直线与圆培优讲义
直线与圆讲义(学生版)(1)
学习笔记第一部分知识笔记直线与圆1.知识梳理1直线方程1．已知直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0(A 1，B 1不同时为零)，直线l 2：A 2x +B 2y +C 2=0(A 2，B 2不同时为零)，则l 1∥l 2⇔A 1B 2-A 2B 1=0，且A 1C 2-A 2C 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.2.点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax +By +C =0(A ，B 不同时为零)的距离d =|Ax 0+By 0+C |A 2+B 2.3.两条平行直线l 1：Ax +By +C 1=0，l 2：Ax +By +C 2=0(A ，B 不同时为零)间的距离d =|C 1-C 2|A 2+B 2.2圆的定义在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆3圆的标准方程设圆心的坐标C a ，b ，半径为r ，则圆的标准方程为：x -a 2+y -b 2=r24圆的一般方程圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，圆心坐标：(-D 2，-E2)，半径：r =12D 2+E 2-4F 注意：①对于D 、E 、F 的取值要求：D 2+E 2-4F >0当D 2+E 2-4F =0时，方程只有实数解x =-D 2，y =-E 2．它表示一个点(-D 2，-E2)当D 2+E 2-4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．②二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0，表示圆的充要条件是A =C ≠0B =0D 2+E 2-4AF >05以两点为直径的圆以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x -x 1)⋅(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=06阿波罗尼斯圆设A ，B 为平面上相异两定点，且|AB |=2a (a >0)，P 为平面上异于A ，B 一动点且学习笔记|PA||PB|=λ(λ>0且λ≠1)则P点轨迹为圆.7直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离d，圆的半径为r，则位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d=|Aa+Bb+C|A2+B2d<r d=r d>r代数法：由Ax+By+C=0，(x-a)2+(y-b)2=r2，消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ=b2−4acΔ>0Δ=0Δ<08直线与圆相交的弦长问题1.几何法：设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则有关系式:|AB|=2r2−d2。
直线与圆-讲义(教师版)
直线与圆学习目标（１）直线与方程①理解直线的倾斜角和斜率的概念并掌握过两点的直线斜率的计算公式．②掌握直线的五种形式并能够判断两直线的位置关系．③掌握平面内两点间的距离公式、点到线的距离公式和两条平行线间的距离公式．（２）圆与方程①掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置 关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．考试数据注：模考数据来自于2021年搜集自济南、南京、苏州、广州、深圳、重庆、武汉七所分校的35套优质试卷．知识模块考点新高考卷模考频次（频率）直线与圆直线与方程山东&海南2020-9,1522(62.9%)圆与方程16(45.7%)一、直线与方程1. 直线的倾斜角与斜率（一）直线的倾斜角定义：轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．我们规定，与轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．倾斜角的取值范围是．（二）直线的斜率斜率的绝对值越大，反映直线相对于轴越陡；反之，越小，反映直线相对于轴越缓．除去垂直于轴的直线外，只要知道直线上两个不同点的坐标，由就可以算出这条直线的斜率．特别的，方程的图象是通过点且斜率为的直线．（三）斜率与倾斜角的关系：，．①当时，直线平行于轴或与轴重合．②当时，直线的倾斜角为锐角；值越大，直线的倾斜角也随着增大．③当时，直线的倾斜角为钝角；值越大，直线的倾斜角也随着增大． 特别的：垂直于轴的直线的倾斜角等于，此时直线斜率不存在．经典例题A. B.C. D.1.如图所示，直线的斜率分别为，则（）．【答案】D【解析】首先有，其次，，∴有．【标注】【知识点】斜率计算【备注】直线相对于轴越陡，斜率的绝对值越大．A.B.C.D.2.直线的倾斜角的取值范围是（）．【备注】1.学生容易混淆直线方程当中的参数和直线的倾斜角．【答案】D【解析】直线的斜率，∵，∴．当时，倾斜角的取值范围是，当时，倾斜角的取值范围是，综上，倾斜角的取值范围是．故选．【标注】【知识点】直线的一般式方程；斜率随倾斜角的变化规律2.引导学生按照①确定的范围②做出正切函数的图象③有进而确定倾斜角的范围这三步进行答题．3.另外，的图象和特殊角三角函数值学生容易遗忘，需要强调．A.B.C.D.3.已知，，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（）．【答案】D【解析】将点，代入直线的方程，可知点，均不在直线上，设，则，又，且，所以点的轨迹为线段，【备注】关注到，因此题意等价于直线和线段有交点．已知点，直线．直线与线段有交点时有，直线与线段无交点时有．因为线段的方程为，即，，联立方程组 ，解得，直线的斜率为，设的倾斜角为，则，因为，所以，即，，解得．故选．【标注】【知识点】斜率随倾斜角的变化规律；斜率计算；直线的一般式方程巩固练习A.B.C.D.4.已知直线经过点和，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）．【答案】B 【解析】因为直线的斜率是，所以直线的倾斜角的取值范围是或．故选．【标注】【知识点】倾斜角计算【素养】数学运算5.直线，的倾斜角的取值范围是 ．【答案】【解析】∵直线的斜率，，∴，∴倾斜角．【标注】【知识点】倾斜角计算A.B.C.D.6.若直线经过点，且在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是( )【答案】D【解析】解：在平面直角坐标系中画出点，，，过点，作直线，过点，作直线，如图所示，则直线在轴上的截距为，直线在轴上的截距为．因为，，所以直线的斜率的取值范围为．故选：D ．【标注】【知识点】斜率计算2. 直线的方程名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式是直线上一定点，是斜率不垂直于轴斜截式是斜率，是直线在轴上的截距不垂直于轴两点式是直线上两定点不垂直于轴和轴截距式是直线在轴上的非零截距，是直线在轴上的非零截距不垂直于轴和轴，且不过原点一般式（）任意位置的直线经典例题A. B.C. D.7.已知，，则过的中点且倾斜角为的直线方程是（）．【答案】C【解析】设中点，∴，，倾斜角为，∴，∴方程为，故选．【标注】【素养】数学运算【知识点】求直线的方程【备注】，（为倾斜角），特殊角的三角函数值可以带着学生复习一遍．A.B.C.D.8.经过两点、的直线在轴上的截距为（ ）．【答案】A 【解析】，，时，．故选．【标注】【知识点】直线的两点式方程【备注】向学生强调直线当中的截距可正可负可为零．得到直线方程后，令即可得到直线在轴上的截距，令即可得到直线在轴上的截距.巩固练习A.B.C.D.9.斜率为，且在轴上的截距为的直线方程为（ ）．【答案】B【解析】由题意，直线方程为，整理即为．【标注】【知识点】直线的点斜式方程3. 两条直线的位置关系直线方程；；重合平行相交垂直与平行的直线与垂直的直线经典例题10.已知直线：，：，若与平行，求．【答案】．【解析】∵，∴且，∴或且且，∴当时，．【标注】【知识点】判定两条直线的位置关系；直线的平行【备注】若两直线；平行，则．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.设，则“”是“直线与直线垂直”的（）．【答案】A【备注】若两直线；垂直，则.【解析】∵，∴，，∴，∴，，当时，，当时，，∴，∴“”是“直线直线”的充分不必要条件．【标注】【知识点】充要条件与解析几何结合巩固练习A. B.或C.或D.12.已知直线，若，则的值是（）．【答案】C【解析】由题意有，解得或，经检验，均符合题意．故选．【标注】【知识点】直线的平行13.直线经过与的交点，且与垂直，则直线的方程为．【答案】【解析】联解，得，所以直线和交于点，∵直线经过点，且与垂直，∴直线的斜率为，得的方程为，化简整理，得，故答案为：．【标注】【知识点】直线的点斜式方程4. 距离公式（一）两点之间的距离公式已知，，则．（二）点到直线的距离公式点到直线：的距离（三）平行线之间的距离公式：，：之间的距离为，则．（或者转化为直线上一点到另一直线的距离）经典例题A. B. C. D.14.点到直线的距离为（）．【答案】A【解析】由点到直线的距离公式可得：．【标注】【知识点】点到直线的距离公式【备注】已知点和直线，则点到直线的距离：.A. B.C. D.15.两直线与平行，则它们之间的距离为（）．【答案】D【解析】∵直线与平行，∴，解得．因此，两条直线分别为与即与．∴两条直线之间的距离为【备注】求两平行线的距离间的距离时，一定要保证两条直线的系数一样，然后再代入公式，这是学生的易错点．．【标注】【知识点】直线的平行；两平行直线之间的距离A. B. C. D.16.设直线：与直线：的交点为，则到直线：的距离最大值为( )【答案】A【解析】解：联立，解得，故，直线的方程可整理为，故直线过定点，因为到直线的距离，当且仅当直线时等号成立，故，故选．【标注】【知识点】利用距离的几何意义求最值【备注】关注到直线恒过定点．点到过定点的直线的距离的最大值为，此时．17.是分别经过两点的两条平行直线，当间的距离最大时，直线的方程是．【答案】【解析】当两条平行直线与两点连线垂直时两条平行直线的距离最大．因为，所以，所以两平行线的斜率为，所以直线的方程是，即．故答案为．【备注】时，之间的距离最大，显然最大距离为.【标注】【知识点】根据直线的位置关系求直线的方程巩固练习A. B.C.D.18.若直线与平行，则与间的距离为（ ）．【答案】B 【解析】，（舍），．故选．【标注】【知识点】两平行直线之间的距离【思想】方程思想【素养】数学运算A.B. C. D.19.若三条直线，，相交于同一点，则点（，）到原点的距离的最小值为（ ）．【答案】A 【解析】联立，解得，．把（，）代入可得：．∴．∴点（，）到原点的距离，当，时，取等号．∴点（，）到原点的距离的最小值为．故选．【标注】【素养】数学运算【知识点】两直线交点坐标；点到直线的距离公式A.B.C.D.20.若，分别为直线与上任意一点，则的最小值为（ ）．【答案】C 【解析】因为，所以两直线平行，将直线化为，由题意可知的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以的最小值为．故选．【标注】【知识点】两平行直线之间的距离5. 对称问题（一）中点坐标问题已知，，则中点坐标为：，．（二）求点关于直线的对称点设，，设关于的对称点的坐标，则是的垂直平分线，即且的中点在上，解方程组可得点坐标．