随机事件的概率

概率论与数理统计
§1.2 随机事件的概率
性质6 对于任意两个事件A、 B， 有
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB)
称此公式为加法公式 。特别地 ，当A、B互不 相容时，有 P ( A B ) P ( A) P ( B ) 加法公式推广到多个随机事件
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§1.2 随机事件的概率
§1.2 随机事件的概率
研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪 些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性 大小，也就是事件的概率. 概率是随机事件 发生可能性大小 的度量
事件发生的可能性 越大，概率就 越大！
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§1.2 随机事件的概率
一、频率与概率
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§1.2 随机事件的概率
频率的性质：
（1）(非负性) （正则性） （ 2）
f n ( A) 0
f n ( ) 1
（3）（可加性） 设 A1 , A2 ,, Ak 是两两互不 相容的随机事件，则
f n ( A j ) f n ( A j )
j 1 j 1
k
k
P ( ) tS ( ) 1
S ( )
1 知t S ( )
从而 P ( A) S ( A)
——几何概率
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§1.2 随机事件的概率
例7 甲乙两人约定中午11时~12时在某地会面.
如果先到者等候后到者10分钟，过期不候，
若每人在指定一个小时内任意时刻到达，
计算两个人会面的概率。
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§1.2 随机事件的概率
2. 概率
定义1 在相同条件下，重复进行 n 次试验，
n 增大，事件A发生的 频率在一个常数 p 附近摆动，称这个
当试验的次数 常数
p
为事件A的概率，记作 P ( A) 。
概率的统计定义。
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§1.2 随机事件的概率
关于频率和概率的关系，需要强调以下事实： 1. 频率是随着试验的变化而发生变化的。试 验不同，频率的大小不同；而概率是先于试 验而客观存在的，无论进行多少次试验，概 率始终不变。 2. 对于较大的n， n次试验中事件A的频 率，一般与事件A的概率P相差不大，试验 次数n越大，频率与概率有较大偏差的情形 就越少见.
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§1.2 随机事件的概率
三. 古典概型 1.排列组合的复习 (1) 摸球问题 一个袋中有 n 个球，编号为1，2,…，n ，从
中任取 r 个球，有多少种摸法？ ①有放回，且计摸球次序（回置式抽样），共有
n 种摸法；
②有放回，不计摸球次序，共有 C
r n r 1
r
种摸法。
③无放回，且计摸球次序（非回置式抽样）， r A 共有 n 种摸法；
二只（回置式抽样）；
（2）第一次取一只球不放回，第二次从剩下的球 中再取一只（非回置式抽样）。 求（a）取到的两只球都是白球是概率；
（b）取到两只球中至少有一只是白球的概率。
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§1.2 随机事件的概率
例5 把20个队分成两组（每组10队）进行比赛， 求最强的两队分在不同组内的概率。 例6 设有20个零件，其中16个是一等品，4个是 二等品，今从中任取3个，求至少有一个是 一等品的概率。
④无放回，不计摸球次序，共有 C 种摸法；
r n
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§1.2 随机事件的概率
放入 n 个盒子中，有多少种放法？
（2）占位问题 设有 n个有编号的盒子，r 个球，把它们任意地
①每个盒子容纳球不限，球有区别,共有 n r 种放法； ② 每个盒子至多容纳一个球，球有区别，共有 r An 种放法； ③ 每个盒子至多容纳一个球，球无区别，共有 r Cn 种放法； ④每个盒子容纳球不限，球无区别，共有 C 种放法。
i 1 i 1 n n 1 i j n
A
i j
B
C
P( A A )

1 i j k n
n1 P ( A A A ) i j k „ (1) P ( A1 A2 „ An )
例1 已知A,B,C是三个随机事件，且
P ( A) 0.45,
P ( B) 0.35, P (C ) 0.3, P ( AB ) 0.1, P ( AC ) 0.08, P ( BC ) 0.05, 计算： P( A B ), P( B C ) .
