2015年江西省中考数学试卷(样卷三)

2015年江西省中考数学试卷（样卷三）
一、选择题
1.下列关于“1”的说法中，错误的是（）
A.1的绝对值是1
B.1的倒数是1
C.1的相反数是1
D.1是最小的正整数
2.下列计算结果正确的是（）
A.2x+3y=5xy
B.x⋅4x4=4x4
C.x6÷x2=x3
D.(−xy2)3=−x3y6
3.已知a>b，则下列不等式关系中正确的是（）
A.ac>bc
B.ac2>bc2
C.a−1>b+1
D.a+1>b−1
4.如图，点E在正方形ABCD的边AD上，已知AE=7，CE=13，则阴影部分的面积是（）
A.114
B.124
C.134
D.144
5.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠CAB，已知CD=3，BD=5，则下列结论中错误的是（）
A.AC=6
B.AD=7
C.BC=8
D.AB=10
6.如图，两个正比例函数y=k1x(k1>0)，y=k2x(k2>0)的图象与反比例函数y=1
的图
x
象在第一象限分别相交于A、B两点．已知k1≠k2，OA=OB，则k1k2的值为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
7.某公司2014年的汽车销量达到18.9万辆，2015年的汽车总销售目标为24.3万辆，则该公司2015年的汽车销量将比2014年增加的百分数是________（精确到0.1%）
8.6月5日（世界环境日），某市发布了一份空气质量抽样调查报告．该市1−5月随机调查的30天的空气质量级别列表统计如下：
9.如图，用灰白两色正方形按一定规律组合图案，第10个图案中白色正方形数比黑色正方形数多________．
10.若将多项式x2−mx+6因式分解得(x+3)(x+n)，则m n=________．
11.如图，三个全等的小矩形沿“横一竖一横“排列在一个大的边长分别为12.34，23.45的矩形中，则图中一个小矩形的周长等于________．
12.若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a<b<c，则一次函数y=ax+c的图象不可能经过第________象限．
13.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是________．
14.已知正方形ABCD，在这个正方形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P 到BC的距离是2，点P到CD的距离是4，则点P到DA的距离是________．
三、本大题共4小题，每小题6分，共24分
15.(1)化简：2a
a−9−1
a−3
．15.
(2)利用(1)中的结果解分式方程：2x
x−9−1
x−3
=1
6
．
16.已知α，β是方程x2+2x−3=0的两个实数根，求下列各式的值．
（1）α2+β2；
（2）β2−2α
17.公园里有一座小山供游人健身锻炼，上山台阶的截面如图所示，从山脚至山顶的台阶高度起起伏伏，而宽度除前两个台阶为4.3m外，其余每个台阶宽都为0.3米．
(1)求山脚至山顶的水平距离d（米）与台阶个数n(n≥2)之间的函数关系式（不要求写自变量取值范围）；
(2)若从山脚到山顶的台阶总数为1200个，求山脚到山顶的水平距离d．
18.如图，两个可以自由转动的均匀转盘，A、B都被平均分成了3份，并在每份内标有一个有理数．有如下游戏规则：
①分别转动转盘A与B；
②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）；
(1)用列举法（列表或树状图）写出两个数字之间的所有情况；
(2)比较两个数字之和为正数的概率与两个数字之和为负数的概率的大小．
四、本大题共4小题，每小题8分，共32分
19.如图，已知CD是圆中的弦，B为圆上一点，且BC=BD．
(1)请你在图中利用三角板画出过点B的圆的切线BE，并说明你画图的正确性（不写画法，但保留画图痕迹）；
