2019届高考数学总复习第Ⅰ篇高考专题讲练自习篇文
2019高考数学复习专题：逻辑与命题(含解析)
2019高考数学复习专题：逻辑与命题(含解析)一、考情分析在高考数学中，集合是一个重要的考点，难度通常为中等或中等以下。
考查的主要形式是判断命题的真假、全称命题与特称命题的否定，以及充分条件与必要条件的判断。
这些知识点常常与其他知识点交织考查，其中由命题真假或两条件之间的关系确定参数范围是本节中的一个难点。
二、经验分享1.两个命题互为逆否命题时，它们有相同的真假性。
2.注意“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”的区别。
3.充分条件、必要条件的三种判定方法包括定义法、集合法和等价转化法。
4.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上。
解题时需要注意将条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解，同时要注意区间端点值的检验。
5.对于“p∨q”、“p∧q”、“p”等形式命题真假的判断，需要确定命题的构成形式，判断其中命题p、q的真假，然后确定“p∧q”、“p∨q”、“p”等形式命题的真假。
6.判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立。
要判断特称命题是真命题，只需在限定集合内至少找到一个x＝x，使p(x)成立。
7.对全（特）称命题进行否定的方法包括找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词，以及对原命题的结论进行否定。
8.已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围。
含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数值域（或最值）解决。
三、知识拓展1.从集合角度理解充分条件与必要条件，若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：若A B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件。
专题02 函数的概念与基本初等函数Ⅰ-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(文)(解析版)
=
4
+ 2π π2
1,
f
(π)
=
π −1+
π2
0 ，可知应为 D 选项中的图象．
2
7．【2019 年高考北京文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗
星的星等与亮度满足
m2
–
m1
=
5 2
lg
E1 E2
，其中星等为 mk
的星的亮度为
Ek （k=1,2）．已
知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
=
−
1 2
,1
x
2
，其中 k>0.若在区间(0，9]上，关于 x 的方程 f (x) = g(x) 有
8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是 ▲ .
【答案】
1 3
,
2 4
【解析】作出函数 f (x) ， g(x) 的图象，如图：
由图可知，函数 f (x) = 1− (x −1)2 的图象与 g(x) = − 1 (1 x 2,3 x 4,5 x 6, 7 x 8) 的图象仅有 2 个交点，即在区间
专题 02 函数的概念与基本初等函数 I
1．【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】已知 a = log2 0.2,b = 20.2, c = 0.20.3 ，则（ ）
A． a b c
B． a c b
C． c a b
D． b c a
【答案】B
【解析】 a = log2 0.2 log2 1 = 0, b = 20.2 20 = 1, 0 c = 0.20.3 0.20 = 1, 即 0 c 1, 则 a c b ．故选 B．
2019届高考数学(北师大版文)大一轮复习讲义：第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第1讲 函数及其表示.1
§2.1函数及其表示1．函数与映射2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作自变量，x 的取值范围A 叫作函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 知识拓展简单函数定义域的类型(1)f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (3)函数f (x )的图像与直线x ＝1最多有一个交点．( √ )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × ) 题组二 教材改编 2．函数f (x )＝4－xx －1的定义域是________． 答案 (－∞，1)∪(1,4]3．函数y ＝f (x )的图像如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 题组三 易错自纠4．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为______． 答案 2解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2.当x <0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4， 即－x 20＝4，无解，所以x 0＝2.5．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))＝________.答案 12解析 因为－2＜0，所以f (－2)＝2－2＝14＞0，所以f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝1－12＝12. 6．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)，则a ＝________. 答案 －2解析 由题意知点(－1,4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图像上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2.题型一 函数的概念1．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图像可能是( )答案 B解析 A 中函数的定义域不是[－2,2]，C 中图像不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，故选B. 2．有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；②f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；③若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数，故①不正确；对于②，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数，故②正确； 对于③，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1，故③不正确． 综上可知，正确的判断是②.思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同．题型二 函数的定义域问题命题点1 求函数的定义域 典例 (1)函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[1,2]答案 B解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2x －x 2>0，解得1<x <2. ∴函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为(1,2)． (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 018]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[－1,2 017]B ．[－1,1)∪(1,2 017]C ．[0,2 018]D ．[－1,1)∪(1,2 018]答案 B解析 使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 017]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 017，x －1≠0，解得－1≤x ＜1或1＜x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]． 引申探究本例(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2 018]”，改为“函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]，”则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域为________．答案 [－2,1)∪(1,2 016]解析 由函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]． 得函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2 017]，令⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2 017，x ≠1， 则－2≤x ≤2 016且x ≠1.所以函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 016]． 命题点2 已知函数的定义域求参数范围 典例 (1)(2018·衡水联考)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，34 B.⎝⎛⎭⎫0，34 C.⎣⎡⎦⎤0，34 D.⎣⎡⎭⎫0，34 (2)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案 (1)D (2)－92解析 (1)要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立， ①当m ＝0时，显然满足条件；②当m ≠0时，由Δ＝(4m )2－4m ×3＜0， 得0＜m ＜34，由①②得0≤m ＜34.(2)函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解． 跟踪训练 (1)(2017·江西九江七校联考)函数y ＝9－x 2log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．(－1,3)B ．(－1,3]C ．(－1,0)∪(0,3)D ．(－1,0)∪(0,3]答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ≤3且x ≠0，∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,3]．(2)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 答案 [－1,2]解析 ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．(3)(2017·杭州模拟)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,4]解析 当m ＝0时，f (x )的定义域为一切实数；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，得0<m ≤4， 综上，m 的取值范围是[0,4]． 题型三 求函数解析式1．若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0，且x ≠1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x－1 答案 B解析 f (x )＝1x1－1x＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．2．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 答案 12x 2－32x ＋2解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1， 即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.3．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________. 答案23x ＋13(x ＞0) 解析 在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1中， 将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，由⎩⎨⎧f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．题型四 分段函数命题点1 求分段函数的函数值典例已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))等于( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 答案 B解析 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1； f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9， 从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.命题点2 分段函数与方程、不等式问题典例 (1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________． 答案 －34解析 当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32，不合题意．当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，可得－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ， 解得a ＝－34，符合题意．(2)(2017·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，则不等式f (x )≥－1的解集是______________． 答案 {x |－4≤x ≤2}解析 当x ≤0时，由题意得x2＋1≥－1，解之得－4≤x ≤0.当x ＞0时，由题意得－(x －1)2≥－1， 解之得0＜x ≤2，综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}． 思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为__________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22 解析 由题意知，若x ≤0，则2x＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝122或x＝122－.故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22.分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1, ＋∞)(2)(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．思想方法指导(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解； (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．解析 (1)令f (a )＝t ，则f (t )＝2t ， 当t <1时，3t －1＝2t ，令g (t )＝3t －1－2t ，得g ′(t )>0， ∴g (t )<g (1)＝0，∴3t －1＝2t 无解． 当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1可知， 当a ＜1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1；当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.(2)当x ＞12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋122x －＞2x ＞2＞1；当0＜x ≤12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1＝2x ＋x ＋12＞2x ＞1； 当x ≤0时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x ＋1＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1 ＝2x ＋32，∴由f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1，得2x ＋32＞1，即x ＞－14，即－14＜x ≤0. 综上，x ∈⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案 (1)C (2)⎝⎛⎭⎫－14，＋∞1．下列图像可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )答案 C解析 A 选项中的值域不对，B 选项中的定义域错误，D 选项不是函数的图像，由函数的定义可知选项C 正确．2．(2018·郑州调研)函数f (x )＝ln x x －1＋x 12的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1) D ．(0,1)∪(1，＋∞)答案 B解析 要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1＞0，x ≥0，解得x ＞1，故函数f (x )＝ln xx －1＋12x 的定义域为(1，＋∞)．3．(2016·全国Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2x D ．y ＝1x答案 D解析 函数y ＝10lg x 的定义域为{x |x >0}，值域为{y |y >0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y ＝1x，故选D. 4．(2017·湖南衡阳八中一模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19等于( ) A ．－2 B ．－3 C ．9 D ．－9解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f (－2)＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9. 5．已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )等于( ) A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1) D ．x 2＋x ＋1(x ≠1)答案 C解析 f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t (t ≠1)，则f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．6.如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图像是( )答案 A解析 观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：(1)当0<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快．(2)当1<x <2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个答案中的图像，只有选项A 符合条件，故选A.7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋t )，x <0，3(t －1)x ，x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫12＝6，则f (f (－2))的值为( ) A ．27 B ．243 C.127D.1243解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫12＝3×(t －1)12＝6，∴t ＝5， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋5)，x <0，3×4x，x ≥0， ∴f (－2)＝log 2[(－2)2＋5]＝log 29>0， f (f (－2))＝f (log 29)＝3×2log 94＝3×22log 92＝3×22log 92＝3×81＝243.故选B.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 C解析 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12.即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. 9．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－1(x ≥1)解析 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．10．已知函数f (x )的图像如图所示，则函数g (x )＝f (x )的定义域是__________．答案 (2,8]解析 要使函数有意义，需f (x )>0，由f (x )的图像可知，当x ∈(2,8]时，f (x )>0.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是____________．答案 (－1，2－1)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2>0，2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0，解得－1<x <0或0≤x <2－1， ∴所求x 的取值范围为(－1，2－1)．12．(2018届全国名校第一次联考)定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为____________． 答案 [－2,0]∪(4,60]解析 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ∈[1，2]，x 3－4，x ∈(2，4]，当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]； 当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]，故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60]．13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤3，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．[－3，3]D ．(－∞，3]答案 D解析 令f (a )＝t ，则f (t )≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ t <0，t 2＋2t ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥0，－t 2≤3， 解得t ≥－3，则f (a )≥－3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2＋2a ≥－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－3， 解得a ≤3，则实数a 的取值范围是(－∞，3]，故选D.14．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________. 答案 7解析 由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2，f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2， 又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7.15．已知定义在R 上的函数f (x )满足：对于任意的实数x ，y ，都有f (x －y )＝f (x )＋y (y －2x ＋1)，且f (－1)＝3，则函数f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝x 2－x ＋1解析 令x ＝0，y ＝－x ，得f (x )＝f (0)＋x 2－x .把x ＝－1代入上式，得f (0)＝f (－1)－2＝1，从而有f (x )＝x 2－x ＋1.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.。
高考总复习课程--2019年高考数学(文)基础课程(江苏版) 讲义