（三）直线关于点的对称直线方法一：求一条直线关于点的对称直线方程时可在该直线上取某个两个特殊点，再求它们关于点的对称点坐标，然后利用两点式求其直线方程；方法二：（一般性方法）可设所求的直线上任一点坐标为，再求它关于的对称点坐标，而它的对称点在已知直线上，将其代入已知直线方程，便可得到关于的方程，即为所求的直线方程．（四）直线关于直线的对称直线此类问题一般转化为关于直线的对称问题来解决，若已知直线与对称轴相交，则交点必在与对称的直线上，然后在求出上任一个已知点关于对称轴对称的点，那么经过交点及点的直线就是；若已知直线与对称轴平行，则与对称的直线和到直线的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出的对称直线．经典例题A.， B.，C.，D.，21.若点和点关于直线对称，则（ ）．【答案】D【备注】若点关于直线 的对称点，则根据，且线段的中点在直线上，即可列出两个方程求出点坐标．【解析】由，解得．故选．【标注】【素养】逻辑推理；数学运算【知识点】点关于直线的对称点A. B.C.D.22.已知点，，在轴上找一点，使得最大，则点坐标为（ ）．【答案】D【解析】作点关于轴的对称点，连接并延长与轴的交点即为所求．直线的斜率为，直线的方程为．当时，，所以点．【标注】【知识点】利用距离的几何意义求最值【备注】点是定点，点在直线运动，当在直线两侧时，有最小值，此时点为线段与的交点；当在直线同侧时，有最大值，此时点为延长线与的交点．此题中要求差最大，因此要通过对称，把定点转换到定直线的同侧．23.的顶点坐标分别为，，，则角的平分线所在的直线方程为 ．【答案】【解析】设的平分线与交于点，则，【备注】本题事实上就是求的对称直线，还可以按照如下方法求解：相交于点，则求解的对称直线时，可先根据夹角公式：求出直线的斜率，再根据直线经过点，即可求出直线的方程．此题注意舍去一个解．所以，，所以，所求直线方程为，即．【标注】【知识点】直线的点斜式方程A.B. C. D.24.设入射线光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是（）．【答案】A【解析】联立，得．故交点为．设反射直线斜率为，则有，得．故反射直线为，即．故选．【标注】【素养】数学运算；数学抽象【知识点】反射问题【备注】直线关于的对称直线为.巩固练习25.如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知，直线的方程为，点关于直线的对称点为，关于的对称点为，则光线所经过的路程为．故选．【标注】【知识点】点或直线的对称问题；直线的垂直；两点间距离公式26.已知点，点，点是直线上动点，当的值最小时，点的坐标是．【答案】【解析】连结与直线交于点，则当点移动到点位置时，的值最小．直线的方程为，即．解方程组，得．于是当的值最小时，点的坐标为．【标注】【知识点】直线的两点式方程；直线方程的五种形式的联系和使用范围的区别；两直线交点坐标27.已知直线，直线．若直线关于直线的对称直线为，则直线的方程是．【答案】【解析】由题意知，直线和平行，可知直线的斜率为．分别在直线和上任取一点和，则点关于点对称的点在直线上，故直线的方程为．【标注】【知识点】直线关于直线的对称直线28.直线关于点对称的直线方程为．【答案】【解析】设直线与直线，关于点对称，∴，∴方程可设为，，则有点到和距离相等，即，解得或（舍去），∴方程为．【标注】【知识点】直线关于点的对称直线6. 直线系定义：具有某一个共同性质的直线称为直线系，它的方程称为直线系方程．（一）平行直线系①斜率为（常数）：（为参数）②平行于已知直线（是不全为零的常数）的直线系：（）（二）垂直直线系①与斜率（）的直线垂直的直线系：（为参数）②垂直于已知直线（是不全为零的常数）的直线系：（为参数）（三）过定点的直线系①以斜率作为参数的直线系：，直线过定点；，直线过定点，其中过定点且与轴重合的直线不在直线系内．②过两条直线：，：的交点的直线系：（为参数），其中直线不在直线系内．经典例题A.B.C.D.29.过点且垂直于直线的直线方程为（ ）．【答案】A【解析】根据题意，易得直线的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为，又知其过点，由点斜式得所求直线方程为．【标注】【知识点】根据直线的位置关系求直线的方程【备注】与直线垂直的直线可直接设为.30.若直线经过点且与直线平行，则直线的方程为 ．【答案】【解析】方法一：方法二：设直线的斜率为，因为与直线平行，所以．又经过点，所以所求直线的方程为，即．与直线平行的直线方程可设为（），因为点在这条直线上，所以，即．故所求直线的方程为．【标注】【知识点】根据直线的位置关系求直线的方程；直线的平行【素养】逻辑推理；数学运算【备注】与直线平行的直线可直接设为．A. B.C. D.无法确定31.对于任意实数直线必经过的定点坐标是（ ）．【答案】A【解析】解：直线化为：令，解得，．直线恒过定点．故选：．【标注】【知识点】直线的一般式方程；直线过定点问题，【备注】求含参直线方程的恒过点坐标时有两种方法：一是重新整理原式，合并含参项并让参数系数为即可求出恒过定点坐标．二是对参数赋两个不同的值进而得到两条不同的直线，两条直线的交点即为所求恒过点坐标.，巩固练习32.已知，，若直线与直线互相垂直，则的最大值等于．【答案】【解析】方法一：直线，变形为，斜率为，∵，，直线，变形为，由直线与直线垂直，则，即，由基本不等式得，则（当且仅当，时等号成立），方法二：∴的最大值为．法向量之积为，即，∴，即（当且仅当，时等号成立），∴的最大值为．【标注】【知识点】直线的垂直；判定两条直线的位置关系；利用基本不等式求最值；基本不等式的概念33.已知直线，，若，则直线恒过定点 ；若，则实数．【答案】 ; 或【解析】当时，，即直线恒过定点，当时，两直线方程分别为，和，则两直线不平行，不满足条件，当时，若，则等价为，由得，得或，故答案为：；或．【标注】【知识点】直线的平行二、圆与方程1. 圆与方程（一）圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的方程：， 圆心在原点的圆的标准方程：．（二） 圆的一般方程：，（），此时，圆心为，半径为．对于圆的一般方程，我们需要注意：（1）和项的系数相等且都不为零；（2）没有这样的二次项；（3）表示以为圆心，为半径的圆；（4）当时，方程①只有实根，，方程①表示一个点；（5）当时，方程①没有实根，因而它不表示任何图形．（三）圆的直径式：以为直径的圆的方程为 ，其中圆心为 ，半径 .（四）圆的参数方程圆心为 ，半径为 .转化为标准方程为．经典例题34.已知圆经过点，，且圆心坐标为，则圆的标准方程为．【答案】【解析】圆心到两个点的距离相等且等于半径，即，解得，即圆心为，半径为，所以圆的方程为：．【标注】【知识点】圆的标准方程问题【备注】根据圆心到两个点的距离相等且等于半径即可求解．A.B.C.D.35.已知点,，则以为直径的圆的方程是（）.【答案】C【解析】易知圆的圆心为线段的中点，【备注】可根据圆方程的直径式进行求解，然后再整理为标准式即可．半径,∴圆的方程为．【标注】【知识点】圆的标准方程问题巩固练习A. B.C. D.36.已知两点，，以线段为直径的圆的方程是（）．【答案】D【解析】由题可知，圆心为线段的中点，半径为，所以圆的方程为．故选D．【标注】【知识点】圆的标准方程问题【素养】数学运算A.B.C.D.37.方程表示的曲线是圆，则的取值范围是（）．【答案】D【解析】若方程表示的曲线是圆，则，化简得，解得，故选．【标注】【知识点】圆的方程的判定三、点、线、圆与圆位置关系1. 判断点与圆的位置关系的方法 （一）圆的标准方程，圆心，半径①若点在圆上，则；②若点在圆外，则；③若点在圆内，则．反之，也成立． （二）圆的一般方程为，①若点在圆上，则；②若点在圆外，则；③若点在圆内，则．反之，也成立．事实上，将圆的方程为关于的二元二次方程且最高次项系数为正，，点在圆外（点在圆上和点在圆内）．＝＞＜（三）点与圆的位置关系应用之最值：已知点，是圆：上一个动点，设．若，则点在圆内，此时的最大值为，最小值为；若，则点在圆上，此时的最大值为，最小值为；若，则点在圆外，此时的最大值为，最小值为．经典例题A. B. C. D.38.已知半径为的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为( )【答案】A【解析】解：由半径为的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图所示．由，得，即圆心到原点的距离的最小值是，故选：A．【标注】【知识点】点与圆的位置关系问题A. B.C.D.39.已知点在圆的外部，则的取值范围是（ ）．【答案】D 【解析】将点的坐标代入圆方程左边，有，∴，∴或．故选D ．【标注】【知识点】点与圆的位置关系问题巩固练习A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆外D.无法判断40.已知圆以点为圆心，半径等于，则点与圆的位置关系是（ ）．【答案】B【解析】由题意可知，圆，∴把点代入圆，则，故点在圆上．故选．【标注】【知识点】点与圆的位置关系问题41.已知点，，，若点在以为直径的圆外，则的取值范围是 ．【答案】或【解析】∵为直线，∴，∴半径为，中点，∵在以为直径的圆外，∴，∴，∴，∴，∴或，∴或．故答案为：或．【标注】【知识点】点与圆的位置关系问题2. 直线与圆的位置关系（一）直线与圆的三种位置关系位置关系几何方法圆心到直线的距离为，圆的半径为.代数方法将直线方程代入圆方程得到相离相切相交（二）直线和圆相交的弦长问题（1）几何法（垂径定理）：结合弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算．（2）代数法（弦长公式）：结合韦达定理利用弦长公式．特别注意：①计算圆的弦长时通常情况下采用几何法．②弦长的最值问题：过圆内一定点的弦长最大值为直径，最短弦为垂直于过该点的直径的线段.③设直线时注意直线斜率不存在情况！（三）圆的切线问题（1） 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径．切线的几何性质为：圆心与切线的连线垂直于切线．（2）过圆上一点的切线方程为：.（备注：或者利用圆心和切点的连线垂直于切线从而求解切线斜率）（3） 过圆外一点可作两条切线：设切线斜率，用圆心到直线的距离等于半径求解，但一定要注意斜率不存在的情况．无论使用哪种方法，结果一定是两条直线．（4） 切线长：在经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段叫做这点到圆的切线长．切线最小问题：当直线与圆相离时，过直线上的动点向圆作切线，求切线长的最小值可利用直线与圆相切构成的直角三角形，将切线长最小问题转化为圆心到直线上的点距离最小问题，结合图形可知圆心到直线上的点距离最小值为圆心到直线的距离．经典例题A.相离B.相切C.相交D.不确定42.若圆心在的圆与轴相切，则该圆与直线3的位置关系是（）．【答案】B【备注】根据圆心到直线的距离与半径的关系进行求解．【解析】该圆为，圆心到直线的距离，故相切．故选．【标注】【知识点】圆的切线的相关问题A. B.C. D.43.已知圆截直线所得弦的长度小于，则实数的取值范围为（）．【答案】D【解析】由圆，得，圆心为，半径为，则，即，圆心到直线的距离为，∵弦的长度小于，∴，解得，∴，故选．【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题【备注】直线与圆相交时，等式非常重要．本题根据题目要求将等式转化为不等式即可求解．学生的一个易错点是忽略圆方程成立得到的的范围．44.已知点为直线上一点，且位于第一象限，点，以为直径的圆与交于点（异于），若，则点的横坐标的取值范围为．【备注】由直径所对圆周角为，可得，进而可求，又 即可求解．【答案】【解析】设点的坐标为，，则，如图所示，过点作轴，由面积相等可得：，即，所以，所以在直角三角形中，，因为，所以，即化简可得，即，所以或（舍去），所以实数的取值范围为，故答案为：．【标注】【知识点】设点法解决直线与圆的相关问题45.过点与圆所引的切线方程为．