云南省最新2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题

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2021-2022学年云南省楚雄州高一年级上册学期期末教育学业质量监测数学试题【含答案】

2021-2022学年云南省楚雄州高一上学期期末教育学业质量监测数学试题一、单选题1．已知，，则（）{}1,0,2A =-1B y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭A B = A ．B ．C ．D ．{}0{}1,2-{}0,2{}1,0,2-【答案】B【分析】根据函数的值域求得集合，由此求得.B A B ⋂【详解】因为，所以.()(),00,B =-∞⋃+∞{}1,2A B =- 故选：B2．命题“，是4的倍数”的否定为（）x Z ∃∈21x +A ．，是4的倍数B ．，不是4的倍数x Z ∀∈21x +x Z ∀∈21x +C ．，不是4的倍数D ．，不是4的倍数x Z ∃∈21x +x Z ∀∉21x +【答案】B【分析】根据特称量词命题的否定是全称量词命题即可求解．【详解】因为特称量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“，是4的倍数”的否定为“，不是4的倍数”．x Z ∃∈21x +x Z ∀∈21x +故选：B3．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（）()f x (()f x A ．RB ．()0,∞+C ．D ．[)0,∞+()(),00,∞-+∞ 【答案】C 【分析】设，点代入即可求得幂函数解析式，进而可求得定义域.()f x x α=【详解】设，因为的图象过点，()f x x α=()f x (所以，则2α=12α=()f x =故的定义域为．()f x [)0∞+故选：C4．如图所示的时钟显示的时刻为，此时时针与分针的夹角为．若一个半径为的4:30()0ααπ<≤1扇形的圆心角为，则该扇形的面积为（）αA ．B ．C ．D ．2π4π8π16π【答案】C【分析】求出的值，利用扇形的面积公式可求得扇形的面积.α【详解】由图可知，，所以该扇形的面积．1284παπ=⨯=212481S ππ=⨯⨯=故选：C.5．下列函数中，为奇函数的是（）A ．B ．()21f x x =()4f x x =C ．D ．()1f x x x=+()cos f x x=【答案】C【分析】由函数的奇偶性的定义即可得出答案.【详解】函数，，为偶函数，函数为奇函数.()21f x x =()4f x x =()cos f x x =()1f x x x =+故选：C.6．“，”是“函数的图象关于点中心对称”的（）m k π=Z k ∈()tan f x x=()0m ,A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先求出函数的图象的对称中心，从而就可以判断.()tan f x x=【详解】若函数的图象关于点中心对称，则，，所以“，()tan f x x=()0m ,2k m π=Z k ∈m k π=”是“函数的图象关于点中心对称”的充分不必要条件．Z k ∈()tan f x x =()0m ,故选：A 7．已知函数在上具有单调性，则k 的取值范围是（）()21x x x f k =-+[]2,5A ．B ．[]2,5[]4,10C ．D ．(][),410,-∞⋃+∞(][),22,-∞-+∞ 【答案】C 【分析】由函数，求得对称轴的方程为，结合题意，得到或，即()21x x x f k =-+2k x =22k ≤52k≥可求解.【详解】由题意，函数，可得对称轴的方程为，()21x x x f k =-+2kx =要使得函数在上具有单调性，()f x []2,5所以或，解得或．22k ≤52k ≥4k ≤10k ≥故选：C.8．已知，，则（）sin cos 3sin cos αααα+=-22ππα-<<sin cos αα-=A ．B ．C D 【答案】D【分析】由，得，再由,可得sin cos 3sin cos αααα+=-tan 2α=22ππα-<<sin α=cos α=果.【详解】因为，所以，解得．sin cos 3sin cos αααα+=-tan 13tan 1αα+=-tan 2α=又因为，，所以．，22a ππ-<<tan 0α>02a π<<sin α=cos α=所以．sin cos αα-=故选：D 9．已知函数的部分图象如图所示，若函数的图()()()sin 0,0,0f r A x k A ωϕωϕπ=++>><<()g x象由的图象向右平移个单位长度得到，则（）()f x 6πA ．B ．()3sin 226g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()23sin 223g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．D ．()2sin 236x g x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()3sin 22g x x =-【答案】A【分析】结合图象利用五点法即可求得函数解析式.【详解】由图象可得解得，．1,5,A k A k +=⎧⎨-+=-⎩3A =2k =-因为，所以．又因为，所以．22362T πππ=-=2T ππω==0ω>2ω=因为，所以，，即，．又因为3sin 2216πϕ⎛⎫⨯+-= ⎪⎝⎭2262k ππϕπ⨯+=+Z k ∈26k πϕπ=+Z k ∈，所以．．．0ϕπ<<6πϕ=()3sin 226f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()3sin 226g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故选：A.10．尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系式为．年月日，M lg 4.8 1.5E M =+2011311日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年月日我国四川九寨沟县发9.0201788生里氏级地震的（）7.0A ．倍B ．倍C ．倍D ．倍326410001024【答案】C【分析】设里氏级和级地震释放出的能量分别为和,可得出，利用9.07.01E 2E 12lg 4.8 1.59.0lg 4.8 1.57.0E E =+⨯⎧⎨=+⨯⎩对数的运算性质可求得的值，即可得解.12E E 【详解】设里氏级和级地震释放出的能量分别为和,9.07.01E 2E 由已知可得，12lg 4.8 1.59.0lg 4.8 1.57.0E E =+⨯⎧⎨=+⨯⎩则，故．()()122lglg lg 4.8 1.59.0 4.8 1.57.03l E E E E =-=+⨯-+⨯=312101000E E ==故选：C.11．已知定义在R 上的函数满足，且当]时，，则()f x 22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[]0,x π∈()sin f x x =（）A ．()()()()cos120sin 20sin190f f f ︒>-︒>︒B ．()()()()cos120sin190sin 20f f f ︒>︒>-︒C ．()()()()sin190cos120sin 20f f f ︒>︒>-︒D ．()()()()sin190sin 20cos120f f f ︒>-︒>︒【答案】A【分析】由，可得的周期为，利用周期性和单调性化简计算即可得出22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x π结果.【详解】因为，所以的周期为．22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x π当时，，则在上单调递减，所以在上单调递减．[]0,x π∈()sin f x x =()f x ,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x ,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦因为，且1sin 210sin 200sin1900-<︒<︒<︒<()sin 210cos120,sin 200sin 20︒=︒︒=-︒所以．()1cos120sin 20sin1900-<︒<-︒<︒<故．()()()()cos120sin 20sin190f f f ︒>-︒>︒故选：A.12．已知函数函数有四个不同的零点，且()221,1(2),1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩()y f x a =-1234,,,x x x x ，现有下列四个结论：1234x x x x <<<①的取值范围是；②的取值范围是；③；④.其中所有正a ()0,121x x -()0,1344x x +=1234222x x x x +=+确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④【答案】B【分析】将问题转化为与有四个不同的交点，应用数形结合思想判断各交点横坐标的范()f x y a =围及数量关系，即可判断各选项的正误.【详解】有四个不同的零点，即方程有四个不同的解.的图象()y f x a=-1234,,,x x x x ()f x a =()f x 如图所示，由图可知，，，所以，即的取值范围是，①正确，01a <<10x <201x <<210x x ->21x x -()0,∞+②错误.由二次函数的对称性，可得.因为，所以，故，③344x x +=121221x x -=-12222x x +=12342212x x x x +=+正确，④错误.故选：B.二、填空题13．已知，写出一个满足条件的的值：______．1cos 32πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭α【答案】（答案不唯一）π【分析】利用，可得，，计算即可得出结果.1cos 32πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2233k ππαπ-=±+Z k ∈【详解】因为，所以，．1cos 32πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2233k ππαπ-=±+Z k ∈则，或，．23k παπ=-+Z k ∈2k αππ=+Z k ∈故答案为：（答案不唯一）π14．若，则__________．4log 31x =33x x -+=【答案】174【解析】先求出的值,然后再运用对数的运算法则求解出和的值,最后求解答案.x 3x3x-【详解】若,则,所以.4log 31x =341log 4log 3x ==33log 4log 41173333444x x --+=+=+=故答案为:174【点睛】本题考查了对数的运算法则,熟练掌握对数的各运算法则是解题关键,并能灵活运用法则来解题,并且要计算正确,本题较为基础.15．已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则()12xf x a b⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1y =______．()2f -=【答案】##0.7534【分析】根据条件求出，，再代入即可求解.1b =1a =-【详解】因为的图象过原点，所以，即．又因为的图象无()f x ()01002f a b ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭0a b +=()f x 限接近直线，但又不与该直线相交，所以，，1y =1b =1a =-所以，()112xf x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以．()2321412f ⎛⎫-=-+=⎪⎝⎭故答案为：3416．已知正数a ，b 满足，则的最小值为______．222a ba b ab ++≥2+a b【分析】右边化简可得，利用基本不等式，计()211115222222a b b a a b ab a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭算化简即可求得结果.【详解】，()21111591222222222a b b a a b a b ab a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+≥=++=++≥⨯ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭故,则()2922a b +≥2a b +≥a b ==三、解答题17．已知集合，，．{}260A x x x =+-≤{}330B x x =-<-<{}12C x m x m =-<<(1)求；()R A B ⋂ (2)若，求m 的取值范围．A C ⊆【答案】(1)()()2,3R A B ⋂= (2)()4,+∞【分析】（1）先求得集合A ，再由集合的补集运算和交集运算可求得答案；（2）根据条件建立不等式组，可求得所求的范围.【详解】（1）因为，，{}32A x x =-≤≤{}03B x x =<<所以，．()(),32,R A =-∞-⋃+∞ ()()2,3R A B ⋂= （2）因为，所以A C ⊆13,22,m m -<-⎧⎨>⎩解得．故m 的取值范围是．4m >()4,+∞18．已知函数.()1f x x x =-(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明；()f x ()0,∞+(2)判断的奇偶性，并求在区间上的值域.()f x ()f x []2,1--【答案】(1)函数在区间上单调递增，证明见解析()f x ()0,∞+(2)函数为奇函数，在区间上的值域为()f x ()f x []2,1--3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用定义法证明函数单调性；（2）先得到定义域关于原点对称，结合得到函数为奇函数，利用第一问的单调性求出在区间上的值域.()()f x f x -=-()f x []2,1--【详解】（1）在区间上单调递增，证明如下：()f x ()0,∞+，，且，1x ∀()20,x ∈+∞12x x <有.()()()()()121212121212121221121211111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---=-+-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，，且，所以，.1x ()20,x ∈+∞12x x <120x x >120x x -<于是，即.()12121210x x x x x x -+<()()12f x f x <故在区间上单调递增.()f x ()0,∞+（2）的定义域为.()f x ()(),00,∞-+∞ 因为，所以为奇函数.()()1f x x f x x -=-+=-()f x 由（1）得在区间上单调递增，()f x ()0,∞+结合奇偶性可得在区间上单调递增.()f x (),0∞-又因为，，所以在区间上的值域为.()322f -=-()10f -=()f x []2,1--3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦19．已知函数，．()()log 1a f x x =+()()()log 1 10,a g x x a a =->≠且(1)求函数的定义域；()()()F x f x g x =+(2)试讨论关于x 的不等式的解集．()()f xg x ≥【答案】(1)()1,1-(2)答案见解析【分析】（1）解不等式得出定义域；10,10,x x +>⎧⎨->⎩（2）利用对数函数的单调性解不等式得出解集.【详解】（1）由题意可得解得．故函数的定义域为．10,10,x x +>⎧⎨->⎩11x -<<()F x ()1,1-（2）当时，函数是增函数．1a >log a y x =因为，所以解得．当时，函数是减函数．()()f x g x ≥11,10,10,x x x x +≥-⎧⎪+>⎨⎪->⎩01x ≤<01a <<log a y x =因为，所以解得．()()f xg x ≥11,10,10,x x x x +≤-⎧⎪+>⎨⎪->⎩10-<≤x 综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．1a >[)0,101a <<(]1,0-20．已知函数在上的最小值为．()2cos (cos 6f x x x x m π=-+[,0]3π-54(1)求的单调递增区间；()f x (2)当时，求的最大值以及此时x 的取值集合．R x ∈()f x 【答案】(1)；2[,](Z)36k k k ππππ-+-+∈(2)最大值为，此时x 的取值集合为.32|,Z}6{x x k k ππ=-+∈【分析】(1)利用二倍角公式化简函数，再利用余弦函数性质列式计算作答.()f x (2)利用余弦函数性质直接计算作答.【详解】（1）依题意，()1111cos(2)2cos 2223242f x x x m x x m π=-++=++，11cos(2)232x m π=+++令，，解得，．2223k x k ππππ-+≤+≤Z k ∈236k x k ππ-+π≤≤-+πZ k ∈所以的单调递增区间为.()f x 2[,](Z)36k k k ππππ-+-+∈（2）由(1)知，当时，，，[,0]3x π∈-2[,333x πππ+∈-()min 11152224f x m =⨯++=解得，因此，，12m =()1cos(2123f x x π=++当，，即，时，取得最大值1，则取得最大223x k ππ+=Z k ∈6x k ππ=-+Z k ∈cos(2)3x π+()f x 值，32所以的最大值为，此时x 的取值集合为.()f x 32|,Z}6{x x k k ππ=-+∈21．已知函数．()()e 1e x x f x a -=++(1)若是偶函数，求a 的值；()f x (2)若对任意，不等式恒成立，求a 的取值范围．()0,x ∈+∞()1f x a + 【答案】(1)0(2)(],3-∞【分析】（1）由偶函数的定义得出a 的值；（2）由分离参数得，利用换元法得出的最小值，即可得出a ()1f x a + 2e e 1e 1x x x a -+≤-2e e 1e 1x x x -+-的取值范围．【详解】（1）因为是偶函数，所以，()f x ()()f x f x -=即，故．()()e 1e e 1e x x x xa a --++=++0a =（2）由题意知在上恒成立，()e 1e 1x x a a -++≥+()0,∞+则，又因为，所以，()2e 1e e 1x x x a --+ ()0,x ∈+∞e 1x >则．令，则，2e e 1e 1x x x a -+≤-()e 10x t t -=>e 1x t =+可得，()()22111111t t t t a t t t t +-++++≤==++又因为，当且仅当时，等号成立，所以，即a 的取值范围是．113t t ++≥1t =3a ≤(],3-∞22．武威“天马之眼”摩天轮，于2014年5月建成运营．夜间的“天马之眼”摩天轮美轮美奂，绚丽多彩，气势宏大，震撼人心，是武威一颗耀眼的明珠．该摩天轮直径为120米，摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t 分钟，若小夏同学从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小夏登上摩天轮的时刻开始计时．(1)求小夏与地面的距离y （米）与时间x （分钟）的函数关系式；(2)在摩天轮转动一圈的过程中，小夏的高度在距地面不低于98米的时间不少分钟，求t 的最小253值．【答案】(1)()260cos 680y x x tπ=-+≥(2)25【分析】（1）建立坐标系，由得出所求函数关系式；68y OA =-（2）由得出，由余弦函数的性质得出第一圈满足持续的时间，再解不等98y ≥21cos 2x t π≤-98y ≥式得出t 的最小值．225333t t -≥【详解】（1）如图，以摩天轮最低点的正下方的地面处为原点，1O 以地平面所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，1xO y 摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮的半径为60米，摩天轮的圆心O 到地面的距离为68米．因为每转动一圈需要t 分钟，所以．12xO OP t π∠=．()126868cos 60cos680y OA OP O OP x x t π=-=-∠=-+≥（2）依题意，可知，即，260cos 6898x y t π=-+≥21cos 2x t π≤-不妨取第一圈，可得，，22433x t πππ≤≤233t t x ≤≤持续时间为，即，故t 的最小值为25．225333t t -≥25t ≥。

云南省玉溪市2022-2023学年高一上学期期末教学质量检测数学试题

玉溪市2021—2022学年上学期高一年级教学质量检测数学试题注意事项：1．答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己地学校，姓名，班级，准考证号，考场号，座位号填写在答题卡上,并认真核准款形码上地学校，姓名，班级，准考证号，考场号，座位号,在规定地位置贴好款形码.2．回答选择题时,选出每小题结果后,用铅笔把答题卡上对应题目地结果标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它结果标号.回答非选择题时,将结果写在答题卡上.写在本试题上无效.3．考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.一，单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 已知集合{}*|23A x N x =∈-≤≤,集合{}2|1B x x ==,则A B = （）A. {(1,1)}- B. {1,1}- C. {1} D. {|11}x x -≤≤【结果】C 【思路】【思路】分别求出集合A 和B 中地圆素,求交集即可.【详解】由题意得,{}1,2,3A =,{}1,1B =-,则{}1A B ⋂=.故选：C.2. 在半径为2地圆上,一扇形地弧所对地圆心角为23π,则该扇形地面积为（）A.6π B.23π C. πD.43π【结果】D 【思路】【思路】利用扇形地面积公式即可求面积.【详解】由题设,2,23r πθ==,则扇形地面积为22112422233S r ππθ==⨯⨯=.故选：D 3. 函数21()e x f x x-=-地零点所在地区间为（）A. (0,1) B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)【结果】B【思路】【思路】依据函数思路式判断(,0)-∞上地符号，(0,)+∞上单调性,再结合零点存在性定理判断零点所在区间.【详解】由思路式知：在(,0)-∞上()0f x <恒成立,在(0,)+∞上()f x 单调递减,且1(1)10ef =->,1(2)02f =-<,综上,零点所在地区间为(1,2).故选：B4. 已知角α地终边过点(2,3)P -,则tan α=（）A. 32-B. 23-C.D.【结果】A 【思路】【思路】依据三角函数地定义计算可得。