目录第1讲集合.......................................................................................................................................... - 2 -第2讲命题(微课) ............................................................................................................................. - 2 -第3讲命题的四种形式及其关系(微课) ........................................................................................... - 2 -第4讲充要条件(微课) ....................................................................................................................... - 2 -第5讲函数及其性质(一) ................................................................................................................... - 2 -第6讲函数及其性质(二) ................................................................................................................... - 3 -第7讲函数的图象变换...................................................................................................................... - 3 -第8讲函数综合问题.......................................................................................................................... - 4 -第9讲平面向量的线性运算与基本定理（一） .............................................................................. - 4 -第10讲平面向量的线性运算与基本定理（二） .............................................................................. - 4 -第11讲平面向量的数量积及综合...................................................................................................... - 6 -第12讲同角三角函数的基本关系及诱导公式 .................................................................................. - 6 -第13讲正弦型函数的图象与性质（一）（微课） .......................................................................... - 7 -第14讲正弦型函数的图象与性质（二）（微课） .......................................................................... - 7 -第15讲余弦、正切函数的图象与性质.............................................................................................. - 7 -第16讲三角函数的恒等变换.............................................................................................................. - 8 -第17讲三角函数的综合应用.............................................................................................................. - 9 -第18讲正弦定理和余弦定理.............................................................................................................. - 9 -第19讲解三角形（一）(微课)........................................................................................................ - 10 -第20讲解三角形（二）.....................................................................................................................- 11 -第21讲不等关系与不等式(微课).....................................................................................................- 11 -第22讲不等式的解法(一)(微课).................................................................................................... - 12 -第23讲不等式的解法(二)................................................................................................................ - 12 -第24讲基本不等式............................................................................................................................ - 12 -第25讲线性规划（一）.................................................................................................................... - 13 -第26讲线性规划（二）.................................................................................................................... - 13 -第27讲数列的求和............................................................................................................................ - 14 -第28讲数列的通项公式.................................................................................................................... - 15 -第29讲数列综合(一)........................................................................................................................ - 16 -第30讲数列综合(二)........................................................................................................................ - 17 -第31讲导数的运算知识串讲（微课）............................................................................................ - 18 -第32讲导数的概念及其应用(一).................................................................................................... - 19 -第33讲导数的概念及其应用(二).................................................................................................... - 19 -第34讲导数的概念及其应用(三).................................................................................................... - 20 -第35讲空间几何体的三视图与直观图............................................................................................ - 21 -第36讲空间几何体的表面积和体积................................................................................................ - 23 -第37讲空间点、直线、平面之间的位置关系（一）（微课） .................................................... - 23 -第38讲空间点、直线、平面之间的位置关系（二） .................................................................... - 24 -第39讲直线与圆综合（一）............................................................................................................ - 25 -第40讲直线与圆综合（二）............................................................................................................ - 26 -第41讲椭圆及其性质........................................................................................................................ - 26 -第42讲双曲线及其性质.................................................................................................................... - 27 -第43讲抛物线及其性质.................................................................................................................... - 27 -第44讲椭圆与直线的位置关系（微课）........................................................................................ - 28 -第45讲抛物线与直线的位置关系.................................................................................................... - 28 -第46讲圆锥曲线综合问题之椭圆.................................................................................................... - 29 -第47讲圆锥曲线综合问题之抛物线................................................................................................ - 30 -第48讲统计综合................................................................................................................................ - 31 -第49讲概率综合................................................................................................................................ - 31 -第50讲复数经典精讲........................................................................................................................ - 32 -第51讲算法经典精讲(微课) ............................................................................................................. - 33 -讲义参考答案.......................................................................................................................................... - 35 -第1讲 集合金题精讲题一：已知集合{1,2,3,6}=-A ，{23}B x x =-<<，则=A B _______.题二：已知集合{1,2,3}A =，{(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，则A B =_______.题三：设集合{}|(2)(3)0S x x x =--≥，{}|0T x x =＞，则S T =_____.题四:已知集合{}{}23,4P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R |1R |， 则()Q P =ðR ________第2讲 命题 (微课)题一：给定下列命题：① 若k > 0，则方程x 2 + 2x − k = 0有实根；② 若a > b ，则a + c > b + c ；③ 对角线相等的四边形是矩形；④ 若xy = 0，则x 、y 中至少有一个为0.其中真命题的序号是________________.第3讲 命题的四种形式及其关系(微课)题一：给出下列命题:① 命题“若b 2 − 4ac < 0，则方程ax 2 + bx + c = 0 (a ≠0) 无实根”的否命题；② 命题“△ABC 中，AB = BC = CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题；③ 命题“若a > b > 0，则3a > 3b > 0 ”的逆否命题.其中真命题的序号为____________.第4讲 充要条件(微课)题一：对于实数x 、y ，“8≠+y x ”是“2≠x或6≠y ”的___________条件.第5讲 函数及其性质(一) 题一：已知4213532,4,625a b c ===，则,,a b c 的大小关系为________.题二：若01c <<，则下列正确的是______.①32c c < ②32c c < ③log 3log 2c c <题三：设函数()e x f x x =+，则使得(1)(2)f x f x ->成立的x 的取值范围是_____第6讲 函数及其性质(二)题一：下列函数中，具有奇偶性的是_____.①21y x =+ ②ln y x = ③233x y x x -=- ④11221x y =+- 题二：若定义在R 上的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()f x f x -=-，且当0x ≥时，(1)(1)f x f x +=-，求(6)f =_________. 第7讲 函数的图象变换题一：为了得到函数()lg 31y x =+-的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点____.题二：由函数lg y x =的图象变换得到()lg 23y x =+的图象，以下有三种方法，请根据你的喜好排个序.（1）()()lg lg 2lg 23y x y x y x =→=→=+（2）()3lg lg lg 232y x y x y x ⎛⎫=→=+→=+ ⎪⎝⎭（3）()()lg lg 3lg 23y x y x y x =→=+→=+题三：函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得函数e x y -=的图象，则()f x =____.题四：函数()21y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的图象的对称轴一定可以为_____.①1-=x ②1=x ③21=x ④21-=x第8讲 函数综合问题题一：已知0,0a b >>，1a b +=，则11a b +的最小值为________. 题二：已知2110,0,2x ax x ⎡⎤++≥∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 则a 的最小值为________. 题三：已知()()R f x x ∈满足()()f x f x -=-，若函数1y x =与()y f x =图象的交点为1122(,),(,),x y x y 则1122()+()=x y x y ++___________.第9讲 平面向量的线性运算与基本定理（一）题一：向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示， 若()c a b λμλμ=+∈R ，， 则λμ= ．题二：(1)若向量a =(2，1)，b =(x ，2)， u =2a b +，v =a b -，且u //v ，则x = .(2)已知向量(3,1)a =，(0,1)b =-，(,3)c k =，若2a b -与c 共线，则k = .第10讲 平面向量的线性运算与基本定理（二）题一：已知：平行四边形ABCD ，对角线AC ，BD 交于点O ，点E 为线段OB 中点， 完成下列各题.(用于填空的向量为图中已有线段所表示的向量)题二：在平行四边形ABCD中，===，M为BC的中点，,,3AB a AD b AN NC则MN=_______（用a b、表示）题三：若D 在△ABC的BC边上，且==+，则3r+s=______. CD DB r AB sAC4题四：已知向量OA=（k，12），OB = (4，5)，OC= (-k，10)，则向量AC=，若A、B、C三点共线，则k= .题五：已知点A(1，-2)，若向量AB与a =（2，3）同向，AB =2，则点B 的坐标为 .第11讲 平面向量的数量积及综合题一：已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= .题二：已知向量a 与b 的夹角为120o ， 3,13,a a b =+=则b 等于 .题三：已知平面上三点A 、B 、C 满足||3,||4,||5AB BC CA ===，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅= .题四：在△ABC 中，O 为中线AM 上一个动点，若AM =2，则()OA OB OC ⋅+的最小值为 .第12讲同角三角函数的基本关系及诱导公式 题一：(1)已知sin α =45，并且tan α<0， 求α的其它三角函数值．(2)已知sin α =45，求α的其它三角函数值．题二：化简求值sin 31π6⎛⎫- ⎪⎝⎭-cos 10π3⎛⎫- ⎪⎝⎭-sin 19π4题三：已知π2ππcos()(0)633m m αα<<+=≠，，2πtan()3α-求的值．第13讲正弦型函数的图象与性质（一）（微课） 题一：已知函数g (x )=sin(3π-2x ). (1)函数g (x )的周期为__________；(如没有特殊说明，写出该函数的最小正周期即可)(2)写出函数g (x )的单调减区间___________；(3)只需将函数y =cos2x 的图象向________平移________单位，就可以得到函数g (x )的图象.第14讲 正弦型函数的图象与性质（二）（微课） 题一：已知函数π()2sin(2)3f x x =-. (1)该函数的周期为__________;(2)在坐标系中作出(五点法)该函数一个周期上的简图;(3)写出该函数在区间[0,2π]内的单调减区间_________;(4)将函数y =2sin2x 的图象向______移动_______个单位可以得到函数()f x 的图象；(5)若3π[,2π]2x ∈，函数()f x 的最大值为M ， 最小值为N ，则M -N = .第15讲余弦、正切函数的图象与性质1、余弦函数cos x 的性质题一：当ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则函数 πcos(2)6y x =-的值域为_________. 2、正切函数tan x 的性质 定义域：ππ()2x k k ≠+∈Z 值域：(,)-∞+∞周期：πT =奇偶性：奇函数tan()tan x x -=- . 单调性：ππ[π,π]()22k k k -++∈Z 单调递增. 第16讲 三角函数的恒等变换题一：求值(1)sin75︒ (2)sin13︒cos17︒+cos13︒sin17︒题二：函数sin cos (0)y a x b x a b =+⋅≠的最大值、最小值和周期.题三：求函数22cos sin 2y x x =+的最小值.题四：求函数2()sin cos f x x x x = 在区间π,42π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.题五：求值（1）tan 42tan181tan 42tan18+-（2）1tan 751tan 75+-（3）tan17︒+tan28︒+tan17︒tan28︒第17讲三角函数的综合应用 题一：已知344αππ<<，04βπ<<， 3cos()45απ+=-，35sin()413βπ+=， 求cos(α + β)的值.题二：已知函数(sin cos )sin 2()sin x x x f x x-=. (1)求()f x 的定义域及最小正周期；(2)求()f x 的单调递增区间.题三：已知向量(cos ,sin ),[0,]a θθθ=∈π， 向量(3,1)b =-(1)当a b ∥，求θ；(2)当a b ⊥时，求θ；(3)求|2|a b -的最大和最小值.第18讲 正弦定理和余弦定理题一：已知4,cos ,35B A b π===求ABC S △.题二：ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若o 120c b B ==，求a .题三：在ABC ∆中，若()()3a b c a b c ab +++-=且sin 2sin cos C A B =，判断ABC ∆的形状.第19讲解三角形（一）(微课)题一：ABC ∆中，222a c b -=， sin cos 3cos sin A C A C =，求b .题二：设ABC ∆的内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，3cos()cos 2A CB -+=，2b ac =， 求B .第20讲解三角形（二）题一：在△ABC中，BC AC=3，sin C=2sin A.(1) 求AB的值；(2) 求πsin24A⎛⎫-⎪⎝⎭的值.题二：在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°，求BC的长.题三：如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航航行，有无触礁的危险？第21讲不等关系与不等式(微课)题一：判断下列命题的正误：(1)当ab ≠0时，若a <b ，则ba ab 2211>； (2)设a ，b ∈R ，若ab ≠0， b a ＜1，则a b ＞1.第22讲不等式的解法(一)(微课)题一：解下列关于x 的不等式： (1) 9x 2－6x +1>0 (2) x 2－4x +5>0(3) －2x 2+x +1>0 (4) －x 2+4x －4>0题二：不等式21134x x->-的解集为__________. 第23讲 不等式的解法(二)题一：解关于x 的不等式：ax 2+(1－a )x －1<0.题二：已知集合A ={x |x 2+3x －18>0}，B ={x |x 2－(k +1)x －2k 2+2k ≤0}，若AB ≠∅，则实数k 的取值范围是_______. 第24讲 基本不等式 题一：设π02x <<，则2sin sin y x x=+的值 域为_________.题二：已知正数x ，y 满足x +2y =1，求11x y+ 的最小值.题三：(1)y =e x +e -x 有最_____值，为_____，此时x =_______.(2)当0<x <9时，y =x (9-x )的最大值为______，x =_____. (3) 13y x x =+-(x >3)的最小值是_______， 此时x =____.第25讲 线性规划（一）题二：若x ，y 满足约束条件20204,x y x y x x y +-≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪∈⎩N ， 则2z x y =+的最小值为______________，最大值为________________．题三：已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≤--,0104,0117,02357y x y x y x求：（1）y x 34-的最大值和最小值；（2）22y x +的最大值和最小值；（3）58-+x y 的最大值和最小值．第26讲线性规划（二）题一：已知实数x ，y 满足下列条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，设y t x =，则t 的最小值为________. 题二：要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A 、B 、C 三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：今需A 、B 、C 三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少.第27讲数列的求和 数列求和的基本方法：1. 公式法：2. 分组求和法：3. 错位相减法：4. 裂项求和法：易错小题考考你题一： 求1111132435(2)S n n =++++⨯⨯⨯+的值．金题精讲题一：数列{}n a 中，,2,841==a a 且满足 0212=+-++n n n a a a ，求n n a a a S +++= 21．