专题11 函数与方程及其应用 高考复习资料(解析版)

D.b<a<c
【答案】A 【解析】 令函数 f(x)＝2x＋x＋1＝0，可知 x<0，即 a<0；
令 g(x)＝log2x＋x＋1＝0，则 0<x<1，即 0<b<1； 令 h(x)＝log2x－1＝0，可知 x＝2，即 c＝2.显然 a<b<c. 6. (2018·济南月考)若函数 f(x)＝x2＋2x＋a 没有零点，则实数 a 的取值范围是( )
2021 高考领跑一轮复习资料·数学篇
专题 11 函数与方程及其应用
一、【知识精讲】 1．函数的零点 (1)零点的定义：对于函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点． (2)零点的几个等价关系：方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y＝f(x)有零 点． 函数的零点不是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点，而是 y＝f(x)与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是 一个点，而是一个实数. 2．函数的零点存在性定理 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)<0，那么，函数 y＝f(x) 在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根． 函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续 函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件. 3．二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一 分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 二、常用结论汇总——规律多一点 有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
x3－3x
（x<0），
点，则实数 k 的取值范围是( )
A.(－2，2)
B.(－2，1)
C.(0，2)
D.(1，3)
【答案】C
【解析】 当 x<0 时，f(x)＝x3－3x，则 f′(x)＝3x2－3，
令 f′(x)＝0，∴x＝±1(舍去正根)，
故 f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减.
4.(2019·湖北七校联考)已知 f(x)是奇函数且是 R 上的单调函数，若函数 y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一
个零点，则实数λ的值是( )
1
1
A.
B.
4
8
【答案】C
7 C.－
8
3 D.－
8
【解析】令 y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则 f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为 f(x)是 R 上的单调
C．[－1，＋∞)
D．[1，＋∞)
【答案】C
【解析】 令 h(x)＝－x－a，
则 g(x)＝f(x)－h(x)．
在同一坐标系中画出 y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．
若 g(x)存在 2 个零点，则 y＝f(x)的图象与 y＝h(x)的图象有 2 个交点，平移 y＝h(x)的图象，可知当直线 y＝－x－a 过点(0,1)时，有 2 个交点，此时 1＝－0－a，a＝－1. 当 y＝－x－a 在 y＝－x＋1 上方，即 a<－1 时，仅有 1 个交点，不符合题意． 当 y＝－x－a 在 y＝－x＋1 下方，即 a>－1 时，有 2 个交点，符合题意． 综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)． 考法(二) 已知函数零点所在区间求参数范围 例 3. (2019·安庆摸底)若函数 f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数 a 的取值范围是________．
10.(2019·太原模拟)若函数 f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，
1 ，1
B．在区间 e ，(1，e)内均无零点
1 ，1
C．在区间 e 内有零点，在区间(1，e)内无零点
1 ，1
D．在区间 e 内无零点，在区间(1，e)内有零点
【答案】(1)C (2)D
1 x－2
1 x－2
【解析】 (1) 设 f(x)＝x3－ 2 ，则 x0 是函数 f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数 y＝x3 与 y＝ 2
(1)解方程法
若对应方程 f(x)＝0 可解，通过解方程，即可判断函数是否有零点，其中方程有几个解就对应有几个零点．
(2)定理法
利用函数零点的存在性定理进行判断，但必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)
才能确定函数的零点个数．
(3)数形结合法
合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其是否有交点，若
A.(5，6)
B.(7，8)
C.(8，9)
D.(9，10)
【答案】A
【解析】 由于 f(x)在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，
∴f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8. 令 g(a)＝a＋log2a－8，a>0. 则 g(5)＝log25－3<0，g(6)＝log26－2>0， 又 g(a)在(0，＋∞)上是增函数，
2－1∈
1 － ，2
4
.
4
1 － ，2 ∴实数 a 的取值范围是 4 .
x－4，x≥λ， 例 4.(2018·浙江卷)已知λ∈R，函数 f(x)＝
x2－4x＋3，x<λ.
(1)当λ＝2 时，不等式 f(x)<0 的解集是________.
(2)若函数 f(x)恰有 2 个零点，则λ的取值范围是________.
1 － ，2 【答案】 4 【解析】 ∵函数 f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点， ∴方程 4x－2x－a＝0 在[－1,1]上有解， 即方程 a＝4x－2x 在[－1,1]上有解．
方程
a＝4x－2x 可变形为
a＝
2x－1 2
2－1，
4
1 ，2
∵x∈[－1,1]，∴2x∈ 2 ，
∴
2x－1 2
当 x<λ时，x2－4x＋3＝0，
解得 x＝1 或 x＝3.
因为函数 f(x)恰有 2 个零点，
结合如图函数的图象知，1<λ≤3 或λ>4.
【解法小结】
1．利用函数零点求参数范围的 3 种方法
直接法
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围
分离参 分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为 y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线
x2－2x，x≤0，
2.(2019·岳阳二模)已知函数
f(x)＝
1 1＋ ，x>0，
则函数 y＝f(x)＋3x 的零点个数是(
)
x
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】C
【解析】 函数 y＝f(x)＋3x 的零点个数就是 y＝f(x)与 y＝－3x 两个函数图象的交点个数，如图所示，由
函数的图象可知，零点个数为 2.
