上海市华东师范大学第三附属中学2018_2019学年高一数学上学期期中试卷含解析
2018-2019学年上海市上师大附中高三上学期数学试卷
2018-2019学年上海市上师大附中高三上学期数学试卷 一、填空题1. 函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 ． 【答案】4π2.已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为A B ∠∠，，C ∠所对的边．若222b c a +-=，则A ∠= ． 【答案】4π3.三阶行列式13124765x -中元素5-的代数余子式为()x f ，则方程()0f x =的解为____． 【答案】 2log 3x =4. 抛物线2y x =的焦点坐标是 ． 【答案】 （0，14） 5. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α，β，γ，则222cos cos cos αβγ++= ．【答案】 16. 已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+= ． 【答案】17-7. 已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为 （结果保留π）． 【答案】 12π8. 已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩ ，则11[(9)]f f ---= ．【答案】2-9. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()n n a a a a +⋅⋅⋅++=∞→542lim ，则q = ．【答案】21-510. []x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)2044x x⎡⎤-⋅-=⎣⎦满足x <1的所有实数解是 ．【答案】 1x =-或12x =11. 给出下列函数：①1y x x=+；①x x y +=2；①2x y =；①23y x =；①x y tan =；①()sin arccos y x =；①(lg lg 2y x =-．从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是 ． 【答案】3712. 已知非零向量OP 、不共线，设m m OP m OM 111+++=，定义点集 }|||||{FQ FP F A ==. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式||||21k F F ≤恒成立，则实数k 的最小值为▲________． 【答案】 34二．选择题12. 设集合{}1,2,3,4,5,6M =，1s 、2s 、…、k s 都是M 的含有两个元素的子集，且满足对任意的{},i i i s a b =，{},j j j s a b =(i j ≠且{})1,2,3,,i j k ⋅∈…，都有min ,min ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭{}(min ,x y 表示x 、y 中较小)，则k 的最大值是（）【A 】.10 【B 】．11【C 】．12【D 】．13【答案】B14.设0ab >且c da b>，则下列各式中，恒成立的是（ ） 【A 】ad bc <【B 】.ad bc > 【C 】.d b c a > 【D 】. d b c a <【答案】B15.定义在R 上的函数()f x 满足2201()4210x xx f x x -⎧+≤<=⎨--≤<⎩，且(1)(1)f x f x -=+，则 函数35()()2x g x f x x -=--在区间[1,5]-上的所有零点之和为（ ）【A 】.4； 【B 】 5； 【C 】 7； 【D 】 8. 【答案】B16．已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n na a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n 项和，则以下结论正确的是（ ） 【A 】不存在．．．a 和n 使得2015n S = 【B 】不存在．．．a 和n 使得2016n S =【C 】不存在．．．a 和n 使得2017n S = 【D 】不存在．．．a 和n 使得2018n S = 【答案】A三．解答题18.已知向量11,sin 22a x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭和向量()1,()b f x =，而且a ①b 。
上海师大附中2018-2019学年上学期高一数学期中考试卷附答案解析
上海师大附中2018-2019学年上学期期中考高一数学试题一、单选题1．已知集合Ω中的三个元素l ，m ，n 分别是ABC △的三边长，则ABC △一定不是（）．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．已知a ，b R ∈且0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（）A ．11a b<B ．b a a b<C ．22a b <D ．2ab b <3．函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈R 都有()()f x f x =-恒成立，则()f x （）A ．必是奇函数B ．是奇函数或偶函数C ．必是偶函数D ．不一定是奇函数也不一定是偶函数4．在整数Z 集中，规定被5除所得余数为k 的所有整数组成“一类”，记为[]k ，即[]{}|5,k x x n n Z k ==+∈，0,1,2,3,4k =，给出如下四个结论：①[]20183∈；②[]20183-∈；③[][][][][]01234Z = ；④“整数a ，b 属于同‘一类’”的充要条件是“[]0a b -∈”；其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题5．已知全集U =R ，集合{}|1,A x x x R =≤∈，则U C A =_______6．不等式21x<的解集是________7．函数262x x y x +-=-的定义域是______8．命题“若3x >，则2560x x -+>”的否命题是_______9．若x ，y R ∈，则命题甲“44x y xy +>⎧⎨>⎩”是命题乙“22x y >⎧⎨>⎩”的_______条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”或“既非充分又非必要”）10．已知某班有50个学生，每个学生的家中至少订阅a 、b 两种报纸中的一种，已知订阅a 报的有34户，订阅b 报的有28户，则订阅a 报且不订阅b 报的有______户11．设函数()()()()2200x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，且函数()f x 为奇函数，则()2g -=________12．关于x 的不等式2320kx kx k ++-≤的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________13．函数41y x x =+-的值域是________14．已知()f x 为二次函数，且不等式()0f x <的解集是(2017,2019)-，若2(1)(1)f t f t ->+，则实数t 的取值范围是__________．15．设A 是集合{}123456S=,,,,,的非空子集，称A 中的元素之和为A 的“容量”，则S 的所有非空子集的“容量”之和是_______16．已知函数()f x 的图像在[],a b 上连续不断，定义：若存在最小正整数k ，使得()()f x k x a ≤-对任意的[],x a b ∈成立，则称函数()f x 为[],a b 上的“k 函数”，若函数()3f x x m =+是[]1,2上的“2函数”，则实数m 的取值范围是______三、解答题17．已知集合{}|14A x x =+<，1|02x B x x a -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭.（1）求A 和B ；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.18．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，当顾客在商场内消费一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围[)200,400[)400,500[)500,700[)700,900…获得奖券的金额（元）3060100130…根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：4000.230110⨯+=元，设购买商品得到的优惠率＝（购买商品获得的优惠额）/（商品标价），试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在[]500,800（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于13的优惠率？19．设n 为正整数，规定：(){}n n f f f f f x =⎡⎤⎣⎦ 个，已知()()2101112x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-<≤⎩.（1）解不等式：()f x x ≤；（2）求201889f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.20．已知函数()232f x x ax b =--，其中a ，b R ∈.（1）若不等式()0f x ≤的解集是[]0,6，求b a 的值；（2）若3b a =，对任意x ∈R ，都有()0f x ≥成立，且存在x ∈R ，使得()223f x a ≤-成立，求实数a 的取值范围；（3）若方程()0f x =有一个根是1，且a ，0b >，求11212a b +++的最小值，并求此时a ，b 的值.21．已知有限集{}123,,,n A a a a a = ()*2,n n N≥∈，如果A 中元素()11,2,3,a i n = 满足121n n a a a a a a =+++ ，就称A 为“复活集”.（1）判断集合1515,22⎧⎫-+--⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是否为“复活集”，并说明理由；（2）若1a ，2a R ∈，且{}12,a a 是“复活集”，求12a a 的取值范围；（3）若*1a N ∈，求证：“复活集”A 有且只有一个，且3n =.解析上海师大附中2018-2019学年上学期期中考高一数学试题一、单选题1．已知集合Ω中的三个元素l ，m ，n 分别是ABC △的三边长，则ABC △一定不是（）．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】D【解析】根据集合中元素的互异性，即可得到答案．【详解】因为集合中的元素是互异的，所以l ，m ，n 互不相等，即ABC △不可能是等腰三角形．故选D ．【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及元素的基本特征，其中解答中熟记集合中元素的互异性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．2．已知a ，b R ∈且0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（）A ．11a b<B ．b a a b<C ．22a b <D ．2ab b <【答案】B【解析】结合0a b <<,对,a b 赋值，逐个分析选项即可得解.【详解】由0a b <<，可令2,1a b =-=-对A:11a b>不成立；对B:122b aa b=<=成立；对C:22a b >不成立；对D:222ab b =<=不成立.故选：B 【点睛】本题考查了不等式比较大小，是基础题.3．函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈R 都有()()f x f x =-恒成立，则()f x （）A ．必是奇函数B ．是奇函数或偶函数C ．必是偶函数D ．不一定是奇函数也不一定是偶函数【答案】D【解析】通过举满足题意的反例1,1()1,1x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，可得解【详解】取函数1,1()1,1x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，对任意x ∈R 都有()()f x f x =-恒成立，但是不具有奇偶性.故选：D 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断,通过举反例可说明函数不具有奇偶性.4．在整数Z 集中，规定被5除所得余数为k 的所有整数组成“一类”，记为[]k ，即[]{}|5,k x x n n Z k ==+∈，0,1,2,3,4k =，给出如下四个结论：①[]20183∈；②[]20183-∈；③[][][][][]01234Z = ；④“整数a ，b 属于同‘一类’”的充要条件是“[]0a b -∈”；其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据“一类”的定义分别进行判断即可．【详解】①201854033÷=⋯ ，2018[3]∴∈，故①正确；②20185(404)2-=⨯-+，2018[3]-∉，故②错误；③因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃，故③正确；④ 整数a ，b 属于同“一类”，∴整数a ，b 被5除的余数相同，从而-a b 被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．故④正确．正确的结论为①③④3个．故选：C ．【点睛】本题主要考查新定义的应用，利用定义正确理解“一类”的定义是解决本题的关键，是中档题．二、填空题5．已知全集U =R ，集合{}|1,A x x x R =≤∈，则U C A =_______【答案】()1,+∞【解析】根据补集的概念直接求解即可.【详解】全集U =R ，集合{}|1,A x x x R =≤∈，则U C A =(){|1}1,x x >=+∞故答案为：()1,+∞【点睛】本题考查补集的运算，是简单题.6．不等式21x<的解集是________【答案】(,0)(2,)-∞+∞ 【解析】由21x <可得20x x->,结合分式不等式的求法即可求解．【详解】解：由21,x <可得20,x x-<，整理可得，20,x x->，解可得，(,0)(2,)x ∈-∞⋃+∞．故答案为：(,0)(2,)-∞+∞ 【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础试题．7．函数262x x y x +-=-的定义域是______【答案】[)(]2,22,3- 【解析】根据偶次根式下大于等于0，分母不为0，列不等式组，求解即可.【详解】函数262x x y x +-=-有意义，则26020x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩解得23x -≤≤且2x ≠，∴函数262x x y x +-=-的定义域为[)(]2,22,3- .故答案为：[)(]2,22,3-【点睛】本题考查函数的定义域，列出使函数有意义的不等式组求解即可.是基础题.8．命题“若3x >，则2560x x -+>”的否命题是_______【答案】若3x ≤，则2560x x -+≤【解析】根据否命题的定义写出其否命题即可.【详解】命题的条件是3x >，结论是：2560x x -+>，根据否命题的定义，否定的条件，得否定的结论，∴其否命题是：3x ≤，则2560x x -+≤；故答案为：若3x ≤，则2560x x -+≤【点睛】本题考查写出命题的否命题，对条件和结论同时否定是解题的关键.9．若x ，y R ∈，则命题甲“44x y xy +>⎧⎨>⎩”是命题乙“22x y >⎧⎨>⎩”的_______条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”或“既非充分又非必要”）【答案】必要不充分【解析】根据充分必要条件的定义判断即可．【详解】由甲推不出乙，比如x=1，y=7，故不是充分条件，由乙可推出甲，是必要条件，则命题甲“44x y xy +>⎧⎨>⎩”是命题乙“22x y >⎧⎨>⎩”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分【点睛】本题考查了充分必要条件的定义，考查不等式问题，是一道基础题10．已知某班有50个学生，每个学生的家中至少订阅a 、b 两种报纸中的一种，已知订阅a 报的有34户，订阅b 报的有28户，则订阅a 报且不订阅b 报的有______户【答案】22【解析】先求得既订阅a 报又订阅b 报的户数，进而可求得订阅a 报且不订阅b 报的户数.【详解】设A 为订a 报家的集合，B 为订b 报家的集合，由题意()34,()28,()50n A n B n A B === ,()()()()34285012n A B n A n B n A B ∴=+-=+-= ,所以订阅a 报且不订阅b 报的户数是()()34-12=22n A n A B -= .故答案为：22【点睛】本题考查了容斥原理公式：A 类B 类元素个数总和=属于A 类元素个数+属于B 类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数11．设函数()()()()2200x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，且函数()f x 为奇函数，则()2g -=________【答案】6-【解析】由题可得()2(2)g f -=-，利用函数()f x 为奇函数求得()()22f f -=-，进而得解.【详解】由题可得()2(2)g f -=-，因为函数()f x 为奇函数，()()222=-(2+2)=-6f f ∴-=-故答案为：6-【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，利用奇偶性求函数值，难度不大，属于基础题．12．关于x 的不等式2320kx kx k ++-≤的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________【答案】8,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】讨论0k =和0k ≠两种情况，求出关于x 的不等式2320kx kx k ++-≤的解集为R 时，对应k 的取值范围即可．【详解】当0k =时，不等式化为20-≤恒成立，所以0k =，当0k≠时，因为关于x 的不等式0k ≠的解集为R ，3)20(4(2)0k k k k <⎧∴⎨∆=--≤⎩ 得805k -≤<综上：实数k 的取值范围是8,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：8,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集应用问题，是基础题．13．函数41y x x =+-的值域是________【答案】(][),35,-∞-+∞ 【解析】利用分式的性质，结合基本不等式的应用进行求解．