【备注】先判断点与圆的位置关系可得到点在圆外．过圆外一点做圆的切线，可以做两条．一般求法（一般不用代数法）：设切线方程为根据求解，注意：此时如果有两个解，那么这两个解即为所求切线方程斜率；此时如果只有一个解，则【答案】，【解析】点在圆外，当切线的斜率不存在时，易知切线的方程为，符合题意；当切线的斜率存在时，可设过点的切线方程为，圆心到切线的距离等于半径，可得，解得，从而切线为．【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；直线的点斜式方程；斜率计算必为另外一个切线．A. B.C. D.46.过抛物线上一点作圆的切线，切点为，，则当四边形的面积最小时，点的坐标是（）．【答案】C【解析】设点，，令，，则当时，，所以，此时点坐标为．故选．【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；抛物线与圆结合；面积问题；直接求函数的最值（不含参）【备注】此题本质是求切线长最小，又，故最小时，切线长最小.巩固练习A.与相交B.与相切C.与相离D.与的位置关系不确定47.已知直线过点，圆：，则( )【解析】解：圆：即，圆心与点的距离，小于半径，故点在圆的内部，故与的位置关系是相交，故选：A．【标注】【知识点】直线与圆的位置判断A.B.C.D.48.若圆上至少有三个不同的点到直线：的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是（）．【答案】B【解析】圆整理为，∴圆心坐标为，半径为，要求圆上至少有三个不同的点到直线：的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，∴，∴，∴，又直线的斜率为，∴，直线的倾斜角的取值范围是，故选．【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题【素养】数学运算49.已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则．【解析】解：由题意知，，圆心到直线的距离，，，直线的倾斜角为．过，分别作的垂线与轴交于，两点，．故答案为：．【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题A.B.C.D.50.已知圆，从点观察点，要使视线不被圆挡住，则的取值范围是( )【答案】D【解析】解：设过点与圆相切的直线为，则，解得，切线方程为，如图，由点向圆引条切线，只要点在切线之外，那么就不会被遮挡，在直线上，在中，取，得，从点观察点，要使视线不被圆挡住，需，或．的取值范围是．故选：D．。
走进重高培优讲义专题集训 初中综合教练 第19讲 直线与圆的位置关系
第19讲 直线与圆的位置关系1．了解直线和圆的三种位置关系，了解圆的切线的概念，掌握直线与圆相切的判定及性质，会判断一条直线是否为圆的切线，会过圆上的点画圆的切线，会切线性质的简单应用．2．理解两圆相切的概念，掌握两圆相切的性质及应用，了解两圆的位置关系及其判定，会进行涉及两圆位置关系的简单计算，掌握两圆连心线垂直平分公共弦这一性质．3．和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形，三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，三角形的内心是三角形的三个内角平分线的交点，它到三角形的三边距离相等，学会作一个三角形的内切圆，会进行有关三角形内切圆的计算和论证．1．直线与圆的位置关系中出现的问题，具有较高的综合性，因此在分析和解决问题时，需要较强的空间想象能力和逻辑推理能力，充分注意挖掘题中的基本图形，化繁为简．2．圆中常见的辅助线：遇到直径，一般要引直径所对的圆周角；遇到切线，一般要引过切点的半径；遇到两圆相切，一般要引两圆的公切线（内公切线或外公切线）；遇到两圆相交，一般要引两圆的公共弦或连心线．3．掌握直角三角形内切圆半径的两种表示形式： ⋅-+=2)1(c b a r(2)[ab r Rt ABC a b c =∆++的各边长分别为a ，b ，c （斜边）]．例1 如图，⊙0是以数轴原点0为圆心、半径为1的圆，=∠AOB ,45 点P 在x 轴上运动，过点P 且与OB平行的直线与⊙O 有公共点，则OP 的取值范围是____．【方法归纳】 直线与圆有三种位置关系：相交、相切与相离，当圆心到直线的距离d<r(r 为圆半径)时，直线与圆相交；当d=r 时，直线与圆相切；当d>r 时，直线与圆相离．【误区提醒】本题考查直线与圆的位置关系．解答本题的关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP 的值．例2 如图1，已知CD 是△.ABC 中AB 边上的高，以CD 为直径的⊙0分别交CA ，CB 于点E ，F ，G 是AD 的中点．求证：GE 是⊙0的切线，图1【方法归纳】切线的判定有两种情况：(1)直线与圆的公共点已知，常连接过这一点的半径，证明直线垂直于这条半径．(2)直线与圆的公共点未知，常过圆心作直线的垂线段，然后证明这条垂线段等于圆的半径．切线的性质：①切线与圆只有一个公共点；②切线到圆的距离等于半径；③切线垂直于经过切点的半径，【误区提醒】切线的判定与性质容易混淆，在解题时要注意条件，例3 如图1，已知△ABC 内接于⊙0，AB 是⊙0的直径，点F 在⊙0上，且C 是BF 的中点，过点C 作⊙0的切线交AB 的延长线于点D ，交AF 的延长线于点E.(1)求证：.DE AE ⊥(2)若,4,60==∠AF BAF求CE 的长，图1【方法归纳】本题考查切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，本题同时也考查圆周角定理．【误区提醒】利用切线的性质通常是连切点与圆心得到与切线垂直的半径，但要注意这是已知切点的情况，若切点未知，往往是先作与切线垂直的半径，得到切点，例4 阅读材料：如图1，△ABC的周长为L，内切圆⊙0的半径为r，连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形，S△ABC表示△ABC的面积．图1 图2【方法归纳】 本题是近几年中考中的热点问题——阅读理解问题，这类问题往往由三部分组成，分别是“理解与应用”“类比与推理”“拓展与延伸”，在解题时要充分理解题意，找出题中的关键语句，也可带着问题去看题目，要充分注意题目中的思想方法．【误区提醒】三角形的内切圆这部分知识涉及切线长定理、方程思想，在解题过程中要注意合理运用，例5 如图1，在△ABC 中，AB = AC ，以AB 为直径的⊙0交BC 边于点D ，交AC 边于点E.过点D 作⊙0的切线，交AC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，连接DE.(1)求证：BD=CD.(2)若,40=∠G 求∠AED 的度数．(3)若,2,6==CF BG 求⊙0的半径．图1【方法归纳】本题考查切线的性质、圆内接四边形的性质、相似三角形的性质和判定、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，能综合运用知识点进行推理是解题的关键，【误区提醒】圆的相关问题通常都是转化为三角形问题解决，直角三角形的勾股定理、相似三角形的比例关系都是常用的等量关系，方程思想是常用的思想方法，解题时要认真分析题意、研究图形，得到正确的数量关系，例【黔南州】如图1，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于点A，交x轴于点B，C（点B在点C的左侧），已知点A的坐标为(O，3)．(1)求此抛物线的表达式．(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，切点为E，请判断抛物线的对称轴Z与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．(3)已知P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时点P的坐标和△PAC的最大面积，图1【方法归纳】本题涉及的知识点较多，要求学生全面掌握基础知识、熟练运用常用的知识和方法．从难度上看，本题难度并不高，因此区分度也不高；从题目的形式上看，本题属于经典的压轴题，立意明确、中规中矩，针对性很强，但是缺乏变化和新意．1．如图，,30o O =∠C 为OB 上一点，且6,oc =以点C 为圆心、3为半径的圆与OA 的位置关系是( )．A ．相离B ．相交 C.相切 D ．以上三种情况均有可能2．【深圳】如图，一把直尺、有一角为 60的直角三角板和光盘按如图摆放，A 为 60角与直尺的交点，AB=3，则光盘的直径是 ( )．3.A 33.B 6.C 36.D3．如图，AB 是⊙0的直径，C 是AB 延长线上一点，CE OB BC ,=是⊙0的切线，切点为D ，过点A 作,CE AE ⊥ 垂足为E ，则DE CD :的值是( )．21.A 1.B2.C3.D4．【泰安】如图，圆内接四边形ABCD 的边AB 过圆心0，过点C 的切线与边AD 所在的直线垂直于点M ．若,55 =∠ABC 则∠ACD 等于( )．o A 20. 35.B 40.C 55.D5．已知BC AC ⊥于点,,,,c AB b CA a BC C ===下列各图中⊙0的半径为ba ab +的是( )．6．已知,90 =∠BAC 半径为r(r 为常数)的⊙0与两条直角边AB ，AC 都相切，设),(r a a AB >=BE 与⊙0相切于点E ，当150=∠ABE 时，BE 的长为( )． r A 23. r B 33. r C 215.- r D )32.(-7．【安徽】如图，菱形ABOC 的边AB ，AC 分别与⊙0相切于点D ，E ．若D 是AB 的中点，则∠DOE =_________.（第7题） （第8题）8．【宁波】如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连接PM ，以点P 为圆心、PM 长为半径作⊙P.当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时,BP 的长为_________.9．如图，P AB AC AB DB AB CA ,6,2,,==⊥⊥为射线BD 上一动点，以CP 为直径作⊙0，点P 运动时，若⊙0与线段AB 有公共点，则BP 的最大值为_________．（第9题） （第10题）10．如图，已知△ABC 中，O C BC AC .90,6 =∠==是 AB 的中点，⊙0与AC ，BC 分别相切于点D 与点E.F 是⊙O 与AB 的一个交点，连接DF 并延长交CB 的延长线于点G ，则CG=_________11.如图，AB 为⊙0的直径，AC 是⊙0的弦，AD 垂直于过点C 的直线CD ，垂足为D ，且AC 平分∠BAD.(1)求证：CD 是⊙0的切线．(2)若,5,1==AB AD 求AC 的长．12.如图，⊙0的圆心0在Rt△.ABC 的直角边AC 上，⊙0经过C ，D 两点，与斜边AB 交于点E ，连接BO ，ED ，有BO∥ED，作弦AC EF ⊥于点G ，连接DF ．(1)求证：AB 为⊙0的切线．(2)若⊙0的半径为,53sin ,5=∠DFE 求EF 的长．13．如图，AB ，CD 为⊙0的直径，弦AE∥CD，连接BE 交CD 于点F ，过点E 作直线EP 与CD 的延长线交于点P ，使∠PED=∠C.(1)求证：PE 是⊙0的切线．(2)求证：ED 平分∠BEP.(3)若⊙0的半径为5，CF=2EF ，求PD 的长，14．【深圳】如图，△ABC 内接于⊙0，,,2AC AB BC ==D 为 AC 上的动点，且⋅=1010cos B (1)求AB 的长度．(2)在点D 的运动过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，AD ．AE 的值是否变化？若不变，请求出AD ．