(2)点A是圆上异于B、C和D的任意一点，连接AB、AC、AD，直接写出∠BAC和∠BAD的数量关系．
20.某中学组织学生到西山万寿宫春游，一部分学生坐大巴过“八一大桥”先走，路程是
44km，5min后，其余学生坐中巴过“英雄大桥”前往，路程是48km，结果他们同时到达．已知中巴车行驶的速度是大巴车行驶速度的1.2倍，求大巴车的速度．
21.某班九年级
(1)班40名学生期中考试的数学成绩（满分：100分）如下：
徐老师按10分的组距分段，算出每个分数段学生成绩出现的频数，填入频数分布表：
49.5∼59.5 59.5∼69.5 69.579.5∼89.5 89.5
正正正正正正
2 9 14 5
(2)请指出中位数在你哪个分数段，并求出中位数；
(3)请你帮徐老师统计一下这次数学考试的及格率（60分以上为及格）；
(4)如果该校九年级学生共有360名学生，估计该校九年级学生期中考试数学成绩的及格人数有多少名．
22.我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站咋地面MN欣赏悬挂在墙壁PM上的油画AD(PM⊥MN)的示意图，设油画AD与墙壁的夹角∠PAD=α，此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E处，且与AD垂直．已知油画的高度AD为100cm．
(1)直接写出视角∠ABD（用含α的式子表示）的度数；
(2)当小然到墙壁PM的距离AB=250cm时，求油画顶部点D到墙壁PM的距离；
(3)当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁PM，还是不动或者远离墙壁PM？
五、本大题共10分
23.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(0, 3)，B(4, 0)两点．
(1)用仅含字母a的式子表达这个二次函数的解析式．
(2)该二次函数的对称轴不可能是（），并对你的选择进行证明．
A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．x=3
(3)以−a代替(1)中二次函数y的解析式中的a，得到二次函数y′的解析式．
①二次函数y′的图象是否也经过A，B两点？请说明理由．
②当x=t(0≤t≤4)时，求|y−y′|的最大值（用仅含字母a的式子表示）．
六、本大题共12分
24.如图1，在边长为2的正方形ABCD中，直角∠MAN的两边AM，AN重叠在正方形的两邻边上，现将直角∠MAN绕顶点A逆时针旋转α度(0<α<90)．
(1)如图2，在旋转过程中，将正方形的中心O到AM、AN的距离分别记为x、y，则下列各式的值是确定的有________（填序号）
①x+y②|x−y|③xy④x2+y2
(2)①如图3，当0<α<45时，AM、AN与BC、CD的延长线分别相交于点E、F，求证：
BE=DF；
②如图4，当45<α<90时，AM、AN与BC、CD的延长线分别相交于点E、F，AM与CD 相交于点P，求△APF与△CPE面积的差．
(3)①如图5，当0<α<45时，AM、AN与直线BD分别相交于点G、H，求证：BG
DH =AG
AH
；
②如图6，当45<α<90时，AM、AN的反向延长线与直线BD分别相交于点G，①中的结论还成立吗？请直接作出判断，不用说明理由．
答案
1. 【答案】C
【解析】根据绝对值、倒数、相反数以及正整数的定义判断即可．
【解答】解：A、1的绝对值是1，正确；
B、1的倒数是1，正确；
C、1的相反数是−1，错误；
D、1是最小的正整数，正确；
故选C
2. 【答案】D
【解析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方的计算法则计算即可．
【解答】解：A、2x+3y=2x+3y，故此选项错误；
B、x⋅4x4=4x5，故此选项错误；
C、x6÷x2=x4，故此选项错误；
D、(−xy2)3=−x3y6，故此选项正确；
故选D．
3. 【答案】D