第28讲数列的通项公式 易错小题考考你题一：数列{}n a 的前n 项和n S ， n n S a a 2,111==+（n +∈N ）．求数列{}n a 的通项公式．金题精讲题一：{}n a 是首项为1的正项数列， 且1()1n n a n n a n ++=∈+N ，求它的通项公式．题二：已知数列{}n a 满足：1a a =,1n n a ka b +=+ （,,0,1,0k b R k b ∈≠≠），n +∈N ，求数列{}n a 的 通项公式．题三：在数列{}n a 中,n S 是其前n 项和,由下面给出的n S ,求n a ．(1) n S =223n n -;(2) n S =23log n +题四：已知各项均为正数的数列{}n a 的 前n 项和为n S ，满足11S >，且6(1)(2)n n n S a a =++，*n ∈N ，求数列{}n a 的通项公式．题五：已知数列{}n a 满足122(1)(2)n a a na n n n ++=++…+， 求{}n a 的通项公式．第29讲数列综合(一) 题一：设正项数列{a n }的前n 项和为S n ， 且12+=n n a S .(1)求{a n }的通项公式；(2)设11+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项和为 B n .第30讲数列综合(二)易错小题考考你 题一：设{}n a 为首项为正数的等比数列，它的 前n 项之和为80，前2n 项之和为6560，且前 n 项中数值最大的项为54，则{}n a 的通项公式 为 .金题精讲题一：设正项等比数列{}n a 的首项211=a ， 前n 项和为n S ，且 10103020102(21)0S S S -++=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求{}n nS 的前n 项和n T ．题二：设函数f (x ) = log 2x - log x 2(0<x <1), 数列{a n }满足(2)2()n a f n n +=∈N .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{a n }是递增数列还是递减数列.题三：数列{a n }中,a 1=8, a 4=2,且满足a n +2-2a n +1+a n =0 (n ∈Z)，设1()(12)n n b n n a +=∈-N ， 12()n n T b b b n +=++⋅⋅⋅+∈N ，是否存在最大的整数m ，使得任意的n +∈N 总有32n m T >成 立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．第31讲导数的运算知识串讲（微课）重难点易错点梳理 '________;c =(c 为常数)()'________;(0,0Q)n x x n n =>≠∈且________;1()'________;(e )'________;x x=== ()'________;x a =(01)a a >≠且(ln )'________;x =(log )'________.a x =(0 ,0x a >>且1a ≠)[()()]'_____________;[()()]'_____________;()[]'_____________(()0).()f xg x f x g x f x g x g x ±=⋅==≠ 题一：求导：()()211ln 2f x x ax a x =-+- ()()ln 1f x x x ax =-- x xx f ln )(=题二：求下列函数的导数（1）x y tan =（2）4cos 4sin 44x x y += （3）)4cos 21(2sin 2x x y --=第32讲导数的概念及其应用(一) 题一：函数3211()232f x x ax bx =++，极大值点在(0，1)内，极小值点在(1，2)内，则21b a --的 取值范围是___________.题二：当x > 0时，求证：212e x x +<.题三：已知函数()ln f x x x =，2()e ex x g x =-. 求证：对任意,(0,)m n ∈+∞， 都有()()f m g n ≥.第33讲导数的概念及其应用(二) 题一：设函数323()(1)132a f x x x a x =-+++， a ∈R .（1）函数()f x 在1x =处能取得极小值吗？为什么？（2）已知不等式2()1f x x x a '>--+对(0,)a ∀∈+∞都成立，求实数x 的取值范围.题二：已知函数2ln ,,()23,,x x x a f x x x x a >⎧⎪=⎨-+-≤⎪⎩ 其中0a ≥．（1）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(1, f (1))处的切线方程；（2）如果对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <，求a 的取值范围.题三：已知函数12e ()44x f x ax x +=++， 其中a ∈R .（1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）当1a >时，试确定函数()f x 的单调区间.第34讲导数的概念及其应用(三)题一：已知曲线:e ax C y =. (1)若曲线C 在点(0,1)处的切线为2y x m =+，求实数a 和m 的值；(2)对任意实数a ，曲线C 总在直线l :y ax b =+的上方，求实数b 的取值范围.题二：已知()21()ln ,2f x xg x x a ==+ （a 为常数），直线l 与()(),f x g x 的图象都相切，且l 与()f x 的切点横坐标为1.（1）求l 的方程及a 的值；（2）当0k >时，讨论()()21f x g x k +-=的解的个数.题三：已知函数()()e x f x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a <时，试确定函数 2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.第35讲 空间几何体的三视图与直观图题一：一个几何体的三视图如图，请说出它对应的几何体的名称.侧视图俯视图正视图 (1)(2)(3)(4)第36讲 空间几何体的表面积和体积题一： 已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积.(单位：cm)题二：已知棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，O 为上底面A 1B 1C 1D 1的中心，E 为棱A 1B 1上一点，则AE +EO 的长度的最小值是___________.第37讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（一）（微课）题一：正方体ABCD A B C D ''''-中，(1)哪些棱所在直线与直线B A '是异面直线？(2)直线B A '和CC '的夹角是多少？第38讲空间点、直线、平面之间的位置关系（二）-中，底面题一：如图，在四棱锥P ABCDABCD是菱形，PA PB=，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是棱AB的中点．CD平面PAB；（Ⅰ）求证：//⊥；（Ⅱ）求证：PE AD=，（Ⅲ）若CA CB求证：平面PEC⊥平面PAB.题二：如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3，G 和H 分别是CE 和CF 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求证：平面BDGH //平面AEF ；（Ⅲ）求多面体ABCDEF 的体积.第39讲直线与圆综合（一）题一：过点(－4,0)作直线l 与圆 x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，求直线l 的方程.FBCG EAHD题二：求圆心在直线10x y --=上，与直线4340x y ++=相切，且在直线3450x y +-=上截得弦长为.第40讲直线与圆综合（二） 题一：已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3, 5)，求过点A 的圆的切线方程.第41讲 椭圆及其性质题一：焦距为10的椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26，求椭圆方程.题二：求过点A (，0)，且与椭圆9x 2＋5y 2 = 45有共同焦点的椭圆方程. 题三：椭圆22192x y +=的焦点为F 1、F 2， 点P 在椭圆上. 若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝______， ∠F 1PF 2的大小为________.题四：P 是椭圆22143x y +=上的点，F 1和F 2是 该椭圆的焦点，则k ＝|PF 1|·|PF 2|的最大值是______，最小值是______.题五：点F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心的圆经过椭圆中心，且与椭圆的一个交点为M ，若直线MF 1恰与⊙F 2相切，则椭圆的离心率为______. 题六：已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_________.第42讲双曲线及其性质 题一：双曲线22221x y a b-=(a > 0，b > 0)， F 1，F 2为焦点，弦AB 过F 1且在双曲线的一支 上，若222AF BF AB +=，则AB =_______. 题二：F 1、F 2是双曲线221916x y -=的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32， 则∠F 1PF 2＝____________.题三：焦点在x 轴上的双曲线，它的两条渐近线的夹角为3π，焦距为12，求此双曲线的方程及离心率.题四：已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，求双曲线C 2的方程.第43讲抛物线及其性质题一：抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是__________. 题二：设F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、 C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=， 则||||||FA FB FC ++= .题三：过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点 (点A 在y 轴的左侧)，则||||AF FB ＝________.题四：已知抛物线22y x =的焦点是F ， 点P 是抛物线上的动点，点(3,2)A ，则||||PA PF +的最小值为____________， 此时P 点的坐标为______________.第44讲 椭圆与直线的位置关系（微课）题一：若直线1y k x=+和椭圆22125x y m+=恒有公共点, 则实数m 的取值范围为 .第45讲 抛物线与直线的位置关系题一：过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线 l 与抛物线交于A 、B 两点(点A 在x 轴上方)， 若3AF FB =，则直线l 的斜率为____________.题二：判断抛物线x y 22=与直线y kx k =-公 共点的个数.题三：过点Q (4，1)作y 2 = 8x 的弦AB 恰被点 Q 平分，则AB 的方程为____________.第46讲 圆锥曲线综合问题之椭圆题一：在平面直角坐标系xOy 中，经过点斜率为k 的直线l 与椭圆22x +y 2=1有两个不同的交点P 和Q . (1) 求k 的取值范围；(2) 设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分 别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP OQ + 与AB 共线? 如果存在，求k 值；如果不存在， 请说明理由.题二：已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴 上，左、右焦点分别为F 1、F 2，且12||2F F =， 点(1，32) 在椭圆C 上. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B l的方程.第47讲圆锥曲线综合问题之抛物线题一：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．题二：已知抛物线的一条弦过焦点，求证：以此弦为直径的圆必与抛物线的准线相切．题三：已知直线y=k(x+2)(k≠0)与抛物线C：y2=8x相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，求证：x1x2为定值．第48讲统计综合题一：已知某次期中考试中，甲、乙两组学生的数学成绩如下：甲：88 100 95 86 95 91 84 74 92 83 乙：93 89 81 77 96 78 77 85 89 86 则下列结论正确的是( ) A ．x －甲>x －乙，s 甲>s 乙B ．x －甲>x －乙，s 甲<s 乙C ．x －甲<x －乙，s 甲>s 乙D ．x －甲<x －乙，s 甲<s 乙题二：某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案．使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：①7, 34, 61, 88, 115, 142, 169, 196, 223, 250； ②5, 9, 100, 107, 111, 121, 180, 195, 200, 265； ③11, 38, 65, 92, 119, 146, 173, 200, 227, 254； ④30, 57, 84, 111, 138, 165, 192, 219, 246, 270． 关于上述样本的下列结论中，正确的是( ) A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样C ．①、④都可能为系统抽样D ．①、③都可能为分层抽样题三：设有两组数据x 1，x 2，…，x n 与y 1，y 2，…，y n ，它们的平均数分别是x －和y －，则新的一组数据2x 1－3y 1＋1,2x 2－3y 2＋1，…， 2x n －3y n ＋1的平均数是( )A ．2x －－3y －B ．2x －－3y －＋1C ．4x －－9y －D ．4x －－9y －＋1题四：在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( ) A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3 D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3第49讲 概率综合题一：在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节目．如果每位教师被选到的概率相等，而且选到男教师的概率为920，那么参加这次联欢会的教师共有( )A．360人B．240人C．144人D．120人题二：某学习小组有3名男生和2名女生，从中任取2人去参加演讲比赛，事件A＝“至少一名男生”，B＝“恰有一名女生”，C＝“全是女生”，D＝“不全是男生”，那么下列运算结果不正确的是()A．A∩B＝B B．B∪C＝DC．A∩D＝B D．A∪D＝C题三：现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．题四：某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．第50讲复数经典精讲题一：已知复数222761(56)i()z a a a a a a =-+-+--∈R .实数a 取什么值时，z 是（1） 实数？（2）虚数？（3）纯虚数？题二：计算：（1）(3＋4i)(3－4i)； （2）2(1i)+.题三：已知函数223()1x x f x x -+=+，求(1i)f +和(1i)f -的值.第51讲 算法经典精讲(微课)题一：如图所示程序输出的结果是________.题二：执行如图所示的程序框图后，输出的值 为4，则P 的取值范围是__________.讲义参考答案第1讲 集合金题精讲题一：{-1,2}.题二：{}0,1,2,3题三：(0,2][3,)+∞.题四：()1,+-∞ 题五：(2,3]-第2讲 命题 (微课)题一：①②④第3讲 命题的四种形式及其关系 (微课)题一：①②③第4讲 充要条件（微课)题一：充分不必要第5讲 函数及其性质(一)题一：c >a >b . 题二：①③. 题三：1(,)3-∞ 第6讲 函数及其性质(二)题一：①④. 题二：0.第7讲 函数的图象变换题一：纵坐标不变，向左平移3个单位， 再横坐标不变，向下平移1个单位. 题二：（1）lg y x =的图象纵坐标不变， 横坐标压缩为来的12倍，得到()lg 2y x =的图象； ()lg 2y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左平移32个单位，得到()3lg 2()lg 232y x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图 象.（2）lg y x =的图象先纵坐标不变，横坐标向左平移32个单位，得到3lg 2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象； 3lg 2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象纵坐标不变，横坐标先压缩为原来的12倍，得到3lg 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象； 再纵坐标不变，向左平移34个单位， 得到()33lg 2()lg 2342y x x ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭的图象. （3）lg y x =的图象纵坐标不变，横坐标左平移3个单位，得到()lg 3y x =+的图象；()lg 3y x =+的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的12倍，得到()lg 23y x =+的图象. 题三：1ex --.题四：①.第8讲 函数综合问题题一：4. 题二：52-. 题三：0. 第9讲 平面向量的线性运算与基本定理（一）题一：4. 题二：(1)4 (2)1第10讲 平面向量的线性运算与基本定理（二）题一：(1),,,,,0DE DO DC DC CD u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r (2)14-(3)D..题二：1144a b -+. 题三：85. 题四：(-2k ，-2)，23k =-. 题五：(5，4).第11讲 平面向量的数量积及综合.. 题二：4. 题三：-25. 题四：-2.第12讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式题一：(1)cos α =35-，tan α =43- (2)当α是第Ⅰ象限角时，cos α =35，tan α =43； 当α是第Ⅱ象限角时，cos α =35-，tan α =43-.题二：1- 题三：第13讲 正弦型函数的图象与性质（一）（微课）题一：(1)π(2)π5π[π,π],1212k k k -+∈Z (3)左；π12. 第14讲 正弦型函数的图象与性质（二） （微课）题一：(1)π(2)略(3)5π11π[,]1212，17π23π[,]1212(4)右，π6. 第15讲 余弦、正切函数的图象与性质题一：. 第16讲 三角函数的恒等变换题一：(2)12.周期为2π.题三：1 题四：32.题五：（12）3）1第17讲 三角函数的综合应用题一：1665-. 题二：(1){|π,}x x k k ≠∈z ，πT =.(2)π[π,π)8k k -和3π(π,π]8k k + 题三：(1)5π6 (2)π3(3)最大值：4.第18讲 正弦定理和余弦定理题三：等边三角形第19讲 解三角形（一）(微课)题一：b =4 题二：B =π3. 第20讲 解三角形（二）题一：(1) (2)题二： 题三：点A 到直线BC 的距离约为40.98海里， 没有触礁危险第21讲 不等关系与不等式(微课)题一：(1)错误 (2)错误第22讲 不等式的解法(一)(微课)题一：(1)13x ≠(2)x ∈R(3)1(,1)2x ∈- (4) ∅ 题二：23(,)34第23讲 不等式的解法(二)题一：当a =0时，x ∈(－∞，1)；当a >0时，1(,1)x a ∈-；当a =－1时，x ∈(－∞，1)∪(1,+ ∞)；当－1<a <0时，x ∈(－∞，1) ∪(1a -，+∞)； 当a <－1时，x ∈(－∞，1a -) ∪(1，+∞) 题二：k >32或k <－2. 第24讲 基本不等式题一：(3,)+∞题二：3+题三：(1)小，2，0 (2)814，92(3)5，4 第25讲 线性规划（一）题一：-9． 题二：3；16．题三：（1）最大值为14；最小值为-18；（2）最大值为37；最小值为0；（3）最大值为－13；最小值为-9． 第26讲 线性规划（二） 题一：25题二：设截甲种钢管x 根，乙种钢管y 根，则,2213316418x y x y x y x y ∈⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪+≥⎪⎩N ，目标函数为z ＝x ＋y ，做出可行域 如下图阴影部分内的整点：由316418x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩可求得点3846(,)1111A ， 但其不是最优解，在其附近可寻找到与其最近的整点为(4,4)B ，它是最优解.所以各截这两种钢管4、4根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少.第27讲 数列的求和易错小题考考你题一：32342(1)(2)n n n +-++． 金题精讲题一：229-,(5)-940,(5)n n n n S n n n ⎧≤=⎨+>⎩． 第28讲 数列的通项公式易错小题考考你题一：211232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，，． 金题精讲 题一：1n a n=． 题二：1()11n n b b a a k k k -=+---． 题三：（1）45n a n =-；（2）231log 21n n a n n n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩，，． 题四：31n a n =-．题五：33n a n =+．第29讲 数列综合(一)题一：(1) a n =2n －1 (2) B n =21n n + 第30讲 数列综合(二)题一：123n n a -=⨯．金题精讲题一：（1）12n n a =； （2）1(1)12222n n n n n n T -+=++-． 题二：（1）a n =2）递增数列．题三：存在，m =7．第31讲 导数的运算知识串讲重难点易错点梳理0；1n nx -21x -；e x ；ln x a a ；1x ；1ln x a ； ()'()'f x g x ±；()'()()()'f x g x f x g x +； 2()'()()()'()f x g x f x g x g x - 题一：(1)(1)()(0)x x a f x x x -+-'=>()'ln 1f x x a =+-()2ln 1'ln x f x x -=题二：（1）21cos x（2）1sin 4x - （3）1cos 2x 第32讲 导数的概念及其应用(一) 题一：1(,1)4题二：令2()12e x F x x =+-，则22'()22e 2(1e )x x F x =-=-，∵ x > 0，∴2e x > 1，∴'()0F x <，∴F (x )在(0,)+∞上是减函数，又∵F (x )在x = 0处连续，∴F (x )在[0,)+∞上是减函数.∴对于任意x > 0，总有F (x ) < F (0)=0， 即212e0x x +-<，∴212e x x +<.题三：①因为()ln f x x x =， 所以()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，解得1x =，所以min 11()()e e f x f ==-，所以当(0,)m ∈+∞时，有1()e f m ≥-.②因为2()ee x x g x =-，所以2e (1)1()e ex x x x x g x --'==，令()0g x '=，所以max ()(1)e g x g ==-，所以当(0,)n ∈+∞时，有1()eg n ≤-.由①②可得，对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立. 第33讲 导数的概念及其应用(二)题一：（1）不能，理由如下：2()3(1)f x ax x a '=-++，若()f x 在1x =处能取得极小值，则(1)01f a '=⇒=，当1a =，()(1)(2)f x x x '=--，可知函数()f x 在1x =处取得极大值，矛盾.（2）20x -≤≤.题二：（1）1y x =-；（2）1,e [1].题三：（1）函数()f x 有极小值e (0)4f =； （2）当12a <<时，函数()f x 的单调减区间为4(2,0)a -，单调增区间为4(,2)a-∞-，(0,)+∞； 当2a =时，210x x ==，函数()f x 在R 单调递增；当2a >时，函数()f x 的单调减区间为4(0,2)a -，单调增区间为(,0)-∞，4(2,)a-+∞． 第34讲 导数的概念及其应用(三)题一 (1)2a =，1m =；(2)(,1)b ∈-∞.题二：（1）10x y --=；12a =- （2）当ln 2k >时，方程有0个解；当ln 2k =或102k <<时，方程有2个解；当12k =时，方程有3个解； 当1ln 22k <<时，方程有4个解. 题三：（1）()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．（2）()g x 有且仅有一个零点.理由见详解.详解：由2()()0g x f x a x =--=，得方程2e x a x x -=，显然0x =为此方程的一个实数解.所以0x =是函数()g x 的一个零点.当0x ≠时，方程可化简为e x a x -=.设函数()e x a F x x -=-，则()e 1x a F x -'=-，令()0F x '=，得x a =．当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：单调减区间为(,)a -∞．所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-.因为1a <，所以min ()()10F x F a a ==->，所以对于任意x ∈R ，()0F x >，因此方程e x ax -=无实数解．所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点.第35讲 空间几何体的三视图与直观图题一：(1)圆台(2)底面为等腰直角三角形的直三棱柱.(3) 四棱锥(4)倒放的直四棱柱第36讲 空间几何体的表面积和体积题一：48+ 题二： 第37讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（一）（微课）题一：(1),,,,,CD C D DD CC A D BC '''''' (2)45°第38讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（二）第39讲 直线与圆综合（一）题一：5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0题二：22(2)(1)9x y -+-=第40讲 直线与圆综合（二）题一：x ＝3或y ＝34x ＋114. 第41讲 椭圆及其性质 题一：221169144x y +=或221144169x y +=. 题二：2211216x y += 题三：2，120°. 题四：4，3.1 题六：(0, 第42讲 双曲线及其性质题一：4a . 题二：90°. 题三：此双曲线的方程为221279x y -=，； 或者此双曲线的方程为221927x y -=，离心率为2. 题四：2213x y -=. 第43讲 抛物线及其性质题一：3y =. 题二：6. 题三：13. 题四: 72， (2，2). 第44讲 椭圆与直线的位置关系题一：1m ≥且25m ≠.第45讲 抛物线与直线的位置关系题二：k = 0时，有一个公共点；k ≠ 0时，有两个公共点.题三：4x - y - 15 = 0.第46讲 圆锥曲线综合问题之椭圆题一：(1) (−∞，− )∪+∞)； (2)不存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线，理由如下：设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2) ，则OP +OQ =(x 1+x 2，y 1+y 2)，由已知条件知，直线l 的方程为y =kx代入椭圆方程得22x +(kx 2=1，整理得2212k x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+1=0 ①由方程①得x 1 + x 2 ②又y 1 + y 2 = k (x 1 + x 2 ③而A 0) ，B (0，1) ，AB 1) .所以OP +OQ 与AB 共线等价于x 1 + x 2 y 1 + y 2)，将②③代入上式，解得k .由(1) 知k 或k ， 故没有符合题意的常数k .题二：(1) 22143x y +=；(2)(1)y x =±+. 第47讲 圆锥曲线综合问题之抛物线题一：8．题二：已知：抛物线y 2=2px (p >0)，弦AB 过焦点F ．求证：以AB 为直径的圆与抛物线的准线2p x =-相切． 证明：取线段AB 的中点M ，分别过点A 、B 、M 作准线的垂线AS 、BT 、MN 交点为S 、T 、N ． 因为弦AB 过焦点F ，所以|AS |=|AF |，|BT |=|BF |，故|AB |=|AF |+|BF |=|AS |+|BT |，因为在梯形ASTB 中，AS 、MN 、BT 均与2p x =-垂直，所以AS //MN //BT ， 因为M 是线段AB 的中点，所以MN 为梯形中位线，故|MN |=12(|AS |+|BT |)=12|AB |， 即圆心M 到直线2p x =-的距离等于圆的半径， 故以AB 为直径的圆与抛物线的准线2p x =-相切，此题得证． 题三：证明：联立直线与抛物线的方程()228y k x y x⎧=+⎪⎨=⎪⎩，消去y 得()222=8k x x +， 化简为()222248+40k x k x k +-=，。