AE 的值；若变化，请说明理由．(3)在点D 的运动过程中，过点A 作,BD AH ⊥求证：.DH CD BH +=1．【眉山】如图，AB 是⊙0的直径，PA 切⊙0于点A ，线段PO 交⊙0于点C ．连接BC.若=∠P ,36 则∠B 等于( )．27.A 32.B 36.C 54.D2．【重庆】如图，已知AB 是⊙0的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与⊙0相切于点D ，过点B 作PD 的垂线 交PD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为,6,4=BC 则PA 的长为( )．4.A 32.B 3.C5.2.D（第2题） （第3题）3．【无锡】如图，在矩形ABCD 中，G 是BC 的中点，过A ，D ，G 三点的⊙0与边AB ，CD 分别交于点E ，F ，给出下列说法：①AC 与BD 的交点是⊙0的圆心；②AF 与DE 的交点是⊙0的圆心；③BC 与⊙O 相切．其中正确说法的个数是( )．0.A 1.B 2.C 3.D4．【无锡】如图，菱形ABCD 的边,20=AB 面积为,320,90<∠BAD ⊙0与边AB ，AD 都相切，,10=AO 则⊙0的半径长等于( )． 5.A 6.B 52.C 23.D（第4题） （第5题）5．【台州】如图，在△ ABC 中，,6,8,10===BC AC AB 以边AB 的中点0为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是( )．6.A 1132.+B 9.C 332.D6．【长沙】如图，点A ，B ，D 在⊙0上，20,A BC ∠=是⊙0的切线，B 为切点，OD 的延长线交BC 于点C ，则 OCB ∠=（第6题） （第7题）7．【威海】如图，在扇形CAB 中，,AB CD ⊥垂足为D ，⊙E 是△ACD 的内切圆，连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数为____．8．【大庆】已知直线)0(=/=k kx y 经过点(12，-5)，将直线向上平移)0(>m m 个单位，若平移后得到的直线与 半径为6的⊙0相交(O 为坐标原点)，则m 的取值范围是__________.9．【南京】如图，在矩形ABCD 中，,4,5==BC AB 以CD 为直径作⊙O.将矩形ABCD 绕点C 旋转，使所得矩形///A B CD的边//A B 与⊙0相切，切点为E ，边/CD 与⊙O 相交于点F ，则CF 的长为_________.（第9题） （第10题）10.【泰州】如图，在△ABC 中，,135sin ,90==∠A ACB ,12=AC 将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转 90得到 //,A B C P ∆为线段//A B 上的动点，以P 为圆心、/PA 长为半径作⊙P ，当⊙P 与△ABC 的边相切时，⊙P 的半径为11．【北京】如图，AB 是⊙0的直径，过⊙0外一点P 作⊙O 的两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D ，连接OP ．CD ．(1)求证：.CD OP ⊥(2)连接AD ，BC ，若OA CBA DAB ,70,50=∠=∠,2=求OP 的长．12．【黔西南州】如图，已知AB 为⊙0的直径，D 是BC 的中点，AC DE ⊥交AC 的延长线于点E ，⊙0的切线 交AD 的延长线于点F ．(1)求证：直线DE 与⊙0相切．(2)已知AB DG ⊥且,4=DE ⊙O 的半径为5，求F ∠tan 的值．13.【德阳】如图，在直角三角形ABC 中，H ACB ,90 =∠是△ABC 的内心，AH 的延长线和△ABC 的外接圆⊙O 相交于点D ，连接DB.(1)求证：.DB DH =(2)过点D 作BC 的平行线，分别交AC ，AB 的延长线于点E ，F ，已知,1=CE ⊙0的直径为5．①求证：EF 为⊙O 的切线．②求DF 的长．14.【广西】如图，△ABC 内接于⊙0，∠CBG=∠A，CD 为直径，OC 与AB 相交于点E ，过点E 作EF ⊥ BC，垂足为F ，延长CD 交GB 的延长线于点P ，连接BD.(1)求证：PG 与⊙0相切．(2)若,85=AC EF 求BE OC的值． (3)在(2)的条件下，若⊙0的半径为,,8OD PD =求OE 的长．1．【全国初中数学联合竞赛】如图，已知AB 是⊙0的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，若D AC CE DE ,58,43==为EF 的中点，则=AB _______.（第1题） （第2题）2．如图，正方形ABCD 的边长为4，以AB 为直径向正方形内作半圆，CM 与DN 是半圆的切线，M ，N 为切点，若CM与DN 交于正方形内一点P ，则△PMN 的面积是______．3．【无锡】如图，菱形ABCD 的边长为=∠DAB cm ,2.60 点P 从点A 出发，以s cm /3的速度，沿AC 向点C 做匀速运动；与此同时，点Q 也从点A 出发，以1 cm/s 的速度，沿射线AB 做匀速运动，当点P 运动到点C 时，点P ，Q 都停止运动．设点P 运动的时间为t(s)．(1)当点P 异于点A ，C 时，请说明PQ∥BC.(2)以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，在整个运动过程中，t 为何值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？4．【扬州】如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点0在坐标原点，顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正 半轴上，且2,1,OA OC ==矩形对角线AC ，OB 相交于点E ，过点E 的直线与边OA ，BC 分别相交于点G,H ．图1 图2(1)①直接写出点E 的坐标：_______．②求证：AG=CH.(2)如图2，以0为圆心、OC 为半径的圆弧交OA 于点D ，若直线GH 与弧CD 所在的圆相切于矩形内一点F ，求直线GH 的函数表达式．(3)在(2)的结论下，梯形ABHG 的内部有一点P ，当⊙P 与HG ，GA ，AB 都相切时，求⊙P 的半径.答案。
第17讲 直线与圆(2014.培优竞赛新方法.师)
直线与圆（相切）【知识纵横】直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形,既可从直线与圆交点的个数来判定,也可以从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较来考察.讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切,直线与圆相切涉及切线的性质和判定、切线长定理、弦切角的概念和性质、切割线定理等丰富的知识,这些丰富的知识对应着以下基本图形、基本结论:注:点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的确定有共同的精确判定方法,即量化的方法(距离与半径的比较),我们称“由数定形”,勾股定理的逆定理也具有这一特点.判定一直线为圆的切线是平面几何中一种常见问题，判定的基本方法有：（1）从直线与圆交点个数入手；（2）利用角证明，即证明半径和直线垂直；（3）运用线段证明，即证明圆心到直线的距离等于半径。
一个圆的问题,从不同的条件出发,可有不同的添辅助线方式,进而可得不同的证法,对于分层次设问的问题,需整体考虑;【例题求解】【例1】（2014.浙江省绍兴市）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图，⊙O与矩形ABCD的边BC、AD分别相切和相交（E、F是交点）。
已知EF=CD=8，则⊙O的半径为。
思路点拨作出相关辅助线，建立关于⊙O半径的方程。
【例2】（2011.安徽省芜湖市）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA于D。
（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长。
思路点拨对于（2），在（1）基础上，设DA=x，则CD=6-x，由角平分线性质或垂径定理建立x方程。
★【例3】（江苏省南京市）如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q，A，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PN方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PM方向运动，设运动时间为ts。
（1）求PQ的长；（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？思路点拨对于（2），把相关线段用t式子表示，寻找相似三角形，而动态思考、分类讨论是解题的关键。
高考培优课程秋季数学讲义：直线与圆【学生版】
高考培优秋季 数学 “直线与圆”学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长知识定位目标1：根据条件求直线的方程、圆的方程，学会把条件中的“点与线，线与线、直线与圆的位置关系”转化成适当的代数关系。
目标2：进一步体会几何特征代数化和代数结构几何化。
目标3：直线与圆的位置关系的判断。
目标4：直线与圆的位置关系的综合应用。
知识诊断【试题来源】 【题目】已知圆C ：()2219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点.（Ⅰ）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； （Ⅲ）当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长. 【难度系数】2【试题来源】 【题目】已知方程04222=+--+m y x y x .（Ⅰ）若此方程表示圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点）求m 的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程. 【难度系数】2知识梳理1.点到直线的距离及两平行直线间的距离：①点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离 ②两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为1222C C d A B-=+.2.点00(,)A x y 关于直线0Ax By C ++=对称的点的坐标为(,)x y '',则:00000221x x y y A B C y y A x x B ''++⎧⋅+⋅+=⎪⎪⎨'-⎛⎫⎪⋅-=- ⎪'⎪-⎝⎭⎩ 即⎧⎨⎩ 解得:x y '=⎧⎨'=⎩可记住点00(,)A x y 关于直线y x m =±+的对称点的规律!3.直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r -+-=(0)r >有相交、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判断: ①代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切；②几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d ，则d r <⇔相交；d r >⇔相离；d r =⇔相切。
数学培优竞赛新方法(九年级)-第17讲-直线与圆
