第5章 角动量及其守恒定律01

* 质心参考系中的角动量 (选学内容)
由 得
n 1.质点系角动量 L Li ( ri mvi )
ri rc ri ' vi vc vi '
i 1
i ' 上两式先后代入前式 L [( rc ri ) mi vi ] i rc mi vi ri 'mi (vc vi ' ) i i rc mi vi [ri 'mi vc ] [ri 'mi vi ' ]
由 M 外 dL dt
对定点O：

O
v1 r1

B
S
A
r1
Hale Waihona Puke Baidu
其中 d /dt 称为掠面速度. 由于万有引力是有心力, 它对力心O的力矩总是等于零,
所以角动量守恒, L=常量, 行星作平面运动, 而且
d L 常量 dt 2m
这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律. 10
5.2 质点系的角动量及角动量守恒定律
i i i
0
r rc i ' ri m
c
因为这里
' [ r ' m v ] [ m r '] v i i c i i c mr v
i i
c
c
0
23
rc' 0 （质心相对质心的位矢为0）
所以： L rc mvc
[ri ' mi vi ']
L rc mvc [ri ' mi vi ']
m1Rv1 m2 Rv2 0 m1v1 m2 v2
m1 m2 v1 v2
爬与不爬，两特警同时到达滑轮！
讨论 若 m1 m2 ，此时系统的角动量 还守恒否？会出现什么情况？
N R
0
m1 g
m2 g
17
系统所受的合外力矩为
以向纸 内为正
M外 （m2 m1 ) gR 0
若用 r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s r s 2
9
L lim 2m t t 0
其中 是 t时间内行星 与太阳间的联线所扫过的面 积, 如图中所示.
d 2m dt
v2
D
C
r r2 2
1 r1412 1 2 2 1 2 2 r12 Ek m 2 mr1 1 mr1 1 ( 2 1) 2 r2 2 2 r2
22
v1 1r1 v2 r1v1 / r2 r 1 / r2
2 1
1 1 2 2 Ek mv2 mv1 2 2
v2 r1v1 / r2
质点系角动量
n i 1
L Li (ri pi )
i 1
n
Fi
mi
m1
f ij 第i个质点角动量的时间变化率 dLi mj ri ( Fi f ij ) dt i j ri f ji 质点系角动量的时间变化率 dL fij ) 0 ri Fi (ri Fj rj dt i i i j M 外 M内 系统中任意一对内力矩的矢量和为零
v0 m
3v0 2l
21
例题： 将一质量为m的小球，系于轻绳的一端，绳的另一端穿过光 滑水平桌面上的小孔用手拉住，先使小球以角速度 1在桌面上做半
径为r1的圆周运动，然后缓慢将绳下拉，使半径缩小为r2，在此过程 中小球的动能增量？ 解： 小球所受力矩为零，动量矩守恒
mr1v1 mr2v2
T
再对 t 积分
t
mm 1
(不爬)
2
m+M m 2 m+M mg (m+M)g
(爬 )
Mgtdt mdx (m M )dx
1 0 h h
解得
M 1 2 l (h gt ) mM 2
即是较重的人离滑轮的距离。
20
例题 如图所示， 长为 l 的轻杆，两端各固定一质量分别为 m 和 2m 的小球， 杆可绕水平光滑轴 O 在竖直面内转动，转轴 O 距两端分别为 l/3 和 2l/3 。原 来杆静止在竖直位置。今有一质量为 m 的小球，以水平速度 v0 与杆下端小球 作对心碰撞，碰后以 v0/2 返回，试求碰撞后轻杆获得的角速度ω。
18
dL dt
当较轻的人爬到滑轮处，较重的人离滑轮还有多高 的距离？ 若开始时离滑轮的距离均为 h 。 设 m : 较轻人的质量， m+M : 较重人的质量。 由牛顿第二定律，得
x h h m+M m 2 mg (m+M)g
(爬 )
d x1 T mg ma1 m 2 dt 2 d x2 T ( m M ) g ( m M ) a2 ( m M ) 2 dt
解： 系统所受的合外力矩为零，角动量守恒： 碰前的角动量为：
mv 0 2 l 3
2m l/3 O
v0 / 2
1 2 2 2 1 2 m v l [ m ( l ) 2 m ( l ) ] 碰后的角动量为： 0 2 3 3 3
2l/3
2 1 2 2 2 1 2 所以 mv0 l m v0 l [m( l ) 2m( l ) ] 3 2 3 3 3
质点对某固定点所受的合外力矩等于它对该点角动量的时间变化率 t2 对同一参考点O,质点所受的冲量矩等 Mdt L2 L1 于质点角动量的增量。 t1

力矩是引起质点角动量变化的原因！
7
三、质点角动量守恒定律
dL 质点的角动量定理 M dt
若
M 0
或
则
L 常矢量
dL 0 dt
若对某一固定点，质点所受合外力矩为零，则质点对 该固定点的角动量矢量保持不变。 L 例： 质点做匀速直线运动中，对O点 角动量是否守恒？
说明
1. 质点系的角动量定理也是适用于惯性系。 2. 外力矩和角动量都是相对于惯性系中的 同一固定点说的。
3. 当合外力矩为零时，质点系总角动量不随 时间变化， -------质点系的角动量守恒定律。
4. 内力矩不影响质点系总角动量，但可影 响质点系 内 某些质点的角动量。
13
角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构
合外力矢量和等于零，角动量不一定守恒！
dL 0 M 外 0时 dt
L Li 常量
质点系角动 量守恒定律
F
F
Fi 0 , M
i
0
F
F
F 0 , M 0
i i
2) 矢量式有3个分量式,即 M 外的某个分量=0,
则相应角动量的分量守恒 12