高一上学期期末数学考试卷及答案

2020～2021学年度上学期高一年级期末考试卷数学试卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，请认真阅读答题卡上的注意事项，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}, 则(C U A)∩B= ( )A.{－1}B.{0,1}C{－1,2,3} D.{－1,0,1,3}2．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知函数，则（）A．B．C．6D．74．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)，且α，β(α<β)是方程f(x)＝0的两根，则α，β，a，b的大小关系是（）A．a<α<β<b B．a<α<b<βC．α<a<b<βD．α<a<β<b5．是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使的的范围是（）A．B．C． D．6．已知，，且，则（）A．B．C．D．7．函数的定义域是（）A．B．C．D．8．函数的零点个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．下列命题是“，”的表述方法的是（）A．有一个，使得成立B．对有些，使得成立C．任选一个，都有成立D．至少有一个，使得成立10．下列命题中是真命题的有（）A．幂函数的图象都经过点和B．幂函数的图象不可能过第四象限C．当时，幂函数是增函数D．当时，幂函数在第一象限内函数值随值的增大而减小11．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．12．已知函数有两个零点，，以下结论正确的是（）A．B．若，则C．D．函数有四个零点三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知，则的解析式为___________.14．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1＝________.15．已知函数，若，则____.16．已知函数 (a>0，且a≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．四解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）；（2）.18．（12分）已知函数，试画出的图象，并根据图象解决下列两个问题．（1）写出函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值．19．（12分）已知函数f(x)＝，g(x)＝(a>0且a≠1).(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围.20.（12分）已知函数（1）判断函数在上的单调性，并给予证明；（2）求函数在，的最大值和最小值．21．（12分）已知函数（1）若在恒成立，求的取值范围；（2）设函数，解不等式.22．（12分）设函数是定义域为R的奇函数.（1）求的值;（2）若,试判断的单调性（不需证明），并求使不等式恒成立的t的取值范围;（3）,求在上的最小值.数学试卷参考答案1 A 2．B 3．A 4．A 5．B 6．C 7．A 8．C9．ABD 10．BD 11．AB 12．ABC13． 14．0.25 15．1或-2 16．17．（1）原式；（2）原式.18．的图象如图所示．(1) 在和上是增函数，在上是减函数，∴单调递增区间为，；单调递减区间为；(2)∵，，∴在区间上的最大值为.19．解：(1)φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为：，解得：，所以定义域为.(2) f(x)≤g(x)，即为，定义域为.当时，，解得：，所以x的取值范围为.当时，，解得：，所以x的取值范围为.综上可得：当时，x的取值范围为.当时，x的取值范围为.20（1），函数在上是增函数，证明：任取，，且，则，，，，，即，在上是增函数；（2）在上是增函数，在，上单调递增，它的最大值是，最小值是．21．（1）在恒成立，即在恒成立，分离参数得：，∵，∴从而有：.（3）令，得，，因为函数的定义域为，所以等价于（1）当，即时，恒成立，原不等式的解集是（2）当，即时，原不等式的解集是（3）当，即时，原不等式的解集是（4）当，即时，原不等式的解集是综上所述：当时，原不等式的解集是当时，原不等式的解集是当时，原不等式的解集是当时，原不等式的解集是22．（1） ∵是定义域为R的奇函数，∴ f（0）＝0，∴ 1－（k－1）＝0，∴ k＝2，（2）单减，单增，故f（x）在R上单减，故不等式化为∴，解得令∵在上为递增的 ∴∴设∴.即在上的最小值为.。

【数学】云南省巍山彝族回族自治县第二中学2022-2023学年高一下学期期末考试试题 (解析版)

秘密★启用前云南省巍山彝族回族自治县第二中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页,第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后,请将本试题和答题卡一并交回.满分150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)注意事项：1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己地姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出结果后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目地结果标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他结果标号.在试题卷上作答无效.一､选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题所给地四个选项中,只有一项是符合题目要求地)1.已知集合{}0,1A =,集合{}1,0,1,2,3B =-,则图中阴影部分表示地集合是（）A.[]1,3B.(]1,3C.{}1,2,3-D.{}1,0,2,3-2.已知i 是虚数单位,a ∈R ,若复数i12i a --为纯虚数,则a =（）A.2- B.2C.12-D.123.函数()2f x x=-,则函数()f x （）A.在R 上地增函数 B.在R 上地减函数C.在(),0-∞上是增函数D.在()0,+∞上是减函数4.总体由编号为01,02,03,,50 地50个个体组成,利用随机数表从中抽取5个个体,下面提供随机数表地第5行到第7行：931247795737891845503994557392296111609849657350984730309837377023104476914606792662206205229234若从表中第6行第5列开始向右依次读取,则抽取地第4个个体地编号是（）A.49B.30C.47D.505.已知,0x y >且1x y +=,则11p x y x y=+++地最小值为（）A.3B.4C.5D.66.已知函数()tan sin cos f x x x x =-,则（）A.()f x 地最小正周期为2πB.()f x 地图象有关y 轴对称C.()f x 地图象不有关π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.()f x 地图象有关()π,0对称7.已知,a b 为单位向量,且0a b ⋅= ,若3c a = ,则cos ,a c 〈〉= （）8.已知函数()()ln sin ,03,3,3,x x x f x f x x ⎧-<⎪=⎨->⎪⎩…则()f x 在()0,10上地零点个数为（）A.6B.7C.8D.99.设样本数据122021,,,x x x 地平均数为x ,方差为2s ,若数据()()()12202121,21,,21x x x +++ 地平均数比方差大4,则22s x -地最大值为（）A.1-B.12C.2-D.110.古希腊数学家阿基米德在《论球和圆柱》中,运用穷竭法证明了与球地面积和体积相关地公式.其中包括他最得意地发现-“圆柱容球”,设圆柱地高为2,且圆柱以球地大圆(球大圆为过球心地平面和球面地交线)为底,以球地直径为高,则球地表面积与圆柱地体积之比为（）A.4:3B.3:2C.2:1D.8:311.ABC 地三个内角,,A B C 地对边分别为,,a b c ,若2cos ,cos cos c a B a B b A =+=,则ABC 地形状是（）A.等腰非直角三角形B.直角非等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形12.如图,点P 在正方体1111ABCD A B C D -地面对角线1BC 上运动,则下面结论正确地个数是（）①三棱锥1A D PD -地体积不变。

2020-2021学年上学期高一数学期末模拟卷03(人教A版新教材)(浙江专用)【解析版】

数学模拟试卷03第I 卷选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2020·河北高二学业考试）已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（）．A ．{}1,2B ．{}0C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】C 【解析】由并集定义可得：{}0,1,2M N =.故选：C.2．（2019·浙江高二学业考试）已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若a b >，则a b b >≥，即a b >，故22a b >. 取1,2a b ==-，此时22a b >，但a b <，故22a b >推不出a b >，故选：A.3．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D.4．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，532b =，21log 3c =，则（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】23110133⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，503221>=，221log log 103<=， ∴c a b <<. 故选：C5．（2020·江苏南通市·高三期中）已知角α的终边经过点()3,4P ，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．50-B ．50C ．50-D ．50【答案】A 【解析】角α的终边经过点()3,4P ，5OP ∴==，由三角函数的定义知：3cos 5α=，4sin 5α， 2237cos 22cos 121525αα⎛⎫∴=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，()()π724cos 2cos2cos sin 2sin 4442525ππααα∴+=-=-=.故选：A.6．（2020·甘肃兰州市·西北师大附中高三期中）函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞D ．[]0,4【答案】D 【解析】因为()3f x +关于3x =-对称，所以()f x 关于y 轴对称，所以()()221f f -==，又()f x 在[)0,+∞单调递增，由()21f x -≤可得222x -≤-≤，解得：04x ≤≤，故选：D7．（2020·浙江高一期末）对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ ④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增．其中正确的说法的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确；当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误；当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误；当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即2523,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④错误. 故选：A8．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】A 【解析】由函数图象的平移可知，函数1()11f x x=+-与函数()2sin 1g x x π=+的图象都关于(1,1)M 对称. 作出函数的图象如图，由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点(1,1)对称），所以所有交点的横坐标之和等于428⨯=.故选：A9．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（） A ．(,1)-∞- B ．[2,0)-C ．(1,0)-D ．[1,0)-【答案】B 【解析】当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，只需当0x ≤时，20x e a +=有一个根，利用“分离参数法”求解即可.解：因为函数()2,021,0x e a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，所以只需当0x ≤时，202x xa e a e +==-即有一个根即可，因为2xy e =单调递增，当0x ≤时，(]0,1xe ∈，所以(]0,2a -∈，即[)2,0a ∈-，故选：B.10．（2020·河北高二学业考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则不等式()2f x ≤的解集是（）． A ．[]3,3- B ．[]4,4-C ．(][),33,-∞-+∞D ．(][),44,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】0x ≥时，()()2log 1f x x =+，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x ∴在R 上单调递增，易知()()223log 31log 42f =+==，()()332f f -=-=-，由()2f x ≤，解得：()22f x -≤≤，由()f x 在R 上单调递增，解得：33x -≤≤，()2f x ∴≤的解集是[]3,3-.故选：A.第II 卷非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（2020·上海青浦区·高三一模）圆锥底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.【答案】π；【解析】因为圆锥底面半径为1cm ，所以圆锥的底面周长为2cm π，则其侧面展开图扇形的圆心角22πθπ==，故答案为：π.12．（2020·浙江宁波市·高三期中）设2log 3a =，则4a =______（用数值表示），lg 36lg 4=______.（用a 表示）【答案】9 1a + 【解析】2log 3a =，22394429log log a ∴===，4222236log 36log 6log (23)log 2log 314lg a lg ===⨯=+=+，故答案为：9，1a +．13．（2020·深圳科学高中高一期中）某移动公司规定，使用甲种卡，须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）30元，在国内通话时每分钟另收话费0.10元；使用乙种卡，不收“基本月租费”，但在国内通话时每分钟话费为0.2元．若某用户每月手机费预算为50元，则使用__________种卡才合算；若要使用甲种卡合算，则该用户每月手机费预算（元）的区间为__________．【答案】乙 (60,)+∞ 【解析】由题意，设月通话时间为t 分钟，有甲费用为300.1t +，乙费用为0.2t ， ∴每月手机费预算为50元，则：由300.150t +=知，甲的通话时间为200分钟，由0.250t =知，乙的通话时间为250分钟， ∴用户每月手机费预算为50元，用乙种卡合算；要使用甲种卡合算，即月通话时间相同的情况下甲费用更低，即300.10.2t t +<，解得300t >时，费用在(60,)+∞. 故答案为：乙，(60,)+∞14．（2020·商丘市第一高级中学高一期中）设函数()112,1,1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则()3f x ≤成立的x 的取值范围为______．【答案】(],9-∞ 【解析】当1x <时，由13x e -≤得1ln3x ≤+，所以1x <；当1≥x 时，由213x ≤得9x ≤，所以19x ≤≤．综上，符合题意的x 的取值范围是(,9]-∞．故答案为：(,9]-∞.15．（2020·辽宁本溪市·高二月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为110m ，到达最高点时，距离地面的高度为120m ，能看到方圆40km 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到min t 后距离地面的高度为m H ，则转到10min 后距离地面的高度为______m ，在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式为______.【答案】1852 π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤. 【解析】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系.设0min t =时，游客甲位于点()0,55P -，以OP 为终边的角为π2-；根据摩天轮转一周大约需要30min ，可知座舱转动的角速度约为πmin 15rad ，由题意可得πππ55sin 6555cos 6515215H t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，030t ≤≤.当10t =时，π18555cos 1065152H ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：1852；π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤ 16．（2020·浙江建人专修学院高三三模）已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =___________；()1f a -=___________.3 233-因为4log 3a =，所以43a =，即2a =01a <<，所以()2a f a ==1(1)(1)2a f a f a --=--=-==3-17．（2020·上海虹口区·高三一模）已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=___________.【解析】2212sin 2cos214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,)απ∈，所以sin 0α≠，因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈，而22sin cos 1(1)αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 5αααα+=⇒=⇒=(0,)2πα∈，因此cos α=.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（2020·黑龙江工农�鹤岗一中高二期末（文））函数()22xxaf x =-是奇函数． ()1求()f x 的解析式；()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）()122xxf x =-；（2）5m <-.() 1函数()22x x af x =-是奇函数， ()()1222222x x x x x x a af x a f x --∴-=-=-+=-+=-，故1a =，故()122xx f x =-； ()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，即21(2)42x xm +<-⋅在()0,x ∈+∞恒成立，令()2(2)42x xh x =-⋅，(0)x >，显然()h x 在()0,+∞的最小值是()24h =-，故14m +<-，解得：5m <-．19．（2020·宁夏长庆高级中学高三月考（理））已知函数()22sin cos 22222x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.【答案】（1）最小正周期为2π；（2）()min f x =()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)1cos ()2sin cos 222x x xf x +=+sin x x =+12sin cos 2sin 223x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为2π. (2)因为[]0,x π∈，所以4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当433x ππ+=，即x π=时，函数()f x 取得最小值由4233x πππ≤+≤，得6x ππ≤≤，所以函数()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 20．（2019·河北师范大学附属中学高一期中）已知二次函数()f x 的图象经过点()4,4-，方程()0f x =的解集为{}0,2.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21()2f x x x =-+；（2）存在；2m =-，0n =. 【解析】（1）由已知，设()()2f x ax x =-.因为()f x 的图象经过点()4,4-，所以()4442a -=-，解得12a =-，即()f x 的解析式为21()2f x x x =-+；（2）假设满足条件实数m ，n 的存在，由于221111()(1)2222f x x x x =-+=--+≤，因此122n ≤，即14n ≤. 又()f x 的图象是开口向下的抛物线，且对称轴方程1x =，可知()f x 在区间[],m n 上递增，故有()2()2f m m f n n=⎧⎨=⎩，并注意到14m n <≤，解得2m =-，0n =. 综上可知，假设成立，即当2m =-，0n =时，()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n .21．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min 7x x π-=，求ϕ的值. 【答案】（1）37π；（2）14π. 【解析】（1）由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可知：236T πππω-≤=，故有012ω<≤. 又6x π=与3x π=在一个周期内，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 4x π∴=时，函数取到最小值.2,()432k k Z πππωπ∴+=-+∈ 故有1083k ω=-+，又因为012ω<≤，所以143ω=. 所以函数()f x 的最小正周期为37π. （2）由()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π. ∴有12min 314x x πϕ-+=. 即314714πππϕ=-=.22．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一月考）设函数()()21x x a t f x a--=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.（1）求t 的值；（2）若函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，是否存在正数()1m m ≠，使函数()()22log x x m g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21,log 3上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2t =；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，∴2t =；经检验知符合题意.（2）函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2132a a -=， ∴2a =（12a =-舍去），假设存在正数m ，且1m ≠符合题意，由2a =得()()22log 2222x x x x m g x m --⎡⎤=+--⎣⎦，设22x x t -=-，则()()22222222x x x x m t mt -----+=-+，∵[]21,log 3x ∈，2[2,3]x ∈，∴38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()22h t t mt =-+， ∵函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0，∴（i ）若01m <<时，则函数()22h t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有最小值为1，由于对称轴122m t =<，∴()min 31731312426h t h m m ⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭，不合题意. （ii ）若1m 时，则函数()220h t t mt =-+>在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，且最大值为1，最小值大于0， ①()max 1252512212736873241324m m m h t h m ⎧⎧<≤<≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩，而此时7338,24823m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，又()min 73048h t h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，故()g x 在[]21,log 3无意义，所以7324m =应舍去； ②()max 25252126313126m m h t h m ⎧⎧>>⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩m 无解，综上所述：故不存在正数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0．。

2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案

2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案1.集合A和B分别表示y=x+1和y=2两个函数的图像上所有的点，求A和B的交集。

答案：A={(-∞,1]}。

B={2}。

A∩B=A={(-∞,1]}2.已知函数y=(1-x)/(2x^2-3x-2)，求函数的定义域。

答案：分母2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)，所以函数的定义域为x∈(-∞,-1/2]∪(2,∞)。

3.如果直线mx+y-1=0与直线x-2y+3=0平行，求m的值。

答案：两条直线平行，说明它们的斜率相等，即m=2.4.如果直线ax+by+c=0经过第一、第二，第四象限，求a、b、c应满足的条件。

答案：第一象限中x>0.y>0，所以ax+by+c>0；第二象限中x0，所以ax+by+c0.y<0，所以ax+by+c<0.综上所述，应满足ab<0.bc<0.5.已知两条不同的直线m和n，两个不同的平面α和β，判断下列命题中正确的是哪个。

答案：选项A是正确的。

因为如果m与α垂直，n与β平行，那么m和n的夹角就是α和β的夹角，所以m和n垂直。

6.已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面半径。

答案：设底面半径为r，侧面的母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl。

根据题意，πrl=6π，所以l=6/r。

而侧面展开图是一个半圆，所以底面周长为2πr，即底面直径为2r，所以侧面母线长l=πr。

将上述两个式子代入公式S=πr^2+πrl中，得到r=2.7.已知两条平行线答案：两条平行线的距离等于它们的任意一点到另一条直线的距离。

我们可以先求出l2上的一点，比如(0,7/8)，然后带入l1的方程，得到距离为3/5.8.已知函数y=ax-1/(3x^2+5)，如果它的图像经过定点P，求点P的坐标。

答案：点P的坐标为(1,2)。

因为当x=1时，y=a-1/8，所以a=17/8.又因为当x=2时，y=1/13，所以17/8×2-1/13=2，解得a=17/8，所以y=17x/8-1/(3x^2+5)，当x=1时，y=2.9.已知a=3/5，b=1/3，c=4/3，求a、b、c的大小关系。

