中”发生的概率为2536C 1()C 2P A ==.()2(|)()5P A B P B A P A ⋂∴==.11.答案：0.128解析：设选手所需要答出的5道试题分别为1A ,2A ,3A ,4A ,5A ,并记选手正确回答出某题为事件i A ,答错为i A .因为恰好回答了四个问题晋级下一轮,故第三、四个问题回答正确, 第二个问题回错误,第一个问题回答正确错误都可,则选手回答4个问题的可能为1A ,2A , 3A ,4A 或1A ,2A ,3A ,4A .选手晋级下一轮的概率为0.20.20.80.8P =⨯⨯⨯+0.80.20.80.80.128⨯⨯⨯=. 12.答案：1.X 可能的取值为：10,20,100，－200. 根据题意，有1123113(10)()(1)228P X C ==⨯⨯-=，2213113(20)()(1)228P X C ==⨯⨯-=，3303111(100)()(1)228P X C ==⨯⨯-=，033111(200)()(1)228P X C =-=⨯⨯-=所以X 的分布列为1,2),3(i A i =，则1231()()()(200)8P A P A P A P X ====-=所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为3123115111()1()18512512P A A A -=-=-=因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512. 3.X 的数学期望为33115()102010020088884E X =⨯+⨯+⨯-⨯=-. 这表明，获得分数X 的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．。
2020-2021学年北师大版数学选修1-2课时素养评价 1.2.1 条件概率与独立事件含解析
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课时素养评价二条件概率与独立事件(20分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为0.5,两个路口连续遇到红灯的概率为0.4,则甲在第一个路口遇到红灯的条件下,第二个路口遇到红灯的概率为( )A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9【解析】选C.设“第一个路口遇到红灯”为事件A,“第二个路口遇到红灯”为事件B,则P(A)=0.5,P(AB)=0.4,则P(B|A)==0.8.2.在区间(0,1)内随机投掷一个点M(其坐标为x),若A=, B=,则P(B|A)等于( )A. B. C. D.【解析】选A.P(A)==.因为A∩B=,所以P(AB)==,所以P(B|A)===.3.下列说法正确的是( )A.P(B|A)<P(AB)B.P(B|A)=是可能的C.0<P(B|A)<1D.P(A|A)=0【解析】选B.由条件概率公式P(B|A)=及0≤P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB),故A选项错误;当事件A包含事件B时,有P(AB)=P(B),此时P(B|A)=,故B选项正确,由于0≤P(B|A)≤1,P(A|A)=1,故C,D选项错误.4.7名同学站成一排,已知甲站在中间,则乙站在末尾的概率是( )A. B. C. D.【解析】选C.记“甲站在中间”为事件A,“乙站在末尾”为事件B, 则n(A)=6×5×4×3×2×1=720,n(AB)=5×4×3×2×1=120,P(B|A)==.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(A|B)=0.6,则P(B|A)为________.【解析】因为P(A|B)=,所以P(AB)=0.3.所以P(B|A)===0.75.答案:0.756.生产零件需要经过两道工序,在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p,每道工序产生废品相互独立,若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.960 3,则p=________.【解析】因为生产零件需要经过两道工序,在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p,每道工序产生废品相互独立,经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.960 3,所以由题意得:(1-0.01)(1-p)=0.960 3,解得p=0.03.答案:0.03三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知男人中有5%患色盲,女人中有0.25%患色盲,从100个男人和100个女人中任选一人.(1)求此人患色盲的概率.(2)如果此人是色盲,求此人是男人的概率.【解析】设“任选一人是男人”为事件A;“任选一人是女人”为事件B,“任选一人是色盲”为事件C.(1)P(C)=P(AC)+P(BC)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×+×=.(2)P(A|C)===.8.某投资商准备在某市投资甲、乙、丙三个不同的项目,这三个项目投资是否成功相互独立,预测结果如表:预测结果项目概率成功失败甲乙丙(1)求恰有一个项目投资成功的概率.(2)求至少有一个项目投资成功的概率.【解析】(1)设投资甲、乙、丙三个不同项目成功的事件分别为A,B,C, P1=P(A + B + C)=××+××+××=.所以恰有一个项目投资成功的概率为.(2)P2=1-P()=1-××=,所以至少有一个项目投资成功的概率为.(15分钟·30分)1.(5分)把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次,下列各组事件是相互独立事件的组数为 ( )①A={掷出偶数点},B={掷出奇数点};②A={掷出偶数点},B={掷出3点};③A={掷出偶数点},B={掷出3的倍数点};④A={掷出偶数点},B={掷出的点数小于4};A.1B.2C.3D.4【解析】选A.①P(A)=,P(B)=,P(AB)=0,所以A与B不相互独立.②P(A)=,P(B)=,P(AB)=0,所以A与B不相互独立.③P(A)=,P(B)=,P(AB)=,P(AB)=P(A)P(B),所以A与B相互独立.④P(A)=,P(B)=,P(AB)=,P(A)P(B)≠P(AB),所以A与B不相互独立.2.(5分)从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,则等于( )A.2个球不都是红球的概率B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率D.2个球中恰有1个红球的概率【解析】选 C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A,B,则P(A)=,P(B)=,由于A,B相互独立,所以1-P()P()=1-×=.根据互斥事件可知C正确.3.(5分)6位同学参加百米短跑初赛,赛场共有6条跑道,已知甲同学排在第一跑道,则乙同学排在第二跑道的概率是________.【解析】甲同学排在第一跑道后,还剩5个跑道,则乙排在第二跑道的概率为.答案:4.(5分)已知甲有5张红卡、2张蓝卡和3张绿卡,乙有4张红卡、3张蓝卡和3张绿卡.他们分别从自己的10张卡片中任取一张进行打卡游戏比赛.设事件A1,A2,A3表示甲取出的一张卡分别是红卡、蓝卡和绿卡;事件B表示乙取出的一张卡是红卡,则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①P(B)=;②P(A1|B)=;③事件B与事件A1相互独立;④A1,A2,A3是彼此相互独立的事件;⑤A1,A2,A3是两两互斥的事件.