2019届高考数学大二轮复习精品练习：第1部分 专题4 数列 第2讲 Word版含解析
第一部分 专题四 第二讲A 组1．设{a n }的首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝(D )A ．2B ．－2C ．12D ．－12[解析]由题意知S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以S 2＝S 1·S 4，即(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.故选D ．2．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1等于( B )A ．1－14nB ．23(1－14n )C ．1－12nD ．23(1－12n)[解析]因为a n ＝1×2n －1＝2n －1，所以a n ·a n ＋1＝2n －1·2n ＝2×4n －1，所以1anan ＋1＝12×(14)n －1，所以{1anan ＋1}也是等比数列，所以T n ＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1＝12×错误!＝错误!(1－错误!)，故选B ．3．(2018·烟台模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( C)A ．30B ．45C ．90D ．186[解析]设{a n }的公差为d ，首项为a 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋d ＝6，a1＋4d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝3，d ＝3，所以a n ＝3n ，所以b n ＝a 2n ＝6n ，且b 1＝6，公差为6，所以S 5＝5×6＋5×42×6＝90.4．等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0，S n 为其前n 项和，对任意自然数n ，若点(n ，S n )在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是( C )[解析]∵S n ＝na 1＋错误!d ，∴S n ＝错误!n 2＋(a 1－错误!)n ，又a 1>0，公差d <0，所以点(n ，S n )所在抛物线开口向下，对称轴在y 轴右侧．[点评] 可取特殊数列验证排除，如a n ＝3－n .5．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2; ②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x|； ④f (x )＝ln|x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( C )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ [分析]保等比数列函数指：①定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数；②若{a n }是等比数列，则{f (a n )}仍是等比数列．[解析]解法一：设{a n }的公比为q .①f (a n )＝a 2n ，∵a2n ＋1a2n ＝(an ＋1an )2＝q 2，∴{f (a n )}是等比数列，排除B 、D ．③f (a n )＝|an|，∵|an ＋1||an|＝|an ＋1an|＝|q|，∴{f (a n )}是等比数列，排除A ．解法二：不妨令a n ＝2n .①因为f (x )＝x 2，所以f (a n )＝a 2n ＝4n .显然{f (a n )}是首项为4，公比为4的等比数列．②因为f (x )＝2x ，所以f (a 1)＝f (2)＝22，f (a 2)＝f (4)＝24，f (a 3)＝f (8)＝28，所以错误!＝错误!＝4≠错误!＝错误!＝16，所以{f (a n )}不是等比数列．③因为f (x )＝|x|，所以f (a n )＝2n ＝(2)n .显然{f (a n )}是首项为2，公比为2的等比数列．④因为f (x )＝ln|x |，所以f (a n )＝ln2n ＝n ln2.显然{f (a n )}是首项为ln2，公差为ln2的等差数列，故选C ．6．(2018·邵阳一模)已知数列{b n }为等比数列，且b 1009＝e(e 为自然对数的底数)，数列{a n }的首项为1.2_017的值为2018a 则ln ，n b ·n a ＝＋1n a 且，[解析]因为数列{b n }为等比数列，且b 1009＝e(e 为自然对数的底数)，数列{a n }的首项为1，且a n ＋1＝a n ·b n ，所以a 2018＝b 1·b 2·b 3·b 4·…·b 2017＝b 20171009＝e 2017，ln a 2018＝lne 2017＝2017.7．已知数列{a n }是等比数列，其公比为2，设b n ＝log 2a n ，且数列{b n }的前10项的和为25，那么1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a10的值为1 023128.[解析]数列{a n }是等比数列，其公比为2，设b n ＝log 2a n ，且数列{b n }的前10项的和为25，所以b 1＋b 2＋…＋b 10 ＝log 2(a 1·a 2·…·a 10)＝log 2(a 10121＋2＋…＋9)＝25，所以a 101×245＝225，可得：a 1＝14.那么1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a10＝4(1＋12＋122＋…＋129)＝4×1－12101－12＝1023128.8．已知等比数列{a n }的公比q >1,42是a 1和a 4的一个等比中项，a 2和a 3的等差中项为6，若数列{b n }满足b n ＝log 2a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .[解析](1)因为42是a 1和a 4的一个等比中项，所以a 1·a 4＝(42)2＝32.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a2·a3＝32，a2＋a3＝12.因为q >1，所以a 3>a 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，a3＝8.所以q ＝a3a2＝2.故数列{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)由于b n ＝log 2a n (n ∈N *)，所以a n b n ＝n ·2n ， S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，①2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.②①－②得，－S n ＝1·2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝错误!－n ·2n ＋1.所以S n ＝2－2n ＋1＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1.9．(文)(2018·天津卷，18)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n∈N *)．已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6.(1)求S n 和T n ；(2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值．[解析](1)设等比数列{b n }的公比为q ，由b 1＝1，b 3＝b 2＋2，可得q 2－q －2＝0.因为q >0，可得q ＝2，故b n ＝2n －1.所以T n ＝1－2n1－2＝2n －1.设等差数列{a n }的公差为d .由b 4＝a 3＋a 5，可得a 1＋3d ＝4.由b 5＝a 4＋2a 6，可得3a 1＋13d ＝16，从而a 1＝1，d ＝1，故a n ＝n ，所以S n ＝错误!. (2)由(1)，知T 1＋T 2＋…＋T n ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2n ＋1－n －2.由S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n 可得错误!＋2n ＋1－n －2＝n ＋2n ＋1，整理得n 2－3n －4＝0，解得n ＝－1(舍)，或n ＝4.所以n 的值为4.(理)(2018·天津卷，18)设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n∈N *)，{b n }是等差数列.已知a 1＝1，a 3＝a 2＋2，a 4＝b 3＋b 5，a 5＝b 4＋2b 6.(1)求{a n }和{b n }的通项公式．(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *)，①求T n ；②证明[解析](1)设等比数列{a n }的公比为q .由a 1＝1，a 3＝a 2＋2，可得q 2－q －2＝0.因为q >0，可得q ＝2，故a n ＝2n －1.设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4＝b 3＋b 5，可得b 1＋3d ＝4.由a 5＝b 4＋2b 6，可得3b 1＋13d ＝16，从而b 1＝1，d ＝1，故b n ＝n .所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，数列{b n }的通项公式为b n ＝n .(2)①由(1)，有S n ＝1－2n1－2＝2n －1，故T n ＝k ＝1n(2k －1)＝k ＝1n 2k－n ＝错误!－n ＝2n ＋1－n －2.②因为错误!＝错误!＝ 错误!＝错误!－错误!，B 组1．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－52，则数列{错误!}的前n 项和T n ＝( C ) A ．－n2n ＋1B ．n2n ＋1C ．－2n2n ＋1D ．2n2n ＋1[解析]本题主要考查等差、等比数列的性质以及裂项法求和．设{a n }的公差为d ，因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋a3－a12＝32a 1－54，S 4＝3a 3＋a 1＝a 1－152，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(32a 1－54)2＝(a 1－152)a 1，整理得4a 21＋12a 1＋5＝0，所以a 1＝－52或a 1＝－12.当a 1＝－52时，公差d ＝0不符合题意，舍去；当a 1＝－12时，公差d ＝a3－a12＝－1，所以a n ＝－12＋(n －1)×(－1)＝－n ＋12＝－12(2n －1)，所以错误!＝－错误!＝－(错误!－错误!)，所以其前n 项和T n ＝－(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝－(1－12n ＋1)＝－2n2n ＋1，故选C ．2．(文)以S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，若S 5>S 6，则下列不等关系不一定成立的是( D )A ．2a 3>3a 4B ．5a 5>a 1＋6a 6C ．a 5＋a 4－a 3<0D ．a 3＋a 6＋a 12<2a 7[解析]依题意得a 6＝S 6－S 5<0,2a 3－3a 4＝2(a 1＋2d )－3(a 1＋3d )＝－(a 1＋5d )＝－a 6>0,2a 3>3a 4；5a 5－(a 1＋6a 6)＝5(a 1＋4d )－a 1－6(a 1＋5d )＝－2(a 1＋5d )＝－2a 6>0,5a 5>a 1＋6a 6；a 5＋a 4－a 3＝(a 3＋a 6)－a 3＝a 6<0.综上所述，故选D ．(理)已知a n ＝32n －11，数列{a n }的前n 项和为S n ，关于a n 及S n 的叙述正确的是( C )A ．a n 与S n 都有最大值B ．a n 与S n 都没有最大值C ．a n 与S n 都有最小值D ．a n 与S n 都没有最小值[解析]画出a n ＝32n －11的图象，点(n ，a n )为函数y ＝32x －11图象上的一群孤立点，(112，0)为对称中心，S 5最小，a 5最小，a 6最大．3．已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( A )A ．25B ．50C ．100D ．不存在 [解析]∵S 20＝a1＋a202×20＝100，∴a 1＋a 20＝10.∵a 1＋a 20＝a 7＋a 14，∴a 7＋a 14＝10.∵a n >0，∴a 7·a 14≤(a7＋a142)2＝25.当且仅当a 7＝a 14时取等号．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( B )A ．2n －1B ．(32)n －1C ．(23)n －1D ．12n －1[解析]由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，∴Sn ＋1Sn ＝32，∵a 1＝1，S 1＝2a 2，∴a 2＝12a 1＝12，∴S 2＝32，∴S2S1＝32，∴S n ＝(32)n －1.5．(2018·山东省实验中学调研)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n ＝( A )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n[解析]a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln2－ln1＋2＝2＋ln n .6．(2018·西安一模)已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n n ＋1(n∈.16的值为n 4成立的最小自然数－<n S 则使，n S 项和为n 设其前)，*N[解析]因为a n ＝log 2nn ＋1，所以S n ＝log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 2n n ＋1＝log 2(12·23·34·…·n n ＋1)＝log 21n ＋1，若S n <－4，则1n ＋1<116，即n >15，则使S n <－4成立的最小自然数n 的值为16.7．如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第一群，第二群，.－3n －2n 3·2个数的和是n 群中n 则第，个数n 群恰好n 第，…，群n 第，…[解析]由图规律知，第n 行第1个数为2n －1，第2个数为3·2n －2，第3个数为5·2n －3……设这n 个数的和为S则S ＝2n －1＋3·2n －2＋5×2n －3＋…＋(2n －3)·2＋(2n －1)·20①2S n ＝2n ＋3·2n －1＋5·2n －2＋…＋(2n －3)·22＋(2n －1)·21②②－①得S n ＝2n ＋2·2n －1＋2·2n －2＋…＋2·22＋2·2－(2n －1)＝2n ＋2n ＋2n －1＋…＋23＋22－(2n －1)＝2n ＋错误!－(2n －1) ＝2n ＋2n ＋1－4－2n ＋1＝3·2n －2n －3.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．[分析](1)利用a n ＋1＝S n ＋1－S n 用配凑法可获证；(2)假设存在λ，则a 1，a 2，a 3应成等差数列求出λ的值，然后依据a n ＋2－a n ＝λ推证{a n }为等差数列．[解析](1)由题设：a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1.由(1)知，a 3＝λ＋1，令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 9．已知数列{a n }满足a n ＋1＝－1an ＋2，a 1＝－12.(1)求证{1an ＋1}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1.若T n ≥p －n 对任意的n ∈N *恒成立，求p 的最大值．[解析](1)证明：∵a n ＋1＝－1an ＋2，∴a n ＋1＋1＝－1an ＋2＋1＝an ＋2－1an ＋2＝an ＋1an ＋2，由于a n ＋1≠0，∴1an ＋1＋1＝an ＋2an ＋1＝1＋1an ＋1， ∴{1an ＋1}是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)题结论知：1an ＋1＝2＋(n －1)＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1－1＝－nn ＋1(n ∈N *)．(3)∵T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥P －n ，∴n ＋a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥P ，即(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋(1＋a n ＋2)＋…＋(1＋a 2n －1)≥p ，对任意n ∈N *恒成立，而1＋a n ＝1n ＋1，设H (n )＝(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋…＋(1＋a 2n －1)，∴H (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，H (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴H (n ＋1)－H (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2>0，∴数列{H (n )}单调递增，∴n ∈N *时，H (n )≥H (1)＝12，故P ≤12.1 2.∴P的最大值为。
2019年高考数学母题题源系列专题01集合及其运算(含解析)
专题01 集合及其运算【母题来源一】【2019年高考江苏】已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则AB = ▲ . 【答案】{1,6}【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.由题意知，{1,6}A B =.【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.【母题来源二】【2018年高考江苏】已知集合{}0,1,2,8A =，{}1,1,6,8B =-，那么AB = ▲ ． 【答案】{1，8}【解析】由题设和交集的定义可知：{}1,8A B =.【名师点睛】本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.【母题来源三】【2017年高考江苏】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}AB =，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意.故答案为1．【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,AB A B =∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．【命题意图】（1）了解集合的含义.（2）理解两个集合的交集的含义，会求两个简单集合的交集.（3）能够正确处理含有字母的讨论问题，掌握集合的交集运算和性质.【命题规律】 这类试题在考查题型上主要以填空题的形式出现，主要考查集合的基本运算，其中集合以描述法呈现．试题难度不大，多为低档题，从近几年江苏的高考试题来看，主要的命题角度有：（1）离散型或连续型数集间的交集运算；（2）已知集合的交集运算结果求参数．【答题模板】解答此类题目，一般考虑如下三步：第一步：看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数集、点集还是图形集等；第二步：对集合化简，有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决；第三步：应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).【方法总结】（一）集合的基本运算及其表示：（1）交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，即{|}AB x x A x B =∈∈且. （2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，即|}{A B x x A x B =∈∈或.（3）补集：由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，即{|}U A x x U x A =∈∉且ð.（二）与集合元素有关问题的解题方略：（1）确定集合的代表元素；（2）看代表元素满足的条件；（3）根据条件列式求参数的值或确定集合元素的个数.但要注意检验集合中的元素是否满足互异性.（三）集合间的基本关系问题的解题方略：（1）判断集合间基本关系的方法有三种：①列举观察；②集合中元素特征法，首先确定集合中的元素是什么，弄清楚集合中元素的特征，再判断集合间的关系； ③数形结合法，利用数轴或韦恩图求解.（2）求集合的子集：若集合A 中含有n 个元素，则其子集个数为2n 个，真子集个数为21n -个，非空真子集个数为22n -个.（3）根据两集合关系求参数：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.（四）求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图或交、并、补的定义求解；（2）点集的运算常利用数形结合的思想或联立方程组进行求解；（3）连续型数集的运算，常借助数轴求解；（4）已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn 图求解；（5）根据集合运算结果求参数，先把符号语言转化成文字语言，然后适时应用数形结合求解.1．【江苏省南通市2019届高三适应性考试数学试题】已知集合{1,3,5,7}A =，{}0,1,3B =，则集合A B =________.【答案】{}1,3【解析】因为集合{1,3,5,7}A =，{}0,1,3B =，所以{}1,3A B =. 故答案为{}1,3【名师点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.求解时，根据交集的概念，可直接得出结果.2．【江苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模）数学试题】已知集合{}12A x x =-<≤，{}0B x x =<，则A B =________.。