数学培优竞赛新方法(九年级)-第17讲-直线与圆LT第17讲 直线与圆对数学之美的感受，对数与形之和谐的感受，对几何学之优雅的感受，这是一种所有数学家都深知的真正的美感。
-----庞加莱知识纵横直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形，即可从直线与圆交点的个数来判定，也可以从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较来考察。
讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切，直线与圆相切涉及切线的性质和判定、切线长定力、弦切角的概念和性质、切线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着以下基本图形、基本结论：例题求解【例1】如图，已知ABC ∆，︒=∠==90,6C BC AC ．O 是AB 的中点，⊙O 与BC AC 、分别相切于点D 与点E ．点F 是⊙O 与AB 的一个交点，连DF 并延长交CB 的延长线于点G ．则CG= ．（杭州市中考题）思路点拨 连OD ,BF BG =，先求出BF OD 、的长。
【例2】如图，在等腰三角形ABC ∆中，O 为底边BC 的中点，以O 为圆心作半圆与AC AB 、相切，切点分别为E D 、．过半圆上一点F 作半圆的切线，分别交AC AB 、于N M 、．那么2BC CN BM ⋅的值等于（ ）A.81B.41C.21D .1 （天津市竞赛题）思路点拨 分别从N M 、点看，可运用切线长定理，作出相应辅助线，探寻BMO∆与CNO ∆的关系式关键。
【例3】如图，已知直线PA 交⊙O 于B A 、两点，AE是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分PAE ∠，过C作PA CD ⊥，垂足为D ．（1）求证：CD 为⊙O 的切线；动态思维【例6】如图，已知点)0,36(M，)6,0(N，经过NM、两点的直线1以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，分别交x轴、y轴于BA、两点，与此同时，点P从点N出发，在直线1上以每秒1个单位的速度沿直线1向右下方作匀速运动，设它们运动的时间为t秒（1）用含t的代数式表示点P的坐标；（2）过O作ABOC⊥于D，问：t为何值时，OC⊥于C，过C作轴x以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P 与直线CD的位置关系．（无锡市中考题）分析问题涉及平移点的运动，把相关线段用t的式子表示是解题的基础，而化动为静（画出相切时图形），分类讨论（⊙P在左侧与OC相切）是解题的关键。
高考培优课程数学讲义：直线与圆【讲师版】
高考培优 数学 “直线与圆”讲义编号：目标1：根据条件求直线的方程、圆的方程，学会把条件中的“点与线，线与线、直线与圆的位置关系”转化成适当的代数关系。
目标2：进一步体会几何特征代数化和代数结构几何化。
目标3：直线与圆的位置关系的判断。
目标4：直线与圆的位置关系的综合应用。
1．已知圆22:-4-14450,C x y x y ++=及点(-2,3 )Q ．（1）(,1) P a a +在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率；（2）若M 为圆C 上任一点，求||MQ 的最大值和最小值；（3）若实数,m n 满足22-4-14450m n m n ++=,求-3=+2n K m 的最大值和最小值．答案：（1）∵ 点P （a ，a+1）在圆上，∴ 045)1(144)1(22=++--++a a a a ， ∴ 4=a ,P （4,5），∴102)35()24(||22=-++=PQ , K PQ ＝314253=---，（2）∵ 圆心坐标C 为（2,7），∴ 24)37()22(||22=-++=QC ，∴262224||max =+=MQ ，222224min ||=-=MQ 。
（3）设点（－2,3）的直线l 的方程为：032 )2(3=+--+=-k y kx x k y 即，，易知直线l 与圆方程相切时，K 有最值， ∴221|3272|2=++---kk k ，∴32±-=k∴3-=n K 的最大值为32+-，最小值为32--.]例1预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1 5倍，问桌、椅各买多少才行？（★★☆☆☆）解 设桌椅分别买x ,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≥≤+0,05.120002050y x xy x y y x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+72007200,20002050y x x y y x 解得 ∴A 点的坐标为(7200，7200) 由⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+27525,5.120002050y x x y y x 解得∴B 点的坐标为(25，275) 所以满足约束条件的可行域是以A (7200，7200)，B (25，275)，O (0，0)为顶点的三角形区域(如图) 由图形直观可知，目标函数z =x +y 在可行域内的最优解为(25，275)，但注意到x ∈N ,y ∈N *,故取y =37故有买桌子25张，椅子37张是最好选择根据条件求直线的方程、圆的方程，学会把条件中的“点与线，线与线、直线与圆的位置关系”转化成适当的代数关系。
直线与圆培优讲义
培优讲义一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向；②平行：α=0°；③围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α 〔α≠90°〕；②垂直：斜率k 不存在；③围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α ①构造直角三角形〔数形结合〕；②斜率k 值于两点先后顺序无关；③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=①相交：斜率21k k ≠〔前提是斜率都存在〕特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即；<2> 斜率都存在时：121-=•k k 。
②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=；<2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==；二、方程与公式：1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将点k y x 与斜率),(00直接带入即可；②斜截式：b kx y += 将截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可； ④截距式：1=+b y a x 将截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0用得比拟多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式： ①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA CBy Ax d +++= ③平行直线间距离：2221B A C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
高考数学一轮复习直线与圆圆与圆的位置关系培优课ppt课件
感悟提升
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方 程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过 该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.
索引
角度3 最值(范围)问题
例4 已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，点A是直线x－y＋2＝0上的一个动点，直线AP， AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的长的取值范围为__[_2__2_，__4_)___. 解析 由圆的方程知圆心C(2，0)，半径r＝2.连接AC，PC，QC(图略). 设|AC|＝x，则 x≥|2－02＋2|＝2 2. ∵AP，AQ为圆C的切线， ∴CP⊥AP，CQ⊥AQ， ∴|AP|＝|AQ|＝ |AC|2－r2＝ x2－4.
第八章 平面解析几何
索引
考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层精练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识梳理
3)，
所以 kA′B＝3－2 a， 所以直线 A′B 的方程为
y＝3－2 ax＋a，
即(3－a)x－2y＋2a＝0.
由题意知直线A′B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，
易知圆心为(－3，－2)，半径为1，
索引
所以|－3（3－a（）3＋－（a）－2＋2）（×－（2）－22）＋2a|≤1， 整理得6a2－11a＋3≤0， 解得13≤a≤32， 所以实数 a 的取值范围是13，32.
索引
∵AC是PQ的垂直平分线， ∴|PQ|＝2×|AP|A|·C|P|C|＝4 xx2－4＝4 1－x42. ∵x≥2 2， ∴12≤1－x42＜1， ∴2 2≤|PQ|＜4， 即线段 PQ 的长的取值范围为[2 2，4).
直线与圆专题讲义 教师版
一、 知识梳理1．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线:0l ax by c ++=的距离为：0022ax by c d a b++=+2.已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=3．两条直线的位置关系：直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注222111::b x k y l b x k y l +=+= 21,21b b k k ≠= 121-=⋅k k 21,l l 有斜率4. 已知l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0，则l 1 ⊥l 2的充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。
5．圆的方程：⑴标准方程：①222)()(r b y a x =-+- ；②222r y x =+ 。
⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x （)0422>-+F E D注：Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆⇔A=C≠0且B=0且D 2+E 2－4AF>0； 6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。
7．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法） ⑴点与圆的位置关系：（d 表示点到圆心的距离）①⇔=R d 点在圆上；②⇔<R d 点在圆内；③⇔>R d 点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：（d 表示圆心到直线的距离）①⇔=R d 相切；②⇔<R d 相交；③⇔>R d 相离。