云南省昭通市2023-2024学年高一上学期期末考试数学(B卷)含答案

昭通教研联盟2023~2024学年上学期高一年级期末质量检测数学（B 卷）（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{0,1}M =，{2,3}N =，则M N ⋃=（）A.{1,2}B.{0}C.{0,1,2,3}D.{0,1}2.已知R x ∈，则0x >是1x >的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列各组函数表示同一函数的是（）A.()f x =()2g x =B.()1f x =，()0g x x=C.(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，()g t t= D.()1f x x =+，()211x g x x -=-4.若12333,ln2,2a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.b a c <<B.<<b c aC.a b c <<D.a c b<<5.函数x y x x=+的图象是（）A. B.C. D.6.设()22M a a =-，()()13N a a =+-，则（）A .M N> B.M N< C.M N= D.不确定7.国内生产总值（GDP ）是指按国家市场价格计算的一个国家（或地区）所有常驻单位在一定时期内生产活动的最终成果，常被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标．某城市2020年的GDP 为8000亿元，若保持6%的年平均增长率，则该城市的GDP 达到1万亿元预计在（参考数据：ln1.250.22,ln1.060.06≈≈）（）A.2023年B.2024年C.2025年D.2026年8.已知函数()221ax bxf x x +=+在其定义域内为偶函数，且()112f =，则()()()111122023202320222f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （）A.40452B.40432C.2021D.0二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列函数中，既是偶函数又是()0,+∞上的减函数的是（）A.1y x=B.x y e -=C.21y x =-+ D.12log ||y x =10.已知15a -<<，31b -<<，则以下正确的是（）A.155ab -<<B.46a b -<+<C.28a b -<-< D.553a b-<<11.下列命题为真命题的是（）A.“2R,1x x x ∃∈>-”的否定是“2R,1x x x ∀∈≤-”B.可以用二分法求函数()214f x x x =-+的零点C.在同一平面直角坐标系中，函数10x y =与lg y x =的图象关于直线y x =对称D.幂函数23y x-=在(),0∞-是增函数12.下列命题中正确的有（）A.()()21mf x m m x =--是幂函数，且在()0,∞+单调递减，则1m =-B.()()22log 2f x x x =-的单调递增区间是()1,+∞C.()211f x ax ax =++的定义域为R ，则[]0,4a ∈D.()f x x =+的值域是(],5-∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.不等式2log (1)1x -<的解集为__________.14.函数()1,22,2x x f x x x-<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩则()()2f f =__________.15.=__________.16.已知函数()f x 224,4,4,4,x x x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩函数()f x 有______个零点；若方程()0f x k -=有三个不相等的实数根，则k 的取值范围是__________.四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.计算下列各式的值：（1）255lg2lg 2log 5log 42++⨯；（2）1132114(2)924---⎛⎫⎛⎫-⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18.已知函数()()2,2,f x x g x x x ==-+∈R ，（1）在同一坐标系里画出函数()(),f x g x 的图象；（2）x ∀∈R ，用()m x 表示()(),f x g x 中的较小者，记为()()(){}min ,m x f x g x =，请分别图象法和解析法表示函数()m x ．19.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制的矩形菜园，设菜园的长为m x ，宽为m y ．（1）若菜园面积为272m ，则x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小；（2）若使用的篱笆总长度为30m ，求12x y+的最小值．20.已知一次函数()f x 满足(3)3(1)4f f -=，2(0)(1)1f f --=.（1）求这个函数的解析式；（2）若函数2()()g x f x x =-，()g x m <恒成立，求m 的取值范围.21.对于函数2()(R)21x f x a a =-∈+.（1）探索函数()f x 的单调性并用定义证明；（2）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？22.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()23f x x x =+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()21430f a f a -+->，求实数a 的取值范围.昭通教研联盟2023~2024学年上学期高一年级期末质量检测数学（B 卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{0,1}M =，{2,3}N =，则M N ⋃=（）A.{1,2}B.{0}C.{0,1,2,3}D.{0,1}【答案】C 【解析】【分析】利用集合的并集运算即可得解.【详解】因为{0,1}M =，{2,3}N =，所以{0,1}{2,3}{0,1,2,3}M N == ，故选：C.2.已知R x ∈，则0x >是1x >的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.【详解】因为由1x >能推出0x >；由0x >不能推出1x >；所以“0x >”是“1x >”的必要不充分条件.故选：B.3.下列各组函数表示同一函数的是（）A.()f x =()2g x =B.()1f x =，()0g x x=C.(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，()g t t= D.()1f x x =+，()211x g x x -=-【答案】C 【解析】【分析】根据同一函数的判定方法，结合函数的定义域和对应关系，逐项判定，即可求解.【详解】A 中，函数()f x =R ，函数()2g x =的定义域为[0,)+∞，则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以A 不正确；B 中，函数()1f x =的定义域为R ，函数()0g x x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以B 不正确；C 中，函数(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩和(),0,0t t g t t t t ≥⎧==⎨-<⎩，则两函数的定义域相同且对应关系也相同，所以两个函数不是同一函数，所以C 正确；D 中，函数()1f x x =+的定义域为R ，函数()211x g x x -=-的定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以D 不正确.故选：C.4.若12333,ln2,2a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.b a c <<B.<<b c aC.a b c <<D.a c b<<【答案】A 【解析】【分析】利用幂函数和对数函数的单调性比较.【详解】解：12113333332,2,1222c ⎛⎫==<∴<< ⎪⎝⎭ ，又ln2lne 1,b a c <=∴<< ，故选：A.5.函数x y x x=+的图象是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】讨论得到分段函数解析式，由此可得图象.【详解】1,01,0x x xy x x x x +>⎧=+=⎨-<⎩，结合一次函数的图象可知ABC 错误；D 正确.故选：D.6.设()22M a a =-，()()13N a a =+-，则（）A.M N > B.M N< C.M N= D.不确定【答案】A 【解析】【分析】运用作差法比较大小即可.【详解】因为22222(2)(1)(3)24(23)23(1)20M N a a a a a a a a a a a -=--+-=----=-+=-+>，所以M N >.故选：A.7.国内生产总值（GDP ）是指按国家市场价格计算的一个国家（或地区）所有常驻单位在一定时期内生产活动的最终成果，常被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标．某城市2020年的GDP 为8000亿元，若保持6%的年平均增长率，则该城市的GDP 达到1万亿元预计在（参考数据：ln1.250.22,ln1.060.06≈≈）（）A.2023年B.2024年C.2025年D.2026年【答案】B【解析】【分析】根据题意，列出方程，结合对数的运算，代入计算，即可得到结果.【详解】设经过x 年该城市的GDP 达到1万亿元，则()800016%10000x+=，则1.06 1.25x =，所以 1.06ln1.25log 1.25 3.67ln1.06x ==≈，所以至少要经过4年，即预计在2024年该城市的GDP 达到1万亿元.故选：B 8.已知函数()221ax bxf x x +=+在其定义域内为偶函数，且()112f =，则()()()111122023202320222f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （）A.40452B.40432C.2021D.0【答案】A 【解析】【分析】根据条件先求解出,a b 的值，然后分析()1f x f x ⎛⎫+⎪⎝⎭的取值特点，从而求解出结果.【详解】因为()f x 为偶函数，所以()()=f x f x -，所以()()()222211a xb x ax bx x x -+-+=+-+，所以20bx =且x 不恒为0，所以0b =，()221axf x x =+又因为()112f =，所以122a =，所以1a =，所以()221x f x x =+，又因为()2222222111111111x x x f x f x x x x x⎛⎫+=+=+= ⎪+++⎝⎭+，所以()()()111140451220232022120232022222f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++=⨯+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列函数中，既是偶函数又是()0,+∞上的减函数的是（）A.1y x=B.x y e -=C.21y x =-+ D.12log ||y x =【答案】CD 【解析】【分析】根据题目要求，对四个选项的奇偶性和单调性进行判断，得到符合要求的选项，从而得到答案.【详解】选项A 中，1y x=是奇函数，不符合题目要求；选项B 中，x y e -=是非奇非偶函数，不符合题目要求；选项C 中，21y x =-+是偶函数，在()0,∞+上是单调递减函数，符合题目要求；选项D 中，12log ||y x =是偶函数，在()0,∞+上，函数解析式为12log y x =，是单调递减函数，符合题目要求.故选：CD.【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性，属于简单题.10.已知15a -<<，31b -<<，则以下正确的是（）A.155ab -<<B.46a b -<+<C.28a b -<-<D.553a b-<<【答案】ABC 【解析】【分析】由不等式的性质判断ABC ，利用特殊值排除D ，从而得解.【详解】因为15a -<<，31b -<<，所以13b -<-<，对于A ，当05a ≤<，01b ≤<时，05ab ≤<；当05a ≤<，30b -<<时，03b <-<，则015ab ≤-<，即150ab -<≤；当10a -<<，01b ≤<时，01a <-<，则01ab ≤-<，即10ab -<≤；当10a -<<，30b -<<时，01a <-<，03b <-<，则03ab <<；综上，155ab -<<，故A 正确；对于B ，314156a b --=-<+<+=，故B 正确；对于C ，112358a b --=-<-<+=，故C 正确；对于D ，当4a =，12b =时，8ab=，故D 错误，故选：ABC.11.下列命题为真命题的是（）A.“2R,1x x x ∃∈>-”的否定是“2R,1x x x ∀∈≤-”B.可以用二分法求函数()214f x x x =-+的零点C.在同一平面直角坐标系中，函数10x y =与lg y x =的图象关于直线y x =对称D.幂函数23y x -=在(),0∞-是增函数【答案】ACD 【解析】【分析】利用命题的否定可判断A ；结合二次函数的值域判断B ；利用同底的指数函数和对数函数的关系判断C ；利用幂函数的性质判断D.【详解】对A ：根据存在量词命题和全称量词命题的关系可知，A 正确；对B ：因为()2102f x x ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，所以这个函数的零点不能用二分法求，所以B 错误；对C ：根据同底数的指数函数与对数函数的图象关于y x =对称得，C 正确；对D ：对幂函数23y x -==，其定义域为()(),00,-∞⋃+∞，因为203-<，所以函数在()0,+∞上为减函数，又函数为偶函数，所以在(),0-∞上为增函数，D 正确.故选：ACD12.下列命题中正确的有（）A.()()21mf x m m x =--是幂函数，且在()0,∞+单调递减，则1m =-B.()()22log 2f x x x =-的单调递增区间是()1,+∞C.()211f x ax ax =++的定义域为R ，则[]0,4a ∈D.()f x x =+的值域是(],5-∞【答案】AD 【解析】【分析】A 由幂函数及其单调性求参数；B 由复合函数的单调性和对数函数的性质求增区间；C 根据定义域及二次函数性质求参数范围；D 换元法及二次函数性质求值域.【详解】A ：()f x 是幂函数，则211m m --=，得2m =或1m =-，又()f x 在()0,∞+单减，故1m =-，对；B ：由复合函数单调性有220x x ->且1x ≥，所以单增区间是()2,+∞，错；C ：定义域为R ，则0a =或2004Δ40a a a a ≠⎧⇒≤<⎨=-<⎩，错；D：令0t =，则()22()24155f x y t t t ==-++=--+≤，对.故选：AD 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.不等式2log (1)1x -<的解集为__________.【答案】(1,3)【解析】【分析】利用对数函数的单调性可求解.【详解】因为2log (1)1x -<，则22log (1)log 2x -<，012x ∴<-<，即13x <<，故解集为(1,3).故答案为：(1,3).14.函数()1,22,2x x f x x x-<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩则()()2f f =__________.【答案】2-【解析】【分析】根据分段函数特点逐步代入即可.【详解】因为()1,22,2x x f x x x-<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩则()2212f =-=-，故()()()21112f f f =-=--=-.故答案为：-215.=__________.【答案】1【解析】【分析】由根式的运算性质求解即可.【详解】233(π4)(π3)π4π34ππ31-+-=-+-=-+-=.故答案为：116.已知函数()f x 224,4,4,4,x x x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩函数()f x 有______个零点；若方程()0f x k -=有三个不相等的实数根，则k 的取值范围是__________.【答案】①.2②.(0,4)【解析】【分析】结合函数()f x 的图象，即可判断出()f x 的零点个数及()0f x k -=有三个不相等的实数根时，k 的取值范围.【详解】如下图所示，()f x 的零点有两个；方程()0f x k -=有三个不相等的实数根，即()f x k =，即函数()f x 的图象与直线y k =有三个不同交点.结合函数()f x 的图象，因为(2)4f =，则k 的取值范围是(0,4).故答案为：2；(0,4)四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.计算下列各式的值：（1）255lg 2lg 2log 5log 42++⨯；（2）10132114(2)924---⎛⎫⎛⎫-⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】（1）3（2）196【解析】【分析】（1）由对数运算法则计算即可；（2）根据分数指数幂运算法则计算即可.【小问1详解】22252555lg 2lg 2log 5log 4lg lg 2log 5log 222++⨯=++⨯255lg 42log 5log 2lg1021232⎛⎫=⨯+⨯=+=+= ⎪⎝⎭.【小问2详解】1011322211111194(2)9241(3)21248236----⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+-=-⨯-+-=++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.18.已知函数()()2,2,f x x g x x x ==-+∈R ，（1）在同一坐标系里画出函数()(),f x g x 的图象；（2）x ∀∈R ，用()m x 表示()(),f x g x 中的较小者，记为()()(){}min ,m x f x g x =，请分别图象法和解析法表示函数()m x ．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）结合二次函数与一次函数图象分别为抛物线和直线，画出函数图象；（2）先根据（1）中两函数图象得()m x 到的图象，再写出()m x 的解析式.【小问1详解】结合函数()()2,2,f x x g x x x ==-+∈R ，画出对应的图像【小问2详解】由图可知：解析法表示函数()22,2,212,1x x m x x x x x -+≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-+≥⎩.19.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制的矩形菜园，设菜园的长为m x ，宽为m y．（1）若菜园面积为272m ，则x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小；（2）若使用的篱笆总长度为30m ，求12x y +的最小值．【答案】（1）12,6x y ==（2）310．【解析】【分析】（1）由已知得72xy =，篱笆总长为(2)m x y +，利用基本不等式即可求出最小值；（2）根据条件得230x y +=，然后令12(2)x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭，展开化简，利用基本不等式即可求出最小值.【小问1详解】由已知可得72xy =，篱笆总长为(2)m x y +．又因为224x y +≥=，当且仅当2x y =，即12,6x y ==时等号成立．所以当12,6x y ==时，可使所用篱笆总长最小．【小问2详解】由已知得230x y +=，又因为1222(2)5y x x y x y x y ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭59≥+=，所以12310x y +≥，当且仅当x y =，即10,10x y ==时等号成立．所以12x y +的最小值是310．20.已知一次函数()f x 满足(3)3(1)4f f -=，2(0)(1)1f f --=.（1）求这个函数的解析式；（2）若函数2()()g x f x x =-，()g x m <恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）()32f x x =-（2）14m >【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得解；（2）利用配方法求得m ax ()g x ，从而利用恒成立问题的解法即可得解.【小问1详解】依题意，设()(0)f x kx b k =+≠，由条件得33()42()1k b k b b k b +-+=⎧⎨--+=⎩，解得32k b =⎧⎨=-⎩，故()32f x x =-.【小问2详解】由（1）知2()32g x x x =--，则22311()32244g x x x x ⎛⎫=-+-=--+≤ ⎪⎝⎭，所以max 1()4g x =，因为()g x m <恒成立，则max ()g x m <，所以14m >.21.对于函数2()(R)21x f x a a =-∈+.（1）探索函数()f x 的单调性并用定义证明；（2）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？【答案】（1）()f x 单调递增，证明见解析（2）存在【解析】【分析】（1）先利用复合函数与指数函数的单调性判断得()f x 的单调性，再利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解；（2）利用奇函数的性质，结合指数的运算列式求得a ，从而得解.【小问1详解】易得2()21x f x a =-+的定义域为R ，而2x y =为增函数，则221x y =+为减函数，故2()21x f x a =-+是增函数，证明如下：任取1x ，2R x ∈，且12x x <，则21220x x >>，则212112122122222(22)()()021212121(21)(21)x x x x x x x x f x f x a a -⎛⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ++++++⎝⎭⎝⎭，21()()f x f x ∴>，故()f x 在R 上为增函数.【小问2详解】假设存在实数a ，使()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，222121x x a a -∴-=-+++，则()21222222222121211221x x x x x x x a -+⨯=+=++++++==，1a ∴=，经检验，当1a =时，满足题意，故存在实数1a =，使函数()f x 为奇函数.22.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()23f x x x =+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()21430f a f a -+->，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()223,03,0x x x f x x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩（2）2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质可得出()00f =，利用奇函数的性质可求出函数()f x 在0x <时的解析式，即可求得函数()f x 在R 上的解析式；（2）分析函数()f x 在R 上的单调性，将所求不等式变形为()()4312f a f a ->-，可得出关于实数a 的不等式，解之即可.【小问1详解】解：因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23f x x x =+，当0x =时，(0)0f =；当0x <时，0x ->，则()()()2233f x x x x x f x -=--=-=-，则()23f x x x =-+，又()00f =满足()23f x x x =+，所以，()223,03,0x x x f x x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩.【小问2详解】解：因为()223,03,0x x x f x x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩，则函数()f x 在[)0,∞+上为增函数，由奇函数的性质可知，函数()f x 在(],0-∞上为增函数，又因为函数()f x 在R 上连续，故函数()f x 在R 上为增函数，由()()21430f a f a -+->可得()()()432112f a f a f a ->--=-，所以，4312a a ->-，解得23a >，因此，实数a 的取值范围是2,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.。