2019年高考数学总复习笔记讲义(完整版)
2019年高考数学总复习笔记讲义(名师精讲必考知识点+实战真题演练+答案) (总计156页，涵盖高中数学所有知识点，价值很高，可以达到事半功倍的复习效果，值得下载打印练习)高考数学总复习第一讲：函数与方程函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律．函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．在解决某些数字问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想．函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程．一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决．总之，在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想，用它来指导解题．在解题中，同时要注意从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案．一、例题分析例1．已知F(x)=xα-xβ在x∈(0,1)时函数值为正数，试比较α,β的大小．分析：一般情况下，F（x）可以看成两个幂函数的差．已知函数值为正数，即f1(x)=xα的图象在x∈(0,1)上位于f2(x)=xβ的图象的上方，这时为了判断幂指数α,β的大小，就需要讨论α,β的值在（1，+∞）上，或是在（0，1）上，或是在（0，1）内的常数，于是F（x）成为两个同底数指数函数之差，由于指数函数y=a t(0<α<1)是减函数，又因为xα-xβ>0，所以得α<β．例2．已知0<a<1，试比较的大小．分析：为比较aα与(aα) α的大小，将它们看成指数相同的两个幂，由于幂函数在区间[0,+∞]上是增函数，因此只须比较底数a与aα的大小，由于指数函数y=a x(0<a<1)为减函数，且1>a，所以a＜aα，从而aα<(aα) α．比较aα与(aα) α的大小，也可以将它们看成底数相同（都是aα）的两个幂，于是可以利用指数函数是减函数，由于1>a，得到aα<(aα) α．由于a＜aα，函数y=a x(0<a<1)是减函数，因此aα>(aα) α．综上，．解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数，函数选得恰当，解决问题简单．例3．关于x的方程有实根，且根大于3，求实数a的范围．分析：先将原方程化简为a x=3，但要注意0<x<3且x≠1．现将a x看成以a为底的指数函数，考虑底数a为何值时，函数值为3．如图（1），过（3，3）点的指数函数的底，现要求0<x<3时，a x=3，所以，又因为x≠1，在图（1）中，过（1，3）点的指数函数的底a=3，所以．若将a x=3变形为，令，现研究指数函数a=3t，由0<x<1且x≠1，得，如图（2），很容易得到：．通过本例，说明有些问题可借助函数来解决，函数选择得当，解决就便利．例4．函数f(x)是定义在实数集上的周期函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x,则当x∈[-2,0]时，f(x)的解析式是（）．（A）f(x)=x+4 （B）f(x)=2-x（C）f(x)=3-|x+1| （D）f(x)=3+|x+1|解法一、∵f(-2)=f(2)=2 f(-1)=f(3)=3，∴只有（A）、（C）可能正确．又∵f(0)=f(2)=2，∴（A）错，（C）对，选（C）．解法二、依题意，在区间［2，3］上，函数的图象是线段AB，∵函数周期是2，∴线段AB左移两个单位得［0，1］上的图象线段CD；再左移两个单位得［–2，1］上的图象线段EF ．∵函数是偶函数，∴把线段CD沿y轴翻折到左边，得［–1，0］上的图象线段FC．于是由直线的点斜式方程，得函数在［–2，0］上的解析式：即由于x∈[-2,-1]时，x+1≤0，x∈(-1,0)时，x+1>0，所以y=3-|x+1|, x∈[-2,0]．解法三、当x∈[-2,-1]时，x+4∈[2,3]，∵函数周期是2，∴f(x+4)=f(x)．而f(x+4)=x+4，∴x∈[-2,-1]时，f(x)=x+4=3+(x+1)．当x∈[-1,0]时，-x∈[0,1]，且-x+2∈[2,3]．∵函数是偶函数，周期又是2，∴，于是在［–2，0］上，．由于x∈[-2,-1]时，x+1≤0，x∈(-1,0)时，x+1>0，根据绝对值定义有x∈[-2,0]时，f(x)=3-|x+1|．本题应抓住“偶函数”“周期性”这两个概念的实质去解决问题．例5．已知y=log a(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（）．（A）（0，1）（B）（1，2）（C）（0，2）（D）［2，+∞］分析：设t=2-ax，则y=log a t，因此，已知函数是上面这两个函数的复合函数，其增减性要考查这两个函数的单调性，另外，还要考虑零和负数无对数以及参数a对底数和真数的制约作用．解法一、由于a≠1，所以（C）是错误的．又a=2时，真数为2–2x，于是x≠1，这和已知矛盾，所以（D）是错的．当0<a<1时，t=2-ax是减函数，而y=log a t也是减函数，故y=log a(2-ax)是x的增函数，所以（A）是错的．于是应选（B）．解法二、设t=2-ax，y=log a t由于a>0，所以t=2-ax是x的减函数，因此，只有当a>1，y=log a t是增函数时，y=log a(2-ax)在［0，1］上才是减函数；又x=1时，y=log a(2-a)，依题意，此时，函数有定义，故2–a>0综上可知：1<a<2，故应选（B）．例6．已知，函数y=g(x)的图象与函数y=f-1(x+1)的图象关于y’=x对称，则g(5)=_____________-解法一、由去分母，得，解出x，得，故，于是，设，去分母得，，解出x，得，∴的反函数．∴．解法二、由，则，∴，∴．即的反函数为，根据已知：∴．解法三、如图，f(x)和f-1(x)互为反函数，当f-1(x)的图象沿x轴负方向平移一个单位时，做为“镜面”的另一侧的“象”f(x)的图象一定向下平移1个单位，因此f-1(x+1)的图象与f(x)-1的图象关于y=x对称．故f-1(x+1)的反函数是g(x)=f(x)-1，∴．本解法从图象的运动变化中，探求出f-1(x+1)的反函数，体现了数形结合的优势出二、巩固练习（1）已知函数在区间上的最大值为1，求实数a的值．（1）解：f(x)在区间上最大值可能在端点外取得，也可能在顶点外取得，，，而顶点横坐标，最大值在顶点外取得，故此解舍去．当最大值为f(2)时，f(2)=1，，顶点在应在区间右端点取得最大值，此解合理．当最大值在顶点处取得时，由，解得，当，此时，顶点不在区间内，应舍去．综上，．（2）函数的定义域是［a，b］，值域也是［a，b］，求a.b的值．2）解：y=f(x)的图象如图，分三种情况讨论．当a<b≤0时，f(x)为递增函数，有，解得，，由于b>0，应舍去．当0≤a<b时，f(x)为递减函数，有，解得：a=1，b=2．当a<0<b时，f(x)最大值在顶点处取得，故，，所以最小值应在a处取得．（2）解：y=f(x)的图象如图，分三种情况讨论．当a<b≤0时，f(x)为递增函数，有，解得，，由于b>0，应舍去．当0≤a<b时，f(x)为递减函数，有，解得：a=1，b=2．当a<0<b时，f(x)最大值在顶点处取得，故，，所以最小值应在a处取得．，解得：，综上，或（3）求函数的最小值．解（3）分析：由于对数的底已明确是2，所以只须求的最小值．（3）解法一：∵，∴x>2．设，则，由于该方程有实根，且实根大于2，∴解之，μ≥8．当μ=8时，x=4，故等号能成立．于是log2≥0且x=4时，等号成立，因此的最小值是3．解法二：∵，∴x>2设，则=∴μ≥8且，即x=4时，等号成立，∴log2μ≥3且x=4时，等号成立．故的最小值是3．（4）已知a>0,a≠1，试求方程有解时k的取值范围．4）解法一：原方程由②可得：③，当k=0时，③无解，原方程无解；当k≠0时，③解为，代入①式，．解法二：原方程，原方程有解，应方程组，即两曲线有交点，那么ak<-a或0<ak<a(a>0)∴k<-1或0<k<1．（5）设函数（Ⅰ）解不等式f(x)≤1（Ⅱ）求a的取值范围，使f(x)在[0,+∞]上是单调函数．5）解（Ⅰ），不等式f(x≤1)，即由此得：1≤1+ax即ax≥0，其中常数a>0，∴原不等式即∴当0<a<1时，所给不等式解集为，当a≥1时，所给不等式解集为{x|x≥0}．（Ⅱ）在区间[0,+∞)上任取x1,x2，使得x1<x2，（ⅰ）当a≥1时，∵∴又∴所以，当a≥1时，函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调递减函数．（ⅱ）当0<a<1时，在[0,+∞)上存在两点满足f(x1)=1,f(x2)=1 ，即f(x1)=f(x2)，∴函数f(x)在区间[0,+∞)上不是单调函数．高考数学总复习第二讲：分类讨论分类又称逻辑划分．分类讨论即是一种数学思维方法，也是一种重要的解题策略，常常能起到简化问题、解决问题的作用．数字的解题过程，实质是一个变形过程，往往需要一些条件的限制，从而引起分类讨论．分类讨论的关键问题就是：对哪个变量分类，如何分类．分类的原则：由分类的定义，分类应满足下列要求：（1）保证各类对象即不重复又不遗漏．（2）每次分类必须保持同一分类标准．应用分类讨论解决数学问题的一步骤：（1）确定讨论对象和需要分类的全集．（2）确定分类标准（3）确定分类方法（4）逐项进行讨论（5）归纳小结应该注意的是，在运用时，不要盲目或机械地进行分类讨论，有的题目虽然含有分类因素，但不要急于分类讨论，要首先对问题作深入的研究，充分挖掘题目的已知量与未知量之间的关系，寻求正确的解题策略，则可以简化分类讨论的步骤或避免不必要的分类讨论，使解题更简单．一、例题分析例1：求函数求的值域．分析：根据绝对值的定义及题设中函数的表达式可知，要分别对绝对值号中的sinx,cosx,tgx,ctgx按照其大于零，小于零（不能为零）来讨论，以去掉绝对值号．而决定三角函数值正负的因素是角x所在的象限，故按角x的终边所在的象限为分类标准，进行分类讨论：解（1）角x在第一象限时，（2）角x在第二象限时，（3）角x在第三象限时，（4）角x在第四象限时，综上所述：函数的值域{4，0，-2}说明：数学中的概念有些是含有不同种类的，当题目涉及这样的概念时，必须按给出概念的分类方式进行分类讨论，才能使解答完整无误．例2，已知扇形的圆心角为60°，半径为5cm，求这个扇形的内接长方形的最大面积．图解：如图一，内接长方形CDEF的面积为：S=ED·EF ，ED=OE·sinθ=5sinθ在△EFO中，运用正弦定理，得∴∴∴如图二．取的中点M，连接OM分扇形为两个小扇形，在这二个小扇形中，各有原内接长方形的一半，∴内接长方形的面积为一个小扇形中内接长方形面积的2倍．即∴再比较S大与S大′的大小综上，所求扇形的最大内接长方形的面积为．说明：本题是由图形的位置及形状不能确定引起的分类讨论，其原因在于扇形内接长方形相对于扇形的位置不确定，故而求出两种位置下的面积而后判断最大为多少．例3 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C，x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ＞0）求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．解如图，设直线MN切圆O于N，则动点M组成的集合是P={M||MN|=λ|MQ|}(其中λ>0)∵圆半径|ON|=1，∴|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1设点M的坐标为（x，y），则整理得：检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故这个方程为所求的轨迹方程．当λ=1时，方程化为，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点当λ≠1时，方程化为它表示圆，该圆圆心的坐标为，半径为说明：本题在求出轨迹方程之后，在判定为何曲线时，因参数引起了分类讨论：一些问题中的数学表达式中因含有会导致不同结论的参数，从而需对参数分情况讨论为，求得问题的结果．例4 已知a＞1，解关于x的不等式：解：原不等式（i）当1＜a＜2时，由①得：x＜a或x＞2∵∴又∵∴∴解集为（ii）当a=2时，由①得x≠2，由③得∴解集为（iii）当a＞2时，由①得，x＜2或x＞a∵∴解集为说明：本题中参数a，在求解集过程中，不同的取值，影响解集，故而要分类讨论，这是变形所需．例5 某城市用水收费方法是：水费=基本费+超额费+排污费，若每月水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元和每户每定额排污费c元；若用水量超过am3时，除了付给同上的基本费和排污费外，超过部分每方米付b元的超额费．已知每户每月的排污费不超过4元，该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：解：设每月用水量为xm3，支付费用为y元．则由题意知0＜c≤4，8+c≤12．故第2、3月份用水量15 am3,13 am3大于最低用水限量am3将分别代入中，得①再分析1月份用水量是否超过最低限量am3不妨设8＞a，将中，得9=8+2（8–a）+c,得2a=c+15 ②∴1月份用水量不超过最低限量．又∵y=8+c∴9=8+c,c=1∴a=10,b=2,c=1说明：本题为实际应用问题，在解题过程中，隐含着分类讨论：a>8,a=8,a<8，根据条件，逐一讨论，使问题得以解决．例6 设a＞0，且a≠1，解关于x的不等式：解：原不等式当0＜a＜1时，原不等式或（Ⅱ）或（Ⅲ）解不等式组（Ⅰ），得；解不等式组（Ⅱ），得解不等式组（Ⅲ），无解．∴原不等式的解集为当a＞1时，原不等式（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）解不等式组（Ⅰ），得解不等式组（Ⅱ），得a≤x<a2；不等式（Ⅲ）无解∴原不等式的解集是说明：本题在对a进行分类的过程中，又对x进行分类，以丢掉绝对值符号，是多次分类：例7 设，比较的大小．分析：本题可用比差法，但要对a进行分类讨论，而用商比较法，可以不再进行分类讨论，解起来简单了．解∵0＜x＜1∴∴说明：分类讨论的目的是为了解决问题，但要视情况而定，若能不分类即可把问题解决就不要分类讨论二、习题练习．1．已知不共面的三条直线a、b、c，a∥b∥c，过a作平面α，使b、c到α的距离相等，则满足条件的平面α有（）（A）1个（B）2个（C）4个（D）无数个2．函数与它的反函数是同一函数的充要条件是（）（A）a=1，b=0 (B) a=-1，b=0(C)a=±1，b=0 （D）a=1，b=0 或a=-1，b∈R3．已知k是常数，若双曲线的焦距与k值R无关，则k的取值范围是（）（A）-2＜k≤2（B）k＞5（C）-2＜k≤0（D）0≤k＜24．已知数列{a n}前n次之和S n满足，则a n=_________．5．直线m过点P（-2，1），点A（-1，-2）到直线m的距离等于1，则直线m的方程为________．6．根据实数k的不同取值，讨论直线y=k(x+1)与双曲线的公共点个数．7．已知数列{a n}和函数当n为正偶数时，；当n为正奇数时，．求{a n}的通项公式．8．设a>0,a≠1，解关于x的不等式．三、习题解答1．B）提示：两种情况：过a与b、c所确定平面平行，或过a与b、c所确定平面相交．2．选（D），提示：的反函数为，依题意∴由①得a=±1，当a=1时，b=0，当a= -1时，b∈R． 3．选（C）提示：表示双曲线，则，此时，，不合题意，当k≤0时，-2＜k≤0，此时，，则，与k无关．4．提示：由且当n≥2时，，若，∴5．4x+3y+5=0，或x=-2 提示：直线m的斜率不存在时，方程为x=-1，满足条件，当斜率存在时，设其方程为y-1=k(x+2)，由点到直线的距离公式，可得6．解：由消去y整理得当时，，此时直线分别与双曲线的渐近线平行，它仍分别与双曲线的一支交于一点当时，∴当时，直线分别与双曲线只有一个公共点；当时，直线与双曲线有两个公共点；当时，直线与双曲线无交点．7．解当n为正偶数时，此时n-1为为正奇数，则∴∴当n为正奇数时，（n＞1）此时n-1为为正偶数，则∴，解得而当n=1时，由已知得∴故数列的通项公式为8．解：原不等式当原不等式∴原不等式的解集是；当原不等式∴原不等式的解集为高考数学总复习第三讲：数形结合一、专题概述---什么是数形结合的思想数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想．恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系．”“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述，数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题．实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观．数形结合包括：函数与图象、方程与曲线、复数与几何的结合；几何语言叙述与几何图形的结合等．二、例题分析1．善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系．观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程．例1．函数的图象的一条对称轴方程是：（A）（B）（C）（D）分析：通过画出函数的图象，然后分别画出上述四条直线，逐一观察，可以找出正确的答案，如果对函数的图象做深入的观察，就可知，凡直线x=a通过这一曲线的一个最高点或一个最低点，必为曲线的一条对称轴，因此，解这个问题可以分别将代入函数的解析式，算得对应的函数值分别是：，其中只有–1是这一函数的最小值，由此可知，应选（A）2．正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系．观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时，仅画图示“意”是不够的，还必须反映出图形中的数量关系．例2．问：圆上到直线的距离为的点共有几个？分析由平面几何知：到定直线L：的距离为的点的轨迹是平行L的两条直线．因此问题就转化为判定这两条直线与已知圆的交点个数．将圆方程变形为：，知其圆心是C(-1,-2)，半径，而圆心到定直线L的距离为，由此判定平行于直线L且距离为的两条直线中，一条通过圆心C，另一条与圆C相切，所以这两条直线与圆C共有3个公共点（如图1）启示：正确绘制图形，一定要注意把图形与计算结合起来，以求既定性，又定量，才能充分发挥图形的判定作用．3．切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性以性识图．数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，沟通两者的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的关联，以求相辅相成，相互转化．例3．判定下列图中，哪个是表示函数图象．分析由=，可知函数是偶函数，其图象应关于y轴对称，因而否定（B）、（C），又，的图象应当是上凸的，（在第Ⅰ象限，函数y单调增，但变化趋势比较平缓），因而（A）应是函数图象．例4．如图，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟注完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系用图象表示只可能是（）．分析由于圆柱中液面上升的速度是一个常量，所以H与t的关系不是（B），下落时间t越大，液面下落的距离H应越大，这种变化趋势应是越来越快，图象应当是下凸的，所以只可能是（D）．例5．若复数z满足，且，则在复平面上对应点的图形面积是多少？分析满足的复数z对应点的图形是：以C(1,1)为圆心，为半径的圆面，该圆面与图形的公共部分为图中所示阴影部分（要注意到∠AOC=45°）因此所求图形的面积为：4．灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性．在中学数学中，数形结合的思想和方法体现最充分的是解析几何，此外，函数与图象之间，复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想和方法．通过联想找到数与形之间的对应关系是实现转化的先决条件，而强化这种转化的训练则是提高思维的灵活性和创造性的重要手段．例6．已知C<0，试比较的大小．分析这是比较数值大小问题，用比较法会在计算中遇到一定困难，在同一坐标系中，画出三个函数：的图象位于y轴左侧的部分，（如图）很快就可以从三个图象的上、下位置关系得出正确的结论：例7 解不等式解法一（用代数方法求解），此不等式等价于：解得故原不等式的解集是解法二（采用图象法）设即对应的曲线是以为顶点，开口向右的抛物线的上半支．而函数y=x+1的图象是一直线．（如图）解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是．借助于函数的图象或方程的曲线，引入解不等式（或方程）的图象法，可以有效地审清题意，简化求解过程，并检验所得的结果．例8 讨论方程的实数解的个数． 分析：作出函数的图象，保留其位于x 轴上方的部分，将位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，便可得到函数的图象．（如图）再讨论它与直线y=a 的交点个数即可．∴当a ＜0时，解的个数是0； 当a=0时或a ＞4时，解的个数是2； 当0＜a ＜4时，解的个数是4； 当a=4时，解的个数是3．9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k 的不同取值有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个 （D ）4个分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为∴过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k 取两个不同值，此外，过（）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k 取两个不同的值，故正确答案为（D ）例9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k 的不同取值有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个 （D ）4个 分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为∴过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此外，过（）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故正确答案为（D）例10．设点P(x,y)在曲线上移动，求的最大值和最小值．解曲线是中心在（3，3），长轴为，短轴为的椭圆．设，即y=kx为过原点的直线系，问题转化为：求过原点的直线与椭圆相切时的斜率．（如图所示）消去y得解得：故的最大值为，最小值为例11．求函数（其中a,b,c是正常数）的最小值．分析采用代数方法求解是十分困难的，剖析函数解析式的特征，两个根式均可视为平面上两点间的距离，故设法借助于几何图形求解．如图设A(0,a),B(b,-c)为两定点，P(x,0)为x轴上一动点，则其中的等号在P为线段AB与x轴的交点外，即时成立．故y的最小值为例12．P是椭圆上任意一点，以OP为一边作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆时针方向排列）使|OR|=2|OP|，求动点R的轨迹的普通方程．分析在矩形O P Q R中（如图），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆时针旋转90°，并将长度扩大为原来的2倍得到的．这一图形变换恰是复数乘法的几何意义，因此，可转化为复数的运算，找到R和P的两点坐标之间的关系，以求得问题的解决．解，设R点对应的复数为：，P点对应的复数为则故即由点在椭圆上可知有：整理得：就是R点的轨迹方程，表示半长轴为2a，半短轴为2b，中心在原点，焦点在y轴上的椭圆．三解题训练1．求下列方程实根的个数：（1）（2）（3）实数值，方程的实根 2．无论m取任何个数都是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）不确定3．已知函数的图象如右图则（）（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)（C）b∈(1,2) （D）b∈(2,+ ∞)4．不等式的解集是（）（A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式一定有解，则a的取值范围是（）（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1]6．解下列不等式：（1）（2）7．复平面内点A、B分别对应复数2，2+i，向量绕点A逆时针方向旋转至向量，则点C对应的复数是_______．8．若复数z满足|z|<2，则arg(z-4)的最大值为___________9．若复数z满足10．函数的图象是平面上两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这两定点的坐标是( )（A）（–，–）（，）（B）（–，）（，–）（C）（–2，2）（2，2）（D）（2，–2）（–2，2）11．曲线与直线的交点个数是（）．（A）0（B）1 （C）2（D）312．曲线与直线有两个交点，则实数k的取值是（）（A）（B）（C）（D）13．已知集合，满足，求实数b的取值范围．14．函数的值域是（）（A）（B）（C）（D）四、练习答案1．（1）2个（2）63个（3）2个提示：分别作出两个函数的图象，看交点的个数．2．B、提示：注意到方程右式，是过定点（，0）的直线系．3．A、提示：由图象知f(x)=0的三个实根是0，1，2这样，函数解析式可变形f(x)=ax(x-1)(x-2)，又从图象中可以看出当x∈(0,1)∪(2,+∞)时，f(x)>0．而当x>2时，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而可知b=-3a<0，故选（A） 4．A5．A6．（可以利用图象法求解）（1）x≤-1或0<x≤3（2）x≤-17．18．210°9．10．A11．D 提示：在曲线方程中，分x≥0或x<0两种情形讨论，作出图形即可．12．C13．14．A 提示：f(x)可以视作：A(cosx,sinx),B(1,2)，则f(x)=k AB，而A点为圆x2+y2=1上的动点高考数学总复习第四讲：参数问题一、专题概述：什么是参数数学中的常量和变量相互依存，并在一定条件下相互转化．而参数（也叫参变量）是介于常量和变量之间的具有中间性质的量，它的本质是变量，但又可视为常数，正是由于参数的这种两重性和灵活性，在分析和解决问题的过程中，引进参数就能表现出较大的能动作用和活力，“引参求变”是一种重要的思维策略，是解决各类数学问题的有力武器．参数广泛地存在于中学的数学问题中，比如：代数中、函数的解析式，数列的通项公式；含参数的方程或不等式；解析几何中含参数的曲线方程和曲线的参数方程等等．参数是数学中的活泼“元素”，特别是一个数学问题中条件与结论涉及的因素较多，转换过程较长时，参数的设定和处理的作用尤为突出，合理选用参数，并处理好参数与常数及变数的联系与转换，在某些问题的求解过程中起到了十分关键的作用．二、例题分析1．待定系数法待定系数法是指利用已知条件确定一个解析式或某一数学表达式中的待定参数的值，从而得到预期结果的方法．待定系数法是解决数学问题时常用的数学方法之一．要判断一个数学问题能否使用待定系数法求解，关键是要看所求数学问题的结果是否具有某种确定的数学表达式，如果具有确定的数学表达式，就可以使用待定系数法求解．（1）用待定系数法求函数的解析式或数列的通项公式例1．，当x ∈(-2,6)时，f(x)>0当时，f(x)<0求a、b及f(x)解当a=0时，显然不符合题设条件，故a≠0，于是可由题设条件画出f(x)的草图．如图所示由图知，x=-2和x=6是方程的两根，a<0利用一元二次方程的根与系数的关系，得：解得∴。
