泰斯公式
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④e , s
说明：当Q和t一定时，含水层释水的体积V=Qt一定。若μe越大，表明单位 水平面积的含水层柱体在单位水头下释水能力越强，则s越小。反之，μe越 小，则s越大。
泰斯公式讨论
1、各因素对降深的影响（二）
⑤s与T的关系 表现为：
A: Q T s 4T
理解为内边界条件对s的作用。Q是定流量的内边界条件，而当井径rw 一定时，Q/T可理解为水力坡度的内边界条件。Q/T越大，J越大，s越 大，所以，T越大，J越小，s越小。
①r , s r ,Wu 0, s 0
sr,t Q W u
4T
②t , s t 0,u W u 0,符合s 一 0般经验u，满r足2 初始和边界条件
③降深s与抽水量Q成正比
4at
说明：在抽取地下水后无补给增量与排泄减量的条件下，开采量全部 来自储存量的释放，体现在水头降深上，当弹性给水度μe为常量，且 瞬时释水，Q与s成正比。
B
:W
4
r2 T
e
t
T s
理解为任一由r至r＋△r围成的均衡段内其下游断面流量Qr大于上游断面流 量Qr+△r必由均衡段内含水层释水量来均衡，从而导致水头降在漏斗一定且 μe一定时，若T大，则s亦大；若T小，则s亦小。
泰斯公式讨论
1、各因素对降深的影响（三）
⑥s 与 T 的关系 e
a
承压井流
潜水井流
雅 可
sr,t Q ln 2.25at
4T r 2
sr,t h0
h02
Q
2K
ln
2.25at r2
比 公 式
Q＝ 4Ts
ln
2.25at r2
Q 2K 2h0 ss
ln
2.25at r2
t
0.445
r2
4Ts
eQ
a
t
0.445
r2
2K 2h0 s s
eQ
a
泰斯公式讨论
1、各因素对降深的影响（一）
泰斯公式井函数讨论
2、泰斯井函数级数形式
W u ln u 0.5772 u 1 u2 1 u3
2 2! 33!
ln u 0.5772 1n1 un
n1 n n!
可见：随着u增大，W（u）减小，是一个类似对数函 数关系。
泰斯公式井函数讨论
3、泰斯公式的其他形式
当u足够小时，泰斯井函数可用前两项近似表示，即：
（二）数学模型
分析定流量抽水条件下形成轴对称井流流场，其定解问题可 写为：
2H r 2
1 r
H r
H t
H H
r,0 ,t
H0 H0
lim
2rT
H
Q(常量)
r 0
r
0 r ,t 0
0 r t 0 t 0
泰斯方程
sr,t Q W u
4T
以上模型可用积分变换法、分离变量法或博尔兹门 （Boltzmann）变换法求解。
ln
2.25at r2
t
0.445
r24TseQ源自asr,t h0
h02
Q
2K
ln
2.25at r2
Q 2K 2h0 ss
ln
2.25at r2
t
0.445
r2
2K 2h0 s s
eQ
a
泰斯公式的近似式－雅可比公式
泰斯公式的近似形式 当u 0.05，即t 5 r2 时，误差在2％以内。
a 当u 0.01，即t 25 r 2 时，误差在0.25％以内。
W
r2 4at
ln
r2 4at
0.5772
ln
4at r2
ln
1.781
ln
2.25at r2
当u 0.05，即t 5 r2 时，误差在2％以内。当u 0.01，即t 25 r2 时，误差在0.25％以内。
a
a
承压井流
潜水井流
雅
sr, t
Q
4T
ln
2.25at r2
可布公式雅可布公 式
Q＝ 4Ts
则潜水井流与承压井流可以对应起来。
（二）数学模型
这里引入势的概念，将潜水中的势定义为：
（三）模型求解
模型求解：
（三）模型求解
这里，我们将潜水井流的平均厚度按下式近似计算 即含水层厚度不变而降深作相应修改。
（三）潜水井流泰斯公式
无限含水层中单个定流量井流总结
潜水、承压完整井流均称为泰斯公式原形。
§5.1 泰斯(Theis)井流公式
一、几个概念
