分式的加减运算
分式的加减运算
课后训练
基础巩固
1．下列关于x的方程是分式方程的为( )．
A．x23x－3＝ 56 B．x1＝3－x 7a
xabxC． abab
2．解分式方程 (x1)2 1 D．x12362，下列四步中，错误的一步是( )． x1x1x1
A．方程两边分式的最简公分母是x2－1
B．方程两边同乘(x2－1)，得整式方程2(x－1)＋3(x＋1)＝6
C．解这个整式方程得x＝1
D．原方程的解为x＝1
3．当x＝( )时，
4．把分式方程xx12与互为相反数． x5xx12化为整式方程为． x22x
5．解下列分式方程： (1)3x2x813； (2)＝8. x2x2x77x
6．甲、乙两个火车站相距1 280千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度．
能力提升
7．若分式方程
A．1 ax＝2的解是2，则a的值是( )． x2B．2 C．3 D．4
8．若分式方程
A．x＝0
C．x＝1
9．方程13m4有增根，则增根一定是( )．x2xx(x2) B．x＝2 D．x＝0或x＝2 44220，则的值为( )． xxx
A．－2 B．－1 C．1 D．2
10．某工地调72人挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，调配劳动力使挖出来的土能及时运走且不窝工，解决此问题可设派x人挖土，其他人运土，列方程①
3，上述方程中，正确的有( )．
A．1个 B．2个
11．定义一种运算a☆b＝72x1xx＝；②72－x＝；③x＋3x＝72；④＝x372x3D．4个 C．3个 113，根据这个规定，则x☆2＝的解为__________． ab2
12．某校九年级两个班各为灾区捐款1 800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%.请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提
出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．．．．．
分式的加减运算
分式的加减运算 课后训练 基础巩固 1．下列关于x的方程是分式方程的为( )． A．x23x－3＝ 56 B．x1＝3－x 7a xabxC． abab 2．解分式方程 (x1)2 1 D．x12362，下列四步中，错误的一步是( )． x1x1x1 A．方程两边分式的最简公分母是x2－1 B．方程两边同乘(x2－1)，得整式方程2(x－1)＋3(x＋1)＝6 C．解这个整式方程得x＝1 D．原方程的解为x＝1 3．当x＝( )时， 4．把分式方程xx12与互为相反数． x5xx12化为整式方程为． x22x 5．解下列分式方程： (1)3x2x813； (2)＝8. x2x2x77x 6．甲、乙两个火车站相距1 280千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度． 能力提升 7．若分式方程 A．1 ax＝2的解是2，则a的值是( )． x2B．2 C．3 D．4
8．若分式方程 A．x＝0 C．x＝1 9．方程13m4有增根，则增根一定是( )．x2xx(x2) B．x＝2 D．x＝0或x＝2 44220，则的值为( )． xxx A．－2 B．－1 C．1 D．2 10．某工地调72人挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，调配劳动力使挖出来的土能及时运走且不窝工，解决此问题可设派x人挖土，其他人运土，列方程① 3，上述方程中，正确的有( )． A．1个 B．2个 11．定义一种运算a☆b＝72x1xx＝；②72－x＝；③x＋3x＝72；④＝x372x3D．4个 C．3个 113，根据这个规定，则x☆2＝的解为__________． ab2 12．某校九年级两个班各为灾区捐款1 800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%.请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提 出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．．．．．
分式加减乘除运算解析
（三）分式的运算 知识点一：分式的乘法---分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 1、291643a b b a ?； 2、3234x y y x ?； 3、b a a b 25222?； 4、2 223253c b a a bc ?； 5、y x y x y x y x +-?-+； 6、2 232251033b a b a ab b a -?-； 7、x x x x x x 34292222--?+-； 知识点二：分式的乘方---要把分式的分子、分母分别乘方 1、2 22??? ??-a b ； 2、2 232???? ??y ； 3、2 3??? ??-x y ； 4、3 2432??? ? ? ?-z y x ； 5、2 ??? ??+a b a ； 6、2 1???? ??--y x 知识点四：分式的除法--分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 1、y x a xy 2 8512÷；2、x y xy 3232÷-；3、cd b a c ab 4322222-÷；4、???? ??-÷2536y x xy ；5、??? ? ??-÷x y a y a 320164532； 6、()2 22x y xy y x -÷-；7、()11112 +-+÷-+x x x x ；8、x x x x x x 24422-÷++-；9、xy x y x y xy x y x 222242 2222++÷++-