2022-2023北京人大附中高一(上)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（）A ．M ＝{（3，2）}，N ＝{（2，3）}B ．M ＝{（x ，y ）|y ＝x }，N ＝{y |y ＝x }C ．M ＝{1，2}，N ＝{2，1}D ．M ＝{2，4}，N ＝{（2，4）}2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A ．y =1x 2B ．y =1xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3．函数f(x)=x x 2+1的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝05．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤27．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1 8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（）A ．f （x ﹣1）﹣1B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+110．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m和am（0＜a≤10），设此矩形菜园ABCD的最大面积为u，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u＝f（a）（单位：m2）的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−xx的定义域为．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）．13．已知一元二次方程（a﹣2）x2+4x+3＝0有一正根和一负根，则实数a的取值范围为．14．已知函数f(x)=2x−1，g（x）＝kx+2（k＞0），若∀x1∈[2，3]，∃x2∈[﹣1，2]，使f（x1）＝g（x2）成立，则实数k的取值范围是．．15．函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+1，x∈(−12，12)，若f（x）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）17．（12分）设函数f（x）＝2x2﹣ax+4（a∈R）．（1）当a＝9时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）≥0对∀x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．18．（13分）已知函数f(x)=x2+a(a∈R)．x（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若a＝2，判断f（x）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（）A ．1B ．√2C ．2D ．421．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是． 25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}B．M＝{（x，y）|y＝x}，N＝{y|y＝x}C．M＝{1，2}，N＝{2，1}D．M＝{2，4}，N＝{（2，4）}解：对于A，集合M，N表示的点坐标不同，故A错误，对于B，集合M表示点集，集合N表示数集，故B错误，对于C，由集合的无序性可知，M＝N，故C正确，对于D，集合M表示数集，集合N表示点集，故D错误．故选：C．2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=1x2B．y=1x C．y＝x2D．y＝x解：y=1x2是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足题意，A正确；y=1x是奇函数，不正确；y＝x2在区间（0，+∞）上是增函数；不正确；y＝x是奇函数，不正确．故选：A．3．函数f(x)=xx2+1的图象大致是（）A．B．C．D．解：函数f(x)=xx2+1的定义域为R，f（﹣x）=−xx2+1=−f（x），可得f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项C；当x＞0时，f（x）＞0，可排除选项A、D．故选：B ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝0解：∵x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，∴2x 1x 2=(x 1+x 2)2−(x 12+x 22)=9﹣5＝4，解得x 1x 2＝2，∵x 1+x 2＝3，x 1x 2＝2，∴x 1，x 2为根的一元二次方程是x 2﹣3x +2＝0．故选：A ．5．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c解：因为a ＞b ＞c ，则a ＞b 且a ＞c ，所以a +a ＞b +c ，即2a ＞b +c ，故D 正确，当b ＜0时，ab ＜bc ，故A 错误，当a ＝﹣1，b ＝﹣2，c ＝﹣3时，|a |＜|b |＜|c |，故B 错误，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，故C 错误，故选：D ．6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤2 解：由题意可知，“∀x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1≥0”为真命题，所以Δ＝m 2﹣4≤0，解得﹣2≤m ≤2，故选：D ．7．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1 C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1解：对于A ，f （x ）的定义域为[0，+∞），g （x ）的定义域为R ，故A 错误，对于B ，f(x)=x 4−1x 2+1=x 2﹣1，g （x ）＝x 2+1，f （x ）与g （x ）的定义域，值域，映射关系均相同，故f （x ）与g （x ）图象完全相同，故B 正确，对于C ，f （x ）的值域为[0，+∞），g （x ）的值域为R ，故C 错误，对于D ，f （x ）的定义域为{x |x ≠0}，g （x ）的定义域为R ，故D 错误．故选：B ．8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由ab ＞0可得{a ＞0b ＞0或{a ＜0b ＜0，当{a ＞0b ＞0时，由基本不等式可得b a +a b ≥2，当a ＝b 时，等号成立；当{a ＜0b ＜0时，b a ＞0，a b ＞0，由基本不等式可得b a +a b ≥2，所以充分性满足；当b a +a b ≥2时，设t =b a ，则有t +1t ≥2，由对勾函数的性质可得t ＞0，即b a ＞0，可得ab ＞0，所以必要性满足．故“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的充要条件．故选：C ．9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（） A ．f （x ﹣1）﹣1 B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+1 解：因为f （x ）=x+3x+1=1+2x+1的图象关于（﹣1，1）对称，则f （x ﹣1）﹣1的图象关于原点对称，即函数为奇函数．故选：A ．10．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P 处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m 和am （0＜a ≤10），设此矩形菜园ABCD 的最大面积为u ，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u ＝f （a ）（单位：m 2）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．解：由题意，设CD ＝x ，则AD ＝12﹣x ，所以矩形菜园ABCD 的面积S ＝x （12﹣x ）＝﹣x 2+12x ＝﹣（x ﹣6）2+36，因为要将这棵树围在菜园内，所以{x ≥212−x ≥a，解得：2≤x ≤12﹣a ，当12﹣a ＞6，也即0＜a ＜6时，在x ＝6处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝36，当12﹣a ≤6，也即6≤a ≤10时，在x ＝12﹣a 处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝a （12﹣a ），综上：u ＝f （a ）={36，0＜a ＜6a(12−a)，6≤a ＜10，根据函数解析式可知，选项B 符合．故选：B ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−x x 的定义域为（﹣∞，0）∪（0，3] ．解：因为f(x)=√3−x x，所以{3−x ≥0x ≠0，解得x ≤3且x ≠0，即函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，3]．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，3]．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的充分必要条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）．解：园采取了“无预约，不游园”的措施，意思就是说：游园的前提时预约，只有预约了才可以游园，不预约就不能游园．所以：“预约”是“游园”的充分必要条件．故答案为：充分必要．13．已知一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，则实数a 的取值范围为（﹣∞，2）．解：一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，所以{a −2≠0Δ=16−12(a −2)＞03a−2＜0，解得a ＜2，即实数a 的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．14．已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，则实数k 的取值范围是 [1，+∞）．解：已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，因为函数f(x)=2x−1在x ∈[2，3]上单调递减，所以f （x ）max ＝f （2）＝2，f （x ）min ＝f （3）＝1，可得f （x 1）∈[1，2]，又因为g （x ）＝kx +2（k ＞0）在x ∈[﹣1，2]上单调递增，所以g （x ）max ＝g （2）＝2k +2，g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣k +2，所以g （x 2）∈[﹣k +2，2k +2]，若x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，所以[1，2]⊆[﹣k +2，2k +2]，所以{−k +2≤12k +2≥2⇒⇒{k ≥1k ≥0，所以k ≥1．实数k 的取值范围是：[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．15．函数f （x ）＝ax 2﹣（a +1）x +1，x ∈(−12，12)，若f （x ）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a 的取值范围是 (−∞，−1)∪(−1，−12) ．解：由①可知，a +1≠0，即a ≠﹣1；由③可知，a ＜0；由②可知，−12＜a+12a＜12，即−1＜a+1a＜1，又a＜0，则a＜a+1＜﹣a，解得a＜−1 2；综上，实数a的取值范围为(−∞，−1)∪(−1，−12 )．故答案为：(−∞，−1)∪(−1，−12 )．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）解：（1）当a＝2时，A＝{1，2，3}，B＝{x|x≥12 }，A∩B＝{1，2，3}，A∪B＝{x|x≥12}；（2）若选①A∩B＝A，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，不合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a≤1，解得a≥1，故a的取值范围为{a|a≥1}；若选②∀x∈A，x∉B；当a＝0时，B＝∅，符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，符合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a＞3，解得0＜a＜1 3，故a的取值范围为{a|a＜13 }；③若选“x∈B”是“x∈A”的必要条件，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a ＜0时，B ＝{x |x ≤1a}，不合题意；当a ＞0时，B ＝{x |x ≥1a }，则1a ≤1，解得a ≥1，故a 的取值范围为{a |a ≥1}．17．（12分）设函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ）．（1）当a ＝9时，求不等式f （x ）＜0的解集；（2）若不等式f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ），当a ＝9时，f （x ）＜0，即2x 2﹣9x +4＜0，整理得（2x ﹣1）（x ﹣4）＜0，解得12＜x ＜4，故所求不等式的解集为(12，4)；（2）f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，即2x 2﹣ax +4≥0在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤2x +4x 在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤(2x +4x )min ，又2x +4x ≥2√2x ×4x =4√2（当且仅当2x =4x 即x =√2时，取“＝“）．所以a ≤4√2，故实数a 的取值范围为(−∞，4√2]．18．（13分）已知函数f(x)=x 2+a x (a ∈R)．（1）判断f （x ）的奇偶性并证明；（2）若a ＝2，判断f （x ）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．解：（1）当a ＝0时，f （x ）＝x 2为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x 为非奇非偶函数；证明如下：当a ＝0时，f （x ）＝x 2，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2＝x 2，即f （x ）为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x ，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2−a x =x 2−a x ≠±f （x ），即为非奇非偶函数；（2）a ＝2时，f （x ）=x 2+2x ，设1≤x 1＜x 2，则x 1﹣x 2＜0，x 1+x 2−2x 1x 2＞0，则f （x 1）﹣f （x 2）=x 12−x 22+2x 1−2x 2=（x 1﹣x 2）（x 1+x 2−2x 1x 2）＜0，所以f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在[1，+∞）单调递增．一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①B ＝∅时，2a ﹣3≥a ﹣2，解得a ≥1；②B ≠∅时，{a ＜12a −3≥−5a −2≤−3，解得a ＝﹣1；∴综上可得，a 的取值范围是a ≥1或a ＝﹣1．故选：C ．20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（） A ．1 B ．√2 C ．2 D ．4解：设f （t ）＝t 3+2022t ，函数定义域为R ，f （﹣t ）＝（﹣t ）3+2022×（﹣t ）＝﹣t 3﹣2022t ＝﹣f （t ），∴f （t ）是奇函数，∀t 1＜t 2，有t 13＜t 23，则f （t 1）﹣f （t 2）＝t 13+2022t 1﹣（t 23+2022t 2）＜0，即f （t 1）＜f （t 2）． ∴函数f （t ）是增函数，由x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，所以√x +√y −2＝0，可得√x +√y =2，两边同时平方再利用基本不等式，有4＝x +y +2√xy ≤2（x +y ），当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以x +y 的最小值为2，故选：C ．21．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对解：y ＝x （x +1）（x +2）（x +3）＝[x （x +3）][（x +1）（x +2）]＝（x 2+3x ）[（x 2+3x ）+2]，令a ＝x 2+3x ＝（x +32）2−94≥−94．y ＝a 2+2a ＝（a +1）2﹣1，∵a ≥−94，∴a ＝﹣1时，y 有最小值﹣1．故选：A ．22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760解：∵A 为{1，2，3}，{1，2，4}，[1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，且A 为互斥集，∴A 为{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，5}，{2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}，要想1a +1b +1c 取得最大值，则a ，b ，c 要最小，此时a ，b ，c ∈{1，2，4}，令a ＝1，b ＝2，c ＝4，则1a +1b +1c =11+12+14=74．故选：C ．二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝ ﹣1或0或3 ．解：∵x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，∴x ﹣1≠0，且 x =k−2x x， ∴x ≠0，且 x 2+2x ﹣k ＝0有一个实数根，结合x ≠0且x ≠1，可得k ＝﹣1或k ＝0或k ＝3．故答案为：﹣1或0或3．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是 [1，+∞）．解：因为k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，易知x ≥0时，f （x ）＝﹣x +k +1单调递减，故此时f （x ）≤f （0）＝k +1；当x ＜0时，f （x ）=2−x+k 单调递增，结合x →0﹣时，f （x ）→2k，所以由题意只需k +1≥2k 即可，解得k ≥1，或k ≤﹣2（舍），故k 的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有 2 个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是 {a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1} ．解：定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数，（1）所以若 f （x ）＝x ，则 f （1）＝1，f （2）＝2，所以f （x ）＝x 的定义域与值域均为A ＝{1，2}，同理若f （1）＝2，f （2）＝1，也满足题意，所以A 上的等域函数有2个；若a ＜0，则f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1≤﹣1＜0，因此 n ＜0，从而f （x ）在[m ，n ]上单调递增，{f(m)=m f(n)=n，所以f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有两个不等的负实根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有2个不等的负实根，所以{ Δ=(2a +1)2−4a(a −1)＞0x 1+x 2=2a+1a ＜0x 1x 2=a−1a ＞0，解得−18＜a ＜0；若a ＝0，则f （x ）＝﹣1，不合题意；a ＞0 时，①若m ≤1≤n ，则f （x ）min ＝﹣1，因此m ＝﹣1，f （﹣1）＝4a ﹣1，f （n ）＝a （n ﹣1）2﹣1，若1≤n ≤3，则n ＝f （﹣1）＝4a ﹣1，令1≤4a ﹣1≤3，解得12≤a ≤1，若n ＞3，则f （n ）＝n ，所以方程f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有大于3的实数根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有大于3的实数根，即Δ＝（2a +1）2﹣4a （a ﹣1）≥0，解得a ≥−18，所以a ＞0时，x =2a+1±√8a+12a ，令2a+1+√8a+12a＞3，解得√8a +1＞4a ﹣1，当4a ﹣1≤0时，即0＜a ≤14时，不等式显然成立，当a ＞14时，8a +1＞（4a ﹣1）2，解得0＜a ＜1，所以14＜a ＜1，所以0＜a ＜1满足题意，综上，0＜a ≤满足题意；下面讨论a ＞1时是否存在[m ，n ]满足题意，②若n ≤1，则 f （x ）在[m ，n ]上是减函数，因此{f(m)=n f(n)=m，显然m ＝f （n ）≥﹣1，令{a(m −1)2−1=n a(n −1)2−1=m，相减得a （m +n ﹣2）＝﹣1，即m ＝2−1a −n ，n ＝2−1a −m ，因此有{a(m −1)2−1=2−1a −m a(n −1)2−1=2−1a −n ，设g （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1﹣（2−1a −x ）＝0在[﹣1，1]上有两个不等实根，整理得g （x ）＝ax 2﹣（2a ﹣1）x +a +1a −3，a ＞1时，由于g （1）=1a −2＜0，因此方程g （x ）＝0一个根大于1，一根小于1，不合要求； ③若1≤m ＜n ，则f （x ）在[m ，n ]上是增函数，因此{f(m)=m f(n)=n，即f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 在[1，+∞）上有两个不等实根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0 在[1，+∞）上有两个不等实根，设h （x ）＝ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1，则h （1）＝﹣2＜0，所以h （x ）＝0 的两根一个大于1，一个小于1，不合题意，综上，a 的取值范围是{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．故答案为：2；{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．解：（1）对集合{1，2，3，4}，{1，2，3，4}﹣{4}＝{1，2，3}，且1+2＝3，∴集合{1，2，3，4}可以双拆，若在集合中去掉元素1，∵2+3≠4，2+4≠3，3+4≠2，∴集合{1，2，3，4}不可“任意双拆”；若集合{1，3，5，7，9，11}可以“双拆”，则在集合{1，3，5，7，9，11}去除任意一个元素形成新集合B，若存在集合B1，B2，使得B1∩B2＝∅，B1∪B2＝B，S（B1）＝S（B2），则S（B）＝S（B1）+S（B2）＝2S（B1），即集合B中所有元素之和为偶数，事实上，集合B中的元素为5个奇数，这5个奇数和为奇数，不合题意，∴集合{1，3，5，7，9}不可“双拆”．（2）证明：设a1＜a2＜a3＜a4＜a5．反证法：如果集合A可以“任意双拆”，若去掉的元素为a1，将集合{a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4，①，或a5＝a2+a3+a4，②，若去掉的是a2，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4，③，或a5＝a1+a3+a4，④，由①﹣③可得a1＝a2，矛盾；由②﹣③得a1＝﹣a2，矛盾；由①﹣④可得a1＝﹣a2，矛盾；由②﹣④可得a1＝a2，矛盾．∴A不能“任意双拆”；（3）设集合A＝{a1，a2，a3，•，a n}，由题意可知S（A）﹣a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，∴a i（i＝1，2，•，n）均为奇数或偶数，若S（A）为奇数，则a i（i＝1，2，•，n）均为奇数，∵S（A）＝a1+a2+•+a n，∴n为奇数，若S（A）为偶数，则a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，b3，•，b n}可任意双拆，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意双拆”集，此时各项之和也是奇数，则集合A中元素个数n为奇数，当n＝3时，由题意知集合A＝{a1，a2，a3}不可“任意双拆”，当n＝5时，集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}不可“任意双拆”，∴n≥7，当n＝7时，取集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}，∵3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，1+3+5+77＝7+13，1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11，则集合A可“任意双拆”，∴集合A中元素个数n的最小值为7．。

