【配套K12】高三数学上学期期末阶段性检测试题 理
【K12教育学习资料】高三数学上学期期末教学质量检测试题 理(扫描版)
潮州市2015-2016学年度第一学期期末高三级教学质量检测卷理科数学卷高三理科数学:高三理科数学第7题双曲线方程为：2221(0)yx bb-=>潮州市2015-2016学年度第一学期期末高三级教学质量检测卷数学（理科）参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．简析：1．由210x -≥解得1x ≥或1x ≤-，于是(,1][1,)B =-∞-+∞，故)1,1(-=B C R ，所以)1,0()(=⋂B C A R ．故选B ． 2．由于13(3)33i i iz i i i+-===--，于是()1z z i i ⋅=⋅-=．故选C ． 3．经过循环后，a 的分别为4、16、256，由于33log 2564log 44=>，于是256a =． 故选C ．4．如图：过点D 分别作//DE AC ，//DF AB ，交点分别 为E ，F ，由已知得13AE AB =，23AF AC =， 故12123333AD AE AF AB AC a b =+=+=+．故选D ．5．抛物线28y x =的焦点为(2,0)，由题意得22c e a a===，解得1a =，又222413b c a =-=-=．故双曲线的标准方程为2213y x -=．故选A ． 6．由题意及正弦曲线的对称性可知12222x x k πωϕπ+⋅+=+，于是12()12x x f +=． 故选D ．7．圆22(2)1x y +-=的圆心为(0,2)，半径1r =，于是圆心到双曲线的两条渐近线距离相等，故只需考虑其中一条渐近线与圆位置关系就可以，双曲线的渐近线方程为y bx =±，考虑y b x =，即0b x y -=．由题意得1≥，解得23b ≤，于是22213c a c -=-≤，解02c <≤，又双曲线的离心率ce c a==，且1e >，故12e <≤． 故选A ．8．2sin(2)cos[(2)]cos(2)2cos ()162636πππππθθθθ-=--=+=+-212(13=-=-．故选C ．9．222'()2432()32f x x ax x a a =-++=--++，因为()f x '的最大值为5，所以2325a +=，又0a >，故1a =，13(1)3f =，'(1)5f =，所以所求切线方程为135(1)3y x -=-，即15320x y --=．故选B ．10．由三视图知该几何体是由一个半圆锥与一个四棱锥的组合体，于是2111122233V π=⨯⨯⨯⨯⨯=A ． ，所以所求的概率为．故选简析：13．画出满足条件可行域，将直线3y x =-向上平移，可知当直线经过点(1,0)时，z 取得最大值为3．14．由题意得2411224443(2)(2)280C a C C a a a ++=，即44a =，又0a >，于是a =15．由直角三角形斜边上的中线的性质及题意可得SC 中点F (如图)就是球心，即SC 就是球O 的直径，由已知可得2SC =．于是球O 的表面积2414S ππ=⨯=．16．由正弦定理，sin cos 0b A B =可化为sin 0B B =，即tan B =又(0,)B π∈，于是3B π=，又2b a c =，所以2222cos b a c ac B =+-可化为224()b a c =+，于是2a cb+=． 三、解答题：（共5小题，每题12分，共60分） 17．（本小题共12分）解：(Ⅰ) 设等差数列{}n a 的公差为d ．∵215313a a a +=，∴233123a a =，又0n a >，于是36a =．……………………………………………2分∵17747()7562a a S a +===，∴48a =，…………………………4分 ∴432d a a =-=，故132642a a d =-=-=．∴1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=．…………………….…………6分（Ⅱ）∵11n n n b b a ++-=且2n a n =，∴12(1)n n b b n +-=+．当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L22(1)222(1)n n n n =+-++⨯+=+L ．…………..8分当1n =时，12b =满足上式．故(1)n b n n =+．……………………………………….………………9分∴1111(1)1n b n n n n ==-++ …………………………………………10分 ∴12111111111111(1)()()()22311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L1111n n n =-=++．……………………………………….………12分18．（本小题共12分）解：(Ⅰ)∵在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率的概率是35． ∴喜欢户外活动的男女员工共30，其中女员工10，男员工20人，不喜欢户外活动的男女员工共20，其中男员工5，女员工15人．………..2分分（Ⅱ）∵2250(2015105)8.3337.87930202525K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关；. …………………….…5分 （Ⅲ）ξ所有可能取值为0，1，2，3．………………….…………………………6分363101(0)6C P C ξ===； 12463101(1)2C C P C ξ===； 21463103(2)10C C P C ξ===； 343101(3)30C P C ξ===．……….…………10分 ∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望11316()0123 1.26210305E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==．…..…12分ACDE F 19题图19．（本小题共12分） 方法一：（Ⅰ）证明：∵AE ⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ． ∴AE ⊥BF ，∵BF ⊥AC ，AE AC A =， ∴BF ⊥平面AE C ，DF ⊂平面AEC ，∴BF ⊥DF ，……………………………………………..…2分 ∵390ABC BAC ∠=∠=，又44AC CD ==， ∴30BAC ∠=．1CD =．∴1sin 30422BC AC ==⨯=，又BF ⊥AC ．∴1cos 60212CF BC CD ==⨯==，又CD ∥AE ，AE ⊥平面ABC ，∴CD ⊥平面ABC ．又AC ⊂平面ABC ．∴CD ⊥AC ，∴45DFC ∠=． 又3AF AC CF AE =-==，∴45EFA ∠=，∴90EFD ∠=，即DF ⊥EF ．……………………………..…4分 又BF EF F =，BF 、EF ⊂平面BEF ． ∴DF ⊥平面BEF ，BE ⊂平面BEF ．