知识点五：分式的乘除混合运算 1、??? ? ?-????? ??-+÷+x x x x x x 212222； 4、23 2322??? ??????? ??-÷-b b a b a ； 5、2 2 2224???? ??-???? ??-÷???? ??ay x ax y x y x ； 6、323 42 23362??? ??-?÷??? ? ??-b c b a d c ab ； 7、223 2b a a a b a ab b a -÷??? ??--???? ??- 1．下列各式计算结果是分式的是 ( )． (A)b a m n ÷ (B)n m m n 23? (C)x x 53÷ (D)3223473y x y x ÷ 2．下列计算中正确的是 ( )． (A)(－1)0＝－1 (B)(－1)－ 1＝1 (C)3 321 2a a = - (D)4 7 3 1)()(a a a = -÷- 3．下列各式计算正确的是 ( )． (A)m ÷n ·m ＝m (B)m n n m =? ÷1 (C) 11 =?÷m m m (D)n ÷m ·m ＝n 4．计算5 4)()( a b a a b a -?-的结果是 ( )． (A)－1 (B)1 (C) a 1 (D)b a a -- 5．下列分式中，最简分式是 ( )． (A)2 1521y xy (B)y x y x +-2 2 (C)y x y xy x -+-2 22 (D)y x y x -+22 9．=-÷2232)()(y x y x __________． 10．=-2 32])[(x y __________．
分式加减运算(讲义)(含答案)
分式加减运算（讲义） ? 课前预习 1. 观察下列分数加减运算的式子： 121235555++==， 121215555--==-， 1132325236666++=+==， 1132321236666--=-==． 猜一猜，______b c a a +=，______b c a a -=， _________b d bc a c ac +=+=，___________b d bc a c ac -=-=． ? 知识点睛 1. 分式的通分： 根据_______________，异分母的分式可以化为_______的分式，这一过程称为分式的通分． 对异分母分式进行通分时，需要注意两点： ①为了计算方便，通常取最简公分母（即各分母的所有因式的最高次幂的积）作为它们的共同分母． ②分子、分母是多项式时，通常先因式分解，再找最简公分母． 2. 分式的加减法法则： 同分母的分式相加减，_______不变，把_______相加减； 异分母的分式相加减，先_______，化成_________________，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算． 3. 分式混合运算顺序： 先算乘方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，先算括号里面的． 分式化简计算时，需要注意两点： ①在进行分式运算前，要先把分式的分子和分母_________，能约分的，通常先约分． ②分式的乘除要______，加减要______，最后的结果要化成______________． ? 精讲精练 1. 分式的加减运算：
（1）a b a b ab ab +-+； （2）22+a b a b a b -+； （3）3 45 +1+1+1x x x x x x +++-； （4）251222x x x x x x -+-----； （5）315 5a a a -+； （6）22142a a a ---； （7）211 393a a a a a -+---+； （8）222m n mn m n m n n m +++--；
分式加减法一教学设计教案
§3.3分式的加减法(一) 教学目标 (一)知识与技能目标 1、会进行简单分式的加减运算，具有一定的代数化归能力． 2、引导学生不断小结运算方法和技巧，提高运算能力． （二）过程与方法目标 探索分式加减运算法则的过程，理解其算理 （三）情感与价值目标 在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生“用数学”的意识和能力 教学重点：分式的加减运算． 教学难点：异分母的分式加减法运算． 教学过程 一、情境引入： 从甲地到乙地有两条路，每条路都是3km ，其中第一条是平路，第二条有1km 的上坡路，2km 的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为vkm/h ,在平路上的骑车速度为2vkm/h ，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h ，那么当走第二条路时，她从甲地到乙地需要多长时间？12()3h v v + 她走哪条路花费时间少？少用多长时间？123()32h v v v +- 想一想 2、解读探究 同分母分数如何加减？（学生举例）你认为12a a +应该等于什么？ 二、讲授新课 1.猜一猜，同分母的分式应该如何加减？ 同分母的分式相加减，分母不变把分式相加减 做一做（1）24()22 x x x +=--_____________ （2）213()111 x x x x x x +---+=+++__________ 想一想：异分母分数如何加减？（学生举例） 你认为异分母的分式应该如何加减？比如314a a +应该怎样计算？ 2.议一议：小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变成了同分母分式的加减问题。小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同。 小明：