【详解】441111y x x x x =+=-++--（1）当x ＞1时，x-1＞0，444112(1)15111y x x x x x x =+=-++≥-⋅+=---当且仅当411x x -=-，当x-1=2，即x=3时，取等号，故函数的值域为[5，+∞）．（2）当1x <时， 10x -<，444112(1)13111y x x x x x x =+=-++≤--⋅+=----当且仅当411x x -=-，当x-1=-2，即x=-1时，取等号，故函数的值域为(],3-∞-．故答案为：(][),35,-∞-+∞ 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求函数的值域，注意一正，二定，三相等条件的满足是解题的关键.14．已知()f x 为二次函数，且不等式()0f x <的解集是(2017,2019)-，若2(1)(1)f t f t ->+，则实数t的取值范围是__________．【答案】(2,1)-【解析】分析：由题意首先确定二次函数的性质，据此分类讨论即可求得最终结果.详解：由题意可得二次函数开口向上，且对称轴为：2017201912x -+==，则二次函数在区间(),1-∞上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，结合对称性可得()()2211f tf t +=-，很明显211t +≥，据此分类讨论：当11,2t t -≥≥时，由单调性可得：211t t ->+，即220t t -+<，不等式无解；当11,2t t -<<时，不等式即：()()211f t f t->-，由单调性可得：211t t -<-，即220t t +-<，解得：21t -<<，综上可得：实数t 的取值范围是()2,1-.点睛：本题考查二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．15．设A 是集合{}123456S=,,,,,的非空子集，称A 中的元素之和为A 的“容量”，则S 的所有非空子集的“容量”之和是_______【答案】672【解析】在S 所有的子集中，每个元素出现的次数都是52个，由此能求出结果．【详解】在S 所有的子集中，每个元素出现的次数都是52个，S ∴的所有非空子集的“容量”之和为5(123456)672+++++=2故答案为：672【点睛】本题主要考查学生的对新定义的分析和解决的能力，主要考查了转化与划归的思想.16．已知函数()f x 的图像在[],a b 上连续不断，定义：若存在最小正整数k ，使得()()f x k x a ≤-对任意的[],x a b ∈成立，则称函数()f x 为[],a b 上的“k 函数”，若函数()3f x x m =+是[]1,2上的“2函数”，则实数m 的取值范围是______【答案】4m ≤-【解析】根据函数()32(1)f x x m x =+≤-在[]1,2上恒成立,分离得2m x ≤--在[]1,2上恒成立,求出2x --的最值,即可得解．【详解】由题可得函数()32(1)f x x m x =+≤-在[]1,2上恒成立即2m x ≤--在[]1,2上恒成立,min (2)4m x ∴≤--=-故答案为：4m ≤-【点睛】本题主要考查学生的对新定义的分析和解决的能力，主要考查了转化与划归的思想.三、解答题17．已知集合{}|14A x x =+<，1|02x B x x a -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭.（1）求A 和B ；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.【答案】(1)见解析；（2）[ 2.5-，1.5]【解析】（1）通过解绝对值不等式得到集合A ，对于集合B ，需要对a 的取值进行分类讨论：（2）A B B = ，则B 是A 的子集，据此求实数a 的取值范围．【详解】（1）{|14}{|53}A x x x x =+<=-<<，当0.5a >时，{|12}B x x a =<<．当0.5a =时，B =∅．当0.5a <时，{|21}B x a x =<<．（2）由（1）知，{|53}A x x =-<<，A B B ⋂= ，B A ∴⊆，①当0.5a >时，{|12}B x x a =<<．此时，1223a a <⎧⎨⎩ ，则1 1.52a < ；②当0.5a =时，B =∅．满足题意；③当0.5a <时，{|21}B x a x =<<．此时2125a a <⎧⎨-⎩，则 2.50.5a -< ．综上所述，实数a 的取值范围是[ 2.5-，1.5]．【点睛】本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，绝对值不等式，一元二次不等式的解法，求出A 和B ，是解题的关键．18．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，当顾客在商场内消费一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围[)200,400[)400,500[)500,700[)700,900…获得奖券的金额（元）3060100130…根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：4000.230110⨯+=元，设购买商品得到的优惠率＝（购买商品获得的优惠额）/（商品标价），试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在[]500,800（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于13的优惠率？【答案】（1）33%；（2）[]625,750.【解析】本题考查的是不等式的应用问题．在解答时：（1）直接根据购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价，即可获得问题的解答；（2）由于标价在[500，800]（元)内的商品，其消费金额满足：4000.8640x ，所以要结合消费金额（元)的范围进行讨论，然后解不等式组即可获得问题的解答．【详解】（1）由题意可知：10000.213033%1000⨯+=．故购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是33%．（2）设商品的标价为x 元．则500800x ，消费额：4000.8640x ．由已知得（Ⅰ）0.260134000.8500x x x +⎧⎪⎨⎪⎩ 或（Ⅱ）0.2100135000.8640x x x +⎧⎪⎨⎪⎩ 不等式组（Ⅰ）无解，不等式组（Ⅱ）的解为625750x ．因此，当顾客购买标价在[625，750]元内的商品时，可得到不小于13的优惠率．【点睛】本题考查的是不等式的应用问题．在解答的过程当中充分体现了应用题要仔细审题的特点，同时考查了分类讨论的思想．19．设n 为正整数，规定：(){}n n f f f f f x =⎡⎤⎣⎦ 个，已知()()2101112x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-<≤⎩.（1）解不等式：()f x x ≤；（2）求201889f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）149.【解析】（1）因为是分段函数，所以先根据定义域选择解析式来构造不等式，当01x 时，由2(1)x x - 求解；当12x < 时，由1x x - 求解，取后两个结果取并集．（2）看问题有2018重求值，一定用到周期性，所以先求出1882()2(1)999f =-=，288214()(())()9999f f f f ===,328814145()(())()199999f f f f ===-=，4388558()(())()2(1)99999f f f f ===-=，观察是以4为周期，由488()()(,)99k r r f f k r N +=∈求解即可．【详解】（1）①当01x 时，由2(1)x x - 得，23x ．∴213x ．②当12x < 时，因1x x - 恒成立．12∴<x ．由①，②得，()f x x 的解集为2{|2}3x x ．（2）1882()2(1)999f =-=，288214()(())()9999f f f f ===，328814145()(())()199999f f f f ===-=，4388558()(())()2(1)99999f f f f ===-=，一般地，488()()(,)99k r r f f k r N +=∈．∴201828814999f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查求解分段函数构造的不等式，要注意分类讨论，还考查了分段函数多重求值，要注意从内到外，根据自变量取值选择好解析式．20．已知函数()232f x x ax b =--，其中a ，b R ∈.（1）若不等式()0f x ≤的解集是[]0,6，求b a 的值；（2）若3b a =，对任意x ∈R ，都有()0f x ≥成立，且存在x ∈R ，使得()223f x a ≤-成立，求实数a 的取值范围；（3）若方程()0f x =有一个根是1，且a ，0b >，求11212a b +++的最小值，并求此时a ，b 的值.【答案】（1）1b a =；（2）[]{}9,60-- ；（3）最小值23，1a b ==.【解析】（1）利用不等式的解集，转化为方程的根，求解即可．（2）利用二次函数的性质，列出不等式组求解即可．（3）利用基本不等式转化求解函数的最值的即可．【详解】（1）依题意，2063a +=，063b ⨯=-，解得9a =，0b =，1b a ∴=（2）若3b a =，则2()323f x x ax a =--．依题意，22436036422123a a a a a ⎧+⋯⎪⎨---⋯⎪⎩①② ，由①得，90a - ，由②得，1a - 或6a - ，所以，96a -- 或10a - 为所求．（3） 方程有一个根是1，且a 、0b >，320a b ∴--=，即23a b +=，23a b += 可得(21)(2)6a b ++=，设21u a =+，2v b =+，可得u ，0v >，6u v +=，111112(2)21263v u a b u v u v +=+=++++ ，当且仅当3uv ==，即1a b ==时取等号．【点睛】本题考查函数的零点个数，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．21．已知有限集{}123,,,n A a a a a = ()*2,n n N ≥∈，如果A 中元素()11,2,3,a i n = 满足121n n a a a a a a =+++ ，就称A 为“复活集”.（1）判断集合1515,22⎧⎫-+--⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是否为“复活集”，并说明理由；（2）若1a ，2a R ∈，且{}12,a a 是“复活集”，求12a a 的取值范围；（3）若*1a N ∈，求证：“复活集”A 有且只有一个，且3n =.【答案】（1）是；理由见解析；（2）()(),04,-∞+∞ ；（3）见解析；【解析】根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理及反证法，进而可得答案．【详解】(1) 15151515·12222-+---+--=+=-，故集合1515,22⎧⎫-+--⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是“复活集”；(2)不妨设1212a a a a t +==，则由韦达定理知1a ，2a 是一元二次方程20x tx t -+=的两个根，由△0>，可得0t <，或4t >，120a a ∴<或124a a >；(3)不妨设A 中123n a a a a <<<⋯<，由1212n n n a a a a a a na ⋯=++⋯+<，得121n a a a n -⋯<，当2n =时，即有12a <，11a ∴=，于是221a a +=，2a 无解，即不存在满足条件的“复活集”A ，当3n =时，123a a <，故只能11a =，22a =，求得33a =，于是“复活集”A 只有一个，为{1，2，3}．当4n 时，由121123(1)n a a a n -⋯⨯⨯⨯⋯⨯- ，即有(1)!n n >-，也就是说“复活集”A 存在的必要条件是(1)!n n >-，事实上，22(1)!(1)(2)32(2)22n n n n n n n ---=-+=--+> ，矛盾，∴当4n 时不存在复活集A ，所以，“复活集”A 有且只有一个，且3n =.【点睛】本题考查的知识点是元素与集合的关系，正确理解已知中的新定义“复活集”的含义是解答的关键，难度较大。
2019-2020学年华师大三附中高一上期中数学试卷
华师大三附中2019学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷(考试时间:120分钟满分:150分)一、填空题(本大题共有12题,满分54分)只要求直接填写结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得5分,否则一律得零分）1.集合{},,A a b c =有_______个子集2.不等式|1|1x -<的解集是_______3.已知命题P 是“若实数a 、b 满足a>1且b>2,则a+b>3”,则命题P 的否命题是________4.已知集合{{}2||A x y B y y x ====,则A∩B=__________5.已知a,b,c∈R,则“a>b”"是“22ac bc >”的_________条件(填:充分非必要、必要非充分、充分且必要、非充分非必要)6.已知-1<a<b<1,则a-b 的取值范围是__________7已知3()1f x ax bx =++,且f(-2)=3,那么f(2)=________8.已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集________9.某班有50名学生报名参加A,B 两项比赛、参加A 项的有30人,参加B 项的有33人,且A,B 都不参加的同学比A,B 都参加的同学的三分之一多一人.则只参加A 不参加B 的同学有________人10.若关于x 的不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<的解集是R,则实数a 的取值范围是_______11.已知函数2224(),()32(0)6f x g x x ax a a x x==-+<+-,若不存在实数x 使得f(x)>1和g(x)<0同时成立,则a 的取值范围是_______12.已知数集{}1212,,(0,3)n n A a a a a a a n =⋅⋅⋅≤<<⋅⋅⋅<≥具有性质P:对任意i 、j (1≤i≤j≤n),j i a a +与j i a a -两数中至少有一个属于集合A ・现给出以下四个命题:①数集{}0,1,3,5,7具有性质P:②数集{}0,2,4,6,8具有性质P:③若数集A 具有性质P,则10a =①若数集{}1212345,,(0)n A a a a a a a a a =⋅⋅⋅≤<<<<具有性质P,则1322a a a +=其中真命题有_______ (填写序号)二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得5分,否则一律得零分13.如图,U 为全集,M 、P 、S 是U 的三个子集,则阴影部分所表示的集合是( ).()A M P S ⋂⋂ .()B M P S ⋂⋃.()U C M P C S ⋂⋂ .()U D M P C S ⋂⋃14.下列各组函数中,表示同一函数的是( ){}{}()22.()()=.()(1(0)1(0).()()=1(0)1(0).()2(1)()=21A f x x g x B f x g x x x x x C f x g x x x x x D f x xx x g x x x ==+>+≥⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬-≤-<⎩⎭⎩⎭=∈∈；；； 15已知f(x)是R 上的偶函数,且当x>0,2()(1)f x x x =- ,则x<0时,f(x)=( )2.(1)A x x - 2.(1)B x x + 2.(1)C x x -- 2.(1)D x x -+16.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况,下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B..以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须写出必要的步骤17.(本题满分14分)已知集合{}{}2222,1,,=07,5,2A a a a B a a a =+----，,且5A ∈,求集合B18.(本小题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)练习用第21页的题“0,0a b >>,+≥,还可以有如下证法++++≥ (当且仅当a=b 时等号成立≥学习以上解题过程,尝试解决下列问题:(1)证明:若a>0,b>0,c>0,则222a b c a b c b c a++≥++,并指出等号成立的条件; (2)试将上述不等式推广到(2)n n ≥个正数121,,,,n n a a a a -⋅⋅⋅的情形,并加以证明19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)某公司有价值10万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,改造就需要投入,相应就要提高产品附加值.假设附加值y 万元与技术改造投入x 万元之间的关系满足:①y 与10-x 和x 的乘积成正比:②当x=5时,y=100:③0≤2(10)x x -≤t,其中t 为常数,且1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(1)设y=f(x),求出f(x)的表达式,并求出y=f(x)的定义域(2)求出附加值y 的最大值,并求出此时的技术改造投入的x 的值20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题満分6分,第3小题满分6分) 对于函数()f x ,若00()f x x =,则称0x 为(x)的“不动点”；若()00f f x x =⎡⎤⎣⎦,则称0x 为(x)的 “稳定点”,函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B,即(){}[]{}|,|()A x f x x B x f f x x ====(1) 设函数()34f x x =+,求集合A 和B(2) 求证：A B ⊆(3) 设函数2()f x ax bx c =++,且A =∅,求证: B =∅21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)设数集A由实数构成,且满足:若x∈A(x≠1,且x≠0),则11Ax∈-(1)若2∈A,试证明A中还有另外两个元素(2)集合A是否为双元素集合,并说明理由(3)若A中元素个数不超过8个,所有元素的和为143,且A中有一个元素的平方等于所有元素的积,求:集合A.。
华师大三附中-高一-数学期中考试