【解析】利用不等式的性质即可得出结论．
【解答】解：A．∵a>b，∴当c≤0时，ac≤bc，∴此选项错误；
B．∵当c=0时，ac2=bc2，∴此选项错误；
C．∵a>b，a−1>b+1不一定成立，∴此选项错误；
D．∵a>b，由不等式的性质1可知，a+1>b+1，∴a+1>b−1，∴此选项正确；
故选D．
4. 【答案】A
【解析】由正方形的性质得出∠D=90∘，AB=BC=AD，设AB=BC=AD=x，则
DE=x−7，根据勾股定理得出CD2+DE2=CE2，得出方程x2+(x−7)2=132，解方程求出BC=AB=12，即可得出阴影部分的面积=1
2
(AE+BC)⋅AB．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90∘，AB=BC=AD，
设AB=BC=AD=x，
则DE=x−7，
∵CD2+DE2=CE2，
∴x2+(x−7)2=132，
解得：x=12，或x=−5（不合题意，舍去），∴BC=AB=12，
∴阴影部分的面积=1
2(AE+BC)⋅AB=1
2
×(7+12)×12=114；
故选：A．
5. 【答案】B
【解析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可知CD=DE=3，由勾股定理求出BE的长，再由相似三角形的判定定理得出△BED∽△BCA，故可得出AC及AB的长，在Rt△ACD中，根据勾股定理求出AD的长即可．
【解答】
解：∵CD=3，BD=5，
∴BC=CD+BD=3+5=8，故C正确；
过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠CAB，
∴CD=DE=3．
在Rt△BDE中，
∵BD=5，DE=3，
∴BE= BD2−DE2=52−32=4．
∵∠B=∠B，∠DEB=∠C，
∴△BED∽△BCA，
∴BD AB =DE
AC
=BE
BC
，即5
AB
=3
AC
=4
8
，解得AB=10，AC=6，故A，D正确；
在Rt△ACD中，
∵AC=6，CD=3，
∴AD= AC2+CD2=62+32=35，故B错误．
故选B．
6. 【答案】A
【解析】联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出1
k1
+k1=
1 k2+k2，两边平分得1
k1
+k1=1
k2
+k2，整理后得(k1−k2)(k1k2−1)=0，根据k1≠k2，
则k1k2−1=0，即可求得．
【解答】解：∵正比例函数y=k1x(k1>0)与反比例函数y=1
x
的图象在第一象限相交于A，
∴k1x=1
x ，解得x=1
k1
（因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）
将x=1
k1
带入y=k1x得y=k1，
故A点的坐标为(1
k1, k1)同理则B点坐标为(1
k2
, k2)，
又∵OA=OB，
∴1
k1+k1=1
k2
+k2，两边平分得1
k1
+k1=1
k2
+k2，
整理后得(k1−k2)(k1k2−1)=0，
∵k1≠k2，
所以k1k2−1=0，即k1k2=1．
故选A．
7. 【答案】28.6%
【解析】根据题意列出算式求解即可．
【解答】解：该公司2015年的汽车销量将比2014年增加的百分数是(24.3−18.9)÷18.9≈28.6%．
故答案为：28.6%．
8. 【答案】良
【解析】用样本估计总体，要取最有代表性的，即天数最多的良．
【解答】解：∵在随机调查的30天的空气质量级别中“良”的天数最多，
∴该市一年空气质量的主要级别是良，
故答案为：良．
9. 【答案】10
【解析】观察图形，找出规律第n个图案中，白色瓷砖是3n+2，黑色瓷砖是2n+2求解．【解答】解：观察图形发现：
第1个图案中有白色瓷砖5块，黑色瓷砖4块，
第2个图案中白色瓷砖多了3块，黑色瓷砖多2块
依此类推，
第n个图案中，白色瓷砖是5+3(n−1)=3n+2，黑色瓷砖是4+2(n−1)=2n+2．
故第10个图案中白色正方形数比黑色正方形数多32−22=10．
