2011西城区高三一模文科数学试卷及答案-北京市西城区2011年高三一模数学文参考答案

北京市西城区2011年高三一模试卷

参考答案及评分标准

数学（文科） 2011.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 1 10. 45-

11.2

2 12. 8π 13.31 14. 5，910 注：11题，14题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为54cos =

B ，所以53

sin =B . ……………………2分 由正弦定理B b A a sin sin =，可得10

sin 303a =. ……………………4分 所以3

5

=a . ……………………6分

（Ⅱ）因为ABC ∆的面积1sin 2S ac B =，5

3

sin =B ，

所以3

310

ac =，10=ac . ……………………8分

由余弦定理B ac c a b cos 22

22-+=， ……………………9分 得165

8

4222

2

-+=-

+=c a ac c a ，即2022=+c a . ……………………10分 所以2()220a c ac +-=，2

()40a c +=， ……………………12分 所以，102=+c a . …………13分 16.（本小题满分13分）

(Ⅰ)证明：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，90ADE ∠=，

所以DE ⊥平面ABCD ，………2分 所以AC DE ⊥.………3分 因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，

所以AC ⊥平面BDE . …………………4分 (Ⅱ)证明：设AC

BD O =，取BE 中点G ，连结OG FG ,，

所以，OG //=12

DE . ……5分因为DE AF //，AF DE 2=，所以AF //=

OG ，……6分 从而四边形AFGO 是平行四边形，AO FG //. ……………………7分

因为FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF , ……………………8分

A

C

G

F

E

D

O

所以//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF . ……………………9分 （Ⅲ）解：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB AD ⊥,所以AB ⊥平面ADEF . ………11分

因为DE AF //,90ADE ∠=,22===AF DA DE ，

所以DEF ∆的面积为1

22

ED AD ⨯⨯=， ……………………12分 所以四面体BDEF 的体积=⨯=∆AB S DEF 314

3

. ……………………13分

17.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由已知可得211123a a q a q +=， ……………………2分

因为{}n a 是等比数列，所以23210q q --=. ……………………3分 解得1q =或1

3

q =-

. ……………………5分 （Ⅱ）①当1q =时，1n b n =+，232

n n n

T +=， ……………………7分

所以，当2n ≥时，22

02

n n n n T b +--=

>. 即当1q =时，(2)n n T b n >≥. ……………………8分 ②当13q =-时，72(1)()33

n n

b n 1-=+--=

， ……………………9分 2

132(1)()236n n n n T n n 1-=+--=， ……………………10分

(1)(14)

6

n n n n T b ---=-

， ……………………12分

所以，当14n >时，n n T b <；当14n =时，n n T b =；当214n ≤<时，n n T b >.…13分

综上，当1q =时，(2)n n T b n >≥.当1

3

q =-时，若14n >，n n T b <；若14n =，n n T b =；若214n ≤<，

n n T b >.

18.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）()ln 1f x x '=+，0x >， ……………………2分

由()0f x '=得1

e x =

， ……………………3分 所以，()f x 在区间1(0,)e 上单调递减，在区间1

(,)e

+∞上单调递增. ………………4分

所以，1

e

x =是函数()f x 的极小值点，极大值点不存在. …………………5分

（Ⅱ）设切点坐标为00(,)x y ，则000ln y x x =， …………………6分

切线的斜率为0ln 1x +，

所以，000

1

ln 1y x x ++=

， …………………7分 解得01x =，00y =， …………………8分 所以直线l 的方程为10x y --=. …………………9分 （Ⅲ）()g x =ln (1)x x a x --，

则()ln 1g x x a '=+-， …………………10分 解()0g x '=，得1

e

a x -=，

所以，在区间1(0,e )a -上，()g x 为递减函数，

在区间1(e ,)a -+∞上，()g x 为递增函数. …………………11分 当1

e

1a -≤，即1a ≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，

所以()g x 最小值为(1)0g =. …………………12分

当1

1

当1

e

e a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，

所以()g x 最小值为(e)e e g a a =+-. ………………14分

综上，当1a ≤时，()g x 最小值为0；当12a <<时，()g x 的最小值1

e a a --；当2a ≥时，()g x 的最小

值为e e a a +-.

19.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由已知，4x =不合题意.设直线l 的方程为(4)y k x =-，

由已知，抛物线C 的焦点坐标为(1,0)， …………………1分 因为点F 到直线l

= …………………3分

解得2k =±

，所以直线l

的斜率为2

± . …………………5分 （Ⅱ）设线段AB 中点的坐标为00(,)N x y ，),(),,(2211y x B y x A ，

因为AB 不垂直于x 轴， 则直线MN 的斜率为

004y x -，直线AB 的斜率为0

4x y -， …………………7分 直线AB 的方程为0

000

4()x y y x x y --=

-， …………………8分 联立方程000024(),4,x y y x x y y x -⎧

-=-⎪⎨⎪=⎩