[推荐学习]2019年高考数学一轮复习 专题4.7 解三角形及其应用举例(练)

第07节 解三角形及其应用举例

A 基础巩固训练

1.【2018届甘肃省一诊】中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若正方形与正方形

的面积分别为25和1，

则

（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】设AE=也，BE=y,则x+1=y,,解得x=3,y=4,故得到.

故答案为：D.

2．【2018届高三训练(29)】北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度0

15的看台上，同一列上

的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为0

60和0

30，第一排和最后一排的距离为米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度为50秒，升旗手匀速升旗的速度为( )

A ．

35 (米/秒) B ．米/秒)

C ．

5

(米/秒) D ． 15 (米/秒)

【答案】A

3. 要测量顶部不能到达的电视塔AB 的高度, 在C 点测得塔顶A 的仰角是45,在D 点测得塔顶A 的仰角是

30,并测得水平面上的120,40m BCD CD ∠==，则电视塔的高度为（ ）

A. B. 20m C. D. 40m 【答案】D

【解析】

根据题意，设m AB x =，则Rt ABD ∆中， 30ADB ∠=，可得3m tan30

AB

BD =

=，同理可得Rt ABC ∆中，

m BC AB x ==， 在DBC ∆中， 120,40m BCD CD ∠==， ∴由余弦定理

222cos BD BC BC CD DCB =-⋅⋅∠得，

)

()2

2

240240cos120x x =+-⋅⋅⋅，整理得：

2208000x x --=，解之得40x =或20x =-（舍），即电视塔AB 的高度为40米，故选D.

4．两灯塔与海洋观察站的距离都为，灯塔在的北偏东

，在的南偏东

，则

两灯塔之间距离为

( ) A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】根据题意画出图形，如图所示：

易得∠ACB=90°，AC=BC=a.

在△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=2a2，

所以AB=（km）.

故选C .

5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )

A．50 m B．100 m

C．120 m D．150 m

【答案】A

【解析】设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝3h，

根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.

B能力提升训练

1．如下图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是( )

A．c和αB．c和b

C．c和βD．b和α

【答案】D

【解析】根据直角三角形的特征，只要知道一条边和一个夹角即可求出河宽.

2．【2015高考湖北】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD m.

100

【答案】6

3．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是( )

A．35海里B．352海里

C．353海里D．70海里

【答案】D

【解析】设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E、F，则依题意有CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°，EF＝CE2＋CF2－2CE·CFcos120°＝502＋302－2×50×30cos120°＝70.

4.【2019届高考全程训练月考二】某观测站C在目标A的南偏西25方向，从A出发有一条南偏东35走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路B处有一个人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD距离为21km，若此人必须在20分钟内从D处到达A处，则此人的最小速度为( )

A ． 30/km h

B ． 45/km h

C ． 14/km h

D ． 15/km h 【答案】B

【解析】由已知得∠CAB ＝25°＋35°＝60°，BC ＝31，CD ＝21，BD ＝20，可得

2222223120212322312031BC BD CD cosB BC BD +-+-==⨯⨯⨯＝，那么sinB ，

于是在△ABC 中， BC sinB

AC sin CAB

⨯∠＝

＝24，

在△ABC 中，BC 2

＝AC 2

＋AB 2

－2AC ·AB cos60°，即312

＝242

＋AB 2

－24AB ，解得AB ＝35或AB ＝－11(舍去)，因此

AD ＝AB －BD ＝35－20＝15.

故此人在D 处距A 处还有15 km ，若此人必须在20分钟，即13小时内从D 处到达A 处，则其最小速度为15÷1

3

＝45(km/h)． 故选B.

5．【2017山西三区八校二模】为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求60ACB ∠=︒， BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为（ ）

A. 1⎛

+

⎝⎭

米 B. 2米 C. (1米 D. (2+米 【答案】D