【重点考点】(京津专用)2020高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练4 平面向量与数学文化 文
(京津专用)高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练13 导数 文
8＋6分项练13 导 数1．(2018·宿州模拟)已知函数f (x )＝log a x (0<a <1)的导函数为f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A答案 D解析 绘制函数f (x )＝log a x ()0<a <1的图象如图所示，且M ()a ，log a a ，N ()a ＋1，log a (a ＋1)，由题意可知A ＝f ′(a )为函数在点M 处切线的斜率，C ＝f ′(a ＋1)为函数在点N 处切线的斜率，B ＝f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a为直线MN 的斜率，由数形结合可得C >B >A . 2．已知函数f (x )＝f ′(1)ee x＋f (0)2x 2－x ，若存在实数m 使得不等式f (m )≤2n 2－n 成立，则实数n 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.(]－∞，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0，＋∞)答案 A解析 对函数求导可得，f ′(x )＝f ′(1)e·e x ＋f (0)2×2x －1，∴f ′(1)＝f ′(1)＋f (0)－1， ∴f (0)＝f ′(1)e＝1，∴f ′(1)＝e ，f (x )＝e x＋12x 2－x ，f ′(x )＝e x ＋x －1，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x＋1>0， ∴函数f ′(x )单调递增，而f ′(0)＝0， ∴当x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 故f (x )min ＝f (0)＝1，由存在性的条件可得关于实数n 的不等式2n 2－n ≥1， 解得n ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)． 3．若点P 是曲线y ＝32x 2－2ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －52的距离的最小值为( )A. 2B.332C.322D. 5答案 C解析 点P 是曲线y ＝32x 2－2ln x 上任意一点，所以当曲线在点P 的切线与直线y ＝x －52平行时，点P 到直线y ＝x －52的距离最小，直线y ＝x －52的斜率为1，由y ′＝3x －2x ＝1，解得x ＝1或x ＝－23(舍)．所以曲线与直线的切点为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.点P 到直线y ＝x －52的距离最小值是⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－32－5212＋12＝322.故选C.4．(2018·咸阳模拟)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，且对任意的实数x 都有f ′(x )＝e x()2x －2＋f (x )(e 是自然对数的底数)，f (0)＝1，则( )A ．f (x )＝e x(x ＋1) B ．f (x )＝e x(x －1) C ．f (x )＝e x(x ＋1)2D ．f (x )＝e x(x －1)2答案 D 解析 令G (x )＝f (x )e x，则G ′(x )＝f ′(x )－f (x )ex＝2x －2，可设G (x )＝x 2－2x ＋c ， ∵G (0)＝f (0)＝1，∴c ＝1. ∴f (x )＝(x 2－2x ＋1)e x ＝e x (x －1)2.5．(2018·安徽省江南十校联考)y ＝f (x )的导函数满足：当x ≠2时，(x －2)(f (x )＋2f ′(x )－xf ′(x ))>0，则( ) A ．f (4)>(25＋4)f (5)>2f (3) B ．f (4)>2f (3)>(25＋4)f (5) C ．(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4) D ．2f (3)>f (4)>(25＋4)f (5) 答案 C 解析 令g (x )＝f (x )x －2，则g ′(x )＝(x －2)f ′(x )－f (x )(x －2)2， 因为当x ≠2时，(x －2)[f (x )＋(2－x )f ′(x )]>0， 所以当x >2时，g ′(x )<0，即函数g (x )在(2，＋∞)上单调递减， 则g (5)>g (3)>g (4)， 即f (5)5－2>f (3)3－2>f (4)4－2，即(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4)．6．(2018·辽宁省葫芦岛市普通高中模拟)已知函数f (x )＝x ＋2cos x ＋λ，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上任取三个数x 1，x 2，x 3均存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为边长的三角形，则λ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，＋∞B.()－2，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3－5π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－5π6，＋∞答案 D解析 ∵函数f (x )＝x ＋2cos x ＋λ，∴f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，由f ′(x )＝0，得x ＝π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2 时，f ′(x )<0， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π6＋3＋λ，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2＋λ，∵在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上任取三个数x 1，x 2，x 3均存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为边长的三角形，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2＋λ>0，① f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，② 联立①②，得λ>3－5π6. 7．(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －ln x ，x >0，ax ＋ln (－x )，x <0，若f (x )有两个极值点x 1，x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k ，若0<k ≤2e，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，eB.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，2 C ．(e,2e] D.⎝⎛⎦⎥⎤2，2＋1e 答案 A解析 当x >0时，函数f (x )＝ax －ln x 的导数为f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x，由函数f (x )为奇函数且有两个极值点得a >0， 不妨设x 2＝－x 1>0， 则有x 2＝1a，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，1＋ln a ，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a，－(1＋ln a )，由直线的斜率公式可得k ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝a (1＋ln a )，a >0，又k >0,1＋ln a >0，所以a >1e ，设h (a )＝a (1＋ln a )，则当a >1e时，h ′(a )＝2＋ln a ＝1＋(1＋ln a )>0，所以h (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， 又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝0，h (e)＝2e,0<k ≤2e，得h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <h (a )≤h (e)， 所以1e<a ≤e.8．(2018·四川省成都市第七中学模拟)设函数f (x )＝x 2－x ln x ＋2，若存在区间[a ，b ]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[k (a ＋2)，k (b ＋2)]，则k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，9＋2ln 24 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，9＋2ln 24 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，9＋2ln 210 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，9＋2ln 210 答案 C解析 由题意得f ′(x )＝2x －ln x －1，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝2－1x(x >0)．当x ≥12时，g ′(x )＝2－1x≥0，所以函数g (x )＝f ′(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，所以当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞时，f ′(x )≥f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－ln 12>0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，因为[a ，b ]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，所以f (x )在[a ，b ]上单调递增，因为f (x )在[a ，b ]上的值域为[k (a ＋2)，k (b ＋2)]， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝k (a ＋2)，f (b )＝k (b ＋2)，所以方程f (x )＝k (x ＋2)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上有两解a ，b ，作出y ＝f (x )与直线y ＝k (x ＋2)的函数图象，则两图象有两个交点，若直线y ＝k (x ＋2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94＋12ln 2， 则k ＝9＋2ln 210，若直线y ＝k (x ＋2)与y ＝f (x )的图象相切， 设切点为(x 0，y 0)则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝k (x 0＋2)，y 0＝x 20－x 0ln x 0＋2，2x 0－ln x 0－1＝k ，解得k ＝1，数形结合可知，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，9＋2ln 210. 9．(2018·昆明模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )在区间(0，＋∞)上单调递增，则a 的最大值是________． 答案 －e解析 因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )， 所以f ′(x )＝e x (x 2－2x )＋e x(2x －2)－a x＝e x (x 2－2)－a x(x >0)．因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )＝e x (x 2－2)－a x ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即a x≤e x (x 2－2)在区间(0，＋∞)上恒成立，亦即a ≤e x (x 3－2x )在区间(0，＋∞)上恒成立， 令h (x )＝e x(x 3－2x )，x >0，则h ′(x )＝e x (x 3－2x )＋e x (3x 2－2)＝e x (x 3－2x ＋3x 2－2)＝e x (x －1)(x 2＋4x ＋2)，x >0， 因为x ∈(0，＋∞)，所以x 2＋4x ＋2>0. 因为e x>0，令h ′(x )>0，可得x >1， 令h ′(x )<0，可得0<x <1.所以函数h (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减． 所以h (x )min ＝h (1)＝e 1(1－2)＝－e. 所以a ≤－e.所以a 的最大值是－e.10．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞解析 设公共切线在曲线C 1，C 2上的切点分别为(m ，am 2)，(t ，e t )，则2am ＝e t＝am 2－e tm －t，所以m ＝2t －2，a ＝e t 4(t －1)(t >1)，令f (t )＝e t 4(t －1)(t >1)，则f ′(t )＝e t(t －2)4(t －1)2，则当t >2时，f ′(t )>0；当1<t <2时，f ′(t )<0，因此f (t )≥f (2)＝e 24，所以a ≥e24.11．(2018·河南省豫南九校联考)若f (x )＝3xf ′(1)－2x 2，则f ′(0)＝________. 答案 6解析 由题意得f ′(x )＝3f ′(1)－4x ， ∴f ′(1)＝3f ′(1)－4，∴f ′(1)＝2， ∴f ′(x )＝6－4x ， ∴f ′(0)＝6－4×0＝6.12．(2018·烟台模拟)已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝ln x ＋a 相切，则实数a 的值是________． 答案 2＋ln 2解析 由y ＝ln x ＋a 求导得y ′＝1x，设切点是(x 0，ln x 0＋a )， 则y ′＝1x 0＝2，故x 0＝12，ln x 0＝－ln 2，切点是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－ln 2＋a ，代入直线方程得2×12＋ln 2－a ＋1＝0， 解得a ＝2＋ln 2.13．(2018·峨眉山市第七教育发展联盟模拟)对于函数y ＝f (x )，若其定义域内存在两个不同的实数x 1，x 2，使得x i f (x i )＝1(i ＝1,2)成立，则称函数f (x )具有性质P ，若函数f (x )＝exa具有性质P ，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0 解析 若函数f (x )＝exa具有性质P ，则xf (x )＝1 有两个不等实数根， 代入得xf (x )＝x ·exa＝1，即a ＝x ·e x在R 上有两个不等实数根． 令g (x )＝x e x，则g ′(x )＝x e x＋e x＝e x(1＋x )，令g ′(x )＝0， 得x ＝－1，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表所示：x (－∞，－1)－1 (－1，＋∞)g ′(x ) －0 ＋ g (x )极小值－1e根据表格，画出如图所示的函数图象由图象可知，a ＝x ·e x在R 上有两个不等实数根， 即y ＝a 与g (x )的图象有两个不同交点， 由极小值g (－1)＝－1e可知，当有两个交点时，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0.14．已知函数f (x )＝－x 2－6x －3，g (x )＝e x＋e xe x，实数m ，n 满足m <n <0，若∀x 1∈[m ，n ]，∃x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则n －m 的最大值为________． 答案 4解析 因为g (x )＝e x＋e x e x ，所以g ′(x )＝e x(x －1)e x 2，分母恒大于0，且e x>0，由题意讨论x >0即可，则当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝2.f (x )＝－(x ＋3)2＋6≤6，作函数y ＝f (x )的图象如图所示，当f (x )＝2时，方程－(x ＋3)2＋6＝2的两根分别为－5和－1，则n －m 的最大值为－1－(－5)＝4.。
(京津专用)高考数学总复习优编增分练：8+6分项练7计数原理(理)
8＋6分项练7计数原理1．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案有( )A ．48种B ．72种C ．96种D ．216种 答案 C解析 按照以下顺序涂色，A ：C 14→B ：C 13→D ：C 12→C ：C 12→E ：C 11→F ：C 12，所以由分步乘法计数原理得总的方案数为C 14·C 13·C 12·C 12·C 12＝96.2．(2018·钦州质检)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x n 的展开式前三项系数成等差数列，则n 等于( )A ．6B ．8C ．7D ．9 答案 B解析 展开式的通项为T k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12k C k n x 32kn －， 其前三项的系数分别是1，n 2，14C 2n ，据已知得n ＝1＋n (n －1)8，解得n ＝8(n ＝1舍弃)．3．(2018·重庆质检)山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中A ，B 两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 答案 B解析 因为A ，B 两型号的种子试种方法数为2×2＝4， 所以一共有4A 33＝24(种)试种方法．4．(2018·湖南省岳阳市第一中学模拟)岳阳高铁站B 1进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该检票口进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式有( )A ．24种B ．36种C ．42种D ．60种 答案 D解析 若三名同学从3个不同的检票通道口进站， 则有A 33＝6(种)；若三名同学从2个不同的检票通道口进站， 则有C 23C 23A 22A 22＝36(种)；若三名同学从1个不同的检票通道口进站， 则有C 13A 33＝18(种)．综上，这3个同学的不同进站方式有60种．5．二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为( )A ．7B ．5C ．4D ．3 答案 A解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则n ＝20， ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x 20展开式的通项为T k ＋1＝C k20()3x 20－k⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x k ＝()320－k C k 20x4203k－， 展开式的有理项满足20－43k (k ∈N )的值为整数，据此可得，k 可能的取值为0,3,6,9,12,15,18，共有7个．6．(2018·大同、阳泉质检)若二项式(3－x )n()n ∈N *展开式中所有项的系数之和为a ，所有项的系数的绝对值之和为b ，则b a ＋ab的最小值为( ) A ．2 B.52 C.136 D.92答案 B解析 令x ＝1，可得二项式(3－x )n(n ∈N *)展开式中所有项的系数之和为a ＝2n，令x ＝－1，可得(3－x )n展开式中所有项的系数的绝对值之和为 b ＝4n，则b a ＋a b ＝4n 2n ＋2n 4n ＝2n ＋12n ，故当n＝1时，b a ＋a b 取得最小值52.7．(2018·甘肃省西北师范大学附属中学质检)某大型医疗器械展览将于2019年5月18至20日在兰州举行，现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为( ) A ．540 B ．300 C ．180 D ．150 答案 D解析 将5人分成满足题意的3组有1,1,3与2,2,1两种， 分成1,1,3时，有C 35·A 33种分法； 分成2,2,1时，有C 25·C 23A 22·A 33种分法，由分类加法计数原理得，共有C 35·A 33＋C 25·C 23A 22·A 33＝150(种)不同的分法．8．九九重阳节期间，学校准备举行慰问退休老教师晚会，学生们准备用歌曲、小品、相声三种艺术形式表演五个节目，其中歌曲有2个节目，小品有2个节目，相声有1个节目，要求相邻的节目艺术形式不能相同，则不同的编排种数为( ) A ．96 B ．72 C ．48 D ．24 答案 C解析 第一类，先选择一个小品插入到2个歌曲之间，另一个小品放在歌曲的两边，这时形成了5个空，将相声插入其中一个，故有A 22A 12A 12A 15＝40(种)；第二类，相声插入歌曲之间，再把小品插入歌曲两边，有A 22A 22＝4(种)；第三类，相声插入小品之间，再把歌曲插入小品两边，有A 22A 22＝4(种)，根据分类加法计数原理可得，共有40＋4＋4＝48(种)．9．(2018·泉州质检)李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中到“东亚文化之都——泉州”二日游，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有________种． 答案 20解析 任意相邻两天组合一起，包括①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，一共有6种情况， 若李雷选①②或⑥⑦，则韩梅梅有4种选择，若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则韩梅梅有3种选择，故若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有2×4＋4×3＝20(种)．10．(2018·上饶模拟)若(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－mx 5展开式中x 2项的系数是40，则实数m 的值为________． 答案 ± 2解析 (x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－mx 5展开式中x 2项是由⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－mx 5展开式中常数项与()x 2＋2的二次项之积和⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－mx 5展开式中二次项与()x 2＋2的常数项之积组成的．∵⎝⎛⎭⎪⎫1x2－mx 5的展开式的通项为 T k ＋1＝C k 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25－k ·(－mx )k ＝(－m )k C k 5x 3k －10， 令3k －10＝0，解得k ＝103，不合题意，应舍去；令3k －10＝2，解得k ＝4，∴(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－mx 5的展开式中x 2项的系数为2·(－m )4C 45＝40，即m 4＝4，解得m ＝± 2.11．(2018·天津河东区模拟)一共有5名同学参加《我的中国梦》演讲比赛，3名女生和2名男生，如果男生不排第一个演讲，同时两名男生不能相邻演讲，则排序方式有________种．(用数字作答) 答案 36解析 根据题意，分2步完成：①将3名女生全排列，有A 33＝6(种)顺序，②排好后，有4个空位，男生不排第一个演讲，除去第一个空位，有3个空位可用，在这3个空位中任选2个，安排2名男生，有A 23＝6(种)情况， 则有6×6＝36(种)符合题意的排序方式．12．多项式⎝⎛⎭⎪⎫2＋1x ()2＋x 5的展开式中，含x 2的项的系数是________；常数项是________．答案 200 144解析 根据题意，()2＋x 5的展开式的通项为T k ＋1＝C k 525－k ·x k. ∴当k ＝2时，有T 3＝C 2523·x 2＝80x 2； 当k ＝3时，有T 4＝C 3522·x 3＝40x 3； 当k ＝0时，有T 1＝C 0525·x 0＝32； 当k ＝1时，有T 2＝C 1524·x 1＝80x .∴多项式⎝⎛⎭⎪⎫2＋1x ()2＋x 5的展开式中，含x 2的项为2×80x 2＋1x·40x 3＝200x 2，即含x 2的项的系数是200； 常数项是2×32＋1x·80x ＝144.13．(2018·甘肃省西北师范大学附属中学模拟)若(1－2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 018x2018(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018的值为________．答案 －1 解析 在(1－2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 018x2 018(x ∈R )中，令x ＝0时，可得(1－2×0)2 018＝a 0，即a 0＝1，令x ＝12时，可得⎝⎛⎭⎪⎫1－2×12 2 018＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018，即a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝0，又a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝－1.14．(2018·赣州模拟)(2x －1)n展开式中二项式系数的和为32，则(2x 2＋x －1)n 展开式中x 3的系数为________． 答案 －30解析 由(2x －1)n 展开式中二项式系数的和为32，可得2n ＝32，解得n ＝5，(2x 2＋x －1)5＝(x ＋1)5(2x －1)5，根据二项式定理可以求得(x ＋1)5的展开式中，三次项、二次项、一次项的系数和常数项分别是10,10,5,1， (2x －1)5的展开式中，常数项及一次项、二次项、三次项的系数分别是－1,10，－40,80， 所以展开式中x 3项的系数为－10＋100－200＋80＝－30.。
