【中小学资料】九年级数学上册 专题突破讲练 解决圆锥问题的四字秘诀试题 (新版)青岛版

解决圆锥问题的四字秘诀

关于圆锥的侧面展开图计算问题在中考中时常出现，这类问题的解答，可以用四个字来概括：一、二、三、四。其中：

“一个转化”，是指将圆锥侧面问题转化为平面图形——扇形问题； “二个对应”，是指圆锥的底面周长对应着扇形的弧长，圆锥的母线长对应着扇形的半径；

“三个图形”，是指圆锥侧面问题常常需要用到圆形、扇形、直角三角形来解决； “四个公式”，是指圆锥侧面问题需要用 ①l 2=r 2+h 2

，其中，如图，圆锥的底面半径r ，圆锥母线ι，圆锥的高h ，构成直角三角形；

②2=

360n

S l π侧 ③S 侧=2

1

·2πr·ι=πr ι

④2

=S rl r ππ+全。

圆锥侧面问题公式的灵活应用

圆锥侧面问题四个公式共有5个量：l 、h 、r 、n 、S 侧，由于每个公式中只有三个量，从而只要知道其中的两个量，就可以将另外三个量利用方程或方程组求出来。 一、计算圆心角的度数

例题1 （浙江中考）若圆锥的轴截面为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥侧面展开图的圆心角是（ ）

A. 90°

B. 120°

C. 150°

D. 180°

解析：因为此圆锥为正圆锥，所以圆锥底面圆的直径等于展开图扇形的半径，然后利用弧长公式求解。

解：设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为n ，半径为r ，则圆锥的底面直径也为r ，根据圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得

180

n r

r ππ=，解得n=180°。 答案：D

点拨：在解决圆锥与展开图有关问题时，可以利用“圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆

锥底面圆的周长”这一规律解决问题。

二、计算圆锥的底面积

例题2 如图，圆锥形冰淇淋盒的母线长是13cm ，高是12cm ，则该圆锥形底面圆的面积是（ ）

A. 10πcm 2

B. 25πcm 2

C. 60πcm 2

D. 65πcm

2

解析：作出圆锥的轴切面图，再根据等腰三角形“三线合一”的性质转化为直角三角形，利用勾股定理求出圆锥底面圆的半径，进而求出其面积。

解：作出圆锥的轴切面图及高，如图，则AB ＝13cm ，AD ＝12 cm ，AD ⊥BC ，BC ＝2BD ，

所以BD ＝5 cm ，因而底面圆的面积为πr 2＝25π（cm 2

），故选B 。

答案：B

点拨：圆锥的轴切面图为等腰三角形，等腰三角形底边上的高为圆锥的高，腰为圆锥的母线长，底边为圆锥底面圆的直径，圆锥轴切面的相关计算通常转化为直角三角形，再利用勾股定理进行计算。

三、计算圆锥的侧面积

例题3 在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为2，则这个圆锥的侧面积（ ）

A. 4π

B. 3π2π D. 2π

解析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再代入圆锥侧面积的公式计算即可。 解：∵圆锥的底面半径为r=1，高为2，∴圆锥的母线长()

2

2

122

3+=，∴

圆锥的侧面积=rl π=π×1×3=3π，故选B 。

答案：B

点拨：这类题要熟记圆锥的侧面积公式S=πrl 及圆锥的高h 、母线l 、底面半径为r 的关系：2

2

2

l r h =+。解决这类问题的方法有：①列式计算，②运用方程思想列方程来计算。

计算线路最短问题

满分训练 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，一只小虫从点A 出发，绕侧面爬行一周，再回到点A 的最短的路线长是多少？

解析：我们知道“两点之间，线段最短”，沿母线SA 作侧面展开图如图，本题实际是求将圆锥的侧面沿着母线OA 展开，求点A 到A ′的距离AA ′。

解：将圆锥沿母线SA 作侧面展开图，得扇形O AA ′，

设扇形的圆心角为θ，因为圆锥的底面半径为r=1，母线长为3，根据2πr=180

l

θπ，得

2π×1=

180

3

⨯θπ，所以θ=120°。即扇形的圆心角∠AOA ′为120°，作OD ⊥AA ′，垂足为

D ，在Rt △AOD 中，∠OAD=30°，OA=3。 所以OD=3

2

，据勾股定理，得可求得AD=233，

所以AA ′=2AD=33。

答案：33

点拨：小虫从点A 出发，绕圆锥侧面爬行，从圆锥上看是曲线，而在侧面展开图上看是

直线，“化曲为直”是解决此类问题的关键。

（答题时间：30分钟）

1. 用半径为3cm ，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）

A. 2πcm

B. 1.5cm

C. πcm

D. 1cm

2. 已知圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，则这个圆锥的母线长为（ ）。 A. 12cm B. 10cm C. 8cm D. 6cm

3. 圆锥底面圆的半径为3cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（）

A. 3cm

B. 6cm

C. 9cm

D. 12cm

4. 若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线l与底面半径r的关系是（）

A. l＝2r

B. l＝3r

C. l＝r

D. l＝3 2

*5. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是°。

6. 圆锥的侧面积为6 cm2，底面圆的半径为2cm，则这个圆锥的母线长为 cm

*7. 已知一个扇形的半径为60厘米，圆心角为150°。用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿厘米。

*8. 若圆锥的母线长为5cm，底面圆的半径为3cm，则它的侧面展开图的面积为 cm2（结果保留π）。

*9. 用半径为10cm，圆心角为216°的扇形作一个圆锥的侧面，求这个圆锥的高。

**10. 如图所示的一扇形纸片，圆心角∠AOB为120°，弦AB的长为，用它围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），求该圆锥底面的半径。

*11. 已知圆锥的底面周长是10π，其侧面展开后所得扇形的圆心角为90°，求该圆锥的母线长。

**12. 如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线AB与高AO的夹角。