1、水平集水建筑物 垂直集水建筑物 2、完整井与非完整井 3、稳定流与非稳定流 4、有限含水层与无限含水层（相对概念） 事实上，含水层均有边界，即有限。但一般来说，当含水层 在水平方向延伸很大，以致外边界对于含水层研究区段的水头分 布没有明显的影响，则可称为无限含水层。当压力传导系数a很 小时，且进行短时间抽水时，可视为无限含水层。
sr,t
H0
H r,t
Q
4T
u
ex dx x
Q
4T
W u
其中：W u为泰斯井函数。
u
r2
,W u
ex dx
4 at
ux
降深方程：sr,t Q W u
4T
流量方程：Q＝W4Tus
r2
t
4 aW
1
4Ts
Q
三、潜水井流泰斯公式 （一）假定条件
① 含水层均质、各向同性，等厚且含水层底板水平，水和 含水层均假定为弹性体； ②满足泰斯井流假设条件2－8； ③降深值远远小于潜水含水层厚度，流动满足裘布依假定。
在某些条件下，表征地下水趋向稳定流动或拟稳定流动（水头H随时间 变化，但水力坡度J不随时间变化的一种不稳定流动）的速度。
泰斯公式讨论
1、各因素对降深的影响（四）
⑦ t趋向无穷大时，s也趋向于无穷大。
sr,t Q W u
4T
这似乎不太合理。但要注意公式的应用条件，承压井流保 持承压状态，即s不得大于（H0－M），否则将转化为承压－ 无压井流，破坏了基本条件。对于无压井流，s不得大于h0。 因为在s=h0以后，流量将变小，破坏了定流量的基本条件，那 时，就转变为定降深变流量的条件了。
a T
e
s随a s
a：导压系数 压力传导系数
不应理解为含水层某种压力改变后，压力向四周传播的速度。实际上压
力传播的速度是以含水层的音速推进，在前面假定中假定了释水瞬时完成。 这也就意味着不管抽水持续时间多短，任何r处都瞬时发生水头下降。
对含水层而言，a可理解为含水层由于某种因素（外界刺激）破坏原有 平衡形成不稳定流动时，地下水水头再分布以适应新条件的速度。
5、定流量抽水 变流量抽水 定降深抽水
二、无限含水层中单个定流量井流（泰斯模型） （一）泰斯模型水文地质条件（八个假设）
承压含水层均质、各向同性，等厚且水平分布，水和含水层均 假定为弹性体；
① 无垂向补给、排泄，即W＝0； ②渗流满足达西定律； ③完整井，假定流量沿井壁均匀进水； ④水头下降引起地下水从储量中的释放是瞬时完成的； ⑤抽水前水头面是水平的； ⑥井径无限小且定流量抽水； ⑦含水层侧向无限延伸。
说明：当Q和t一定时，含水层释水的体积V=Qt一定。若μe越大，表明单位 水平面积的含水层柱体在单位水头下释水能力越强，则s越小。反之，μe越 小，则s越大。
泰斯公式讨论
1、各因素对降深的影响（二）
⑤s与T的关系 表现为：
A: Q T s 4T
理解为内边界条件对s的作用。Q是定流量的内边界条件，而当井径rw 一定时，Q/T可理解为水力坡度的内边界条件。Q/T越大，J越大，s越 大，所以，T越大，J越小，s越小。
①r , s r ,Wu 0, s 0
sr,t Q W u
4T
②t , s t 0,u W u 0,符合s 一 0般经验u，满r足2 初始和边界条件
③降深s与抽水量Q成正比
4at
说明：在抽取地下水后无补给增量与排泄减量的条件下，开采量全部 来自储存量的释放，体现在水头降深上，当弹性给水度μe为常量，且 瞬时释水，Q与s成正比。
B
:W
4
r2 T
e
t
T s
理解为任一由r至r＋△r围成的均衡段内其下游断面流量Qr大于上游断面流 量Qr+△r必由均衡段内含水层释水量来均衡，从而导致水头降在漏斗一定且 μe一定时，若T大，则s亦大；若T小，则s亦小。
泰斯公式讨论
1、各因素对降深的影响（三）
⑥s 与 T 的关系 e
a
承压井流
潜水井流
雅 可
sr,t Q ln 2.25at
4T r 2
sr,t h0
h02
Q
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比 公 式
Q＝ 4Ts
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泰斯公式讨论
1、各因素对降深的影响（一）
泰斯公式井函数讨论
2、泰斯井函数级数形式
W u ln u 0.5772 u 1 u2 1 u3
2 2! 33!
ln u 0.5772 1n1 un
n1 n n!