故答案为：10．
10. 【答案】25
【解析】因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m
与n的值，即可确定出原式的值．
【解答】解：x2−mx+6=(x+3)(x+n)=x2+(n+3)x+3n，
可得−m=n+3，3n=6，
解得：m=−5，n=2，
则原式=25．
故答案为：25．
11. 【答案】23.86
【解析】由图形可看出：小矩形的2个长+一个宽=12.34，小矩形的2个宽+一个长=23.45，设出长和宽，列出方程组即可得答案．
【解答】解：设小矩形的长为xm，宽为ym，由题意得：
2x+y12.34
x+2y23.45，
解得：x+y=11.93．
一个小矩形的周长为：11.93×2=23.86，
故答案为：23.86．
12. 【答案】三
【解析】根据实数a、b、c满足a+b+c=0，且a<b<c，确定a、c的取值范围，然后
确定答案．
【解答】解：∵实数a、b、c满足a+b+c=0，且a<b<c，
∴a<0，c>0，
∴一次函数y=ax+c的图象经过第一、二、四象限，不可能经过第三象限．
故答案为：三．
13. 【答案】−2
【解析】设正方形的对角线OA长为2m，根据正方形的性质则可得出B、C坐标，代入二次
函数y=ax2+c中，即可求出a和c，从而求积．
【解答】解：设正方形的对角线OA长为2m，
则B(−m, m)，C(m, m)，A(0, 2m)；
把A，C的坐标代入解析式可得：
c=2m①，am2+c=m②，
①代入②得：m2a+2m=m，解得：a=−1
，
m
⋅2m=−2．
则ac=−1
m
14. 【答案】1或3或5或7
【解析】利用两平行直线之间的距离可作作11 // AB，l2 // AB，且11和l2到AB的距离为1，作13 // BC，l4 // BC，且13和l4到BC的距离为2，如图，讨论：若P1F=4，则HF=4+
1=5，所以MQ=AB=BC=HF=5，于是得到P1M=MQ−P1Q=3；同理可得
P3M=7；若P2F=4，则HF=3，所以EN=AB=BC=HF=3，则P2E=EN−P2N=
3−2=1；同理可得P4E=5．
【解答】
解：如图，作11 // AB，l2 // AB，且11和l2到AB的距离为1，作13 // BC，l4 // BC，且13
和l4到BC的距离为2，4条直线相交于P1，P2，P3，P4，
若12到CD的距离为4，则P1F=4，
∵P1H=1，P1Q=2，
∴HF=4+1=5，
∵四边形ABCD为正方形，
∴MQ=AB=BC=HF=5，
∴P1M=MQ−P1Q=5−2=3；
同理可得P3M=7，
若11到CD的距离为4，则P2F=4，
∵P2H=1，P1N=2，
∴HF=4−1=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴EN=AB=BC=HF=3，
∴P2E=EN−P2N=3−2=1；
同理可得P4E=5，
综上所述，点P到DA的距离为1或3或5或7．故答案为1或3或5或7．
15. 【答案】解：(1)原式=2a−(a+3)
(a+3)(a−3)=a−3
(a+3)(a−3)
=1
a+3
；; (2)根据(1)化简分式方程得：
1 x+3=1
6
，
去分母得：x+3=6，
解得：x=3，
经检验x=3是增根，分式方程无解．
【解析】(1)原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；; (2)根据(1)的结果化简所求方程，求出解即可．
【解答】解：(1)原式=2a−(a+3)
(a+3)(a−3)=a−3
(a+3)(a−3)
=1
a+3
；; (2)根据(1)化简分式方程得：
1 x+3=1
6
，
去分母得：x+3=6，
解得：x=3，
经检验x=3是增根，分式方程无解．
16. 【答案】解：∵α，β是方程x2+2x−3=0的两个实数根，
∴α+β=−2，αβ=−3，(1)原式=(α+β)2−2αβ=4+6=10；; (2)原式=3−2β−2α=3−2(α+β)=3−2×(−2)=7．