华师大三附中2018学年第二学期期中考试高一 数学试卷时间：90分钟 满分：100分一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题3分1. 已知扇形的圆心角为4π，半径为2，则扇形的弧长为 2. 若0sin >θ且02sin <θ，则角θ的终边所在象限是第 象限 3. 函数()03sin >⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωπωx y 的最小正周期是π，则ω= 4. 方程2tan =x 的解集为5. 函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin 2πx x f 的单调增区间是 6. 在ABC ∆中，三个内角C B A 、、所对应的边分别为c b a 、、，若︒=∠135A ，︒=∠15C ，2=b ，则a =7. 函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=23,21,arcsin x x y 的值域是8. 若31sin sin cos cos =+y x y x ，则()=-y x 22cos 9. 若函数x y sin =的图像上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将整个图像沿x 轴向左平移3π个单位，得到函数解析式为()=x f 10. 若关于x 的不等式x x a sin cos 2+>恒成立，则a 的取值范围是11. 给出函数()x x x f cos 2cos +=，有以下四个结论：①该函数的值域为[]30，②当且仅当()Z k k x ∈=π时，该函数取得最大值③该函数的单调递增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ,2 ④当且仅当31<<m 时，方程()π20<<=x m x f 在上有两个不同的根，且这两个根的和为π2其中正确结论的序号为12. 已知ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且BC 边上的高为a ，则bc c b +的最大值为 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题3分13. 在ABC ∆中，若0cos sin <⋅B C ，则这个三角形的形状是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定14.下列结论中错误的是（ ）A.若20πα<<，则ααtan sin <B.若α是第二象限角，则2α为第一象限与第三象限 C.若角α的终边过点()()04,3≠k k k P ，则54sin =α D.若扇形周长为6，半径为2，则其中心的大小为1的弧度 15.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛--=43sin 212πx y 是（ ） A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为2π的奇函数D.最小正周期为2π的偶函数 16.已知函数()()4,2,0sin ππϕωϕω-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤>+=x x x f 为()x f 的零点，4π=x 为()x f y =的图像的对称轴，且()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛3658ππ，单调，则ω的最大值为（ ） A.11 B.9 C.7 D.5三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题17. （本题满分8分，每小题4分）已知函数()()R x x x x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2sin sin π. （1）若()43=αf ，求α2sin 的值 （2）求()x f 的最大值和最小值.18. （本题满分8分，每小题4分）已知2tan =α.（1）求⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα的值（2）求ααα2cos 1cos 22sin 2+-的值.19. （本题满分10分，第一小题4分，第二小题6分）已知函数()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππ,2,cos 26sin 2x x x x f . （1）若54sin =x ，求函数()x f 的值 （2）求函数()x f 的值域.20. （本题满分12分，第一小题5分，第二小题7分）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为）（即33ππ=∠ACB ，墙AB 的长度为6米（已有两面墙的可利用长度足够大），记θ=∠ABC（1）若4πθ=，求ABC ∆的周长（结果精确到0.01米） （2）为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动时面积即ABC ∆的面积尽可能打，问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大值.21. （本题满分14分，第一小题4分，第二小题4分，第三小题6分）如图，在直角坐标系xOy 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作x 轴的垂线与射线()03≥=x x y 交于点Q （Q 在P 的上方），将始边与x 轴的正半轴重合，且终边在射线OP 上的角记为α，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32-ππα，. （1）若31sin =α，求POQ ∠cos （2）用α表示Q P 、的坐标（3）当α为何值时，OPQ ∆面积有最大值？并求出OPQ ∆面积的最大值.。
2018-2019学年上海市上海中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市上海中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合，则中元素的个数为A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.详解：，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A.点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 2．已知实数x，y，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】找出与所表示的区域，再根据小范围推大范围可得结果．【详解】表示的区域是以为顶点的正方形及内部，表示的区域是以为圆心，1为半径的圆及内部，正方形是圆的内接正方形，，推不出，“”是“”的充分而不必要条件．故选：B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了不等式组表示的区域，考查了推理能力，属于中档题．3．设，，且，则（）A．B．C．D．以上都不能恒成立【答案】A【解析】利用反证法可证得，进而由可得解.【详解】利用反证法：只需证明，假设，则：所以：，但是，故：，，．所以：与矛盾．所以：假设错误，故：，所以：，故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：反证法的应用，关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型．4．对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．是的零点B．1是的极值点C．3是的极值D．点在曲线上【答案】A【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．二、填空题5．已知集合，用列举法表示集合______．【答案】0，1，【解析】先由x的范围推出y的范围，然后从中取整数即可．【详解】因为，，即，又，，，，，，，故答案为：0，1，【点睛】本题考查了集合的表示法属基础题．6．设集合，集合，则______．【答案】【解析】根据交集定义求出即可．【详解】，，故答案为：．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7．能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.【答案】（答案不唯一）【解析】分析：举出一个反例即可．详解：当时，不成立，即可填．点睛：本题考查不等式的性质等知识，意在考查学生的数学思维能力．8．集合，，若，则a的取值范围是______．【答案】【解析】先求出集合A，根据，即可求出a的取值范围．【详解】，，若，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查集合子集关系的应用，利用不等式的解法以及数轴是解决此类问题的关键．9．命题“若，则且”的逆否命题是______．【答案】若或,则【解析】试题分析：原命题：若则。
2018-2019学年华东师大三附中第一学期期中考试试卷
华东师大三附中2018学年第一学期期中考试高二 数学试题 时间：120分钟 满分：150分一、填空题：（在答题卡对应答题区域内作答，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1、椭圆：22143x y +=的焦距为 . 2、线性方程组123x y x y -=⎧⎨+=⎩的系数矩阵是 . 3、过点()1,0且与直线230x y --=平行的直线方程为 .4、若,x y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为 .5、直线321x y=的一个方向向量可以是 .6、已知方程22123x y k k+=-+表示椭圆，则实数k 的取值范围是 . 7、设双曲线1b-2222=y a x 0,0>>b a ，的虚轴长为2，焦距为32，则此双曲线的方程为____________8、已知直线l的一个法向量是n =r ，则此直线的倾斜角的大小为________9、双曲线021-y 6-x 29922==-与直线y x 的交点个数为___________10、若直线044204322=+-++=-+y x y x m y x 与圆始终有公共点，则实数m 的取值范围是__________ 11、设P 、Q 分别为110x 2)6(2222=+=-+y y x 和椭圆的点，则P 、Q 两点间的最大距离是__________12、设直线系M ：π）20(1sin )2(cos ≤≤=-+θθθy x ，对于下列四个命题：（1）存在一个圆与所有直线相交 （2）存在一个圆与所有直线不相交（2）存在一个圆与所有直线相切 （4）M 中的直线所能围成的正三角形面积相等 其中真命题的代号是_____________（写出所有真命题的代号）二、选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13、已知圆的方程(x -2)2+(y -3)2=4,则点P (3,2) （ ）A.为圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外14、“a =3”是“直线l 1:(a -1)x +2y +1=0与直线l 2:3x +ay -1=0平行”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件15、已知F 是双曲线x 23a 2-y 2a 2=1(a >0)的右焦点，O 为坐标原点，设P 是双曲线C 上一点，则ÐPOF 的大小不可能是（ ）A.150B.250C.600D.165016、已知点M (a ,b )与点N (0,-1)在直线3x -4y +5=0的两侧，给出下列结论：（1）3a -4b +5>0；（2）当a >0时，a +b 有最小值、无最大值（3）a 2+b 2>1；（4）当a >0且a ¹1时，b +1a -1的取值范围是(-¥,-94)È(34,+¥) 以上结论正确的个数是 （ ）A.1个B.2个C.3个D.4个三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知圆C 的半径为1，圆心既在直线y =2x -4上又在直线y =x -1上（1）求圆C 的标准方程（2）过A (2,0)做圆C 的切线，求切线方程。
上海市金山区华东师范大学第三附属中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含答案解析 (1)
上海市金山区华东师范大学第三附属中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、填空题：本答题共有12题，满分36分，每个空格填对得3分.1.集合的真子集的个数为_________.【答案】3【解析】集合的真子集有，共3个，故答案为3.2.设集合，集合，则__________.【答案】【解析】，即，解得，即，集合，则，故答案为.3.“”是“”的__________.【答案】必要不充分【解析】由得,则“”是“”的的必要不充分条件，故答案为必要不充分.4.命题“已知，如果，那么或.”是__________命题.（填“真”或“假”）【答案】真【解析】命题“已知，如果，那么或” 的逆否命题为“已知，如果且，那么” 为真命題，故命题“已知，如果，那么或” 是真命题，故答案为真.5.函数的定义域是__________.【答案】【解析】要使函数有意义，则，等价于，函数的定义域是，故答案为.6.已知，则的解析式为__________.【答案】【解析】因为，令，则，，函数的解析式为.故答案为.7.集合，的元素只有1个，则的取值范围是__________.【答案】【解析】联立，即，是单元素集，分两种情况考虑: ，方程有两个相等的实数根，即，可得,解得，，方程只有一个根，符合题意，综上,的范围为故答案为.8.若函数在区间上是增函数，则实数__________.【答案】【解析】函数的图象是开口方向朝上，以为对称轴的抛物线，若函数在区间上是增函数，所以为的子集，则，解得，故答案为.9.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则__________.【答案】2【解析】是定义在上的奇函数，并且时，，，故答案为2.10.已知函数，且，则的最大值是__________.【答案】【解析】函数，且有，，且，当且即当时，取最大值,故答案为.11.已知关于的一元二次不等式的解集为.则关于的不等式的解集为__________.【答案】【解析】的解集为，则与是同解不等式，，则关于的不等式的解集即为的解集，，即，解得，故关于的不等式的解集为，故答案为.12.设，则当__________时，取得最小值.【答案】【解析】,，即，当时，，当且仅当取等号，故当时，取得最小值，当时,，当且仅当取等号，故当时，取得最小值，综上所述的值为时，取得最小值，故答案为.二、选择题：本大题共4题，满分12分，每题有且仅有一个正确答案，选对得3分.13.已知实数满足，则“成立”是“成立”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】C【解析】由，，若成立,则，即成立，反之若，，，即成立，“成立”是“成立”充要条件，故选C.14.已知函数的定义域为，只有一个子集，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】空集是任何集合的子集,只有一个子集那只能是空集,所以=Φ，所以f(x)的定义域不包含x=0,所以,a、b同号,且均不为零,所以ab＞0，故选：A.15.设是定义在上的函数.①若存在，使成立，则函数在上单调递增；②若存在，使成立，则函数在上不可能单调递减；③若存在对于任意都有成立，则函数在上单调递减.则以上真命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】对于①，“任意”，使成立，函数在上单调递增，故①不对；对于②，由减函数的定义知，必须有“任意”，使成立，即若存在，使成立，函数在上不可能单调递减，故②对；对于③，存在对于任意都有成立，则函数不在上单调递减，故③不对；即真命题的个数为1，故选B.16.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()A. y＝B. y＝C. y＝D. y＝【答案】B【解析】根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．因此利用取整函数可表示为y=[]，也可以用特殊取值法，若x=56，y=5，排除C、D，若x=57，y=6，排除A；故选：B．三、解答题：本大题共有5题，满分52分，解答下列各题必须写出必要的步骤.17.已知集合，若，求实数的取值范围.解：集合或，，若，则，得，所以实数的取值范围.18.已知关于的不等式有解，求关于的不等式的解.解：由于关于的不等式有解，则，即或，又由等价于,则当时，，所以不等式的解为，当时，不等式无解，当时,,所以不等式的解为.19.设函数．（1）判断函数的奇偶性；（2）探究函数，上的单调性，并用单调性的定义证明．解：（1）的定义域，，为奇函数. （2）函数在上的单调递增，证明：，，任取，且，则，，且，，，则，即函数在上的单调递增．20.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解：（1）行车所以时间小时，∴；（2），当且仅当，即时等号成立，所以当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元．21.对于函数，若存在实数,使成立，则称为的不动点.（1）当时，求的不动点；（2）若对于任意的实数函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，若的图象上两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的取值范围.解：，（1）当时，，设为其不动点，即,则,即的不动点是.(2)由得，由已知，此方程有相异二实根，则有恒成立，即，即对任意恒成立，，.(3)设，直线是线段的垂直平分线，，记的中点，由（2）知，在上，，化简得（当时，等号成立）即，即.。
上海市上海中学2018-2019学年高三上学期期中数学试卷及解析