⑶圆与圆的位置关系：（d 表示圆心距，r R ,表示两圆半径，且r R >） ①⇔+>r R d 相离；②⇔+=r R d 外切；③⇔+<<-r R d r R 相交； ④⇔-=r R d 内切；⑤⇔-<<r R d 0内含。
8、直线与圆相交所得弦长22||2AB r d =-9. 过圆x 2+y 2=r 2上的点M(x 0,y 0)的切线方程为：x 0x+y 0y=r 2;10. 以A(x 1，y 2)、B(x 2,y 2)为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)+(y －y 1)(y －y 2)=0;教学内容二、课堂训练1.（最值问题）已知实数x 、y 满足方程01422=+-+x y x ，（1）求xy的最大值和最小值； （2）求y x -的最大值和最小值；（3）求22y x +的最大值和最小值。
全国高考数学重点中学二轮复习培优讲义之直线与圆
专题15 直线与圆基础知识：一、直线与方程1、斜率与倾斜角2、直线方程（1）点斜式)(00x x k y y斜截式b kx y （2）两点式121121x x x x y y y y 截距式1by ax （3）一般式)0(022BACBy Ax 说明：注意以下表示的直线121121x x x x y y y y )(112121x xx x y y y y))(())((112121x x y y x x y y （4）参数式cos sin00{t x x t y y （t 为参数）3、两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2?k 1＝k 2，l 1⊥l 2?k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．0:1111C y B x A l 和0:2222C y B x A l 平行：212121C C B B A A 垂直2121B B A A 4、两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B2.5、直线系方程（1）与0C By Ax 平行的直线系方程为0m By Ax （2）与0CByAx垂直的直线系方程为nAyBx（3）过0:1111C y B x A l 和0:2222C y B x A l 交点的直线系方程为)(222111C By Ax C y B x A 二、圆与方程1、圆的方程（1）圆的标准方程222r yx；222)()(rb y a x（2）圆的一般方程022FEy Dxyx)04(22F ED（3）圆的参数方程cos sin{r a x r by（为参数）2、直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d<r?直线与圆相交，d ＝r?直线与圆相切，d>r?直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，方程组消去y ，得关于x 的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离?Δ<0，直线与圆相切?Δ＝0，直线与圆相交?Δ>0.圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 2，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)d>r 1＋r 2?两圆外离；(2)d ＝r 1＋r 2?两圆外切；(3)|r 1－r 2|<d<r 1＋r 2?两圆相交；(4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠ｒ2)?两圆内切；(5)0≤d<|r 1－r 2|(r 1≠ｒ2)?两圆内含．三、常用结论1、弦长l ，弦心距d ，半径r222)2(dlr2、圆的切线方程过圆222r yx上一点),(00y x P 的圆的切线方程为200ryy x x 过圆222)()(r b y a x 上一点),(00y x P 的圆的切线方程为200))(())((ra y a y a x a x 注意：圆外一点【切线方程一定有两条。
资料：1.直线与圆讲义学生版
本节有4个目标：①直线的倾斜角、斜率与方程；②两条直线的位置关系；③圆的方程； ④直线与圆的位置关系【目标一：直线的倾斜角、斜率与方程】１．若直线斜率存在，有：2121tan y y k x x α-==-．2．直线的五种方程:①点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )；②斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距)； ③两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠))；④截距式1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)； ⑤一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0) ．【例1】（师大附中）直线()1y k x =-与以()3,2A 、()2,3B 为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【练1】已知点()1,0A -，()1,0B ，()0,1C ，直线y ax b =+()0a >将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．21(1,)2-C ．21(1,]3- D ．11[,)32 【练2】直线与两坐标轴所围成的三角形面积不大于，那么[1,3]3[1,]2[1,3]2[,3]220x y k -+=1k第一部分：直线与圆1.1直线与圆的范围是（ ）A. B. C.且 D. 或【目标二：两条直线的位置关系】1. 两条直线的平行和垂直若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠； ②12121l l k k ⊥⇔=-.二. 对称问题1. 点关于点成中心对称：设00(,)P x y ，对称中心为(,)A a b ，则P 关于A 的对称点为100(2,2)P a x b y --；2. 点关于直线成轴对称问题：由轴对称定义可知，对称轴即为两对称点连线的垂直平分线．利用垂直、平分这两个条件建立方程组，就可求出对称点坐标．例：设点00(,)P x y 关于直线y kx b =+的对称点为111(,)P x y ，则有：1010·1y yk x x -=-- 1010·22y y x xk b ++=+ 可求出11,x y ；3. 曲线关于点的中心对称，轴对称问题，一般转化为点的中心对称或轴对称，一般结论如下：①曲线(),0f x y =关于已知点(),A a b 的对称曲线的方程是()2,20f a x b y --=；②曲线(,)0f x y =关于直线y kx b =+的对称曲线的求法：设曲线(,)0f x y =上任意一点为00(,)P x y ，P 点关于直线y kx b =+的对称点是1(,)P x y ，则由2知，可解出00,x y ，代入已知曲线(,)0f x y =，应有00(,)0f x y =，利用坐标代换法就可求出曲线(,)0f x y =关于直线y kx b=+对称的曲线方程．1k ≥-1k ≤11k -≤≤0k ≠1k ≤-1k ≥【例2】直线关于直线对称的直线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【练1】已知直线l ：10x y -+=，1l ：230x y -+=，若直线2l 与1l 关于l 对称，则2l 的方程为（ ）A ．20x y -=B ．20x y -=C ．210x y -+=D ．210x y -+=【练2】在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.① 存在在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点② 如果与都是无理数，则直线不经过任何整点③ 直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点 ④ 直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数.⑤ 存在恰经过一个整点的直线【练3】在直角坐标系中，已知三边所在直线的方程分别为，则内部和边上整点（即横坐标、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）A ．B ．C ．D ．【例3】若直线与有两个交点，则的取值范围是 .210x y -+=1x =210x y +-=210x y +-=230x y +-=230x y +-=xOy AOB ∆0,0,x y ==2330x y +=AOB ∆95918875y x =1y kx =+k【练1】已知两点,,直线，在直线上求一点．（1）使最小； （2）使最大．【目标三：圆的方程】圆的三种方程：（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=；（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0)； （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩．【例4】已知圆心(,)(0,0)a b a b <<在直线21y x =+上的圆，若其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为则圆的方程为（ ）A ．22(2)(3)9x y +++= B ．22(3)(5)25x y +++=(2,3)A (4,1)B :220l x y +-=l P PA PB +PA PB -C ．22749(6)()39x y +++=D ．222749()()339x y +++=【练1】圆关于直线对称的圆的方程是（ ）A. B. C. D.【练2】（市一中）（1）过点向圆作切线，求切线的方程； （2）点在圆上，点在直线上，求的最小值.【练3】已知圆与圆关于直线对称 ，则直线的方程是_____________．22210x y x +--=230x y -+=221(3)(2)2x y ++-=221(3)(2)2x y -++=22(3)(2)2x y ++-=22(3)(2)2x y -++=(2,4)P 22:4O x y +=P 2246120x y x y ++-+=Q 4321x y +=||PQ 16)4()7(22=++-y x 16)6()5(22=-++y x l l【目标四：直线与圆的位置关系】直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ； 0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d ， 弦长=222d r -；d =（点00(,)P x y ，直线l ：0Ax By C ++=）．【例5】若曲线和圆没有公共点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【练1】若过定点,且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【练2】在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是 ．【练3】定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离．