第二章 一元函数微分学

第二章一元函数微分学

第1节导数与微分

1导数

a)导数定义：增量比，取极限。

b)左导数和右导数存在且相等导数存在

c)函数在某点的导数值即函数在该点的切线的斜率。

d)导数的物理意义：对路程函数中的t求导为瞬时速度.etc

e)导数的经济意义：边际成本、边际收益、边际利润。

f)函数的相对变化率（弹性）：

g)可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。

h)偶函数的导数是奇函数。

2微分

微分定义：自变量沿着切线方向的增量。

3求导法则

a)导数微分表（4组16个）。

b)导数的四则运算。

c)反函数的导数：原函数导数的倒数。

d)复合函数求导法则。

e)参数方程求导：

f)隐函数求导：左右两侧同时求导，y当作x的函数处理。

g)对数求导法

i.幂指函数：先将等式两边同时化为ln的真数，再运用隐函数求导法则。

ii.连乘函数：先将等式两边同事化为ln的真数，变成连加，再运用隐函数求导法则。

4高阶导数

a)莱布尼茨公式：

b)反函数的二阶导数：

c)参数方程的二阶导数：

第2节微分中值定理

1罗尔中值定理

条件：（1）f(x)在[a,b]连续。（2）f(x)在(a,b)可导。（3）f(a)=f(b)。

结论：在a和b之间必有一个值使得f’()=0。

几何意义：在该条件下的函数，必可在在其区间内找到一点使得切线斜率为0。

引申---费马引理

y=f(x)，若x0为y=f(x)的极值点，则f’(x0)=0。

2拉格朗日中值定理

条件：（1）f(x)在[a,b]连续。（2）f(x)在(a,b)可导。

结论：在a和b之间必有一个值使得f’()=。

几何意义：在该条件下的函数，必可在其区间内找到一点使得切线斜率与端点连线斜率相等。

拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广。

证明：使用曲线减去两端点连线得出一个函数，再对该函数应用罗尔中值定理。

使用该定理的信号：要求证的式子中有一个端点处函数值之差。

3柯西中值定理

条件：（1）f(x)、g(x)在[a,b]连续。（2）f(x)、g(x)在(a,b)可导。且g’(x)≠0

结论：在a和b之间必有一个值使得。

柯西中值定理是拉格朗日中值定理推广。

证明：使用参数方程，将f(x)和g(x)作为参数表示。证明过程与拉格朗日中值定理相同。

使用该定理的信号：要求证的式子中有两个端点处函数值之差。

4泰勒中值定理

泰勒中值定理即带有拉格朗日余项的泰勒公式。

拉格朗日中值定理是带有拉格朗日余项的泰勒中值定理的特例。

使用该定理的信号：高阶导数。

使用方法：（1）确认n的取值，一般根据高阶导数的阶数选取。（2）确认x0的取值，一般选取题中已知导数值的点。（3）确认x的取值，一般为题中所给已知值的点或端点和极值点。

第3节微分学的应用

1单调性、极值

单调性：

f’(x)>0的区间，f(x)单调增的区间；f’(x)<0的区间，f(x)单调减的区间。

极值：

极值点和导数为零的点没有充要条件关系。

可导函数的极值点，对应的导数值为0。（费马引理）

驻点（导数为0的点）不一定是极值点。

第一判定法：若在的邻域内，左右导数异号，则是一个极值点。

第二判定法：为驻点，且在处，f(x)的二阶导数存在。通过二阶导数的符号进

行判定。

2最值（闭区间）

最值可能出现在（1）极值点（2）区间端点。

3凹凸、拐点

凹凸：

视觉定位：俯视

凹函数：≤凸函数：≥

凹函数：f’’(x)>0 凸函数：f’’(x)<0

拐点：可能出现在f’’(x)=0或f’’(x)不存在的点，但不一定是。

4渐近线

水平渐近线：当f(x)趋向于时，极限存在，则该极限为水平渐近线。

铅直渐近线：当f(x)趋向于时，极限趋向于，则为该函数的铅直渐近线。

斜渐近线：当f(x)趋向于时，f(x)-(kx+b)=0，则(kx+b)为该函数的斜渐近线。其中，k=，b=。

5函数图像的描绘

利用极值点、拐点、与坐标轴交点、单调性、凹凸性、渐近线进行描绘。

6曲率

弧微分：ds=

曲率即：角度在单位弧长的变化。

曲率：K===

曲率半径：=

曲率圆：从弧上某点出发，向凹侧沿法线方向移动的长度，即得到曲率圆的圆心。更多资料信息联系QQ：3324785561