上海市上海中学2018-2019学年高三上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题设是互不相等的整数，则下列不等式中不恒成立的是（ ） A.||||||a b a c b c -≤-+- B.2211a a a a+≥+C.1||2a b a b-+≥- 2.设A 、B 、C 是三个集合，则“A B A C ⋂=⋂”是“B C =”的（ ）条件. A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要3.函数()f x 的反函数图像向左平移1个单位，得到曲线C ，函数()g x 的图像与曲线C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A.()1f x +B.()1f x -C.()1f x +D.()1f x -4.已知函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数，函数()(3)g x f x x =-+，数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，若()()()12927g a g a g a +++=，则129a a a +++=（ ）A.18B.9C.27D.81第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）5.设全集I R =，}2|3100A x x x =--≥，{}2|40B x x =-≤，则()()I I C A C B ⋃=_________； 6.不等式2113x x ->+的解是_________； 7.若指数函数x y a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________； 8.函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________；9.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且数列{S n n}是首项为3，公差为2的等差数列，若b n=a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则使得S n +T n ≥268成立的n 的最小值为__________.10.如果函数2()21x xaf x a -=⋅+是奇函数，则实数a =_________； 11.设函数())f x x =，若,a b 满足不等式()()22220f a a f b b -+-≤，则当14a ≤≤时，2a b -的最大值为_________； 12.若{}|224xA x ≤≤，1|1xB x a x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅，则实数a 的取值范围为_________；13.()2k x ≤+的解集为区间[],a b ，且2b a -=，则k = ．14.对函数设0()||20f x x =-，()*1()()1n n f x f x n N -=-∈，则函数()n y f x =的零点个数n a 的通项公式为_________； 15.{}n a 为等差数列，则使等式1212111n n a a a a a a +++=++++++12122223332018n n a a a a a a =++++++=++++++=能成立的数列{}n a 的项数n 的最大值为_________；16.已知20b >>，则232241222c c c a c ++++++的最小值是_________. 三、解答题（题型注释）17.若数列n a 是递增的等差数列，其中35a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}50n a -的前n 项和n S 的通项公式.18.对于两个实数a ，b ，{}min ,a b 表示a ，b 中的较小数，已知函数124()min 3log ,log f x x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭.（1）请画出函数()f x 的图像； （2）请写出函数()f x 的基本性质.19.某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为)*1,116,y p x x N =>≤≤∈，并且前4个月区域外的需求量为20万吨.（1）试写出第x 个月石油调出后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式； （2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超出油库的容量，试确定m 的取值范围. 20.已知函数21()(,)4f x ax bx a b R =++∈，且()10f -=，对任意实数x ，()0f x ≥成立.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若0c ≥，解关于x 的不等式2131()424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）求最大的()1mm >使得存在t R ∈，只需[]1,x m ∈，就有()f x t x +≤.21.已知数列{}n a 的各项均为正数，且都小于1，112a =，()22*112n n n n a a a a n N ++-=-∈，设数列的前n 项和为n S . （1）用1n a +表示n S ； （2）求证：1n n a a +<，并且313424n n S -<<； （3）记112n n nb a a +=-，求证：n b ≤参考答案1.C【解析】1.根据绝对值三角不等式得到A 正确；将不等式变换为2112a a a a ⎛⎫+-≥+ ⎪⎝⎭换元判断正确；取2,3a b ==≤，判断正确，得到答案.A. ||||||a b a c b c -≤-+-，根据绝对值三角不等式知不等式恒成立；B. 2211a a a a +≥+等价于2112a a a a ⎛⎫+-≥+ ⎪⎝⎭，设(][)1,,22,a t t a +=∈-∞-⋃+∞即220t t --≥即()()210t t -+≥，在(][),22,t ∈-∞-+∞恒成立；C. 1||2a b a b-+≥-，取2,3a b ==计算知不满足；≤≤即≤≥.故选：B 2.B【解析】2.先判断必要性，再取A =∅，排出充分性，判断得到答案. 当B C =时，A B A C ⋂=⋂成立，必要性；当A B A C ⋂=⋂时，取A =∅，BC 为任意集合均满足，不充分. 故选：B 3.D【解析】3.根据平移得到曲线C ：()11f x -+，再根据()g x 是()11f x -+的反函数，计算得到答案.函数()f x 的反函数为()1fx - ，向左平移一个单位得到曲线C ：()11f x -+函数()g x 的图像与曲线C 关于y x =成轴对称，则()g x 是()11f x -+的反函数即1()()1()()1y f x y f x g x f x +=∴=-∴=- 故选：D 4.C【解析】4.根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣x ）+f （x ）＝0，又由g （x ）＝f （x ﹣3）+x 且g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，可得f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3）+（a 1+a 2+…+a 9）＝27，结合等差数列的性质可得f （a 1﹣5）＝﹣f （a 9﹣5）＝f （5﹣a 9），进而可得a 1﹣5＝5﹣a 9，即a 1+a 9＝10，进而计算可得答案． 根据题意，函数y ＝f （x ）为定义域R 上的奇函数， 则有f （﹣x ）+f （x ）＝0， ∵g （x ）＝f （x ﹣3）+x ，∴若g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，即f （a 1﹣3）+a 1+f （a 2﹣3）+a 2+…+f （a 9﹣3）+a 9＝27， 即f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3）+（a 1+a 2+…+a 9）＝27， f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3））+（a 1﹣3+a 2﹣3+…+a 9﹣3）＝0， 又由y ＝f （x ）+x 为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调函数， 且（a 1﹣3）+（a 9﹣3）＝（a 2﹣3）+（a 8﹣3）＝…＝2（a 5﹣3）， ∴a 5﹣3＝0，即a 1+a 9＝a 2+a 8＝…＝2a 5＝6， 则a 1+a 2+…+a 9＝9a 5＝27； 故选：C ．5.(,2)(2,)-∞-⋃-+∞【解析】5.先计算集合A 得到{}25I C A x x =-<<，再计算集合B 得到{}22I C B x x x =><-或，再计算()()I I C A C B ⋃得到答案.{}{}2|3100=|52A x x x x x x =--≥≥≤-或，{}25I C A x x =-<<{}{}2|4022B x x x x =-≤=-≤≤，{}22I C B x x x =><-或 ()()(,2)(2,)I I C A C B ⋃=-∞-⋃-+∞故答案为：(,2)(2,)-∞-⋃-+∞ 6.(,3)(4,)-∞-⋃+∞【解析】6. 不等式化简得到403x x ->+，计算得到答案. 2121411004333x x x x x x x --->∴->∴>∴>+++或3x <- 故答案为：(,3)(4,)-∞-⋃+∞【解析】7.讨论1a >和01a <<两种情况，根据函数的单调性计算值域得到答案.当1a >时：函数()xy f x a ==单调递增，()2422,(4)4f a f a a ====∴=当01a <<时：函数()xy f x a ==单调递减，()2424,(4)2f a f a ====，无解.综上所述：a =8.20)x ≥【解析】8.利用函数表达式解得)20x y =≥，得到反函数.())22()424(0)20y f x x x x x x y ==-=--≤∴=≥故函数的反函数为1()20)f x x -=≥故答案为：20)x ≥9.5【解析】9.根据等差数列定义求得数列{a n }的前n 项和S n ；由a n =S n −S n−1求得数列{a n }的通项公式，利用b n=a 2n 求得数列{b n }的通项公式，进而求得数列{b n }的前n 项和T n ；依次代入求解即可得到n 的最小值。
上海市华东师范大学第三附属中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题
华师大三附中高一上期中试卷2020-11一、填空题（每题3分）1、已知集合{},,,A a b c d =，{},,B a d e =，则A B =________.2、设集合{}12,A x x x R =-<∈，集合B N =，则AB =________. 3、用描述法表示所有奇数组成的集合________.4、“2x <”是“24x <”的_________条件.5、已知234x -=，则x =________.6、设{}28150A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若AB A =，则实数a 的值为________. 7、若1x >-，则21x x ++的取值范围是_________. 8、若集合(){}210,x k x x k x R ++-=∈有且仅有两个子集，则实数k =________.9、已知18log 2a =，试用a 的式子表示2log 3=________.10、已知a 、b 为正数，21a b +=，则112a b+的最小值为_________. 11、下列命题中，假命题的个数为_________.①幂函数的图像有可能经过第四象限；②幂函数的图像都经过点()1,1；③当0a =时，函数a y x =的图像是一条直线；④当0a <时，函数a y x =在定义域内是严格减函数；⑤过点()1,1-的幂函数图像关于y 轴对称.12、实数a ，b ，c 满足b c a b =，且a b c m ++=（0m >，m 为常数），则b 的取值范围是________. 二、选择题13、若0a b <<，则下列不等式中不成立的是（ ） A. 11a b > B. 11a b a >- C. a b > D. 33a b <14、如果关于x 的不等式222424ax ax x x ++>+对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (]2,6B. ()2,+∞C. [)2,6D. [)2,+∞15、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则M N 的值为（ ） A. 14 B. 4 C. 1 D. 14或1 16、四个孩子在刘老师的后院玩球，突然传来一阵打碎玻璃的响声，刘老师跑去查看，发现一扇窗户玻璃被打破了，老师问：“是谁打破的？”涛涛说：“是可可打破的.”可可说：“是毛毛打破的.”毛毛说：“可可说谎.”多多说：“我没有打破玻璃.”如果只有一个小孩说谎，那么打破玻璃的是谁？A. 涛涛B. 可可C. 毛毛D. 多多 三、解答题.17、已知全集U R =，{}21A x x =->，102x B x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，求A B . 18、若幂函数()243251m m y m m x++=+-的定义域为R .（1）求实数m 的值；（2）作出此幂函数的大致图像. 19、某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y （单位：m ）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积是28m ，问x 、y 分别为多少时用料最省？（结果精确到0.001m ）20、若不等式220x x -->的解集为A ，不等式()225250x a x a +++<的解集为B . （1）求集合A 、B ；（2）记M A B Z =，若集合M 只含有一个元素，求实数a 的取值范围.21、已知命题P ：函数()1()13f x x =-且()2f a <，命题Q ：集合(){}2210,A x x a x x R =+++=∈，{}0B x x =>且A B =∅.（1）分别求命题P 、Q 为真命题时的实数a 的取值范围；（2）当实数a 取何范围时，命题P 、Q 中有且仅有一个为真命题；（3）设P 、Q 皆为真时a 的取值范围为集合,,,0,0m S T y y x x R x m x ⎧⎫==+∈≠>⎨⎬⎩⎭，若全集U R =，T S ⊆，求m 的取值范围.。
上海市华东师范大学第三附属中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
上海市2018-2019学年华师大三附中高一上期中考试数学试卷一、填空题（本答题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应的编号空格内直接填写结果.每个空格填对得3分，否则一律得零分.1.集合的真子集的个数为_________【答案】3【解析】【分析】由真子集的定义，将集合的真子集列举出来即可.【详解】集合的真子集有，共3个，故答案为3.【点睛】集合的真子集是指属于该集合的部分（不是所有）元素组成的集合，包括空集.2.设集合，集合，则__________【答案】【解析】【分析】利用绝对值不等式的解法化简集合，由交集的定义可得结果.【详解】，即，解得，即，集合，则，故答案为.【点睛】本题考查交集的求法以及绝对值不等式的解法，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，是基础题，解题时要认真审题.3.“”是“”的__________【答案】必要不充分【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法化简不等式，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.【详解】由得,则“”是“”的的必要不充分条件，故答案为必要不充分.【点睛】本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题，将一元二次不等式的解法、充分条件、必要条件相关的问题联系在起来，体现综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题.4.命题“已知，如果，那么或.”是__________命题.（填“真”或“假”）【答案】真【解析】【分析】先写出原命题的逆否命题，并判断其真假,进而根据互为逆否的两个命题真假性一致,得到结论.【详解】命题“已知，如果，那么或” 的逆否命题为“已知，如果且，那么” 为真命題，故命题“已知，如果，那么或”是真命题，故答案为真.【点睛】本题考査的知识点是命题的真假判断与应用，其中当原命题的真假判断比较麻烦或无法证明时，常去判断其逆否命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性一致，得到结论.5.函数的定义域是__________.【答案】【解析】【分析】根据分式的分母不为零，且二次根式的被开方数大于或等于零，由此建立关于的不等式组，解之即得函数的定义域.【详解】要使函数有意义，则，等价于，函数的定义域是，故答案为.【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.6.已知，则的解析式为__________.【答案】【解析】【分析】令，则，求出,从而可得结果.【详解】因为，令，则，，函数的解析式为.，故答案为.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.7.集合，的元素只有1个，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由中有且仅有一个元素，可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；利用分类讨论思想，可求出的范围.【详解】联立即，是单元素集，分两种情况考虑:，方程有两个相等的实数根，即，可得,解得，方程只有一个根，符合题意，综上,的范围为故答案为.【点睛】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.8.若函数在区间上是增函数，则实数__________.【答案】【解析】【分析】根据二次函数的性质，判断出其图象是开口方向朝上，以为对称轴的抛物线，利用为的子集可构造一个关于的不等式，解不等式即可得到实数的取值范围.【详解】函数的图象是开口方向朝上，以为对称轴的抛物线，若函数在区间上是增函数，所以为的子集，则，解得，故答案为.【点睛】本题考査的知识点是函数单调性及二次函数的性质，属于简单题.利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法① 求解的．9.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则__________.【答案】2【解析】【分析】由为上的奇函数即可得出，并且时，，从而将代入的解析式即可求出，从而求出.【详解】是定义在上的奇函数，并且时，，，故答案为2 .【点睛】本题主要考查函数的解析式与函数奇偶性的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 10.已知函数，且，则的最大值是__________.【答案】【解析】【分析】由可得，由基本不等式可得,注意等号成立的条件即可.【详解】函数，且有，，且，当且即当时，取最大值,故答案为.【点睛】本题主要考查指数幂的运算以及利用基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.11.已知关于的一元二次不等式的解集为.则关于的不等式的解集为__________. 【答案】【解析】【分析】构造解集和是同解的不等式，然后可得出，再代入求求解即可.【详解】的解集为，则与是同解不等式，，则关于的不等式的解集即为的解集，，即，解得，故关于的不等式的解集为，故答案为.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，以及特值法在解题中的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.12.设，则当__________时，取得最小值【答案】【解析】【分析】需要分类讨论，当和当,分别化简，利用基本不等式即可得到结论.【详解】,，即，当时，，当且仅当取等号故当时，取得最小值，当时,，当且仅当取等号，故当时，取得最小值，综上所述的值为时，取得最小值，故答案为.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于难题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.二、选择题：（本大题共4题，满分12分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸相应的编号空格内直接填写选项，选对得3分，否则一律得零分.13.