材料力学第四章 弯曲内力

§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 二、内力图特征
外力 情况
FQ
q(x)=0
q(x)=C＜0 C
FQ FQ
②
F
m C
FQ图
特征
① ②
x
①
③
x
F
③
⑤ ④ ① ② ③
FQ
x x x x x
C ①
③
②
x
水平直线
③1 ③3 ③2
向下斜直线
C 处有突变 与F 方向一致
①
C 处无变化
② ③ ①
M图
特征
M
x
x2
x 72 8 x 88
x 3.6m

x1
dM ( x) FQ ( x)dx
x1
M 2 M1 FQ ( x)dx
x1
M1 0 M 2 72 2 144kN m CB段 F 72kN Q3 FQ4 72 20 8 88kN M3 72 2 160 16kN m M 4 20 2 20 2 1 80kN m
第4章 弯曲内力
例题5
q0 A
1 2 q0l
试作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图
q (x) 一次直线
x
解： 1、求x截面荷载集度
B
l
q0 q ( x ) (l x ) l
2、列内力方程
二次曲线
FQ
1 2 6 q0l
三次曲线
M
1 1 q0 FQ ( x) q ( x)(l x) (l x) 2 2 2 l 1 1 M ( x) q( x)(l x) (l x) 2 3 q0 (l x)3 6l
Q
水平直线材料力学ຫໍສະໝຸດ 第4章 弯曲内力例题4
A
FR A
试作图示简支梁的剪力图和弯矩图
m C
x
a l
m l
B
b
FR B
解： 1、求支反力
m m
A B
0 FRB m l 0 FRA m l
水平直线
FQ
无变化
2、列内力方程 分段函数
有突变 值为m
M
mb l
斜向下直线 斜率： FQ m l
4 Fa Fa M B 0 FRA 3a 2 F 集中力F作用的左侧与右侧，剪力有 突变，突变值为F，弯矩不变.
4-4 5-5
FQ4 FRA F F
M 4 FRAa Fa Fa
3-3
FQ5 FRB F M 5 FRB a Fa
M 3 FRAa 2Fa
几何意义：FQ图上某点的切线斜率等于梁上该点处的荷载集度q
mC 0 M ( x)+dM ( x) M ( x) FQ ( x)dx q( x)dx
dM ( x) FQ ( x) dx
dx 0 2
高阶微量≈0
几何意义：M图上某点的切线斜率等于梁上该点处的 剪力值FQ
材料力学
几何意义：FQ图上某点的切线斜率等于梁上该点处的荷载集度q 几何意义：M图上某点的切线斜率等于梁上该点处的 剪力值FQ 几何意义：反应M图曲线的凹凸方向.
x
M
q (x)
d 2 M ( x) q( x)＞0 2 dx
q (x)
M
d 2 M ( x) x q( x)＜0 2 dx
材料力学
第4章 弯曲内力
m F q B F RB
梁变形后轴线
纵向对称面
F RA
材料力学
第4章 弯曲内力
§4-1 概述 四、梁的分类 简支梁：一端固定铰支，一端 可动铰支； 悬臂梁：一端为固定端，一端 自由； 外伸梁：简支梁的一端或两端 外伸一部分； 多跨静定梁（联合梁） 简支梁 悬臂梁 外伸梁
F A
主梁 （基本部分）
C 次梁 （附属部分）
集中力偶m作用的左侧与右侧，弯 矩有突变，突变值为m，剪力不变.
材料力学
第4章 弯曲内力
§4-3 剪力图和弯矩图 一、剪力方程和弯矩方程
q A
x l
将梁各截面上的剪力、弯矩，表示 为随横截面的位置x之间函数。
即：FQ、M随x的变化规律
B
剪力方程 弯矩方程
FQ FQ ( x)
M M ( x)
FQ
二、剪力图和弯矩图
以x为横坐标，以FQ、M 为纵坐标， 绘制FQ F（ ）、M M （x）的关系图线， Q x 即为剪力图、弯矩图。
x
正的剪力画在x轴的上侧，负的画在下侧. 正的弯矩画在x轴的下侧，负的画在上侧. 弯矩图画在受拉侧.