2019届高考数学总复习 第Ⅰ篇 高考专题讲练 思想篇 理
第Ⅰ篇 高考专题讲练 思想篇角度一 函数与方程思想函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题.求数列中的项或最值、求不等式中的参量、求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题,往往都可利用函数思想转化为函数问题.方程思想是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题.如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量、二项式系数等问题.示例解法关键[2018·全国卷Ⅲ]设a=log 0.20.3,b=log 20.3,则 ( )A .a+b<ab<0B .ab<a+b<0C .a+b<0<abD .ab<0<a+b构建函数y=log 0.3x ,a>0,b<0,且0<1a +1b=a +bab=log 0.30.4<1,可得ab<a+b<0.故选B[2018·天津卷]已知a>0,函数f (x )={x 2+2ax +a,x ≤0,-x 2+2ax -2a,x >0.若关于x 的方程f (x )=ax 恰有2个互异的实数解,则a 的取值范围是 .就x 的范围分段处理方程f (x )=ax ,得到两个含有参数a 的关于x 的方程,通过方程根的情况得出a 的取值范围.答案:(4,8)[2016·全国卷Ⅱ]函数f (x )=cos 2x+6cosπ2-x 的最大值为 ( )A .4B .5C .6D .7先化简为关于sin x 的表达式,再用二次函数的性质去解.答案:B[2016·全国卷Ⅲ]已知a=243,b=425,c=2513,则 ( )A .b<a<cB .a<b<cC .b<c<aD .c<a<b构造幂函数y=x 23,利用函数单调性判断.答案:A[2016·全国卷Ⅰ]直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为 ( )A .13B .12C .23D .34 根据椭圆中心到直线l 的距离列出方程,结合a ,b ,c 的关系求解.答案:B测题1.已知log 2x=log 3y=log 5z<0,则2π,3π,5π的大小关系为( )A .2π<3π<5πB .3π<2π<5πC .5π<2π<3π D .5π<3π<2π2.在正三角形ABC 中,D 是AC 上的动点,且AB=3,则ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 ( ) A .9B .94C .274D .923.在△ABC 中,AB=AC=1,D 是AC 的中点,则ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ( ) A .(-34,14)B .(-∞,14)C .(-34,+∞)D .(14,34)4.设抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,过点F 且倾斜角为π4的直线l 与抛物线相交于A ,B 两点,若以线段AB 为直径的圆过点(-π2,2),则该抛物线的方程为 .角度二 数形结合思想数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想体现了数与形之间的转化,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来,即将代数问题几何化、几何问题代数化.数形结合思想常用来解决函数零点、方程根与不等式问题,参数范围问题,以立体几何为模型的代数问题,解析几何中的斜率、截距、距离等问题.示例解法关键[2018·全国卷Ⅰ]已知双曲线C :x 23-y 2=1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ,N.若△OMN 为直角三角形,则|MN|=( )A .32 B .3 C .2√3 D .4不妨设∠OMF=90°,由渐近线方程及图形可知,|OM|=|OF|·cos 30°,|MN|=|OM|·tan 60°.答案:B[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )={πx ,x ≤0,ππx,x >0,g (x )=f (x )+x+a.若g (x )存在2个零点,则a 的取值范围是 ( )A .[-1,0)B .[0,+∞)C .[-1,+∞)D .[1,+∞)g (x )有两个零点等价于f (x )的图像与直线y=-x-a 有两个不同的交点,作图求解.答案:C[2017·全国卷Ⅱ]已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC内一点,则PA⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )的最小值是( ) A .-2 B .-32 C .-43 D .-1建立平面直角坐标系,将各点、各向量用坐标表示出来,再求最小值.答案:B[2017·全国卷Ⅲ]设函数f (x )={x +1,x ≤0,2x,x >0,则满足f (x )+f (x -12)>1的x 先写出函数f (x -12),考查不的取值范围是.等式f x-12>1-f(x),画出y=fx-12与y=1-f(x)的图像,由图像得解集.答案:(-14,+∞)测题1.在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,点M在边CD上,则ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 ()A.2B.2√2-1C.5D.√3-12.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,则异面直线AB1与CA1所成的角的余弦值为()A.0B.-14C.14D.123.不等式组{π≥0,π+3π≥4,3π+π≤4所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点,则实数a的取值范围是.4.已知函数f(x)={-π2-2π,π≤π,π-4,π>π,如果函数f(x)恰有两个零点,那么实数m的取值范围为.角度三分类讨论思想分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础问题,通过对基础问题的解答解决原问题的思维策略,实质上就是“化整为零,各个击破,再积零为整”的策略.使用分类讨论思想应明白这样几点:一是引起分类讨论的原因;二是分类讨论的原则,不重不漏,分类标准统一;三是明确分类讨论的步骤.常见的分类讨论问题有以下几种:1.由概念引起的分类讨论;2.由性质、定理、公式的限制条件引起的分类讨论;3.由数学运算引起的分类讨论;4.图形的不确定性引起的分类讨论;5.由参数的变化引起的分类讨论.示例解法关键[2018·全国卷Ⅰ]从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)分两类求解:3人中1女2男,3人中2女1男.答案:16[2017·全国卷Ⅰ]设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是 ()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,√3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,√3]∪[4,+∞)分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况讨论.答案:A[2017·天津卷]已知函数f (x )={x 2-x +3,x ≤1,x +2x ,x >1.设a ∈R,若关于x 的不等式f (x )≥π2+a 在R 上恒成立,则a 的取值范围是( )A .[-4716,2] B .[-4716,3916] C .[-2√3,2] D .[-2√3,3916]分x ≤1,x>1两种情况,分别求参数a.答案:A[2016·全国卷Ⅲ]在封闭的直三棱柱ABC-A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ,AB=6,BC=8,AA 1=3,则V 的最大值是 ( )A .4πB .9π2C .6πD .32π3分球与三棱柱的三个侧面相切和球与三棱柱的上、下两个底面相切进行讨论.答案:B测题1.设函数f (x )={π2-1(π≥2),log 2π(0<π<2),若f (m )=3,则实数m 的值为 ( )A .-2B .8C .1D .22.若椭圆π24+π2π=1(m>0)上一点到两焦点的距离之和为m-3,则此椭圆的离心率为 ( )A .√53B .√53或√217C .√217D .37或593.由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数,要求奇数不相邻,且4不在第四位,则这样的六位数共有 个.4.已知函数f (x )={π,π≥π,π3-3π,π<π,若函数g (x )=2f (x )-ax 恰有2个不同的零点,则实数a 的取值范围是 .角度四 转化与化归思想转化与化归思想是指在研究解决数学问题时,采用某种手段将问题转化,使问题得以解决的一种思维策略,其核心是把复杂的问题化归为容易求解的问题,将较难的问题化归为较简单的问题,将未能解决的问题化归为已经解决的问题.常见的转化与化归思想的应用具体表现在:将抽象函数问题转化为具体函数问题,立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形,“至少”或“是否存在”等正向思维受阻问题转化为逆向思维,空间与平面的转化,相等问题与不等问题的转化等.示例解法关键[2018·北京卷]在平面直角坐标系中,记d 为点P (cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m 变化时,d 的最大值为 ( )A .1B .2C .3D .4P 为单位圆上一点,转化为圆心(定点)到直线的距离,而直线过定点,这样进一步转化为圆心与直线所过定点间的距离问题.答案:C[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )=2sin x+sin 2x ,则f (x )的最小值是 .利用导数的符号与导数为0进行求解.答案:-3√32[2017·全国卷Ⅰ]设A ,B 是椭圆C :x 23+y 2m =1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则m 的取值范围是 ( )A .(0,1]∪[9,+∞)B .(0,√3]∪[9,+∞)C .(0,1]∪[4,+∞)D .(0,√3]∪[4,+∞)将椭圆上的点M 取为短轴的一个端点去处理.答案:A[2017·全国卷Ⅱ]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ∈(-∞,0)时,f (x )=2x 3+x 2,则f (2)= .根据函数的性质,f (2)=-f (-2).答案:12测题1.定义在R 上的偶函数f (x )在[0,+∞)上单调递增,且f (-2)=1,若f (x-2)≤1,则x 的取值范围是( ) A .[0,4]B .(-∞,-2]∪[2,+∞)C .(-∞,0]∪[4,+∞)D .[-2,2]2.若关于x 的不等式x 2-ax+2>0在区间[1,5]上有解,则a 的取值范围是 ( ) A .(2√2,+∞)B .(-∞,2√2)C .(-∞,3)D .(-∞,275)3.已知抛物线C :y 2=8x 上一点P ,直线l 1:x=-2,l 2:3x-5y+30=0,则点P 到这两条直线的距离之和的最小值为( ) A .2B .2√34C .1615√34 D .1817√344.已知平面向量ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足:|ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12.若ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (x ,y ∈R),则x+y 的最大值是 ( )A.1B.√33C.2D.2√33思想篇 数学思想方法应用角度一1.A [解析] x ,y ,z 为正实数,设k=log 2x=log 3y=log 5z<0,则π2=2k-1,π3=3k-1,π5=5k-1,可得2π=21-k >1,3π=31-k >1,5π=51-k >1.因为函数f (x )=x 1-k 单调递增,所以2π<3π<5π.2.D [解析] 以C 为原点,CB 为x 轴正半轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则B (3,0).设D (t ,√3t )(0≤π≤32),则ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t-3,√3t )·(-3,0)=9-3t ≥9-3×32=92,即ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为92,故选D .3.A [解析] 根据向量的运算得到ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14,设BC=x ,x ∈(0,2),∠BCD=θ,则ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-π2cos θ+14=-π2+14∈(-34,14),故选A . 4.y 2=4x [解析] 易知以线段AB 为直径的圆与抛物线的准线相切,又以线段AB 为直径的圆过点(-π2,2),所以可知线段AB 的中点的纵坐标为2.直线l 的方程为y=x-π2,由{π=π-π2,π2=2ππ,可得y 2-2py-p 2=0,则线段AB 中点的纵坐标为2π2=2,解得p=2,所以该抛物线的方程为y 2=4x.角度二1.A [解析] ∵在平行四边形ABCD 中,AB=2,AD=1,ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,即|ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos A=-1,∴cos A=-12,∴A=120°.以A 为坐标原点,AB 所在的直线为x 轴,AB 的垂线为y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A (0,0),B (2,0),D (-12,√32).设M (π,√32),则-12≤x ≤32,∴ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-π,-√32),ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-π,-√32),∴ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x (x-2)+34=x 2-2x+34=(x-1)2-14.设f (x )=(x-1)2-14,x ∈[-12,32],易知当x=-12时,f (x )取得最大值2.故选A .2.C [解析] 以A 为原点,AC 为y 轴,AA 1为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A (0,0,0),B 1(√3,1,2),A 1(0,0,2),C (0,2,0),ππ1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,2),π1π⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2).设异面直线AB 1与A 1C 所成的角为θ,则cos θ=|ππ1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·π1π⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|ππ1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||π1π⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=2√8×√8=14.3.[12,4] [解析] 满足约束条件的平面区域D 如图中阴影部分所示.因为直线y=a (x+1)过定点(-1,0),所以当直线y=a (x+1)过点B (0,4)时,得到a=4;当直线y=a (x+1)过点A (1,1)时,得到a=12.又因为直线y=a (x+1)与平面区域D 有公共点,所以12≤a ≤4.4.[-2,0)∪[4,+∞) [解析] 作出函数y=-x 2-2x 和y=x-4的图像,如图所示,要使函数f (x )恰有两个零点,则-2≤m<0或m ≥4,即实数m 的取值范围是[-2,0)∪[4,+∞).角度三1.D [解析] 当m ≥2时,m 2-1=3,∴m 2=4,∴m=±2,∵m ≥2,∴m=2. 当0<m<2时,log 2m=3,∴m=23=8,∵0<m<2,∴无解. 综上所述,m=2,故选D .2.A [解析] 由题意得,2a=m-3>0,即m>3,若a 2=4,即a=2,则m-3=4,即m=7>4,不合题意,因此a 2=m ,即a=√π,则2√π=m-3,解得m=9,则a=3,c=√π-4=√5,所以椭圆的离心率e=√53.故选A .3.120 [解析] 先排好3个偶数,则从左到右有4个空,若排第1,2,3个空,则由于4不在第四位,故共有A 21·A 22·A 33=24(种)排法;若排第1,2,4个空,则由于4不在第四位,故共有A 21·A 22·A 33=24(种)排法;若排第1,3,4个空,则4不会在第四位,共有A 33·A 33=36(种)排法;若排第2,3,4个空,则4不会在第四位,共有A 33·A 33=36(种)排法.因此共有24+24+36+36=120(种)排法,故这样的六位数共有120个.4.(-32,2) [解析] g (x )={(2-π)π,π≥π,2π3-(6+π)π,π<π,显然当a=2时,g (x )有无穷多个零点,不符合题意. 当x ≥a 时,令g (x )=0,得x=0; 当x<a 时,令g (x )=0,得x=0或x 2=6+π2.(1)若a>0且a ≠2,则g (x )在[a ,+∞)上无零点,在(-∞,a )上存在零点x=0和x=-√6+π2,且√6+π2≥a ,∴0<a<2;(2)若a=0,则g (x )在[0,+∞)上存在零点x=0,在(-∞,0)上存在零点x=-√3,符合题意; (3)若a<0,则g (x )在[a ,+∞)上存在零点x=0,∴g (x )在(-∞,a )上只有1个零点,∵0∉(-∞,a ),∴g (x )在(-∞,a )上的零点为x=-√6+π2,∴-√6+π2<a ,∴-32<a<0.综上,a 的取值范围是(-32,2).角度四1.A [解析] ∵偶函数f (x )在[0,+∞)上单调递增,且f (-2)=1,∴不等式f (x-2)≤1等价于f (|x-2|)≤f (-2)=f (2),即|x-2|≤2, ∴0≤x ≤4,即x 的取值范围是[0,4].2.D [解析] x 2-ax+2>0在区间[1,5]上有解,即x+2π>a ,x ∈[1,5]有解.设f (x )=x+2π,x ∈[1,5],则f (x )的最大值为f (5)=275,故选D .3.D [解析] 由题意得,抛物线C :y 2=8x 的准线为l 1:x=-2,焦点为F (2,0).如图所示, 过点P 作PM ⊥l 1于M ,由抛物线的定义可得|PM|=|PF|. 设点P 到直线l 2的距离为d , 则d+|PM|=d+|PF|.结合图形可得,点P 到两条直线的距离之和的最小值即为抛物线的焦点F 到l 2的距离, 即为√22=18√3417.故选D .4.D [解析] 由|ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,可设C (cos θ,sin θ).由ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,|ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,可设A (1,0),B (12,√32).由已知可得cos θ=x+π2,sin θ=√32y ,即得y=√3,cos θ-√3,则x+y=cos θ+√3=√3sin (π+π3),所以x+y 的最大值是2√33,故选D .。
2019届高考数学二轮复习 第一篇 专题四 数列 第2讲 数列求和及简单应用教案 文
裂项的基本思想是 an=f(n）-f(n+1)，
=-
等.
考向 3 错位相减法求和
【例 4】 (2018·吉林百校联盟九月联考)已知等差数列｛an｝的前 n 项和为 Sn,若 Sm—1=— 4,Sm=0，Sm+2=14（m≥2,且 m∈N*）。 (1)求数列{an｝的通项; (2）求数列{m（an+6)×2n—3}的前 n 项和. 解：(1)由已知得 am=Sm—Sm—1=4,
②解:由①,得 cn=
=
—
，
所以 Sn= 1- + - +…+ —
= 1—
=
.
③解：因为 dn=（3n+1）Sn=（3n+1)·
=n,
则问题转化为对任意正整数 n 使不等式 + +…+ > 恒成立.
设 f（n）= + + +…+ ,
则 f（n+1)—f（n）=
+
+…+
- + +…+
=
+
—
=
—
〉0.
据此可得数列｛an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列,
其前 8 项和为 S8=
=29—2=512—2=510。
故选 C.
（3)令 bn=nan,则 2bn=bn—1+bn+1,所以｛bn}为等差数列， 因为 b1=1，b2=4, 所以公差 d=3，则 bn=3n-2,
所以 b18=52,即 18a18=52,
数列的通项公式 【例 1】 (1)（2018·安徽黄山一模)数列{an}中，已知对任意正整数 n，有 a1+a2+…+an=2n— 1，则 + +…+ 等于（ )
2019届高考数学复习专题一第3讲导数与函数综合问题学案
第3讲导数与函数综合问题1.利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题.2.在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题.1.导数的几何意义函数f(x) 在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k ＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).2.四个易误导数公式(1)(sin x)′＝cos x；(2)(cos x)′＝－sin x；(3)(a x)′＝a x ln a(a>0，且a≠1)；(4)(log a x)′＝1x ln a(a>0，且a≠1，x>0).3.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.①f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数函数.(2)利用导数研究函数单调性的方法.①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.4.利用导数研究函数的极值、最值(1)若在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.5.利用导数研究函数的零点函数的零点、方程的实根、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解.6.三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x →∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x 1，x 2且x 1<x 2的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的零点分布情况如下：7.(1)利用导数证明不等式.若证明f (x )<g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果能证明F (x )在(a ，b )上的最大值小于0，即可证明f (x )<g (x )，x ∈(a ，b ).(2)利用导数解决不等式的“恒成立”与“存在性”问题.①f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔I 是f (x )>g (x )的解集的子集⇔[f (x )－g (x )]min >0(x ∈I ). ②∃x ∈I ，使f (x )>g (x )成立⇔I 与f (x )>g (x )的解集的交集不是空集⇔[f (x )－g (x )]max >0(x ∈I ). ③对∀x 1，x 2∈I 使得f (x 1)≤g (x 2)⇔f (x )max ≤g (x )min . ④对∀x 1∈I ，∃x 2∈I 使得f (x 1)≥g (x 2)⇔f (x )min ≥g (x )min .热点一 利用导数研究函数的单调性【例1】(2019·衡水中学)已知函数()ln f x x ax b =++，,a b ∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a =,1x ，2x 为两个不相等的正数，证明：()()1212122f x f x x x x x -->+. 解（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()11axf x a x x'+=+=. 若0a ≥，()10axf x x +'=>，则()f x 在区间()0,+∞内为增函数； 若0a <，令()10ax f x x +'==，得10x a=->. 则当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 在区间10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数；当1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 在区间1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内为减函数.