已知曲线到直线的距离等于2x y +=222(0)x y r r +=>r 2r >2r <1r <<r <2r >(1M -0)k 22450x x y ++-=k 0k <<0k <<0k <<05k <<xOy C 228150x y x +-+=2y kx =-1C k C l C l 21:C y x a =+:l y x =到直线的距离，则实数＝ ．【例6】（市一中）已知圆，直线.（1）求证：直线与圆恒相交；（2）求直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长.【练1】设为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为 ．【练2】圆的动点到直线距离的最小值为 ．【练3】圆上到直线的距离等于1的点的个数为（ ）A ．B ．C ．D ．【练4】圆上到直线的点共有（ ）A ．个B ．个C ．个D ．个【例7】已知圆的方程是，直线，则圆上有几个点到直线的距离为（ ）A ．个B ．个C ．个D ．个【练1】（市一中）已知上有四个不同的点到直线，则的取值范围是（ ）222:(4)2C x y ++=:l y x =a 22:(2)(3)25C x y -+-=():42l x λ+(35)y λ+-2120λ--=l C l C λP 221x y +=P 34100x y --=222210x y x y +--+=Q 3480x y ++=224x y +=0x y +=1230222430x x y y +++-=10x y ++=1234C 2244100x y x y +---=:l y x =-C l 123422:42150C x y x y +---=:(7)6l y k x =-+kA ．,B ．,C ．,D ．,,【练2】若圆上有且仅有三个不同点到直线的距离为，则直线的倾斜角是（ ）A ．或 B ．或 C ．或 D ．或【练3】若圆上至少有三个不同的点到直线：的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）A ．,B ．,C ．,D ．,【例8】若直线与曲线有公共点，则的取值范围是A ．,B ．,C ．,D ．【练1】曲线与直线有两个不同交点时，实数的取值范围是 ．【练2】若关于只有一个实数根，则的取值范围为（ ）A ．B ．或C ．或D ．或或 【例9】直线与圆相交于,两点，若的取值范围是（ ）A ．,B ．,,(-∞2)(2-)+∞1(22)(-∞1)2(2)+∞2244100x y x y +---=:l y kx =l 12π512π12π4π6π3π02π2244100x y x y +---=l 0ax by +=l [12π7]12π[12π5]12π5[12π5]6π[0]12πy x b =+3y =b [1-1+[1-1+[1-3][13]2y =(1)5y k x =-+k x 2kx =+k 0k =0k =1k >1k >1k <-0k =1k >1k <-3y kx =+22(3)(2)4x y -+-=M N MN ≥k 3[4-0](-∞3]4-[0)+∞C ．D ．, 【练1】从圆:外一点,向圆作切线，为切点，且 (为原点），则（ ）A ．B ．C ．D【练2】若直线与圆相交于、两点，且∠＝ (其中为原点)，的值为 ．[2[3-0]C 224460x y x y +--+=(P a )b PT T PT PO =O min PT =422y kx =222x y +=P Q POQ 120O k。
2019版数学(理)培优增分一轮全国经典版培优讲义：第8章 第4讲直线与圆 含答案
第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系板块一知识梳理·自主学习[必备知识］考点1直线与圆的位置关系（圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)考点2圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝｜O1O2|)［必会结论］1．关注一个直角三角形当直线与圆相交时，由弦心距（圆心到直线的距离）、弦长的一半及半径构成一个直角三角形．2．圆心在过切点且垂直于切线的直线上．3．两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交,则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋（F1－F2)＝0。
4．两圆相切时,切点与两圆心三点共线．5．两圆不同的位置关系与对应公切线的条数（1）两圆外离时，有4条公切线;（2)两圆外切时，有3条公切线；（3)两圆相交时，有2条公切线；（4)两圆内切时，有1条公切线；（5）两圆内含时，没有公切线．［考点自测]1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”)(1）“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．（)(2)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0)的圆的切线方程是x0x ＋y0y＝r2.（)（3)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(）（4)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交．（）（5)“m＝0”是“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋（y－1)2＝2相切”的充分不必要条件．(）答案（1）×(2)√(3)×(4）×(5）√2．［课本改编］直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y ＋1＝0的位置关系是()A．相离B．相切C．相交且过圆心D．相交但不过圆心答案D解析圆的方程化为(x－2)2＋(y－1）2＝4，圆心为（2，1)，半径为2，圆心到直线l的距离为错误!＝错误!〈2,所以直线l与圆相交．又圆心不在直线l上，所以直线不过圆心．故选D.3．在平面直角坐标系xOy中,直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长为（）A．3错误!B．2错误! C.错误!D．1解析圆心（0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝错误!＝1，因为错误!2＝22－12＝3，所以｜AB｜＝2错误!.4．[课本改编］圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，错误!）处的切线方程为(）A．x＋3y－2＝0 B．x＋错误!y－4＝0C．x－2y＋4＝0 D．x－错误!y＋2＝0答案D解析圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上，由题可知切线的斜率存在，设切线方程为y－错误!＝k(x－1）,即kx－y－k＋错误!＝0，∴错误!＝2，解得k＝错误!。
著名机构初中数学培优讲义.直线与圆的位置关系.第07讲(B级).学生版
内容基本要求略高要求较高要求直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题切线长 了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题1．理解直线与圆的位置关系；2．能够证明切线及利用切线解决相关问题．模版一 直线与圆位置关系的确定设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形定义性质及判定相离lOd r直线与圆没有公共点． d r >⇔直线l 与O ⊙相离相切 lOdr直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点． d r =⇔直线l 与O ⊙相切相交lOd r直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线．d r <⇔直线l 与O ⊙相交例题精讲中考要求重难点直线与圆的位置关系1.切线的性质（1）定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心①过圆心，过切点⇒垂直于切线．AB过圆心，AB过切点M，则AB l⊥．②过圆心，垂直于切线⇒过切点．AB过圆心，AB l⊥，则AB过切点M．③过切点，垂直于切线⇒过圆心．AB l⊥，AB过切点M，则AB过圆心．l 2.切线的判定（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．l3.切线长和切线长定理（1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三、三角形的内切圆1.三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2.多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3.直角三角形内切圆的半径与三边的关系cb acbaO F ED CACBAB A设a 、b 、c 分别为ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边，面积为S ，则内切圆半径为sr p=，其中()12p a b c =++．若90C ∠=︒，则()12r a b c =+-．【例1】 如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，45AOB ∠=︒，点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设OP x =，则x 的取值范围是 A ．0≤xB．xC ．－1≤x ≤1D ．x【例2】 Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =，给出下列三个结论： ①以点C 为圆心，3 cm长为半径的圆与AB 相离；②以点C 为圆心，4cm 长为半径的圆与AB 相切；③以点C 为圆心，5cm 长为半径的圆与直线AB 相交．上述结论中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．l 个 C ．2个 D ．3个【巩固】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，12cm AC =，16cm BC =，以点C 为圆心，r 为半径的圆和AB 有怎样的位置关系？为什么？ （1）9cm r =；（2）10cm r =；（3）9.6cm r =．DCBA【例3】 如下左图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90C =︒∠，且AB AD BC >+，AB 是O e 的直径，则直线CD 与O e 的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．无法确定【巩固】如图，BC 是半圆O 的直径，点D 是半圆上的一点，过点D 作O e 的切线AD ，BA DA ⊥，10BC =，4AD =，那么直线CE 与以点O 为圆心，52为半径的圆的位置关系是 ．模版二 切线的性质及判定 ☞作垂直证半径【例4】 已知：O 为BAC ∠平分线上一点，OD AB ⊥于D ，以O 为圆心．以OD 为半径作圆O ．求证：O⊙与AC 相切．【巩固】如图，ABC ∆为等腰三角形，AB AC =，O 是底边BC 的中点，O ⊙与腰AB 相切于点D ，求证AC与O ⊙相切．☞连半径证垂直证明直线是圆的切线是中考的一种常见问题，证明的基本方法有： （1）利用定义，证明直线与圆只有一个交点；（2）当所证直线与圆有一个公共点时，连接圆心和这个公共点，证明这条半径与所证直线垂直；（3）当所证直线与圆没有确定的公共点时，过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径。