∴DF ⊥BE ；………………………………………………………6分（Ⅱ）如图，过点F 作FG DE ⊥于点G ，连接BG ．由（Ⅰ）知BF ⊥平面AEC ，又DE ⊂平面AEC ， (所以BF DE ⊥．又BF FG F =，BF 、FG ⊂平面BFG ， 所以DE ⊥平面BFG ．又BG ⊂平面BFG ，) 所以BG FG ⊥．(三垂线定理)故BGF ∠二面角B DEF --的平面角．…………………8分 在Rt EAF∆中，EF== 在RtFCD ∆中，FD ==.……9分在Rt EFD ∆中，ED ===由EFFD FG ED ⋅=⋅得5EF FD FG ED ⋅===． (10)分 在Rt BFC∆中，BF=在Rt BFG ∆中，BG===． (11)分所以cos 4FG BFG BG ∠=== ∴二面角B DE F --的平面角的余弦值为46. …….………..………12分方法二：DD过F 作//Fz AE ，由AE ⊥平面ABC 可知Fz ⊥平面ABC ， 又AC 、BF ⊂平面ABC ，于是Fz AC ⊥，Fz BF ⊥， 又BF ⊥AC ，∴BF 、AC 、Fz 两两垂直．以F 为原点，FA 、FB 、Fz 依次为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（如图）．…7分 由(Ⅰ)可得tan 3033BF AF =⨯=⨯= 于是(0,0,0)F ，(0,3,0)B ，(1,0,1)D -，(3,0,3)E ，(1,,1)BD =-，(3,,3)BE =，(0,,0)FB =．由(Ⅰ)知是平面DEF 的一个法向量． 设(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+--=⋅，，033303z y xz y x 取2z =，得到(1,3,2)n =-．………………………………10分∴cos 4||||2n FB n FB n FB ⋅<>===⋅，，…………………11分又二面角B DE F --是锐二面角． ∴二面角B DE F --的平面角的余弦值为46. …….……………12分 方法二：(Ⅰ)证明：过F 作//Fz AE ，由AE ⊥平面ABC 可知Fz ⊥平面ABC ，又AC 、BF ⊂平面ABC ，于是Fz AC ⊥，Fz BF ⊥， 又BF ⊥AC ，∴BF 、AC 、Fz 两两垂直．以F 为原点，FA 、FB 、Fz 依次为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（如图）．…1分∵390ABC BAC ∠=∠=，44AC CD ==，3AE =，∴1CD =，30BAC ∠=．∴122BC AC ==，1cos 60212FC BC =⋅=⨯=，3AF AC FC =-=， BF=．……………………………………………………3分于是(0,0,0)F，(0,0)B ，(1,0,1)D -，(3,0,3)E ，(1,0,1)FD =-，(3,3)BE=．故130(130FD BE ⋅=-⨯+⨯+⨯=．所以DF ⊥BE ……………………..…………………6(Ⅱ)由(Ⅰ)知(3,0,3)FE =，(1,BD =-，(3,3)BE =，(0,0)FB =．于是030030FB FE ⋅=⨯+⨯=，所以FB FE ⊥，又F B ⊥AC ．所以FB 是平面DEF 的一个法向量．…………………………………..…8分设(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+--=⋅，，033303z y x n z yx n取2z =，得到(1,3,2)n =-．…………………………………....…10分∴cos 4||||2n FB n FBn FB ⋅<>===⋅，．又二面角B DE F --是锐二面角． ∴二面角B DE F --的平面角的余弦值为46. …………………………12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得2221a cb a bc ⎧-=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩……………………………………………….1分解得a =1c =. ……………………………………………………3分所以所求椭圆方程为22132x y +=………………………………………4分 （Ⅱ）方法一：当直线AB 与x 轴垂直时，||AB =， 此时3AOB S ∆=不符合题意故舍掉；…………………………………..5分 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为(1)y k x =+，由22132(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-=………6分 设1122(,),(,)A x yB x y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，………………….…..7分∴||AB ====== =分 原点O 到直线的AB 距离d =，…………………………..…10分∴三角形的面积1||2AOBS AB d∆===．由4AOBS∆=得22k=，故k=分∴直线AB的方程为1)y x=+，或1)y x=+．y-=，y+=…………………………….12分方法二：由题意知直线AB的斜率不为O，可设其方程为1ny x=+．………….5分由221132ny xx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x得22(23)440n y ny+--=．…………………….6分设1122(,),(,)A x yB x y，则122423ny yn+=+，122423y yn-=+．…….7分∴121||||2AOBS OF y y∆=⋅-=分又AOBS∆=，所以212129()42y y y y+-=．…………………….……..9分∴2224169()23232nn n+=++．解得2n=±．………………..…….….11分∴直线AB1y x=+，或1y x=+，即：210x+=，或210x+=．………………………..12分21．（本小题共12分）解：（Ⅰ）∵()lnaf x xx=-，∴221'()a x af xx x x+=--=-．………………………………….….. 1分由题意得'(1)0f=，即11a+-=，解得1a=-．…………….. 2分经检验，当1a=-时，函数()f x在1x=取得极大值．……….. 3分∴1a=-.………………………………………………………..……….4分（Ⅱ）设()()35ln35ag x f x x x xx=+-=-+-，则函数()g x的定义域为(0,)+∞．∴当0x>时，()0g x≥恒成立．于是(1)20g a=-≥，故2a≥．………….…………………….……5分∵22213'()3a x x ag xx x x--=--+=．∴方程'()0g x=有一负根1x和一正根2x，12x x<<．其中1x不在函数定义域内．当2(0,)x x ∈时，'()0g x <，函数()g x 单调递减． 