()
A．(1,3)
B．(1,2)
C．(0,3)
D．(0,2)
【答案】C
【解析】因为函数 f(x)＝2x－2－a 在区间(1,2)上单调递增，又函数 f(x)＝2x－2－a 的一个零点在区间(1,2)
x
x
内，则有 f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，
即 a(a－3)<0，解得 0<a<3.
A.(－∞，1)
B.(1，＋∞)
C.(－∞，1]
D.[1，＋∞)
【答案】B
【解析】因为函数 f(x)＝x2＋2x＋a 没有零点，所以方程 x2＋2x＋a＝0 无实根，即Δ＝4－4a<0，由此可得
a>1.
ln（x＋1） （x≥0），
7.(2019·北京燕博园联考)已知函数 f(x)＝
若函数 y＝f(x)－k 有三个不同的零
1 0， C. 4
1 0， B. 2
11 ， D. 4 3
【答案】C
【解析】令 g(x)＝0，得 f(x)＝k(x＋1)，
由 f(x)的周期性，作出 y＝f(x)在[－1，3]上的图象如图所示. 1
设直线 y＝k1(x＋1)经过点(3，1)，则 k1＝ . 4 1
∵直线 y＝k(x＋1)经过定点(－1，0)，且由题意知直线 y＝k(x＋1)与 y＝f(x)的图象有 4 个交点，∴0<k≤ . 4
数法 y＝a 与 y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解
数形结 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解
合法
2.利用函数零点求参数范围的步骤
三、【名校新题】
1. (2019·北京西城区模拟)若函数 f(x)＝2x－2－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是 x
【答案】(1)(1，4) (2)(1，3]∪(4，＋∞)
【解析】 (1)若λ＝2，当 x≥2 时，令 x－4<0，得 2≤x<4；当 x<2 时，令 x2－4x＋3<0，解得 1<x<2.综上
可知，1<x<4，所以不等式 f(x)<0 的解集为(1，4).
(2)令 f(x)＝0，当 x≥λ时，x＝4，
的图象如图所示.
1 －1 因为 f(1)＝1－ 2 ＝－1<0，
10 f(2)＝8－ 2 ＝7>0，
所以 f(1)f(2)<0，所以 x0ຫໍສະໝຸດ Baidu(1，2). (2)法一：图象法
1
1
令 f(x)＝0 得 x＝ln x．作出函数 y＝ x 和 y＝ln x 的图象，如图，
3
3
1 ，1 显然 y＝f(x)在 e 内无零点，在(1，e)内有零点．
法二：定理法
1
1
当
x∈
，e e
时，函数图象是连续的，且
f′(x)＝1－1＝x－3<0，所以函数
f(x)在
，e e
上单调递减．
3 x 3x
1
又 f e ＝ 1 ＋1>0，f(1)＝1>0，f(e)＝1e－1<0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．
3e
3
3
【解法小结】 掌握判断函数零点个数的 3 种方法
函数，
所以 2x2＋1＝x－λ，只有一个实根，即 2x2－x＋1＋λ＝0 只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ
7 ＝－ .
8
5.已知函数 f(x)＝2x＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1 的零点依次为 a，b，c，则( )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<c<a
有交点，其中交点的个数，就是函数零点的个数．
考点二 函数零点的应用
考法(一) 已知函数零点个数求参数范围
ex，x≤0，
例 2. (2018·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝
g(x)＝f(x)＋x＋a.若 g(x)存在 2 个零点，则 a
ln x，x>0，
的取值范围是( )
A．[－1,0)
B．[0，＋∞)
∴实数 a 所在的区间为(5，6).
9.(2018·郑州一模)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f(x)，且当 x∈[－1，1]时，f(x)＝x2.令
g(x)＝f(x)－kx－k，若在区间[－1，3]内，函数 g(x)＝0 有 4 个不相等实根，则实数 k 的取值范围是( )
A.(0，＋∞)
又 f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增.
则函数 f(x)图象如图所示.
f(x)极大值＝f(－1)＝2，且 f(0)＝0， 故当 k∈(0，2)时，y＝f(x)－k 有三个不同零点.
8.(2019·永州模拟)已知函数 f(x)＝a＋log2(x2＋a)(a>0)的最小值为 8，则实数 a 的取值范围是( )
二、【典例精练】 考点一 函数零点个数、所在区间
1 x－2 例 1. (1)设函数 y＝x3 与 y＝ 2 的图象的交点为(x0，y0)，若 x0∈(n，n＋1)，n∈N，则 x0 所在的区间是 ________.
1 (2)设函数 f(x)＝ x－ln x，则函数 y＝f(x)( )
3 1
，1 A．在区间 e ，(1，e)内均有零点
ex－a，x≤0，
3. (2019·郑州质量测试)已知函数 f(x)＝
(a∈R)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则实
2x－a，x>0
数 a 的取值范围是( )
A．(0,1]
B．[1，＋∞)
C．(0,1)
D．(－∞，1]
【答案】A 【解析】 画出函数 f(x)的大致图象如图所示．因为函数 f(x)在 R 上有两个零点，所以 f(x)在(－∞，0] 和(0，＋∞)上各有一个零点．当 x≤0 时，f(x)有一个零点，需 0<a≤1；当 x>0 时，f(x)有一个零点，需 －a<0，即 a>0.综上，0<a≤1.