云南省昆明市第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案

昆一中2020—2021学年度上学期期中考试高一数学一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1．已知A ＝{-1，0，1}，B ＝{x|x 2＜1}，则A∩B 等于（） A ．{-1，0，1} B ．∅ C ．{0} D ．{0，1} 2．不等式x 2-3x ＋2≤0的解集是（）A ．{x|x ＞2或＜1}B ．{x|x≥2或x≤1}C ．{x|1≤x≤2}D ．D ．{x|1＜x ＜2} 3．下列各组集合中，满足E ＝F 的是（）A ．E =，F ＝{1.414}B ．E ＝{（2，1）}，F ＝{（1，2）}C ．E ＝{x|y ＝x 2}，F ＝{y|y ＝x 2}D ．E ＝{2，1}，F ＝{1，2} 4．设x ∈R ，则“x≤2”是“|x -1|≤1”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．不等式111x ≥-的解集为（） A ．（-∞，1）∪[2，＋∞） B ．（-∞，0]∪（1，＋∞） C ．（1，2] D ．[2，＋∞） 6．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系如图示，那么水瓶的形状可以是下图中的（）A ．B ．C ．D ．7．已知A ＝{x|x ＝2k ＋1，k ∈Z }，{|}2xB x =∈Z ，C ＝Z ，下列关系判断正确的是（）A ．C ＝A ∪B B ．C ＝A∩B C ．A ＝C ∪BD ．A ＝C∩B8．已知一元二次不等式ax 2＋bx ＋c≤0的解集为[1，2]，则cx 2＋bx ＋a≤0的解集为（）A ．1[,1]2B ．[1，2]C ．[-2，-1]D ．1[1,]2--9．已知集合A ＝{x|a≤x ＜3），B ＝[1，＋∞），若A 是B 的子集，则实数a 取值范围为（） A ．[0，3） B ．[1，3） C ．[0，＋∞） D ．[1，＋∞）10．已知集合A ＝{x|x≥0}，集合B ＝{x|x ＞1}，则以下真命题的个数是（）①0x ∃∈A ，0x ∉B ；②0x ∃∈B ，0x ∉A ；③x ∀∈A ，x ∈B ；④x ∀∈B ，x ∈A ． A ．4 B ．3 C ．2 D ．111．已知集合A ＝{1，a ，b}，B ＝{a 2，a ，ab}，若A ＝B ，则a 2021＋b 2020＝（） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 12．已知2()2af x x ax =-+在区间[0，1]上的最大值为g （a ），则g （a ）的最小值为（）A ．0B ．12C ．1D ．2 二、填空题：13．设命题p ：1x ∀≥，x 2-4x ＋3≥0，则命题p 的否定形式为：________． 14．若集合A ＝{0，1，2}，则集合A 的真子集个数为________．15．已知m ∈R ，x 1，x 2是方程x 2-2mx ＋m ＝0的两个不等实根，则12121x x x x ++的最小值为________．16．若集合A 具有以下两条性质，则称集合A 为一个“好集合”．（1）0∈A 且1∈A ；（2）若x ，y ∈A ，则x -y ∈A ；且当x≠0时，有1A x∈．给出以下命题：①集合P ＝{-2，-1，0，1，2}是“好集合”； ②Z 是“好集合”； ③Q 是“好集合”； ④R 是“好集合”；⑤设集合A 是“好集合”，若x ，y ∈A ，则x ＋y ∈A ；其中真命题的序号是________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．设集合A ＝{x|x 2＋2x -3＜0}，集合B ＝{x||x ＋a|＜1}．（1）若a ＝3，求A ∪B ；（2）设命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18．已知正数a ，b 满足a ＋3b ＝4．（1）求ab 的最大值，且写出取得最大值时a ，b 的值；（2）求13a b+的最小值，且写出取得最小值时a ，b 的值． 19．关于x 的不等式ax 2-（a ＋2）x ＋2＜0．（1）当a ＝-1时，求不等式的解集；（2）当a ＞0时，求不等式的解集．20．某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关系是20,025,,100,2530,.t t t p t t t +<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩N N该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是Q ＝-t ＋40（0＜t≤30，t ∈N ），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天． 21．已知二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋2a -1的对称轴为x ＝-1．（1）设x 1，x 2为方程f （x ）＝0的两个实数根，且1232x x =，求f （x ）的表达式；（2）若f （x ）≥0对任意，x ∈[-3，0]恒成立，求实数a 的取值范围． 22．设函数()f x =，b ＞0的定义域为A ，值域为B ．（1）若a ＝-1，b ＝2，c ＝8，求A 和B ；（2）若A ＝B ，求满足条件的实数a 构成的集合．昆明第一中学2020-2021学年度上学期期中考试高一数学参考答案13．01x ∃≥，20430x x -+< 14．7 15． 16．③④⑤ 17．解：（1）解不等式x 2＋2x -3＜0，得-3＜x ＜1，即A ＝（-3，1）．当a ＝3时，由|x ＋3|＜1，解得-4＜x ＜-2，即集合 B ＝（-4，-2），所以A ∪B ＝（-4，1）．（2）因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集．又集合A ＝（-3，1），B ＝（-a -1，-a ＋1），所以13,11a a --≥-⎧⎨-+<⎩或13,1 1.a a -->-⎧⎨-+≤⎩解得0≤a≤2，即实数a 的取值范围是0≤a≤2．18．解：（1）由基本不等式可知：43a a =+≥，43ab ≤，当且仅当a ＝3b ，即a ＝2，23b =时，ab 的取得最大值43．（2）13(3)131535()(1033)()444242a b b a b a a b a b a b a b ++=+=++=++≥+= 当且仅当b a a b =，即a ＝b ＝1时，13a b+的取得最小值4． 19．解（1）当a ＝-1时，此不等式为-x 2-x ＋2＜0，可化为x 2＋x -2＞0，化简得（x ＋2）（x -1）＞0，解得即{x|x ＜-2或x ＞1} （2）不等式ax 2-（a ＋2）x ＋2＜0，化为（ax -2）（x -1）＜0，当a ＞0时，不等式化为2()(1)0x x a --<，若21a<，即a ＞2，解不等式得21x a <<；若21a =，即a ＝2，解不等式得x ∈∅；若21a>，即0＜a ＜2，解不等式得21x a <<；综上所述：当0＜a ＜2时，不等式的解集为2{|1}x x a <<；当a ＝2时，不等式的解集为∅当a ＞2时，不等式的解集为2{|1}x x a<<． 20．解：设日销售金额为y （元），则y ＝p·Q ．∴2220800,025,,1404000,2530,.t t t t y t t t t ⎧-++<<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩N N22(10)900,025,,(70)900,2530,.t t t t t t ⎧--+<<∈⎪=⎨--≤≤∈⎪⎩N N 当0＜t ＜25，t ∈N ，t ＝10时，y max ＝900（元）；当25≤t≤30，t ∈N ，t ＝25时，y max ＝1125（元）．由1125＞900，知y max ＝1125（元），且第25天，日销售额最大．21．解：（1）因为12b x a =-=-，所以b ＝2a ，由根与系数的关系可得122132a x x a -==，解得：a ＝2，则b ＝4，则f （x ）＝2x 2＋4x ＋3；（2）因为f （x ）＝ax 2＋2ax ＋2a -1的对称轴为x ＝-1，若a ＞0，y ＝f （x ）开口向上，则f （x ）在[-3，0]的最小值在x ＝-1处取得，则f （-1）＝a -1≥0，解得a≥1；若a ＜0，y ＝f （x ）开口向下，又因为|-3-（-1）|＞|0-（-1）|，则f （x ）在[-3，0]的最小值在x ＝-3处取得，则f （-3）＝5a -1≥0，解得15a ≥（舍）；综上所述，a ∈[1，＋∞）．22．解：（1）()f x 因为（x ＋2）（4-x ）≥0，所以A ＝[-2，4]，因为()f x 又0≤9-（x -1）2≤9，所以B ＝[0，3]；（2）当a ＝0时，()f x =[,)cA b-=+∞，B ＝[0，＋∞），又A ＝B ，故c ＝0满足题意；当a≠0时，设二次函数g （x ）＝ax 2＋bx ＋c 的判别式为Δ，当Δ≥0时，设方程g （x ）＝0的两实数根为x 1，x 2（x 1≤x 2）假设a ＞0，当Δ≥0时，则A ＝{x|x≤x 1或x≥x 2}，B ＝[0，＋∞），则A≠B ，矛盾；当Δ＜0时，则A ＝R ，)B =∞，则A≠B ，矛盾；当a ＜0时，假设Δ＜0，则A =∅，B =∅，虽有A ＝B ，但不符合函数的定义，舍去；当Δ≥0，则A ＝{x|x 1≤x≤x 2}，B =，要使A ＝B ，则x 1＝0，且2x =即c ＝0，又g （x 2）＝0得2b x a -==2224b b a a-=，解得a ＝-4；综上，满足条件的实数a 构成的集合为{-4，0}．。

2022-2023学年云南省昭通市第一中学教研联盟高一下学期期末考试数学试题(B卷)+答案解析

2022-2023学年云南省昭通市第一中学教研联盟高一下学期期末考试数学试题（B卷）❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.命题“，”的否定是()A.，B.，C.，D.，3.若复数z满足，则()A.4B.C.7D.254.在中，，E为CD的中点，则()A. B. C. D.5.一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的母线长为6，则该圆锥的体积为()A. B. C. D.6.如图是函数的部分图象，则()A. B. C. D.7.已知不等式的解集为，则实数()A. B.3C. D.28.定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是()A. B.C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知i是虚数单位，，复数是共轭复数，则下列结论正确的是()A. B. C. D.10.已知向量，，则()A.B.与向量平行的单位向量为C.在上的投影向量是D.11.在中，角所对的边分别为，，，O为的外接圆的圆心，则下列结论正确的是()A. B.的外接圆的半径为2C. D.面积的最大值为12.如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点，则下列说法正确的是()A.MN与AD所成夹角为B.C. D.点C到平面ABM的距离为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在长方体中，，，则该长方体的外接球的表面积为__________.14.如图是梯形ABCD按照斜二测画出的直观图，其中，，，则原梯形ABCD的面积为__________.15.已知，则__________.16.如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，则绕直线AB旋转一周形成的几何体的体积为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。

人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)

故选：B.
【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2）且；
（3）且为等差数列；
（4）为等差数列.
6.A
【解析】
【分析】
利用正弦定理将边转化为角得到，再由角C的范围可得选项.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，所以，即，
又因为为的内角，
所以．
解得，，
，；
（2），
，
又，由题得，即，
，即
由题知且，故，
故，
故只需考虑，时，时，时，
17.（10分）已知中，点 .
（1）求直线的方程；
（2）求的面积.
18.（12分）已知函数 .
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若关于x的不等式的解集为R，求a的取值范围.
19.（12分）己知向量， .
（1）若，其中，求坐标；
（2）若与的夹角为，求的值.
20.（12分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产，某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等.
故，
故答案为：
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用来求；（2）计算角， .特别地，两个非零向量垂直的等价条件是 .
15.9
【解析】
【分析】
将变形后利用基本不等式可求其最小值
【详解】，
，等号成立时， .
故答案为：9.
【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.

2022-2023学年云南省西双版纳傣族自治州高一年级上册学期期末统一检测数学试题【含答案】

2022-2023学年云南省西双版纳傣族自治州高一上学期期末统一检测数学试题一、单选题1．已知集合，，则（）{}1,2,3A ={}20B x x =-<A B = A ．B ．C ．D ．{}1{}1,2{}0,1,2{}1,2,3【答案】A【分析】根据交集的定义，运用数轴法求解.【详解】；{}22,32,1A B =∴= ＞故选：A.2．零点所在的区间是（）()243x f x x =+-A ．B ．C ．D ．()2,3()1,2()0,1()1,0-【答案】C【分析】利用零点存在定理依次判断各个选项即可.【详解】由题意知：在上连续且单调递增；()f x R 对于A ，，，内不存在零点，A 错误；()290f =>()3170f =>()2,3∴对于B ，，，内不存在零点，B 错误；()130f =>()290f =>()1,2∴对于C ，，，则，内存在零点，C 正确；()020f =-<()130f =>()()010f f ⋅<()0,1∴对于D ，，，内不存在零点，D 错误.()13102f -=-<()020f =-<()1,0∴-故选：C.3．的值是（）75cos 75A B ．C D 12【答案】A【分析】由已知利用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数值即可求解．【详解】解：175cos 752===故选：A ．4．若条件p ：，q ：，则p 是q 成立的（）2x ≤112x ≥A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性．【详解】由不能推出，例如，2x ≤112x ≥3x =-但必有，112x ≥2x ≤所以p 是q 成立的必要不充分条件.故选：B.5．若正实数x ，y 满足，则x +2y 的最小值为（）121x y +=A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【分析】利用基本不等式进行求解即可.【详解】因为x ，y 是正数，所以有，()12222559y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，22y xx y =3x y ==故选：C 6．已知，则a ，b ，c 的大小关系为（）0.20.212log 0.5,0.5,log 0.4a b c ===A ．B ．C ．D ．a b c <<a c b<<b<c<ac<a<b【答案】A【分析】由指数函数与对数函数的单调性求解即可【详解】因为，0.20.20.21log 0.5log log 2a ==<=而，且，150.2110.522b ⎛⎫==>⎪⎝⎭0.20.51<所以.a b <又，12225log 0.4log log 212c ==>>所以，a b c <<故选：A.7．若函数f (x )＝是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为（）,142,12x a x a x x ⎧>⎪⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩A ．(1，＋∞)B ．(1,8)C ．(4,8)D ．[4,8)【答案】D【分析】根据函数的单调性给出不等式组，求解参数的取值范围即可.【详解】由题意得解得4≤a ＜8.1,40,2(4)12,2a a a a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪≥-⨯+⎪⎩故选：D.8．已知函数是定义在R 上的偶函数，若对于任意不等实数，，，不等式()f x 1x [)20,x ∈+∞恒成立，则不等式的解集为（）()()()()12120x x f x f x --<()()21f x f x >-A ．B ．1133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭113x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或C ．D ．113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭1133x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或【答案】C【分析】由条件对于任意不等实数，，不等式恒成立可得1x [)20,x ∈+∞()()()()12120x x f x f x --<函数在上为减函数，利用函数性质化简不等式求其解.()f x [)0,+∞【详解】∵ 函数是定义在R 上的偶函数，()f x ∴ ，()()(||)f x f x f x =-=∴ 不等式可化为()()21f x f x >-(|2|)(|1|)f x f x >-∵ 对于任意不等实数，，不等式恒成立，1x [)20,x ∈+∞()()()()12120x x f x f x --<∴ 函数在上为减函数，又，()f x [)0,+∞(|2|)(|1|)f x f x >-∴ ，|2||1|x x <-∴，113x -<<∴不等式的解集为()()21f x f x >-113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭故选：C.二、多选题9．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．B ．C ．