【解析】因为P(B)==,所以①错误;因为事件B与事件A1相互独立,所以P(A1|B)=P(A1)==,所以②错误,③正确;A1,A2,A3是两两互斥的事件,所以④错误,⑤正确.答案:③⑤5.(10分)在社会主义新农村建设中,某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为,,,且三个项目是否成功互相独立.(1)求恰有两个项目成功的概率.(2)求至少有一个项目成功的概率.【解析】(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××=,只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为××=, 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为××=,所以恰有两个项目成功的概率为++=.(2)三个项目全部失败的概率为××=,所以至少有一个项目成功的概率为1-=.乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,每次发球的胜负结果相互独立.甲、乙在一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率.(2)求开始第5次发球时,甲得分领先的概率.【解析】记A i表示事件:第1次和第2次这两次发球,甲共得i 分,i=0,1,2;B i表示事件:第3次和第4次这两次发球,甲共得i分,i=0,1,2;A表示事件:第3次发球,甲得1分;B表示事件:开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2;C表示事件:开始第5次发球时,甲得分领先.(1)B=A0·A+A1·,P(A)=0.4,P(A0)=0.42=0.16,P(A1)=2×0.6×0.4=0.48,P(B)=P(A0·A+A1·)=P(A0·A)+P(A1·)=P(A0)P(A)+P(A1)P()=0.16×0.4+0.48×(1-0.4)=0.352.(2)P(B0)=0.62=0.36,P(B1)=2×0.4×0.6=0.48,P(B2)=0.42=0.16,P(A2)=0.62=0.36.C=A1·B2+A2·B1+A2·B2P(C)=P(A1·B2+A2·B1+A2·B2)=P(A1·B2)+P(A2·B1)+P(A2·B2)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B2)=0.48×0.16+0.36×0.48+0.36×0.16=0.307 2.关闭Word文档返回原板块。
高中数学第二章概率2.3条件概率与独立事件精练含解析北师大版选修2_3041623.doc
§3 条件概率与独立事件A组1.设A与B是相互独立事件,则下列命题正确的是()A.A与B是对立事件B.A与B是互斥事件C.不相互独立D.A与是相互独立事件解析:若A与B是相互独立事件,则A与也是相互独立事件.答案:D2.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为,乙、丙去北京旅游的概率分别为.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为()A. B. C. D.解析:因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为.因此,他们不去北京旅游的概率分别为,所以,至少有1人去北京旅游的概率为P=1-.答案:B3.如图,用K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知K,A1,A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8,则系统正常工作的概率为()A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576解析:方法一由题意知K,A1,A2正常工作的概率分别为P(K)=0.9,P(A1)=0.8,P(A2)=0.8, ∵K,A1,A2相互独立,∴A1,A2至少有一个正常工作的概率为P(A2)+P(A1)+P(A1A2)=(1-0.8)×0.8+0.8×(1-0.8)+0.8×0.8=0.96.∴系统正常工作的概率为P(K)[P(A2)+P(A1)+P(A1A2)]=0.9×0.96=0.864.方法二A1,A2至少有一个正常工作的概率为1-P()=1-(1-0.8)(1-0.8)=0.96,故系统正常工作的概率为P(K)[1-P()]=0.9×0.96=0.864.答案:B4.已知A,B,C是三个相互独立事件,若事件A发生的概率为,事件B发生的概率为,事件C发生的概率为,则A,B,C均未发生的概率为.解析:A,B,C均未发生的概率为P()=.答案:5.甲、乙二人进行射击游戏,目标靶上有三个区域,分别涂有红、黄、蓝三色,已知甲击中红、黄、蓝三区域的概率依次是,乙击中红、黄、蓝三区域的概率依次是,二人射击情况互不影响,若甲、乙各射击一次,试预测二人命中同色区域的概率为.解析:同命中红色区域的概率为,同命中黄色区域的概率为,同命中蓝色区域的概率为,∴二人命中同色区域的概率为.答案:6.某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考试,否则即被淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为,且各轮问题能否正确回答互不影响.(1)求该选手顺利通过三轮考核的概率;(2)该选手在选拔中回答两个问题被淘汰的概率是多少?解(1)设“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件记为A i(i=1,2,3),且它们相互独立.则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,设“该选手顺利通过三轮考核”为A事件,则P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2)·P(A3)=.(2)因为回答2个问题被淘汰即第一轮答对,第二轮答错,概率是P=.7.某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生之间是否选修哪门课互不影响.已知学生小张只选甲的概率为0.08,只选甲和乙的概率为0.12,至少选一门的概率为0.88,用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.(1)求学生小张选修甲的概率;(2)记“函数f(x)=x2+ξx为R上的偶函数”为事件A,求事件A的概率;(3)求ξ的分布列.解(1)由题意知,学生小张三门选修课一门也不选的概率为1-0.88=0.12.设学生小张选修甲、乙、丙三门选修课的概率分别为x,y,z.则解得所以学生小张选修甲的概率为0.4.(2)若函数f(x)=x2+ξx为R上的偶函数,则ξ=0,当ξ=0时,表示小张选修了三门功课或三门功课都不选.所以P(A)=P(ξ=0)=xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=0.4×0.6×0.5+(1-0.4)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.24,故事件A的概率为0.24.(3)依题意知ξ=0,2,所以ξ的分布列为ξ0 2P0.24 0.768.导学号43944034甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布.