【解析】(1)根据根与系数的关系求得α+β=−2，αβ=−3，则将所求的代数式变形为(α+β)2−2αβ，将其整体代入即可求值；; (2)首先用3−2β代换β2，即β2−2α=3−2β−2α，于是得到解答．
【解答】解：∵α，β是方程x2+2x−3=0的两个实数根，
∴α+β=−2，αβ=−3，(1)原式=(α+β)2−2αβ=4+6=10；; (2)原式=3−2β−2α=3−2(α+β)=3−2×(−2)=7．
17. 【答案】解：(1)依题意得
d=4.3×2+0.3×(n−2)，
即d=0.3n+8；; (2)当n=1200时，d=0.3×1200+8=368（米），
故山脚到山顶的水平距离是368米．
【解析】(1)根据山脚至山顶的水平距离d等于n级台阶的宽度之和，列式可得：d=4.3×2+0.3×(n−2)；; (2)将n=1200代入(1)中所求的式子，即可求出d的值
【解答】解：(1)依题意得
d=4.3×2+0.3×(n−2)，
即d=0.3n+8；; (2)当n=1200时，d=0.3×1200+8=368（米），故山脚到山顶的水平距离是368米．
18. 【答案】解：(1)列表得：
; (2)∵P（数字之和为正数）=5
9，P（数字之和为负数）=4
9
，
∴P（数字之和为正数）>P（数字之和为负数）．
【解析】(1)列表将所有等可能的结果列举出来即可；; (2)根据列表里有概率公式直接求概率即可．
【解答】解：(1)列表得：
; (2)∵P（数字之和为正数）=5
9，P（数字之和为负数）=4
9
，
∴P（数字之和为正数）>P（数字之和为负数）．
19. 【答案】
解：(1)如图1，用三角板画BH⊥CD于H，再过B点画BE⊥BH，则BE为所求；理由为：∵BC=BD，
而BH⊥CD，
∴CH=DH，
即BH垂直平分CD，
∴BH过圆的圆心，
∵BE⊥BH，
∴BE为圆的切线；; (2)当点A在CD上，如图2，∵BC=BD，
∴∠BAC=∠BAD；
当点A在BC上，如图3，连结BD，
∵BC=BD，
∴∠BAD=∠BDC，
∵∠BAC+∠BDC=180∘
∴∠BAC+∠BAD=180∘；
当点A在BD上，同理可得∠BAC+∠BAD=180∘，
综上所述，∠BAC和∠BAD的数量关系为相等或互补．
【解析】(1)如图1，用三角板画BH⊥CD于H，再过B点画BE⊥BH，由于BC=BD，根据
垂径定理的推理得CH=DH，则BH垂直平分CD，所以BH过圆的圆心，则根据切线的判定定理可得BE为圆的切线；; (2)分类讨论：当点A在CD上，如图2，根据圆周角定理易得
∠BAC=∠BAD；当点A在BC上，如图3，连结BD，先利用圆周角定理得到∠BAD=∠BDC，根据圆内接四边形的性质得∠BAC+∠BDC=180∘，则∠BAC+∠BAD=180∘，当点A在BD 上，同理可得∠BAC+∠BAD=180∘，所以∠BAC与∠BAD相等或互补．
【解答】
解：(1)如图1，用三角板画BH⊥CD于H，再过B点画BE⊥BH，则BE为所求；理由为：
∵BC=BD，
而BH⊥CD，
∴CH=DH，
即BH垂直平分CD，
∴BH过圆的圆心，
∵BE⊥BH，
∴BE为圆的切线；; (2)当点A在CD上，如图2，∵BC=BD，
∴∠BAC=∠BAD；
当点A在BC上，如图3，连结BD，
∵BC=BD，
∴∠BAD=∠BDC，
∵∠BAC+∠BDC=180∘
∴∠BAC+∠BAD=180∘；
当点A在BD上，同理可得∠BAC+∠BAD=180∘，
综上所述，∠BAC和∠BAD的数量关系为相等或互补．
20. 【答案】大巴车的速度是48千米/时．
【解析】设大巴车的速度是x千米/时，根据题意可得，中巴车行驶速度是大巴车行驶速度的1.2倍，据此列方程求解．
【解答】解：设大巴车的速度是x千米/时，
由题意得：44
x −48
1.2x
=1
12
，
解得：x=48，
经检验：x=48是原分式方程的解，且符合题意．
49.5∼59.5 59.5∼69.5 69.579.5∼89.5 89.5
正正正正正正频数 2 9 10 14 5
；; (2)中位数在69.5∼79.5的分数段，