分式的加减运算
分式的加减运算 八年级数学（下）教案 班级：________姓名：_______学号：________学习内容： 8.3分式的加减运算学习目标： 1、知识目标：会进行分式加减法的运算. 2、能力目标：通过类比分数的加减运算，得出分式的加减法的运算法则，培养学生的想象能力.学习重点：同分母的分式加减法及简单的异分母的分式加减法.学习难点：当分式的分母是多项式时的分式的减法.学习过程： 一、情景创设 问题1。回顾分数如何相加减，思考两个分式如何相加。两个分式怎样相减。 二、探索活动 bcbc+=。-=。aaaabcbc（2）异分母的分式怎样相加。怎样相减。如：=。=。adad（1）同分母的分式怎样相加。怎样相减。如：（3）你能说明你的猜想是正确的吗。 三、知识点1.同分母的分式加减法. 公式：+=bacabcb c，-aaa=b ca文字叙述：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.2.异分母的分式加减法. 公式：
四、例题讲解例 1、计算：（1）bacdbd acbcbd ac，adadad文字叙述：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 13a22a3m2nn2m（2）（3）aaa1a 1n mm nn m小结：（1）注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号.（2）注意符号问题（3）把分子相加减后，如果所得结果不是最简分式，要约分.1例 2、计算：（1）25a1a12（2）xxa1a1例 3、计算：（1）214a2（2）x242x42a 五、练习：①书本第45页练习②随堂作业 六、作业：补充习题及大练习册 七、小结： 1.同分母分式相加减，分母不变，只须将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号. 2.对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分. 3.异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化. 4.作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式.2 8、3分式的加减作业 班级：________姓名：_______学号：_______一、请你填一
分式的加减法练习题
分式加减法 一．填空题 1.若代数式 132 4 x x x x ++÷++有意义,则x 的取值范围是__________. 2.化简1 31224 a a a -?? - ÷ ? --? ? 的结果是___________. 3.若 2 2 2 2 2 2M xy y x y x y x y x y --= + --+ ,则M=___________. 4.公路全长s 千米,骑车t 小时可到达,要提前40分钟到达,每小时应多走____千米. 5.某班a 名同学参加植树活动，其中男生b 名(b 7.若1 13 x y -=，则 232x xy y x xy y +---= __________________ 二．选择题 1.下列等式中不成立的是（ ） A 、 y x y x --2 2=x －y B 、 y x y x y xy x -=-+-2 22 C 、y x y xy x xy -= -2 D 、xy x y y x x y 2 2 -= - 2.下列各式中，从左到右的变形正确的是( ) A 、y x y x y x y x ---=--+- B 、y x y x y x y x +-= --+- C 、 y x y x y x y x -+=--+- D 、 y x y x y x y x +-- =--+- 3.如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线, 称得它的质量为a 克，再称得剩余电线的质量为b 克, 那么原来这卷电线的总长度是 ( ) A ． b+1a 米 B ．（b a ）米 C ．（a+b a ）米 D ．（a b +1）米 4.已知a ，b 为实数，且ab=1，设M=1 1 ++ +b b a a ，N= 1 11 1++ +b a ，则M ，N 的大小关系 是（ ） A 、M>N B 、M=N C 、M 分式加减乘除运算练习题 一.填 空： 1.x 时，分式 2 x 有意义； 当 x 时，分式 3x 2 有意义； x 4 2x 1 2x 5 时，分式 x 2 1 的值等于零 . 2. 当 x= 时，分式 的值为零；当 x 1 x 2 1 x 3. 如果 a =2，则 a 2 ab b 2 = 4. 分式 2c 、 3a 、 5b 的最简公分母 b a 2 b 2 3ab bc 2ac 是 ； 5. 若分式 x 1 的值为负数，则 x 的取值范围是 . 3x 2 6. 已知 x 2009 、 y 2010 ，则 x x 2 y 2 ＝ y y 4 x 4 二．选择题 7.( 更易错题 ) 下列分式中，计算正确的是 ( ) A 、 2(b c) 2 B 、 a b 1 2 b 2 a b a 3( b c) a 3 a C 、 (a b) (a b) 2 x y 1 1 2 D 、 x 2 y 2 y x 2xy 8. 