解用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,A k表示“第k局甲获胜”,B k表示“第k局乙获胜”,则P(A k)=,P(B k)=,k=1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)·P(A3)P(A=.4)(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)=,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=.所以X的分布列为B组1.如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A.B.C.D.解析:设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,P(A)=,B表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,P(B)=.则P(AB)=P(A)P(B)=.答案:A2.一个盒子中有20个大小、形状、质地相同的小球,其中5个红的,5个黄的,10个绿的,从盒子中任取一球,若它不是红球,则它是绿球的概率是()A. B. C. D.解析:记A:取的球不是红球.B:取的球是绿球.则P(A)=,P(AB)=,∴P(B|A)=.答案:C3.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率是()A. B. C. D.解析:设事件A发生的概率为x,事件B发生的概率为y,则由题意得(1-x)(1-y)=,x(1-y)=(1-x)y,联立解得x=,故事件A发生的概率为.答案:D4.把一枚质地均匀的硬币任意抛掷两次,事件A={第一次出现正面},事件B={第二次出现正面},则P(B|A)=()A. B. C. D.解析:P(A)=,P(AB)=,所以P(B|A)=.故选A.答案:A5.箱子里有除颜色外都相同的5个黑球,4个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取球;若取出白球,则停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率为()A. B.C. D.解析:因为每次取出黑球时都放回,所以在取到白球以前,每次取出黑球的概率都是,在第4次取球后停止表示前3次取出的都是黑球,第4次才取出白球,故所求概率为.答案:B6.某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6,使用寿命超过2年的概率为0.3,则使用寿命超过1年的该元件还能继续使用1年的概率为.解析:设事件A为“该元件的使用寿命超过1年”,B为“该元件的使用寿命超过2年”,则P(A)=0.6,P(B)=0.3,易知P(AB)=P(B)=0.3,于是P(B|A)==0.5.答案:0.57.根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立,各车主间相互独立.(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率;(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率;(3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中1种的概率.解记A表示事件“购买甲种保险”,B表示事件“购买乙种保险”,则由题意得A与B,A与与B,都是相互独立事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.6.(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”,则C=AB.∴P(C)=P(AB)=P(A)·P(B)=0.5×0.6=0.3.(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”,则D= B.∴P(D)=P(B)=P()·P(B)=(1-0.5)×0.6=0.3.(3)方法一:记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”,则事件E包括B,A,AB,且它们彼此为互斥事件.∴P(E)=P(B+A+AB)=P(B)+P(A)+P(AB)=0.5×0.6+0.5×0.4+0.5×0.6=0.8.方法二:事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件.∴P(E)=1-P()=1-(1-0.5)×(1-0.6)=0.8.8.导学号43944035设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的分布列.解记A i表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2.B表示事件:甲需使用设备.C表示事件:丁需使用设备.D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.(1)D=A1·B·C+A2··C+A2B.P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A i)=×0.52,i=0,1,2,所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)=0.31.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,P(X=0)=P(·A0·)=P()P(A0)P()=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06.P(X=1)=P(B·A0··A0·C+·A1·)=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()·P(A1)P()=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25.P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25.P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38.∴X的分布列为精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
2020-2021学年北师大版数学选修1-2作业课件：1.2 第2课时 条件概率与独立事件
答案 1．C 显然①不正确，②正确，③不正确，例如掷一枚骰 子在已知点数为奇数的情况下能被3整除的概率．意得P(A)＝66× ×56× ×46＝59， P(B)＝1－56× ×56× ×56＝29116， P(AB)＝36× ×56× ×46＝158， 所以P(A|B)＝PPABB＝158×29116＝6901， P(B|A)＝PPAAB＝158×95＝12.
(1)求能听到立体声效果的概率； (2)求听不到声音的概率．(结果精确到0.01)
能基力础提训升练
12．(5分)如图，△ABC和△DEF都是圆内接正三角形，且
BC∥EF，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子
落在△ABC内”，B表示事件“豆子落在△DEF内”，则P(B|A)
＝( )
33 A. 4π
89 9.90 解析：“目标被击中”包含“甲中、乙不中”“甲不中、 乙中”“甲乙都中”三种情况，其对立事件为“甲乙都不 中”，∴所求概率为1－110×19＝8990.