中位数是1
2(79+78)=78.5（分）；; (3)这次数学考试的及格率是：40−2
40
×100%=95%；;
(4)及格人数是360×95%=342（分）．
【解析】(1)根据统计表即可直接解答；; (2)根据中位数的定义即可求解；; (3)求得及格的人数所占的百分比即可；; (4)利用总人数360乘以对应的百分比即可求解．
【解答】解：(1)如图所示：
49.5∼59.5 59.5∼69.5 69.579.5∼89.5 89.5
正正正正正正
2 9 10 14 5
；; (2)中位数在69.5∼79.5的分数段，
中位数是1
2(79+78)=78.5（分）；; (3)这次数学考试的及格率是：40−2
40
×100%=95%；;
(4)及格人数是360×95%=342（分）．
22. 【答案】
解：(1)连接BD，
∵∠CAD+∠BAD=90∘，∠BAD+∠ABE=90∘，
∴∠CAD=∠ABE，
∵AE=DE，BE⊥AD，
∴∠ABE=∠DBE，
∴∠ABD=2α；; (2)如图，过点D作DC⊥PM交PM于点C，解法一：
在Rt△ACD中，
∵sin∠CAD=CD
AD =sinα=AE
AB
=50
250
=1
5
，
∴CD=1
5AD=1
5
×100=20(cm)，
解法二：
∵∠CAD=∠ABE=α，∠ACD=∠AEB=90∘，∴△ACD∽△BEA，
∴CD AE =AD
AB
，
∴CD 50=100
250
，
∴CD=20(cm)，
∴镜框顶部到墙壁的距离CD是20cm；; (3)当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角
逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，
他应该远离墙壁PM．
【解析】(1)利用线段垂直平分线的性质得出AB=BD，则∠ABE=∠DBE，进而得出答案；; (2)可根据sin∠CAD=CD
AD
直接求出CD的值；利用△ACD∽△BEA，根据相似三角形的对应边成比例解答；; (3)利用(1)可知视角变小，则需要远离墙壁．进而得出答案．
【解答】
解：(1)连接BD，
∵∠CAD+∠BAD=90∘，∠BAD+∠ABE=90∘，
∴∠CAD=∠ABE，
∵AE=DE，BE⊥AD，
∴∠ABE=∠DBE，
∴∠ABD=2α；; (2)如图，过点D作DC⊥PM交PM于点C，
解法一：
在Rt△ACD中，
∵sin∠CAD=CD
AD =sinα=AE
AB
=50
250
=1
5
，
∴CD=1
5AD=1
5
×100=20(cm)，
解法二：
∵∠CAD=∠ABE=α，∠ACD=∠AEB=90∘，∴△ACD∽△BEA，
∴CD AE =AD
AB
，
∴CD 50=100
250
，
∴CD=20(cm)，
∴镜框顶部到墙壁的距离CD是20cm；; (3)当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，
他应该远离墙壁PM．
23. 【答案】解：(1)将A(0, 3)，B(4, 0)分别代入解析式得
c=3
16a+4b+c=0，
解得b=−4a−3
4
c=3
，
故函数解析式为y=ax2−(4a+3
4)x+3；; (2)对称轴为x=−−(4a+34)
2a
=2+3
8a
≠2，
故选C．; (3)①y′=−ax2+bx+c，
由(1)可得y′=−ax2−(−4a+3
4
)x+3，
将x=0代入解析式得，y′=3，故A(0, 3)在抛物线上；
将x=4代入解析式得，y′=−16a+16a−3+3=0，故B(4, 0)在抛物线上．
②|y−y′|=|ax2−(4a+3
4)x+3−[−ax2−(−4a+3
4
)x+3]| =|2ax2−8ax+6|
=|2a(x2−4x+4−4)+6|
=|2a(x−2)2−8a+6|
即|y−y′|=|2a(t−2)2−8a+6|，
故|y−y′|最大值为|−8a+6|．