【重点考点】(京津专用)2020高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练6 数列 文
8＋6分项练6 数 列1．(2018·大连模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( )A ．27B ．31C ．63D ．75答案 C解析 由题意得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，所以3,12，S 6－15成等比数列，所以122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.2．(2018·莆田质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14<0，则S n 取最大值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．13答案 B解析 根据S 13>0，S 14<0，可以确定a 1＋a 13＝2a 7>0，a 1＋a 14＝a 7＋a 8<0，所以可以得到a 7>0，a 8<0，所以S n 取最大值时n 的值为7.3．已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝2－2·(－1)n ，n ∈N *，则S 2 017的值为( )A ．2 016×1 010－1B ．1 009×2 017C ．2 017×1 010－1D ．1 009×2 016 答案 C解析 由递推公式，可得当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝4，数列{a n }的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列， 当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝0，数列{a n }的偶数项是首项为2，公差为0的等差数列， S 2 017＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 016)＝1 009＋12×1 009×1 008×4＋1 008×2 ＝2 017×1 010－1.4．(2018·南充质检)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 56等于( ) A ．－ 3 B ．0 C. 3 D.32 答案 A解析 因为a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)， 所以a 1＝0，a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，a 5＝－3，a 6＝3，…，故此数列的周期为3.所以a 56＝a 18×3＋2＝a 2＝－ 3.5．(2018·咸阳模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得( )A ．三分鹿之一B ．三分鹿之二C ．一鹿D ．一鹿、三分鹿之一答案 A解析 显然5人所得依次成等差数列，设公士所得为x ， 则5⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋x 2＝5，解得x ＝13. 6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)，数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －1，记它们的公共项由小到大排成的数列为{c n }，令x n ＝c n 1＋c n ，则1x 1…x n －1x n的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．(1，e) C.233,e 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，e 答案 C 解析 由题意知，{a n }，{b n }的共同项为2,8,32,128，…，故c n ＝22n －1. 由x n ＝c n 1＋c n ，得1x n ＝1＋1c n， 1x 1…x n －1x n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1c 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n . 令F n ＝1x 1…x n －1x n， 则当n ≥2时，F n F n －1＝1x n>1， 故数列{F n }是递增数列，∴1x 1…x n －1x n ≥32. ∵当x >0时，ln(1＋x )<x ，∴ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n <1c n，则ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2…⎝⎛⎭⎪⎫1＋1c n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n <1c 1＋1c 2＋…＋1c n＝12＋123＋…＋122n －1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n 1－14<121－14＝23， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n <23e ， 故32≤1x 1…x n －1x n <23e ，故选C. 7．(2018·宁德质检)记S n 为数列{a n }的前n 项和，满足a 1＝32，2a n ＋1＋3S n ＝3(n ∈N *)，若S n ＋2S n≤M 对任意的n ∈N *恒成立，则实数M 的最小值为( ) A ．2 2 B.176 C.4112D ．4 答案 C解析 由a 1＝32，2a n ＋1＋3S n ＝3(n ∈N *)， 得2a n ＋3S n －1＝3，n ≥2.两式相减，可得2a n ＋1－2a n ＋3a n ＝0，即a n ＋1a n ＝－12＝q . ∵a 1＝32，∴2a 2＋3S 1＝3，即2a 2＋3a 1＝3， ∴a 2＝－34，∴a 2a 1＝－12， ∴a n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. 则S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1＋12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .∴当n ＝1时，S n 取最大值32； 当n ＝2时，S n 取最小值34. 要使S n ＋2S n≤M 对任意的n ∈N *恒成立． 根据对勾函数的性质，当S n ＝34时， S n ＋2S n 取得最大值4112， ∴M ≥4112， ∴实数M 的最小值为4112. 8．(2018·湖南省岳阳市第一中学模拟)已知数列{a n }满足当2k －1－1<n ≤2k －1(k ∈N *，n ∈N *)时，a n ＝k2k ，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则满足S n >10的n 的最小值为( ) A ．59 B ．58 C ．57 D ．60答案 B解析 由题意可得，当k ＝1时，20－1<n ≤21－1，即n ＝1，则a n ＝12，所以S 1＝12； 当k ＝2时，21－1<n ≤22－1，即1<n ≤3，n ∈N *，则a n ＝12，所以S 3－S 1＝12＋12＝1； 当k ＝3时，22－1<n ≤23－1，即3<n ≤7，n ∈N *，则a n ＝38，所以S 7－S 3＝4×38＝32； 当k ＝4时，23－1<n ≤24－1，即7<n ≤15，n ∈N *，则a n ＝14，所以S 15－S 7＝8×14＝2； 当k ＝5时，24－1<n ≤25－1，即15<n ≤31，n ∈N *，则a n ＝532，所以S 31－S 15＝16×532＝52； 当k ＝6时，25－1<n ≤26－1，即31<n ≤63，n ∈N *，则a n ＝332，所以S 63－S 31＝32×332＝3， 则S 31＝12＋1＋32＋2＋52＝7.5， 设从a 32到a 63中有m 项，则m 项的和为m ×332＝3m 32， 令3m 32>2.5，解得m >803，所以当S n >10时，n >57， 所以n 的最小值为58.9．(2018·烟台模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7＝5，S 9＝27，则a 20＝________. 答案 18解析 由等差数列的前n 项和公式可知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝27，解得a 5＝3， 又由d ＝a 7－a 57－5＝5－32＝1，所以由等差数列的通项公式可得a 20＝a 5＋15d ＝3＋15×1＝18.10．(2018·三明质检)若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 8＝________. 答案 510解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，据此可得a 1＝2， 当n ≥2时，S n ＝2a n －2，S n －1＝2a n －1－2，两式作差可得a n ＝2a n －2a n －1，则a n ＝2a n －1，据此可得数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，其前8项和为S 8＝2×()1－281－2＝29－2＝512－2＝510. 11．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋r ，则a 3－r ＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 的最大项是第k 项，则k ＝________.答案 19 4解析 等比数列前n 项和公式具有的特征为S n ＝aq n －a ，据此可知，r ＝－1，则S n ＝3n －1，a 3＝S 3－S 2＝()33－1－()32－1＝18， a 3－r ＝19.令b n ＝n ()n ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ，且b n >0，则b n ＋1b n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n， 由b n ＋1b n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n>1可得n 2<10， 由b n ＋1b n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n<1可得n 2>10， 据此可得，数列中的项满足b 1<b 2<b 3<b 4，且b 4>b 5>b 6>b 7>b 8>…，则k ＝4.12．(2018·河南省南阳市第一中学模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝pn 2－2n ，n ∈N *，b n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 1＋2＋3＋…＋n，若数列{b n }是公差为2的等差数列，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝3n －72解析 由S n ＝pn 2－2n ，n ∈N *可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝p －2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2pn －p －2， a 1＝p －2符合上式，所以对任意的n ∈N *均有a n ＝2pn －p －2，则a n ＋1－a n ＝2p ，因而数列{a n }是公差为2p 的等差数列，a 2＝3p －2， b 1＝a 1＝p －2，b 2＝a 1＋2a 21＋2＝7p －63，则b 2－b 1＝7p －63－(p －2)＝2， 得2p ＝3，p ＝32，a 1＝－12， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－12＋(n －1)×3＝3n －72，n ∈N *.13．(2018·大连模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 2＝2，a 3n ＝2n －2a n ，a 3n ＋1＝a n ＋1，a 3n ＋2＝a n －n ，则S 30＝________.(用数字作答) 答案 75解析 ∵a 3n ＝2n －2a n ，a 3n ＋1＝a n ＋1，a 3n ＋2＝a n －n ，a 1＝1，a 2＝2，∴a 3＝2－2a 1＝2－2＝0，a 4＝a 1＋1＝2，a 5＝a 1－1＝0，∴a 3＋a 4＋a 5＝2.∵a 3n ＝2n －2a n ，a 3n ＋1＝a n ＋1，a 3n ＋2＝a n －n ，∴把上面三个式子相加得a 3n ＋a 3n ＋1＋a 3n ＋2＝n ＋1， ∴a 10＝a 3×3＋1＝a 3＋1＝0＋1＝1，∴a 30＝a 3×10＝2×10－2a 10＝18.∴S 30＝a 1＋a 2＋(a 3＋a 4＋a 5)＋(a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 27＋a 28＋a 29)＋a 30＝1＋2＋(2＋10)×92＋18＝75. 14．数列{a n }满足a 1＝43，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1(n ∈N *)，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 017的整数部分是________． 答案 2解析 因为a 1＝43，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1(n ∈N *)， 所以a n ＋1－a n ＝(a n －1)2>0，所以a n ＋1>a n ，数列{a n }单调递增，所以a n ＋1－1＝a n (a n －1)>0，所以1a n ＋1－1＝1a n (a n －1)＝1a n －1－1a n ， 所以1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1， 所以S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1－1a 2－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1－1a 3－1＋…＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1－1a n ＋1－1＝1a 1－1－1a n ＋1－1， 所以m ＝S 2 017＝3－1a 2 018－1， 因为a 1＝43， 所以a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432－43＋1＝139， a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1392－139＋1＝13381， a 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133812－13381＋1>2，…，所以a2 018>a2 017>a2 016>…>a4>2，所以a2 018－1>1，所以0<1a2 018－1<1，所以2<3－1a2 018－1<3，因此m的整数部分是2.。
(京津专用)2020高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练9 统计与统计案例 理
8＋6分项练9 统计与统计案例1．(2018·新乡模拟)某中学有高中生3 000人，初中生2 000人，男、女生所占的比例如下图所示．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是( )A ．12B ．15C ．20D ．21 答案 A解析 因为分层抽样的抽取比例为213 000×0.7＝1100，所以从初中生中抽取的男生人数是2 000×0.6100＝12.2．(2018·赣州模拟)某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号：001,002，…，699,700.从中抽取70个样本，如图提供了随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是( ) 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A ．623 B ．328 C ．253 D ．007 答案 A解析 从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个数是253，重复， 第四个数是007，第五个数是328，第六个数是623.3．(2018·宁德质检)下图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是( )A ．DB ．EC ．FD ．A 答案 B解析 因为相关系数的绝对值越大，越接近1，则说明两个变量的相关性越强．因为点E 到直线的距离最远，所以去掉点E ，余下的5个点所对应的数据的相关系数最大．4．某班一次测试成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息可确定被抽测的人数及分数在[90,100]内的人数分别为( )A ．20,2B ．24,4C ．25,2D ．25,4 答案 C解析 由频率分布直方图可知，组距为10，[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图可知[50,60)的人数为2，设参加本次考试的总人数为N ，则N ＝20.08＝25，根据频率分布直方图可知[90,100]内的人数与[50,60)内的人数一样，都是2.5．下列说法错误的是( )A ．回归直线过样本点的中心(x ，y )B ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C ．在线性回归方程y ^＝0.2x ＋0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y ^平均增加0.2个单位 D ．对分类变量X 与Y ，随机变量K 2的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小答案 D解析 根据相关定义分析知A ，B ，C 正确．D 中对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故D 不正确．6．某科研机构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表所示：有心脏病 无心脏病 总计 秃发 20 300 320 不秃发 5 450 455 总计25750775根据表中数据得K 2＝775×()20×450－5×300225×750×320×455≈15.968，由K 2≥10.828，断定秃发与患有心脏病有关，那么这种判断出错的可能性为( )P (K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A.0.1 B ．0.05 C ．0.01 D ．0.001 答案 D解析 由题意可知，K 2≥10.828，根据附表可得判断秃发与患有心脏病有关出错的可能性为0.001.7．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图．下面关于这两位同学的数学成绩的分析中，正确的个数为( )①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故而平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110,120]内；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分．A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130分，平均成绩为低于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110,120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中的最高分大于130分且最低分低于90分，最高分与最低分的差超过40分，故④正确．故选C.8．(2016·北京)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( ) A ．2号学生进入30秒跳绳决赛 B ．5号学生进入30秒跳绳决赛 C ．8号学生进入30秒跳绳决赛 D ．9号学生进入30秒跳绳决赛 答案 B解析 由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1～8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人需要从1～8号产生，数据排序后可知第3,6,7号必须进跳绳决赛，另外3人需从63，a,60,63，a －1五个得分中抽取，若63分的人未进决赛，则60分的人就会进入决赛，与事实矛盾，所以63分必进决赛．故选B.9．(2018·河北省衡水中学模拟)若x 1，x 2，…，x 2 018的平均数为3，方差为4，且y i ＝－2()x i －2，i ＝1,2，…，2 018，则新数据y 1，y 2，…，y 2 018的平均数和标准差分别为________． 答案 －2,4解析 ∵x 1，x 2，…，x 2 018的平均数为3，方差为4， ∴12 018(x 1＋x 2＋…＋x 2 018)＝3， 12 018[(x 1－3)2＋(x 2－3)2＋…＋(x 2 018－3)2]＝4. 又y i ＝－2(x i －2)＝－2x i ＋4，i ＝1,2，…，2 018， ∴y ＝12 018[－2(x 1＋x 2＋…＋x 2 018)＋4×2 018]＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 018(x 1＋x 2＋…＋x 2 018)＋4＝－2，s 2＝12 018[(－2x 1＋4＋2)2＋(－2x 2＋4＋2)2＋…＋(－2x 2 018＋4＋2)2] ＝12 018[4(x 1－3)2＋4(x 2－3)2＋…＋4(x 2 018－3)2] ＝4×12 018[(x 1－3)2＋(x 2－3)2＋…＋(x 2 018－3)2]＝16，∴新数据y 1，y 2，…，y 2 018的平均数和标准差分别为－2,4.10．某学校为了制定节能减排的目标，调查了日用电量y (单位：千瓦时)与当天平均气温x (单位：℃)，从中随机选取了4天的日用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到的线性回归方程为y ^＝－2x ＋60，则a 的值为________． 答案 38解析 x ＝17＋15＋10－24＝10，y ＝24＋34＋a ＋644，∵y ^＝－2x ＋60必过点()x ，y ，∴24＋34＋a ＋644＝－2×10＋60，解得a ＝38.11．(2018·大连模拟)某班共有36人，编号分别为1,2,3，…，36.现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号3,12,30在样本中，那么样本中还有一个编号是________． 答案 21解析 由于系统抽样得到的编号组成等差数列， 因为364＝9，所以公差为9，因为编号为3,12,30，所以第三个编号为12＋9＝21.12．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[]50，60元的学生人数为________．答案 150解析 由频率分布直方图，得每天在校平均开销在[50,60]元的学生的频率为 1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，∴每天在校平均开销在[50,60]元的学生人数为500×0.3＝150.13．如图是某市某小区100户居民2015年月平均用水量(单位：t)的频率分布直方图的一部分，则该小区2015年的月平均用水量的中位数的估计值为________．答案 2.01解析 由题图可知，前五组的频率依次为0.04,0.08,0.15,0.22,0.25，因此前五组的频数依次为4,8,15,22,25，由中位数的定义，应是第50个数与第51个数的算术平均数，而前四组的频数和为4＋8＋15＋22＝49，所以中位数是第五组中第1个数与第2个数的算术平均数，中位数是12[2＋2＋124×(2.5－2)]≈2.01，故中位数的估计值是2.01.14．(2018·芜湖模拟)某校开展“爱我家乡”演讲比赛，9位评委给小明同学打分的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字在茎叶图中无法看清，若记分员计算无误，则数字x ＝________.答案 1解析 由题意知，去掉一个最低分88， 若最高分为94时，去掉最高分94， 余下的7个分数的平均分是91，即17×(89＋89＋92＋93＋90＋x ＋92＋91)＝91， 解得x ＝1；若最高分为(90＋x )分，去掉最高分90＋x ， 则余下的7个分数的平均分是17×(89＋89＋92＋93＋92＋91＋94)≠91，不满足题意．。
(京津专用)高考数学总复习优编增分练(70分)8+6标准练2(理)