当2(,)x x ∈+∞时，'()0g x >，函数()g x 单调递增．∴()g x 在定义域上的最小值为2()g x ．……………………………………….……7分依题意2()0g x ≥．即2222()ln 350ag x x x x =-+-≥．又22230x x a --=， 于是2231a x x =-，又02>x a ，所以312>x ．∴2222()31ln 350g x x x x =--+-≥，即2266ln 0x x --≥，…………..……9分令()66ln h x x x =--，则161'()6x h x x x-=-=．当1(,)3x ∈+∞时，'()0h x >，所以)(x h 是增函数．又(1)66ln10h =--=，所以2266ln 0x x --≥的解集为[1,)+∞． (11)分又函数23y x x =-在1(,)6+∞上单调递增， ∴222233112a x x =-≥⨯-=．故a 的取值范围是[2,)+∞．……………………………….……………………12分解法二：由于()ln af x x x=-的定义域为(0,)+∞，于是()53f x x ≥-可化为x x x x a 53ln 2+-≥．……………………..……5分设x x x x x g 53ln )(2+-=．则'()ln 66g x x x =-+．设()'()h x g x =，则116'()6xh x x x-=-=． 当(1,)x ∈+∞时，'()0h x <，所以()h x 在[1,)+∞减函数． 又(1)'(1)0h g ==，∴当(1,)x ∈+∞时，()(1)0h x h <=，即当(1,)x ∈+∞时，'()0g x <， ∴)(x g 在[1,)+∞上是减函数．∴当[1,)x ∈+∞时，()(1)1ln1352g x g ≤=⨯-+=.………….……..…8分 当(0,1)x ∈时，先证1ln -<x x ，设)1(ln )(--=x x x F ，1'()0xF x x-=>，)(x F 是增函数且0)1(=F ，0)(<x F ，即1ln -<x x ， 当(0,1)x ∈时，22)1(253)1(53ln )(222<+--=+--<+-=x x x x x x x x x x g …..11分 综上所述()g x 的最大值为2．∴a 的取值范围是[2,)+∞．………………………………………….………12分选做题（共10分）22．（本小题共10分） 证明：（Ⅰ）连接OC ，因为OA OC =，所以OCA OAC ∠=∠．………….…..2分又因为AD CE ⊥，所以90ACD CAD ∠+∠=．又因为AC 平分BAD ∠，所以OAC CAD ∠=∠，…………….…..4分所以90OCA ACD ∠+∠=o ，即OC CE ⊥．所以CE 是O e 的切线……………………………………………….….6分 （Ⅱ）连接BC ，因为AB 是圆O 的直径，所以090BCA ADC ∠=∠=，又因为OAC CAD ∠=∠，…………………………………….………8分 所以ABC ∆∽ACD ∆所以AC ADAB AC=，即2AC AB AD =⋅………………………………..10分 23．（本小题共10分）解：(Ⅰ)圆C 的参数方程化为普通方程是22(1)1x y -+=．即2220x y x +-=……………………………………………………….…2分又222x y ρ=+，cos x ρθ=．于是22cos 0ρρθ-=，又0ρ=不满足要求．所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=……………………………….……5分 (Ⅱ)因为射线:4OM πθ=的普通方程为(0)y x x =≥．……………………6分联立方程组22,0(1)1y x x x y =≥⎧⎨-+=⎩消去y 并整理得20x x -=． 解得1x =或0x =，所以P 点的直角坐标为(1,1)……………………8分所以P点的极坐标为,)4π…………………………….……………10分解法2：把4πθ=代入2cos ρθ=得2cos4πρ==所以P点的极坐标为)4π………………..……………10分24．（本小题共10分） 解：（Ⅰ）若1a =时，则()|31|3f x x x =-++．当13x ≥时，()5f x ≤可化为3135x x -++≤， 解之得1334x ≤≤；……………………………………………….…2分 当13x <时，()5f x ≤可化为3135x x -+++≤， 解之得1123x -≤<.……………………………………………….……4分 综上所述，原不等式的解集为13{|}.24x x -≤≤……………………5分 （Ⅱ）1(3)2,()3()|31|31(3) 4.()3a x x f x x ax a x x ⎧++≥⎪⎪=-++=⎨⎪-+<⎪⎩函数()f x 有最小值的充要条件为3030a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得33a -≤≤….…9分∴实数a的取值范围是[3,3] …………………………………….……10分。
配套K12高三数学上学期期末联考试题 理(含解析)
北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 2016．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}|11M x x =-<<，|01x N x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则M N =A ．{}|01x x ≤< B．{}|01x x << C ．{}|0x x ≥ D ．{}|10x x -<≤ 【考点】集合的运算【试题解析】，，所以。
【答案】A2．复数i(1i)z =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为A ．(1,1)B ．(1,1)--C ．(1,1)-D ． (-【考点】复数乘除和乘方 【试题解析】所以复平面内所对应点的坐标为：。
【答案】D3．执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为A ．3B ．4C ．5D ．6 【考点】算法和程序框图 【试题解析】由题知：m=1,i=1，m=2,i=2,否；m=1,i=3,否；m=0,i=4,是， 所以输出的值为：4. 【答案】B第3题图4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速km/h ） 频率统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 A ．30辆 B ．300辆 C ．170辆 D ．1700辆 【考点】频率分布表与直方图 【试题解析】以正常速度通过该处的汽车频率为：所以以正常速度通过该处的汽车约有：辆【答案】D 第4题图 5．“1a >”是“函数()cos f x a x x =⋅+在R 上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【考点】充分条件与必要条件 【试题解析】 若函数在R 上单调递增，则恒成立，所以的最大值，即，所以“”是“”的充分不必要条件。