【解析】(1)利用待定系数法即可求得；; (2)根据对称轴公式求得对称轴，即可判断；; (3)①以−a代替(1)中二次函数y的解析式中的a，得到二次函数y′的解析式，然后把A、B 两点代入即可验证；
②解|y−y′|得到②|y−y′|=|2a(x−2)2−8a+6|，当x=t时，|y−y′|=|2a(t−2)2−8a+6|，所以当t=2时，有最大值|−8a+6|．
【解答】解：(1)将A(0, 3)，B(4, 0)分别代入解析式得
c=3
16a+4b+c=0，
解得b=−4a−3
4
c=3
，
故函数解析式为y=ax2−(4a+3
4)x+3；; (2)对称轴为x=−−(4a+34)
2a
=2+3
8a
≠2，
故选C．; (3)①y′=−ax2+bx+c，
由(1)可得y′=−ax2−(−4a+3
4
)x+3，
将x=0代入解析式得，y′=3，故A(0, 3)在抛物线上；
将x=4代入解析式得，y′=−16a+16a−3+3=0，故B(4, 0)在抛物线上．
②|y−y′|=|ax2−(4a+3
4)x+3−[−ax2−(−4a+3
4
)x+3]| =|2ax2−8ax+6|
=|2a(x2−4x+4−4)+6|
=|2a(x−2)2−8a+6|
即|y−y′|=|2a(t−2)2−8a+6|，
故|y−y′|最大值为|−8a+6|．
24. 【答案】④；; (2)①∵∠BAE=90∘−∠DAM=∠DAF，∴在△ABE与△ADF中，
∠BAE=∠DAF
AB=AD
∠ABE=∠ADF=90∘
，
∴△ABE≅△ADF(ASA)，
∴BE=DF；
②同①可证：BE=DF，连接AC，如图2：
S△APF−S△CPE=S△ACF−S△ACE=1
2CF⋅AD−1
2
CE⋅AB=CF−CE=CD+DF−(BE−
BC)=CD+BC=4；; (3)①将△ABG绕点A逆时针旋转90∘至△ADQ，如图3：
∵AB=AD，
∴∠ABG=∠ADQ=45∘，
∴∠QDH=90∘=∠GAH，
∴△QDH∽△GAH，
∴QD DH =AG
AH
，
∵BG=QD，
∴BG DH =AG
AH
；
②当45<α<90时，AM、AN的反向延长线与直线BD分别相交于点G，H，①中的结论还成立，理由如下：
将△ABH绕点A逆时针旋转90∘至△ADQ，如图4：
∵AB=AD，
∴∠ABG=∠ADQ=45∘，∴∠QDH=90∘=∠GAH，∴△QDH∽△GAH，
∴QD DH =AG
AH
，
∵BG=QD，
∴BG DH =AG
AH
．
【解析】(1)利用勾股定理和正方形的性质得出x2+y2=2即可；; (2)①利用全等三角形的判定和性质证明△ABE与△ADF全等，即可得到BE=DF；
②利用①的结论和三角形面积的关系进行证明即可；; (3)①将△ABG绕点A逆时针旋转90∘至△ADQ，证明△QDH与△GAH相似，进而证明即可；
②利用①中结论得出即可．
【解答】解：(1)在图中作出正方形的中心O到AM、AN的距离分别记为x、y，如图1：
在Rt△AOH中，OA2=x2+y2，
即可得：x2+y2=(22
2
)2=2，
; (2)①∵∠BAE=90∘−∠DAM=∠DAF，
∴在△ABE与△ADF中，
∠BAE=∠DAF
AB=AD
∠ABE=∠ADF=90∘
，
∴△ABE≅△ADF(ASA)，
∴BE=DF；
②同①可证：BE=DF，连接AC，如图2：
S△APF−S△CPE=S△ACF−S△ACE=1
2CF⋅AD−1
2
CE⋅AB=CF−CE=CD+DF−(BE−
BC)=CD+BC=4；; (3)①将△ABG绕点A逆时针旋转90∘至△ADQ，如图3：
∵AB=AD，
∴∠ABG=∠ADQ=45∘，
∴∠QDH=90∘=∠GAH，
∴△QDH∽△GAH，
∴QD DH =AG
AH
，
∵BG=QD，
∴BG DH =AG
AH
；
②当45<α<90时，AM、AN的反向延长线与直线BD分别相交于点G，H，①中的结论还成立，理由如下：
将△ABH绕点A逆时针旋转90∘至△ADQ，如图4：
∵AB=AD，
∴∠ABG=∠ADQ=45∘，
∴∠QDH=90∘=∠GAH，
∴△QDH∽△GAH，
∴QD DH =AG
AH
，
∵BG=QD，
∴BG DH =AG
AH
．。