[70分] 8＋6标准练21．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ∈(0，π)⎪⎪⎪12<sin θ≤1，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫φ⎪⎪⎪π4<φ<1，则集合A ∩B 等于( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ π4<θ<π2 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6<θ<1 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6<θ<π2 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π4<θ<1 答案 D解析 ∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ∈(0，π)⎪⎪⎪12<sin θ≤1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6<θ<5π6， ∴A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π4<θ<1. 2．2018年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：关于野生小鼠的最新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子．为了观察野生小鼠的这种表征，从有2对不同表征的小鼠(白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对)的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为( ) A.14 B.13 C.23 D.34 答案 C解析 分别设一对白色斑块的野生小鼠为A ，a ，另一对短鼻子野生小鼠为B ，b ，从2对野生小鼠中不放回地随机拿出2只，所求基本事件总数为4×3＝12，拿出的野生小鼠是同一表征的事件为()A ，a ，()a ，A ，()B ，b ，()b ，B ，共4种， 所以拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为 1－412＝23. 3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数y ＝sin 2x ＋3cos 2x 的图象，则φ的可能值为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π12答案 A解析 将函数y ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，可得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin 2x 的图象，所以φ＝0.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2＋πB ．1＋πC ．2＋2πD ．1＋2π答案 A解析 根据三视图可得该几何体由一个长方体和半个圆柱组合而成， 则V ＝1×1×2＋12×π×12×2＝2＋π.5．如图所示的程序框图，当输出y ＝15后，程序结束，则判断框内应该填( )A．x≤1? B．x≤2? C．x≤3? D．x≤4?答案 C解析当x＝－3时，y＝3；当x＝－2时，y＝0；当x＝－1时，y＝－1；当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝8；当x＝3时，y＝15，x＝4，结束．所以y的最大值为15，可知x≤3？符合题意．6．若x＝2是函数f(x)＝(x2－2ax)e x的极值点，则函数f(x)的最小值为( ) A．(2＋22)e2B．0C．(2－22)e2D．－e答案 C解析∵f(x)＝(x2－2ax)e x，∴f′(x)＝(2x－2a)e x＋(x2－2ax)e x＝[x2＋2(1－a)x－2a]e x，由已知得，f′(2)＝0，∴2＋22－2a－22a＝0，解得a＝1，∴f(x)＝(x2－2x)e x，∴f′(x)＝(x2－2)e x，∴令f′(x)＝(x2－2)e x＝0，得x＝－2或x＝2，当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(－2，2)上是减函数，当x∈()2，＋∞时，f′(x)>0，－∞，－2或x∈()∴函数f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数．又当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，x2－2x>0，f(x)>0，当x∈(0,2)时，x2－2x<0，f(x)<0，∴f (x )min 在x ∈(0,2)上，又当x ∈()0，2时，函数f (x )单调递减， 当x ∈()2，2时，函数f (x )单调递增，∴f (x )min ＝f ()2＝()2－227．点M (x ，y )在曲线C ：x 2－4x ＋y 2－21＝0上运动，t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a ，且t 的最大值为b ，若a ，b 为正实数，则1a ＋1＋1b的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 曲线C ：x 2－4x ＋y 2－21＝0可化为(x －2)2＋y 2＝25，表示圆心为C (2,0)，半径为5的圆，t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a ＝(x ＋6)2＋(y －6)2－222－a ，(x ＋6)2＋(y －6)2可以看作点M 到点N (－6,6)的距离的平方，圆C 上一点M 到N 的距离的最大值为|CN |＋5，即点M 是直线CN 与圆C 距N 较远的交点，所以直线CN 的方程为y ＝－34(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－34(x －2)，(x －2)2＋y 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝6，y 1＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝3(舍去)，当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－3时，t 取得最大值，则t max ＝(6＋6)2＋(－3－6)2－222－a ＝b ， 所以a ＋b ＝3，所以(a ＋1)＋b ＝4， 1a ＋1＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b [](a ＋1)＋b＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋1＋a ＋1b ＋2≥1， 当且仅当ba ＋1＝a ＋1b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2时取等号．8．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，且在R 上单调递增，函数g (x )＝f (x －5)＋x ，数列{a n }为等差数列，且公差不为0，若g (a 1)＋g (a 2)＋…＋g (a 9)＝45，则a 1＋a 2＋…＋a 9等于( )A ．45B ．15C ．10D ．0 答案 A解析 因为函数g (x )＝f (x －5)＋x ， 所以g (x )－5＝f (x －5)＋x －5，当x ＝5时，g (5)－5＝f (5－5)＋5－5＝f (0)， 而y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数， 所以f (0)＝0，所以g (5)－5＝0. 由g (a 1)＋g (a 2)＋…＋g (a 9)＝45，得[g (a 1)－5]＋[g (a 2)－5]＋…＋[g (a 9)－5]＝0， 由y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数， 且在R 上单调递增，可知y ＝g (x )－5关于(5,0)对称， 且在R 上是单调递增函数， 由对称性猜想g (a 5)－5＝0， 下面用反证法证明g (a 5)－5＝0. 假设g (a 5)－5<0，知a 5<5， 则a 1＋a 9<10，a 2＋a 8<10，…，由对称性可知[g (a 1)－5]＋[g (a 9)－5]<0， [g (a 2)－5]＋[g (a 8)－5]<0，…，则[g (a 1)－5]＋[g (a 2)－5]＋…＋[g (a 9)－5]<0与题意不符，故g (a 5)－5<0不成立； 同理g (a 5)－5>0也不成立， 所以g (a 5)－5＝0，所以a 5＝5，根据等差数列的性质，得a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝45.9．复数z ＝a ＋i(a ∈R )的共轭复数为z ，满足|z |＝1，则复数z ＝________. 答案 i解析 根据题意可得，z ＝a －i ，所以|z |＝a 2＋1＝1，解得a ＝0，所以复数z ＝i. 10．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，则z ＝－2x －y 的最小值为________．答案 －4解析 根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示(含边界)，直线z ＝－2x －y 过点A (1,2)时，z 取得最小值－4.11．已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，满足sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，则sin 2αsin (β－α)的最大值为________．答案2解析 因为sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，所以sin αcos β＋cos αsin β－sin α＝2sin αcos β， 所以cos αsin β－sin αcos β＝sin α， 即sin(β－α)＝sin α， 则sin 2αsin (β－α)＝sin 2αsin α＝2sin αcos αsin α＝2cos α，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，所以2cos α∈[]1，2，所以sin 2αsin (β－α)的最大值为 2.12．已知正方形ABCD 的边长为1，P 为平面ABCD 内一点，则(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)的最小值为________． 答案 －1解析 以B 为坐标原点，BC ，BA 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,1)，B (0,0)，C (1,0)，D (1,1)， 设P (x ，y )，则PA →＝(－x,1－y )，PB →＝(－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，PD →＝(1－x,1－y )，(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)＝(－2x,1－2y )·(2(1－x )，1－2y )＝(1－2y )2－4(1－x )x ＝(1－2y )2＋(2x －1)2－1，当x ＝12，y ＝12时，(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)取得最小值－1.13．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被抛物线y ＝4x 2所截得的弦长为32，则双曲线C 的离心率为________． 答案 2解析 不妨设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为bx ＋ay ＝0，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧bx ＋ay ＝0，y ＝4x 2，消去y ，得4ax 2＋bx ＝0，Δ＝b 2>0，设两交点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－b 4a ，x 1x 2＝0，所以x 1，x 2中有一个为0，一个为－b4a ，所以所截得的弦长为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2a 2×b 216a 2＝32， 化简可得bc 4a 2＝32，bc ＝23a 2，(c 2－a 2)c 2＝12a 4，e 4－e 2－12＝0，得e 2＝4或－3(舍)， 所以双曲线C 的离心率e ＝2.14．如图，在四边形ABCD 中，△ABD 和△BCD 都是等腰直角三角形，AB ＝2，∠BAD ＝π2，∠CBD ＝π2，沿BD 把△ABD 翻折起来，形成二面角A －BD －C ，且二面角A －BD －C 为5π6，此时A ，B ，C ，D 在同一球面上，则此球的体积为________．答案2053π解析 由题意可知BC ＝BD ＝2，△BCD ，△ABD 的外接圆圆心分别为CD ，BD 的中点E ，F ，分别过E ，F 作△BCD ，△ABD 所在平面的垂线，垂线的交点O 即为球心，连接AF ，EF ，由题意可知∠AFE 即为二面角A －BD －C 的平面角， 所以∠AFE ＝5π6.又∠OFA ＝π2，所以∠OFE ＝π3，EF ＝12BC ＝1，所以OE ＝EF ·tan π3＝3，所以R ＝OC ＝OE 2＋CE 2＝5， 所以V ＝43πR 3＝2053π.。
【配套K12】[学习](京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练8 概率 理
2019高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练8 概率 理](https://img.taocdn.com/s3/m/7286b4535acfa1c7aa00ccf0.png)
8＋6分项练8 概 率1．(2018·大同模拟)把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币平放在一个边长为8的正方形托盘上，则该硬币完全落在托盘上(即没有任何部分在托盘以外)的概率为( ) A.916 B.716 C.516 D.π16 答案 A解析 如图，要使硬币完全落在托盘上，则硬币圆心在托盘内以6为边长的正方形内，硬币在托盘上且没有掉下去，则硬币圆心在托盘内，由测度比为面积比可得，硬币完全落在托盘上的概率为P ＝6×68×8＝916.2．(2018·南阳模拟)甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为( ) A.110 B.23 C.13 D.14 答案 D解析 甲乙相邻的排队顺序共有2A 44＝48(种)， 其中甲乙相邻，甲丙相邻的排队顺序共有2A 33＝12(种)， 所以甲乙相邻的条件下，甲丙相邻的概率为1248＝14.3．(2018·大连模拟)某工厂生产的一种零件的尺寸(单位：mm)服从正态分布N ()500，52.现从该零件的生产线上随机抽取20 000件零件，其中尺寸在(500,505]内的零件估计有( ) (附：若随机变量X 服从正态分布N ()μ，σ2，则P ()μ－σ<X ≤μ＋σ≈0.682 6，P ()μ－2σ<X ≤μ＋2σ≈0.954 4)A ．6 826个B ．9 545个C ．13 654个D ．19 090个答案 A解析 由P ()500－5<X ≤500＋5≈0.682 6， 得P ()500<X ≤500＋5≈0.341 3，因此尺寸在(]500，505内的零件估计有0.341 3×20 000＝6 826(个)．4．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为12.构造数列{a n }，使a n＝⎩⎪⎨⎪⎧1，第n 次正面向上，－1，第n 次反面向上，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 2≠0且S 8＝2时的概率为( )A.43128 B.4364 C.13128 D.1364答案 C解析 由题意知，当S 8＝2时，说明抛掷8次，其中有5次正面向上，3次反面向上，又因为S 2≠0，所以有两种情况：①前2次都正面向上，后6次中有3次正面向上，3次反面向上；②前2次都反面向上，后6次中有5次正面向上，1次反面向上，所以S 2≠0且S 8＝2时的概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 36·⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫125⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝13128，故选C.5．(2018·江西省景德镇市第一中学等盟校联考)下图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我们古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载．若图中大正方形的边长为5，小正方形的边长为2，现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域模拟随机投掷n 个点，有m 个点落在中间的圆内，由此可估计π的近似值为( )A.25m 4n B.4m n C.4m 25n D.25m n答案 D解析 ∵小正方形的边长为2， ∴圆的半径为1，圆的面积为π，又∵大正方形的边长为5，∴大正方形的面积为25， ∴由几何概型概率公式可得π25≈m n ，π≈25m n.6．某校高三年级共有6个班，现在安排6名教师担任某次模拟考试的监考工作，每名教师监考一个班级．在6名教师中，甲为其中2个班的任课教师，乙为剩下4个班中2个班的任课教师，其余4名教师均不是这6个班的任课教师，那么监考教师都不但任自己所教班的监考工作的概率为( ) A.715 B.815 C.115 D.415 答案 A解析 对6名教师进行随机安排，共有A 66种安排方法．其中监考教师都不担任自己所教班的监考工作时，先安排教师甲，当甲担任教师乙所教的两个班中的一班的监考工作时，教师乙有4种安排方法，其余4名教师可以任意安排，共有C 12C 14A 44种安排方法；当甲担任甲和乙都不教的两个班级中的一个班的监考工作时，教师乙有3种安排方法，其余4名教师可以任意安排，共有C 12C 13A 44种安排方法，因此监考教师都不担任自己所教的班级的监考工作的安排方法总数为C 12C 14A 44＋C 12C 13A 44＝14A 44，故所求概率P ＝14A 44A 66＝14A 4430A 44＝715.7．依次连接正六边形各边的中点，得到一个小正六边形，再依次连接这个小正六边形各边的中点，得到一个更小的正六边形，往原正六边形内随机撒一粒种子，则种子落在最小的正六边形内的概率为( ) A.34 B.916 C.32 D.23 答案 B解析 如图，原正六边形为ABCDEF ，最小的正六边形为A 1B 1C 1D 1E 1F 1.设AB ＝a ，由已知得∠AOB ＝60°，则OA ＝a ，∠AOM ＝30°，则OM ＝OA cos∠AOM ＝a ·cos 30°＝3a2，即中间的正六边形的边长为3a 2；以此类推，最小的正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为OB 1＝32OM ＝32·3a 2＝3a 4，所以由几何概型得，种子落在最小的正六边形内的概率为P ＝111111A B C D E F S 正六边形S 正六边形ABCDEF＝12·3a 4·3a 4·32·612·a ·a ·32·6＝916，故选B. 8．(2018·潍坊模拟)交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险的基准保费为a 元，在下一年续保时，实行费率浮动机制，保费与车辆发生道路交通事故出险的情况下联系，最终保费＝基准保费×(1＋与道路交通事故相联系的浮动比率)，具体情况如下表：为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：若以这100辆该品牌的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，则随机抽取一辆该品牌车在第四年续保时的费用的期望为( ) A ．a 元 B ．0.958a 元 C ．0.957a 元 D ．0.956a 元答案 D解析 由题意可知，一辆该品牌车在第四年续保时的费用X 的可能取值有0.9a,0.8a,0.7a ，a,1.1a,1.3a ，且对应的概率分别为P (X ＝0.9a )＝20100＝0.2，P (X ＝0.8a )＝10100＝0.1，P (X ＝0.7a )＝10100＝0.1，P (X ＝a )＝38100＝0.38，P (X ＝1.1a )＝20100＝0.2，P (X ＝1.3a )＝2100＝0.02，利用离散型随机变量的分布列的期望公式可以求得E (X )＝0.9a ×0.2＋0.8a ×0.1＋0.7a ×0.1＋a ×0.38＋1.1a ×0.2＋1.3a ×0.02＝0.956a ，故选D.9．(2018·烟台模拟)若20件产品中有16件一级品，4件二级品．从中任取2件，这2件中至少有1件二级品的概率是________． 答案719解析 由题意，由组合数公式求得从20件产品中任取2件的情况总数为C 220＝190， 其中恰有一件二级品和全为二级品的种数为C 116C 14＋C 24＝70， 即至少有1件二级品的种数为70.由古典概型的概率计算公式可得概率为P ＝70190＝719.10．(2018·重庆模拟)已知随机变量X ～N ()2，σ2，若P (X ≤1－a )＋P (X ≤1＋2a )＝1，则实数a ＝________. 答案 2解析 因为P ()X ≤1－a ＋P ()X ≤1＋2a ＝1， 所以P ()X ≤1＋2a ＝1－P ()X ≤1－a ＝P ()X >1－a ， 因为X ～N ()2，σ2，所以1＋2a ＋1－a ＝2×2，所以a ＝2.11．已知随机变量X 的分布列如下表：若E (X )＝2，则a ＝________；D (X )＝________. 答案 0 52解析 由题意得13＋b ＋16＋14＝1，∴b ＝14.∴E (X )＝a ×13＋2×14＋3×16＋4×14＝2，解得a ＝0.∴D (X )＝(0－2)2·13＋(2－2)2·14＋(3－2)2·16＋(4－2)2·14＝52.12．(2018·吉林调研)某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩(单位：分)X 服从正态分布N ()110，102，从中抽取一个同学的数学成绩ξ，记该同学的成绩90<ξ≤110为事件A ，记该同学的成绩80<ξ≤100为事件B ，则在A 事件发生的条件下B 事件发生的概率P (B |A )＝_____.(结果用分数表示)附：X 满足：P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6；P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4; P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4. 答案1 3594 772解析 由题意可知，P (A )＝0.477 2，P ()AB ＝12×()0.954 4－0.682 6＝0.135 9.∴P ()B |A ＝P (AB )P (A )＝0.135 90.477 2＝1 3594 772. 13.小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞(如图)，则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是________．答案 78解析 四枚硬币的全部的摆法有24＝16(种)，相邻两枚硬币同一面相对的情况有2种，摆法分别是正反正反，反正反正，所以相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的摆法共有16－2＝14(种)，所以概率为P ＝1416＝78. 14．(2018·钦州质检)甲、乙两人约定在早上7：00至7：15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7：05，7：15，如果他们约定见车就搭乘，则甲和乙恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为________． 答案 59解析 如图，设甲到达汽车站的时刻为x ，乙到达汽车站的时刻为y ，则0≤x ≤15,0≤y ≤15，甲、乙两人到达汽车站的时刻(x ，y )所对应的区域在平面直角坐标系中画出(如图 所示)是大正方形．将2班车到站的时刻在图形中画出，则甲、乙两人要想乘同一班车，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤5或⎩⎪⎨⎪⎧ 5≤x ≤15，5≤y ≤15，， 即(x ，y )必须落在图形中的2个带阴影的正方形内， 所以由几何概型的计算公式得P ＝5×5＋10×1015＝59.。
(京津专用)201X高考数学总复习 优编增分练：8+6标准练2 文