若把分式 x y 中的 x 和 y 都扩大 3 倍，那么分式的值 ( ) 2xy A 、扩大 3 倍 B 、不变 C 、缩小 3 倍 D 、缩小 6倍 9. 下列各式中，从左到右的变形正确的是 ( ） A 、 x y x y x y x y C 、 x y x y x y x y B 、 x y x y x y x y D 、 x y x y x y x y 三：化简 1. 12 2 2.a+2 4 2 9 3 m － m 2 a 2 x2 5y 10y a b b c c a 3. 2 6x 21x 2 4. bc ac 3y ab 5. 1 x y x2 x 2 y 2 6. ( x 2 x 2 ) x 2 4 x 2 y 4xy 4 y2 x 2 x 2 x2 7. 2 x 6 ÷x 3 3a 9a 2b 8. 1 4b 3a x 2 x 2 4x 4 2b 12.3分式的加减 教学目标： 1.经历用类比、观察、联想的方法探索分式通分的过程，理解通分与最简公分母 的意义。 2.能够正确、熟练地运用分式的基本性质将分式通分。 3. 经历探索分式加减运算法则的过程，理解其算理，会进行简单分式的加减运算。 4.逐步进行数学的演绎推理，提高对数学的理解思考能力，进一步体会分式的模 型思想。 教学重难点： 重点：明确分式的加减运算法则。 难点：计算分式的加减。 教学过程： 一、回忆旧知——分式的乘除法计算 二、导入新知——分式的加减 类比分数的加减运算，观察、总结并归纳分式的加减运算。 1.同分母分式的加减运算 1313?；=______，法则是______________________与的______相同，称为分数，+ 5555bcbc与的______相同，称为_______分式，±=_______．法则是：____________． aaaa同分母的分式加减运算法则：同分母的两个分式相加（减），分母不变，把分子相加（减）。 题型1： xy+=________．（1）．（基本技能题）计算：yy?xx?3b3a- =________）．（基本技能题）计算：（2．2a2a注意：分式加减运算的结果要化为最简分式 页4 共页1 第 2．异分母分式的加减运算 1212与的______不同，称为______分数，+=______，?运算方法为___________； 3223nnmm与称为_______分式，±=_______，运算方法为____________________． bbaa异分母的两个分式相加减法法则：异分母的两个分式相加（减），先通分，化为同分母的分式，再相加（减）。 像这样，把几个异分母分式分别化为与他们相等的同分母分式，叫做分式的通分，这个相同的分母叫做这几个分式的公分母。 nm,都是分式的（c为非0整式）几个分式的公分母不止一个，通分时一般选取最简公分母。如cab ba是最简公分母。公分母，但ac 找最简公分母时，如果各分母是单项式，确定最简公分母的方法：）取各分母系数的最小公倍数；（1 ）但凡出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（2 （3）同底数幂取次数最高的，这样得到的积就是最简公分母。：如果 各分母都是多项式，确定最简公分母方法：首先把各分母因式分解，然后把每个因式（或一个字注母），再按照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去求最简公 分母。练习题1．在括号内填入适当的代数式：32x()?xyx2()??（1）（2） 222(x?y)x?yxy2axym?25，的最简公分母是___________，通分的结果为 _______________________．2．22mm??13 =________.3．（技能题）计算：+2a4ab22212．（易错题）计算：++．4233?mm??m9页4 共页2 第 21+=________．5．（技能题）计算：2(a?1)a1? 三、课堂练习 基础能力题 111++等于（．化简）1xx23x13115A．B．C．D．2x2x6x6x3xx?y7y+-得（）2．计算 yxx?x?44y4y?y2x?62x?6y A2 ．- ．-2 D．B．C y?4?4yxx2b23．计算a-b+得（） a?b222ba?a?b?2b A．B．a+b C．D．a-b a?ba?b2y?2xymy?x4．若=+，则m=________．2222y?xyx?yx?121--的值等于零时，则x=_________．5．当分式21x?x1??x1b1?b．-．如果 《分式加减法（1）》的教学设计 教学内容：义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级（下册）第十六章第二节第2课时 课时安排： 1课时 学情分析： 学生认知基础：学生在小学时已经学习过同分母分数加减及异分母分数加减的运算法则，并且经历过用字母表示现实情境中数量关系的过程。由此类比分式的加减法，可以猜想分式的加减运算法则。 活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生经历过一些从实际问题建模的思想，因此本节课从实际问题入手，能够引起学生的有意记忆；同时，还与整式运算、分解因式等有密切联系，因此可以加强知识之间的纵向联系。 学习内容分析 分式加减法的教学在教材中安排了两课时。第一课时讲述同分母分式加减法的运算法则及其应用以及简单异分母分式相加减的运算。第二节课则讲述异分母分式加减法的运算法则及分式的通分。在此，我做了部分调整：讲授完同分母分式加减法的运算法则及其应用以后，把第二课时的异分母分式相加减的运算法则也放到本课时，让学生形成连贯的知识，且形成知识的对比记忆，并体会数学中的化归思想， 教学目标： 1、探究同分母分式加减法的运算法则及简单的异分母分式加减法的运算法则。 