D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭2y x=-1y x=3y x =-【答案】BD【分析】根据函数奇偶性与单调性对选项逐一分析判断.【详解】A ，函数是非奇非偶函数，故排除A ；B ，函数是上的奇函数也是减函12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭2y x =-R 数，故B 正确；C ，函数在定义域上是奇函数，但在和上是减函数，在定义域1y x =(),0∞-(0,)+∞上不具有单调性，故排除C ；D ，函数是上的奇函数也是减函数，故D 正确.3y x =-R 故选：BD10．为了得到曲线，只需把曲线上所有的点（）1sin(23y x π=-sin y x =A ．先向右平移个单位长度，再将所得曲线上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）3πB ．先向右平移个单位长度，再将所得曲线上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）23πC ．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得曲线向右平移个单位长度3πD ．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得曲线向右平移个单位长度23π【答案】AD【分析】由各选项图像平移写出对应的解析式，即可确定正确答案.【详解】A ，向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍sin y x =3πsin()3y x π=-，故正确；1sin(23y x π=-B ，向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍，sin y x =23π2sin()3y x π=-12sin()23y x π=-故错误；C ，横坐标变为原来的2倍，再将曲线向右平移个单位sin y x =sin()2xy =3π，故错误；11sin (sin()2326y x x ππ=-=-D ，横坐标变为原来的2倍，再将曲线向右平移个单位sin y x =sin()2x y =23π，故正确；121sin ()sin()2323y x x ππ=-=-故选：AD.11．下列化简正确的是A ．B ．1cos82sin52sin82cos522︒︒-︒︒=1sin15sin 30sin 754︒︒︒=C ．D ．tan 48tan 721tan 48tan 72︒+︒=-︒︒22cos 15sin 15︒-︒=【答案】CD【解析】根据两角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式依次化简各个选项可得结果.【详解】中，，则错误；A ()()1cos82sin 52sin 82cos52sin 5282sin 30sin 302-=-=-=-=-A 中，，则错误；B 111sin15sin 30sin 75sin15cos15sin 30248===B中，，则正确；C ()tan 48tan 72tan 4872tan1201tan 48tan 72+=+==-C中，，则正确.D 22cos 15sin 15cos30-==D 故选：CD【点睛】本题考查三角恒等变换的化简问题，涉及到两角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式的应用.12．已知函数若关于x 的方程有6个不同根，则整数()()2lg ,0,64,0,x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+⎪⎩ 2()()40f x mf x +-=m 的取值可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】ABC【分析】令，结合函数图象，可知有2个不同的解，可能一个在上，一()t f x =240t mt +-=(0,4]个在上，也可能两个都在上，构造，结合二次函数根的分布，列出不(5,0)-(4,)+∞2()4g t t mt =+-等式，解出的范围，可得结论.m 【详解】作出函数f (x )的图象如图：关于的方程有6个不同根，x 2()()40f x mf x +-=令，，()t f x =240t mt +-=即方程有2个不同的解，可能一个在上，一个在上，也可能两个都在240t mt +-=(0,4](5,0)-上.(4,)+∞令，若在上和上各有一个不同的零点，2()4g t t mt =+-()g t (0,4](5,0)-所以，解得，()()()500040g g g ⎧->⎪<⎨⎪≥⎩2135m -≤<所以整数的取值可以是-3，-2，-1，0，1，2，3，4.m 若在有两个不同的零点，()g t (4,)+∞所以，该不等式组无解，()24216040m m g ⎧->⎪⎪+>⎨⎪>⎪⎩故选：ABC三、填空题13．已知函数，则________.()()2,05,0xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()2022f =【答案】##180.125【分析】利用函数的解析式可求得的值.()f x ()2022f 【详解】因为，则.()()2,05,0x x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()()()31202220222025328f f f -=-=-==故答案为：.1814．已知不等式的解集是，则__________.210ax bx -- 1132x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∣ a b +=【答案】11-【分析】由题可知方程的解为或.后由韦达定理可得答案.210ax bx --=13x =12x =【详解】由题方程的解为或，则由韦达定理有：210ax bx --=13x =12x =，故5661156b a a b a ⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪-=⎪⎩a b +=11-故答案为：11-15．函数的单调递增区间为__________.()212log 23y x x =--【答案】(),1-∞-【分析】由可求得函数的定义域，根据复合函数单调性的判断方法可求得结果.2230x x -->【详解】由得：或，即的定义域为；2230x x -->1x <-3x >()212log 23y x x =--()(),13,-∞-⋃+∞令，则当时，单调递减；当时，单调223t x x =--(),1x ∈-∞-223t x x =--()3,x ∈+∞223t x x =--递增；又在上单调递减，12log y t =()0,∞+在上单调递增，在上单调递减，()212log 23y x x ∴=--(),1-∞-()3,+∞即的单调递增区间为.()212log 23y x x =--(),1-∞-故答案为：.(),1-∞-16．已知，对恒成立，则实数的取值范围_______．()22420x a x a +-+->[)2,x ∀∈+∞a 【答案】(),3-∞【分析】分析可得原题意等价于，对恒成立，根据恒成立问题结合函数单42t a t +>+[)4,t ∀∈+∞调性分析求解.【详解】若，则，()22420x a x a +-+->()2242x x a x ++>+令，则，[)24,t x =+∈+∞2x t =-可得，整理得，()()22224t t at-+-+>42t a t +>+故原题意等价于，对恒成立，42t a t +>+[)4,t ∀∈+∞∵在上单调递增，则，()4g t t t =+[)4,+∞()()45g t g ≥=∴，解得，52a >+3a <即实数的取值范围.a (),3-∞故答案为：.(),3-∞【点睛】结论点睛：对，，等价于；x M ∀∈()f x a ≥()min f x a ⎡⎤≥⎣⎦对，，等价于.x M ∀∈()f x a≤()max f x a ⎡⎤≤⎣⎦四、解答题17．已知函数f (x )=.2-11x x +(1)求函数的定义域；(2)试判断函数在(-1，+∞)上的单调性，并用定义证明；(3)试判断函数在x ∈[3，5]的最大值和最小值.【答案】(1){x |x ≠-1}(2)是增函数，证明见解析(3)最大值为，最小值为3254【分析】（1）根据函数f (x )有意义，列出不等关系求解即可；（2）先分离常数转化函数为f (x )==2-，根据反比例函数的单调性判断函数单调性，再利2-11x x +31x +用定义证明即可；（3）结合（2）中函数单调性求解即可【详解】（1）∵f (x )=，∴x +1≠0，∴x ≠-1，2-11x x +∴函数f (x )的定义域为{x |x ≠-1}.（2）∵f (x )==2-，∴函数f (x )在(-1，+∞)上是增函数.2-11x x +31x +证明如下：任取x 1，x 2∈(-1，+∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)-f (x 2)=( 2-) –(2-)=-+=131x +231x +131x +231x +，()12123(-)(1)1x x x x ++∵-1<x 1<x 2，∴x 2-x 1>0，∴x 1-x 2<0，(x 1+1)(x 2+1)>0，∴f (x 1)-f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(-1，+∞)上是增函数.（3）∵函数f (x )在(-1，+∞)上是增函数，∴f (x )在x ∈[3，5]上单调递增，∴函数f (x )在x ∈[3，5]上的最大值为f (5)=2-=，最小值为f （3）=2-=.351+32331+5418．(1)已知角的终边经过点，求．α()3,4P -()()sin πcos πππsin cos 22αααα++-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)已知，，，为锐角，求的值．3sin 5α=()5cos13αβ+=αβsin β【答案】(1) ；17(2) .3365【分析】（1）先求出角的正切，再运用诱导公式和同角关系求解；α（2）先求出的值，再运用和差公式求解.()cos ,sin ααβ+【详解】（1）由题意：，44tan 33y x α===--故原式；sin cos cos sin 1tan 1cos sin sin cos tan 17αααααααααα--++====---（2）因为，，，为锐角，也是锐角，3sin 5α=()5cos013αβ+=αβαβ+所以，，4cos 5α==()12sin 13αβ+==则；()()()1243533sin sin sin cos sin cos 13551365βαβααβαααβ=+-=+-+=⨯-⨯=综上，（1）原式；（2）.17=33sin 65β=19．已知集合，．{|210}P x x =- {|11}Q x m x m =-+ (1)求集合；P R (2)若，求实数的取值范围；P Q ⊆m (3)若，求实数的取值范围．P Q Q ⋂=m 【答案】(1)或；{|2x x <-10}x >(2)；9m ≥(3)．3m ≤【分析】（1）由补集定义得结论；（2）由包含关系得不等式组，求解可得；（3）由，则，然后分类讨论：按和分类．P Q Q ⋂=Q P ⊆Q =∅Q ≠∅【详解】（1）因为，所以或；{|210}P x x =-≤≤R {|2P x x =<- 10}x >（2）因为，所以，解得；P Q ⊆12110m m -≤-⎧⎨+≥⎩9m ≥（3），则，P Q Q ⋂=Q P ⊆若即，则，满足题意；11m m ->+0m <Q =∅若，则，由题意，解得，0m ≥Q ≠∅12110m m -≥-⎧⎨+≤⎩03m ≤≤综上，．3m ≤20．某厂生产某种产品的年固定成本为万元，每生产千件，需另投入成本为.当年产量300x ()C x 不足千件时，（万元）；当年产量不小于千件时，90()21103C x x x =+90（万元）.通过市场分析，若每件售价为元时，该厂年内生产的商品能()10000511300C x x x =+-500全部售完.（利润销售收入总成本）=-(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；L x (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】(1)()2140300,090,N 3100001000,90,N x x x x L x x x x x ++⎧-+-≤<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥∈ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)60【分析】（1）分和两种情况，根据利润的求法列出式子即可；090x ≤<90x ≥（2）通过二次函数和基本不等式的角度即可求得答案.【详解】（1）（1）当，时，090x ≤<+N x ∈()2250010001110300403001000033x L x x x x x ⨯=---=-+-当，时，90x ≥+N x ∈()50010001000010000511300300100010000x L x x x x x ⨯⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭∴()2++140300,090,N 3100001000,90,N x x x x L x x x x x ⎧-+-≤<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥∈ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当，时，，090x ≤<*N x ∈()()21609003L x x =--+∴当时，取得最大值（万元），60x =()L x ()60900L =当，时，90x ≥*N x ∈()1000010001000800⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭L x x x当且仅当，即时等号成立.10000x x =100x =即时，取得最大值万元100x =()L x 800综上，所以即生产量为千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为万元.6090021．已知函数，.2()sin 22cos 1f x x x =++π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(1)求函数的值域；()y f x =(2)求函数严格增区间；()y f x =(3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.()2()a f x a f x ⋅+≥[0,2x π∈a 【答案】(1)[1,2(2)π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)a ≥【分析】（1）首先化简函数，再代入函数的定义域，求函数的值域；（2）由（1）可知，，结合正弦函数的单调性，即可求解；ππ5π2444x ≤+≤（3）参变分离得恒成立；转化为求函数的最值.()21()2()2f x a f x f x ≥=-++【详解】（1）.π()sin 2cos2224f x x x x =++=++因为，所以，[0,2x π∈ππ5π2444x ≤+≤所以，所以的值域为；πsin(2[4x +∈()f x [1,2（2）因为，又在上严格增，ππ5π2444x ≤+≤sin y x =ππ[,]22-所以当时，严格增，解得 442πππ2x ≤+≤()f x π08x ≤≤所以函数的严格增区间为；()y f x =π[0,]8（3）因为，所以不等式等价于恒成立；即，()20f x +>()21()2()2f x a f x f x ≥=-++max 21()2a f x ⎡⎤≥-⎢⎥+⎣⎦因为，()234f x ⎡+∈⎣，所以当时，；()24f x +=()()2f x f x +所以实数的取值范围为a a 22．已知函数（且）.41()log 2x a x f x +=0a >1a ≠(1)试判断函数的奇偶性；()f x (2)当时，求函数的值域；2a =()f x(3)已知，使得，求实数的取值范围．()g x x =-[][]124,4,0,4x x ∀∈-∃∈12()()2f x g x -≥a 【答案】(1)函数是偶函数()f x (2)[1,+)∞(3)(1,2]【分析】（1）根据偶函数的定义可判断出结果；（2）根据基本不等式以及对数函数的单调性可求出结果；（3）将，使得，转化为，[][]124,4,0,4x x ∀∈-∃∈12()()2f x g x -≥min [()]f x min [()2]g x ≥+利用换元法求出，分类讨论，利用函数的单调性求出的最小值，代入可求出min [()2]g x +a ()f x ()f x 结果.【详解】（1）因为且，所以其定义域为R ，41()log (02x a x f x a +=>1)a ≠又，4114()log log ()22x xa a x x f x f x --++-===所以函数是偶函数；()f x （2）当时，，因为,,当且仅当，即时取2a =241()log 2x x f x +=20x >4112222x x x x =+≥+21x =0x =等，所以,241()log 2x x f x +=2log 21≥=所以函数的值域为.()f x [1,)+∞（3），，使得，等价于，1[4,4]x ∀∈-2[0,4]x ∃∈12()()2f x g x -≥min [()]f x min [()2]g x ≥+令，，，t =[0,4]x ∈[0,2]t ∈令，则在上的最小值等于在上的最小值，2()22h t t t =-+()2g x +[0,4]()h t [0,2]在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值为，所以()h t [0,1][1,2]()h t [0,2](1)1h =.min [()]1f x ≥因为为偶函数，所以在上的最小值等于在上的最小值，()f x ()f x [4,4]-()f x [0,4]设，则，41()2x x v x +=()log ()a f x v x =任取，1204x x ≤<≤，1212124141()()22x x x x v x v x ++-=-12121(22)(12x x x x +=--因为，所以，，，，，1204x x ≤<≤1222x x <12220x x -<120x x +>1221x x +>121102x x +->所以，，12121(22)(102x x x x +--<12()()v x v x <所以在上为单调递增函数，41()2x x v x +=[0,4]当时，函数在上为单调递减函数，01a <<()log ()a f x v x =[0,4]所以，所以，得（舍）；4min 441()(4)log 2a f x f +==257log 16a =257log 116a ≥25716a ≥当，函数在上为单调递增函数，1a >()log ()a f x v x =[0,4]所以，所以，.min ()f x (0)f =log 2a =log 21a ≥12a <≤综上得：实数的取值范围为.a (1,2]。