8＋6标准练21．复数z 1＝3＋2i ，z 1＋z 2＝1＋i ，则复数z 1·z 2等于( )A ．－4－7iB ．－2－iC ．1＋iD ．14＋5i答案 A解析 根据题意可得，z 2＝1＋i －3－2i ＝－2－i ，所以z 1·z 2＝(3＋2i)·(－2－i)＝－4－7i.2．集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |log 3x <1}，若A ∪B ＝{x |x <3}，则a 的取值范围是( )A ．[0,3]B ．(0,3]C ．(－∞，3]D ．(－∞，3)答案 B解析 根据题意可得B ＝{x |log 3x <1}＝{x |0<x <3}，因为A ∪B ＝{x |x <3}，所以0<a ≤3.3．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小值为( ) A.π8 B.π4 C.3π8 D.π2答案 C解析 函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π4，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －2φ＋π4，所得图象关于直线x ＝π4对称，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－2φ＝±1，则2φ－5π4＝k π＋π2，φ＝k π2＋7π8，k ∈Z ，由φ>0，取k ＝－1，得φ的最小值为3π8，故选C. 4．如图所示的程序框图，输出y 的最大值是( )A．3 B．0 C．15 D．8答案C解析当x＝－3时，y＝3；当x＝－2时，y＝0；当x＝－1时，y＝－1；当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝8；当x＝3时，y＝15，x＝4，结束，所以y的最大值为15.5.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )A．60° B．45°C．30° D．120°答案A解析∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝12，即∠ABO＝60°.故选A.6．在平面直角坐标系中，已知直线l的方程为x－2y－5＝0，圆C的方程为x2＋y2－4ax－2y＋3a2＋1＝0(a>0)，动点P在圆C上运动，且动点P到直线l的最大距离为2，则圆C的面积为( )A．π或(201－885)π B．πC．(201＋885)π D．π或(201＋885)π答案B解析 因为x 2＋y 2－4ax －2y ＋3a 2＋1＝0等价于(x －2a )2＋(y －1)2－a 2＝0，所以(x －2a )2＋(y －1)2＝a 2，圆C 的圆心坐标为(2a ,1)，半径为a .因为点P 为圆C 上的动点，所以点P 到直线l 的最大距离为a ＋|2a －2－5|－22＋12＝2， 当a ≥2＋52时，解得a ＝11－45， 由于11－45<2＋52，故舍去， 当0<a <2＋52时，解得a ＝1，符合题意， 所以a ＝1，S 圆＝πa 2＝π.7．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且在R 上是单调函数，函数g (x )＝f (x －5)．数列{a n }为等差数列，且公差不为0，若g (a 1)＋g (a 9)＝0，则a 1＋a 2＋…＋a 9等于( )A ．45B ．15C ．10D ．0答案 A解析 由y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且在R 上是单调函数，可知g (x )＝f (x －5)关于(5,0)对称，且在R 上是单调函数，又g (a 1)＋g (a 9)＝0，所以a 1＋a 9＝10，即a 5＝5，根据等差数列的性质得，a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝45.8．若x ＝2是函数f (x )＝(x 2－2ax )e x 的极值点，则函数f (x )的最小值为( )A ．(2＋22)2eB ．0C ．(2－22)2eD ．－e 答案 C解析f(x)＝(x2－2ax)e x，∴f′(x)＝(2x－2a)e x＋(x2－2ax)e x ＝[x2＋2(1－a)x－2a]e x，由已知得，f ′(2)＝0，∴2＋22－2a －22a ＝0，解得a ＝1.∴f (x )＝(x 2－2x )e x ，∴f ′(x )＝(x 2－2)e x ，∴令f ′(x )＝(x 2－2)e x ＝0，得x ＝－2或x ＝2，当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－2，2)上是减函数，当x ∈()－∞，－2或x ∈()2，＋∞时，f ′(x )>0， ∴函数f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数．又当x ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，x 2－2x >0，f (x )>0，当x ∈(0,2)时，x 2－2x <0，f (x )<0，∴f (x )min 在x ∈(0,2)上，又当x ∈()0，2时，函数f (x )单调递减，当x ∈()2，2时，函数f (x )单调递增，∴f (x )min ＝f ()2＝()2－229．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离等于其实轴长，则双曲线C 的离心率为________．答案 5解析 由题意可知b ＝2a ，即b 2＝4a 2，所以c 2－a 2＝4a 2，解得e ＝ 5.10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．答案2＋π解析根据三视图可得该几何体由一个长方体和半个圆柱组合而成，则V ＝1×1×2＋12×π×12×2＝2＋π.11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ 2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，则z ＝－2x －y 的最小值为________．答案 －4 解析 根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示(含边界)，直线z ＝－2x －y 过点A (1,2)时，z 取得最小值－4.12．在Rt△ABC 中，∠BAC ＝π2，H 是边AB 上的动点，AB ＝8，BC ＝10，则HB →·HC →的最小值为________．答案 －16解析 以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)， 则A (0,0)，B (8,0)，C (0,6)，设点H (x ,0)，则x ∈[0,8]，∴HB →·HC →＝(8－x ,0)·(－x ,6)＝－x (8－x )＝x 2－8x ，∴当x ＝4时，HB →·HC →的最小值为－16.13．已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，满足sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，则sin 2αsin β－α的最大值为________．答案2解析因为sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，所以sin αcos β＋cos αsin β－sin α＝2sin αcos β，所以cos αsin β－sin αcos β＝sin α，即sin(β－α)＝sin α， 则sin 2αsin β－α＝sin 2αsin α＝2sin αcos αsin α＝2cos α. 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，所以2cos α∈[]1，2， 所以sin 2αsin β－α的最大值为 2. 14．如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥CD ，AB ⊥BD ，AB ＝CD ＝2，BD ＝3，沿BD 把△ABD 翻折起来，形成三棱锥A －BCD ，且平面ABD ⊥平面BCD ，此时A ，B ，C ，D 在同一球面上，则此球的体积为________．答案 776π 解析 因为AB ⊥BD ，且平面ABD ⊥平面BCD ，AB ⊂平面ABD ，所以AB ⊥平面BCD ，如图，三棱锥A －BCD 可放在长方体中，它们外接球相同，设外接球半径为R ，则R ＝22＋22＋322＝72， V 球＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫723＝776π.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
(京津专用)2019高考数学总复习优编增分练：8+6分项练5三角函数与解三角形理
8＋6分项练5 三角函数与解三角形1．(2018·河北省衡水中学模拟)已知sin α＝，α∈，则cos 的值为1010(0，π2)(2α＋π6)( )A. B.43－31043＋310C.D.4－331033－410答案 A解析 ∵sin α＝，α∈，1010(0，π2)∴cos α＝＝，1－sin 2α31010∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，10103101035cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×2＝.(1010)45∴cos ＝cos 2α－sin 2α＝×－×＝.(2α＋π6)32123245123543－3102．(2018·宁德质检)将周期为π的函数f (x )＝sin ＋cos (ω>0)的图3(ωx ＋π6)(ωx ＋π6)象向右平移个单位长度后，所得的函数解析式为( )π3A ．y ＝2sinB ．y ＝2cos (2x －π3)(2x －π3)C ．y ＝2sin 2xD ．y ＝2cos (2x －2π3)答案 A解析 由题意得f (x )＝2sin (ωx ＋π6＋π6)＝2sin ，(ωx ＋π3)因为函数的周期是π，所以＝π，所以ω＝2.2πω所以f (x )＝2sin .(2x ＋π3)将函数f (x )的图象向右平移个单位长度后，所得的函数解析式为y ＝2sin＝π3[2(x －π3)＋π3]2sin .(2x －π3)3.如图所示，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式可以为( )A ．y ＝10sin ＋20，x ∈[6,14](π8x ＋3π4)B ．y ＝10sin ＋20，x ∈[6,14](π8x ＋5π4)C ．y ＝10sin ＋20，x ∈[6,14](π8x －3π4)D ．y ＝10sin ＋20，x ∈[6,14](π8x －5π8)答案 A 解析 由＝2(14－6)＝16，得ω＝，A ＝(30－10)＝10，b ＝20，2πωπ812由y ＝10sin＋20过点(14,30)，(π8x ＋φ)得30＝10sin ＋20，sin ＝1，(π8×14＋φ)(φ＋7π4)φ＋＝2k π＋，k ∈Z ，φ＝2k π－，k ∈Z ，7π4π25π4取k ＝1，得φ＝，3π4所以y ＝10sin ＋20.(π8x ＋3π4)4．(2018·漳州质检)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1，满足f (ω>0，|φ|<π2)(2π3－x )＝2－f (x )，且对任意x ∈R ，都有f (x )≥f .当ω取最小值时，函数f (x )的单调递减区(π4)间为( )A.，k ∈Z [π12＋k π3，π4＋k π3]B.，k ∈Z [π12＋2k π，π4＋2k π]C.，k ∈Z [－π12＋k π3，π12＋k π3]D.，k ∈Z[－π12＋2k π，π12＋2k π]解析 由f ＝2－f (x )，得f ＋f (x )＝2，(2π3－x )(2π3－x )可得f (x )的图象关于点对称．(π3，1)∵对任意x ∈R ，f (x )≥f ，(π4)∴当x ＝时，f (x )取得最小值，当ω取最小值时，π4即周期T 最大，可得T ＝－，可得T ＝，14π3π4π3∴ω＝＝6，函数f (x )＝2sin ＋1，2ππ3(6x ＋φ)∵当x ＝时，f (x )取得最小值，π4∴2sin ＋1＝－1，sin ＝－1，(3π2＋φ)(3π2＋φ)＋φ＝＋2k π，k ∈Z ，φ＝2k π，k ∈Z ，3π23π2∵<，∴φ＝0，|φ|π2即函数f (x )＝2sin 6x ＋1，令2k π＋≤6x ≤2k π＋，k ∈Z ，π23π2得＋≤x ≤＋，k ∈Z .k π3π12k π3π4∴函数f (x )的单调递减区间为，k ∈Z .[π12＋k π3，π4＋k π3]5．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完美等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S ＝ ，现有周长为10＋2的△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶，14[c 2a 2－(c 2＋a 2－b 22)2]77则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为( )A ．6 B ．437C ．8D ．127解析 因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶，7所以由正弦定理得a ∶b ∶c ＝2∶3∶，7又因为△ABC 的周长为10＋2，7所以可得a ＝4，b ＝6，c ＝2，7所以△ABC 的面积为S ＝14×[c 2a 2－(c 2＋a 2－b 22)2]＝＝6，14×[(27)2×42－((27)2＋42－622)2]3故选A.6．(2018·漳州质检)在△ABC 中，C ＝60°，BC ＝2AC ＝2，点D 在边BC 上，且sin∠BAD ＝3，则CD 等于( )277A.B.43334C. D.33233答案 D解析 ∵C ＝60°，BC ＝2AC ＝2，3∴AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝＝3，3＋12－2×3×23×12∴cos B ＝＝＝，AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC 9＋12－32×3×2332又∵B 是三角形的内角，∴B ＝30°，∴∠BAC ＝90°，∵sin∠BAD ＝，277∴cos∠BAD ＝＝，1－sin 2∠BAD 217可得sin∠DAC ＝cos∠BAD ＝，217∵在△ABD 中，由正弦定理可得AD ＝，BD sin Bsin ∠BAD 在△ADC 中，由正弦定理可得AD ＝，DC sin Csin ∠DAC∴＝，解得DC ＝.(23－DC )×12277DC ×322172337．(2018·河南省南阳市第一中学模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)，若f＝2，(π4)f (π)＝0，f (x )在上具有单调性，那么ω的取值共有( )(π4，π3)A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个答案 D 解析 因为f ＝2，f (π)＝0，(π4)所以ω＋φ＝＋2k π，πω＋φ＝m π(k ，m ∈Z )，π4π2所以ω＝，m ，k ∈Z ，43[(m －2k )－12]因为f (x )在上具有单调性，(π4，π3)所以≥－，所以T ≥，T 2π3π4π6所以≥，所以0<ω≤12，2πωπ6因此m －2k ＝1,2,3,4,5,6,7,8,9，所以ω的取值共有9个．8．已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)，若方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四3个实数根，则实数ω的取值范围为( )A.B.(136，72](72，256]C.D.(256，112](112，376]答案 B解析 f (x )＝2sin ，作出f (x )的函数图象如图所示：(ωx －π3)令2sin ＝－1得，(ωx －π3)ωx －＝－＋2k π，k ∈Z 或ωx －＝＋2k π，k ∈Z ，π3π6π37π6∴x ＝＋，k ∈Z 或x ＝＋，k ∈Z ，π6ω2k πω3π2ω2k πω设直线y ＝－1与y ＝f (x )在(0，＋∞)上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ，则x A ＝＋，x B ＝＋，3π2ω2πωπ6ω4πω∵方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，∴x A <π≤x B ，即＋<π≤＋，3π2ω2πωπ6ω4πω解得<ω≤.722569．(2017·山东)已知cos x ＝，则cos 2x ＝________.34答案 18解析 cos 2x ＝2cos 2x －1＝2×2－1＝.(34)1810．(2018·上饶模拟)如图所示的是函数y ＝sin(ωx ＋φ)在区间(ω>0，0<φ<π2)上的图象，将该函数图象各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，再向右[－π6，5π6]平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于直线x ＝对称，则m 的最小值为________．5π12答案 π8解析 由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象可得(ω>0，0<φ<π2)T ＝＝－＝π，∴ω＝2.2πω5π6(－π6)再由五点法作图可得 2×＋φ＝0，∴φ＝.(－π6)π3故函数f (x )的解析式为 f (x )＝sin .(2x ＋π3)故把f (x )＝sin 的图象各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移(2x ＋π3)m (m >0)个单位长度后，得到g (x )＝sin 的图象，(4x －4m ＋π3)∵所得图象关于直线x ＝对称，5π12∴4×－4m ＋＝＋k π，k ∈Z ，5π12π3π2解得m ＝－k π，k ∈Z ，3π814∴由m >0，可得当k ＝1时，m 的最小值为.π811．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知∠A ＝，a ＝7，b ＝5，点D 满足＝2π3BD → ，则c ＝________；||＝________.DC → AD →答案 8 2613解析 如图，∠A ＝，a ＝7，b ＝5.π3∴根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即72＝52＋c 2－2×5×c ×，12∴c ＝8或c ＝－3(舍去)，∴cos B ＝＝＝.a 2＋c 2－b 22ac 49＋64－252×7×81114∵点D 满足＝2，BD → DC →∴||＝a ＝.BD →23143在△ABD 中，由余弦定理可得AD 2＝BD 2＋c 2－2BD ·c ·cos B ＝2＋64－2××8×＝(143)1431114.2449∴AD ＝，即||＝.2613AD → 261312．(2018·湖南省岳阳市第一中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，三角形的内切圆的半径r ＝________.答案 －332解析 因为b ＋2c cos A ＝0，所以A ∈，(π2，π)且sin B ＋2sin C cos A ＝0，即3sin C cos A ＋cos C sin A ＝0,3tan C ＋tan A ＝0.tan B ＝－＝≤，tan A ＋tan C 1－tan A tan C 2tan C1＋3tan 2C 33当且仅当C ＝时等号成立，故B max ＝，π6π6所以B ＝C ，即b ＝c ＝1，a ＝，3此时r ＝×1×1×，12(2＋3)1232解得r ＝－.33213．(2018·湛江模拟)如图，游客从景点A 下山至C 有两种路径：一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1分钟后，再从B 匀速步行到C .已知缆车从A 到B 要8分钟，AC 长为1 260米，若cos A ＝，sin B＝.12136365为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，则乙步行的速度v (米/分钟)的取值范围是________．答案 [1 25043，62514]解析 在△ABC 中已知b ＝1 260，cos A ＝，sin B ＝，则sin A ＝，12136365513由正弦定理可得，a ＝＝＝500，b sin Asin B1 260×5136365由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得5002＝1 2602＋c 2－2×1 260×c ×，1213解得c 1＝1 040，c 2＝，16 72013若c ＝，与题图中AC 最大矛盾，舍去，16 72013据此可得，c ＝1 040.乙从B 出发时，甲已经走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤－≤3，解得≤v ≤，500v71050 1 2504362514所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在范围内．[1 25043，62514]14．(2018·烟台模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝，AC ＝1，以BC 为斜边构造等腰直角△BCD ，3则得到的平面四边形ABDC 面积的最大值为________．答案 1＋62解析 设∠BAC ＝θ，在△ABC 中，因为AB ＝，AC ＝1，3所以其面积为S 1＝××1·sin θ＝sin θ，12332在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos θ＝3＋1－2××1·cos θ＝4－2cos θ，33所以在等腰直角△BCD 中，其面积为S 2＝BD ·CD ＝×BC ×BC12122222＝BC 2＝1－cos θ，1432所以四边形ABDC 的面积为S ＝S 1＋S 2＝sin θ＋1－cos θ＝1＋sin ，323262(θ－π4)(θ－π4)62所以当sin＝1时，S取得最大值1＋.。
(京津专用)2020高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练4 平面向量与数学文化 文
8＋6分项练4 平面向量与数学文化1．(2018·贵阳模拟)如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AO →等于( )A.12a ＋12bB.12a ＋14bC.14a ＋12bD.14a ＋14b 答案 B解析 ∵在△ABC 中，BE 是AC 边上的中线， ∴AE →＝12AC →，∵O 是BE 边的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AE →)，∴AO →＝12AB →＋14AC →，∵AB →＝a ，AC →＝b ， ∴AO →＝12a ＋14b .2．(2018·上饶模拟)设D ，E 为正三角形ABC 中BC 边上的两个三等分点，且BC ＝2，则AD →·AE →等于( )A.49B.89C.269D.263 答案 C 解析 如图，|AB →|＝|AC →|＝2，〈AB →，AC →〉＝60°， ∵D ，E 是边BC 的两个三等分点，∴AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →＋13CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →＝29|AB →|2＋59AB →·AC →＋29|AC →|2＝29×4＋59×2×2×12＋29×4＝269. 3．(2018·昆明模拟)程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( ) A ．65 B ．176 C ．183 D ．184 答案 D解析 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{a n }，其中d ＝17，n ＝8，S 8＝996.由等差数列前n 项和公式可得8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.由等差数列通项公式得a 8＝65＋(8－1)×17＝184.4．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中OA ＝1，则给出下列结论： ①HD →·BF →＝0；②OA →·OD →＝－22；③OB →＋OH →＝－ 2 OE →；④|AH →－FH →|＝2－ 2. 其中正确结论的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 B解析 正八边形ABCDEFGH 中，HD ⊥BF ， ∴HD →·BF →＝0，故①正确；OA →·OD →＝1×1×cos 3π4＝－22，故②正确；OB →＋OH →＝ 2 OA →＝－ 2 OE →，故③正确； |AH →－FH →|＝|AF →|＝|OF →－OA →|，则|AF →|2＝1＋1－2×1×1×cos 3π4＝2＋2，∴|AF →|＝2＋2，故④错误． 综上，正确的结论为①②③，故选B.5．(2018·聊城模拟)在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是△ABC 所在平面上的任意一点，则PA →·PB →＋PA →·PC →的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－1 答案 C解析 建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则A (0,2)．设点P 的坐标为(x ，y )，则PA →＝()－x ，2－y ，PO →＝(－x ，－y )，故PA →·PB →＋PA →·PC →＝PA →·()PB →＋PC →＝2PA →·PO →＝2()x 2＋y 2－2y ＝2[]x 2＋()y －12－2≥－2，当且仅当x ＝0，y ＝1时等号成立．所以PA →·PB →＋PA →·PC →的最小值为－2.6．(2018·石家庄模拟)三国时期吴国的数学家创造了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示“勾股圆方图”中由四个全等的直角三角形(直角边长之比为1∶3)围成的一个大正方形，中间部分是一个小正方形，如果在大正方形内随机取一点，则此点取自中间的小正方形部分的概率是( )A.32B.34C ．1－32D ．1－34答案 C解析 由题意可知，设直角三角形的直角边长分别为k ，3k (k >0)， 则大正方形的边长为2k ，小正方形的边长为(3－1)k ， 所以大正方形的面积为4k 2，小正方形的面积为(3－1)2k 2， 故所求概率为(3－1)2k 24k 2＝1－32. 7．(2018·南平质检)我国古代著名的数学著作有《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算机》等10部算书，被称为“算经十书”．某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣．一天，他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”；丁：“丙比乙多”，有趣的是，他们说的这些话中，只有一个人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读本数各不相同)．甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是( ) A ．乙甲丙丁 B ．甲丁乙丙 C ．丙甲丁乙 D ．甲丙乙丁答案 D解析 由题意可列表格如下：甲 乙 丙 丁 甲说丁>乙 乙说 甲>丙丙说 丙>丁 丁说丙>乙对于选项A ，甲，丁说的都对，不符合只有一个人对；对于选项B ，丙，丁说的都对，也不符合只有一个人对；对于选项C ，乙说的对，但乙不是最少的，不符合；对于选项D ，甲说的对，也正好是最少的，符合，选D.8．(2018·河北省衡水中学模拟)已知||OA →＝||OB →＝2，点C 在线段AB 上，且||OC →的最小值为1，则||OA →－tOB →(t ∈R )的最小值为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 答案 B解析 ∵||OA →＝||OB →＝2， ∴点O 在线段AB 的垂直平分线上．∵点C 在线段AB 上，且||OC →的最小值为1， ∴当C 是AB 的中点时||OC →最小，此时||OC →＝1，∴此时OB →与OC →的夹角为60°， ∴OA →，OB →的夹角为120°. 又||OA →－tOB→2＝OA→2＋t 2OB →2－2tOA →·OB →＝4＋4t 2－2t ·2·2·cos 120° ＝4t 2＋4t ＋4＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋3≥3， 当且仅当t ＝－12时等号成立．∴||OA →－tOB→2的最小值为3， ∴||OA →－tOB→的最小值为 3. 9．已知向量a ＝(2,4)，|b |＝2，|a －2b |＝8，则a 在a ＋b 方向上的投影为________． 答案131010解析 由a ＝(2,4)，|b |＝2，|a －2b |＝8， 可知|a |＝22＋42＝25， (a －2b )2＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝64， 则a ·b ＝－7，所以a 在a ＋b 方向上的投影为a ·(a ＋b )|a ＋b |＝a 2＋a ·ba 2＋b 2＋2a ·b＝20－720＋4＋2×(－7)＝131010.10．(2018·烟台模拟)如果||a ＝2，||b ＝3，a ·b ＝4，则||a －2b 的值是________． 答案 2 6解析 由||a ＝2，||b ＝3，a ·b ＝4， 得||a －2b ＝(a －2b )2＝a 2＋4b 2－4a ·b＝4＋36－4×4＝2 6.11．(2018·石家庄模拟)已知向量a 与b 的夹角是π3，|a |＝1，|b |＝12，则向量a －2b 与a的夹角为________． 答案π3解析 a ·b ＝||a ||b cos π3＝14，a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝12，|a －2b |＝(a －2b )2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝1－4×14＋4×14＝1.设向量a －2b 与a 的夹角为θ，cos θ＝a ·(a －2b )|a ||a －2b |＝12，又因为θ∈[0，π]， 所以θ＝π3.12．(2018·宁德质检)我国南北朝时期的数学家张丘建是世界数学史上解决不定方程的第一人，他在《张丘建算经》中给出一个解不定方程的百鸡问题，问题如下：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？用代数方法表述为：设鸡翁、鸡母、鸡雏的数量分别为x ，y ，z ，则鸡翁、鸡母、鸡雏的数量即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＋z 3＝100，x ＋y ＋z ＝100的解．其解题过程可用程序框图表示，如图所示，则程序框图中正整数m 的值为________．答案 4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＋z 3＝100，x ＋y ＋z ＝100，得y ＝25－74x ，故x 必为4的倍数，当x ＝4t 时，y ＝25－7t ，由y ＝25－7t >0得，t 的最大值为3， 故判断框应填入的是t <4？， 即m ＝4.13．若非零向量a ，b 满足|b |＝2|a |，若(a ＋2b )⊥(3a －t b )，a 与b 的夹角等于π4，则实数t 的值为________． 答案 95解析 由a 与b 的夹角等于π4可得 cos π4＝a ·b |a ||b |＝a ·b 2|a |2，故a ·b ＝|a |2. 由(a ＋2b )⊥(3a －t b )可得 3a 2－t a ·b ＋6a ·b －2t b 2＝0， 即3|a |2＋(6－t )|a |2－4t |a |2＝0， 又a 为非零向量，所以|a |2≠0，则有3＋6－t －4t ＝0，解得t ＝95.14．(2018·咸阳模拟)已知圆的半径为1，A ，B ，C ，D 为该圆上四个点，且AB →＋AC →＝AD →，则△ABC 面积的最大值为________．答案 1解析 如图所示，由AB →＋AC →＝AD →知，四边形ABDC 为平行四边形，又A ，B ，C ，D 四点共圆，∴四边形ABDC 为矩形，即BC 为圆的直径， △ABC 的面积S ＝12AB ·AC ≤12·AB 2＋AC 22＝14AD 2，∴当AD 是圆的直径时，△ABC 的面积最大． ∴当AB ＝AC 时，△ABC 的面积取得最大值14×4＝1.。