10．解：基本事件总数为6×6＝36.记“出现的点数中有 5”为事件A，“方程x2＋bx＋c＝0有实根”为事件B，则A中事
件数为11，所以P(A)＝3116. 而“方程x2＋bx＋c＝0有实根”需满足b2－4c≥0，即事件
B．0.56
C．0.6
D．0.75
5．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次
品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为( )
A．1－a－b
B．1－ab
C．(1－a)(1－b) D．1－(1－a)(1－b)
北师大版数学高二课时作业 2.3 条件概率与独立事件(二)
2．3 条件概率与独立事件(二)一、选择题1．若P (AB )＝19，P (A )＝23，P (B )＝13，则事件A 与B 的关系是( )A ．事件A 与B 互斥 B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 独立D ．事件A 与B 既互斥又独立2．甲射手击中靶心的概率为13，乙射手击中靶心的概率为12，甲、乙两人各射一次，那么56等于( )A ．甲、乙都击中靶心的概率B ．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率C ．甲、乙至少有一人击中靶心的概率D ．甲、乙不全击中靶心的概率3．张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.60，则预估计做对第二道题的概率是( ) A ．0.80 B ．0.75 C ．0.60 D ．0.484．如图，元件A i (i ＝1,2,3,4)通过电流的概率是0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M ，N 之间通过的概率是( )A ．0.729B ．0.882 9C ．0.864D ．0.989 15．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出1个红球的概率是12，从两袋中各摸出1个球，则至少有一个红球的概率为( ) A.16 B.56 C.23 D.136．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y (若指针停在边界上则重新转)，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为( )A.116B.18C.316D.147．甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A.12 B.35 C.23 D.34 二、填空题8．事件A ，B ，C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (B C )＝18，P (AB C )＝18，则P (B )＝________，P (A B )＝________.9．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为________． 10．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是13，14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________． 三、解答题11．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45、56、23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：(1)第3次拨号才接通电话；(2)拨号不超过3次而接通电话．13．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56、45、34、13，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列．答案精析1．C 2.D 3.B 4.B5．C [根据题意有P ＝13×12＋13×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－13×12＝23.] 6．C [满足xy ＝4的所有可能如下： x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1. ∴所求事件的概率P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1) ＝14×14＋14×14＋14×14＝316.] 7．D [甲队获冠军有两种情形： 甲第1局就赢；甲第1局输，第2局赢， 分别记为A 1，A 2事件． 甲队获得冠军为A 1∪A 2， 则P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2) ＝12＋12×12＝34.] 8.12 13解析 ∵P (AB C )＝P (AB )P (C ) ＝16P (C )＝18， ∴P (C )＝34，即P (C )＝14.又P (B C )＝P (B )·P (C )＝18，∴P (B )＝12，P (B )＝12.又P (AB )＝16，则P (A )＝13，∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝⎝⎛⎭⎫1－13×12＝13. 9.718解析 分别记汽车在甲，乙，丙三处通行为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝23，停车一次为事件A BC ＋A B C ＋AB C 发生，故概率为⎝⎛⎭⎫1－13×12×23＋13×⎝⎛⎭⎫1－12×23＋13×12×⎝⎛⎭⎫1－23＝718. 10.35解析 设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A.B.C ，则A.B.C 相互独立且P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，∴至少有1人去北京旅游的概率为：1－P (A B C )＝1－P (A )·P (B )·P (C )＝1－⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14×⎝⎛⎭⎫1－15＝1－25＝35. 11．解 (1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为 45×56×⎝⎛⎭⎫1－23＝29， 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 45×⎝⎛⎭⎫1－56×23＝445， 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为⎝⎛⎭⎫1－45×56×23＝19， ∴恰有两个项目成功的概率为29＋445＋19＝1945.(2)三个项目全部失败的概率为⎝⎛⎭⎫1－45×⎝⎛⎭⎫1－56×⎝⎛⎭⎫1－23＝190， ∴至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.12．解 设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1,2,3. (1)第3次才接通电话可表示为A 1 A 2A 3， 于是所求概率为P (A 1 A 2A 3)＝910×89×18＝110.(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1A 2＋A 1 A 2A 3， 于是所求概率为P (A 1∪A 1A 2∪A 1 A 2A 3) ＝P (A 1)＋P (A 1A 2)＋P (A 1 A 2A 3) ＝110＋910×19＋910×89×18＝310. 13．解 记事件A i (i ＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i 轮问题”， 由已知P (A 1)＝56，P (A 2)＝45，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13.(1)记事件B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”， 则P (B )＝P (A 1A 2A 3) ＝P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝56×45×⎝⎛⎭⎫1－34＝16. (2)记事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则P (C )＝P (A 1∪A 1A 2∪A 1A 2A 3) ＝P (A 1)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2A 3) ＝16＋56×15＋56×45×⎝⎛⎭⎫1－34 ＝12. (3)X 的可能取值为1,2,3,4. P (X ＝1)＝P (A 1)＝16，P (X ＝2)＝P (A 1A 2) ＝56×⎝⎛⎭⎫1－45＝16， P (X ＝3)＝P (A 1A 2A 3) ＝56×45×⎝⎛⎭⎫1－34＝16，P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3)＝56×45×34＝12，所以X 的分布列为。
北师大高中数学选修课时跟踪检测二条件概率与独立事件 含解析