【配套K12】高三数学上学期期末自主练习试题 理
2015—2016学年度高三期末自主练习数学试题(理)注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．2．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔．要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效．3．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．1.若集合{}{}31,,4,1,0,2,5A x x n n N B ==-∈=--，则集合A B ⋂=A. {}2,5B. {}4,1,2,5--C. {}1,2,5-D. {}1,0,2,5- 2.若0a b >>，则下列不等式正确的是A. sin sin a b >B. 22log log a b <C. 1122a b < D. 1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3.已知()0,απ∈，若1tan sin 243παα⎛⎫-==⎪⎝⎭，则 A. 45- B. 45 C. 54- D. 544.已知函数()()1221,1log 3,1x x f x x x -⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，若()()11f a f a =-=，则 A.2 B. 2-C.1D. 1- 5.已知函数()2x f x x e =，当[]1,1x ∈-时，不等式()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 A. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C. [),e +∞ D. (),e +∞6.已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u r ，若A B A C A M λ+=uu u r uu u r uuu r 成立，则实数λ的值为A.2B.3C.4D.57.若中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率为3D.38.已知变量,x y 满足线性约束条件32020,10x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩则目标函数12z x y =-的最小值为 A. 54- B.0 C. 2- D. 1349.已知函数()cos f x x x =，有下列4个结论：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②存在常数0T >，对任意的实数x ，恒有()()f x T f x +=成立；③对于任意给定的正数M ，都存在实数0x ，使得()0f x M ≥；④函数()f x 的图象上存在无数个点，使得该函数在这些点处的切线与x 轴平行. 其中，所有正确结论的序号为A.①③B.①④C.②④D.③④10.设函数的定义域为D ，若()f x 满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域是,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”.若函数()()2log 2x f x t =+为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是 A. 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡的相应位置.11.函数()()ln 21f x x =--的定义域为12.定积分1130x dx -⎰的值为 13.一个几何体的三视图如右图所示，若其正视图、侧视图都是60°的菱形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为14.已知抛物线28y x =的焦点为F ，P 是抛物线的准线上的一点，Q 是直线PF 与抛物线的一个交点，若PQ u u u r u u r ，则直线PF 的方程为15.已知点()0,1A ，直线:l y kx m =+与圆22:1O x y +=交于B,C 两点，ABC ∆和OBC ∆的面积分别为12,S S ，若1260,2BAC S S ∠==o 且，则实数k 的值为三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数()()22cos cos 3f x x x x R π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭. （I ）求()f x 最小正周期和单调递增区间；（II ）求()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. （本小题满分12分）“城市呼唤绿化”，发展园林绿化事业是促进国家经济发展和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形ABC 形状的主题公园，其中一边利用现成的围墙BC ，长度为AB,AC 使用某种新型材料围成，已知120,,BAC ab x AC y ∠===o （,x y 单位均为米）.（1）求,x y 满足的关系式（指出,x y 的取值范围）；（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？最短长度是多少？18. （本小题满分12分）如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，//,,2,4,90AB CD AD DC AD AB ADF ⊥==∠=o.（1）求证：AC FB ⊥；（2）求二面角E FB C --的大小.19. （本小题满分12分） 在数列{}{},n n a b 中，已知1111,2,,n n n a b a b a +==-，且成等差数列，1,,n n n b a b +-也成等差数列.（1）求证：{}n n a b +是等比数列；（2）若()()323log 21n n n n n c a a ⎡⎤=---⎣⎦，求数列{}n c 的前n 项和n T .20. （本小题满分13分）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率是2，过点()1,0P 的动直线l 与椭圆相交于A,B 两点，当直线l 平行于y 轴时，直线l 被椭圆C 截得的线段长为（1）求椭圆C 的方程；（2）已知D 为椭圆的左端点，问：是否存在直线l 使得ABD ∆的面积为3?若不存在说明理由，若存在，求出直线l 的方程.21. （本小题满分14分）已知函数()x f x e =（e 为自然对数的底数，e=2.71828…），()(),2a g x xb a b R =+∈. （1）若()()(),12a h x f x g xb ==-，求()[]01h x 在，上的最大值()a ϕ的表达式； （2）若4a =时，方程()()[]02f x g x =在，上恰有两个相异实根，求实数b 的取值范围；（3）若15,2b a N *=-∈，求使()f x 的图象恒在()g x 图象上方的最大正整数a .。