【重点考点】(京津专用)2020高考数学总复习 优编增分练(70分)8+6标准练3 理
[70分] 8＋6标准练31．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝1x ，x >2，则∁U P 等于( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 A解析 由集合U 中的函数y ＝log 2x ，x >1，解得y >0， 所以全集U ＝(0，＋∞)，同样P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，得到∁U P ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.2．“a >0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当a >0时，f ′(x )＝3x 2＋a >0在区间(0，＋∞)上恒成立， 即f (x )在(0，＋∞)上是增函数，充分性成立；当f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数时，f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a ≥0，必要性不成立，故“a >0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件． 3.如图，在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4 答案 B解析 由题意，设BP →＝nBN →， 则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN → ＝AB →＋n (AN →－AB →) ＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫14NC →－AB →＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又∵AP →＝mAB →＋25AC →，∴m ＝1－n ，n 5＝25.解得n ＝2，m ＝－1.4．在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA ＝AB ，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.12B.13C.14D.15 答案 B解析 根据几何体的三视图，得该几何体是过BD 且平行于PA 的平面截四棱锥P －ABCD 所得的几何体． 设AB ＝1，则截去的部分为三棱锥E －BCD ，它的体积为V 三棱锥E －BCD ＝13×12×1×1×12＝112，剩余部分的体积为V剩余部分＝V四棱锥P－ABCD－V三棱锥E－BCD＝13×12×1－112＝14.所以截去部分的体积与剩余部分的体积比为1 12∶14＝1∶3.5．秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为3，每次输入a的值均为4，输出s 的值为484，则输入n的值为( )A．6 B．5 C．4 D．3答案 C解析模拟程序的运行，可得x＝3，k＝0，s＝0，a＝4，s＝4，k＝1；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝16，k＝2；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝52，k＝3；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝160，k＝4；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝484，k＝5.由题意，此时应该满足条件k>n，退出循环，输出s的值为484，可得5>n≥4，所以输入n的值为4.6．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC所成角的大小为( )A．90° B．60°C．45° D．30°答案 C解析如图，当DO⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC的体积最大．∴∠DBO 为直线BD 和平面ABC 所成的角， ∵在Rt△DOB 中，OD ＝OB ，∴直线BD 和平面ABC 所成角的大小为45°.7．在区间[－1,1]上任取两数s 和t ，则关于x 的方程x 2＋2sx ＋t ＝0的两根都是正数的概率为( )A.124B.112C.14D.13 答案 B解析 由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤s ≤1，－1≤t ≤1，其区域是边长为2的正方形，面积为4，由二次方程x 2＋2sx ＋t ＝0有两正根，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 4s 2－4t ≥0，－2s >0，t >0，即⎩⎪⎨⎪⎧s 2≥t ，s <0，t >0，其区域如图阴影部分所示，面积S ＝ʃ0－1s 2d s ＝⎪⎪⎪13s 30－1＝13， 所求概率P ＝134＝112.8．已知正数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则S ＝1＋z 2xyz的最小值为( )A ．3 B.3(3＋1)2C ．4D ．2(2＋1)答案 C解析 由题意可得0<z <1,0<1－z <1， ∴z (1－z )≤⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1－z 22＝14，当且仅当z ＝1－z ，即z ＝12时取等号．又x 2＋y 2＋z 2＝1，∴1－z 2＝x 2＋y 2≥2xy ， 当且仅当x ＝y 时取等号，∴1－z22xy ≥1，∴(1＋z )(1－z )2xy ≥1，∴1＋z 2xy ≥11－z ，∴1＋z 2xyz ≥1(1－z )z ≥4， 当且仅当x ＝y ＝64且z ＝12时取等号， ∴S ＝1＋z2xyz的最小值为4.9．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝73，则S 5S 3＝________.答案 5解析 在等差数列{a n }中，设首项为a 1，公差为d ，由于a 5a 3＝73，得a 1＋4d a 1＋2d ＝73，解得a 1＝－d 2，S 5S 3＝5(a 1＋a 5)23(a 1＋a 3)2＝5a 33a 2＝5·3d23·d2＝5.10．已知复数z 满足i z ＝4＋3i1＋2i ，则复数z 在复平面内对应的点在第__________象限．答案 三解析 ∵i z ＝4＋3i1＋2i，∴z ＝4＋3i (1＋2i )i ＝4＋3i －2＋i ＝(4＋3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )＝－5－10i 5＝－1－2i ，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限．11．(2x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 6的展开式中的常数项是________．答案 －11解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 6的展开式的通项公式是C k 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ，其中含1x的项是C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1，常数项为C 06⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 0＝1，故(2x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 6的展开式中的常数项是2x ×⎣⎢⎡⎦⎥⎤C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1×1＝－12＋1＝－11.12．若直线y ＝3x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋4>0，2x －y ＋8≥0，x ≤m ，则实数m 的取值范围是__________． 答案 (－1，＋∞)解析 由题意作出其平面区域，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝－x －4，解得A (－1，－3)．故m >－1.13．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos B ＝14，b ＝4，sin A ＝2sin C ，则△ABC 的面积为________． 答案15解析 根据余弦定理的推论cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，可得14＝a 2＋c 2－422ac，化简得2a 2＋2c 2－32＝ac .(*) 又由正弦定理a sin A ＝csin C ，可得a c ＝sin A sin C ＝21，即a ＝2c ，代入(*)式得 2·(2c )2＋2c 2－32＝2c ·c ， 化简得c 2＝4，所以c ＝2， 则a ＝4， 又B ∈(0，π)， 则sin B ＝1－cos 2B ＝154， S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×2×154＝15， 即△ABC 的面积为15.14．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线AC ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，当2k 1k 2＋ln|k 1|＋ln|k 2|最小时，双曲线的离心率为________．答案3解析 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由题意知，点A ，B 为过原点的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点，∴由双曲线的对称性，得A ，B 关于原点对称， ∴B (－x 1，－y 1)，∴k 1k 2＝y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝y 22－y 21x 22－x 21，∵点A ，C 都在双曲线上，∴x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 两式相减，可得k 1k 2＝b 2a2>0，对于2k 1k 2＋ln|k 1|＋ln|k 2|＝2k 1k 2＋ln|k 1k 2|，设函数y ＝2x＋ln x ，x >0，由y ′＝－2x 2＋1x＝0，得x ＝2，当x >2时，y ′>0，当0<x <2时，y ′<0，∴当x ＝2时，函数y ＝2x＋ln x ，x >0取得最小值，∴当2k 1k 2＋ln(k 1k 2)最小时，k 1k 2＝b 2a2＝2，∴e ＝1＋b 2a2＝ 3.。
(京津专用)201X高考数学总复习 优编增分练(70分)8+6标准练4 理
[70分] 8＋6标准练41．已知全集U ＝{1,2,3,4}，若A ＝{1,3}，B ＝{3}，则(∁U A )∩(∁U B )等于( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{2,3} D ．{2,4} 答案 D解析 根据题意得∁U A ＝{2,4}，∁U B ＝{1,2,4}， 故(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}．2．设i 是虚数单位，若复数z ＝i1＋i ，则z 的共轭复数为( )A.12＋12i B ．1＋12i C ．1－12i D.12－12i 答案 D解析 复数z ＝i 1＋i＝i 1－i 1＋i 1－i ＝i ＋12，根据共轭复数的概念得，z 的共轭复数为12－12i.3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为( )A ．30B ．25C ．22D ．20 答案 D解析 50×(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝20.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.83B.163C.203 D ．8 答案 B解析 由三视图可知，该几何体是底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示．∴该几何体的体积V ＝13×8×2＝163.5．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 C解析 i ＝0，S ＝0，x ＝1，y ＝1，开始执行程序框图，i ＝1，S ＝1＋1，x ＝2，y ＝12；i ＝2，S＝1＋2＋1＋12，x ＝4，y ＝14；…；i ＝5，S ＝(1＋2＋4＋8＋16)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋18＋116<33，x ＝32，y＝132，再执行一次，S >d 退出循环，输出i ＝6，故选C. 6．在△ABC 中，tan A ＋B2＝sin C ，若AB ＝2，则△ABC 的周长的取值范围是( )A ．(2,22]B ．(22，4]C ．(4,2＋22]D ．(2＋22，6]答案 C解析 由题意可得tanA ＋B2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝cos C2sinC2＝2sin C2cos C2， 则sin 2C 2＝12，即1－cos C 2＝12，∴cos C ＝0，C ＝π2.据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形， 则4＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 据此有a ＋b ≤22，∴△ABC 的周长a ＋b ＋c ≤2＋2 2. 三角形满足两边之和大于第三边， 则a ＋b >2，∴a ＋b ＋c >4.综上可得，△ABC 周长的取值范围是(4,2＋22]．7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15.其中m ∈N *且m ≥2，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为( ) A.24143 B.1143 C.2413D.613答案D解析∵S m－1＝13，S m＝0，S m＋1＝－15，∴a m ＝S m －S m －1＝0－13＝－13，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝－15－0＝－15，又∵数列{a n }为等差数列，∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝－15－(－13)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1a 1＋m －1m －22×－2＝13，ma 1＋mm －12×－2＝0，解得a 1＝13，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13－2(n －1)＝15－2n ， 当a n ≥0时，n ≤7.5， 当a n ＋1≤0时，n ≥6.5， ∴数列的前7项为正数， ∴1a n a n ＋1＝115－2n13－2n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫113－2n －115－2n∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为 12⎝ ⎛⎭⎪⎫111－113＋19－111＋17－19＋…＋1－13 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－113＝613.故选D. 8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧||log 2x ，0<x <2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ，2≤x ≤10，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则x 3－2x 4－2x 1x 2的取值范围是( )A ．(0,12)B ．(0,16)C ．(9,21)D ．(15,25)答案 A解析函数的图象如图所示，∵f (x 1)＝f (x 2)，∴－log 2x 1＝log 2x 2， ∴log 2x 1x 2＝0，∴x 1x 2＝1， ∵f (x 3)＝f (x 4)， 由函数对称性可知，x 3＋x 4＝12,2<x 3<x 4<10，∴x 3－2x 4－2x 1x 2＝x 3x 4－2(x 3＋x 4)＋4＝x 3x 4－20＝x 3(12－x 3)－20＝－(x 3－6)2＋16， ∵2<x 3<4， ∴x 3－2x 4－2x 1x 2的取值范围是(0,12)．9．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 在b 方向上的投影为________． 答案22解析 设a 与b 的夹角为θ， ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0，即a 2－|a |·|b |cos θ＝0， ∴cos θ＝22， ∴向量a 在b 方向上的投影为|a |·cos θ＝22.10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，则ω的最小值为________． 答案 23解析 方法一 当x ＝π2时，ωx ＋φ＝π2ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，当x ＝π4时，ωx ＋φ＝π4ω＋φ＝2k 2π＋π6或2k 2π＋5π6，k 2∈Z ，两式相减，得π4ω＝(k 1－2k 2)π－π6或(k 1－2k 2)π－5π6，k 1，k 2∈Z ，即ω＝4(k 1－2k 2)－23或4(k 1－2k 2)－103，k 1，k 2∈Z ，又因为ω>0，所以ω的最小值为4－103＝23.方法二 直接令π2ω＋φ＝π，π4ω＋φ＝5π6，得π4ω＝π6，解得ω＝23.11．已知二面角α－l －β为60°，动点P ，Q 分别在平面α，β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P ，Q 两点之间距离的最小值为________．答案 23解析 如图，分别作QA ⊥α于点A ，AC ⊥l 于点C ，PB ⊥β于点B ，PD ⊥l 于点D ，连接CQ ，BD ，则∠ACQ ＝∠PDB ＝60°，AQ ＝23，BP ＝3，∴AC ＝PD ＝2.又∵PQ ＝AQ 2＋AP 2＝12＋AP 2≥23，当且仅当AP ＝0，即点A 与点P 重合时取最小值．12.已知正方形的四个顶点A (1,1)，B (－1，1)，C (－1，－1)，D (1，－1)分别在曲线y ＝x 2和y ＝1－x 2－1上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案8＋3π24解析 y ＝x 2与AB 相交的阴影部分面积为2－ʃ1－1x 2d x ＝2－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 331－1＝2－23＝43，y ＝1－x 2－1化简得(y ＋1)2＋x 2＝1，则y ＝1－x 2－1与CD 相交的阴影部分的面积为半圆的面积， 即π×122＝π2，故质点落在图中阴影区域的概率是43＋π24＝8＋3π24.13．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ 2x －y ≥0，x ＋2y －5≤0，y ≥1，则u ＝x ＋y 2xy 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163 解析 作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，令t ＝y x，它表示可行域内的点(x ，y )与原点的斜率， 由图联立直线方程可得A (1,2)，B (3,1)，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2. u ＝x ＋y 2xy ＝x 2＋2xy ＋y 2xy＝x y ＋y x ＋2＝t ＋1t＋2. 易知u ＝t ＋1t ＋2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递减， 在[1,2]上单调递增．当t ＝13时，u ＝163；当t ＝1时，u ＝4； 当t ＝2时，u ＝92， 所以u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163. 14．已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |＝4，∠ABC ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段AD ，BC (包含端点D ，C )分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．答案 (1，3＋1]解析 以线段AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则在双曲线中c ＝2，C (1，3)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 只需C 点在双曲线右支图象的上方(包括在图象上)即可， 即1a 2－3b 2≤1， 两边同乘a 2b 2，得b 2－3a 2≤a 2b 2，由于b 2＝c 2－a 2＝4－a 2，所以上式化为4－a 2－3a 2≤a 2()4－a 2， 解得3－1≤a <2，所以12<1a ≤3＋12， 故1<c a≤3＋1. 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
(京津专用)2020高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练11 圆锥曲线 文