2、通过实际问题的提出，引导学生自己解决问题，采用类比的方法，帮助学生自己总结知识点。 3结合已有的学习经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气。 教学重点：同分母分式及简单的异分母分式加减法的运算法则。 教学难点：运用运算法则正确求解分式计算问题。 课堂教学结构： 创设情境 引出课题——类比思想 总结法则 ——质疑讨论 归纳法则——课堂小结 布置作业 教学过程： 活动一 创设情境 引出课题 1.P15问题3是一个工程问题，题意比较简单，只是用字母n 天来表示甲工程队完成一项工程的时间，乙工程队完成这一项工程的时间可表示为n+3天，两队共同工作一天完成这项工程的3 11++n n .这样引出分式的加减法的实际背景，问题4的目的与问题3一样，从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算. 2． P115[观察]是为了让学生回忆分数的加减法法则，类比分数的加减法，分式的加减法的实质与分数的加减法相同，让学生自己说出分式的加减法法则. ⒊师归纳：有关分式的加减运算，引出课题。 【设计意图】通过行程问题引入分式的加减运算，既体现了加减运算的意义，又让学生经历了从实际问题建立分式模型的过程，发展学生有条理的思考及代数表达能力。同时在解决实际问题时，教学生用画图的方法理解题意，从而解决问题。 活动二 类比思想 总结法则 ㈠探究同分母分式加减运算法则 分式加减运算的几种技巧 分式加减运算是分式的重点和难点，尤其是导分母分式的加减运算更需要具备扎实的基础知识和解题技巧，下面例谈几种运算技巧。 一、先约分后通分技巧 例1 计算2312+++x x x +4222--x x x 分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算 解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21+x +2+x x =21++x x 二、分离整数技巧 例2 计算233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x -341 2+-x x 分析：前两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，用分离整数方法可使计算化简。 解：原式=231 )23(22+-++-x x x x -651)65(22+-++-x x x x -3412+-x x =1+2312+-x x -1-651 2+-x x -3412+-x x =)2)(1(1 --x x -)3)(2(1--x x -)3)(1(1--x x =)3)(2)(1()2()1(3--------x x x x x x =)3)(2)(1(----x x x x =-)3)(2)(1(---x x x x 三、裂项相消技巧 例3 计算)1(1+x x +)3)(1(2 ++x x +)6)(3(3++x x 分析：此类题可利用)(1m n n +=m 1（n 1-m 1 ）裂项相消计算。 解：原式=（x 1-11+x ）+22（11+x -31+x ）+33（31+x -61+x ） =x 1-61+x =)6(6+x x 四、分组计算技巧 例4 计算21-a +12+a -12-a -21+a 分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a 2-4，第二项、第三项分母乘积为a 2-1，采取分组计算简捷。 解：原式=（21-a -21+a ）+（12+a -12-a ） =44 2-a +142--a =)1)(4(1222--a a 五、变形技巧 例5 已知x 2-3x+1=0，求x 2+21 x 的值。 分析：将已知两边同除以x （x ≠0）可变出x+x 1，然后利用完全平方公式的逆用可求出 x 2+21 x 的值。 解：由x 2-3x+1=0，两边同除以x （x ≠0），得 x-3+x 1=0，即x+x 1=3 所以x 2+21x =（x+x 1）2-2=32-2=7 第 课时 课题：分式的加减法（一） 学习目标： 1、类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则。 2、理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算。 3、通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想。 重点：理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减 难点：分母互为相反式的分式加减法运算。 ： 自主学习，思考问题 一． 探究新知： 备 注 活动1：忆一忆 化简：（1）2a b b a ? （2）1)(2 -÷-a a a a （3）2211y x y x +÷- 做一做：=+3231 =-7271 =+8381 =-125 127 同分母分数加减运算法则： 猜一猜 =+a a 21 =-x x 12 =+b b 25 23 =-y y 3437 同分母分式加减运算法则： 用式子表示为： 我的疑惑？ 二． 新知梳理： 备 注 知识点一：同分母分式加减运算法则： 重难探究，解决问题 探究问题一： 1同分母的分式加减法的运算 2分子是多项式时，一定记得添括号后再进行加减运算。 1 计算 （1）ab b a a b b a -+ +； （2）2422---x x x 。 （3） n m n m n m n m ++-+-42； （4）1 3 1112+-+ +--++x x x x x x . 