课时跟踪检测（二）条件概率与独立事件1．抛掷一颗骰子一次，A 表示事件：“出现偶数点”，B 表示事件：“出现3点或6点”，则事件A 与B 的关系是( )A ．相互互斥事件B ．相互独立事件C ．既相互互斥又相互独立事件D ．既不互斥又不独立事件解析：选B A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，A ∩B ＝{6}，所以P (A )＝12，P (B )＝13，P (AB )＝16＝12×13，所以A 与B 是相互独立事件． 2．把一枚硬币抛掷两次，事件A ＝“第一次出现正面”，事件B ＝“第二次出现反面”，则P (B |A )的值为( )A.12B ．14 C.13 D ．1解析：选A P (B )＝P (A )＝12，P (AB )＝14，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12. 3．某农业科技站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地取出一粒，则这粒水稻种子发芽能成长为幼苗的概率为( )A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.72解析：选D 设“这粒水稻种子发芽”为事件A ，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件AB ，“这粒种子能成长为幼苗”为事件B |A ，则P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.9，由条件概率公式，得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72.4．甲射手击中靶心的概率为13，乙射手击中靶心的概率为12，甲、乙两人各射击一次，那么56等于( ) A ．甲、乙都击中靶心的概率B ．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率C ．甲、乙至少有一人击中靶心的概率D ．甲、乙不全击中靶心的概率解析：选D 设“甲、乙都击中靶心”为事件A ，则P (A )＝13×12＝16，甲、乙不全击中靶心的概率为P (A )＝1－P (A )＝1－16＝56. 5．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．解析：甲、乙两人都未能解决为⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－13＝12×23＝13， 问题得到解决就是至少有1 人能解决问题．∴P ＝1－13＝23. 答案：13 236．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为________．解析：法一：设A ＝{第一次取到新球}，B ＝{第二次取到新球}，则n (A )＝6×9＝54，n (AB )＝6×5＝30，∴P (B |A )＝n (AB )n (A )＝3054＝59. 法二：在第一次取到新球的条件下，盒中装有9只乒乓球，其中5只新球，则第二次也取到新球的概率为P ＝59. 答案：597．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A ，B ，C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求红队至少两名队员获胜的概率．解：设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知， P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5. 红队至少两人获胜的事件有DE F ，D E F ，D EF ，DEF . 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为 P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.8．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．解：设“只购买甲种商品”为事件A ，“只购买乙种商品”为事件B ，“购买甲、乙两种商品中的一种”为事件C ，“至少购买甲、乙两种商品中的一种”为事件D .(1)因为C ＝(A B )＋(A B )，所以P (C )＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.5×(1－0.6)＋(1－0.5)×0.6＝0.5.(2)因为D ＝A B ，所以P (D )＝P (A B )＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2.所以P (D )＝1－P (D )＝1－0.2＝0.8.9．2018年某中学对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次．若某志愿者考核为合格，授予1个学分；考核为优秀，授予2个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45，23，23，他们考核所得的等次相互独立． (1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；(2)求在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和至多为4分的概率．解：(1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件D .则P (D )＝1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－⎝⎛⎭⎫1－45×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＝4445. (2)由题意，得在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为3分的概率为P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝⎝⎛⎭⎫1－45×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＝145， 在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为4分的概率为P (A B C )＋P (AB C )＋P (A B C )＝45×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－45×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－45×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝845. 所以在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和至多为4分的概率为145＋845＝15.。
2020-2021学年北师大版高中数学选修1-2《条件概率与独立事件》课时同步练习及解析
（新课标）最新北师大版高中数学选修1-2§2 独立性检验2.1 条件概率与独立事件课时目标1.在具体情境中，了解条件概率的概念.2.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．1．条件概率定义：已知________________A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P(A|B)．2．公式P(A|B)＝__________.一、选择题1．设P(A|B)＝P(B|A)＝12，P(A)＝13，则P(B)等于( )A.12B.13C.14D.162．100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件，已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为( )A.599B.120C.19396D.95993．甲乙两人独立地解同一道题，甲解对的概率为34，乙解对的概率为23，则恰有1人解对的概率为( )A.34B.23C.12D.5124．某人独立射击三次，每次射中的概率为0.6，则三次中至少有一次射中的概率为( ) A ．0.216 B ．0.064 C ．0.936D ．0.0365．某零件加工由两道工序完成，第一道工序的废品率为a ，第二道工序的废品率为b ，假定这两道工序是否出废品彼此无关，那么产品的合格率为( )A ．ab －a －b ＋1B ．1－a －bC ．1－abD ．1－2ab二、填空题6．某种电子元件用满3 000小时不坏的概率为34，用满8 000小时不坏的概率为12.现有一只此种电子元件，已经用满3 000小时不坏，还能用满8 000小时的概率是________．7．一个家庭中有两个小孩，假定生男，生女是等可能的．已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是________．8．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P(A)＝________.三、解答题9．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．10.甲、乙、丙三位学生用计算机联网进行数学测试，每天独立完成10道数学题，已知甲及格的概率是810，乙及格的概率是610，丙及格的概率是710，三人各答一次，求三人中只有一人答题及格的概率．