8＋6分项练11 圆锥曲线1．(2018·大连模拟)设椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左焦点为F ，直线l ：y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，则||AF ＋||BF 的值是( ) A ．2 B ．2 3 C ．4 D ．4 3 答案 C解析 设椭圆的右焦点为F 2，连接AF 2，BF 2， 因为|OA |＝|OB |，|OF |＝|OF 2|， 所以四边形AFBF 2是平行四边形， 所以|BF |＝|AF 2|，所以|AF |＋|BF |＝|AF |＋|AF 2|＝2a ＝4.2．(2018·洛阳统考)已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( ) A. 5 B ．3 C ．5 D ．4 2 答案 A解析 因为抛物线y 2＝12x 的焦点坐标为()3，0，依题意得4＋b 2＝9，所以b 2＝5， 所以双曲线的方程为x 24－y 25＝1，所以其渐近线方程为y ＝±52x ， 所以双曲线的一个焦点到渐近线的距离为||±5×3－05＋4＝ 5.3．(2018·重庆模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，以F 为圆心的圆与抛物线交于M ，N 两点，与抛物线的准线交于P ，Q 两点，若四边形MNPQ 为矩形，则矩形MNPQ 的面积是( ) A ．16 3 B ．12 3 C ．4 3 D ．3 答案 A解析 根据题意，四边形MNPQ 为矩形， 可得|PQ |＝|MN |，从而得到圆心F 到准线的距离与到MN 的距离是相等的，所以M 点的横坐标为3，代入抛物线方程，设M 为x 轴上方的交点，从而求得M (3,23)，N (3，－23)， 所以|MN |＝43，||NP ＝4，从而求得四边形MNPQ 的面积为S ＝4×43＝16 3.4．(2018·昆明模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，圆M ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p 2，直线l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k ≠0)，自上而下顺次与上述两曲线交于A 1，A 2，A 3，A 4四点，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|A 1A 2|－1|A 3A 4|等于( )A.1pB.2p C ．p D.p2 答案 B解析 圆M ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p 2的圆心为抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，半径为p . 直线l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p2过抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0. 设A 2(x 1，y 1)，A 4(x 2，y 2)． 不妨设k <0，则x 1<p 2，x 2>p2.|A 1A 2|＝|A 1F |－|A 2F |＝p －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＝p2－x 1，|A 3A 4|＝|A 4F |－|A 3F |＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2－p ＝x 2－p2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0，所以x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2，x 1x 2＝p 24.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|A 1A 2|－1|A 3A 4| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1p 2－x 1－1x 2－p 2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－p 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1＋x 2－p p 2(x 1＋x 2)－x 1x 2－p 24 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p (k 2＋2)k 2－p p 2×p (k 2＋2)k 2－p 24－p 24＝2p . 5．(2018·江西省景德镇市第一中学等盟校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过其焦点F的直线l 交抛物线于A ，B 两点，若AF →＝3FB →，且抛物线C 上存在点M 与x 轴上一点N (7,0)关于直线l 对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为( ) A ．4 B ．5 C.112 D ．6答案 D解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为l ′：x ＝－p2，如图所示，当直线AB 的倾斜角为锐角时，分别过点A ，B 作AP ⊥l ′，BQ ⊥l ′，垂足为P ，Q ， 过点B 作BD ⊥AP 交AP 于点D ， 则|AP |＝|AF |，|BQ |＝|BF |， ∵|AF |＝3|BF |＝34|AB |，∴|AP |－|BQ |＝|AD | ＝|AF |－|BF |＝12|AB |，在Rt△ABD 中，由|AD |＝12|AB |，可得∠BAD ＝60°，∵AP ∥x 轴，∴∠BAD ＝∠AFx ＝60°， ∴k AB ＝tan 60°＝3， 直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，设M 点坐标为(x M ，y M )，由⎩⎪⎨⎪⎧y M x M －7＝－33，y M2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x M＋72－p 2，可得x M ＝34p －72，y M ＝32⎝⎛⎭⎪⎫7－p 2，代入抛物线的方程化简可得3p 2－4p －84＝0，解得p ＝6(负值舍去)， 该抛物线的焦点到准线的距离为6.6．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( ) A.12 B.22C ．1 D. 2答案 B解析 设椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2， 设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的半实轴长为a 2， 半焦距为c ，P 为第一象限内的公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，解得|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，所以4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)·cos π4，所以4c 2＝(2－2)a 21＋(2＋2)a 22， 所以4＝2－2e 21＋2＋2e 22≥22－2e 21×2＋2e 22＝22e 1e 2， 所以e 1e 2≥22，故选B. 7．(2017·全国Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞) D ．(0，3]∪[4，＋∞)答案 A解析 方法一 设椭圆焦点在x 轴上， 则0<m <3，点M (x ，y )．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N (x,0)． 故tan∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN )＝3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |·3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan∠AMB ＝tan 120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2＝3－3y 2m，则23|y |3－3y 2m＋y 2－3＝23|y |⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3m y2＝－ 3. 解得|y |＝2m3－m. 又0<|y |≤m ，即0<2m3－m ≤m ，结合0<m <3解得0<m ≤1.对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.方法二 当0<m <3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点(异于右顶点)，△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点(2,0)．过F 2作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，若使|AB |＝b 2的直线l 恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1，2) B ．(1,2) C ．(2，＋∞) D ．(2，＋∞)答案 C解析 |F 1F 2|＝2c (c 2＝a 2＋b 2)，设△PF 1F 2的内切圆分别与PF 1，F 1F 2，PF 2切于点G ，H ，I ， 则|PG |＝|PI |，|F 1G |＝|F 1H |，|F 2H |＝|F 2I |. 由双曲线的定义知2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝|F 1G |－|F 2I |＝|F 1H |－|F 2H |， 又|F 1H |＋|F 2H |＝|F 1F 2|＝2c ， 故|F 1H |＝c ＋a ，|F 2H |＝c －a ， 所以H (a ,0)，即a ＝2. 注意到这样的事实：若直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点， 则当l ⊥x 轴时，|AB |有最小值2b 2a＝b 2；若直线l 与双曲线的两支各交于一点(A ，B 两点)， 则当l ⊥y 轴时，|AB |有最小值2a ，于是， 由题意得b 2>2a ＝4，b >2，c ＝a 2＋b 2>22， 所以双曲线的离心率e ＝c a> 2.故选C.9．(2018·唐山模拟)已知P 是抛物线y 2＝4x 上任意一点，Q 是圆()x －42＋y 2＝1上任意一点，则|PQ |的最小值为________． 答案 23－1解析 设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14m 2，m ， 由圆的方程()x －42＋y 2＝1，可得圆心坐标A ()4，0，∴|PA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14m 2－42＋m 2＝116()m 2－82＋12≥12，∴|PA |≥23，∵Q 是圆()x －42＋y 2＝1上任意一点，∴|PQ |的最小值为23－1.10．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆交渐近线ay ＝bx 于点P (P 在第一象限)，PF 1交双曲线左支于Q ，若Q 是线段PF 1的中点，则该双曲线的离心率为________． 答案5＋1解析 联立直线方程与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，y ＝bax ，结合c 2＝a 2＋b 2，且点P 位于第一象限可得P (a ，b )， 双曲线的左焦点为F 1(－c,0)， 则PF 1的中点为Q ⎝⎛⎭⎪⎫a －c 2，b 2，点Q 在双曲线上，则()a －c 24a2－b 24b2＝1，整理可得c 2－2ac －4a 2＝0，即e 2－2e －4＝0， 解得e ＝1±5，又双曲线的离心率e >1，故e ＝5＋1.11．(2018·三明质检)已知中心是坐标原点的椭圆C 过点⎝⎛⎭⎪⎫1，255，且C 的一个焦点坐标为(2,0)，则C 的标准方程为________． 答案x 25＋y 2＝1解析 根据题意得椭圆的另一个焦点坐标是(－2,0)， 则2a ＝(1＋2)2＋45＋(1－2)2＋45＝75＋355＝25， 所以a ＝5，因为c ＝2，所以b ＝5－4＝1， 从而得到椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1.12．在平面直角坐标系xOy 中，点M 不与点O 重合，称射线OM 与圆x 2＋y 2＝1的交点N 为点M 的“中心投影点”．(1)点M (1，3)的“中心投影点”为________；(2)曲线x 2－y 23＝1上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是________．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 (2)4π3解析 (1)|OM |＝12＋(3)2＝2，|ON |＝1， 所以ON →＝12OM →，则N 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(2)双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，由“中心投影点”的定义知，中心投影点是单位圆上夹在两渐近线之间的与x 轴相交的两段圆弧，一条渐近线的倾斜角为π3，因此弧长为2×23π×1＝4π3.13．已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|F 1F 2|＝2|OP |，tan∠PF 2F 1≥4，则双曲线C 的半焦距的取值范围为____________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1，173 解析 由|F 1F 2|＝2|OP |可得△PF 1F 2为直角三角形，∠F 1PF 2＝90°，tan∠PF 2F 1≥4， 即|PF 1|≥4|PF 2|，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，可得|PF 2|≤23a ，由(|PF 2|＋2a )2＋|PF 2|2＝4c 2化为(|PF 2|＋a )2＝2c 2－a 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋a 2，可得c ≤173，又双曲线中c >a ＝1，所以双曲线C 的半焦距的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，173. 14．(2018·威海模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P ，Q 是抛物线上的两个动点，线段PQ 的中点为M ，过M 作抛物线准线的垂线，垂足为N ，若|MN |＝|PQ |，则∠PFQ 的最大值为________． 答案π3解析 如图所示，分别过P ，Q 作抛物线准线的垂线，垂足为A ，B ，设|PF |＝2a ，|QF |＝2b ，由抛物线定义，得|PF |＝|PA |，|QF |＝|QB |， 在梯形ABQP 中，2|MN |＝|PA |＋|QB |＝2a ＋2b ， ∴|MN |＝a ＋b .若PQ 过焦点F ，则|PQ |＝|PF |＋|QF |＝2a ＋2b ， 又|MN |＝a ＋b ，且|MN |＝|PQ |， ∴2a ＋2b ＝a ＋b ， ∴a ＋b ＝0，显然不成立， ∴PQ 不过焦点F .∵|MN |＝|PQ |，∴|PQ |＝a ＋b ， 设∠PFQ ＝θ，由余弦定理得， (a ＋b )2＝4a 2＋4b 2－8ab cos θ， ∴a 2＋b 2＋2ab ＝4a 2＋4b 2－8ab cos θ， ∴cos θ＝3a 2＋3b 2－2ab 8ab ≥6ab －2ab 8ab ＝12，当且仅当a ＝b 时取等号， 又∵θ∈(0，π)，∴0<θ≤π3， ∴∠PFQ 的最大值为π3.。
(京津专用)2019高考数学总复习优编增分练：8+6分项练4平面向量与数学文化理
8＋6分项练4 平面向量与数学文化1．(2018·贵阳模拟)如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若＝a ，AB→ ＝b ，则等于( )AC → AO →A.a ＋bB.a ＋b 12121214C.a ＋bD.a ＋b14121414答案 B解析 ∵在△ABC 中，BE 是AC 边上的中线，∴＝，AE → 12AC → ∵O 是BE 边的中点，∴＝(＋)，AO → 12AB → AE → ∴＝＋，AO → 12AB → 14AC → ∵＝a ，＝b ，AB → AC→ ∴＝a ＋b .AO→ 12142．若两个非零向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|2a ＋b |＝2，则a 与b 的夹角为( )3A. B. C. D.π6π4π32π3答案 C解析 设a ，b 的夹角为θ，θ∈[0，π]，则由|a |＝1，|b |＝2，|2a ＋b |＝2，3得(2a ＋b )2＝12，即(2a )2＋4a ·b ＋b 2＝4＋4a ·b ＋4＝12，所以a ·b ＝1，所以cos θ＝，所以θ＝.12π33．(2018·上饶模拟)设D ，E 为正三角形ABC 中BC 边上的两个三等分点，且BC ＝2，则·等于( )AD → AE→ A. B. C. D.4989269263答案 C 解析 如图，||＝||＝2，〈，〉＝60°，AB → AC → AB → AC → ∵D ，E 是边BC 的两个三等分点，∴·＝·＝·AD → AE → (AB → ＋13BC → )(AC → ＋13CB → )(23AB → ＋13AC → )(13AB → ＋23AC → )＝||2＋·＋||2＝×4＋×2×2×＋×4＝.29AB → 59AB → AC → 29AC→ 295912292694．(2018·南昌模拟)在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻．有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23＝8(种)组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．有放回地取阳爻和阴爻一次有两种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次有八种情况．所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析．在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻和三个阴爻的概率是( )A. B. C. D.1751691658答案 B解析 在一次所谓“算卦”中得到六爻，基本事件的总数为n ＝26＝64，这六爻恰好有三个阳爻包含的基本事件数为m ＝C ＝20，36所以这六爻恰好有三个阳爻和三个阴爻的概率是P ＝＝＝.m n 20645165．(2018·聊城模拟)在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是△ABC 所在平面上的任意一点，则·＋·的最小值为( )PA → PB → PA → PC→ A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－1答案 C解析 建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则A (0,2)．设点P 的坐标为(x ，y )，则＝，＝(－x ，－y )，PA → (－x ，2－y )PO → 故·＋·＝·＝2·＝2PA → PB → PA → PC → PA → (PB →＋PC → )PA → PO → (x 2＋y 2－2y )＝2－2≥－2，当且仅当x ＝0，y ＝1时等号成立．[x 2＋(y －1)2]所以·＋·的最小值为－2.PA → PB → PA → PC→ 6．(2018·大连模拟)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高二年级 500名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x ，y )(0<x <1,0<y <1)；②若卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m ；④根据统计数m 估计π的值．假如本次试验的统计结果是m ＝113，那么可以估计π的值约为( )A. B. C. D.387125351113389125352113答案 A解析 由题意，500对都小于1的正实数对(x ，y )满足Error!面积为1，设能与1构成锐角三角形的最大角为α，则三边的数对(x ，y )需满足cos α＝>0且Error!x 2＋y 2－122xy 即x 2＋y 2>1且Error!面积为1－，π4因为统计能与1构成锐角三角形三边的数对(x ，y )的个数m ＝113，所以＝1－，所以π＝.113500π43871257．(2018·南平质检)我国古代著名的数学著作有《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算机》等10部算书，被称为“算经十书”．某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣．一天，他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”；丁：“丙比乙多”，有趣的是，他们说的这些话中，只有一个人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读本数各不相同)．甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是( )A ．乙甲丙丁 B ．甲丁乙丙C ．丙甲丁乙 D ．甲丙乙丁答案 D解析 由题意可列表格如下：甲乙丙丁甲说丁>乙乙说甲>丙丙说丙>丁丁说丙>乙对于选项A ，甲，丁说的都对，不符合只有一个人对；对于选项B ，丙，丁说的都对，也不符合只有一个人对；对于选项C ，乙说的对，但乙不是最少的，不符合；对于选项D ，甲说的对，也正好是最少的，符合，选D.8．已知在三角形ABC 中，AB <AC ，∠BAC ＝90°，边AB ，AC 的长分别为方程x 2－2(1＋)3x ＋4＝0的两个实数根，若斜边BC 上有异于端点的E ，F 两点，且EF ＝1，∠EAF ＝θ，3则tan θ的取值范围为 ( )A.B.(33，4311](39，33)C. D.(39，4311](39，2311]答案 C解析 由题意可知AB ＝2，AC ＝2，3BC ＝＝4.AB 2＋AC 2建立如图所示的坐标系，则点A (0,0)，B (2,0)，C (0,2)．3设＝λ，λ∈，＝，BF → BC → (0，34)BE → (λ＋14)BC → 则F (2－2λ，2λ)，E .3(32－2λ，23λ＋32)所以·＝(2－2λ，2λ)·AE → AF → 3(32－2λ，23λ＋32)＝3－4λ－3λ＋4λ2＋12λ2＋3λ＝16λ2－4λ＋3＝162＋∈.(λ－18)114[114，9)因为点A 到BC 边的距离d ＝＝，AB ·ACBC 3所以△AEF 的面积S △AEF ＝EF ·＝为定值．12332所以＝＝tan θ，S △AEF AE → ·AF → 12|AE → ||AF →|sin θ|AE → ||AF →|cos θ12故tan θ＝＝∈，故选C.2S △AEFAE → ·AF → 3AE → ·AF → (39，4311]9．已知向量a ＝(2,4)，|b |＝2，|a －2b |＝8，则a 在a ＋b 方向上的投影为________．答案 131010解析 由a ＝(2,4)，|b |＝2，|a －2b |＝8，可知|a |＝＝2，22＋425(a －2b )2＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝64，则a ·b ＝－7，所以a 在a ＋b 方向上的投影为＝a ·(a ＋b )|a ＋b |a 2＋a ·b a 2＋b 2＋2a ·b＝＝.20－720＋4＋2×(－7)13101010．(2018·东北师大附中模拟)《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子．这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是________．答案 18解析 设第一个人分到的橘子个数为a 1，由题意得S 5＝5a 1＋×3＝60，解得a 1＝6，5×42则a 5＝a 1＋(5－1)×3＝6＋12＝18.11．(2018·石家庄模拟)已知向量a 与b 的夹角是，|a |＝1，|b |＝，则向量a －2b 与a π312的夹角为________．答案 π3解析 a ·b ＝cos ＝，|a ||b |π314a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝，12|a －2b |＝(a －2b )2＝＝＝1.a 2－4a ·b ＋4b 21－4×14＋4×14设向量a －2b 与a 的夹角为θ，cos θ＝＝，a ·(a －2b )|a ||a －2b |12又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.π312．(2018·宁德质检)我国南北朝时期的数学家张丘建是世界数学史上解决不定方程的第一人，他在《张丘建算经》中给出一个解不定方程的百鸡问题，问题如下：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？用代数方法表述为：设鸡翁、鸡母、鸡雏的数量分别为x ，y ，z ，则鸡翁、鸡母、鸡雏的数量即为方程组Error!的解．其解题过程可用程序框图表示，如图所示，则程序框图中正整数m 的值为________．答案 4解析 由Error!得y ＝25－x ，74故x 必为4的倍数，当x ＝4t 时，y ＝25－7t ，由y ＝25－7t >0得，t 的最大值为3，故判断框应填入的是t <4？，即m ＝4.13．(2018·湘潭模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体(记为ABCD －A 1B 1C 1D 1)的粮仓，宽3丈(即AD ＝3丈)，长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，则下列判断正确的是________．(填写所有正确结论的序号)①该粮仓的高是2丈；②异面直线AD 与BC 1所成角的正弦值为；31313③长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球的表面积为π平方丈．1334答案 ①③解析 由题意，因为10 000×2.7＝30×45×AA 1，解得AA 1＝20(尺)＝2(丈)，故①正确；异面直线AD 与BC 1所成角为∠CBC 1，则sin∠CBC 1＝＝，故②错误，222＋3221313此长方体的长、宽、高分别为4.5丈、3丈、2丈，故其外接球的表面积为4π2＝π(平方丈)，(4.52＋32＋222)1334所以③是正确的．14．(2018·咸阳模拟)已知圆的半径为1，A ，B ，C ，D 为该圆上四个点，且＋＝，则AB → AC → AD→ △ABC 面积的最大值为________．答案 1解析 如图所示，由＋＝知，四边形ABDC 为平行四边形，AB → AC → AD→又A ，B ，C ，D 四点共圆，∴四边形ABDC 为矩形，即BC 为圆的直径，△ABC 的面积S ＝AB ·AC ≤·1212AB 2＋AC 22＝AD 2，14∴当AD 是圆的直径时，△ABC 的面积最大．∴当AB ＝AC 时，△ABC 的面积取得最大值×4＝1.14。
(京津专用)高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练11 直线与圆 理