M
x
材料力学
第4章 弯曲内力
例题2
A
FR A
1 2 ql
试作图示简支梁的剪力图和弯矩图
q B
x
l
FR B
解：
1、求支反力 2、列内力方程
FRA FRB
ql 2
斜向下的直线
1 2 ql
FQ
ql FQ ( x) FRA qx qx 2 1 2 1 1 2 M ( x) FRA x qx qlx qx 2 2 2
3、绘制内力图 剪力方程为一次函数，直线图形.
80
M
16
(kN· m)
144
113.6
M1 0 M 2 144kN m CB段 FQ3 72kN FQ4 88kN M3 16kN m M 4 80kN m 极值点 x 3.6m
2 M 2 M1 FQ ( x)dx 1 x1 x2
2、分段求控制截面内力并绘图 AC段 FQ1 FQ1 72kN
y A dx q (x) B x
M (x)
M (x) +dM (x)
C
FQ(x) +d FQ (x)
q (x)
dx
推导
规定q( x)向上为正 取dx微段为研究对象.
F
y
0 FQ ( x) [FQ ( x) dFQ ( x)] q( x)dx 0
dFQ ( x) dx
q( x)
A
FRA
1 1 a
求图示简支梁1-5截面上的内力
F
2 3 2 3 a
m=4Fa
4 5 4 5 a
解：
1、求支反力
FRB
B
FRB
MA 0
4 Fa Fa F 3a
2、求内力
1-1 2-2
FQ1 FRA 2F
M1 0 FQ2 FRA 2F M 2 FRAa 2Fa FQ3 FRA F F
3、绘制内力图 微分关系 积分关系
dFQ ( x) dM ( x) FQ ( x), q ( x) dx dx
dM ( x ) F
Q
( x)dx, dFQ ( x) q( x)dx
材料力学
第4章 弯曲内力
FQ(x)
§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 一、微分关系
2m
解：
1、求支反力
20 10 3 160 20 2 10
mB 0, FRA
72kN
72
FQ
72
m
x
88
A
0, FRB 148kN
(kN)
80
M
2、分段求控制截面内力并绘图 AC段 FQ1 FQ1 72kN
16
(kN· m)
144
极值点
x2
FQ 0
x2 2 1
材料力学
第4章 弯曲内力
20kN
例题6
试用简易方法作图示外伸梁的剪力图和弯矩图
160kN· m 20kN/m
1 2 3 A C 3 1 2
FRA
2m 8m
4 5 6 B 5 6 D 4 FRB
2m
解：
1、求支反力 FRA 72kN FRB 148kN
72
FQ
72
60
(kN)
x
88
FQ F FRB FRA
Fa l
左段梁与右段梁求出的 FQ、M 大小相等、方向相反。
材料力学
第4章 弯曲内力
§4-2 梁的内力—剪力和弯矩 一、内力计算
F m A C m
FR A
二、剪力、弯矩正负号规定
a B
剪力：
FQ
FQ
FQ FQ
剪力绕杆的另一端顺时针转为正，反之为负.
