山东省淄博市张店区第六中学高二数学下学期期末考试试题 理

2013级高二下学期学分认定模块考试（理科数学）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题纸和答题卡的相应位置处。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

3．非选择题答案必须写在答题纸相应位置处，不按要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡和答题纸一并收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1．已知i 是虚数单位，若(13)z i i +=，则z 的虚部为 （ ）A.110B.110-C.10iD.10i -2．()=++++++++=+531055443322105,)21a a a a x a x a x a x a x a a x 则若（A ．122 B.123 C.243 D. 244 3．下列说法不正确的是 （ ）A.若“p 且q ”为假，则p ，q 至少有一个是假命题B.命题“2,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∀∈--≥”C..当0α<时，幂函数()0,y x α=+∞在上单调递减D ．“2πϕ=”是“()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的充要条件4．某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下22⨯列联表：则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为( )A.90%B.95%C.99%D.99.9% 附：参考公式和临界值表5=（ ）A. 2πB. πC.2π D. 4π 6. 老张身高176cm ，他爷爷、父亲、儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm ，因儿子的身高与父亲的身高有关，用回归分析的方法得到的回归方程为ΛΛ+=a x y ，则预计老张的孙子的身高为（ ）cmA .182 B.183 C.184 D. 185 7.函数()21x f x e-=（e 是自然对数的底数）的部分图象大致是（ ）8．1名老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法共有( )A ．450种B ．460种C ．480种D ．500种9．622a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项是15，右图阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a x +=及轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）A.146π- B.146π+C.4πD. 1610.在()1,+∞上的函数()f x 满足：①()()2f x cf x =（c 为正常数）；②当24x ≤≤时，()()()213.f x x f x =--若图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上.则c=（ ）A.1或12B. 122或C.1或3D.1或2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩()2~100,X N a （0a >，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的35，则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有___________人.12. 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离____ ____. 13. 若函数24()1xf x x =+在区间(21)m m +，上是单调递增函数，则实数m 的取值 范围是 _______.14对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”3331373152,39,4, (5171119)⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩ 仿此，若3m 的“分裂”数中有一个是73，则m 的值为 .15. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是___________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关 三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，边a,b,c 的对角分别为A,B,C ；且4,3b A π==，面积S =.（I ）求a 的值；（II ）设()()2c o s s i n c o s c o sf x C x A x=-，将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）得到()g x 的图象，求()g x 的单调增区间.17. （本小题满分12分）直三棱柱111A B C A B C -中，11A A A B A C ===，E ，F 分别是1,C C B C的中点，11AE A B D ⊥，为棱11A B 上的点.（I ）证明：DF AE ⊥；（II ）已知存在一点D ，使得平面DEF 与 平面ABCD 的位置.18. （本小题满分12分） 某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分别为45，34，23，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分.（I ）求ξ的分布列和数学期望；（II ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.19. （本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)()n S n n n N *=+∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足：3122331313131nn n b b b ba =++++++++，求数列{}n b 的通项公式； （3）令()4n nn a b c n N *=∈，求数列{}n c 的 n 项和n T 。