8＋6分项练11 直线与圆1．(2018·襄阳调研)已知点P (1,2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则k 的取值范围是( )A ．R B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，233 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，0 答案 C 解析 圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋()y ＋12＝1－34k 2， 因为过P 有两条切线，所以P 在圆外，从而⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋4＋k ＋4＋k 2>0，1－34k 2>0，解得－233<k <233. 2．(2018·贵州省遵义航天高级中学模拟)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则||MP 2＋||MQ 2的值为( ) A.102B.10 C ．5 D ．10 答案 D解析 ∵在平面内，过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0相交于点M ，∴P (0,1)，Q (－3,0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴M 位于以PQ 为直径的圆上，∵|PQ |＝9＋1＝10，∴||MP 2＋||MQ 2＝10.3．(2018·湖北省荆、荆、襄、宜四地七校联考)若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：()x ＋m 2＋y 2＝20相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( )A ．3B ．4C ．2 3D ．8 答案 B 解析 由题意可知，O 1(0,0)，O 2(－m,0)，根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得5<|m |<3 5.再根据题意可得O 1A ⊥AO 2，∴m 2＝5＋20＝25，∴m ＝±5，∴利用|AB |2·5＝25×5＝10， 解得|AB |＝4.4．(2018·河北省衡水中学模拟)若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为2，当P ，A ，B 不共线时，△PAB 面积的最大值是( )A ．2 2 B. 2 C.223 D.23答案 A解析 以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B ()－1，0，设P (x ，y )，则 (x －1)2＋y 2(x ＋1)2＋y 2＝2，化简得()x ＋32＋y 2＝8， 当点P 到AB (x 轴)距离最大时，△PAB 的面积取得最大值，由圆的性质可得，△PAB 面积的最大值为12×2×22＝2 2. 5．已知点Q ()－1，m ，P 是圆C ：(x －a )2＋()y －2a ＋42＝4上任意一点，若线段PQ 的中点M 的轨迹方程为x 2＋()y －12＝1，则m 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析 设P (x ，y )，PQ 的中点为M ()x 0，y 0，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x －12，y 0＝y ＋m 2. 因为点M ()x 0，y 0在圆x 2＋()y －12＝1上， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋m 2－12＝1， 即(x －1)2＋()y ＋m －22＝4. 将此方程与方程(x －a )2＋()y －2a ＋42＝4 比较可得⎩⎨⎧ a ＝1，2a －4＝－()m －2，解得m ＝4. 6．(2018·四川省绵阳市南山中学模拟)若圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[2－3，2＋3]B ．[－2－3，3－2]C ．[－2－3，2＋3]D ．[－2－3，2－3]答案 B解析 圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0可化为(x ＋2)2＋()y －22＝18，则圆心为(－2,2)，半径为32，则由圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22可得，圆心到直线l ：ax ＋by ＝0的距离d ≤32－22＝2， 即||－2a ＋2b a 2＋b 2≤2， 则a 2＋b 2－4ab ≤0，若b ＝0，则a ＝0，故不成立，故b ≠0，则上式可化为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ≤0.由直线l 的斜率k ＝－a b ， 可知上式可化为k 2＋4k ＋1≤0，解得－2－3≤k ≤－2＋ 3.7．(2018·甘肃省西北师范大学附属中学诊断)若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．10答案 B解析 由直线ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M 的周长，可知直线必过圆M 的圆心，由圆的方程可得圆M 的圆心坐标为(－2，－1)，代入直线方程ax ＋by ＋1＝0可得2a ＋b －1＝0，又由(a －2)2＋(b －2)2表示点(2,2)与直线2a ＋b －1＝0上的任一点的距离的平方，由点到直线的距离公式得d ＝||2×2＋2－15＝5， 所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为d 2＝()52＝5. 8．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5 D ．2答案 A解析 以A 为坐标原点，分别以AD ，AB 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD .∵CD ＝1，BC ＝2，∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255， 即圆C 的半径为255， ∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45. 设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ. 两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255， 当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3. 故选A.9．(2018·湖南师大附中月考)与圆x 2＋(y －2)2＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有________条．答案 3解析 直线过原点时，设方程为y ＝kx ，利用点到直线的距离等于半径可求得k ＝±1，即直线方程为y ＝±x ；直线不过原点时，设其方程为x a ＋y a ＝1(a ≠0)，同理可求得a ＝4，直线方程为x ＋y ＝4，所以符合题意的直线共3条．10．已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪[2，＋∞) 解析 直线kx －y ＋1－k ＝0恒过点P (1,1)，k PA ＝3－12－1＝2，k PB ＝－2－1－3－1＝34，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，结合图象(图略)得k ≤34或k ≥2.11．设直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2－a ＝0，直线l 2：2x ＋(a ＋2)·y ＋1＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________，若l 1∥l 2，则实数a 的值为________．答案 －85－4 解析 若l 1⊥l 2，则2(a ＋1)＋3()a ＋2＝0，整理可得5a ＋8＝0，求解关于实数a 的方程可得a ＝－85. 若l 1∥l 2，则a ＋12＝3a ＋2≠2－a 1， 据此可得a ＝－4.12．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别是A ，B ，则|AB |的取值范围为__________．答案 [3，2)解析 由题意知，圆心坐标为(1,1)，半径为1，要使AB 的长度最小，则∠ACB 最小，即∠PCB最小，即PC 最小，由点到直线的距离公式可得点C 到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离d ＝|3＋4＋3|5＝2，则∠PCB ＝60°，∠ACB ＝120°，即|AB |＝3，当P 在直线3x ＋4y ＋3＝0上无限远时，∠ACB 趋近180°，此时|AB |趋近直径2.故|AB |的取值范围为[3，2)．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0与x 轴的两个交点分别为A ，B ，其中A 在B 的右侧，以AB 为直径的圆记为圆N ，过点A 作直线l 与圆M ，圆N 分别交于C ，D 两点．若D 为线段AC 的中点，则直线l 的方程为________．答案 x ＋2y －4＝0解析 由题意得圆M 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝5，令y ＝0，得x ＝2或x ＝4，所以A (4,0)，B (2,0)．则圆N 的方程为(x －3)2＋y 2＝1，由题意得直线l 的斜率存在，所以设直线l ：y ＝k (x －4)．联立直线l 的方程和圆M 的方程消去y ，得(1＋k 2)x 2－(8k 2＋4k ＋6)x ＋16k 2＋16k ＋8＝0，所以4＋x C ＝8k 2＋4k ＋61＋k 2，① 联立⎩⎪⎨⎪⎧ (x －3)2＋y 2＝1，y ＝kx －4k ， 得(1＋k 2)x 2－(8k 2＋6)x ＋16k 2＋8＝0，所以4＋x D ＝8k 2＋61＋k 2，② 依题意得x C ＋4＝2x D ，③解①②③得k ＝－12. 所以直线l 的方程为x ＋2y －4＝0.14．已知圆C 1：(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1与圆C 2：x 2＋y 2＝1，下列说法中： ①对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终外切；②对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终有四条公切线；③当θ＝π6时，圆C 1被直线l ：3x －y －1＝0截得的弦长为3； ④若点P ，Q 分别为圆C 1与圆C 2上的动点，则|PQ |的最大值为4.正确命题的序号为________．答案 ①③④解析 对于①，我们知道两个圆外切等价于两个圆的圆心距刚好等于两个圆的半径之和， 由题意，得圆C 1的半径为1，圆心坐标为(2cos θ，2sin θ)，圆C 2的半径为1，圆心坐标为(0,0)，所以两个圆的圆心距为(2cos θ－0)2＋(2sin θ－0)2＝4cos 2θ＋4sin 2θ＝2.又因为两圆的半径之和为1＋1＝2，所以对于任意θ，圆C 1和圆C 2始终外切，所以①正确；对于②，由①得，两圆外切，所以两圆只有三条公切线，所以②错误；对于③，此时圆C 1的方程为：(x －3)2＋(y －1)2＝1，故圆C 1的圆心坐标为(3，1)，所以圆心到直线l 的距离为|(3)2－1－1|(3)2＋(－1)2＝12. 又因为圆C 1的半径为1，所以其所截的弦长为2 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3，所以③正确； 对于④，由①得，两圆外切，所以两圆上的点的最大距离就是两圆的直径之和， 因为C 1的直径为2，C 2的直径也为2，故|PQ |的最大值为2＋2＝4.所以④正确．故正确命题的序号为①③④.。
(京津专用)2020高考数学总复习 优编增分练：8+6标准练1 文
8＋6标准练11．设复数z ＝1－2i(i 是虚数单位)，则|z ＋z |的值为( )A ．3 2B ．2C ．1D ．2 2答案 B解析 ∵z ＋z ＝2，∴|z ＋z |＝2.2．“p ∧q 为假”是“p ∨q 为假”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由“p ∧q 为假”得出p ，q 中至少有一个为假．当p ，q 为一假一真时，p ∨q 为真，充分性不成立；当“p ∨q 为假”时，p ，q 同时为假，所以p ∧q 为假，必要性成立．3．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n (n 为常数)盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯( )A ．2盏B ．3盏C ．26盏D ．27盏答案 C解析 设顶层有灯a 1盏，底层有灯a 9盏，灯数构成等差数列， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 9＝13a 1，9(a 9＋a 1)2＝126，解得a 9＝26.4．如图是一个程序框图，若输入n 的值是13，输出S 的值是46，则a 的取值范围是( )A ．9≤a <10B ．9<a ≤10C ．10<a ≤11D ．8<a ≤9答案 B 解析 依次运行程序框图，结果如下：S ＝13，n ＝12；S ＝25，n ＝11；S ＝36，n ＝10；S ＝46，n ＝9，此时退出循环，所以a 的取值范围是9<a ≤10.5．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为( )A ．2 B. 2 C ．2 2 D ．4答案 B解析 因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直， 所以渐近线方程为y ＝±x ，所以a ＝b .因为顶点到一条渐近线的距离为1， 所以a12＋12＝1，即22a ＝1， 所以a ＝b ＝2，双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1， 所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b ＝ 2.6．已知数据x 1，x 2，…，x 10,2的平均数为2，方差为1，则数据x 1，x 2，…，x 10相对于原数据( )A ．一样稳定B ．变得比较稳定C ．变得比较不稳定D ．稳定性不可以判断 答案 C解析 因为数据x 1，x 2，…，x 10,2的平均数为2，所以数据x 1，x 2，…，x 10的平均数也为2，因为数据x 1，x 2，…，x 10,2的方差为1， 所以111⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤∑i ＝110 (x i －2)2＋(2－2)2＝1，所以∑i ＝110(x i －2)2＝11， 所以数据x 1，x 2，…，x 10的方差为110∑i ＝110(x i －2)2＝1.1. 因为1.1>1，所以数据x 1，x 2，…，x 10相对于原数据变得比较不稳定．7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2,1，12，则此三棱锥外接球的表面积为( )A.174πB.214π C．4π D．5π 答案 B解析 由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的四个顶点，即为三棱锥A －CB 1D 1，且长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的长、宽、高分别为2,1，12， 所以此三棱锥的外接球即为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球，半径R ＝22＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1222＝214， 所以三棱锥外接球的表面积为 S ＝4πR 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫2142＝214π. 8．已知点P 是曲线y ＝sin x ＋ln x 上任意一点，记直线OP (O 为坐标原点)的斜率为k ，则下列一定成立的为( )A ．k <－1B ．k <0C ．k <1D ．k ≥1答案 C解析 任意取x 为一正实数，一方面y ＝sin x ＋ln x ≤ln x ＋1，另一方面容易证ln x ＋1≤x 成立，所以y ＝sin x ＋ln x ≤x .因为y ＝sin x ＋ln x ≤ln x ＋1与ln x ＋1≤x 中两个等号成立的条件不一样，所以y ＝sin x ＋ln x <x 恒成立，所以k <1，所以排除D ； 当π2≤x <π时，y ＝sin x ＋ln x >0， 所以k >0，所以排除A ，B.9．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4≤0}，B ＝{x |0<ln x <2}，则A ∩B 的真子集的个数为________． 答案 7解析 A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4≤0}＝{x ∈Z |－1≤x ≤4}＝{－1,0,1,2,3,4}，B ＝{x |0<ln x <2}＝{x |1<x <e 2}，所以A ∩B ＝{2,3,4}，所以A ∩B 的真子集有23－1＝7(个)． 10．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤2，x －2y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则z ＝－x3＋y 的最大值为________． 答案 43 解析 如图阴影部分所示，作出的可行域为三角形(包括边界)，把z ＝－x 3＋y 改写为y ＝x 3＋z ， 当且仅当动直线y ＝x3＋z 过点(2,2)时， z 取得最大值43.11．已知a ＝(1,2m －1)，b ＝(2－m ，－2)，若向量a ∥b ，则实数m 的值为________．答案 0或52解析 因为向量a ∥b ，所以(2m －1)(2－m )＝－2，所以m ＝0或m ＝52. 12．从正五边形的对角线中任意取出两条，则取出的两条对角线为同一个等腰三角形的两腰的概率为________．答案 12解析 从5条对角线中任意取出2条，共有10个基本事件，其中取出的两条对角线为同一个等腰三角形的两腰的有5个，所以取出的两条对角线为同一个等腰三角形的两腰的概率为510＝12. 13．设函数f (x )＝x a －x 2－12对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≤0成立，则实数a ＝________. 答案 1解析 一方面，由a －x 2≥0对任意x ∈[－1,1]恒成立，得a ≥1；另一方面，由f (x )＝x a －x 2－12≤x 2＋a －x 22－12≤0，得a ≤1，所以a ＝1. 14．若对任意的x ∈R ，都有f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，且f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π3的值为________．答案 2解析 因为f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，① 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，② ①＋②得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )，所以f (x ＋π)＝f (x )，所以T ＝π， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 在f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6中， 令x ＝π6，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， 因为f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，所以f ⎝⎛⎭⎫100π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2.。
(京津专用)2020高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练9 立体几何 文
8＋6分项练9 立体几何1．(2018·泸州模拟)设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是( )A．a∥b，b⊂α，则a∥αB．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βD．α∥β，a⊂α，则a∥β答案 D解析由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面知，在A中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；在C中，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，α∥β，a⊂α，则由面面平行的性质得a∥β，故D正确．2．(2018·福建省厦门外国语学校模拟)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正(主)视图是( )答案 A解析取DD1的中点F，连接AF，C1F，平面AFC1E为截面．如图所示，所以上半部分的正(主)视图，如A选项所示，故选A.3．(2018·昆明模拟)一个几何体挖去部分后的三视图如图所示，若其正(主)视图和侧(左)视图都是由三个边长为2的正三角形组成，则该几何体的表面积为( )A ．13πB ．12πC ．11πD ．23π 答案 B解析 由三视图可知，该几何体是一个圆台，内部挖去一个圆锥．圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，圆锥底面为圆台的上底面，顶点为圆台底面的圆心． 圆台侧面积为π(1＋2)×2＝6π， 下底面面积为π×22＝4π， 圆锥的侧面积为π×1×2＝2π.所以该几何体的表面积为6π＋4π＋2π＝12π.4．(2018·洛阳统考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.233 B.152 C.476D ．8 答案 A解析 根据题中所给的几何体的三视图，可以得到该几何体是由正方体切割而成的， 记正方体为ABCD －A 1B 1C 1D 1，取A 1D 1的中点M ，取D 1C 1的中点N ， 该几何体就是正方体切去一个三棱锥D －MND 1之后剩余的部分， 故其体积为V ＝23－13×12×1×1×2＝233.5．现有编号为①，②，③的三个三棱锥(底面水平放置)，俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③答案 B解析 根据题意可得三个立体几何图形如图所示：由图一可得侧面ABD ，ADC 与底面垂直，由图二可得面ACE 垂直于底面，由图三可知，无侧面与底面垂直．6.如图所示，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角 答案 D解析 对于选项A ，由题意得SD ⊥AC ，AC ⊥BD ，SD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面SBD ，故AC ⊥SB ，故A 正确；对于选项B ，∵AB ∥CD ，AB ⊄平面SCD ，∴AB ∥平面SCD ，故B 正确；对于选项C ，由对称性知SA 与平面SBD 所成的角与SC 与平面SBD 所成的角相等，故C 正确．7．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈3163V ，人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )A ．d ≈36031V B ．d ≈32VC ．d ≈3158V D ．d ≈32111V 答案 D解析 根据球的体积公式V ＝43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫d 23，得d ＝36V π，设选项中的常数为a b ，则π＝6ba，选项A 代入得π＝31×660＝3.1，选项B 代入得π＝62＝3，选项C 代入得π＝6×815＝3.2，选项D 代入得π＝11×621＝3.142 857，D 选项更接近π的真实值，故选D.8．已知四边形ABCD 为边长等于5的正方形，PA ⊥平面ABCD ，QC ∥PA ，且异面直线QD 与PA 所成的角为30°，则四棱锥Q －ABCD 外接球的表面积等于( ) A.12524π B ．25π C.1256π D.1252π 答案 B解析 因为PA ⊥平面ABCD ，QC ∥PA ，所以QC ⊥平面ABCD ，且异面直线QD 与PA 所成的角即∠DQC ， 所以∠DQC ＝30°， 又CD ＝5，所以QC ＝15. 由于CB ，CQ ，CD 两两垂直，所以四棱锥Q －ABCD 的外接球的直径就是以CB ，CQ ，CD 为棱的长方体的体对角线，设四棱锥Q －ABCD 外接球的半径为R ，则R ＝52，所以外接球的表面积为4π·⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝25π.9．(2018·漳州模拟)在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，A 1B 1＝3，B 1C 1＝4，A 1C 1＝5，AA 1＝2，则其外接球与内切球的表面积的比值为________． 答案294解析 如图1，分别取AC ，A 1C 1的中点G ，H ，连接GH ， 取GH 的中点O ，连接OA ， 由题意，得A 1B 21＋B 1C 21＝A 1C 21， 即△A 1B 1C 1为直角三角形，则点O 为外接球的球心，OA 为半径， 则R ＝OA ＝1＋254＝292；如图2，作三棱柱的中截面，则中截面三角形的内心是该三棱柱的内切球的球心，中截面三角形的内切圆的半径r ＝3＋4－52＝1，也是内切球的半径，因为R ∶r ＝29∶2，则其外接球与内切球的表面积的比值为4πR 24πr 2＝294.10.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知∠BCA ＝90°，∠BAC ＝60°，AC ＝4，E 为AA 1的中点，点F 为BE 的中点，点H 在线段CA 1上，且A 1H ＝3HC ，则线段FH 的长为________．答案13解析 由题意知，AB ＝8，过点F 作FD ∥AB 交AA 1于点D ，连接DH ，则D 为AE 中点，FD ＝12AB ＝4，又A 1H HC ＝A 1DDA＝3，所以DH ∥AC ，∠FDH ＝60°， DH ＝34AC ＝3，由余弦定理得FH ＝42＋32－2×4×3×cos 60°＝13.11.如图所示，AB 是⊙O 的直径，PA ⊥⊙O 所在的平面，C 是圆上一点，且∠ABC ＝30°，PA ＝AB ，则直线PC 与平面ABC 所成角的正切值为________．答案 2解析 因为PA ⊥平面ABC ，所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为PC 与平面ABC 所成的角．在Rt△PAC 中，AC ＝12AB ＝12PA ，所以tan∠PCA ＝PA AC＝2.B 1C 1所成的角为________．答案 60°解析 因为几何体是棱柱，BC ∥B 1C 1，则∠A 1CB 就是异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝AA 1＝1，BC ＝2，则BA 1＝AA 21＋AB 2＝2，CA 1＝AA 21＋AC 2＝2，所以△BCA 1是正三角形，故异面直线所成的角为60°.13．(2018·南昌模拟)已知正三棱台ABC －A 1B 1C 1的上、下底边长分别为33，43，高为7，若该正三棱台的六个顶点均在球O 的球面上，且球心O 在正三棱台ABC －A 1B 1C 1内，则球O 的表面积为________． 答案 100π解析 因为正三棱台ABC －A 1B 1C 1的上、下底边长分别为33，43， 取正三棱台的上、下底面的中心分别为E ，E 1， 则正三棱台的高为h ＝EE 1＝7，在上下底面的等边三角形中， 可得AE ＝23AD ＝3，A 1E 1＝23A 1D 1＝4，则球心O 在直线EE 1上，且半径为R ＝OA ＝OA 1， 所以OE 2＋32＝OE 21＋42，且OE ＋OE 1＝7， 解得OE ＝4，所以R ＝OE 2＋32＝5， 所以球O 的表面积为S ＝4πR 2＝100π.14．已知三棱锥O —ABC 中，A ，B ，C 三点均在球心为O 的球面上，且AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝120°，若球O 的体积为256π3，则三棱锥O —ABC 的体积是________． 答案54解析 三棱锥O —ABC 中，A ，B ，C 三点均在球心为O 的球面上，且AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝120°，则AC ＝3， ∴S △ABC ＝12×1×1×sin 120°＝34，设球半径为R ，由球的体积V 1＝43πR 3＝256π3，解得R ＝4.设△ABC 外接圆∴OG ＝R 2－GA 2＝42－12＝15， ∴三棱锥O —ABC 的体积为V 2＝13S △ABC ·OG ＝13×34×15＝54.。