（2）当0a =时，()ln f x x b =+.不妨设120x x >>，则原不等式等价于11212211ln 21x x x x x x ->+，令12x t x =，则原不等式也等价于即()4ln 20,11t t t +->>+. 下面证明当()1x >时，4ln 201x x +->+恒成立. 设()4ln 21h x x x =+-+，则()()()()222114011x h x x x x x -=-=+'>+， 故()h x 在区间()1,+∞内为增函数，()()10h x h >=，即4ln 201x x +->+， 所以()()1212122f x f x x x x x -->+. 探究提高 1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. 2.解答本例容易出现以下错误：(1)忽略函数的定义域，在函数解析式中含有对数必须满足x >0.(2)对k 分类讨论不全，题目中已知k >0，对k 分类讨论时容易对标准划分不准确，讨论不全面. 【训练1】已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x(x ∈R ，e 为自然对数的底数). (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1，1)上单调递增，求a 的取值范围；(3)函数f (x )是否为R 上的单调减函数？若是，求出a 的取值范围，若不是，请说明理由. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )·e x，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x. 令f ′(x )＞0，即(－x 2＋2)e x＞0，因为e x ＞0，所以－x 2＋2＞0，解得－2＜x ＜ 2. 所以函数f (x )的单调递增区间是(－2，2). (2)因为函数f (x )在(－1，1)上单调递增， 所以f ′(x )≥0对x ∈(－1，1)都成立.因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x ＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x， 所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x≥0对x ∈(－1，1)都成立. 因为e x＞0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0，则a ≥x 2＋2x x ＋1＝（x ＋1）2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1，1)都成立.令g (x )＝(x ＋1)－1x ＋1，则g ′(x )＝1＋1（x ＋1）2＞0. 所以g (x )＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1，1)上单调递增.所以g (x )＜g (1)＝(1＋1)－11＋1＝32.所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. (3)若函数f (x )在R 上单调递减，则f ′(x )≤0对x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x≤0对x ∈R 都成立. 因为e x ＞0，所以x 2－(a －2)x －a ≥0对x ∈R 都成立. 所以Δ＝(a －2)2＋4a ≤0，即a 2＋4≤0，这是不可能的. 故函数f (x )不可能在R 上单调递减.热点二 利用导数研究函数的极值和最值【例2】 (2018·安阳调研)2．（1）求实数a 的值；（2）求()f x 在[],1b b +上的最大值．解（1）依题意()()()2'4331f x x x x x =-+=--，所以()f x 在(),1-∞和()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，所以()f x 在1x =处取得极大值，即（2）由（1）知()f x 在(),1-∞和()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减， ①当11b +≤，即0b ≤时，()f x 在[],1b b +上单调递增，所以()f x 在[],1b b +上的最大值为②当11b b ≤<+，即01b <≤时，()f x 在[],1b 上单调递增，在[]1,1b +上单调递减，()f x 在[],1b b +上的最大值为()12f =．③当1b >且13b +≤，即12b <≤时，()f x 在[],1b b +上单调递减，综上可知：当0b ≤或时，()f x 在[],1b b +上的最大值为当01b <≤时，()f x 在[],1b b +上的最大值为(1)2f =；时，()f x 在[],1b b +上的最大值为探究提高 1.求函数f (x )的极值，则先求方程f ′()＝0的根，再检查′(x )在方程根的左右附近函数值的符号.2.若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解.3.求函数f (x )在闭区间[a ，b ]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值.【训练2】(2017·郴州二模选编)已知函数f (x )＝ax 2＋(1－2a )x －ln x . (1)当a >0时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当a <0时，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上的最小值. 解 (1)由函数f (x )＝ax 2＋(1－2a )x －ln x ，可得f ′(x )＝2ax ＋(1－2a )－1x ＝（2ax ＋1）（x －1）x，令f ′(x )>0，因为a >0，x >0，∴2ax ＋1x>0，∴x －1>0，得x >1，∴f (x )的单调递增区间为(1，＋∞).(2)由(1)可得f ′(x )＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－2a （x －1）x，因为a <0，令f ′(x )＝0，得x 1＝－12a，x 2＝1，①当－12a >1，即－12<a <0时，f ′(x )<0，因此f (x )在(0，1)上是减函数，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上的最小值为f (1)＝1－a . ②当12≤－12a ≤1，即－1≤a ≤－12时，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，－12a 时，f ′(x )≤0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12a ，1时，f ′(x )≥0，因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，－12a 上是减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12a ，1上是增函数，∴f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝1－14a ＋ln(－2a ).③当－12a <12，即a <－1时，f ′(x )>0，因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是增函数，∴f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－34a ＋ln 2.综上，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上的最小值为：f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧12－34a ＋ln 2，a <－1，1－14a ＋ln （－2a ），－1≤a ≤－12，1－a ，－12<a <0.热点三 利用导数研究函数的零点(方程的根)【例3】(2019·上高二中)（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()12ln21a -<<-，求证：函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+；解（Ⅰ）解：()f x 的定义域为(),a +∞. 令()'0f x =，0x =或1x a =+，当10a -<<时，10a +>，函数()f x 与()f x '随x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是()0,1a +，单调递减区间是(),0a 和()1,a ++∞，当1a =-时，所以，函数()f x 的单调递减区间是()1,-+∞，当1a <-时，10a +<，函数()f x 与()f x '随x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是()1,0a +，单调递减区间是(),1a a +和()0,+∞. （Ⅱ）证明：当()12ln 210a -<<-<时，由（Ⅰ）知，()f x 的极小值为()0f ，极大值为()1f a +. 因为()()0ln 0f a a =->， 且又由函数()f x 在()1,a ++∞是减函数，可得()fx 至多有一个零点， 所以函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+. 探究提高 1.三步求解函数零点(方程根)的个数问题.第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x 轴(或直线y ＝k )在该区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象； 第三步：结合图象求解.2.根据函数零点情况求参数范围：(1)要注意端点的取舍；(2)选择恰当的分类标准进行讨论.【训练3】(2016·北京卷节选)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围. 解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . ∵f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，∴曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c .(2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ，∴f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4. 令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23.当x 变化时，f (x )与f ′(x )在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：∴当c >0且c －27<0时，f (－4)＝c －16<0，f (0)＝c >0，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－3，x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点.热点四 利用导数求解不等式问题【例4】(2018·深圳期末)已知函数()2ln f x x x ax =+-，a ∈R ． （Ⅰ）当3a =时，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若1x >，()0f x >，求a 的取值范围．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞．()2123123x x f x x x x-+'=+-=，当102x <<或1x >时，()0f x '>，当112x <<时，()0f x '<，∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上是增函数，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，∴10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上是增区间，1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是减区间． （2）由()0f x >，得2ln x x a x+<在1x >时恒成立，令()2ln x x g x x +=，则()221ln x xg x x +-'=，令()21ln h x x x -=+，则()212120x h x x x x-'=-=>，∴()h x 在()1,+∞为增函数，()()120h x h >=>，∴()0g x '>，∴()g x 在()1,+∞为增函数，∴()()11g x g >=，所以1a ≤，即实数a 的取值范围为(],1-∞．探究提高 1.(1)涉及不等式证明或恒成立问题，常依据题目特征，恰当构建函数，利用导数研究函数性质，转化为求函数的最值、极值问题，在转化过程中，一定要注意等价性.(2)对于含参数的不等式，如果易分离参数，可先分离参数、构造函数，直接转化为求函数的最值；否则应进行分类讨论，在解题过程中，必要时，可作出函数图象草图，借助几何图形直观分析转化.2.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f (x )≥g (a )对于x ∈D 恒成立，应求f (x )的最小值；若存在x ∈D ，使得f (x )≥g (a )成立，应求f (x )的最大值.应特别关注等号是否取到，注意端点的取舍. 【训练4】(2017·石家庄调研)已知函数f (x )＝ln x x －1(x >1).(1)判断函数f (x )的单调性；(2)是否存在实数a ，使得关于x 的不等式ln x <a (x －1)在(1，＋∞)上恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，试说明理由； (3)证明：ln (1·2·3·4·…·n )<n （n ＋1）2(n ∈N *，n ≥2).(1)解 由题意，f ′(x )＝x －1－x ln x x （x －1）2，因为x >1，所以x (x －1)2>0.设g (x )＝x －1－x ln x ，g ′(x )＝1－ln x －1＝－ln x <0. ∴g (x )在(1，＋∞)上是减函数，则g (x )<g (1)＝0. 因此f ′(x )<0，故f (x )在(1，＋∞)上为减函数. (2)解 由ln x <a (x －1)得，a (x －1)－ln x >0， 若a ≤0时显然不满足题意，因此a >0.设F (x )＝a (x －1)－ln x ，F ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a x，令F ′(x )＝0，得x ＝1a.①a ≥1时，0<1a≤1，F ′(x )>0，∴F (x )>F (1)＝0，因此a ≥1时，ln x <a (x －1)在(1，＋∞)上恒成立.②0<a <1时，1a>1，F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a 为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞为增函数，∴F (x )min <F (1)＝0，不满足题意.综上，存在实数a ∈[1，＋∞)，不等式ln x <a (x －1)在(1，＋∞)上恒成立. (3)证明 由(2)得，ln x <a (x －1)≤x －1<x 在(1，＋∞)上恒成立. 所以ln 2<2，ln 3<3，…，ln n <n . 以上各式左右两边分别相加，得ln 2＋ln 3＋ln 4＋…＋ln n <2＋3＋4＋…＋n ，则ln 1＋ln 2＋ln 3＋ln 4＋…＋ln n <1＋2＋3＋4＋…＋n ， 所以ln (1·2·3·4·…·n )<n （n ＋1）2(n ∈N *，n ≥2).1.(2018·全国I 卷)设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00,处的切线方程为（） A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2.(2018·全国I 卷)已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．3.(2014·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则实数a 的取值范围是( ) A.(2，＋∞)B.(1，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－∞，－1)4.(2018·全国I 卷)已知函数()1ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．1.(2018·忻州一中)设函数()sin cos f x x x x =+的图像在点()(),t f t 处切线的斜率为k ，则函数()k g t =的图像为（）2.(2019·绵阳诊断)若函数()2ln 21f x x x bx =+--的图象上任意一点的切线斜率均大于0，则实数b 的取值范围为（） A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()4,+∞D ．()0,43.(2017·贵阳联考)已知函数f (x )的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：f (x )的导函数y ＝f ′(x )( )A.1B.2C.3D.44. (2019·聊城一中)已知函数()1x f x ae x =-+ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 在()0,3上只有一个零点，求a 的取值范围； （3）设0x 为函数的极小值点，证明：()013f x a≥-．1.(2018·龙泉二中)若函数()y f x =的图象上存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t ,则称函数()y f x =为“t 函数”.下列函数中为“t 函数”的是（） ①3y x x =- ②x y x e =+ ③sin y x = ④cos y x x =+ A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④2. (2018·吉安一中)已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''<，且()()()01x f x a g x a a =>≠且，()()()()115112f f g g -+=-，若数列()()f n g n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和大于20152016，则n 的最小值为（） A ．8 B ．9C ．10D ．113.(2017·长沙调研)定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝1，则不等式f （x ）ex<1的解集为________.4.(2017·郴州二模)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3. (1)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围.(2)探讨函数F (x )＝ln x －1e x ＋2e x 是否存在零点？若存在，求出函数F (x )的零点，若不存在，请说明理由.参考答案1.【解题思路】利用奇函数偶此项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.【答案】因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =， 所以()3f x x x =+，()2'31f x x =+， 所以()()'01,00f f ==，所以曲线()y f x =在点()00,处的切线方程为()()0'0y f f x -=， 化简可得y x =，故选D.2.【解题思路】首先对函数进行求导，化简求得()()1'4cos 1cos 2f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，从而确定出函数的单调区间，减区间为()52,233k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，增区间为()2,233k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，确定出函数的最小值点，从而求得sin 2x x ==代入求得函数的最小值. 【答案】()()21'2cos 2cos 24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，所以当1cos 2x <时函数单调减，当1cos 2x >时函数单调增， 从而得到函数的减区间为()52,233k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，函数的增区间为()2,233k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以当2,3x k k ππ=-∈Z 时，函数()f x 取得最小值，此时sin 2x x ==，所以()min 2f x ⎛=⨯= ⎝⎭，故答案是. 3.【解题思路】对a 进行讨论，求导确定函数的单调性与极值点，结合图像判断其零点情况. 【答案】由题意知a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝2a.当a >0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2a ，f ′(x )<0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞，f ′(x )>0，且f (0)＝1>0，故f (x )有小于0的零点，不满足.当a <0时，需使x 0>0且唯一，只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a >0，则a 2>4，所以a <－2.故选C.4.【解题思路】(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对a 进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据()f x 存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定2a >，令()'0f x =，得到两个极值点12,x x 是方程210x ax -+=的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.【答案】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222111a x ax f x x x x-+=--+-'=. （i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在()0,+∞单调递减. （ii ）若2a >，令()0f x '=得，x =x =当2a a x ⎛⎛⎫+∈+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<； 当x ⎝⎭时，()0f x '>.所以()f x 在⎛⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减，在⎝⎭单调递增.（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >， 由于()()12121221212121222ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以()()12122f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<. 设函数()12ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在()0,+∞单调递减， 又()10g =，从而当()1,x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即()()12122f x f x a x x -<--.1.【解题思路】由导函数易知其图像.【答案】函数在某点处切线的斜率为函数在该点的导数，由原函数可知x x x f cos )(='，即t t t g cos )(=， 很显然)(cos )cos()(t g t t t t t g -=-=--=-，即)(t g 为奇函数，排除选项A ，C ，时，0)(>t g ，所以排除D 选项，故本题的正确选项为B.2.【解题思路】由条件得到()'0k f x =>对0x >恒成立，所以min14x x b ⎛⎫< ⎪⎝⎭+，即可b 的取值范围．【答案】()2ln 21f x x x bx =+--，则有()1'40k f x x b x==+->对0x >恒成立， 所以min14x x b ⎛⎫< ⎪⎝⎭+，又144x x +≥，当12x =时，14x x+取得最小值4，所以4b <． 故选A.3.【解题思路】通过导函数图像得到函数的单调性，结合函数值确定函数的大致图像. 【答案】根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y ＝f (x )的大致图象如图所示. 由于f (0)＝f (3)＝2，1<a <2，所以y ＝f (x )－a 的零点个数为4.故选D.4.【解题思路】（1）利用导数求解单调区间，注意参数的讨论； （2）分离参数，结合目标函数的最值求解；（3）利用导数求出极值点，结合目标函数单调性求解. 【答案】(1)函数定义域为R ,因为()1x f x ae x =-+，∴()1x f x ae '=-,当0a ≤时,()0f x '<恒成立,()f x 在R 上单调递减； 当0a >时,令()0f x '=得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<，当ln x a >-时，()0f x '>， 综上：当0a ≤时,单调递减区间为(),-∞+∞，无增区间； 当0a >时,增区间为()ln ,a -+∞，减区间为(),ln a -∞-, （2）因为()0f x =在()0,3上只有一个零点,所以方程1xx a e -=在()0,3上只有一个解. 