已知实数满足，则“成立”是“成立”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由，，若成立,则，即成立，反之若，，，即成立，“成立”是“成立”充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.14.已知函数的定义域为，只有一个子集，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】空集是任何集合的子集,只有一个子集那只能是空集,所以=Φ所以f(x)的定义域不包含x=0,所以,a、b同号,且均不为零,所以ab＞0故选：A点睛：本题主要考查了函数的定义，对定义域上的每个x，有且只有一个y值与其对应，若x不在定义域上，当然就不存在y值与其对应，此时=Φ.15.设是定义在上的函数.①若存在，使成立，则函数在上单调递增；②若存在，使成立，则函数在上不可能单调递减；③若存在对于任意都有成立，则函数在上单调递减.则以上真命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】根据增函数和减函数的定义判断，注意关键的条件：“存在” 、“任意”以及对应的自变量和函数值的关系.【详解】对于①，“任意”，使成立，函数在上单调递增，故①不对；对于②，由减函数的定义知，必须有“任意”，使成立，即若存在，使成立，函数在上不可能单调递减，故②对；对于③，存在对于任意都有成立，则函数不在上单调递减，故③不对；即真命题的个数为1，故选B.【点睛】本题主要考查阅读能力以及对增函数与减函数定义的理解与应用，意在考查对基本概念掌握的熟练程度和灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.16.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )A. y＝B. y＝C. y＝D. y＝【答案】B【解析】【分析】根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．进而得到解析式．【详解】根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．因此利用取整函数可表示为y=[]也可以用特殊取值法若x=56，y=5，排除C、D，若x=57，y=6，排除A；故选：B．【点睛】本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂题意，再根据数学知识即可得到答案．对于选择题要会选择最恰当的方法．三、解答题：（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.已知集合，若，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】利用分式不等式的解法化简集合利用绝对值不等式的解法化简集合，再由,根据并集的定义直接求实数的取值范围.【详解】集合或，，若，则，得，所以实数的取值范围.【点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．18.已知关于的不等式有解，求关于的不等式的解.【答案】【解析】【分析】由关于的不等式有解，可知，,又由,分或或三种情况，解出不等式的解即可得到结果.【详解】由于关于的不等式有解，则，即或，又由等价于,则当时，，所以不等式的解为，当时，不等式无解，当时,,所以不等式的解为.【点睛】分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.19.设函数．（1）判断函数的奇偶性；（2）探究函数，上的单调性，并用单调性的定义证明．【答案】（1）奇函数；（2）单调递增，证明见解析．【解析】试题分析：（1）由函数可得函数的定义域关于原点对称，再化简得，即可判定函数的奇偶性；（2）利用函数的单调性的定义，即可证明函数在上的单调递增．试题解析：（1）的定义域，为奇函数；（2）函数在上的单调递增，证明：，，任取，且则，且，，，则，即函数在上的单调递增．考点：函数的性质的判定与证明．【方法点晴】本题主要考查了函数的性质的判定与证明，其中解答中涉及到函数奇偶性的判定与证明，函数的单调性的判定与证明，函数单调性的定义等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中熟记函数的奇偶性和单调性的判定方法是解答的关键，试题比较基础，属于基础题．20.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【答案】（1）y＝，x∈[50,100]．（2）当x＝时，这次行车的总费用最低，最低费用为元【解析】试题分析：（1）由行车所以时间小时，即可列出行车总费用关于的表达式；（2）由（1）知，利用基本不等式求解最值，即可求解结论．试题解析：（1）行车所以时间小时，∴；．．．．．．．．．．．6分（2），当且仅当，即时等号成立，所以当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元．．．．．．．．．．．．．12分考点：函数的解析式；基本不等式的应用．【方法点晴】本题主要考查了实际问题的应用，其中解答中涉及到函数的解析式、基本不等式的求最值及其应用等知识点的综合考查，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，此类问题的解答中准确审题，根据题设条件，列出关系式是解答的关键．21.对于函数，若存在实数 ,使成立，则称为的不动点.（1）当时，求的不动点；（2）若对于任意的实数函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，若的图象上两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)设为不动点，则有,变形为,解方程即可；(2)将转化为，由已知，此方程有相异二实根，则有恒成立，可得，由可得结果；(3)由垂直平分线的定义解答，由两点的横坐标是函数的不动点,则有,再由直线是线段的垂直平分线，得到，再由中点在直线上可得利用基本不等式求解即可.【详解】，（1）当时，，设为其不动点，即,则,即的不动点是.(2)由得，由已知，此方程有相异二实根，则有恒成立即，即对任意恒成立，，.(3)设，直线是线段的垂直平分线，，记的中点，由（2）知，在上，，化简得（当时，等号成立）即，即.【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、直线的方程以及利用基本不等式求最值与新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
2018-2019学年上海市上师大附中高一上学期期中数学试题(平行班)(有解析)
2018-2019学年上海市上师大附中高一上学期期中数学试题（平行班）一、单选题1．已知集合Ω中的三个元素l ，m ，n 分别是ABC △的三边长，则ABC △一定不是（ ）． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【答案】D【解析】根据集合中元素的互异性，即可得到答案． 【详解】因为集合中的元素是互异的，所以l ，m ，n 互不相等，即ABC △不可能是等腰三角形． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及元素的基本特征，其中解答中熟记集合中元素的互异性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 2．已知a ，b R ∈且0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．b a a b< C ．22a b < D ．2ab b <【答案】B【解析】结合0a b <<,对,a b 赋值，逐个分析选项即可得解. 【详解】由0a b <<，可令2,1a b =-=-对A:11a b >不成立； 对B: 122b aa b=<=成立；对C: 22a b >不成立； 对D: 222ab b =<=不成立. 故选：B【点睛】本题考查了不等式比较大小，是基础题.3．函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈R 都有()()f x f x =-恒成立，则()f x （ ） A ．必是奇函数 B ．是奇函数或偶函数C ．必是偶函数D ．不一定是奇函数也不一定是偶函数【答案】D【解析】通过举满足题意的反例1,1()1,1x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，可得解 【详解】 取函数1,1()1,1x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，对任意x ∈R 都有()()f x f x =-恒成立，但是不具有奇偶性. 故选：D 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断,通过举反例可说明函数不具有奇偶性.4．在整数Z 集中，规定被5除所得余数为k 的所有整数组成“一类”，记为[]k ，即[]{}|5,k x x n n Z k ==+∈，0,1,2,3,4k =，给出如下四个结论：①[]20183∈；②[]20183-∈；③[][][][][]01234Z =U U U U ；④“整数a ，b 属于同‘一类’”的充要条件是“[]0a b -∈”；其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据“一类”的定义分别进行判断即可． 【详解】①201854033÷=⋯Q ，2018[3]∴∈，故①正确； ②20185(404)2-=⨯-+，2018[3]-∉，故②错误； ③因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃，故③正确；④Q 整数a ，b 属于同 “一类”， ∴整数a ，b 被5除的余数相同，从而-a b 被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．故④正确． 正确的结论为①③④3个． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查新定义的应用，利用定义正确理解“一类”的定义是解决本题的关键，是中档题．二、填空题5．已知全集U =R ，集合{}|1,A x x x R =≤∈，则U C A =_______ 【答案】()1,+∞【解析】根据补集的概念直接求解即可. 【详解】全集U =R ，集合{}|1,A x x x R =≤∈，则U C A =(){|1}1,x x >=+∞ 故答案为：()1,+∞ 【点睛】本题考查补集的运算，是简单题. 6．不等式21x<的解集是________ 【答案】(,0)(2,)-∞+∞U 【解析】由21x <可得20x x->,结合分式不等式的求法即可求解． 【详解】解：由21,x <可得20,x x-<， 整理可得，20,x x->， 解可得，(,0)(2,)x ∈-∞⋃+∞． 故答案为：(,0)(2,)-∞+∞U 【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础试题．7．函数262x x y x +-=-的定义域是______ 【答案】[)(]2,22,3-U【解析】根据偶次根式下大于等于0，分母不为0，列不等式组，求解即可. 【详解】函数262x x y x +-=-有意义，则26020x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩解得23x -≤≤且2x ≠， ∴函数26x x y +-=[)(]2,22,3-U . 故答案为：[)(]2,22,3-U 【点睛】本题考查函数的定义域，列出使函数有意义的不等式组求解即可.是基础题. 8．命题“若3x >，则2560x x -+>”的否命题是_______ 【答案】若3x ≤，则2560x x -+≤ 【解析】根据否命题的定义写出其否命题即可. 【详解】命题的条件是3x >，结论是：2560x x -+>， 根据否命题的定义，否定的条件，得否定的结论， ∴其否命题是：3x ≤，则2560x x -+≤； 故答案为：若3x ≤，则2560x x -+≤ 【点睛】本题考查写出命题的否命题，对条件和结论同时否定是解题的关键.9．若x ，y R ∈，则命题甲“44x y xy +>⎧⎨>⎩”是命题乙“22x y >⎧⎨>⎩”的_______条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”或“既非充分又非必要”） 【答案】必要不充分【解析】根据充分必要条件的定义判断即可． 【详解】由甲推不出乙，比如x=1，y=7，故不是充分条件， 由乙可推出甲，是必要条件， 则命题甲“44x y xy +>⎧⎨>⎩”是命题乙“22x y >⎧⎨>⎩”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分 【点睛】本题考查了充分必要条件的定义，考查不等式问题，是一道基础题10．已知某班有50个学生，每个学生的家中至少订阅a 、b 两种报纸中的一种，已知订阅a 报的有34户，订阅b 报的有28户，则订阅a 报且不订阅b 报的有______户 【答案】22【解析】先求得既订阅a 报又订阅b 报的户数，进而可求得订阅a 报且不订阅b 报的户数. 【详解】设A 为订a 报家的集合，B 为订b 报家的集合，由题意()34,()28,()50n A n B n A B ===U ,()()()()34285012n A B n A n B n A B ∴=+-=+-=I U ,所以订阅a 报且不订阅b 报的户数是()()34-12=22n A n A B -=I . 故答案为：22 【点睛】本题考查了容斥原理公式：A 类B 类元素个数总和=属于A 类元素个数+属于B 类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数11．设函数()()()()2200x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，且函数()f x 为奇函数，则()2g -=________ 【答案】6-【解析】由题可得()2(2)g f -=-，利用函数()f x 为奇函数求得()()22f f -=- ，进而得解. 【详解】由题可得()2(2)g f -=-， 因为函数()f x 为奇函数，()()222=-(2+2)=-6f f ∴-=-故答案为：6- 【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，利用奇偶性求函数值，难度不大，属于基础题． 12．关于x 的不等式2320kx kx k ++-≤的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________ 【答案】8,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】讨论0k =和0k ≠两种情况，求出关于x 的不等式2320kx kx k ++-≤的解集为R 时，对应k 的取值范围即可． 【详解】当0k =时，不等式化为20-≤恒成立，所以0k =， 当0k ≠时，因为关于x 的不等式0k ≠的解集为R ，3)20(4(2)0k k k k <⎧∴⎨∆=--≤⎩n 得805k -≤< 综上：实数k 的取值范围是8,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：8,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集应用问题，是基础题． 13．函数41y x x =+-的值域是________ 【答案】(][),35,-∞-+∞U【解析】利用分式的性质，结合基本不等式的应用进行求解． 【详解】441111y x x x x =+=-++-- （1）当x ＞1时， x-1＞0，44411(1)15111y x x x x x x =+=-++≥-⋅=---当且仅当411x x -=-，当x-1=2，即x=3时，取等号，故函数的值域为[5，+∞）． （2）当1x < 时， 10x -< ，44411(1)13111y x x x x x x =+=-++≤--⋅=---- 当且仅当411x x -=-，当x-1=-2，即x=-1时，取等号，故函数的值域为(],3-∞-． 故答案为：(][),35,-∞-+∞U 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求函数的值域，注意一正，二定，三相等条件的满足是解题的关键.14．已知()f x 为二次函数，且不等式()0f x <的解集是(2017,2019)-，若2(1)(1)f t f t ->+，则实数t 的取值范围是__________．【答案】(2,1)-【解析】分析：由题意首先确定二次函数的性质，据此分类讨论即可求得最终结果. 详解：由题意可得二次函数开口向上，且对称轴为：2017201912x -+==，则二次函数在区间(),1-∞上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增， 结合对称性可得()()2211f tf t +=-，很明显211t +≥，据此分类讨论：当11,2t t -≥≥时，由单调性可得：211t t ->+，即220t t -+<，不等式无解； 当11,2t t -<<时，不等式即：()()211f t f t->-，由单调性可得：211t t -<-，即220t t +-<，解得：21t -<<， 综上可得：实数t 的取值范围是()2,1-.点睛：本题考查二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．15．设A 是集合{}123456S =,,,,,的非空子集，称A 中的元素之和为A 的“容量”，则S 的所有非空子集的“容量”之和是_______ 【答案】672【解析】在S 所有的子集中，每个元素出现的次数都是52个，由此能求出结果． 【详解】在S 所有的子集中，每个元素出现的次数都是52个，S ∴的所有非空子集的“容量”之和为5(123456)672+++++=2故答案为：672 【点睛】本题主要考查学生的对新定义的分析和解决的能力，主要考查了转化与划归的思想. 16．已知函数()f x 的图像在[],a b 上连续不断，定义：若存在最小正整数k ，使得()()f x k x a ≤-对任意的[],x a b ∈成立，则称函数()f x 为[],a b 上的“k 函数”，若函数()3f x x m =+是[]1,2上的“2函数”，则实数m 的取值范围是______ 【答案】4m ≤-【解析】根据函数()32(1)f x x m x =+≤-在[]1,2上恒成立,分离得2m x ≤--在[]1,2上恒成立,求出2x --的最值,即可得解．【详解】由题可得函数()32(1)f x x m x =+≤-在[]1,2上恒成立 即2m x ≤--在[]1,2上恒成立,min (2)4m x ∴≤--=-故答案为：4m ≤- 【点睛】本题主要考查学生的对新定义的分析和解决的能力，主要考查了转化与划归的思想.三、解答题17．已知集合{}|14A x x =+<，1|02x B x x a -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭.（1）求A 和B ；（2）若A B B =I ，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 见解析；（2）[ 2.5-，1.5]【解析】（1）通过解绝对值不等式得到集合A ，对于集合B ，需要对a 的取值进行分类讨论： （2）AB B =I，则B 是A 的子集，据此求实数a 的取值范围．【详解】（1）{|14}{|53}A x x x x =+<=-<<， 当0.5a >时，{|12}B x x a =<<． 当0.5a =时，B =∅．