广东省实验中学2015届高三第一次阶段考试数学(理) Word版含答案

广东实验中学2015届高三阶段考试（一）

理 科 数 学

一．选择题(5*8=40分)

1．设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 2

16

＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1 2． 22log sin

log cos

12

12π

π

+的值为（ ）

A .-2

B .–l C. 1

2

D .1

3．已知x ，y ∈R ，则“1x y +=”是“1

4

xy ≤

”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知函数cos21

()sin 2x f x x

-=

，则有（ ）

A ．函数()f x 的图像关于直线2

x π

=对称 B ．函数()f x 的图像关关于点(,0)2

π

对称

C ．函数()f x 的最小正周期为2

π

D ．函数()f x 在区间(0,)π内单调递减

5．已知0

11b a > B. 11()()22a b < C. 22(lg )(lg )a b < D. 11

lg lg a b

>

6．已知函数 2

()2cos f x x x =+，若 '()f x 是 ()f x 的导函数，则函数 '()f x 在原点附

近的图象大致是（ ）

A B C D

7.已知函数213

,1

()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式2

3()4f x m m ≤-恒成立，

则实数m 的取值范围是（ ） 1

1

1.(,]

.(,][1,).[1,)

.[,1]444

A B C D -∞--∞-+∞+∞-

A

B C D

P M

E O 1

O 2 8．已知关于x 的方程

cos x

k x

=在(0,)+∞有且仅有两根，记为,()αβαβ<，则下列的四个命题正确的是（ ）

A ．2

sin 22cos ααα= B ．2

cos 22sin ααα= C ．2sin 22sin βββ=- D ．2cos22sin βββ=-

二．填空题（6*5=30分）

（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。 9.已知4

8

23,log ,23

x

y x y ==+则的值为______________. 10．如图是函数5cos(26y x π

=-在一个周期内的图象，则阴影

部分的面积是__________. 11．若(0,

)2

π

α∈，则

22sin 2sin 4cos α

αα

+的最大值为 ．

12.已知函数()sin ()f x x x x R =+∈，且22

(23)(41)0f y y f x x -++-+≤，则当y l

≥时，

1

y

x +的取值范围是_______________. 13.

已知5

2

x ⎛ ⎝

的展开式中的常数项为T ，()f x 是以T 为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实

数k 的取值范围是 ．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，倾斜角为

4

π

的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα

=+⎧⎨

=+⎩：，（α为参数）交于A 、B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________.

15．（几何证明选讲选做题）已知⊙O 1和⊙O 2交于点C 和D ，⊙O 1上的点P 处的切线交⊙O 2于A 、B 点，交直线CD 于点E ，M 是⊙O 2上的一点，若PE=2，EA=1，45AMB ∠=，那么⊙O 2的半径为 .

三.解答或证明题

16．（12

分）已知函数2

1

()cos cos ,2

f x x x x x R =--∈． (Ⅰ) 求函数)(x f 的最小值和最小正周期；

(Ⅱ) 已知ABC ∆内角A B

C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C ==，若向量(1,sin )m A =与(2,sin )n B =共线，求a b 、的值．

17．(13分)

一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的。 (Ⅰ)从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；

(Ⅱ)一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”(每次操作完成后将球放回)，某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望。

18．（13分）

如图1，AD 是直角△ABC 斜边上的高，沿AD 把△ABC 的两部分折成直二面角 （如图2），D

F A C ⊥于F .

（Ⅰ）证明：BF AC ⊥；

（Ⅱ）设DCF θ∠=，AB 与平面BDF 所成的角为α，二面角B FA D --的大小为β，试用tan ,

cos θβ表示tan α；

（Ⅲ）设AB AC =，E 为AB 的中点，在线段DC 上是否存在一点P ，使得DE ∥平面

PBF ? 若存在，求

DP

PC

的值；若不存在，请说明理由．

图2

B

C

A

D

F E

P

D 图1

A

C B