【配套K12】高三数学上学期期末考试试题 理1
江西师大附中高三上学期期末考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意）1.若纯虚数z 满足()11i z ai -=+，则实数a 等于（ ）A ．0B ．1-或1C ．1-D ．1 2.已知函数sin 3y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移3π个单位后，所得的图像与原函数图像关于x 轴对称，则ω的最小正值为（ ）A ．1B ．2C ．52D ．3 3.若()241cos2x a dx xdx π-=⎰⎰，则a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．44.如右图，当输入5x =-，15y =时，图中程序运行后输出的结果为（ ） A ．3； 33 B ．33；3 C.-17；7 D ．7；-175.定义12nnp p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为15n，又5n n a b =，则12231011111b b b b b b +++=（ ） A ．817 B ．919 C ．1021 D ．11236.若关于,x y 的不等式组0010x x y kx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为（ ） A.12或14 B.12或18 C.1或12 D.1或147．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．208.已知等差数列{}n a 的第8项是二项式41x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式的常数项，则91113a a -=（ ）A ．23B ．2C ．4D ．69.不等式2220x axy y -+≥对于任意]2,1[∈x 及]3,1[∈y 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤22B ．a ≥22C ．a ≤311D ．a ≤2910.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ． 11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC →→=，则AB AC →→⋅的最小值为（ ） A ．14-B ．12-C ．34- D ．1- 12.已知函数()22xxaf x =-，其在区间[]0,1上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,1 B ．[]1,0- C ．[]1,1- D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知函数()y f x =的图象在点()()2,2M f处的切线方程是4y x =+，则()()22f f '+= ．14.已知11sin(),sin()23αβαβ+=-=,那么5tan log tan αβ的值是 ．15.将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设任意投掷两次使直线1:3l x ay +=，2:63l bx y +=平行的概率为1P ，不平行的概率为2P ，若点()12,P P 在圆()226572x m y -+=的内部，则实数m 的取值范围是 ． 16.已知ABC ∆中，7,8,9AB AC BC ===，P 点在平面ABC 内，且70PA PC ⋅+=，则||PB 的最大值为 ．三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）在公比为2的等比数列{}n a 中，2a 与5a 的等差中项是（Ⅰ）求1a 的值； （Ⅱ）若函数1sin 4y a x πφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，φπ<，的一部分图像如图所示，()11,M a -，()13,N a -为图像上的两点，设MPN β∠=，其中P 与坐标原点O 重合，πβ<<0，求()tan φβ-的值.18.（本小题满分12分）2015年9月3日，抗战胜利70周年纪念活动在北京隆重举行，受到全国人民的瞩目。
【配套K12】高三数学上学期期末教学质量检测试题 理
静安区2015学年高三年级第一学期期末教学质量检测理科数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.已知抛物线2y ax =的准线方程是14y =-，则a = . 2.在等差数列{}n a （n N *∈ ）中 ，已知公差2d =，20072007a =，则2016a = .3. 设cos x α=,且3[,]44ππα∈-，则arcsin x 的取值范围是 .4. 已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是 cm 3.5.方程3(1)(1)log (98)log (1)3x x x x x +--+⋅+=的解为 .6.直线20x y --=关于直线220x y -+=对称的直线方程是 .7.已知复数z 满足28z z i +=+,其中i 为虚数单位,则z = .8. 8()x y z ++的展开式中项34x yz 的系数等于 .(用数值作答)9.在产品检验时，常采用抽样检查的方法.现在从100件产品(已知其中有3件不合格品)中任意抽出4件检查，恰好有2件是不合格品的抽法有 种. (用数值作答)10.经过直线230x y -+=与圆222410x y x y ++-+=的两个交点，且面积最小的圆的方程是 .11.在平面直角坐标系xOy 中，坐标原点(0,0)O 、点(1,2)P ，将向量绕点O 按逆时针方向旋转56π后得向量，则点Q 的横坐标是 .12.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，若△ABC 的面积2222S a b c bc =--+，则sin A = . (用数值作答)13. 已知各项皆为正数的等比数列{}n a （n N *∈ ），满足7652a a a =+，若存在两项m a 、n a 使得14a =，则14m n+的最小值为 . 14. 在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位, 沿y 轴正方向平移5个单位,得到直线1l .再将直线1l 沿x 轴正方向平移1个单位, 沿y 轴负方向平移2个单位,又与直线l 重合.