当0.5a <时，{|21}B x a x =<<． （2）由（1）知，{|53}A x x =-<<，A B B ⋂=Q ，B A ∴⊆，①当0.5a >时，{|12}B x x a =<<．此时，1223a a <⎧⎨⎩„，则11.52a <„；②当0.5a =时，B =∅．满足题意； ③当0.5a <时，{|21}B x a x =<<．此时2125a a <⎧⎨-⎩…，则 2.50.5a -<„．综上所述，实数a 的取值范围是[ 2.5-，1.5]． 【点睛】本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，绝对值不等式，一元二次不等式的解法，求出A 和B ，是解题的关键．18．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，当顾客在商场内消费一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围[)200,400[)400,500 [)500,700 [)700,900 …获得奖券的金额（元） 30 60100130…根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：4000.230110⨯+=元，设购买商品得到的优惠率＝（购买商品获得的优惠额）/（商品标价），试问： （1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在[]500,800（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于13的优惠率？ 【答案】（1）33%；（2）[]625,750.【解析】本题考查的是不等式的应用问题．在解答时： （1）直接根据购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价，即可获得问题的解答；（2）由于标价在[500，800]（元)内的商品，其消费金额满足：4000.8640x 剟，所以要结合消费金额（元)的范围进行讨论，然后解不等式组即可获得问题的解答． 【详解】（1）由题意可知：10000.213033%1000⨯+=．故购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是33%． （2）设商品的标价为x 元．则500800x 剟，消费额：4000.8640x 剟． 由已知得（Ⅰ）0.260134000.8500x x x +⎧⎪⎨⎪⎩…剟或 （Ⅱ）0.2100135000.8640x x x +⎧⎪⎨⎪⎩…剟不等式组（Ⅰ）无解，不等式组（Ⅱ）的解为625750x 剟． 因此，当顾客购买标价在[625，750]元内的商品时， 可得到不小于13的优惠率． 【点睛】本题考查的是不等式的应用问题．在解答的过程当中充分体现了应用题要仔细审题的特点，同时考查了分类讨论的思想．19．设n 为正整数，规定：(){}n n f f f f f x =⎡⎤⎣⎦L L 144424443个，已知()()2101112x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-<≤⎩. （1）解不等式：()f x x ≤； （2）求201889f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案】（1）2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）149. 【解析】（1）因为是分段函数，所以先根据定义域选择解析式来构造不等式，当01x 剟时，由2(1)x x -„求解；当12x <„时，由1x x -„求解，取后两个结果取并集． （2）看问题有2018重求值，一定用到周期性，所以先求出1882()2(1)999f =-=，288214()(())()9999f f f f ===,328814145()(())()199999f f f f ===-=，4388558()(())()2(1)99999f f f f ===-=，观察是以4为周期，由488()()(,)99k r r f f k r N +=∈求解即可．【详解】（1）①当01x 剟时，由2(1)x x -„得，23x …． ∴213x 剟． ②当12x <„时，因1x x -„恒成立．12∴<x „．由①，②得，()f x x „的解集为2{|2}3x x 剟． （2）1882()2(1)999f =-=， 288214()(())()9999f f f f ===， 328814145()(())()199999f f f f ===-=， 4388558()(())()2(1)99999f f f f ===-=， 一般地，488()()(,)99k r r f f k r N +=∈．∴201828814999f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查求解分段函数构造的不等式，要注意分类讨论，还考查了分段函数多重求值，要注意从内到外，根据自变量取值选择好解析式． 20．已知函数()232f x x ax b =--，其中a ，b R ∈.（1）若不等式()0f x ≤的解集是[]0,6，求b a 的值；（2）若3b a =，对任意x ∈R ，都有()0f x ≥成立，且存在x ∈R ，使得()223f x a ≤-成立，求实数a 的取值范围；（3）若方程()0f x =有一个根是1，且a ，0b >，求11212a b +++的最小值，并求此时a ，b 的值.【答案】（1）1b a =；（2）[]{}9,60--U ；（3）最小值23，1a b ==. 【解析】（1）利用不等式的解集，转化为方程的根，求解即可． （2）利用二次函数的性质，列出不等式组求解即可． （3）利用基本不等式转化求解函数的最值的即可． 【详解】（1）依题意，2063a +=，063b⨯=-，解得9a =，0b =，1b a ∴= （2）若3b a =，则2()323f x x ax a =--．依题意，22436036422123a a a a a ⎧+⋯⎪⎨---⋯⎪⎩①②„„，由①得，90a -剟， 由②得，1a -…或6a -„，所以，96a --剟或10a -剟为所求． （3）Q 方程有一个根是1，且a 、0b >，320a b ∴--=，即23a b +=，23a b +=Q 可得(21)(2)6a b ++=，设21u a =+，2v b =+，可得u ，0v >，6u v +=，111112(2)21263v u a b u v u v +=+=++++…， 当且仅当3u v ==，即1a b ==时取等号． 【点睛】本题考查函数的零点个数，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力． 21．已知有限集{}123,,,n A a a a a =L ()*2,n n N≥∈，如果A 中元素()11,2,3,a i n =L 满足121n n a a a a a a =+++K L ，就称A 为“复活集”.（1）判断集合1515-+--⎪⎪⎩⎭是否为“复活集”，并说明理由；（2）若1a ，2a R ∈，且{}12,a a 是“复活集”，求12a a 的取值范围； （3）若*1a N ∈，求证：“复活集”A 有且只有一个，且3n =. 【答案】（1）是；理由见解析；（2）()(),04,-∞+∞U ；（3）见解析； 【解析】根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理及反证法，进而可得答案． 【详解】(1)Q 15151515·12222-+----=+=-，故集合151522⎧---⎪⎨⎪⎪⎩⎭是“复活集”；(2)不妨设1212a a a a t +==，则由韦达定理知1a ，2a 是一元二次方程20x tx t -+=的两个根， 由△0>，可得0t <，或4t >，120a a ∴<或124a a >； (3)不妨设A 中123n a a a a <<<⋯<，由1212n n n a a a a a a na ⋯=++⋯+<，得121n a a a n -⋯<，当2n =时， 即有12a <，11a ∴=，于是221a a +=，2a 无解，即不存在满足条件的“复活集” A ，当3n =时，123a a <，故只能11a =，22a =，求得33a =，于是“复活集” A 只有一个，为{1，2，3}．当4n …时，由121123(1)n a a a n -⋯⨯⨯⨯⋯⨯-…，即有(1)!n n >-， 也就是说“复活集” A 存在的必要条件是(1)!n n >-，事实上，22(1)!(1)(2)32(2)22n n n n n n n ---=-+=--+>…，矛盾， ∴当4n …时不存在复活集A ，所以，“复活集”A 有且只有一个，且3n =. 【点睛】本题考查的知识点是元素与集合的关系，正确理解已知中的新定义“复活集”的含义是解答的关键，难度较大。
上海市上海中学2018-2019学年高三上学期期中数学试题(教师版)
2019届上中高三上期中数学试卷一、填空题1. 设全集I R =，{}2|3100A x x x =--≥，{}2|40B x x =-≤，则()()I I C A C B ⋃=_________；【答案】(,2)(2,)-∞-⋃-+∞ 【解析】 【分析】先计算集合A 得到{}25I C A x x =-<<，再计算集合B 得到{}22I C B x x x =><-或，再计算()()I I C A C B ⋃得到答案.【详解】{}{}2|3100=|52A x x x x x x =--≥≥≤-或，{}25I C A x x =-<<{}{}2|4022B x x x x =-≤=-≤≤，{}22I C B x x x =><-或 ()()(,2)(2,)I I C A C B ⋃=-∞-⋃-+∞故答案为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞【点睛】本题考查了集合的混合运算，意在考查学生的计算能力. 2. 不等式2113x x ->+的解是_________； 【答案】(,3)(4,)-∞-⋃+∞ 【解析】 【分析】不等式化简得到403x x ->+，计算得到答案. 【详解】2121411004333x x x x x x x --->∴->∴>∴>+++或3x <- 故答案为(,3)(4,)-∞-⋃+∞【点睛】本题考查了解不等式，属于基础题型.3. 若指数函数x y a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________；【解析】 【分析】讨论1a >和01a <<两种情况，根据函数的单调性计算值域得到答案.【详解】当1a >时：函数()x y f x a ==单调递增，()2422,(4)4f a f a a ====∴=当01a <<时：函数()x y f x a ==单调递减，()2424,(4)2f a f a ====，无解.综上所述：a =【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握. 4. 函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________；【答案】20)x ≥【解析】分析】利用函数表达式解得)20x y =≥，得到反函数.【详解】())22()424(0)20y f x x x x x x y ==-=--≤∴=≥故函数的反函数为1()20)f x x -=≥故答案为20)x ≥【点睛】本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误.5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为3，公差为2的等差数列，若2nn b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则使得268n n S T +≥成立的n 的最小值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据等差数列定义求得数列{}n a 的前n 项和n S ；由1n n n a S S -=-求得数列{}n a 的通项公式，利用2n n b a =求得数列{}n b 的通项公式，进而求得数列{}n b 的前n 项和n T ；依次代入求解即可得到n 的最小值．【详解】因为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为3，公差为2的等差数列所以()312nS n n=+-⨯ ，化简得22n S n n =+则()()21211n S n n -=-+- 所以1n n n a S S -=-()()()222211n n n n ⎡⎤=+--+-⎣⎦41n =-当1n = 时，113S a == 所以41n a n =- 因为2n n b a =所以122438416532664,,,,,b a b a b a b a b a b a ======⋅⋅⋅ 所以12481622n n n T a a a a a a -=++++⋅⋅⋅+()()()()()345122*********n n ++=-+-+-⋅⋅⋅-+- 3451222222n n n ++=++⋅⋅⋅++-328n n +=--所以()()241121121810S T +=⨯++--= ()()252222222832S T +=⨯++--= ()()263323323874S T +=⨯++--= ()()2744244248152S T +=⨯++--=()()2855255258348S T +=⨯++--= 所以使得268n n S T +≥成立的n 的最小值为5【点睛】本题考查了等差数列通项公式、等差数列前n 项和公式、等比数列前n 项和公式的综合应用，熟练掌握数列的性质和应用，属于难题．6. 如果函数2()21x xaf x a -=⋅+是奇函数，则实数a =_________； 【答案】±1 【解析】【分析】讨论定义域包含0和定义域不包含0两种情况，计算得到答案.【详解】函数2()21x xaf x a -=⋅+是奇函数 当定义域包含0时：1(0)011af a a -==∴=+， 此时21()21x x f x ，2112()()2121x xx x f x f x -----===-++，满足；当定义域不包含0时：即02101a a +=∴=-此时21()(0)21x xf x x =≠-++，2112()()2121x xx x f x f x --+-+-===--+，满足. 综上所述：1a =± 故答案为±1【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求参数，漏解是容易发生的错误.7. 设函数())f x x =，若,a b 满足不等式()()22220f a a f b b-+-≤，则当14a ≤≤时，2a b -的最大值为_________；【答案】10 【解析】 【分析】判断函数为奇函数和单调递增函数，根据不等式得到()()20a b a b -+-≥，画出可行域和目标函数，根据平移得到最值.【详解】())())()()0f x x f x x f x f x =∴-=∴+-=，奇函数；())lnf x x ==，易知y x =单调递增，故()f x 单调递减.()()()()222222022f a a f b b f a a f b b -+-≤∴-≤-+故()()222220a a b b b a b a ∴--++--≥≥()()2014a b a b a ⎧-+-≥⎨≤≤⎩如图所示：画出可行域和目标函数2z a b =-，根据平移得到答案当4,2a b ==-时，有最大值为10【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性，线性规划，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力.8. 若{}|224xA x ≤≤，1|1xB x a x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅，则实数a 的取值范围为_________； 【答案】13a ≤- 【解析】 【分析】计算集合{}12A x x =≤≤，AB =∅等价于在[]1,2上11xa x -≥+恒成立，计算 21()1x f x -++=的最小值得到答案. 【详解】{}{}|22412xA x x x =≤≤=≤≤，11xB xa x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭A B =∅，等价于在[]1,2上11x a x -≥+恒成立，即122111x x x a --+=-+++≤ 设21()1x f x -++= 易知函数[]1,2单调递减，min 1()(2)3f x f ==-，故13a ≤- 故答案为13a ≤-【点睛】本题考查了集合的关系求参数，将A B =∅等价于在[]1,2上11xa x -≥+恒成立是解题的关键. 9. 29(2)2x k x -≤+解集为区间,ab ，且2b a -=，则k = ．2 【解析】【详解】试题分析：如图所示，不等式29(2)2x k x -≤+-的解集为[],a b ，且2b a -=，所以必有3b =，又2b a -=，解得1a =，则直线(2)2y k x =+-，过点(1,22)，代入解得2k =．考点：直线与圆的位置关系及其应用．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中涉及到不等式的解法转化为直线与半圆的位置关系、直线的点斜式方程的应用等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题能力，以及数形结合、转化思想的应用，本题的解答中把不等式问题转化为直线与圆的位置关系是解答的关键，试题有一定的难度，属于难题．10. 对函数设0()||20f x x =-，()*1()()1n n f x f x n N -=-∈，则函数()n y f x =的零点个数n a 的通项公式为_________； 【答案】()*22192120n n n a n N n n +≤⎧=∈⎨+≥⎩【解析】 【分析】先计算124,6a a ==，根据题意得到递推公式114n n a a +-=+或112n n a a +-=+，计算得到答案. 【详解】计算易知：124,6a a ==()*1()()1n n f x f x n N -=-∈，则1()()10()1n n n f x f x f x +=-=∴=±当()1n f x =-时，得到1()()11n n f x f x -=-=-即1()0n f x -=，对应数列为1n a -； 当()1n f x =时，得到1()()11n n f x f x -=-=即1()2n f x -=，（1()2n f x -=-舍去）122()()12()3n n n f x f x f x ---=-=∴=，继续迭代得到()1f x n =即()10()()1201201f x f x n x n x n =-=∴-=+∴=±+ 当18n ≤时：方程的解的个数为4，114n n a a +-=+，22n a n =+； 当19n =时：方程的解的个数为3，2018341a a =+=；当20n ≥时：方程的解的个数为2，112n n a a +-=+，21n a n =+. 综上所述：()*22192120n n n a n N n n +≤⎧=∈⎨+≥⎩故答案为()*22192120n n n a n N n n +≤⎧=∈⎨+≥⎩ 【点睛】本题考查了数列的通项公式，函数的零点问题，综合性强，得出数列的递推公式是解题的关键. 11. {}n a 为等差数列，则使等式1212111n n a a a a a a +++=++++++12122223332018n n a a a a a a =++++++=++++++=能成立的数列{}n a 的项数n 的最大值为_________； 【答案】50 【解析】 【分析】根据题意得到数列项数为偶数设为2n k =，根据关系得到3d >，计算得到关系式22018k d =，计算得到答案.