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§1.2 随机事件的概率
概率的公理化定义 设E是随机试验， 是它的样本空间，对 于 中的每一个事件A，赋予一个实数，记为 P(A) ，称为事件A的概率，如果集合函数 P () 满足下述三条公理: 公理1 P (1) ( A) 0 (非负性） 公理2 P( )=1 （正则性） (2) 公理3 若事件A1, A2 ,… 两两互不相容，则有 P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) (3) 这里事件个数可以是有限或无限的 . （可加性）
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§1.2 随机事件的概率
四、几何概型
古典概型是关于试验的结果为有限个,
且每个结果出现的可能性相同的概率模型.
一个直接的推广是：保留等可能性，而允
许试验的所有可能结果为直线上的一线段、
平面上的一区域或空间中的一立体等具有
无限多个结果的情形，称具有这种性质的
试验模型为几何概型．
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1. 频率 在相同条件下，进行 n 次试验，事件A 发生了 n A 次，称 n A 为事件A发生的频数；称
nA 比值 为事件A发生的频率，记作 f n ( A). n
/
即
nA f n ( A) n
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§1.2 随机事件的概率
例1 将一枚均匀的硬币抛掷500次，A表示正面 向上，得到一些数据如下：
例2 某城市的电话号码由7个数字组成，每个 数字可能是从0-9这十个数字中的任一个， 求电话号码由七个不同数字组成的概率.
P ( A)
10
7 A10 7
例 3 一个教室共有100个人，求其中至少有一 人的生日是在元旦的概率（设一年以365 天计算）。
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§1.2 随机事件的概率
例4 袋中有100只球，其中有60只白球，30只红 球，10只蓝球，从袋任取球两次，每次任取一只， 考虑两种取球方式： （1）第一次取一只球，观察颜色后放回，再取第
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§1.2 随机事件的概率
设试验E是古典概型, 其样本空间 由n个 样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义 事件A的概率为： A包含的样本点数 P(A)＝k/n＝
中的样本点总数
称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法 称为古典方法 .
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§1.2 随机事件的概率
三个事件和的概率为
P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC )
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§1.2 随机事件的概率
n个事件和的概率为
P ( Ai ) P ( Ai )
3. 古典概型的计算公式 例如，一个袋子中装有 10个大小、形状完全相同 的球. 将球编号为1－10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从 中任取一球. 记 B={摸到红球} P(B)=?
记 A={摸到2号球}
P(A)=?
2
P(A)=1/10
2
1 2 3 4 5 6
P(B)=6/10
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
性质3 设Ａ、B是两个事件，若 A B, 则 有 P ( B A) P ( B ) P ( A) 且 P ( B ) P ( A)
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§1.2 随机事件的概率
性质4 对于任一事件A有 P( A) 1 ; 性质5 对于任一事件A有 P ( A ) 1 P ( A) ； 性质5在概率的计算上很有用，如果 正面计算事件A的概率不容易，而计算其 对立事件A 的概率较易时，可以先计算 P ( A ) ，再计算P(A).
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§1.2 随机事件的概率
例1 将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次“6” 点的概率是多少？ 令 事件A={至少出一次“6”点} A发生 {出1次“6”点} {出2次“6”点}
{出4次“6”点} {出3次“6”点}
直接计算A的概率较麻烦, 我们常常先来计 算A的对立事件
A ={4次抛掷中都未出“6”点} 的概率.
§1.2 随机事件的概率
若在一个面积为 S ( ) 的区域 中等可能地 任意投点，这里“等可能”的含义是：点落入 中任何区域A的可能性的大小与区域A的面积 S ( A) 成正比，而与其位置和形状无关． 记事件 则有 由
A { 点落入区域 A }
P ( A) tS( A)，其中 t为比例常数
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§1.2 随机事件的概率
公理1说明，任一事件的概率一定大于等于0； 公理2说明，必然事件的概率为1； 公理3说明，对于任何互不相容（互斥）的 事件序列，这些事件至少有一个发生的 概率正好等于它们各自概率之和.
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§1.2 随机事件的概率
3. 概率的性质 性质1 P ( ) 0 ; 性质2 (有限可加性） 若事件A1, A2 ,…, An 两两互不相容，则有
r n r 1
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§1.2 随机事件的概率
2.古典概率的特点 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同.