若直线l 与直线1l 关于点(2,3)对称,则直线l 的方程是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15.组合数(1,,)rn C n r n r N >≥∈恒等于( ) A.1111r n r C n --++ B. 1111r n n C r --++ C. 11r n r C n -- D. 11r n n C r--16.函数213(10)x y x -=-≤<的反函数是 ( )A．1)3y x =≥B．11)3y x =<≤C ．1(1)3y x =<≤D．1)3y x =≥17.已知数列{}n a的通项公式为,4(*),4n n n a n N n n -≤⎧=∈>，则lim n n a →+∞=( ) A ．2-B ．0C ．2D ．不存在18.下列四个命题中，真命题是 ( )A ．和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线;B ．和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线;C ．和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线;D ．若a 、b 是异面直线, b 、c 是异面直线,则a 、c 是异面直线.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AB 的中点. 求： (1)异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值； (2)点A 到平面1A EC 的距离.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分.李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新”. 某创客，白手起家，2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的10%，每月的生活费等开支为3000元，余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.(1)问到2015年年底(按照12个月计算)，该创客有余款多少元？(结果保留至整数元) (2)如果银行贷款的年利率为5%，问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款？21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设P 1和P 2是双曲线22221x y a b-=上的两点，线段P 1P 2的中点为M ，直线P 1P 2不经过坐标原点O .(1)若直线P 1P 2和直线OM 的斜率都存在且分别为k 1和k 2，求证:k 1k 2=22ab ；(2)若双曲线的焦点分别为1(F、2F ，点P 1的坐标为(2，1) ，直线OM 的斜率为32，求由四点P 1、 F 1、P 2、F 2所围成四边形P 1 F 1P 2F 2的面积.22．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记1n n n P AP θ+∠=，n N *∈．(1)若31arctan3θ=，求点A 的坐标； (2)若点A的坐标为(0，求n θ的最大值及相应n 的值．23．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分48分. 已知定义在实数集R 上的偶函数()x f 和奇函数()x g 满足()()12x f x g x ++=.(1)求()f x 与()g x 的解析式；(2)若定义在实数集R 上的以2为最小正周期的周期函数()x ϕ，当11x -≤≤时，()()x f x ϕ=，试求()x ϕ在闭区间[2015,2016]上的表达式，并证明()x ϕ在闭区间[2015,2016]上单调递减；(3)设22()21h x x mx m m =++-+（其中m 为常数），若2(())1h g x m m ≥--对于[1,2]x ∈恒成立，求m 的取值范围.静安区2015学年高三年级第一学期期末教学质量检测理科数学试卷参考答案及评分标准 2016.01说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. a =1 2．2025 3. [,]42ππ-.4. 12288π5. 3x =6.7220x y -+=7. 17z =8.280 9. 13968 10.225561810x y x y ++--= 11.1- 12.81713. 14143()(5)662m n m n m n n m ++=++≥14. :6810l x y -+=.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15.D 16.B 17.A 18.C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19． 如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AB 的中点。
【配套K12】高三数学上学期期末教学质量检测试题
宝山区2015学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷（本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.方程0624=--xx 的解集为 .2.已知:(1-2)5+10i z i =（i 是虚数单位 ），则z = .3．以)2,1(为圆心，且与直线03534=-+y x 相切的圆的方程是 ．4.数列2,*3nn N ⎧⎫⎪⎪⎛⎫∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭所有项的和为 ．5. 已知矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛421y ，B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛876x ，AB =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛50432219，则x+y = ． 6. 等腰直角三角形的直角边长为1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为 .7．若9a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是-84，则a= ．8. 抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 ．9. 已知,0,>t ω函数xx x f ωωcos 1sin 3)(=的最小正周期为π2，将)(x f 的图像向左平移t 个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则t 的最小值为 ．10.