探究问题二: 1、学会用转化的思想将分母互为相反式的分式加减运算转化成同分母分式的加减法。 2、分子是多项式时，一定记得添括号后再进行加减运算。 （分母互为相反数） （1） a b b b a a 222-+-； （2）x x x --+-1112 （3）m n n n m n m n n m -- -+-+22 当堂检测 1 计算 (1)y x y y x x -+-； （2）a a a a ----12112 2提升训练（选做） （1）n m m n m n m n n m -+ ----99695 （2） y x y x y x y x y x y x 442+--++--+- 分式的加减（基础） 【学习目标】 1．能利用分式的基本性质通分． 2．会进行同分母分式的加减法． 3．会进行异分母分式的加减法． 【要点梳理】 要点一、同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： a b a b c c c ±±=. 要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 要点二、分式的通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母. （2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母. （3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言. 要点三、异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±=±=. 要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 要点四、分式的混合运算 与分数的加、减乘、除混合运算一样，分式的加、减乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式. 要点诠释：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握.. （2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的. （3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度. 分式加减运算参考答案 1．原式===1+1=2． 2．原式=a2﹣a+=a2﹣a+a=a2． 3．==． 4．原式===． 5．原式=+==． 6．原式===． 7．==． 8．原式===a﹣1． 9．原式==．10．+=+=+==1． 11．原式=﹣==． 12.原式=﹣=﹣=． 13．原式=+== = 14．原式=+==． 15．=﹣=﹣==﹣1． 16．（1）原式=； （2）原式= 17．== ==． 18．原式=1﹣====．19．原式=﹣?==．20．===0． 21．原式=+==． 22．原式=﹣==． 23．原式=====1． 24．原式== ==；x的取值范围是x≠﹣2且x≠1的实数． 25．原式==． 26．= ===0 27．原式=﹣﹣== 28．=． 29．原式=++ =+++++=0． 30．原式=+﹣ ==．31．（1），=，=； （2）+…+=﹣+﹣+…+﹣=﹣=． 32．==﹣2 33． =（2a+1）+﹣（a﹣3）﹣﹣（3a+2）++（2a﹣2）﹣ =[（2a+1）﹣（a﹣3）﹣（3a+2）+（2a﹣2）]+（﹣+﹣） =﹣+﹣=﹣ =． 34．原式=﹣=﹣=== 35．原式== ==﹣ 36．原式==== 37．原式== 38．原式=+﹣ == 39．原式=++ =+﹣ ==== 40．原式=+++=++ =++=+ =+=． 41．设2x2+3x=y，则原式=﹣+ == =． 42．原式=﹣a+2=a+1﹣a+2=3． 43. 原式====． 44．原式===，=== 45.=﹣=== 46．=== == 47．原式=， 分式加减运算的几种技巧 分式加减运算是分式的重点和难点，尤其是导分母分式的加减运算更需要具备扎实的基础知识和解题技巧，下面例谈几种运算技巧。 一、先约分后通分技巧 x 1 x2 2x 例1计算x2 3x 2 +x24 分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算 x1 X(X 2) 1 x X 1 解:原式=(x 1)(x 2) + (x 2)(x 2) = T"2 + T~2 = T"2 二、分离整数技巧 2 2 x2 3x 3 x 5x 7 1 例2计算x2 3x 2 - x2 5x 6 - x2 4x 3 分析：前两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，用分离整数方法可使计算化简。 2 (x23x 2) 1 2 (x25x 6) 1 1 解：原式 =x23x 2 - 2 x 5x 6 -x2 4x 3 1 1 1 =1+ x23x 2 -1- x2 5x 6 - x2 4x 3 1 1 1 =(x 1)(x 2) - (x 2)(x 3) - (x 1)(x 3) x 3 (x 1) (x 2) x x =(x 1)(x 2)(x 3) = (x 1)(x 2)(x 3) =- (x 1)(x 2)(x 3) 三、裂项相消技巧 1 2 3 例 3 计算x(x 1) + (x 1)(x 3) + (x 3)(x 6) 1 丄1 丄 分析：此类题可利用n(n m) = m ( n - m )裂项相消计算。 