【详解】{a n }为等差数列，则使等式|a 1|+|a 2|+…+|a n |， ＝|a 1+1|+|a 2+1|+…+|a n +1|， ＝|a 1+2|+|a 2+2|+…+|a n +2|， ＝|a 1+3|+|a 2+3|+…+|a n +3|，则：数列{a n }中的项一定满足10n n a a -⎧⎨⎩＞＜或100n n a a -⎧⎨⎩＜＞，且项数n 为偶数，设n ＝2k ，等差数列的公差为d ，首项为a 1， 不妨设100k k a a +⎧⎨⎩＞＜，则：a 1＜0，d ＞0， 且：a k +3＜0， 由1030k k a a +⎧⎨+⎩＞＜，可得d ＞3，所以：|a 1|+|a 2|+..+|a n |＝﹣a 1﹣a 2﹣a 3﹣…﹣a k +a k +1+a k +2+…+a 2k ， ＝﹣2（a 1+a 2+a 3+…+a k ）+（a 1+a 2+a 3+…+a k +a k +1+…+a 2k ） ＝﹣2（()112k k ka d ++）+（()122122k k ka d ++）， ＝k 2d ＝2018， 由于：d ＞3，所以：k 2d ＝2018＞3d 2， 解得：k 2＜672， 故：k ≤25， 故：n ≤50． 故答案为50．【点睛】本题考查了数列的项数的计算，确定项数为偶数和3d >是解题的关键.12.已知20b >>，则232241222c c c a c ++++++的最小值是_________. 【答案】17 【解析】 【分析】根据均值不等式消去b()22228181321(2c c c a c+++≥=，再结合基本不等式的性质以及对勾函数的单调性即可求解．【详解】()22228181321c c c a c+++≥=，当且仅当2b ＝2b 时取等号，则()22322222413212112221c c c c a a c c a c c +++++≥+++++≥=当且仅当()222321c a ca +=，21121c c =+时取等号， 设2t ==≥，当且仅当1c =时取等号，()12488t t t t t ϕ⎛⎫⎪=+=+ ⎪⎪⎝⎭在[)2,+∞上单调递增，所以()min 216117ϕϕ==+=．即232241222c c c a c ++++++的最小值是17，当且仅当12a b c ===时取等号．故答案为：17．【点睛】本题主要考查函数最值的求解，根据基本不等式的性质以及转化思想的应用．属于难题．二、选择题13. 设a ，b ，c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ） A. ||||||a b a c b c -≤-+-B. 2211a a a a+≥+ C. 1||2a b a b-+≥-≤【答案】C 【解析】 【分析】逐项判断，可得答案. 对于A ，由绝对值三角不等式易得恒成立；对于B ，作差法比较大小，可得B 恒成立；对于C ，对,a b 取一组特殊值，代入可得C 不恒成立；对于D ，作差法证明不等式22≤成立，两端开方，可得D 恒成立.【详解】a ，b ，c 是互不相等的正数.对于A ，()()||||||a c b c a c b c a b -+-≥---=-，当且仅当()()0a c b c --≤时，等号成立，故A 恒成立；对于B ，由()22432222(1)11110a a a a a a a a a a a a-++--+⎛⎫+-+==≥ ⎪⎝⎭，得2211a a a a +≥+，故B 恒成立；对于C ，当2,3a b ==，不等式不成立，故C 不恒成立；对于D ，((222323a a -=++-++2=，又()()()()()()32120,321a a a a a a a a +-++=-<∴+<++，220<∴-<，22,∴<<<D 恒成立.故选：C .【点睛】本题考查绝对值三角不等式、作差法比较大小和基本不等式，属于中档题. 14. 设A 、B 、C 是三个集合，则“A B A C ⋂=⋂”是“B C =”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要【答案】B 【解析】 【分析】先判断必要性，再取A =∅，排出充分性，判断得到答案. 【详解】当B C =时，A B A C ⋂=⋂成立，必要性；当A B A C ⋂=⋂时，取A =∅，BC 为任意集合均满足，不充分. 故选B【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.15. 函数()f x 的反函数图像向左平移1个单位，得到曲线C ，函数()g x 的图像与曲线C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A.()1f x +B. ()1f x -C. ()1f x +D. ()1f x -【答案】D 【解析】 【分析】根据平移得到曲线C ：()11fx -+，再根据()g x 是()11f x -+的反函数，计算得到答案.【详解】函数()f x 的反函数为()1f x - ，向左平移一个单位得到曲线C ：()11f x -+函数()g x 的图像与曲线C 关于y x =成轴对称，则()g x 是()11f x -+的反函数即1()()1()()1y f x y f x g x f x +=∴=-∴=- 故选D【点睛】本题考查了反函数的计算，意在考查学生对于反函数知识的掌握情况.16. 已知函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数，函数()(3)g x f x x =-+，数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，若()()()12927g a g a g a +++=，则129a a a +++=（ ）A. 18B. 9C. 27D. 81【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣x ）+f （x ）＝0，又由g （x ）＝f （x ﹣3）+x 且g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，可得f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3）+（a 1+a 2+…+a 9）＝27，结合等差数列的性质可得f （a 1﹣5）＝﹣f （a 9﹣5）＝f （5﹣a 9），进而可得a 1﹣5＝5﹣a 9，即a 1+a 9＝10，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，函数y ＝f （x ）为定义域R 上的奇函数， 则有f （﹣x ）+f （x ）＝0， ∵g （x ）＝f （x ﹣3）+x ，∴若g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，即f （a 1﹣3）+a 1+f （a 2﹣3）+a 2+…+f （a 9﹣3）+a 9＝27， 即f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3）+（a 1+a 2+…+a 9）＝27， f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3））+（a 1﹣3+a 2﹣3+…+a 9﹣3）＝0， 又由y ＝f （x ）+x 为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调函数， 且（a 1﹣3）+（a 9﹣3）＝（a 2﹣3）+（a 8﹣3）＝…＝2（a 5﹣3）， ∴a 5﹣3＝0，即a 1+a 9＝a 2+a 8＝…＝2a 5＝6， 则a 1+a 2+…+a 9＝9a 5＝27； 故选C ．【点睛】本题考查了数列的计算，函数性质的应用，构造函数y ＝f （x ）+x 是解题的关键.三、解答题17. 若数列{}n a 是递增的等差数列，其中35a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}50n a -的前n 项和n S 的通项公式.【答案】（1）21n a n =-；（2）()2250,2525625,26n n n n S n n ⎧-≤⎪=⎨-+≥⎪⎩ 【解析】 【分析】（1）根据中35a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，联立方程组计算得到答案. （2）讨论25n ≤和26n ≥两种情况，分别计算得到答案.【详解】（1）3125a a d =+=；1a ，2a ，5a 成等比数列.，则()()222151114a a a a d a a d =⋅∴+=+ 解得：1a 1,d 2，（15,0a d ==）（舍去），故21n a n =-（2）取*215026,n a n n n N =-≥∴≥∈当25n ≤时：5050512n n a a n -=-=- ，()249512502n n n S n n +-==-当26n ≥时：5050251n n a a n -=-=-，()()()22526125125 (625256252)nn n n S a a n S +--=+++=+=-+综上所述：()2250,2525625,26n n n n S n n ⎧-≤⎪=⎨-+≥⎪⎩ 【点睛】本题考查了数列的通项公式，绝对值前N 项和，分类讨论计算是解题的关键.18. 对于两个实数a ，b ，{}min ,a b 表示a ，b 中的较小数，已知函数124()min 3log ,log f x x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭.（1）请画出函数()f x 的图像； （2）请写出函数()f x 的基本性质.【答案】（1）详见解析；（2）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】（1）根据143log x +和2log x 的大小关系，得到1423log ,4()log ,04x x f x x x +≥⎧⎪=⎨⎪<<⎩画出函数图像得到答案.（2）根据函数图像得到函数的定义域，值域，单调区间. 【详解】（1）124()min 3log ,log f x x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭当1243log log x x +≤时，即2213log log 42x x x -≤∴≥时，14()3log f x x =+；当04x << 时，2()log f x x =综上所述：1423log ,4()log ,04x x f x x x +≥⎧⎪=⎨⎪<<⎩ 画出函数图像，如图所示：（2）根据图像知：()f x 的定义域为()0,∞+；值域为(),2-∞； 在()0,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减.【点睛】本题考查了函数的图像，函数性质，根据函数值的大小关系得到分段函数是解题的关键. 19. 某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求量y （万吨）与x 的函数关系为)*21,116,y px p x x N =>≤≤∈，并且前4个月区域外的需求量为20万吨.（1）试写出第x 个月石油调出后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超出油库的容量，试确定m 的取值范围. 【答案】（1）()*1010116,M mx x x x x =--≤≤∈N ；（2）71924m ≤≤ 【解析】 【分析】（1）先计算50p =，第x 个月共进原油mx ，区域内调出x，区域外调出10吨，计算得到答案.（2）要求剩余油量不超过油库容量，所以030M ≤≤恒成立，转化为恒成立求参数取值问题，再利用换元法求函数最值即可求解．【详解】（1）由条件得202100p ==，所以*16,)y x x =≤≤∈N10M mx x =--，（*116,x x ≤≤∈N ）． （2）因为030M ≤≤，所以()*100116,1030mx x x x N mx x ⎧+--≥⎪≤≤∈⎨+--⎪⎩恒成立，()*101116,201m x x x N m x ⎧≥-++⎪⎪≤≤∈⎨⎪≤+⎪⎩恒成立，t =，则114t ≤≤， 221010111420101m t t t m t t ⎧≥-++⎛⎫≤≤⎨ ⎪≤++⎝⎭⎩恒成立， 由221711010110()1224m t t t t ⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得72m ≥（4x =时取等号），212010114m t t t ⎛⎫≤++≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得194m ≤（16x =时取等号）．故m 的取值范围是71924m ≤≤． 【点睛】本题主要考查的是函数的实际应用问题及利用换元法研究函数的最值、解决恒成立问题，属于难题．20. 已知函数21()(,)4f x ax bx a b R =++∈，且()10f -=，对任意实数x ，()0f x ≥成立. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若0c ≥，解关于x 的不等式2131()424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）求最大的()1mm >使得存在t R ∈，只需[]1,x m ∈，就有()f x t x +≤.【答案】（1）2111()424f x x x =++；（20c 时，()0,x ∈+∞；1c ≥时，∅；01c <<时，11x c c ⎛⎫-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）9m = 【解析】 【分析】（1）根据()1104f a b -=-+=和20b a ∆=-≤联立求解得到答案. （2）讨论0c，1c ≥和01c <<三种情况，分别计算得到答案.（3）假设存在t ∈R ，只要x ∈[1，m ]，就有f （x +t ）≤x ．那么当x ＝1时也成立确定出t 的范围，然后研究当x ＝m 时也应成立，利用函数的单调性求出m 的最值． 【详解】（1）()1104f a b -=-+=，()0f x ≥恒成立，则20b a ∆=-≤ 且0a > 即2221111001,44411()4242f x x x a a a a b ⎛=⎫⎛⎫+-≤∴-≤∴==∴ ⎪⎝+ ⎪⎭+⎝⎭ （2）2131()424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22111131424424x x c x x c ⎛⎫⎛⎫++>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 220cx x c ∴-+<当0c时：解得0x >；当0c >时：244c ∆=-故当1c ≥时：2440c ∆=-≤，不等式无解；故当1c <时：2440c ∆=->，不等式解x <<综上所述：0c 时，()0,x ∈+∞；1c ≥时，∅；01c <<时，x ∈⎝⎭（3）假设存在t ∈R ，只要x ∈[1，m ]，就有f （x +t ）≤x ．取x ＝1，有f （t +1）≤1，即14（t +1）212+（t +1）14+≤1，解得﹣4≤t ≤0， 对固定的t ∈[﹣4，0]，取x ＝m ，有f （t +m ）≤m ，即14（t +m ）212+（t +m ）14+≤m ．化简有：m 2﹣2（1﹣t ）m +（t 2+2t +1）≤0，解得1﹣t ≤m ≤1﹣t故m ≤1﹣t ≤1﹣（﹣4）=9 当t ＝﹣4时，对任意的x ∈[1，9]， 恒有f （x ﹣4）﹣x 14=（x 2﹣10x +9）14=（x ﹣1）（x ﹣9）≤0．∴m 的最大值为9．【点睛】本题考查了函数的解析式，解不等式，存在问题和恒成立问题，将不等式转化为对应的方程是解题的关键.21. 已知数列{}n a 的各项均为正数，且都小于1，112a =，()22*112n n n n a a a a n N ++-=-∈，设数列的前n 项和为n S .（1）用1n a +表示n S ； （2）求证：1n n a a +<，并且313424n n S -<<； （3）记112n n nb a a +=-，求证：n b ≤【答案】（1）211324n n n S a a ++=-+；（2）详见解析；（3）详见解析 【解析】 【分析】（1）变换得到()()221122n n n n n a a a a a ++-=--，累加得到答案.（2）根据()()1120n n n n n a a a a a ++=-+->得到证明；计算12nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，234n n n S a a -=+得到证明.（3）先计算1b =112n n nb a a +=-单调递减，得到答案. 【详解】（1）()()22221111222n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++---=-∴=- 累加得到：()()22211111132224n n n n n aa a a a S a ++++=---=-+ （2）()()()()1122112022n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++=-=---+->数列{}n a 的各项均为正数，且都小于1，故120n n a a ++-<，故1n n a a +<()2111133332204444n n n n n S a a a a ++++=-+=-+<+=； 221120n nn n aa a a ++=--<，故1212nn n n a a a +⎛⎫<∴≤ ⎪⎝⎭122133331244442n n n nn n n a a S a a a ++⎛⎫=-+=+>-+≥- ⎪⎝⎭-，故313424n n S -<<（3）112a =，2221122a a a a -=-，解得212a =-，112n n n b a a +=-，则12112b a a =-=22112211111111222122n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a ++++++∴=∴-=----=--- 故11212112n n n n n b a a a a ++=-=--- ()()()222211111112n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a +++++++-=∴-=+---=-故()()2112121111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++++-=<=--+-+()()()()()11211211212212112121122n n n n n n n n n n n n n n a a a a b b a a a a a a a a ++++++++++----=--+=+--------()()()()()11212101122n n n n n n a a a a a a ++++⎡⎤--+<⎢⎥----⎣⎦< 故1n n b b +<故当1n =时，数列最大为n b ≤【点睛】本题考查了数列的单调性，最值，前N 项和，综合性强，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.。