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直线与圆培优讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1培优讲义一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向；②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）；②垂直：斜率k 不存在；③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α ①构造直角三角形（数形结合）；②斜率k 值于两点先后顺序无关；③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即；<2> 斜率都存在时：121-=•k k 。
②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=；<2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==；二、方程与公式：1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+by a x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-=②点到直线距离：2200B A CBy Ax d +++=③平行直线间距离：2221B A C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。
5.直线的对称性问题已知点关于已知直线的对称:设这个点为P （x 0，y 0）,对称后的点坐标为P ’（x ，y ），则pp ’的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp ’的中点坐标在已知直线上。
三、解题指导与易错辨析：1、解析法（坐标法）：①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标；②依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果；③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。
2、动点P 到两个定点A 、B 的距离“最值问题”： ①PB PA +的最小值：找对称点再连直线，如右图所示：②PB PA -③22PB PA +的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。
3、直线必过点：① 含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3令：x+2=0 => 必过点(-2,3)②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 => m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 => 必过点(-1/7,3/7)4、易错辨析：① 讨论斜率的存在性：解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：<1>斜率不存在时，是否满足题意；<2>斜率存在时，斜率会有怎样关系。
② 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解； （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。
）③ 直线到两定点距离相等，有两种情况：<1> 直线与两定点所在直线平行；<2> 直线过两定点的中点。
圆的方程1. 定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径.2. 圆的方程表示方法：第一种：圆的一般方程——022=++++F Ey Dx y x 其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=.当0422 F E D -+时，方程表示一个圆，当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422F E D -+时，方程无图形.第二种：圆的标准方程——222)()(r b y a x =-+-.其中点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆第三种：圆的参数方程——圆的参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数） 注：圆的直径方程：已知0))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A3. 点和圆的位置关系：给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x -+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x -+-⇔4. 直线和圆的位置关系：设圆圆C ：)0()()(222 r r b y a x =-+-； 直线l ：)0(022≠+=++B A C By Ax ； 圆心),(b a C 到直线l 的距离22B A C Bb Aa d +++=.①r d =时，l 与C 相切；②r d 时，l 与C 相交；，③r d 时，l 与C 相离.5、圆的切线方程：①一般方程若点(x 0 ,y 0)在圆上，则(x – a)(x 0 – a)+(y – b)(y 0 – b)=R 2. 特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+.(注:该点在圆上，则切线方程只有一条)②若点(x 0 ,y 0)不在圆上，圆心为(a,b)则⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y ，联立求出⇒k 切线方程.（注：过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于X 轴的直线。
）6.圆系方程：过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：C 1:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0C 2:x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0则过两圆的交点圆方程可设为：x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ（x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2）=0过两圆的交点的直线方程：x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1- x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0（两圆的方程相减得到的方程就是直线方程）7.与圆有关的计算：弦长的计算：AB=2*√R 2-d 2 其中R 是圆的半径，d 等于圆心到直线的距离 AB=（√1+k 2）*∣X 1-X 2∣ 其中k 是直线的斜率，X 1与X 2是直线与圆的方程联 立之后得到的两个根过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线圆内的最长弦是直径8.圆的一些最值问题①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径③假设P （x ，y ）是在某个圆上的动点，则（x-a ）/（y-b ）的最值可以转化为圆上的点与该点（a ，b ）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。
④假设P （x ，y ）是在某个圆上的动点，则求x+y 或x-y 的最值可以转化为：设T=x+y 或T=x-y ，在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T 或y=x-T 在Y 轴上的截距最值化。
9.圆的对称问题①已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。
②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标1.【2015高考重庆，理8】已知直线l：x+ay-1=0（a∈R）是圆C：224210x y x y+--+=的对称轴.过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A、2B、、6 D、 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A，(4,2)B，(1,7)C-的圆交y轴于M，N两点，则||MN=( ) A．26 B．8 C．46 D．103.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++yx且与圆522=+yx相切的直线的方程是（）A．052=+-yx或052=--yx B. 052=++yx或052=-+yxC. 052=+-yx或052=--yx D. 052=++yx或052=-+yx4.【2015高考山东，理9】一条光线从点()2,3--射出，经y轴反射后与圆()()22321x y++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）（A）53-或35-（B）32-或23-（C）54-或45-（D）43-或34-5.【2015高考陕西，理15】设曲线xy e=在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y xx=>上点P处的切线垂直，则P的坐标为．6.【2015高考湖北，理14】如图，圆C与x轴相切于点(1,0)T，与y轴正半轴交于两点,A B（B在A的上方），且2AB=．（Ⅰ）圆C的标准．．方程为；（Ⅱ）过点A任作一条直线与圆22:1O x y+=相交于,M N两点，下列三个结论：①NA MANB MB=；②2NB MANA MB-=；③NB MANA MB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）7.【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为8.【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x 相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x 与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．14.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ20）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为，在y轴上截得线段长为（1）求圆心P的轨迹方程；（2）若P点到直线y x，求圆P的方程。