可见：随着u增大，W（u）减小，是一个类似对数函 数关系。
泰斯公式井函数讨论
3、泰斯公式的其他形式
当u足够小时，泰斯井函数可用前两项近似表示，即：
（二）数学模型
分析定流量抽水条件下形成轴对称井流流场，其定解问题可 写为：
2H r 2
1 r
H r
H t
H H
r,0 ,t
H0 H0
lim
2rT
H
Q(常量)
r 0
r
0 r ,t 0
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泰斯方程
sr,t Q W u
4T
以上模型可用积分变换法、分离变量法或博尔兹门 （Boltzmann）变换法求解。
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0.445
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0.445
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泰斯公式的近似式－雅可比公式
泰斯公式的近似形式 当u 0.05，即t 5 r2 时，误差在2％以内。
a 当u 0.01，即t 25 r 2 时，误差在0.25％以内。
W
r2 4at
ln
r2 4at
0.5772
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4at r2
ln
1.781
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2.25at r2
当u 0.05，即t 5 r2 时，误差在2％以内。当u 0.01，即t 25 r2 时，误差在0.25％以内。
a
a
承压井流
潜水井流
雅
sr, t
Q
4T
ln
2.25at r2
可布公式雅可布公 式
Q＝ 4Ts
则潜水井流与承压井流可以对应起来。
（二）数学模型
这里引入势的概念，将潜水中的势定义为：
（三）模型求解
模型求解：
（三）模型求解
这里，我们将潜水井流的平均厚度按下式近似计算 即含水层厚度不变而降深作相应修改。
（三）潜水井流泰斯公式
无限含水层中单个定流量井流总结
潜水、承压完整井流均称为泰斯公式原形。
§5.1 泰斯(Theis)井流公式
一、几个概念
1、水平集水建筑物 垂直集水建筑物 2、完整井与非完整井 3、稳定流与非稳定流 4、有限含水层与无限含水层（相对概念） 事实上，含水层均有边界，即有限。但一般来说，当含水层 在水平方向延伸很大，以致外边界对于含水层研究区段的水头分 布没有明显的影响，则可称为无限含水层。当压力传导系数a很 小时，且进行短时间抽水时，可视为无限含水层。
sr,t
H0
H r,t
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4T
u
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W u
其中：W u为泰斯井函数。
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降深方程：sr,t Q W u
4T
流量方程：Q＝W4Tus
r2
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1
4Ts
Q
三、潜水井流泰斯公式 （一）假定条件
① 含水层均质、各向同性，等厚且含水层底板水平，水和 含水层均假定为弹性体； ②满足泰斯井流假设条件2－8； ③降深值远远小于潜水含水层厚度，流动满足裘布依假定。
在某些条件下，表征地下水趋向稳定流动或拟稳定流动（水头H随时间 变化，但水力坡度J不随时间变化的一种不稳定流动）的速度。
泰斯公式讨论
1、各因素对降深的影响（四）
⑦ t趋向无穷大时，s也趋向于无穷大。
sr,t Q W u
4T
这似乎不太合理。但要注意公式的应用条件，承压井流保 持承压状态，即s不得大于（H0－M），否则将转化为承压－ 无压井流，破坏了基本条件。对于无压井流，s不得大于h0。 因为在s=h0以后，流量将变小，破坏了定流量的基本条件，那 时，就转变为定降深变流量的条件了。
a T
e
s随a s
a：导压系数 压力传导系数
不应理解为含水层某种压力改变后，压力向四周传播的速度。实际上压
力传播的速度是以含水层的音速推进，在前面假定中假定了释水瞬时完成。 这也就意味着不管抽水持续时间多短，任何r处都瞬时发生水头下降。
对含水层而言，a可理解为含水层由于某种因素（外界刺激）破坏原有 平衡形成不稳定流动时，地下水水头再分布以适应新条件的速度。
5、定流量抽水 变流量抽水 定降深抽水
二、无限含水层中单个定流量井流（泰斯模型） （一）泰斯模型水文地质条件（八个假设）
承压含水层均质、各向同性，等厚且水平分布，水和含水层均 假定为弹性体；
① 无垂向补给、排泄，即W＝0； ②渗流满足达西定律； ③完整井，假定流量沿井壁均匀进水； ④水头下降引起地下水从储量中的释放是瞬时完成的； ⑤抽水前水头面是水平的； ⑥井径无限小且定流量抽水； ⑦含水层侧向无限延伸。