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上海市2018-2019学年华师大三附中高一上期中考试数学试卷一、填空题（本答题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应的编号空格内直接填写结果.每个空格填对得3分，否则一律得零分•1. 集合泣b}的真子集的个数为________________【答案】3【解析】【分析】由真子集的定义，将集合的真子集列举出来即可•【详解】集合A- ： < 的真子集有•，共3个，故答案为3.【点睛】集合的真子集是指属于该集合的部分（不是所有）元素组成的集合，包括空集2. 设集合A = {x|x-2| < 1.x E R］，集合B = Z U A 门B = _______________【答案】【解析】【分析】利用绝对值不等式的解法化简集合，由交集的定义可得结果•【详解】，即，解得•，即' ,集合，则—⑺,故答案为.【点睛】本题考查交集的求法以及绝对值不等式的解法，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，是基础题，解题时要认真审题•3. “玄€2”是“芒=4”的___________________【答案】必要不充分【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法化简不等式』g ■<■,利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论【详解】由得，则“ •”是“•”的的必要不充分条件，故答案为必要不充分.【点睛】本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题，将一元二次不等式的 解法、充分条件、必要条件相关的问题联系在起来，体现综合应用数学知识解决问题的能力， 是基础题.4. ________________________________________________________________ 命题“已知x ?y E R ，如果x + y*2，那么尤#（】或丫 = 2. ”是 _______________________________________________ 命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】先写出原命题的逆否命题，并判断其真假 ，进而根据互为逆否的两个命题真假性一致 ，得到结论.【详解】命题“已知」如果丈、，那么或【*；.”的逆否命题为 “已知WH ，如果且.■ -，那么，I 厂*”为真命題，故命题“已知：'•如果那么 或 ”是真命题，故答案为真.【点睛】本题考査的知识点是命题的真假判断与应用，其中当原命题的真假判断比较麻烦或 无法证明时，常去判断其逆否命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性一致，得到 结论.J1-2X 5. ------------------------- 函数f （x ）= __________ 的定义域是 .十I【答案】. ；1 【解析】 【分析】根据分式的分母不为零，且二次根式的被开方数大于或等于零，由此建立关于 的不等式组,解之即得函数的定义域.1x+T【点睛】定义域的三种类型及求法：（1）已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式【详解】要使函数等价于/(2x l)(x +1) < 0\ x+ 1 ¥0与1＜罔,（组）求解；（2）对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式（组）求解；（3）若已知函数i；的定义域为I卜，则函数『：：.'；'」：的定义域由不等式:■ ■■■ I I •求出.2-4,则心）的解析式为 _________________ .6. 已知f（x+1）=X【答案】i!：「>■' j?；.■-【解析】【分析】令:"丨- I ,则弋- -I，求出,从而可得结果.【详解】因为/ /■-令? < I - I ,贝A f（x I I）= f（t）= （t l）2' 4=「, ■，-函数的解析式为i! ；• J ,■■■.，故答案为i. ;■<■:【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种:（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.7. 集合二員.沖心’+ L罔?■ - ■/，心的元素只有1个，则的取值范围是【答案】【解析】【分析】由. 中有且仅有一个元素，可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；利用分类讨论思想，可求出的范围.【详解】联立’t y = 2x -I- 3即:J■••AriB是单元素集，分两种情况考虑：，方程有两个相等的实数根，即，可得:? < :也=■",解得；=■:J - c,方程.窪门只有一个根，符合题意，综上，的范围为’:故答案为【点睛】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题8. 若函数3=宀2(a-2)x十5在区间(4,十◎上是增函数，则实数日€__________________________ .【答案】|「yT【解析】【分析】根据二次函数的性质，判断出其图象是开口方向朝上，以为对称轴的抛物线，利用为的子集可构造一个关于的不等式，解不等式即可得到实数的取值范围•【详解】■函数. ：■：.：■■：.■■■ ' I：.■ ' ：■■-■. •匚的图象是开口方向朝上，以弋-「-.-：：为对称轴的抛物线，若函数1：■■ ' • 7■'在区间卜.•—上是增函数，所以H 八为I ■" ■■- ' ■的子集，则；一；.心：，解得心-二故答案为| -二；'• •【点睛】本题考査的知识点是函数单调性及二次函数的性质，属于简单题•利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间I' I上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法① 求解的.9. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当^<0时，f(x)=-才-乂，则『⑵=_______________________________ .【答案】2【解析】【分析】由为上的奇函数即可得出'；<-，并且f：时，心：「从而将：一代入if Q .i-的解析式即可求出ii ' 1,从而求出【详解】丫是定义在上的奇函数，并且时，，f '■|「「厂-■'：!:，故答案为2 .【点睛】本题主要考查函数的解析式与函数奇偶性的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练 程度，属于简单题•10. ___________________________________________________________已知函数呂仗）=2”，且呂仗），吕（b ）=2，则訪的最大值是 _________________________________________________ .【分析】【详解】■■-函数，且有 -、二：丁 ：，二"-.1•、-，r阿| b-.i?1：；且 i ：：…，当且即当=.=时，1取最大值,故答案为.2 4 4【点睛】本题主要考查指数幕的运算以及利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判 断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多 次用 或 时等号能否同时成立）11.已知关于 的一元二次不等式：〔的解集为 ' .则关于 的不等式ex 十b&i +刍w 0的解集为 _____________.1【答案】9【解析】 【分析】构造解集和■: J E 厂•；；是同解 j.L 的不等式，然后可得出 —再代入求=求 解即可. 【详解】十窪一力曲的解集为 : 则＞ 'x ：-［与.I/''：：■■ ■: 是同解不等式，■- ：i、 ■. ■-，则关于 的不等式：； .：'」：•二的解集即为的解集， •-「、.- , - I ，即'.A-'.L：•'由一二可得.门由基本不等式可得论涪- ,注意等号成立的条件即可解得 代<-9故关于乂的不等式cx -i b^'x I a < 0的解集为卜故答案为[o’*卜【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，以及特值法在解题中的应用，意在考查灵活 应用所学知识解答问题的能力，属于中档题•12.设过十b = M.b 、0，则当a= 时， U 取得最小值沖I b【答案】" 2【解析】 【分析】需要分类讨论，当 ：和当 ，分别化简，利用基本不等式即可得到结论3|a| b【详解】 ：• h 「，••卜一A —即卩 、，故当 •时，取得最小值，4 沖 | b9当且仅当■■取等号故当;] 时，—丨一取得最小值，2 3|a| b931剧3 综上所述 的值为 时，「"一取得最小值，故答案为. 2 3|a| b2【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于难题•在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正” （即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值） 、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错 误.二、选择题： （本大题共4题，满分12分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸相 应的编号空格内直接填写选项，选对得 3分，否则一律得零分13. 已知实数：满足.卜，则"二:::二成立”是"：•：：；；"'成立”的（ ）a bA.充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】C 【解析】当 ：时,当且仅当「取等号2 5【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】由—，a b abI' ，'若成立,a b则:，即.卜成立，反之若，1 1 b=aI" ，…，a b ab即成立，a b1 1…“成立”是“成立”充要条件，故选C.a b【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用，属于中档题•判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论•.分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试；.= ■：■■. =：..对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.14. 已知函数m的定义域为丨■'只有一个子集，则（）A.小1B. ' =、；‘：C. 「：：D. :【答案】A【解析】空集是任何集合的子集，只有一个子集那只能是空集，所以i "-x. ■■丨'；；：：•、" ■'二①所以f（x）的定义域不包含x=0,所以,a、b同号,且均不为零,所以ab > 0故选：A点睛：本题主要考查了函数的定义，对定义域上的每个x,有且只有一个y值与其对应，若x不在定义域上，当然就不存在y值与其对应，此时m 浪宀.、• K 'm：二①.15. 设是定义在上的函数.①若存在"工.，使「'° 「「■成立，则函数）「在上单调递增；②若存在:■■■；：■■：＜.，使「!冷| “成立，则函数ii 在卜:上不可能单调递减;③若存在对于任意巴-三都有；入;•匚沙•［+少成立，则函数ii .i ■在上单调递减.则以上真命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】根据增函数和减函数的定义判断，注意关键的条件：“存在”、“任意”以及对应的自变量和函数值的关系•【详解】对于①，“任意”’，使成立，函数在上单调递增，故①不对；对于②，由减函数的定义知，必须有“任意””工，使“3 •；.「成立，即若存在，使成立，函数在上不可能单调递减，故②对；对于③，存在对于任意!都有:丸J成立，则函数不在上单调递减，故③不对；即真命题的个数为1，故选B.【点睛】本题主要考查阅读能力以及对增函数与减函数定义的理解与应用，意在考查对基本概念掌握的熟练程度和灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题16. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表•那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y =［x］（［ x］表示不大于x的最大整数）可以表示为（）x x I 3 x 1-4 x-i 5A. y =B. y =C. y=D. y = IJO 10 10 10【答案】B【解析】【分析】根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7,8,9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3•进而得到解析式.【详解】根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表,即余数分别为7，8, 9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加 3 •因此利用取整函数可表示为y=[ ]10也可以用特殊取值法若x=56, y=5,排除C、D,若x=57, y=6，排除A;故选：B.【点睛】本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂题意，再根据数学知识即可得到答案.对于选择题要会选择最恰当的方法.三、解答题：(本大题共有5题，满分52分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤•K=217. 已知集合.、-「■. ;i ： w「d ;■■■. v /.i■：，若:' i；,求实数的取值范围.x-31【答案】jLr【解析】【分析】利用分式不等式的解法化简集合利用绝对值不等式的解法化简集合，再由一,根据并集的定义直接求实数的取值范围•【详解】集合「「、一「：r W■.「或- , B - {刈x-戈日| < 2pt E R} = {x|2a—2 < x < 2a -I- 2},(■ 2a-2 < 21若—；,则] :，得，所以实数时勺取值范围[孑2 .【点睛】集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图.18. 已知关于的不等式二一有解，求关于的不等式< ■■■■:-九的解.【答案】a + 2【解析】【分析】由关于的不等式有解，可知,〉、= ：,-::,二,又由- ■；:: ■:,分a+2>0或卄2 = 0或；1+2^0三种情况，解出不等式的解即可得到结果.【详解】由于关于的不等式有解，则；：•. =「-：■ > ::，即'上；'或；二-'，又由■■■■■ 丁-”等价于-,则当时，，所以不等式二！ ' 的解为一—红十2当时，不等式无解，当av—2 时,a+2v0 ,3所以不等式<■■■ - 7- 丁-宀的解为宀——.盘十2【点睛】分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的19. 设函数一、：•—.；x（1）判断函数的奇偶性；（2）探究函数j'l ：■： . ' 1：：L 「1—■上的单调性，并用单调性的定义证明.X【答案】（1）奇函数；（2）单调递增，证明见解析.【解析】试题分析：（1）由函数可得函数的定义域关于原点对称，再化简得；即可判定函数的奇偶性；（2 ）禾9用函数的单调性的定义，即可证明函数在卜％「上的单调递增.十（—十龙2试题解析：（1）i | •、1的定义域| ■'为奇函数；（2）函数_:_化.；「在卜％-!■「•：上的单调递增,证明：•，二匚，•. •，任取內也•：W ■■■■■；,且X则:■: .“;• 丄丨x l x2'■■■I ■：■ - | ■■ I ，且,：\ V〔,，则’7込；7x l x2即i' <| ' 、一函数；-化宀在沁+「上的单调递增.考点：函数的性质的判定与证明.【方法点晴】本题主要考查了函数的性质的判定与证明，其中解答中涉及到函数奇偶性的判定与证明，函数的单调性的判定与证明，函数单调性的定义等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中熟记函数的奇偶性和单调性的判定方法是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.20. 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50W x< 100 (单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油|2 + —'|升，司机的工资是每小时\ 360/14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.【答案】(1) y = A 匚：「二一「1—, x€ [50,100]. (2)当x = 时，这次行车的x 360 x总费用最低，最低费用为• 元【解析】130试题分析：(1)由行车所以时间小时，即可列出行车总费用关于的表达式；(2)由(1)x知，利用基本不等式求解最值，即可求解结论.130试题解析：(1)行车所以时间小时，X130 x：14 乂130 2340 13 八• •. . 6 分x 360 x x 182340 13 J—2340 13 l(2) .，当且仅当，即一：心•；时等号成立，x 18 x 18所以当一一*时，这次行车的总费用最低，最低费用为•元.12分考点：函数的解析式；基本不等式的应用.【方法点晴】本题主要考查了实际问题的应用，其中解答中涉及到函数的解析式、基本不等式的求最值及其应用等知识点的综合考查，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，此类问题的解答中准确审题，根据题设条件，列出关系式是解答的关键.21. 对于函数!.,<： .1?/ iL ::？■- ，■■）：.、「，：，若存在实数，使：汽―；.,成立，则称为ii.「的不动点•（1）当.二卜二时，求的不动点；（2）若对于任意的实数函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，若宅窪的图象上. 两点的横坐标是函数的不动点，且直线1-是线段.的垂直平分线，求实数的取值范围•2a + 1【答案】（1）；（2）' ；（3）[ ；“•【解析】【分析】⑴设为不动点，则有J-.' ■. 4 ■.,变形为J-.' 4 ,解方程即可；（2）将心、转化为■- .■■■.，，由已知，此方程有相异二实根，则有y：1恒成立，可得1：'： la：.-：':：::,由可得结果；（3）由垂直平分线的定义解答，由.两点的横坐标是函数的不动点，则有1—,再由直线■-- 一一是线段.的垂直平分线，得到--1，再由中点在直线上2a2+ 1T a I, 1 … b = ----------- h------------可得利用基本不等式求解即可•2a + 1 加一a【详解】：・.：卜丨I -; I'. 2 .1（1）当：| 【卜：、时，.•:；〉-】、■!设为其不动点，即! ■.,则2... -■丨•：、_,即的不动点是•（2）由hi 「得!由已知，此方程有相异二实根，则有恒成立即I/' hi;:: :丨，即/」/•—::::;对任意，恒成立，-A b<0, A 16a2-32a <0 a <2^（3）设鬥加叮;汽;直线是线段的垂直平分线, 记的中点，由（2）知，在上，，化简得（当时，等号成立）即，即.【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、直线的方程以及利用基本不等式求最值与新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。