设函数()1x x h x e -=，则()2xxh x e ='-, 当02x <<时,()0h x '>,当23x <<时,()0h x '<,所以()h x 在()0,2上单调递增,在()2,3上单调递减， 故()()2max 12h x h e ==, 又()01h =-，()323h e =,()()30h h >， 所以的取值范围为32211,e e ⎛⎤⎧⎫-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.（3）由（1）知当0a >时，()f x 在ln x a =-时取得极小值,()f x 的极小值为()ln 2ln f a a -=+，设函数()112ln 3ln 1g x x x x x ⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭，()()210x g x x x '-=>，当01x <<时，()0g x '<；()f x 单调递减；当1x >时，()0g x '>；()f x 单调递增； 故()()min 10g x g ==，即()()10g x g ≥=，所以()013f x a≥-.1.【解题思路】本道题分别计算该四个函数的导数,结合函数的性质,判断是否存在相应点,即可得出答案. 【答案】对于1,求导2'13y x =-，221213132x x -+-=，解得2212330x x +=,不存在,错误; 对于2,求导'1x y e =+，12112x x e e +++=，解得120x x e e +=,不存在,错误; 对于3,求导'cos y x =，12cos cos 2x x +=,存在,故正确;对于4,求导'1cos y x =+，121cos 1cos 2x x +++=,解得12cos cos 0x x +=,存在,正确,故选B.2.【解题思路】构造函数()()f xg x ，利用其单调性.【答案】因为，所以， 则，而得到，解得或， 由知单调递减， ∴，故舍去，所以；则， 所以有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，（）的通项为， ()()xf x ag x =()()x f x a g x =()()()()11111f f a g g a-==-，()()()()111152f f g g -+=-152a a +=2a =12a =()()()()f x g x f x g x <''()()()()()()()()()20xf x f xg x f x g x f x a g x g x g x '-''=<∴⎛⎫⎪ ⎪⎭=⎝，01a <<2a =12a =()()12xf xg x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1210n =⋯，，，()()12nf ng n ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以前项和为， 令．3.【解题思路】构造函数g (x )＝f （x ）ex，利用g (x )的单调性求解.【答案】令g (x )＝f （x ）ex ，则g ′(x )＝e x·f ′（x ）－（e x）′·f （x ）（e x ）2＝f ′（x ）－f （x ）ex. 由题意得g ′(x )<0恒成立，所以函数g (x )＝f （x ）ex在R 上单调递减.又g (0)＝f （0）e＝1，所以f （x ）ex<1，即g (x )<g (0)，所以x >0，所以不等式的解集为{x |x >0}.故填 {x |x >0}.4.【解题思路】(1)恒成立问题转化为最值问题；(2)求导判断函数的单调性，极值情况，进而确定其零点情况. 【答案】解 (1)由对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，有2x ln x ≥－x 2＋ax －3，即a ≤2ln x ＋x ＋3x恒成立.令h (x )＝2ln x ＋x ＋3x ，h ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝x 2＋2x －3x 2＝（x ＋3）（x －1）x2， 当x >1时，h ′(x )>0，h (x )是增函数， 当0<x <1时，h ′(x )<0，h (x )是减函数，∴a ≤h (x )min ＝h (1)＝4.即实数a 的取值范围是(－∞，4]. (2)令F (x )＝0，得ln x －1e x ＋2e x ＝0，即x ln x ＝x e x －2e (x >0)，令f (x )＝x ln x (x >0)，f ′(x )＝1＋ln x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增. 所以当且仅当x ＝1e 时，f (x )取最小值，且f (x )min ＝－1e，①设φ(x )＝x e x －2e (x >0)，则φ′(x )＝1－xex ，易知φ(x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以当且仅当x ＝1时，φ(x )取最大值，且φ(x )max ＝－1e ，②∵①②中取等号的条件不同，且1e<1，n 11122111212nn ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=-⎪⎝⎭-1201511122016112201622016nnn n ⎛⎫⎛⎫->⇒<⇒>⇒≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以对x∈(0，＋∞)都有ln x>1e x －2e x，即F(x)＝ln x－1e x ＋2e x>0恒成立，故函数F(x)没有零点.。
2019届高考数学总复习第Ⅰ篇高考专题讲练自习篇理
第Ⅰ篇高考专题讲练自习篇温习一集合1.已知集合M={x|x2-4≤0},N={x|0<x<1},则M N= ()A.[-2,0]B.[-2,0]∪[1,2]C.[1,2]D.2.设集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|x2+x-2≤0},则A∩B= ()A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1}3.设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|-1<x<3},则()A.A=BB.A⊇BC.A⊆BD.A∩B=4.已知集合M={x|x2-2x-3≤0},N={x|y=lg(x-1)},则M∪N= ()A.[-1,+∞)B.(-1,+∞)C.(1,3]D.(1,3)5.已知集合M={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=2},N={(x,y)|x,y为实数,且x+y=2},则M∩N中的元素个数为()A.0B.1C.2D.36.集合A={x|y=-1},B={x|x-a≥0},若A∩B=A,则a的取值范围是.【考场点拨】解决集合问题要注意以下几点:(1)集合元素的互异性;(2)不能忽略空集;(3)注意端点的取值,如题1中M N 中含有元素0,1;(4)理解代表元素的意义,如题5为点集,其他各题均为数集;(5)若A⊆B,则A=B也成立,如题6.温习二常用逻辑用语1.设命题p:x 0∈Q,20-ln x0<2,则p: ()A.x0∈Q,20-ln x0≥2B.∀x∈Q,2x-ln x<2C.∀x∈Q,2x-ln x≥2D.∀x∈Q,2x-ln x=22.下列有关命题的说法正确的是 ()A.命题“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy=0,则x≠0”B.命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题是真命题C.命题“x0∈R,202-1<0”的否定是“∀x∈R,2x2-1<0”D.命题“若cos x=cos y,则x=y”的逆否命题为真命题.下列命题是真命题的是 ()3.已知命题p:a,b∈R,a>b且1>1,命题q:∀x∈R,sin x+cos x<32A.p∧qB.p∧qC.p∧qD.p∧q,m∈R,则“a⊥(a+2b)”是“m=2”的 ()4.已知向量a=(-2,m),b=3,2A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件5.有下列说法:①甲、乙两位学生参加某考试,设命题p:甲考试及格,q:乙考试及格,则命题“至少有一位学生不”及格”可表示为p∨q;②命题“∀x∈R,x2≥0”的否定为“x 0∈R,02<0”;③“若tan α≠3,则α≠3是偶函数.其中说法不正确的有是假命题;④“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件;⑤函数y=sin32()A.0个B.1个C.2个D.3个【考场点拨】求解简易逻辑问题易失分点:(1)“A是B的充分条件”与“A的充分条件是B”是不同的概念;(2)命题的否定与否命题是有区别的,“命题的否定”即“非p”,只是否定命题p的结论;(3)全称或特称命题的否定,要否定结论并改变量词;(4)复合命题的真假判断依赖真值表.温习三复数1.已知i为虚数单位,复数z满足i z=2z+1,则z= ()A.-2-1iB.2+1iC.2+iD.2-i,则|z|=()2.若复数z=1 i32iA.1B.C.D.2,则a+b=()3.已知a,b∈R,复数a+b i=2i1iA.2B.1C.0D.-24.若复数z 满足1-2i=1-i,则其共轭复数 在复平面内对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 5.复数z=2-1 i,则( ) A .z 的虚部为-1 B .z 的实部为1 C .|z|=2D .z 的共轭复数为1+i6.已知2 i 1-i为纯虚数,a ∈R,则(a+i)i 2019的虚部为 .【考场点拨】(1)复数运算的重点是除法运算,其关键是进行分母实数化. (2)对一些常见的运算,如(1±i)2=±2i,1 i 1-i=i,1-i1 i =-i 等要熟记.(3)利用复数相等a+b i =c+d i 列方程时,注意a ,b ,c ,d ∈R 的前提条件.(4)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如,若z 1,z 2∈C, 12+ 22=0,就不能推出z 1=z 2=0;z 2<0在复数范围内有可能成立.温习四 算法框图1.执行如图W4-1所示的程序框图,输出的n 值为 ( )图W4-1A .6B .8C .2D .42.在如图W4-2所示的程序框图中,若输出i 的值是3,则输入x 的取值范围是 ( )图W4-2A.(3,+∞)B.(3,7]C.(7,+∞)D.(7,19]3.一个算法的程序框图如图W4-3所示,若该程序输出的结果是3,则判断框中应填入的条件是 ()4图W4-3A.i>5?B.i<5?C.i>4?D.i<4?4.如图W4-4所示,该程序框图是为了求出满足2n-n2>28的最小正偶数n,那么空白框中及最后输出的n值分别是()图W4-4A.n=n+1和6B.n=n+2和6C.n=n+1和8D.n=n+2和85.2017年国庆期间,全国接待国内游客7.05亿人次,其中某30个景区日均实际接待人数与最大接待人数的比值依次记为a i(i=1,2,…,30),若该比值超过1,则称该景区“爆满”,否则称为“不爆满”.如图W4-5所示的程序框图的功能是()图W4-5A.求30个景区的“爆满”率B.求30个景区的“不爆满”率C.求30个景区的“爆满”数D.求30个景区的“不爆满”数6.执行如图W4-6所示的程序框图,输出的S值为.图W4-6程序框图易失分点:(1)不明确循环结构程序框图的真正含义;(2)对循环结构的程序框图,循环体执行的次数是这类题的易错之处,当循环次数不多时,可以逐次列举,当循环次数很多时,就要注意找规律;(3)不确定循环结构的终止条件.温习五推理证明1.已知甲、乙、丙三人中,一人是军人,一人是工人,一人是农民.若乙的年龄比农民的年龄大,丙的年龄和工人的年龄不同,工人的年龄比甲的年龄小,则下列判断正确的是()A.甲是军人,乙是工人,丙是农民B.甲是农民,乙是军人,丙是工人C.甲是农民,乙是工人,丙是军人D.甲是工人,乙是农民,丙是军人2.在数列{a n}中,a1=-2,a n+1=1-1,则a2019的值为()A.-2B.13C.12D.323.某公司招聘员工,以下四人只有一个人说真话,且只有一个人被录用.甲:丙被录用.乙:我没有被录用.丙:丁被录用.丁:我没有被录用.根据以上条件,可以判断被录用的人是.4.甲、乙、丙三人玩摸卡片游戏,现有标号为1到12的卡片共12张,每人摸4张.甲说:我摸到卡片的标号有10和12.乙说:我摸到卡片的标号有6和11.丙说:我们三人各自摸到卡片的标号之和相等.据此可判断丙摸到的卡片中必有的两个标号是.5.有编号依次为1,2,3,4,5,6的六名学生参加数学竞赛选拔赛,今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名.甲猜不是3号就是5号;乙猜6号不可能;丙猜2号、3号、4号都不可能;丁猜是1号、2号、4号中的某一个.若以上四位老师中只有一位老师猜对,则猜对者是.【考场点拨】(1)归纳推理是从特殊到一般的推理,所以应根据题中所给的现有图形、数据、结构等着手分析,尽可能多列举出来,从而找出一般性的规律或结论.(2)演绎推理是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论.对于较复杂的证明题常常要由几个三段论才能完成.自习篇集合与常用逻辑用语、复数、算法框图与推理证明温习一1.B[解析] 由已知得M={x|-2≤x≤2},N={x|0<x<1},∴M N=[-2,0]∪[1,2],故选B.2.D[解析] 由题意得B=[-2,1],所以A∩B={-2,-1,0,1},故选D.3.C[解析] ∵A={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},B={x|-1<x<3},∴A⊆B,故选C.4.A[解析] 由题得M={x|-1≤x≤3},N={x|x>1},所以M∪N=[-1,+∞),故选A.5.B[解析] 联立222,2,所以x2-2x+1=0,判别式Δ=0,所以M∩N中的元素只有1个.所以选B.6.(-∞,1][解析] 由题得A={x|x≥1},B={x|x≥a},因为A∩B=A,所以A⊆B,所以a≤1.温习二1.C[解析] p:∀x∈Q,2x-ln x≥2,故选C.2.B[解析] “若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy≠0,则x≠0”,A错误;逆命题是“若x,y互为相反数,则x+y=0”,B正确;“x0∈R,202-1<0”的否定是“∀x∈R,2x2-1≥0”,C错误;“若cos x=cos y,则x=y”为假命题,所以其逆否命题也为假命题,D错误.故选B.3.B[解析] 命题p:a,b∈R,a>b且1>1,例如当a>0,b<0时,a>b且1>1成立,所以p是真命题;∀x∈R,sin x+cosx=2sin4≤2<32,故q为真命题.故B正确,A,C,D均错误.故选B.4.B[解析] 由题得a+2b=(4,2m),由a⊥(a+2b)得-2×4+m×2m=0,∴m=±2,∴“a⊥(a+2b)”是“m=2”的必要不充分条件.故选B.5.B[解析] 对于①,命题p:甲考试及格,q:乙考试及格,则p:甲考试不及格,q:乙考试不及格,∴“至少有一位学生不及格”可表示为p∨q,故①中说法正确;对于②,命题“∀x∈R,x2≥0”的否定为“x0∈R,02<0”,故②中说法正确;对于③,“若α=3,则tan α=3”是真命题,其逆否命题“若tan α≠ 3,则α≠3”也是真命题,故③中说法错误; 对于④,a>b 时,不能得出ac 2>bc 2,因为c 2=0时不成立,ac 2>bc 2时,可以得出a>b ,∴“a>b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件,故④中说法正确;对于⑤,函数y=sin 32 =-cos x ,它是偶函数,故⑤中说法正确. 综上,说法不正确的只有1个. 故选B .温习三1.A [解析] 由i z=2z+1,得(2-i)z=-1,则z=-12-i=-(2 i),即z=-2 -1i,故选A .2.B [解析] z=1 i 3 2i =(1 i)(3-2i)(3 2i)(3-2i)=13 13i13=1+i,故|z|= 1 1= 2,故选B .3.A [解析] 因为a+b i =2i(1-i)2=1+i,a ,b ∈R,所以a=b=1,所以a+b=2,故选A .4.A [解析] ∵1-2i=1-i,∴z=1-2i 1-i=(1-2i)(1 i)(1-i)(1 i)=32-12i,∴ =32+12i,则 在复平面内对应的点的坐标为 32,12 ,位于第一象限. 5.A [解析] 由题得z=2(-1-i)(-1 i)(-1-i)=2(-1-i)1 1=-1-i,所以z 的虚部为-1,实部为-1,|z|= 2,z 的共轭复数为-1+i .故选A . 6.-2 [解析] ∵a ∈R,复数2 i 1-i =(1 i)(2 i )(1 i)(1-i)=2 i 2i i 22=2- 2+ 22i 为纯虚数,∴a=2,∴(a+i)i 2019=(2+i)·(-i)=1-2i,则(a+i)i2019的虚部为-2.温习四1.B [解析] 初始化数据S=0,a=1,n=1,进入循环体执行循环: 第一次循环,S=2,不满足S ≥10,执行a=12,n=2;第二次循环,S=412,不满足S ≥10,执行a=14,n=4; 第三次循环,S=834,不满足S ≥10,执行a=1,n=8;第四次循环,S=16,满足S ≥10,此时退出循环,输出n=8. 故选B .2.B [解析] 模拟程序的运行,可得: 当i=1时,3x-2≤ ,解得x ≤19; 当i=2时,3(3x-2)-2≤ ,解得x ≤ ;当i=3时,3(9x-8)-2>55,解得x>3,满足判断框内的条件,退出循环,输出i 的值为3. 故输入x 的取值范围是(3,7].3.D [解析] 第一次循环,i=2,T=1,S=0+11 2=12; 第二次循环,i=3,T=2,S=12+12 3=23; 第三次循环,i=4,T=3,S=23+13 4=34,此时退出循环. 故判断框内应填“i<4?”,故选D .4.D [解析] 空白框中n 为偶数,故排除A,C .n=6时,26-62=64-36=28,n=8时,28-82=256-64>28,所以排除B,故选D .5.B [解析] 模拟程序的运行,可得满足a i ≤1(i=1,2,…,30)的a i 的个数为k ,即可得k 的值为30个景区的“不爆满”数.当i=31时,不满足条件,退出循环,输出-1=30,即为30个景区的“不爆满”率.故选B .6.-12[解析] 运行过程如下:1≤201 ,S=-3,n=2;2≤201 ,S=-12,n=3;3≤201 ,S=13,n=4;4≤201 ,S=2,n= ;….所以S 的周期为4.因为2018除以4的余数为2,所以输出S=-12.温习五1.A [解析] 丙的年龄和工人的年龄不同,工人的年龄比甲的年龄小,则甲、丙均不是工人,故乙是工人. 乙的年龄比农民的年龄大,即工人的年龄比农民的年龄大,而工人的年龄比甲的年龄小,故甲不是农民,则丙是农民,故最后可确定甲是军人.2.B [解析] ∵a 1=-2,a n+1=1-1,∴a 2=1-1 1=32,a 3=1-1 2=13,a 4=1-13=-2,…,归纳可得a n+3=a n ,∴a 2019=a 3×673=a 3=13,故选B .3.乙 [解析] 由题意知,丙和丁中必有一人说的是真话.若丙说的是真话,即丁被录用,则甲、乙、丁说的都是假话,此时推得乙、丁均被录用,不符合题意; 若丁说的是真话,则甲、乙、丙说的都是假话,此时丙、丁未被录用,乙被录用. 综上可推得,被录用的人是乙.4.8和9 [解析] 1到12这12个数字的和为122×(1+12)=78,则每一个人摸到的4张卡片的标号之和为3=26.设甲摸到的卡片的另两个标号为a 1,a 2,乙摸到的卡片的另两个标号为a 3,a 4, 由题得a 1+a 2=4,a 3+a 4=9,所以a 1,a 2只能取1,3,a 3,a 4只能为2,7或4,5, 所以丙摸到的卡片的标号是4,5,8,9或2,7,8,9, 所以丙摸到的卡片中必有的两个标号是8和9. 5.丙 [解析] 若甲猜对,则乙也猜对,与题意不符; 若乙猜对,则甲、丙、丁不可能都猜错,与题意不符; 若丁猜对,则乙也猜对,与题意不符;若丙猜对,则甲、乙、丁可能都猜错,与题意相符.综上,丙猜对,且获得第一名的是6号.。
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C.n=n+1和8D.n=n+2和8
图W4-3图W4-4
4.执行图W4-4中的程序框图,若p=0.9,则输出的n=()
A.5B.4C.3D.2
5.图W4-5是一个程序框图,若输入值x∈[0,2],则输出值S的取值范围是.
图W4-5
【考场点拨】
解决程序框图问题时一定注意以下几点:①注意区分程序框图是条件结构还是循环结构;②注意区分当型循环结构和直到型循环结构;③处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数;④要注意各个框的顺序;⑤在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到输出条件为止.
第Ⅰ篇 高考专题讲练 自习篇
温习一集合
1.设集合U={1,2,3,4,5,6,7},M={1,3,5},N={x|x2=4x-4},则∁U(M∪N)=()
A.{2,4,6}B.{2,4,7}
C.{4,6,7}D.{2,6,7}
2.若集合A={x|-a<x<a,x∈N}中有且只有一个元素,则实数a的取值范围为()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【考场点拨】
(1)有关特称命题的否定问题,在求解的时候,要明确特称命题的否定形式.(2)判断充要条件应注意:首先弄清条件p和结论q分别是什么,然后直接依据定义、定理、性质判断“若p,则q”,“若q,则p”的真假.对于含有否定意味的命题或比较难判断的命题,除了借助集合思想化抽象为直观外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题;对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.下列命题中,真命题是()
A.∀x∈(-1,+∞),ln(x+1)>0
B.sin2x+≥3(x≠kπ,k∈Z)
C.函数f(x)=2x-x2有两个零点
D.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分不必要条件
5.设曲线C是双曲线,则“C的方程为x2-=1”是“C的渐近线方程为y=±2x”的()
A.-iB.-+i
C.--iD.-+i
4.复数z=,其中i是虚数单位,则下列结论正确的是()
A.|z|=
B.z的共轭复数为+i
C.z的实部与虚部之和为1
D.z在复平面内对应的点位于第一象限
5.已知i是虚数单位,复数z满足z-2i=1+zi,则z=.
【考场点拨】
(1)复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.(2)要熟悉复数相关的基本概念,如复数a+bi(a,b∈R)的实部为a,虚部为b,模为,在复平面内对应的点为(a,b),共轭复数为a-bi.
A.甲、乙B.乙、丙
C.甲、丁D.丙、丁
4.我国古代的数学著作《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《五曹算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》《海岛算经》《五经算术》《缀术》《缉古算经》被称为“算经十书”.某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代的这些数学著作产生浓厚的兴趣.一天,他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话:甲:“乙比丁少”;乙:“甲比丙多”;丙:“我比丁多”;丁:“丙比乙多”.有趣的是,他们说的这些话中,只有一个人说的是对的,而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读本数各不相同).甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是()
B.类比推理、演绎推理
C.归纳推理、类比推理
D.归纳推理、演绎推理
3.在侦破某一起案件时,警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人,现有四条明确信息:(1)此案是两人共同作案;(2)若甲参与此案,则丙一定没参与;(3)若乙参与此案,则丁一定参与;(4)若丙没参与此案,则丁也一定没参与.据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是()
A.(0,1]B.[1,2]
C.[1,2)D.(1,2]
3.已知集合A={x|-1<x<3},B={x|x2+2x-8>0},则A∩B=()
A.⌀B.(-1,2)C.(2,3)D.(2,4)
4.满足{2018}⊆A {2018,2019,2020}的集合A的个数为()
A.1B.2C.3D.4
5.已知集合A={0,1,2},B={1,m}.若B⊆A,则实数m的值是.
温习五推理证明
1.现有4张牌(1),(2),(3),(4),每张牌的一面都写有一个数字,另一面都写有一个英文字母.现在规定:当牌的一面为字母R时,它的另一面必须写数字2.为检验图W5-1中的4张牌是否有违反规定的写法,需要()
A.翻看且只翻看(1)(4)
B.翻看且只翻看(2)(4)
C.翻看且只翻看(1)(3)
A.∀x∈R,x3<1-x2B.∀x∈R,x3≤1-x2a,b∈R,则“log3a>log3b”是“<”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.“直线l与抛物线C有唯一的公共点”是“直线l与抛物线C相切”的()
温习三复数
1.已知复数z=(a∈R,i是虚数单位)为纯虚数,则实数a的值等于()
A.B.C.-D.-
2.已知复数z1=1+i,i为虚数单位,若z1z2=2+2i,则复数z2在复平面内对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
3.若复数z满足(3+4i)z=1-i(i是虚数单位),则复数z的共轭复数=()
【考场点拨】
关于集合的考查,难度一般较小,是很容易得分的题目,但在做题时要注意以下几点:(1)关于子集和真子集的包含关系,确定有关参数的取值范围的问题,可以借助数轴来完成;(2)关于集合内元素的个数要考虑元素的互异性;(3)在考查集合与集合之间的关系时,要注意考虑空集.
温习二常用逻辑用语
1.若命题p:∃x0∈R,>1-,则 p为()
温习四算法框图
1.执行如图W4-1所示的程序框图,则输出的S的值为()
A.-1B.0C.1D.1009
图W4-1图W4-2
2.执行如图W4-2所示的程序框图,若输入x=64,则输出的结果为()
A.2B.3C.4D.5
3.如图W4-3所示的程序框图是为了求出满足2n-n2>28的最小正偶数n,那么空白框“”中及最后输出的n的值分别是()
D.翻看且只翻看(2)(3)
图W5-1
2.①已知a是三角形一边的边长,h是该边上的高,则三角形的面积是ah,若把扇形的弧长l,半径r分别看作三角形的底边长和高,则得到扇形的面积为lr;②由1=12,1+3=22,1+3+5=32,可得到1+3+5+…+(2n-1)=n2.则①②两个推理依次是()
A.类比推理、归纳推理