浙江省台州市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析

2023年学年第一学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集U =R ，集合{}1,0,1,2A =-，{}|210B x x =->，则()A B ⋂R ð等于（）A.{}1,0- B.{}1,2C.{}1,0,1- D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】先求B R ð，然后由交集运算可得.【详解】因为{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，所以1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭R ð，所以(){}1,0A B ⋂=-R ð.故选：A2.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为（）A.2000,10x x x ∃∈++≥R B.2000,10x x x ∃∈++>R C.2,10x x x ∀∈++≥R D.2,10x x x ∀∈++>R 【答案】C 【解析】【分析】在写命题的否定中要把存在变任意，任意变存在.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以2000,10x x x ∃∈++<R 的否定即为2,10x x x ∀∈++≥R .故选：C.3.设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.【详解】由220x x -<得()0,2x ∈，由12x -<得()1,3x ∈-，故“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件.故选：A.4.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，则下列说法错误的是（）A.0a >B.不等式0bx c +>的解集是{}6x x <C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+<的解集是1|3x x ⎧<-⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭【答案】B 【解析】【分析】先求得,,a b c 的关系式，然后对选项进行分析，所以确定正确答案.【详解】由于关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，所以0a >（A 选项正确），且2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，整理得,6b a c a =-=-，由0bx c +>得60,6ax a x --><-，所以不等式0bx c +>的解集是{}6x x <-，所以B 选项错误.660a b c a a a a ++=--=-<，所以C 选项正确.()()22260,6121310cx bx a ax ax a x x x x -+=-++<--=-+<，解得13x <-或12x >，所以D 选项正确.故选：B5.已知函数()y f x =的定义域为{}|06x x ≤≤，则函数()()22f xg x x =-的定义域为（）A.{|02x x ≤<或}23x <≤B.{|02x x ≤<或}26x <≤C.{|02x x ≤<或}212x <≤ D.{}|2x x ≠【答案】A 【解析】【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，02620x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得，02x ≤<或23x <≤.故选：A ．6.已知函数5(2),22(),2a x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A.()0,2 B.()1,2 C.[)1,2 D.(]0,1【答案】C 【解析】【分析】由题可得函数在2x ≤及2x >时，单调递减，且52(2)22aa -+≥，进而即得.【详解】由题意可知：ay x=在()2,+∞上单调递减，即0a >；5(2)2y a x =-+在(],2-∞上也单调递减，即20a -<；又()f x 是R 上的减函数，则52(2)22aa -+≥，∴02052(2)22a a a a ⎧⎪>⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得12a ≤<．故选：C ．7.已知函数()y f x =的定义域为R ，()f x 为偶函数，且对任意12,(,0]x x ∈-∞都有2121()()0f x f x x x ->-，若(6)1f =，则不等式2()1f x x ->的解为（）A.()(),23,-∞-⋃+∞ B.()2,3- C.()0,1 D.()()2,01,3-⋃【答案】B 【解析】【分析】由2121()()0f x f x x x ->-知，在(,0]-∞上单调递增，结合偶函数，知其在在[0,)+∞上单调递减即可解.【详解】对120x x ∀<≤，满足()()21210f x f x x x ->-，等价于函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，又因为函数()f x 关于直线0x =对称，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递减.则()21f x x ->可化为26x x -<，解得23x -<<.故选：B.8.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，则n 的最大值是（）A.8B.11C.14D.18【答案】C 【解析】【分析】令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值.【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+ .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤，故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤- ，因为()5314n h x ≤≤故5314n -≤，故max 14n =.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（）A.若a b <，则22ac bc <B.若a b >，c d <，则a c b d ->-C.若14a ≤≤，21b -≤≤，则06a b ≤-≤D.a b >是22a b >的充要条件【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式的性质一一判定即可.【详解】对于A ，若0c =，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，c d c d <⇒->-，由不等式的同向可加性可得a c b d ->-，故B 正确；对于C ，2121b b -≤≤⇒≥-≥-，由不等式的同向可加性可得06a b ≤-≤，故C 正确；对于D ，若102a b =>>=-，明显22a b <，a b >不能得出22a b >，充分性不成立，故D 错误.故选：BC10.已知函数()42f x x =-，则（）A.()f x 的定义域为{}±2x x ≠ B.()f x 的图象关于直线=2x 对称C.()()56ff -=- D.()f x 的值域是()(),00,-∞+∞ 【答案】AC 【解析】【分析】根据解析式可得函数的定义域可判断A ，利用特值可判断，直接求函数值可判断C ，根据定义域及不等式的性质求函数的值域可判断D.【详解】由20x -≠，可得2x ≠±，所以()f x 的定义域为{}±2x x ≠，则A 正确；因为()14f =-，()34f =，所以()()13f f ≠，所以()f x 的图象不关于直线=2x 对称，则B 错误；因为()453f -=，所以()()56f f -=-，则C 正确；因为2x ≠±，所以0x ≥，且2x ≠，所以22x -≥-，且20x -≠，当220x -≤-<时，422x ≤--，即()2f x ≤-，当20x ->时，402x >-，即()0f x >，所以()f x 的值域是(](),20,-∞-+∞ ，故D 错误．故选：AC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A.x ∀∈R ，[][]22x x =B.x ∀∈R ，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.x ∀，R y ∈，若[][]x y =，则有1x y ->-D.方程[]231x x =+的解集为【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：取12x =，不成立；对于B ：设[]x x a =-，[0,1)a ∈,讨论10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭与1,1)2a ⎡∈⎢⎣求解；对于C ：,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，由||x y -=||1t s -<得证；对于D ：先确定0x ≥，将[]231x x =+代入不等式[][]()2221x x x ≤<+得到[]x 的范围，再求得x 值.【详解】对于A ：取12x =，[][][]1211,2220x x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦==，故A 错误；对于B ：设11[],[0,1),[][][]22x x a a x x x x a ⎡⎤⎡⎤=-∈∴++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12[]2x a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,[2][2[]2]2[][2]x x a x a =+=+，当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，11,122a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[0,1)a ∈，则102a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]0a =则1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎣⎦，[2]2[]x x =,故当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时，131,22a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[1,,)2a ∈则112a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]1a =则1[]2[]1[2]],2[12x x x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎣⎦，故当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.综上B 正确.对于C ：设[][]x y m ==，则,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，则|||()x y m t -=+-()|||1m s t s +=-<，因此1x y ->-，故C 正确;对于D ：由[]231x x =+知，2x 一定为整数且[]310x +≥，所以[]13x ≥-，所以[]0x ≥，所以0x ≥，由[][]()2221x x x ≤<+得[][][]()22311x x x ≤+<+，由[][]231x x ≤+解得[]33 3.322x +≤≤≈，只能取[]03x ≤≤，由[][]()2311x x +<+解得[]1x >或[]0x <(舍)，故[]23x ≤≤，所以[]2x =或[]3x =，当[]2x =时x =[]3x =时x =，所以方程[]231x x =+的解集为，故选：BCD.【点睛】高斯函数常见处理策略:(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.(2)由x 求[]x 时直接按高斯函数的定义求即可.由[]x 求x 时因为x 不是一个确定的实数,可设[]x x a =-，[0,1)a ∈处理.(3)求由[]x 构成的方程时先求出[]x 的范围,再求x 的取值范围.(4)求由[]x 与x 混合构成的方程时,可用[][]1x x x ≤<+放缩为只有[]x 构成的不等式求解.12.函数()1f x a x a =+--，()21g x ax x =-+，其中0a >.记{},max ,,m m n m n n m n ≥⎧=⎨<⎩，设()()(){}max ,h x f x g x =，若不等式()12h x ≤恒有解，则实数a 的值可以是（）A.1B.12 C.13 D.14【答案】CD 【解析】【分析】将问题转化为()min 12h x ≥；分别在a ≥和0a <<的情况下，得到()f x 与()g x 的大致图象，由此可得确定()h x 的解析式和单调性，进而确定()min h x ，由()min 12h x ≤可确定a 的取值范围，由此可得结论.【详解】由题意可知：若不等式()12h x ≤恒有解，只需()min 12h x ≥即可.()1,21,x x af x a x x a +≤⎧=⎨+-≥⎩，∴令211ax x x -+=+，解得：0x =或2x a=；令2121ax x a x -+=+-，解得：x =或x =；①当2a a≤，即a ≥时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),02,02,g x x h x f x x a g x x a ⎧⎪≤⎪⎪∴=<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，()h x ∴在(],0-∞上单调递减，在[)0,∞+上单调递增，()()()min 001h x h g ∴===，不合题意；②当2a a>，即0a <<时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),0,0,g x x h x f x x g x x ⎧≤⎪∴=<<⎨⎪≥⎩()h x ∴在(],0-∞，a ⎡⎣上单调递减，[]0,a，)+∞上单调递增；又()()001h g ==，21hg a ==，∴若()min 12h x ≥，则需()min h x h =，即1212a ≤，解得：14a -≤；综上所述：实数a的取值集合10,4M ⎛⎤-= ⎥ ⎝⎦，1M ∉ ，12M ∉，13M ∈，14M ∈，∴AB 错误，CD 正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式能成立问题的求解，解题关键是将问题转化为函数最值的求解问题，通过分类讨论的方式，确定()f x 与()g x 图象的相对位置，从而得到()h x 的单调性，结合单调性来确定最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是__________．【答案】312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．【详解】设幂函数()y f x x α==，其图像过点()42，，则42α=，解得12α=；∴()12f x x ==，函数定义域为[)0,∞+，在[)0,∞+上单调递增，不等式()()21f a f a ->-等价于210a a ->-≥，解得312a ≤<；则实数a 的取值范围是31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.已知0a >，0b >，且41a b +=，则22ab +的最小值是______．【答案】18【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由题意可得24282221018b a b ab a b a ab +=++=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝++≥⎭，当且仅当13a =，6b =时，等号成立．故答案为：1815.若函数()()22()1,，=-++∈f x x xax b a b R 的图象关于直线2x =对称，则=a b +_______．【答案】7【解析】【分析】由对称性得()(4)f x f x =-，取特殊值(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩求得,a b ，再检验满足()(4)f x f x =-即可得，【详解】由题意(2)(2)f x f x +=-，即()(4)f x f x =-，所以(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩，即15(164)08(93)b a b a b =-++⎧⎨=-++⎩，解得815a b =-⎧⎨=⎩，此时22432()(1)(815)814815f x x x x x x x x =--+=-+--+，432(4)(4)8(4)14(4)8(4)15f x x x x x -=--+-----+432232(1696256256)8(644812)14(168)32815x x x x x x x x x x =--+-++-+---+-++432814815x x x x =-+--+()f x =，满足题意．所以8,15a b =-=，7a b +=．故答案为：7．16.设函数()24,()2,ax x a f x x x a-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩存在最小值，则a 的取值范围是________.【答案】[0,2]【解析】【分析】根据题意分a<0，0a =，02a <≤和2a >四种情况结合二次函数的性质讨论即可》【详解】①当a<0时，0a ->，故函数()f x 在(),a -∞上单调递增，因此()f x 不存在最小值；②当0a =时，()24,0()2,0x f x x x <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，当0x ≥时，min ()(2)04f x f ==<，故函数()f x 存在最小值；③当02a <≤时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，2()(2)(2)0f x x f =-≥=.若240a -+<，则()f x 不存在最小值，故240a -+≥，解得22a -≤≤.此时02a <≤满足题设；④当2a >时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，22()(2)()(2)f x x f a a =-≥=-.因为222(2)(4)242(2)0a a a a a a ---+=-=->，所以22(2)4a a ->-+，因此()f x 不存在最小值.综上，a 的取值范围是02a ≤≤.故答案为：[0,2]【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{|13}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-．（1）若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围；（2）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[)0,∞+（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据B 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得m 的取值范围.（2）根据p 是q 的充分条件列不等式，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】由于A B ⋂=∅，①当B =∅时，21m m ³-，解得13m ≥，②当B ≠∅时，2111m m m <-⎧⎨-≤⎩或2123m mm <-⎧⎨≥⎩，解得103m ≤<．综上所述，实数m 的取值范围为[)0,∞+．【小问2详解】命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，故A B ⊆，所以2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-；所以实数m 的取值范围为(],2-∞-．18.2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元.2019年1月1日起实施新年征收个税.个人所得税税率表（2019年1月1日起执行）级数全年应纳税所得额所在区间（对应免征额为60000）税率（%）速算扣除数1[]0,36000302(]36000,1440001025203(]144000,30000020X 4(]300000,42000025319205(]420000,66000030529206(]660000,96000035859207()960000,+∞45181920有一种速算个税的办法：个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.（1）请计算表中的数X ；（2）假若某人2021年税后所得为200000元时，请按照这一算法计算他的税前全年应纳税所得额.【答案】（1）16920X =（2）153850元.【解析】【分析】（1）根据公式“个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数”计算，其中个税税额按正常计税方法计算；（2）先判断他的全年应纳税所参照的级数，是级数2还是级数3，然后再根据计税公式求解.【小问1详解】按照表格，假设个人全年应纳税所得额为x 元(144000300000x ≤≤)，可得：()()20%14400020%1440003600010%360003%x X x -=-⨯+-⨯+⨯，16920X =.【小问2详解】按照表格，级数3，()30000030000020%16920256920-⨯-=；按照级数2，()14400014400010%2520132120-⨯-=；显然1321206000019212020000031692025692060000+=<<=+，所以应该参照“级数3”计算.假设他的全年应纳税所得额为t 元，所以此时()20%1692020000060000t t -⨯-=-，解得153850t =，即他的税前全年应纳税所得额为153850元.19.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且当0x >时，()2f x >-.（1）求()0f 的值，并证明()2f x +为奇函数；（2）求证()f x 在R 上是增函数；（3）若()12f =，解关于x 的不等式()()2128f x x f x ++->.【答案】（1）(0)2f =-,证明见解析（2）证明见解析（3）{1x x <-或}2x >【解析】【分析】（1）赋值法；（2）结合增函数的定义，构造[]1122()()f x f x x x =-+即可；（3）运用题干的等式，求出(3)10f =，结合（2）的单调性即可.【小问1详解】令0x y ==，得(0)2f =-.()2()2(0)20f x f x f ++-+=+=，所以函数()2f x +为奇函数；【小问2详解】证明：在R 上任取12x x >，则120x x ->，所以12()2f x x ->-.又[]11221222()()()()2()f x f x x x f x x f x f x =-+=-++>，所以函数()f x 在R 上是增函数.【小问3详解】由(1)2f =，得(2)(11)(1)(1)26f f f f =+=++=，(3)(12)(1)(2)210f f f f =+=++=.由2()(12)8f x x f x ++->得2(1)(3)f x x f -+>.因为函数()f x 在R 上是增函数，所以213x x -+>，解得1x <-或2x >.故原不等式的解集为{1x x <-或}2x >.20.已知函数()2,R f x x x k x k =-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性（写出结论，不需要证明）；（2）如果当[]0,2x ∈时，()f x 的最大值是6，求k 的值.【答案】（1）答案见解析（2）1或3【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合函数奇偶性的知识确定正确答案.（2）将()f x 表示为分段函数的形式，对k 进行分类讨论，结合二次函数的性质、函数的单调性求得k 的值.【小问1详解】当0k =时，()f x ＝||2x x x +，则()f x -＝||2x x x --＝()f x -，即()f x 为奇函数，当0k ≠时，(1)f ＝|1|2k -+，(1)|1|2f k -=-+-，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|0f f k k k k +-=-+-+-=--+≠，则()f x 不是奇函数，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|40f f k k k k --=-++++=-+++≠，则()f x 不是偶函数，∴当0k =时()f x 是奇函数，当0k ≠时，()f x 是非奇非偶函数.【小问2详解】由题设，()f x ()()222,2,x k x x k x k x x k ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，函数()22y x k x =+-的开口向上，对称轴为2122k kx -=-=-；函数()22y x k x =-++的开口向下，对称轴为2122k k x +=-=+-.1、当1122k k k -<+<，即2k >时，()f x 在(,1)2k-∞+上是增函数，∵122k+>，∴()f x 在[]0,2上是增函数；2、当1122k k k <-<+，即2k <-时，()f x 在1,2k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，∵102k-<1，∴()f x 在[]0,2上是增函数；∴2k >或2k <-，在[]0,2x ∈上()f x 的最大值是(2)2|2|46f k =-+=，解得1k =（舍去）或3k =；3、当1122k kk -≤≤+，即22k -≤≤时，()f x 在[]0,2上为增函数，令2246k -+=，解得1k =或3k =（舍去）.综上，k 的值是1或3.【点睛】研究函数的奇偶性的题目，如果要判断函数的奇偶性，可以利用奇偶函数的定义()()f x f x -=或()()f x f x -=-来求解.也可以利用特殊值来判断函数不满足奇偶性的定义.对于含有绝对值的函数的最值的研究，可将函数写为分段函数的形式，再对参数进行分类讨论来求解.21.已知函数()2f x x =-，()()224g x x mx m =-+∈R .（1）若对任意[]11,2x ∈，存在[]24,5x ∈，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围；（2）若1m =-，对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式()200g x x n k -+≥成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）54m ⎡∈⎢⎣（2）(],4∞-【解析】【分析】（1）将题目条件转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域，再根据[]11,2x ∈的两端点的函数值()()1,2g g 得到()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，从而得到()()min g x g m =，进而求出m 的取值范围；（2）将不等式()200g x x n k -+≥化简得不等式024x n k ++≥成立，再构造函数()0024h x x n =++，从而得到()0max h x k ≥，再构造函数()(){}0max max ,8n h x n n ϕ==+，求出()min n ϕ即可求解.【小问1详解】设当[]11,2x ∈，()1g x 的值域为D ，当[]24,5x ∈，()2f x 的值域为[]2,3，由题意得[]2,3D ⊆，∴()()211243224443g m g m ⎧≤=-+≤⎪⎨≤=-+≤⎪⎩，得5342m ≤≤，此时()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，故()()[]min 2,3g x g m =∈，即()222243g m m m =-+≤≤得1m ≤≤1m ≤≤-，综上可得54m ⎡∈⎢⎣.【小问2详解】由题意得对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式024x n k ++≥成立，令()0024h x x n =++，由题意得()0max h x k ≥，而()()(){}{}0max max 2,2max ,8h x h h n n =-=+，设(){}max ,8n n n ϕ=+，则()min n k ϕ≥，而(){},4max ,88,4n n n n n n n ϕ⎧<-⎪=+=⎨+≥-⎪⎩，易得()()min 44n k ϕϕ=-=≥，故4k ≤.即实数k 的取值范围为(],4∞-.22.已知函数()()01ax g x a x =≠+在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1．（1）求实数a 的值；（2）若函数()()()()()210x b f x b b g x +=-+>，是否存在正实数b ，对区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在以()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2a =（2）存在，15153b <<【解析】【分析】（1）由题意()1a g x a x =-+，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后分a<0，0a >两种情况讨论函数()g x 的单调性，即可得出结果；（2）由题意()()0bf x x b x=+>，可证得()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()0b f g x f u u b u ==+>，从而把问题转化为：1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max2f u f u >时，求实数b 的取值范围．结合()bf u u u=+的单调性，分109b <≤，1193b <≤，113b <<，1b ≥四种情况讨论即可求得答案.【小问1详解】由题意()11ax a g x a x x ==-++，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦①当a<0时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以()max 151566a ag x g a ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，得6a =（舍去）．②当0a >时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，所以()()max 1122a ag x g a ==-==，得2a =．综上所述，2a =．【小问2详解】由题意()22211x g x x x ==-++，又115x ≤≤，由（1）知函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，∴()()115g g x g ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()113g x ≤≤，所以函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．又因为()()()()()()()()()2211111x b x x b x b x b f x b b b g x x x++++++=-+=-+=-+，∴()()20x b bf x x b x x+==+>，令120x x <<，则()()()12121212121b b b f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1x ，(2x ∈时，()121210b x x x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x >，()f x 为减函数；当1x ，)2x ∈+∞时，()121210b x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x <，()f x 为增函数；∴()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，由（1）知1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()()()0bf g x f u u b u==+>；所以，在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形，等价于1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max 2f u f u >．①当109b <≤时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()min 133f u b =+，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >，得115b >，从而11159b <≤．②当1193b <≤时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u =，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >得77b -<<+1193b <≤．③当113b <<时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u ==，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得74374399b -+<<，从而113b <<．④当1b ≥时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()min 1f u b =+，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得53b <，从而513b ≤<．综上，15153b <<．。

2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题含答案

2021—2022学年第一学期质量检测高一年级数学试题班级：_________________ 姓名：_________________ 座号：________________第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 52. 下列函数中与y x =是同一函数的是（）（1）2y x =（2）log x a y a =（3）log xa ay a =（4）33y x =（5）()n n y x n N +=∈A. （1）（2）B. （2）（3）C. （2）（4）D. （3）（5）3. 某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示（）A. 无症状感染者B. 发病者C. 未感染者D. 轻症感染者4. 要得到函数4y sinx =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象 A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位5. 已知函数22,0(),03x x f x x x +≤⎧=⎨<≤⎩，若()9f x =，则x 的值是（） A. 3 B. 9C. 1-或1D. 3-或36. 已知扇形的弧长是4cm ，面积是22cm ，则扇形的圆心角的弧度数是（） A. 1 B. 2C.4 D. 1或47. 已知函数2()8x f x e x x =-+，则在下列区间中()f x 必有零点的是( ) A. (－2，－1) B. (－1,0)C. (0,1)D. (1,2)8. 下图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图象，则sin()x ωϕ+=（）A. sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭B. sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. sin 26xD. sin 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭9. 设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c大小关系为（）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<10. 设f (x )为偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，(2)0f -=，则xf (x )＜0的解集为（） A. (－1，0)∪(2，＋∞) B. (－∞，－2)∪(0，2) C. (－2，0)∪(2，＋∞)D. (－2，0)∪(0，2)11. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为,,a b c ，三角形的面积S可由公式S =求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足10,8a b c +==，则此三角形面积的最大值为（）A. 6B. 9C. 12D. 1812. 设函数()()21ln 11f x x x=+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是 A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13. 已知函数()()314,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（） A. ()0,1B. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，本题共20分．请把正确答案填在答题卡中相应题号的横线上）14. 552log 10log 0.25+=____________．15. 如果二次函数()()215f x x a x =--+在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围为________．16. 已知sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，那么tan α＝________.17. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中3sin 5BAC ∠=，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18. 已知集合{}3A x a x a =≤≤+，{1B x x =<-或5}x >．（1）若A B =∅，求a 的取值范围；（2）若A B A =，求a 的取值范围．19. 已知角á的终边经过点P 43(,)55-. （1）求sin á的值；（2）求sin tan()2sin()cos(3)πααπαππα⎛⎫-- ⎪⎝⎭+-的值.20. 已知()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数，且[1,0]x ∈-时，2()1xf x x =+．（1）求函数()f x 的表达式；（2）判断并证明函数在区间[0,1]上的单调性．21. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x 万件，其总成本为()G x 万元，其中固定成本为3万元，并且每生产1万件的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 满足29,05()2510,5x x x R x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨++>⎪⎩，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入−总成本）；（2）工厂生产多少万件产品时，可使盈利最多？22. 已知函数()()2cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭满足下列3个条件： ①函数()f x 的周期为π；②3x π=是函数()f x 的对称轴；③7012f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）请任选其中二个条件，并求出此时函数()f x 解析式；（2）若,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最值.23. 已知函数2()log (21)x f x kx =+-的图象过点25(2,log )2.（Ⅰ）求实数k 的值; （Ⅱ）若不等式1()02f x x a +->恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若函数1()2()241f x x x h x m +=+⋅-，2[0,log 3]x ∈，是否存在实数0m <使得()h x 的最小值为12，若存在请求出m 的值；若不存在，请说明理由.24. 已知函数2()21f x ax x a =-+-（a 为实常数）．（1）若0a >，设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式：（2）设()()f x h x x=，若函数()h x 在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围．参考答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B2. 下列函数中与y x =是同一函数的是（）（1）2y x =（2）log x a y a =（3）log xa ay a =（4）33y x =（5）()n n y x n N +=∈A. （1）（2）B. （2）（3）C. （2）（4）D. （3）（5）【答案】C3. 某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示（）A. 无症状感染者B. 发病者C. 未感染者D. 轻症感染者【答案】A4. 要得到函数4y sinx =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象 A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位C. 向左平移3π个单位D. 向右平移3π个单位【答案】B5. 已知函数22,0(),03x x f x x x +≤⎧=⎨<≤⎩，若()9f x =，则x 的值是（） A. 3 B. 9C. 1-或1D. 3-或3【答案】A6. 已知扇形的弧长是4cm ，面积是22cm ，则扇形的圆心角的弧度数是（） A. 1 B. 2C.4 D. 1或4【答案】C7. 已知函数2()8x f x e x x =-+，则在下列区间中()f x 必有零点的是( ) A. (－2，－1) B. (－1,0)C. (0,1)D. (1,2)【答案】B8. 下图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图象，则sin()x ωϕ+=（）A. sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭B. sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. sin 26xD.sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B9. 设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c大小关系为（）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D.c a b <<【答案】D10. 设f (x )为偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，(2)0f -=，则xf (x )＜0的解集为（） A. (－1，0)∪(2，＋∞) B. (－∞，－2)∪(0，2) C. (－2，0)∪(2，＋∞)D. (－2，0)∪(0，2)【答案】C11. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为,,a b c ，三角形的面积S 可由公式()()()S p p a p b p c =---求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足10,8a b c +==，则此三角形面积的最大值为（）A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】C12. 设函数()()21ln 11f x x x =+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是 A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A13. 已知函数()()314,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（） A. ()0,1 B. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，本题共20分．请把正确答案填在答题卡中相应题号的横线上）14. 552log 10log 0.25+=____________．【答案】15. 如果二次函数()()215f x x a x =--+在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围为________．【答案】(]2∞－， 16. 已知sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，那么tan α＝________.【答案】－231617. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中3sin 5BAC ∠=，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________．【答案】24:25三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18. 已知集合{}3A x a x a =≤≤+，{1B x x =<-或5}x >．（1）若A B =∅，求a 的取值范围；（2）若AB A =，求a 的取值范围．【答案】（1）[]1,2- （2）()(),45,-∞-+∞19. 已知角á的终边经过点P 43(,)55-. （1）求sin á的值；（2）求sin tan()2sin()cos(3)ααπαππα-- ⎪⎝⎭+-的值. 【答案】（1）35；（2）54-. 20. 已知()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数，且[1,0]x ∈-时，2()1x f x x =+．（1）求函数()f x 的表达式；（2）判断并证明函数在区间[0,1]上的单调性．【答案】（1）22,[0,1]1(),[1,0)1x x x f x x x x -⎧∈⎪⎪+=⎨⎪∈-⎪+⎩（2）单调减函数，证明见解析21. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x 万件，其总成本为()G x 万元，其中固定成本为3万元，并且每生产1万件的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 满足29,05()2510,5x x x R x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨++>⎪⎩，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入−总成本）；（2）工厂生产多少万件产品时，可使盈利最多？【答案】（1）()283,05257,5x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨+>⎪⎩（2）4万件22. 已知函数()()2cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足下列3个条件： ①函数()f x 的周期为π；②3x π=是函数()f x 的对称轴；③7012f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）请任选其中二个条件，并求出此时函数()f x 解析式；（2）若,33x ∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最值. 【答案】（1）答案见解析，()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）最大值2；最小值2-. 23. 已知函数2()log (21)x f x kx =+-的图象过点25(2,log )2. （Ⅰ）求实数k 的值; （Ⅱ）若不等式1()02f x x a +->恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若函数1()2()241f x x x h x m +=+⋅-，2[0,log 3]x ∈，是否存在实数0m <使得()h x 的最小值为12，若存在请求出m 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）12k =（2）0a ≤（3）518m =- 24. 已知函数2()21f x ax x a =-+-（a 为实常数）．（1）若0a >，设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式：（2）设()()f x h x x=，若函数()h x 在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围．【答案】（1）163,04111()21,442132,2a a g a a a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩；（2）1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭。