能力提升11．根据历年气象资料统计，某地四月份刮东风的概率是830，既刮东风又下雨的概率是730.问该地四月份刮东风时下雨的概率是________．12．栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为0.6,0.5，移栽后成活的概率分别为0.7,0.9.(1)求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；(2)求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率．1．所谓条件概率，是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下的概率．2．已知事件A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，求P(B|A)时，除按公式外，还可把A 看做新的基本事件空间来计算B 发生的概率．3．事件A 、B 独立，B 发生不影响A 的概率．§2 独立性检验 2．1 条件概率与独立事件答案知识梳理1．B 发生的条件下 2.P(AB)P(B)作业设计1．B [P(AB)＝P(A)P(B|A)＝13×12＝16，由P(A|B)＝P(AB)P(B)，得P(B)＝P(AB)P(A|B)＝16×2＝13，故选B.] 2．D [第1次抽出的是次品之后，还剩下4件次品，95件正品，所以所求概率为9599.]3．D [记“甲解对此题”为事件A ，“乙解对此题”为事件B ，它们相互独立． 则恰有1人解对为事件A B ∪A B ， ∴P(A B ∪A B)＝P(A B )＋P(A B) ＝P(A)P(B )＋P(A )P(B) ＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×23＝512.]4．C [可以考虑利用对立事件的概率以及相互独立事件的关系来求． P ＝1－0.4×0.4×0.4＝0.936.]5．A [合格率为(1－a)·(1－b)＝ab －a －b ＋1.] 6.23解析 记事件A ：“用满3 000小时不坏”，P(A)＝34；记事件B ：“用满8 000小时不坏”，P(B)＝12.因为B ⊂A ，所以P(AB)＝P(B)＝12，则P(B|A)＝P(AB)P(A)＝1234＝12×43＝23.7.23解析 一个家庭的两个小孩只有4种可能{两个都是男孩}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}，由题意知，这4个事件是等可能的．设基本条件空间为Ω，A ＝“其中一个是女孩”，B ＝“其中一个是男孩”，则Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝2434＝23.8.23解析 由已知P(A ·B )＝P(A )P(B )＝19①又P(A ·B )＝P(A ·B)，即[1－P(A )]·P(B )＝P(A )[1－P(B )]② 由①②解得P(A )＝P(B )＝13，所以P(A)＝23.9．解 设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝6×5＝30，n(A)＝4×5＝20， 于是P(A)＝n(A)n(Ω)＝2030＝23.(2)因为n(AB)＝4×3＝12， 于是P(AB)＝n(AB)n(Ω)＝1230＝25.(3)方法一 由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝2523＝35.方法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝n(AB)n(A)＝1220＝35.10．解 设甲、乙、丙三人答题及格分别为事件A 、B 、C ， 则P(A)＝810，P(B)＝610，P(C)＝710，设三人各答题一次，只有一人及格为事件D ， 则D 的情况为：A B C 、A B C 、A B C. 所以P(D)＝P(A B C )＋P(A B C )＋P(A B C)＝P(A)P(B )P(C )＋P(A )P(B)P(C )＋P(A )·P(B )P(C)＝810×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－610⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－810×610×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－810⎝ ⎛⎭⎪⎫1－610×710＝47250.11.78解析 记“某地四月份刮东风”为事件A ，“某地四月份下雨”为事件B ， 则P(A)＝830，P(AB)＝730，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝78.12．解 分别记甲、乙两种果树成苗为事件A 1、A 2；分别记甲、乙两种果树苗移栽后成活为事件B 1、B 2，则P(A 1)＝0.6，P(A 2)＝0.5，P(B 1)＝0.7，P(B 2)＝0.9.(1)甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为 P(A 1＋A 2)＝1－P(A 1·A 2)＝1－0.4×0.5＝0.8.(2)分别记甲、乙两种果树培育成苗且移栽成活为事件A 、B ，则P(A)＝P(A 1B 1)＝0.42，P(B)＝P(A 2B 2)＝0.45.恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为P(A B ＋A B)＝0.42×0.55＋0.58×0.45＝0.492.。
北师大版数学选修1-2练习(第1章)条件概率与独立事件(含答案)
条件概率与独立事件 同步练习【选择题】1、一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，第一次取后不放回.则若已知第一只是好的，第二只也是好的概率为（ ）A ．53B ．52C ．95D ．31 2、袋中有2个白球，3个黑球，从中依次取出2个，则取出两个都是白球的概率（ ） A ．53 B ．101 C ．31 D ．52 3、某射手命中目标的概率为P ，则在三次射击中至少有1次未命中目标的概率为 （ ）A ．P 3B ．(1-P)3C ．1-P 3D ．1-(1-P)34、设某种产品分两道独立工序生产，第一道工序的次品率为10%，第二道工序的次品率为3%，生产这种产品只要有一道工序出次品就将生产次品，则该产品的次品率是（ ）．A ．0.873B ．0.13C ．0.127D ．0.035、甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为51，31，41，则此密码能译出的概率是 （ ）A ．601B ．52C ．53 D ．6059 6、一射手对同一目标独立地进行四次射击，已知至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率为 （ ）A ．31 B ．41 C ．32 D ．52 7、n 件产品中含有m 件次品，现逐个进行检查，直至次品全部被查出为止．若第n-1次查出m-1件次品的概率为r ，则第n 次查出最后一件次品的概率为（ ）A ．1B ．r-1C ．rD ．r +18、对同一目标进行三次射击，第一、二、三次射击命中目标的概率分别为0.4，0.5和0.7，则三次射击中恰有一次命中目标的概率是 （ ）A ．0.36B ．0.64C ．0.74D ．0.63【填空题】9、某人把6把钥匙，其中仅有一把钥匙可以打开房门，则前3次试插成功的概率为 __.10、甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是____________________（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是____________________11、2个篮球运动员在罚球时命中概率分别是0.7和0.6，每个投篮3次，则2人都恰好进2球的概率是______________________．12、有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是21，乙能解决的概率是31，两人试图独立地在半小时内解决它．则难题在半小时内得到解决的概率________.【解答题】13、设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.95，0.9．求：（1）在一次射击中，目标被击中的概率；（2）目标恰好被甲击中的概率．14、在如图所示的电路中，开关a ，b ，c 开或关的概率都为21，且相互独立，求灯 亮的概率.15、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：（1）第3次拨号才接通电话；（2）拨号不超过3次而接通电话.参考答案1、C2、B3、C4、C5、C6、C7、A8、A9、21 10、(1) 0.67 (2) 0.60 11、0.191 12、32 13、 解：设甲击中目标事件为A ，乙击中目标为事件B ，根据题意，有P(A)＝0．95，P(B)＝0.9(1) P(A ·B +A ·B +A·B)＝P(A ·B )十P(A ·B)十P(A·B) ＝P(A)·P(B )十P(A )·P(B)十P(A)·P(B)＝0．95×(1—0．9)十(1—0．95)×0．9十0．95×0．90 ＝0．995(2) P(A ·B )＝P(A) ·P(B )＝0．95×(1一0．90)＝0．095．