【配套K12】[学习](京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练2 不等式与推理证
2019高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练2 不等式与推理证](https://img.taocdn.com/s3/m/d3784a4ecaaedd3382c4d32e.png)
8＋6分项练2 不等式与推理证明1．(2018·北京海淀区模拟)已知x >y >0，则( ) A.1x >1yB.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12y C ．cos x >cos y D ．ln(x ＋1)>ln(y ＋1)答案 D解析 因为当x >y >0时，1x <1y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，以及cos x 与cos y 的大小关系不确定，所以可排除选项A ，B ，C.2．如下图是元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )答案 A解析 该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A ，故选A.3．(2018·漳州质检)已知实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y －7≤0，y ≥1，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．1B ．11C ．13D ．17 答案 C解析 令z ＝2x ＋3y ，将z ＝2x ＋3y 化为y ＝－23x ＋z3，作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，当直线y ＝－23x ＋z3向右上方平移时，直线y ＝－23x ＋z 3在y 轴上的截距z3增大，即z 增大，由图象得，当直线y ＝－23x ＋z3过点A 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x ＋2y －7＝0，得A (5,1)，此时，z 取得最大值2×5＋3×1＝13.4．(2018·华大新高考联盟模拟)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，y ≥x ，x ≥0，则x 2＋y2的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2 B ．[0,2] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D.[]0，2答案 B解析 画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，x 2＋y 2的几何意义是阴影内的点到原点的距离的平方，显然O 点为最小值点，而A (1,1)为最大值点，故x 2＋y 2的取值范围是[0,2]．5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m等于( )A ．7B ．5C ．4D ．1 答案 B解析 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，联立直线方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝－x ＋m ，可得交点坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋13，2m －13， 由目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值， 所以m ＋13－2m －13＝－1，解得m ＝5.6．(2018·哈尔滨师范大学附属中学模拟)设点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x －5y －1≤0，3x ＋y －3≤0，且x ∈Z ，y ∈Z ，则这样的点共有( )A ．12个B ．11个C ．10个D ．9个 答案 A解析 画出⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x －5y －1≤0，3x ＋y －3≤0表示的可行域(含边界)，由图可知，满足x ∈Z ，y ∈Z 的(x ，y )有(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12个．7.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b2－b ＝a －b2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D.8．(2018·河南省南阳市第一中学模拟)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，且0<x 1<1<x 2<2，则b ＋2c 的取值范围是( ) A ．(－2，－1) B ．(－4，－2) C ．(－4，－1) D ．(－2,1)答案 D解析 由函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，且0<x 1<1<x 2<2，则⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝c >0，f (1)＝b ＋c ＋1<0，f (2)＝2b ＋c ＋4>0，设z ＝b ＋2c ，作出约束条件所表示的平面区域，如图(阴影部分)所示(不含边界)，由图象可知，当z ＝b ＋2c 经过点A 时，目标函数z ＝b ＋2c 取得最大值， 当z ＝b ＋2c 经过点B 时，目标函数z ＝b ＋2c 取得最小值，又由⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＋1＝0，2b ＋c ＋4＝0，解得A (－3,2)，此时z max ＝－3＋2×2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，2b ＋c ＋4＝0，解得B (－2,0)，此时z min ＝－2＋2×0＝－2， 所以b ＋2c 的取值范围是(－2,1)．9．有三支股票A ，B ，C,28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍．在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票．则只持有B 股票的股民人数是________． 答案 7解析 设只持有A 股票的人数为X (如图所示)，则持有A 股票还持有其它股票的人数为X －1(图中d ＋e ＋f 的和)，因为只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票，则只持有了B 或C 股票的人数和为X (图中b ＋c 部分)．假设只同时持有了B 和C 股票的人数为a (如图所示)，那么X ＋X －1＋X ＋a ＝28，即3X ＋a ＝29，则X 的取值可能是9,8,7,6,5,4,3,2,1.与之对应的a 值为2,5,8,11,14,17,20,23,26.因为没持有A 股票的股民中，持有B 股票的人数为持有C 股票人数的2倍，得b ＋a ＝2(c ＋a )，即X －a ＝3c ，故当X ＝8，a ＝5时满足题意，故c ＝1，b ＝7，故只持有B 股票的股民人数是7.10．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤4，x －2y ≤2，如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为________． 答案 3或－113解析 先画出线性约束条件所表示的可行域(含边界)，当a ＝0时不满足题意，故a ≠0. 目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，当a >0时，－1a<0，(1)当－12≤－1a <0，即a ≥2时，最优解为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43， z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，满足a ≥2；(2)当－1a <－12，即0<a <2时，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不满足0<a <2，舍去；当a <0时，－1a>0，(3)当0<－1a <12，即a <－2时，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，满足a <－2；(4)当－1a ≥12，即－2≤a <0时，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不满足－2≤a <0，舍去．综上，实数a 的值为3或－113. 11．(2018·上饶模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋y －3≤0，y ≥1，则y ＋1x ＋2的最小值为________． 答案 23解析 画出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋y －3≤0，y ≥1的可行域如图阴影部分所示(含边界)．y ＋1x ＋2的几何意义为可行域内的动点P (x ，y )与定点Q (－2，－1)连线的斜率， 当P 位于A (－1,1)时，直线PQ 的斜率最大， 此时k max ＝1＋1－1＋2＝2，当P 位于B (1,1)时，直线PQ 的斜率最小， 此时k min ＝1＋11＋2＝23.12．(2018·南平模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0，且z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)的最大值为4，则1m ＋1n的最小值为________．答案 2解析 作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．由可行域知可行域内的点(x ，y )均满足x ≥0，y ≥0.所以要使z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)最大，只需x 最大，y 最大即可，即在点A 处取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2x －2，解得A (2,2)．所以有2m ＋2n ＝4，即m ＋n ＝2.1m ＋1n ＝12(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m n ＋n m ＋1≥12×(2＋2)＝2. 当且仅当m ＝n ＝1时，1m ＋1n取得最小值2.13．(2018·宣城调研)已知函数f (x )＝2x －sin x ，若正实数a ，b 满足f (a )＋f (2b －1)＝0，则1a ＋4b的最小值是________．答案 9＋4 2解析 因为f ′(x )＝2－cos x >0，f (－x )＝－2x ＋sin x ＝－f (x )， 所以函数f (x )为单调递增的奇函数， 因此由f (a )＋f (2b －1)＝0， 得f (a )＝－f (2b －1)＝f (1－2b )， 所以a ＝1－2b ，a ＋2b ＝1，因此1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ()a ＋2b ＝9＋2b a ＋4ab≥9＋22b a ·4a b ＝9＋42，当且仅当a ＝22－17，b ＝4－27时取等号． 14．(2018·漳州质检)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为a ，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得AC ＝DB ＝14AB ，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF 做相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为S n ，现给出有关数列{S n }的四个命题：①数列{S n }是等比数列； ②数列{S n }是递增数列；③存在最小的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n >2 018； ④存在最大的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n <2 018. 其中真命题是________．(请写出所有真命题的序号) 答案 ②④解析 由题意，得图1中的线段为a ，S 1＝a ， 图2中的正六边形的边长为a2，S 2＝S 1＋a2×4＝S 1＋2a ，图3中的最小正六边形的边长为a4，S 3＝S 2＋a4×4＝S 2＋a ，图4中的最小正六边形的边长为a8，S 4＝S 3＋a 8×4＝S 3＋a2，由此类推，S n －S n －1＝a2n －3(n ≥2)，即{S n }为递增数列，但不是等比数列， 即①错误，②正确；因为S n ＝S 1＋(S 2－S 1)＋(S 3－S 2)＋…＋(S n －S n －1) ＝a ＋2a ＋a ＋a 2＋…＋a 2n －3＝a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12＝a ＋4a ⎝⎛⎭⎪⎫1－12n －1<5a ，n ≥2，又S 1＝a <5a ，所以存在最大的正数a ＝2 0185，使得对任意的正整数n ，都有S n <2 018， 即④正确，③错误．。
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8＋6分项练4 平面向量与数学文化1．(2018·贵阳模拟)如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AO →等于( )A.12a ＋12bB.12a ＋14bC.14a ＋12bD.14a ＋14b 答案 B解析 ∵在△ABC 中，BE 是AC 边上的中线， ∴AE →＝12AC →，∵O 是BE 边的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AE →)，∴AO →＝12AB →＋14AC →，∵AB →＝a ，AC →＝b ， ∴AO →＝12a ＋14b .2．(2018·上饶模拟)设D ，E 为正三角形ABC 中BC 边上的两个三等分点，且BC ＝2，则AD →·AE →等于( )A.49B.89C.269D.263 答案 C 解析 如图，|AB →|＝|AC →|＝2，〈AB →，AC →〉＝60°， ∵D ，E 是边BC 的两个三等分点，∴AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →＋13CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →＝29|AB →|2＋59AB →·AC →＋29|AC →|2＝29×4＋59×2×2×12＋29×4＝269. 3．(2018·昆明模拟)程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( ) A ．65 B ．176 C ．183 D ．184 答案 D解析 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{a n }，其中d ＝17，n ＝8，S 8＝996.由等差数列前n 项和公式可得8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.由等差数列通项公式得a 8＝65＋(8－1)×17＝184.4．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中OA ＝1，则给出下列结论： ①HD →·BF →＝0；②OA →·OD →＝－22；③OB →＋OH →＝－ 2 OE →；④|AH →－FH →|＝2－ 2. 其中正确结论的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 B解析 正八边形ABCDEFGH 中，HD ⊥BF ， ∴HD →·BF →＝0，故①正确；OA →·OD →＝1×1×cos 3π4＝－22，故②正确；OB →＋OH →＝ 2 OA →＝－ 2 OE →，故③正确； |AH →－FH →|＝|AF →|＝|OF →－OA →|，则|AF →|2＝1＋1－2×1×1×cos 3π4＝2＋2，∴|AF →|＝2＋2，故④错误． 综上，正确的结论为①②③，故选B.5．(2018·聊城模拟)在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是△ABC 所在平面上的任意一点，则PA →·PB →＋PA →·PC →的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－1 答案 C解析 建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则A (0,2)．设点P 的坐标为(x ，y )，则PA →＝()－x ，2－y ，PO →＝(－x ，－y )，故PA →·PB →＋PA →·PC →＝PA →·()PB →＋PC →＝2PA →·PO →＝2()x 2＋y 2－2y ＝2[]x 2＋()y －12－2≥－2，当且仅当x ＝0，y ＝1时等号成立．所以PA →·PB →＋PA →·PC →的最小值为－2.6．(2018·石家庄模拟)三国时期吴国的数学家创造了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示“勾股圆方图”中由四个全等的直角三角形(直角边长之比为1∶3)围成的一个大正方形，中间部分是一个小正方形，如果在大正方形内随机取一点，则此点取自中间的小正方形部分的概率是( )A.32B.34C ．1－32D ．1－34答案 C解析 由题意可知，设直角三角形的直角边长分别为k ，3k (k >0)， 则大正方形的边长为2k ，小正方形的边长为(3－1)k ， 所以大正方形的面积为4k 2，小正方形的面积为(3－1)2k 2， 故所求概率为(3－1)2k 24k 2＝1－32. 7．(2018·南平质检)我国古代著名的数学著作有《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算机》等10部算书，被称为“算经十书”．某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣．一天，他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”；丁：“丙比乙多”，有趣的是，他们说的这些话中，只有一个人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读本数各不相同)．甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是( ) A ．乙甲丙丁 B ．甲丁乙丙 C ．丙甲丁乙 D ．甲丙乙丁答案 D解析 由题意可列表格如下：对于选项A ，甲，丁说的都对，不符合只有一个人对；对于选项B ，丙，丁说的都对，也不符合只有一个人对；对于选项C ，乙说的对，但乙不是最少的，不符合；对于选项D ，甲说的对，也正好是最少的，符合，选D.8．(2018·河北省衡水中学模拟)已知||OA →＝||OB →＝2，点C 在线段AB 上，且||OC →的最小值为1，则||OA →－tOB →(t ∈R )的最小值为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 答案 B解析 ∵||OA →＝||OB →＝2， ∴点O 在线段AB 的垂直平分线上．∵点C 在线段AB 上，且||OC →的最小值为1， ∴当C 是AB 的中点时||OC →最小，此时||OC →＝1，∴此时OB →与OC →的夹角为60°， ∴OA →，OB →的夹角为120°. 又||OA →－tOB→2＝OA→2＋t 2OB →2－2tOA →·OB →＝4＋4t 2－2t ·2·2·cos 120° ＝4t 2＋4t ＋4＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋3≥3， 当且仅当t ＝－12时等号成立．∴||OA →－tOB→2的最小值为3， ∴||OA →－tOB→的最小值为 3. 9．已知向量a ＝(2,4)，|b |＝2，|a －2b |＝8，则a 在a ＋b 方向上的投影为________． 答案131010解析 由a ＝(2,4)，|b |＝2，|a －2b |＝8， 可知|a |＝22＋42＝25， (a －2b )2＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝64， 则a ·b ＝－7，所以a 在a ＋b 方向上的投影为a ·(a ＋b )|a ＋b |＝a 2＋a ·ba 2＋b 2＋2a ·b＝20－720＋4＋2×(－7)＝131010.10．(2018·烟台模拟)如果||a ＝2，||b ＝3，a ·b ＝4，则||a －2b 的值是________． 答案 2 6解析 由||a ＝2，||b ＝3，a ·b ＝4， 得||a －2b ＝(a －2b )2＝a 2＋4b 2－4a ·b＝4＋36－4×4＝2 6.11．(2018·石家庄模拟)已知向量a 与b 的夹角是π3，|a |＝1，|b |＝12，则向量a －2b 与a 的夹角为________． 答案π3解析 a ·b ＝||a ||b cos π3＝14，a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝12，|a －2b |＝(a －2b )2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝1－4×14＋4×14＝1.设向量a －2b 与a 的夹角为θ，cos θ＝a ·(a －2b )|a ||a －2b |＝12，又因为θ∈[0，π]， 所以θ＝π3.12．(2018·宁德质检)我国南北朝时期的数学家张丘建是世界数学史上解决不定方程的第一人，他在《张丘建算经》中给出一个解不定方程的百鸡问题，问题如下：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？用代数方法表述为：设鸡翁、鸡母、鸡雏的数量分别为x ，y ，z ，则鸡翁、鸡母、鸡雏的数量即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＋z 3＝100，x ＋y ＋z ＝100的解．其解题过程可用程序框图表示，如图所示，则程序框图中正整数m 的值为________．答案 4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＋z 3＝100，x ＋y ＋z ＝100，得y ＝25－74x ，故x 必为4的倍数，当x ＝4t 时，y ＝25－7t ，由y ＝25－7t >0得，t 的最大值为3， 故判断框应填入的是t <4？， 即m ＝4.13．若非零向量a ，b 满足|b |＝2|a |，若(a ＋2b )⊥(3a －t b )，a 与b 的夹角等于π4，则实数t 的值为________．答案 95解析 由a 与b 的夹角等于π4可得 cos π4＝a ·b |a ||b |＝a ·b 2|a |2，故a ·b ＝|a |2. 由(a ＋2b )⊥(3a －t b )可得 3a 2－t a ·b ＋6a ·b －2t b 2＝0， 即3|a |2＋(6－t )|a |2－4t |a |2＝0， 又a 为非零向量，所以|a |2≠0，则有3＋6－t －4t ＝0，解得t ＝95.14．(2018·咸阳模拟)已知圆的半径为1，A ，B ，C ，D 为该圆上四个点，且AB →＋AC →＝AD →，则△ABC面积的最大值为________． 答案 1解析 如图所示，由AB →＋AC →＝AD →知，四边形ABDC 为平行四边形，又A ，B ，C ，D 四点共圆，∴四边形ABDC 为矩形，即BC 为圆的直径， △ABC 的面积S ＝12AB ·AC ≤12·AB 2＋AC 22＝14AD 2，∴当AD 是圆的直径时，△ABC 的面积最大． ∴当AB ＝AC 时，△ABC 的面积取得最大值14×4＝1.。