1 2 1 3 1 1 解：原式=(x - x 1)+2 ( x 1 - x 3)+3 ( x 3 - x 6) 1 1 6 =x - x 6 = x(x 6) 四、分组计算技巧 1 2 2 1 例4计算a 2 + a 1 - a 1 - a 2 分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a2-4，第二项、第三项分母乘积为a2-1, 采取分组计算简捷。 1 1 2 2 解：原式=(a 2 - a 2)+ ( a 1 -a 1 ) 4 _12 =a24 +a21 = (a24)(a2 1) 五、变形技巧 例5已知X2-3X+仁0 ,求x2+ x2的值。 1 分析：将已知两边同除以 x (x工0)可变出x+ X，然后利用完全平方公式的逆用可求出 丄 x2+ X?的值。 解：由X2-3X+仁0,两边同除以x (X M 0),得 1 1 x-3+ x =0，即卩 x+ x =3 11 所以 x2+ x2 =(x+ x) 2-2=32-2=7 分式的运算第二课时 6、分式的乘，除，乘方： 分式的乘法：乘法法测： 〃=. 分式的除法：除法法则： ÷=〃= 分式的乘方：求n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是( )n .分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：()n =(n 为正整数) 例题： 计算：（1）7 4 6239251526y x x x -? （2）13410431005612516a x a y x ÷ （3）a a a 1?÷ 计算：（4）2 4222a ab a b a ab a b a --?+- （5）425 5222--?+-x x x x （6）2144122++÷++-a a a a a 计算：（7）32 2 346y x y x -?（8）a b ab 2362÷- （9）()2xy xy x x y -?- 计算：（10） 2 2221106532x y x y y x ÷ ? （11）22213(1)69x x x x x x x -+÷-?+++ 计算：（12）1 1 12421222-÷+--?+-a a a a a a （13）()633446222-+-÷--÷+--a a a a a a a b a d c b d ac b a d c b a c d bc ad b a b a n n b a 求值题： （1）已知：43=y x ，求xy x y xy y xy x y x -+÷+--2 2 2 2222的值。 （2）已知：x y y x 39-=+，求222 2y x y x +-的值。 （3）已知：311=-y x ，求y xy x y xy x ---+2232的值。 例题： 计算：（1）232()3y x =（2）5 2??? ??-b a = （3）3 2 3 23??? ? ? ?-x y = 计算：（4）3 222??????????? ??a b =（5）()4 3 22ab a b b a -÷? ??? ??-???? ??- 求值题： （1）已知： 432z y x == 求2 22z y x xz yz xy ++++的值。 （2）已知：0325102 =-++-y x x 求y xy x x 222++的值。 17.2分式的运算 17.2.2 分式的加减法（1） 同步练习 一、请你填一填(每小题4分,共36分) 1. 异分母分式相加减，先________变为________分式，然后再加减. 2. 分式xy 2,y x +3,y x -4的最简公分母是________. 3. 计算：2223 2 1xyz z xy yz x +-=_____________. 4. 计算：)11(1x x x x -+-=_____________. 5. 已知22y x M -=2222y x y xy --+y x y x +-,则M=____________. 6. 若（3－a ）2与|b －1|互为相反数，则b a -2的值为____________. 7. 如果x ＜y ＜0，那么x x ||+xy xy ||化简结果为____________. 8. 化简y x y x --2 2的结果为____________. 9. 计算22+-x x －2 2-+x x =____________. 二、判断正误并改正: (每小题4分,共16分) 1. a b a b a a b a a b a --+=--+=0（ ） 2. 1 1)1(1 )1(1 )1()1(1 )1(22222-=--=---=-+-x x x x x x x x x （ ） 3. )(21 21 21 2222y x y x +=+（ ） 4.2 22b a c b a c b a c +=-++（ ） 三、认真选一选:(每小题4分,共8分) 1. 如果x ＞y ＞0,那么x y x y -++11的值是（ ） 第五章分式与分式方程 分式的加减法（一） 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在小学时已经学习过同分母分数的加减，异分母分数的加减运算法则，在初一学习了整式的加减，在上一章学习了因式分解，本章又学习了分式及其乘除，都为这一节课的学习做好了铺垫。由分数加减运算类比分式的加减是这节内容的要害。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生经历过许多类比和猜测的活动，如实数的加减运算类比整式的合并同类项；由n 10在0 < n n时的值的情况去猜测0 > 时的情况，由正整数相乘去发现规律猜测与负整数的乘法等，这些活动经验都为本节学习有很好的启迪。 