14、解法1：设事件A 、B 、C 分别表示开关a,b,c 关闭，则a,b 同时关合或c 关合时灯亮，即A·B·C ，A·B·C 或A ·B·C，A·B ·C，A ·B ·C 之一发生，又因为它们是互斥的，所以，所求概率为 P=P （A ·B·C ）+P （A ·B·C）+P （A·B ·C）+P （A ·B ·C）+P （A·B·C）=P （A ）·P（B ）·P（C ）+P （A ）·P（B ）·P（C ）+P （A ）·P（B ）·P （C ）+P （A ）·P（B ）·P（C ）+P （A ）·P（B ）·P（C ）=.85)21(53=⨯ 解法2：设A ，B ，C 所表示的事件与解法1相同，若灯不亮，则两条线路都不通，即C 一定开，a ，b 中至少有一个开.而a,b 中至少有一个开的概率是1－P （A ·B ）=1－P （A ）·P（B ）=43， 所以两条线路皆不通的概率为P （C ）·[1－P （A ·B ）]=.834321=⋅ 于是，灯亮的概率为85831=-=P . 15、解：设A i ={第i 次拨号接通电话}，i=1，2，3. （1）第3次才接通电话可表示为321A A A ⋅⋅于是所求概率为;1018198109)(321=⨯⨯=⋅⋅A A A P（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为：A 1+32121 A A A A A ⋅⋅+⋅于是所求概率为P （A 1+32121A A A A A ⋅⋅+⋅）=P(A 1)+P(21A A ⋅)+P(321A A A ⋅⋅)=.103819810991109101=⨯⨯+⨯+。
2019-2020高中北师版数学选修1-2 课时分层作业2 条件概率与独立事件
课时分层作业(二)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是()A．0.56B．0.48C．0.75 D．0.6A[设甲击中为事件A，乙击中为事件B.因为A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.7＝0.56.]2．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是()A.110 B.210C.810 D.910A[某人第一次失败，第二次成功的概率为P＝9×110×9＝110，所以选A.]3．一袋中装有5只白球和3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与A2是()A．相互独立事件B．不相互独立事件C．互斥事件D．对立事件A[由题意可得A2表示“第二次摸到的不是白球”，即A2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与A2是相互独立事件．]4．如图所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性是()A．0.504 B．0.994C ．0.496D ．0.06B [系统可靠即A ，B ，C 3种开关至少有一个能正常工作，则P ＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7) ＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.]5．2018年国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙，丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1个去北京旅游的概率为( )A.5960B.35C.12D.160B [用A ，B ，C 分别表示甲，乙，丙三人去北京旅游这一事件，三人均不去的概率为P (A B C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝23×34×45＝25，故至少有一人去北京旅游的概率为1－25＝35.]二、填空题6．将两枚均匀的骰子各掷一次，已知点数不同，则有一个是6点的概率为________．13 [设掷两枚骰子点数不同记为事件A ，有一个是6点记为事件B .则P (B |A )＝2×530＝13.]7．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．0．98 [设A ＝“两个闹钟至少有一个准时响”， ∴P (A )＝1－P (A )＝1－(1－0.80)×(1－0.90) ＝1－0.2×0.1＝0.98.]8．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．35 [设该队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625，p 2＝925. 又0<p <1，所以p ＝35.] 三、解答题9．有红色、蓝色两颗骰子，设事件A 为“抛红骰子所得点数为偶数”，设事件B 为“抛蓝骰子所得点数大于4”，求在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．[解] 画示意图如图所示，横轴表示抛红骰子所得点数，纵轴表示抛蓝骰子所得点数．∴P (A )＝1836＝12， P (AB )＝636＝16， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1612＝13.则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为13.10．集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．[解] 将甲抽到数字a ，乙抽到数字b ，记作(a ，b )，则所有可能的抽取结果为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共30个．其中甲抽到奇数的情形有15个，在这15个数中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有9个，所以所求概率P ＝915＝35.[能力提升练]1．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于( )A ．2个球都是白球的概率B ．2个球都不是白球的概率C ．2个球不都是白球的概率D ．2个球中恰有1个是白球的概率C [记从甲口袋内摸出1个白球为事件A ，从乙口袋内摸出1个白球为事件B ，则A ，B 是独立事件，于是P (AB )＝P (A )P (B )＝13×12＝16，它表示从甲、乙口袋中摸出来的都是白球，故56为2个球不都是白球的概率．]2．如图所示，已知电路中4个开关闭合的概率都是12且互相独立，灯亮的概率为( )A.316B.34C.1316D.14C [因为灯不亮的概率为12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12 ＝316，所以灯亮的概率为1－316＝1316.]3．某人有5把不同的钥匙，逐把地试开某房门锁，则他恰在第3次打开房门的概率为________．15 [第1次未打开房门的概率为45；第2次未开房门的概率为34；第3次打开房门的概率为13，所求概率为：P ＝45×34×13＝15.]4．如图所示，四边形EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”．则：(1)P (A )＝________； (2)P (B |A )＝________.(1)2π (2)14 [正方形的面积为2，圆的面积为π. (1)∵A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”， ∴P (A )＝2π.(2)∵B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”， ∴P (AB )＝12π， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14.]5．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45，56，23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．[解] (1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为 45×56×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝29， 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－56×23＝445， 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×56×23＝19，∴恰有两个项目成功的概率为 29＋445＋19＝1945.(2)三个项目全部失败的概率为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－56×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝190， ∴至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.。
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课时分层作业(二)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是()
A．0.56B．0.48
C．0.75 D．0.6
A[设甲击中为事件A，乙击中为事件B.