两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘红色、白色两辆轿车结伴郊游，每辆车最多乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是 ．11. 向量a r ，b r 满足a 1=r，a b -=r r ，a r 与b r的夹角为60°，则b =r .12. 数列1212312341213214321⋅⋅⋅，，，，，，，，，，，则98是该数列的第 项. 13. 已知直线0)1(4)1()1(=+-++-a y a x a （其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数xx y 1+=的图像上，则PQ 连线的斜率的取值范围是 .14. 如图，已知抛物线2y x =及两点11(0,)A y 和22(0,)A y ，其中120y y >>.过1A ，2A 分别作y 轴的垂线，交抛物线于1B ，2B 两点，直线12B B 与y 轴交于点33(0,)A y ，此时就称1A ，2A 确定了3A .依此类推，可由2A ，3A 确定4A ，L .记(0,)n n A y ，1,2,3,n =L .给出下列三个结论： ① 数列{}n y 是递减数列； ② 对任意*n ∈N ，0n y >； ③ 若14y =，23y =，则523y =. 其中，所有正确结论的序号是_____．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15.如图，该程序运行后输出的结果为…… （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）1616. P 是ABC ∆所在平面内一点，若+=λ，其中R ∈λ， 则P 点一定在……（ ）（A ）ABC ∆内部 （B ）AC 边所在直线上 （C ）AB 边所在直线上 （D ）BC 边所在直线上 17.若,a b 是异面直线，则下列命题中的假命题为------------------------------------------ （ ）（A ）过直线a 可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b 平行； （B ）过直线a 至多可以作一个平面α与直线b 垂直； （C ）唯一存在一个平面α与直线a b 、等距； （D ）可能存在平面α与直线a b 、都垂直。
【配套K12】高三数学上学期阶段性考试 理【会员独享】
市二高2010－2011学年度上学期阶段性考试高三数学试卷（理科）第Ⅰ卷注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束，答题卡和答题卷一并收回。
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。
一、选择题（每小题5分，共60分.只有一项是符合题目要求的）1．函数x x y +-=1的定义域为（ ）.A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1}2.幂函数的图象过点（2，41），则它的单调递增区间是 A.()∞+，0 B. [)∞+，0 C. ()0，∞- D. ()∞+∞-，3．若,)6(log )6()3()(2⎩⎨⎧≥<+=x x x x f x f 则)1(-f 的值为（ ）. A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．已知函数)1,0(log )(,)(,)(321≠>===a a x x f x x f a x f a a x 且其中在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的是 （ ）.5.已知条件:p 2230x x +->,条件:q a x >,且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,则a的取值范围可以是 （ ）.A ．1≥aB ．1≤aC ．3-≥aD ．3-≤a6.已知函数f （x ）是定义在闭区间［－a ，a ］（a ＞0）上的奇函数，F （x ）=f （x ）+1，则F （x ）最大值与最小值之和为A.1B.2C.3D.07．已知函数()2(1)f x x k x k =+--的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(3,2)--B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(0,1) 8．若函数x e a x f x cos )11()(-+=是奇函数，则常数a 的值等于（ ）. A ． 1- B. 1 C. 21- D. 21 9．函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤+-=01lg 02122x x x x x x f 的零点个数为（ ）.A.1个B.2个C.3个D.4个10．若集合(){}x x y y x A 4,2--==,()(){}2,-==x k y y x B ,若集合B A 有两个元素,则实数k 的取值范围为( ). A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,33 B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-33,33 C.⎥⎦⎤ ⎝⎛-0,33 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-33,33 11．定义在R 上的函数)(x f y =满足)()5(x f x f -=+，0)()25(/>-x f x ，已知21x x <，则)()(21x f x f >是521<+x x 的（ ）条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要12.已知函数)(x f y =的图象如图①所示，则图②是下列哪个函数的图象（ ）.A ．()x f y -=B ．()x f y -=C ．()x f y --=D ．()x f y --=第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡的相应位置)13. 当10<<x 时，29.01.1)(,)(,)(-===x x h x x g x x f 的大小关系是______________14． 函数1)(-=x x f 的单调递增区间为 .15. 设()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若(1)1,(2)23f f a >=-，则a的取值范围是_________.16. 已知2(3)4log 3233x f x =+，则8(2)(4)(8)(2)f f f f ++++的值等于三、解答题(本题共6小题，总分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分）已知R 为全集，A={}2)x 3(log x 2≤-, B =}65|{2-≤x x x ,（1）求A , B（2） 求)B A (C R18. （本小题满分12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为),(x C 当年产量不足80千件时，x x x C 1031)(2+=（万元）；当年产量不小于80千件时，14501000051)(-+=x x x C （万元）．通过市场分析，若每件．．售价为500元时，该厂当年生产该产品能全部销售完．（1）写出年利润)(x L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？19. （本小题满分12分）已知定义域为R 的函数12()2x x n f x m+-+=+是奇函数。