l
FR B
材料力学
第4章 弯曲内力
例题3
A
FR A
试作图示简支梁的剪力图和弯矩图
a
F C
b
解： 1、求支反力
B
FR B
x
l
Fb l
m 0 m 0
A B
FRB Fa l FRA Fb l
2、列内力方程 分段函数 AC段
(0 x a ) F FQ ( x) FRA Fb l 有突变 Fa Fb l 值为F M ( x) FRA x x l M CB段 (a x l ) FQ ( x) FRA Fb l 斜向下直线 Fab 无变化 Fb l M ( x) FRA x x l 斜率：FQ Fb l 3、绘制内力图
材料力学
第4章 弯曲内力
§4-1 概述
外力特点：垂直于杆轴线的横向外 一、工程实际中的受弯杆 力（集中力、分布力）或作用在杆轴 线平面内的力偶。 二、外力特点与变形特点 三、对称弯曲与非对称弯曲 变形特点：杆的轴线弯曲成曲线。 对称弯曲（平面弯曲）：杆有一纵 向对称平面，且外力均作用在该平面 内，由对称性可知，杆轴线变形后将 在此平面内弯曲成一平面曲线，此种 弯曲称为对称弯曲或平面弯曲。 非对称弯曲：杆不具有纵向对称平 面，或虽有纵向对称平面， 但外力不作用在此对称平 对称轴 A 面内，这种弯曲统称为 非对称弯曲。
解：
截面法
A
1、求支反力
x l
FR B
F l a FRB l
M
0
M
B
0
A FR A
C
M
FQ
F a B
2、求内力
Fa FQ FRA l
Fa FRA l 取左段梁
F
y
0
M
C
0
M FQ
M FRA x
剪力
若取右段梁
FR B
弯矩
Fa x l
符合作用力与反作用力定律 Fa M FRB (l x) F ( x a) x FQ、M 正负号也要重新规定. l
1 M 极值 （ 16） 72 3.6 2
M极值 113.6kN m
材料力学
第4章 弯曲内力
第四章 弯曲内力
材料力学
第4章 弯曲内力
• • • • •
本章主要内容 梁的内力（剪力、弯矩） 剪力图、弯矩图 剪力、弯矩与荷载集度之间为微积分关系 叠加法作弯矩图
材料力学
第4章 弯曲内力
梁 斜 水 挡 易 简
§4-1 概述 一、工程实际中的受弯杆
桥大梁
挡 土 墙
工程中存在许多构件，在外力作用下，杆轴线在变形后由直线 变为曲线，此种变形称为弯曲变形。 以弯曲变形为主的杆件称为梁。 二、外力特点与变形特点 外力特点：垂直于杆轴线的横向外力（集中力、分布力）或作 用在杆轴线平面内的力偶。 变形特点：杆的轴线弯曲成曲线。
ma l
(0 x a ) FQ ( x) FRA m l m M ( x) FRA x x l CB段 (a x l ) FQ ( x) FRA m l
AC段 3、绘制内力图
m M ( x) FRB (l x) (l x) l
材料力学
M
1 2 8 ql
极值点
向下凸曲线
FQ ( x)
x 0
ql 2
FQ ( x )
x l
ql 2
dM ( x) ql 令： qx 0 dx 2 1 2 l M max ql x 8 2
弯矩方程为二次函数，抛物线图形.
M ( x) x0 M ( x) xl 0 dFQ ( x) dM ( x) 微分 FQ ( x), q 关系 dx dx
B
联合梁
多跨静定梁
静定梁：仅根据平衡方程就可求出全部 的支座反力和内力，不含多余约束； 超静定梁：仅根据平衡方程不能求出全 部的支座反力和内力，含有多余约束。
静定梁
超静定梁
材料力学
第4章 弯曲内力
§4-2 梁的内力—剪力和弯矩 求图示简支梁m-m截面内力 一、内力计算
F m A C m
FR A
a B
第4章 弯曲内力
FQ(x)
§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 一、微分关系
y A dx q (x) B x
M (x)
M (x) +dM (x)
C
FQ(x) +d FQ (x)
q (x)
dx
推导
dFQ ( x) dx
q( x)
dM ( x ) FQ ( x) dx
d 2 M ( x) q ( x) 2 dx
x
A FR A
C
M
FQ
F a B
弯矩：
M M
M
M
使得梁的底部受拉为正，反之为负.
ΣF
C C
M FQ
ΣF
C C
FR B
FQ
FQ
ΣF
FQ
FQ
ΣF
剪力=截面一侧所有外力的代数和 弯矩=截面一侧所有外力对该截面形心力矩的代数和
不论左段梁、右段梁，向上的外力总是引起该截面正的弯矩
材料力学
第4章 弯曲内力
例题1
③
①
x
②
m
②
①
M
④ ⑤ M
① ③ ② x ② ③ M
x
斜直线 或水平直线
向下凸抛物线
C处有 向下的尖角
C处有向突变 逆时针向上
材料力学
第4章 弯曲内力
20kN
例题6
试用简易方法作图示外伸梁的剪力图和弯矩图
160kN· m 20kN/m
1 2 3 A C 3 1 2
FRA
2m 8m
4 5 6 B 5 6 D 4 FRB