因为A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.7＝0.56.]
2．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是()
A.1
10 B.
2
10
C.8
10 D.
9
10
A[某人第一次失败，第二次成功的概率为P＝9×1
10×9
＝
1
10，所以选A.]
3．一袋中装有5只白球和3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与A2是()
A．相互独立事件B．不相互独立事件
C．互斥事件D．对立事件
A[由题意可得A2表示“第二次摸到的不是白球”，即A2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与A2是相互独立事件．]
4．如图所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性是()
A ．0.504
B ．0.994
C ．0.496
D ．0.06
B [系统可靠即A ，B ，
C 3种开关至少有一个能正常工作，则P ＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]
＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7) ＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.]
5．2018年国庆节放假，甲去北京旅游的概率为1
3，乙，丙去北京旅游的概率分别为14，1
5.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1个去北京旅游的概率为( )
A.5960
B.35
C.12
D.160
B [用A ，B ，
C 分别表示甲，乙，丙三人去北京旅游这一事件，三人均不去的概率为P (A B C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝23×34×45＝2
5，故至少有一人去北京旅游的概率为1－25＝35.]
二、填空题
6．将两枚均匀的骰子各掷一次，已知点数不同，则有一个是6点的概率为________．
1
3 [设掷两枚骰子点数不同记为事件A ，有一个是6点记为事件B .则P (B |A )＝2×530＝13.]
7．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．
0．98 [设A ＝“两个闹钟至少有一个准时响”，
∴P (A )＝1－P (A )
＝1－(1－0.80)×(1－0.90) ＝1－0.2×0.1＝0.98.]
8．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为16
25，则该队员每次罚球的命中率为________．
3
5 [设该队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2
＝1625，p 2
＝925.
又0<p <1，所以p ＝3
5.] 三、解答题
9．有红色、蓝色两颗骰子，设事件A 为“抛红骰子所得点数为偶数”，设事件B 为“抛蓝骰子所得点数大于4”，求在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．
[解] 画示意图如图所示，横轴表示抛红骰子所得点数，纵轴表示抛蓝骰子所得点数．
∴P (A )＝1836＝1
2， P (AB )＝636＝1
6， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1
612
＝1
3
.
则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为1
3.
10．集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取，乙
后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．[解]将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，则所有可能的抽取结果为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共30个．
其中甲抽到奇数的情形有15个，在这15个数中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有9个，
所以所求概率P＝9
15＝3
5.
[能力提升练]
1．从甲口袋内摸出1个白球的概率是1
3，从乙口袋内摸出1个白球的概率是
1
2，
从两个口袋内各摸出1个球，那么5
6等于()
A．2个球都是白球的概率
B．2个球都不是白球的概率
C．2个球不都是白球的概率
D．2个球中恰有1个是白球的概率
C[记从甲口袋内摸出1个白球为事件A，从乙口袋内摸出1个白球为事件B，
则A，B是独立事件，于是P(AB)＝P(A)P(B)＝1
3×1
2
＝1
6，它表示从甲、乙口袋中摸
出来的都是白球，故5
6
为2个球不都是白球的概率．]
2．如图所示，已知电路中4个开关闭合的概率都是1
2且互相独立，灯亮的概
率为()
A.3
16 B.
3
4
C.13
16 D.
1
4
C[因为灯不亮的概率为1
2×
1
2×⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1－
1
2×
1
2
＝3
16，所以灯亮的概率为1－3
16
＝13
16.]
3．某人有5把不同的钥匙，逐把地试开某房门锁，则他恰在第3次打开房门的概率为________．
1
5[第1次未打开房门的概率为4
5
；第2次未开房门的概率为3
4
；第3次打开房
门的概率为1
3，所求概率为：P＝4
5×
3
4×
1
3
＝1
5.]
4．如图所示，四边形EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”．则：
(1)P(A)＝________；
(2)P(B|A)＝________.
(1)2
π(2)
1
4[正方形的面积为2，圆的面积为π.
(1)∵A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，
∴P(A)＝2π.
(2)∵B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，
∴P(AB)＝1
2π，
∴P(B|A)＝P(AB)
P(A)
＝
1
4.]
5．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬
菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为4
5，
5
6，
2
3，且三
个项目是否成功互相独立．
(1)求恰有两个项目成功的概率；
(2)求至少有一个项目成功的概率．
[解] (1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为 45×56×⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－23＝29
， 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 45×⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－56×23＝445
， 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为 ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－45×56×23＝19
， ∴恰有两个项目成功的概率为 29＋445＋19＝1945
. (2)三个项目全部失败的概率为 ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－56×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝190
， ∴至少有一个项目成功的概率为1－
190＝89
90
.。