20. （本小题满分13分）已知椭圆C ：12222=+by a x (a>b>0)的短轴长为2，离心率为22，椭圆C 与直线:l y kx m =+相交于E 、F 两不同点，且直线l 与圆222:3O x y +=相切于点W (O 为坐标原点).（Ⅰ）求椭圆C 的方程并证明：OE OF ⊥； （Ⅱ）设EW FWλ=，求实数λ的取值范围.21. （本小题满分14分）已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=. （Ⅰ）当2=a 时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （Ⅱ）设函数xax f x h ++=1)()(，求函数()h x 的单调区间； （Ⅲ）若xax g +-=1)(，在)71828.2](,1[ =e e 上存在一点0x ，使得)()(00x g x f ≤成立，求a 的取值范围.2013级高二下学期学分认定考试答案（理科数学）一、1 Ａ 2 B 3. D 4．C 5.C 6.D 7 .Ｃ 8. C 9. A 10. D二、10m -<≤ 14 9 . 15. _②④____三、16.解：（Ⅰ）在ABC ∆中 A bc S sin 21=2=∴ca === ………… 6分（Ⅱ）∵4,sin 1,sin sin sin a b B A B B==∴= 又∵0B π<<∴2B π= 6C π=∴(()2cos sin cos cos )2sin()6f x C x A x x π=-=-， (8)分将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到()2sin(2)6g x x π=-， 所以()g x 的单调增区间为222,262k x k πππππ-≤-≤+…………10分即,()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈ ,()g x 的单调区间为,,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦…………12分 17（Ⅰ）证明：11AE A B ⊥ ，11A B ∥AB , AB AE ∴⊥, 又1AB AA ⊥,1x1AE AA A ⋂=,AB ∴⊥面11A ACC ， 又AC ⊂面11A ACC AB AC ∴⊥,以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz -, 则()0,0,0A ,10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)B , 设(),,D x y z ，111AD AB λ= ,且[0,1]λ∈,即：()(),,11,0,0x y z λ-=,(),0,1D λ∴ ,11,,122DF λ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭, 10,1,2AE ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,∴11022DF AE =-=, DF AE ∴⊥. ………6分 （Ⅱ）设面DEF 的法向量为 (),,n x y z = ， 则 00n FE n DF ⎧=⎨=⎩，111,,222FE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 11,,122DF λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，111022211022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪∴⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩， 即： ()()3211221x z y z λλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩， 令()21z λ=-,()()3,12,21n λλ∴=+- . 由题可知面ABC 的法向量()0,0,1m = , …9分平面DEF 与平面ABC 所成锐二面的余弦值为14. ()14cos ,14m nm n m n ∴==, 14=, 12λ∴=或74λ=. 又[0,1]λ∈,∴74λ=舍去. ∴ 点D 为11A B 中点. ………12分18解：（Ⅰ）由题意知，ξ的所有可能取值为0，10，20，30．………1111(=0)5436041113111293(=10)=54354354360204314121322613(=20)=5435435436030432242(=30)==.5543605P P P P ξξξξ=⨯⨯==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⋯⋯⋯⋯，，，分ξ的分布列为：…………6分1313213301020+30.60203056E ξ∴=⨯+⨯+⨯⨯=（）…………7分 ()()()()()3223.319==9460128031381=C =1144201280909+=+==.121280128P P P P P ⎛⎫⨯⋯⋯⋯⋯ ⎪⎝⎭⎛⎫⨯⨯⋯⋯⋯⋯ ⎪⎝⎭⋯⋯⋯⋯（Ⅱ）用A 表示“甲得30分乙得0分”，用B 表示“甲得20分乙得10分”，且A,B 互斥又A ， 分B ，分甲、乙两人得分总和为30分且甲获胜的概率为A B A B 分19. 解：（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n(n ＋1)－(n －1)n ＝2n ，a 1＝2满足该式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n…………3分（2）()1221313131nnn b b b a n =+++≥+++，① 11212131313131n n n n n b b b b a +++=++++++++ ②②－①得，111231n n n n b a a +++=-=+，得b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)， 又当n=1时，b 1=8，所以b n ＝2(3n＋1)(n∈N *)．…………………………7分（3）4n n n a b c =＝n(3n＋1)＝n·3n＋n ，…………………8分∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n)， 令H n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，① 则3H n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n ＋1②，① －②得，－2H n ＝3＋32＋33＋ (3)－n×3n ＋1＝3(31)31n --－n×3n ＋1∴1(21)334n n n H +-⨯+=， ……………………………………….10分∴数列{c n }的前n 项和．1(21)3(1)3424n n n n n H +-⨯+=++.……12分20. 解：（Ⅰ）由：2b=2,22=a c ，222c b a +=得1,222==b a 12C 22=+∴y x ：椭圆 (3)分因为直线l 与圆O 相切，所以圆2223x y +=的圆心到直线l的距离d ==从而222(1)3m k =+ ………5分 由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得：222(12)4220k x kmx m +++-=，设11(,)E x y ，22(,)F x y 则122412km x x k +=-+，21222212m x x k-=+ …4分所以12121212()()OE OF x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++2222222121222222222224(1)()(1)12123222(1)2201212m k m k x x km x x m k m k km k k k k k --=++++=+++++--+--===++所以OE OF ⊥ …………8分（Ⅱ）直线l 与圆O 相切于W ，222212121,1,22x x y y +=+=∴EWFWλ====……9分由（Ⅰ）知12120x x y y +=，∴1212x x y y =-，即22221212x x y y=，从而22221212(1)(1)22x x x x =--，即2212214223x x x -=+ (11)分∴21234x λ+== (12)分，因为1x ≤≤，所以1[,2]2λ∈ …13分21. 解：（Ⅰ）当2=a 时，x x x f ln 2)(-=，1)1(=f ，切点)1,1(，xx f 21)('-=∴，121)1('-=-==∴f k ， ……3分∴曲线)(x f 在点()1,1处的切线方程为：)1(1--=-x y ，即20x y +-=. ……4分（Ⅱ）1()ln ah x x a x x+=-+，定义域为),0(+∞， 2222')]1()[1()1(11)(x a x x x a ax x x a x a x h +-+=+--=+--=……5分①当01>+a ，即1->a 时，令0)('>x h ，a x x +>∴>1,0 令)('<x h ，a x x +<<∴>10,0 ……6分②当1≤+a ，即1-≤a 时，)('>x h 恒成立， ……7分综上：当1->a 时，)(x h 在)1,0(+a 上单调递减，在),1(+∞+a 上单调递增． 当1-≤a 时，)(x h 在),0(+∞上单调递增． ……8分（Ⅲ）由题意，在],1[e 上存在一点0x ，使得)()(00x g x f ≤成立，即在],1[e 上存在一点0x ，使0)(0≤x h ， 即函数1()ln ah x x a x x+=-+在],1[e 上的最小值0)]([min ≤x h ．… ……9分由第（Ⅱ）问，①当e a ≥+1，即1-≥e a 时，)(x h 在],1[e 上单调递减，1)()]([min≤-++==∴a eae e h x h ，112-+≥∴e e a ，1112->-+e e e，112-+≥∴e e a ；…10分②当11≤+a ，即0≤a 时，)(x h 在],1[e 上单调递增，11)1()]([min ≤++==∴a h x h ，2-≤∴a ……１２分③当e a <+<11，即10-<<e a 时，0)1ln(2)1()]([min ≤+-+=+=∴a a a a h x h1)1ln(0<+<a ，a a a <+<∴)1ln(0，2)1(>+∴a h此时不存在x 使)(0≤x h 成立． ……1３分 综上可得所求a的范围是：112-+≥e e a 或2-≤a ． ……1４分。