[高考数学]2020届22三角恒等变换理80.doc

整理得 sin( α ＋β )cos( α－ β ) ＝ 3cos( α ＋β )sin( α － β ) ，
两边同时除以 cos( α ＋ β)cos( α －β ) ，得 tan( α ＋ β ) ＝ 3tan( α － β) ，故选 A.
法二：因为 sin 2 α ＝ 2sin 2 β ，
所以
1 ①＋②得 cos αcos β ＝4.
1 ②－①得 sin αsin β ＝12.
sin α sin β 1
所以 tan
α tan
β ＝ cos
α cos
β
＝
.] 3
43
11
7．已知 sin α ＝ 7 ， cos( α ＋ β ) ＝－ 14，若 α ， β 是锐角，则 β ＝ ________.
A． tan( α ＋ β ) ＝ 3tan( α－ β )
B． tan( α ＋ β ) ＝ 2tan( α－ β )
C． 3tan( α ＋ β) ＝ tan( α－ β )
D． 3tan( α ＋ β) ＝ 2tan( α － β ) A [ 法一：因为 2α ＝ ( α ＋ β ) ＋ ( α － β ) ，2β＝ ( α ＋ β) － ( α －β ) ，sin 2α ＝2sin 2β，
1－ 即 1＋
tan2 tan2
α1 α ＝ 3，∴
tan
2
α
＝
1
.]
2
π
π
1
2． (2019 ·湖北模拟 ) 已知 α ∈ 0， 2 ， cos 6 ＋ α ＝ 3，则 sin α 的值等于 (
)
2 2－ 3 A. 6
2 2＋ 3 B. 6
2 6－1 C. 6
2 6－1 DHale Waihona Puke Baidu－ 6
C
[ 由题可知
sin
)
sin α ＋ 4
2 A．－ 3
2 B.
3
1
1
C．－ 3
D. 3
1
1
cos 2 α
A [ 因 为 sin α ＝ 3 ＋ cos α ， 即 sin α － cos α ＝ 3 ， 所 以
π＝
sin α ＋ 4
cos2 α －sin2 α
sin
αcos
π 4
＋cos
α sin
π 4
1
＝
α － sin α
所以 sin[( α ＋ β) ＋ ( α －β )] ＝ 2sin[( α ＋β ) － ( α－ β )] ， 展开， 可得 sin( α ＋ β )cos( α － β ) ＋ cos( α＋ β )sin( α － β) ＝ 2[sin( α ＋ β )cos( α － β)
－ cos( α ＋ β )sin( α － β)] ，
课后限时集训 ( 二十二 ) 三角恒等变换
( 建议用时： 60 分钟 )
A 组 基础达标
一、选择题
1． (2018 ·南宁二模
) 已知
cos 2
1 α＝ 3，则
tan
2
α
＝
(
)
2
A. 3
B．2
3
1
C. 4
D. 2
D
[
∵cos 2
α
＝
cos
2
α
－
sin
2α ＝ 1，
3
cos2 α－ sin2 α 1 ∴ cos2 α ＋sin2 α＝ 3，
D．a＞ c＞ b
D [ ∵ a＝cos 50 °cos 127 °＋ sin 50 °sin 127 °＝
13°，
2 b＝ 2 (sin 56 °－ cos 56 ° ) ， c ＝ cos(127 °－ 50° ) ＝ cos 77 °＝ sin
2 b＝ 2 (sin 56 °－ cos 56 ° ) ＝ sin(56 °－ 45° ) ＝ sin 11 °，
π 6
＋
α
＝
1－ cos2
π 6
＋α
22 ＝ 3 ，则 sin
α ＝－ cos
π 6＋α
＋
π 3
＝
sin
π＋α 6
sin
π 3
－
cos
π＋α 6
cos
π 3
＝
2
3
2 ×
3112 2 － 3× 2＝
6－ 1 6 ，故选 C.]
3．已知 α ， β 均为锐角，且 sin 2 α ＝ 2sin 2 β ，则 ( )
所以
β＝
π 3
.]
π 8． (2019 ·长春质检 ) 函数 f ( x) ＝ sin x＋ 3 ＋ sin x 的最大值为 ________．
3
[ 函数 f ( x) ＝ sin
x
＋
π 3
＋ sin
x
1
3
＝
sin 2
x＋ 2 cos x＋ sin
x
3
3
＝ 2sin x＋ 2 cos x
＝
3
3 sin x
2
1
＋
cos 2
x
π ＝ 3sin x＋ 6 ≤ 3.
故最大值为 3.] 三、解答题 9． (2018 ·浙江高考 ) 已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终
π
43
11
3 [sin α ＝ 7 ， cos( α ＋ β ) ＝－ 14， α， β 是锐角，
1
53
则 cos α ＝ 7， sin( α ＋ β) ＝ 14 ，
1 所以 cos β ＝ cos[( α ＋ β) － α ] ＝cos( α ＋β )cos α ＋ sin( α＋ β )sin α ＝ 2，
1 2 ＝1 2
α＋β ＝ α－β
α＋β α＋β
α－β α－β
α ＋ sin 2 β α－ sin 2 β
3sin 2 ＝ sin 2
β β
＝
3，即
tan(
α ＋ β ) ＝ 3tan(
α － β) ，故选
A.]
4．已知 sin
1 α ＝3＋ cos
α ，且
α∈
0，
π 2
，则
cos 2 α π 的值为 (
1
1
6．已知 cos( α ＋β ) ＝ 6，cos( α －β ) ＝ 3，则 tan αtan β 的值为 ________．
1
1
3 [ 因为 cos( α＋ β ) ＝ 6，
1 所以 cos α cos β － sin α sin β＝ 6①
1 因为 cos( α － β) ＝ 3，
1 所以 cos α cos β ＋ sin α sin β＝ 3②
1－tan239 ° cos239°－ sin239 ° c＝ 1＋tan239 ° ＝ sin239 °＋ cos239° ＝ cos 78 °＝ sin 12 °，
又 sin
x在
0，
π 2
上单调递增，
∴ sin 11 °＜ sin 12 °＜ sin 13 °
即 b＜ c＜ a，故选 D.]
二、填空题
α ＋ sin α
－3 ＝ ＝－
2 ，故选 A.]
2
2
3
2
α ＋ cos α
2
5．设 a＝cos 50 °cos 127 °＋ cos 40 °sin 127 °，
1－tan239 °
1＋tan239 ° ，则 a， b， c 的大小关系是 (
)
A． a＞b＞ c
B．b＞ a＞ c
C． c＞a＞ b