二、教学任务分析 同分母分式的加减法是最简单的，也是学习异分母的分式加减的基础，所以作为起始节也是工具节内容，它就要求教学时务必使学生理解它并且能够灵活运用，对分母互为相反式的分式加减，能明白改变运算符号的实质。因此，本节课的教学目标定位为： 1、类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则。 2、理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算。 3、通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想。 三、教学过程设计 本节课设计了6个教学环节：情景引入——同分母加减——练习巩固——拓展提高——课堂小结——布置作业 第一环节情景引入 活动内容 做一做：=+3231 =-7271 =+8381 =-12 5127 猜一猜 =+a a 21 =-x x 12 =+b b 2523 =-y y 3437 活动目的：通过做一做的几道同分母分数加减的题，引导学生用类比的思想，猜一猜同分母分式的加减运算，并试图让学生认识其合理性。从而抛出同分母分式加减法的运算法则，点明本节课的主要内容。 活动的注意事项：通过人人都可以入手的做一做，让学生回答，可以使学生很快进入状态又不觉得困难。而后两个运算后要约分，学生极有可能报出没有约分的答案。因此，类比时注意引导学生，正确猜想，约分是分数的必要步骤哦，使法则的提出顺理成章，也为后面的学习做好铺垫。 运算法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为： a c b a c a b ±=± 第二环节 同分母加减 活动内容 学习了同分母分式加减法的法则，是否会用还得先讲再练： 例1（1）ab b a ab b a -++； （2）2422---x x x ； （3）n m n m n m n m ++-+-42； （4）1 31112+-++--++x x x x x x . 活动目的：教学生如何运用法则进行运算，通过这4道例题，让学生学会加减法运算并注意运算时可能出现的问题。 活动的注意事项：在进行运算时若分子是多项式的，分子要先带括号，再去括号后合并同类项；运算结果也类比分数加减法的结果，要化成最简形式，即约去分子与分母的所有公因式——化简。 第三环节 练习巩固 活动内容 练一练 5.3.1分式的加减法 ----同分母的分式的加减法 课时安排说明： 本节内容一共安排了三课时。第一节课阐述同分母的分式加减法的运算法则及分母互为相反式的分式加减法运算。第二节课则阐述异分母分式的通分、加减法的运算法则及简单的应用，第三节课则提升到分母有公因式的分式加减法、分式与整式的加减运算、分式的求值及应用。这样安排，给学生一个简单到复杂的认识过程，有了第一节的铺垫，使学生对分式加减法的掌握并不觉得难，且本节对于第三章分式的学习有着至关重要的作用，是后面根据实际生活问题列出分式方程，并求出正确答案的基本功，教学时必须踏踏实实。 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在小学时已经学习过同分母分数的加减，异分母分数的加减运算法则，在初一学习了整式的加减，在上一章学习了因式分解，本章又学习了分式及其乘除，都为这一节课的学习做好了铺垫。由分数加减运算类比分式的加减是这节内容的要害。 二、教学任务分析 同分母分式的加减法是最简单的，也是学习异分母的分式加减的基础，所以作为起始节也是工具节内容，它就要求教学时务必使学生理解它并且能够灵活运用，对分母互为相反式的分式加减，能明白改变运算符号的实质。因此，本节课的教学目标定位为： 1、类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则。 2、理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算。 3、通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想。 三、教学过程设计 本节课设计了6个教学环节：情景引入——同分母加减——练习巩固——拓展提高——课堂小结——布置作业 第一环节 情景引入 活动内容 做一做：=+3231 =-7271 =+8381 =-12 5127 猜一猜 =+a a 21 =-x x 12 =+b b 2523 =-y y 3437 活动目的：通过做一做的几道同分母分数加减的题，引导学生用类比的思想，猜一猜同分母分式的加减运算，并试图让学生认识其合理性。从而抛出同分母分式加减法的运算法则，点明本节课的主要内容。 活动的注意事项：通过人人都可以入手的做一做，让学生回答，可以使学生很快进入状态又不觉得困难。而后两个运算后要约分，学生极有可能报出没有约分的答案。因此，类比时注意引导学生，正确猜想，约分是分数的必要步骤哦，使法则的提出顺理成章，也为后面的学习做好铺垫。 运算法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为：a c b a c a b ±=± 第二环节 同分母加减 活动内容 学习了同分母分式加减法的法则，是否会用还得先讲再练： 例1（1）ab b a ab b a -++； （2）2x 42x x 2---； （3）n m n m 4n m n 2m ++-+-； （4）1 x 3x 1x 1x 1x 2x +-++--++. 活动目的：教学生如何运用法则进行运算，通过这4道例题，让学生学会加减法运算并注意运算时可能出现的问题。 活动的注意事项：在进行运算时若分子是多项式的，分子要先带括号，再去括号后合并分式加减乘除运算练习题.doc
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