2022-2023学年云南省昆明市西山区高一年级上册学期2月期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年云南省昆明市西山区高一上学期2月期末考试数学试题一、单选题1．设集合，，则（）{|1}A x x =≥{}2|20B x x x =--<A B ⋃=A ．B ．C ．D ．{|1}x x >-{|1}x x ≥{|11}x x -<<{|12}x x ≤<【答案】A 【分析】解出集合，根据并集的运算法则求得结果.{}|12=-<<B x x 【详解】由，220x x --<得，得(2)(1)0x x -+<12x -<<即，{}|12=-<<B x x 则A B ⋃={|1}x x >-故选：A.2．已知命题p ：，，则为（）(0,)2πα∀∈tan sin αα>p ⌝A ．，B ．，(0,)2πα∀∈tan sin αα≤(0,2πα∀∉tan sin αα≤C ．，D ．，(0,)2πα∃∈tan sin αα≤(0,2πα∃∉tan sin αα≤【答案】C【分析】全称命题的否定定义可得.【详解】根据全称命题的否定，：，.p ⌝(0,)2πα∃∈tan sin αα≤故选：C.3．（）cos 600=A ．B ．CD ．1212-【答案】B【分析】利用诱导公式化简求值.【详解】.1cos 600cos(360240)cos 240cos(18060)cos 602=+==+=-=-故选：B【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．下列函数表示同一函数的是（）A ．和1y x =+211x y x -=-B ．y =y C．y =1y x =+D ．和πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5πsin 26y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据同一函数的标准，定义域相同，对应法则一致，来逐项进行判断.【详解】因为的定义域为，而的定义域为全体实数，所以A 不符合题意；211x y x -=-{}1x x ≠1y x =+，的定义域为，所以B 不符合题意；y =(][),10,-∞-⋃+∞y =[)0,∞+显然不是同一函数，所以C 不符合题意；y =1y x =+，所以D 符合题意.5πππsin 2sin 2πsin 2666y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：D.5．为得到函数的图象，只需将函数的图象（）πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin y x =①向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的；π412②向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的；π812③每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度；12π8④每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度．12π8A ．①④B ．①③C ．②④D ．②③【答案】A【分析】利用三角函数图象的平移变换、周期变换进行判断.【详解】因为，ππsin 2sin 248y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于①，函数的图象向左平移个单位长度，得到，sin y x =π4πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，故①正确；12πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于②，函数的图象向右平移个单位长度，得到，sin y x =π8πsin 8y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到，故②错误；12πsin 28y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于③，将函数的图象每个点的横坐标缩短为原来的，得到，sin y x =12sin 2y x =再向右平移个单位长度，得到，故③错误；π4ππsin 2sin 284y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于④，将函数的图象每个点的横坐标缩短为原来的，得到，sin y x =12sin 2y x =再向左平移个单位长度，得到，故④正确．故B ，C ，D 错误.π8ππsin 2sin 284y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：A.6．函数的部分图像大致为（）()cos 1xf x x =+A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】先判断函数的奇偶性，再利用特殊值排除可得答案.【详解】因为，所以，()cos 1x f x x =+()()cos cos ()11x xf x f x x x --===-++即函数为偶函数，排除C,D ；因为，所以排除A ；(0)1f =故选：B.7．函数，若，，，则（）()3e 2x f x x =+-a f=(b f =()tan 2c f =A ．B ．a b c >>a c b >>C ．D ．b a c >>c a b>>【答案】A【分析】先判断函数在，从而可解.()f x R 10tan 2>>>>【详解】在上单调递增，又在上单调递增，3y x = R e xy = R 函数在上单调递增.∴()3e 2xf x x =+-R，10tan 2>>>>则，即,(tan 2)f f f >>a b c >>故选：A8．已知函数M ，最小值为m ，则（）(f x M m +=A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】A【分析】求得定义域为，从而化简函数为奇函数，进而有(1,1)-()f x =()f x ，即可求解.max min ()()0f x f x +=【详解】由题意可得，所以，210x ->11x -<<即函数的定义域为，(1,1)-所以()f x ===则，所以为奇函数，()()f x f x -==-()f x 所以，即.max min ()()0f x f x +=0M m +=故选：A二、多选题9．关于函数的零点，下列选项说法正确的是（）()321f x x x =-+A ．是的一个零点()1,0()f x B ．在区间内存在零点()f x ()2,1--C ．至少有2零点()f x D ．的零点个数与的解的个数相等()f x 3210x x -+=【答案】BCD【分析】根据零点的定义和零点存在定理，结合选项逐个判断.【详解】因为，所以是的一个零点，A 不正确；()3112110f =-⨯+=1x =()f x 因为，，()()3(2)222130f -=--⨯-+=-<()()3(1)121120f -=--⨯-+=>所以在区间内存在零点，B 正确；()f x ()2,1--令，得，()0f x =()()322221110x x x x x x x -+-+=-+-=因为方程的判别式，且不是的根，210x x +-=0∆>1210x x +-=所以有3个零点，C 正确；()f x 由零点的定义可知D 也是正确的.故选：BCD.10．角终边上一点的坐标为，且，关于下列结论正确的有（）α(),1P x -cos 2xα=tan αA ．若，则0x ≠tan sin αα>B ．当时，不存在0x =tan αC ．若为第三象限角，则αtan α=D ．若为第四象限角，则αtan α=【答案】BC 【分析】先根据和求出，然后结合选项逐个判定.(),1P x -cos 2xα=x 【详解】因为角终边上一点的坐标为，且，α(),1P x -cos 2x α=所以，解得或cos 2xα==0x =x =当时，若，此时；0x ≠x =1tan 2αα==-tan sin αα<若，此时；所以A 不正确.x =1tan 2αα==-tan sin αα>当时，不存在，B 正确.0x =tan α若为第三象限角，则，C 正确.αx =tan α=若为第四象限角，则D 不正确.αx =tan α=故选：BC.11．若函数是奇函数，下列选项正确的是（）()()221x x f x a +∈+=R A ．1a =-B ．是单调递增函数()f x C ．是单调递减函数()f x D ．不等式的解为()()2150f t f t ++-≤43≥t 【答案】ACD【分析】先根据奇函数求出参数，根据的单调性可得的单调性，根据奇偶性和单a 21xy =+()f x 调性可求的解.()()2150f t f t ++-≤【详解】因为是奇函数，所以；()()221xx f x a +∈+=R ()()0f x f x -+=即，解得，A 正确；2221221x x a -++=++1a =-因为为增函数，且，所以为减函数，所以是单调递减函数，B21xy =+211xy =+>221x y =+()f x 不正确，C 正确；因为是奇函数，所以不等式等价于不等式，()f x ()()2150f t f t ++-≤()()215f t f t +≤-因为是单调递减函数，所以，解得，D 正确.()f x 215t t +≥-43≥t 故选：ACD.12．如图，在等边三角形中，.动点从点出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到ABC 6AB =P A 点，记运动的路程为，点到此三角形中心距离的平方为，给出下列结论正确的有A P x P O ()f x （）A ．函数的最大值为12；()f xB ．函数的最小值为6；()f x C ．关于的方程最多有6个实数根；x ()3f x kx =+D ．当时能取得最大值.3x =()f x 【答案】AC【分析】写出分别在上运动时的函数解析式，利用分段函数图象可解.P ,,AB BC CA 2()f x OP=【详解】分别在上运动时的函数解析式，，P AB ()22()33f x OP x ==+-()06x ≤≤分别在上运动时的函数解析式，，P BC ()22()39f x OP x ==+-()612x ≤≤分别在上运动时的函数解析式，，P CA ()22()315f x OP x ==+-()1218x ≤≤，22223(3),(06)()3(9),(612)3(15),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩由图象可得，方程最多有6个实数根，函数的最大值为12，最小值为3，当()3f x kx =+()f x 时能取得最小值3x =()f x 故选：AC.三、填空题13．写出一个的充分条件________．11x >【答案】（答案不唯一）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】解不等式得，只要找的一个子集即可.11x >01x <<01x <<【详解】等价于，即，11x >110x ->10x x ->则，解得，(1)0x x -<01x <<所以的一个充分条件是，01x <<10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：（答案不唯一）.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭14．，，且，则ab 的最小值为________．0a >0b >9ab a b =+【答案】36【分析】利用基本不等式以及不等式的性质求解.【详解】因为，，所以0a >0b >9ab a b =+≥=即，ab ≥36ab ≥当且仅当时，即时，取等号.9a b =2,18a b ==故答案为：36.15．已知函数是周期为2的函数，当时，，则________．()f x []0,1x ∈()221x f x x =+-()2023f =【答案】2【分析】根据周期可得，从而可求.(2023)(110112)(1)f f f =+⨯=【详解】根据题意，函数是周期为2的函数，()f x 则，(2023)(110112)(1)f f f =+⨯=当时，，[0,1]x ∈2()21xf x x =+-则，(1)1212f =+-=故.(2023)2f =故答案为：216．若，是第三象限角，则________．π3cos 25θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭θ1tan21tan 2θθ-=+【答案】2-【分析】先化简，得到，再利用同角三角函数的基本关系求得，再π3cos 25θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭3sin 5θ=-cos θ把所求的式子切化弦，利用二倍角公式，求得结果．【详解】因为，所以，π3cos 25θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭33sin,sin 55θθ-==-因为是第三象限角，所以，θ4cos 5θ==-所以sin211tan cos cos sin 22221tan sin cossin22221cos2θθθθθθθθθθ---==+++222224cos sin cos sin cos sin cos 2222522231sin cos sin 2cos sin 1cos sin 2222522θθθθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=====-+⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭故答案为：2-四、解答题17．已知集合或或，全集.{}|20A x x =-≤≤{1B x x =<-}4x >U =R (1)求，，；A B ⋂A B ⋃U B (2)求.()(),U U U A B A B 【答案】(1),或，{}21A B x x ⋂=-≤<-{0A B x x ⋃=≤}4x >{}14U B x x =-≤≤ (2)，(){}24U A B x x ⋃=-≤≤ ()(){}04U U A B x x ⋂=<≤ 【分析】对集合分别求出其补集，再根据题意进行集合间的基本运算从而可求得结果.,A B 【详解】（1），或，{}20A x x =-≤≤{|1B x x =<-}4x >，或，;∴{}21A B x x ⋂=-≤<-{0A B x x ⋃=≤}4x >{}14U B x x =-≤≤ （2），则，{}14U B x x =-≤≤ (){}24U A B x x ⋃=-≤≤ ，或，{}20A x x =-≤≤∴{|2U A x x =<- }0x >.∴()(){}04U U A B x x ⋂=<≤ 18．计算下列两个小题：(1)；ln31e lg15lg3++(2)．0.25608π+【答案】(1)4(2)75【分析】（1）利用对数的运算规则进行求解；（2）利用指数的运算规则进行求解.【详解】（1）.ln3111e lg15lg 3lg 2lg15lg 3lg 2154333⎛⎫+++=+++=+⨯⨯= ⎪⎝⎭（2）.660.750.2650.25085221289π17=⨯+⨯+=+⨯=++19．已知函数在一个周期内的图象如图所示．()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式和最小正周期；()f x (2)求函数在R 上的单调增区间．()f x 【答案】(1)；最小正周期；π()3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πT =(2).πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦【分析】（1）根据最大值可得A ，根据周期可得ω，根据五点作图法中的第三个关键点的横坐标可得φ；（2）令，，求解即可.πππ2π22π262k x k -≤+≤+Z k ∈【详解】（1）根据函数在一个周期内的图象，()sin()f x A x ωϕ=+π0,0,||2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭可得12π5ππ3,,221212A ωω=⨯=+∴=由五点作图法中的第三个关键点可知，5π2π2π,Z 12k k ϕ⨯+=+∈，又，π2π,Z 6k k ϕ∴=+∈ππ,26ϕϕ<∴= 所以，它的最小正周期为.π()3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2ππ2T ==（2）令，，πππ2π22π262k x k -≤+≤+Z k ∈可得, ，ππππ36k x k -≤≤+Z k ∈故函数的递增区间为.()f x πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦20．已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有()()20f x ax bx c a =++≠()2,0-R x ∈．()2f x x≥(1)求函数的表达式；()f x (2)设，求函数在区间上的最小值．()()2g x f x mx =+()g x []0,1【答案】(1)()22f x x x=+(2)2min32,2()(1),210,1m m g x m m m +≤-⎧⎪=-+-<<-⎨⎪≥-⎩【分析】（1）由题意得，得，从而恒成立，得0420c a b c =⎧⎨-+=⎩2()2f x ax ax =+22(1)0ax a x +-≥，即可求解；20Δ4(1)0a a >⎧⎨=-≤⎩（2）依题意可得，即可得到对称轴，再对对称轴所在位置分类讨2()()2(22)g x f x mx x m x =+=++论，即可求出函数的最小值.【详解】（1）由题意得，所以，0420c a b c =⎧⎨-+=⎩22,0,()2b a c f x ax ax ===+因为对于任意，都有，即恒成立，R x ∈()2f x x ≥22(1)0ax a x +-≥故，解得，.20Δ4(1)0a a >⎧⎨=-≤⎩1a =2b ∴=所以；2()2f x x x =+（2），2()()2(22)g x f x mx x m x =+=++则的对称轴为，()g x 1x m =--当，即, 函数在上单调递增，10m --≤1m ≥-[]0,1故在上的最小值为；()g x []0,1(0)0g =当，即时，函数在上单调递减，11m --≥2m ≤-[]0,1故在的最小值为；()g x []0,1(1)32g m =+当，即时,011m <--<21m -<<-函数在上单调递减，在上单调递增，[)0,1m --(]1,1m --故在上的最小值为.()g x []0,12(1)(1)g m m --=-+综上, .2min 32,2()(1),210,1m m g x m m m +≤-⎧⎪=-+-<<-⎨⎪≥-⎩21．目前，我国汽车工业迎来了巨大的革命时代，确保汽车产业可持续发展，国内汽车市场正由传统燃油车向新能源、智能网联汽车升级转型.某汽车企业决定生产一种智能网联新型汽车，生产这种新型汽车的月成本为400（万元），每生产x 台这种汽车，另需投入成本（万元），当月产量()p x 不足40台时，（万元）；当月产量不小于40台时，（万元）．若()4p x x =()1000021900p x x x =+-每台汽车售价为20（万元），且该车型供不应求．(1)求月利润y （万元）关于月产量x （台）的函数关系式；(2)月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润?并求出最大月利润．【答案】(1)，；1640010000500x y x x -⎧⎪=⎨⎛⎫-++ ⎪⎪⎝⎭⎩*x ∈N (2)月产量为100台时，该企业能获得最大月利润，最大月利润为300万元．【分析】（1）利用利润等于总收入减去总成本，分段表示月利润y （万元）关于月产量x （台）的函数关系式；（2）根据分段函数的解析式，利用一次函数的性质和基本不等式逐段求解最大值即可.【详解】（1）当时，040x <<，，20440016400y x x x =--=-*x ∈N 当时，40x ≥100002021900400y x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，，10000500x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭*x ∈N 所以月利润y （万元）关于月产量x （台）的函数关系式为，；1640010000500x y x x -⎧⎪=⎨⎛⎫-++ ⎪⎪⎝⎭⎩*x ∈N （2）当，时，040x <<*x ∈N ，时，该函数取最大值为224，16400y x =-39x =当，时，40x ≥*x ∈N，10000500500300y x x ⎛⎫=-++≤-+= ⎪⎝⎭当且仅当时，等号成立，100x =综上所述，月产量为100台时，该企业能获得最大月利润，最大月利润为300万元．22．中，已知．设角，记．ABC ()1cos 2B C +=-B x =()4sin sin f x B C =⋅(1)求角A 的大小；(2)求；()f x (3)求的值域．()f x 【答案】(1)π3(2)()π2sin(2)16f x x =-+(3)(]0,3【分析】（1）根据，再结合，即可求解；1cos cos()2A B C =-+=(0,π)A ∈（2）由可得，代入，再结合降幂公式和辅助角公式π,3B x A ==ππ3C x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()4sin sin f x B C =⋅即可化简得到；（3）由可得再结合正弦函数的性质即可求解.2π(0,)3B x =∈ππ7π2(,),666x -∈-【详解】（1）中，，， ABC πA B C ++=1cos cos()2A B C ∴=-+=.π(0,π),3A A ∈∴= （2），π,,3B x A == ππ3C x ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭π1()4sin sin 4sin sin 4sin (sin )32f x B C x x x x x ⎛⎫∴=⋅=+= ⎪⎝⎭π2sin sin cos 2cos 212sin(2)16x x x x x x x =⋅+-+=-+（3）2πππ7π(0,2(,3666B x x =∈∴-∈- ，.π1sin(2,162x ⎛⎤∴-∈- ⎥⎝⎦(]()0,3f x ∴∈所以的值域为.()f x (]0,3。

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