M 外 ri Fi
i
M内 ( ri f ij ) 0
i i j
M外
dL dt
M 外 0 时 L Li 常矢量
质点系的角动量定理
质点系的角动量守恒
i
11
dL M外 dt
L Li i
讨论: 1) 角动量守恒，要求 M 外 0
L r p r mvsin
L lim 2m t t 0 d 2m dt
其中 是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角. 用 s 表示 t 时间内行星所走过的弧长, 则有
s L lim r m sin t t 0
15
对“m1+m2 + 轻绳 + 滑轮”系统：
条件：M 外 0 所以角动量守恒 设两特警分别以 v1 , v2速度上升。
设角动量以指向纸内为正。
外力：m1 g , m2 g , N
N R
0
m1 g
m2 g
L1 r1 m1v1 m1 ( R r// ) v1 m1R v1 （指向纸内）
i
质点系角动量可以表示为 其中
L轨道 rc mvc rc pc
i
L L轨道 L自旋
也叫固有角动量
L自旋 Lc (ri ' mi vi ')
L rc pc Lc
2.质心参考系的角动量定理 dpc dLc dL drc pc rc dt dt dt dt dpc dLc vc (mvc ) rc dt dt dpc dLc rc dt dt
系统总角动量 L (m1v1 m2 v2 ) R
m1
(不爬)
m2
(爬 )
初始时特警未动， L0 0。 由角动量定理
M外
dL 0, L 0 若 m1 m2 : dt 有 m1v1 m2 v2 0, v1 v2 轻的升得快；
dL 若 m1 m2 : 0, L 0 dt 则 m1v1 m2 v2 0, v1 v2 轻的升得快。
r
L r mv mr
3
L r p r mv
r 与mv共线，没有角动量！
4
5
例：自由下落质点的角动量
（1） 对 A 点的角动量
1 2 任意时刻 t， 有 r gt 2
o
r
R
A r
p mv mgt
（2） 对 O 点的角动量
1 3 LA r p mt g g 0 2
dr dp dL d (r p) p r dt dt dt dt v mv r F
M
O
r
r
r F
M r F
大小
A


F
定义：对o点力矩
M Fr sin Fr
r 力臂
方向：右手螺旋 质点的角动量定理
dL 或 M dt
Mdt dL Mdt冲量矩
在天体运动中,常遇到行星绕某一恒星（固定点） 转动时, 行星始终在同一个平面内运动的现象。 例如：太阳系中的每个行星都有自己的转动平面 例如：银河系中的 每个恒星都有自己 的转动平面。 在这些问题中，存在 着质点的角动量守恒 的规律。
银河系
物理学非常注意守恒量的研究。
1
第5章 角动量 角动量守恒定律
O
r
r
A

p mv
Lo r mv 大小 r mv sin r mv
8
例 试利用角动量守恒定律:
v
r
O
证明关于行星运动的开普勒定律:
任一行星和太阳之间的联线,在相等的时间 内扫过的面积相等, 即掠面速度不变.
B
S
A
r

[证明] (1) 行星对太阳O的角动量的大小为
m
mv r r R LO r p ( R r ) p R p R mgt LO Rmgt R g
6
注意：使用角动量时，必须指明是相对于哪个参考点的！ 否则，没有意义！！！
二、质点的角动量定理
角动量的时间变化率
整理得
2 2
2
T
T
mm 1
(不爬)
d x1 d x2 Mg 2 m 2 (m M ) dt dt
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对 t 积分
d 2 x1 d 2 x2 Mg 2 m 2 (m M ) dt dt
dx1 dx2 Mgt m (m M ) dt dt
0 l
x h m h T l
R 0
0R
L1 m1Rv1
L2 m2 Rv2
v1
m1
r1 r
∥
r ∥
r2
v2
m2
L2 r2 m2 v2 m2 (R r// ) v2 m2 R v2
（指向纸外） 16
系统的角动量守恒： L1 L2 0 （启动后） （启动前）
2
5.1 角动量
一、质点的角动量
定义:
质点的角动量守恒定律
L r p r mv
p
L
m
r
O
----- 质点对参考点O的 角动量 或 动量矩 大小：L rp sin mr v sin
方向：垂直
举例：
r, p
组成的平面
右手螺旋
质点以角速度 作半径 为 的圆运动，相对圆心的 角动量 2
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例题. 两个同样重的特警，各抓着跨过滑轮的轻绳的 一端如图，他们起初都不动，然后右边的特警用力向 上爬绳，另一个特警仍抓住绳子不动。忽略滑轮的质 量和轴的摩擦。问：哪一个特警先到达滑轮？
解：
设滑轮半径为R，两特警 的质量分别为m1、m2， m1= m2
m1
(不爬)
m2
(爬 )
把特警看成质点， 以滑轮中心为“固定点”，