【配套K12】高三数学上学期期末质量抽测理试题(含解析)
昌平区2015－2016学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）2016.1考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分. 2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写.3． 答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔.请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分.4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液.保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损.不得在答题卡上做任何标记.5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）若集合{}2,1,0,1,2Α=--，{}2|1Βx x =>，则=ΑΒA ．{|11}x x x <->或B ．{}2,2-C ．{}2D ．{0}【考点】集合的运算【试题解析】所以【答案】B(2) 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是A ．y =1y x =C. 1()2xy = D. 12log y x = 【考点】函数的单调性与最值【试题解析】结合函数的图像与单调性易知：只有在区间上为增函数。
【答案】A(3) 已知两点(0,0),(2,0)O A -，以线段OA 为直径的圆的方程是 A ．22(1)4x y -+= B ．22(1)4x y ++=俯视图侧（左）视图正（主）视图 C ．22(1)1x y -+= D ．22(1)1x y ++= 【考点】圆的标准方程与一般方程 【试题解析】 以线段为直径的圆的圆心为OA 的中点（-1，0），半径为故所求圆的方程为：。
配套K12高三数学上学期期末考试试题 理
牡一中2015年上学期期末考试高三学年数学学科理科试题一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。
）1.全集U R =，集合2{|230}M x x x =--≤,N ={}2|31y y x =+,则U M C N ⋂=( ) A .}11|{<≤-x x B .}11|{≤≤-x x C .}31|{≤≤x x D .}31|{≤<x x2. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )3.阅读如右图所示的程序框图，则该算法的功能是( )A .计算数列{}12n -前5项的和B .计算数列{}21n -前5项的和C .计算数列{}12n -前6项的和D .计算数列{}21n -前6项的和4.若,x y 满足20200x y k x y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为2-，则k 的值为 A .1 B .1- C .2 D .2-5.给出下列四个命题, 其中正确．．的命题有( )个. ⑴ 函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=2,02cos 2sin πx x x y 在上的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡8,0π; (2)1212,,,a a b b 均为非零实数，集合1122{0},{0}A x a x b B x a x b =|+>=|+>，则“1122a b a b =”是“A B =”的必要不充分条件(3)若p q ∨为真命题,则p q ∧也为真命题(4) 命题01,2<++∈∃x x R x 的否定01,2<++∈∀x x R xA .0B .1C .2D .36.设12,...,n a a a 是1，2，3...n 的一个排列，把排在i a 的左边且比i a 小的数的个数称为i a (i =1，2，...n )的顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为( )A .48B .120C .144D .1927.在平行四边形ABCD 中，2=AD ，60BAD ∠=，E 为CD 的中点．若1AD BE ∙=，则AB 的长为( )A B .4 C .5 D .6 8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又知(ln )'ln 1x x x =+，且101ln eS xdx =⎰，2017S =，则30S 为( )A .33B .46C .48D .509．已知函数)0(cos sin 3)(>+=ωωωx x x f 的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数)(x f 的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象．若在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“1)(≥x g ”发生的概率为 A .41 B .31C .61D .3210.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为( )A .πB .π2C .π3D . π411.已知过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的中心的直线交双曲线于点,A B ，在双曲线C 上任取与点,A B 不重合的点P ，记直线,,PA PB AB 的斜率分别为12,,k k k ，若12k k k >恒成立，则离心率e 的取值范围为( )A .1e <<B .1e <≤C .e >D .e ≥12.已知函数1ln 1)(-+=x xx f ,*)()(N k x k x g ∈=，若对任意的1c >,存在实数b a ,满足0a b <<c <，使得)()()(b g a f c f ==，则k 的最大值为( )A . 2B . 3C . 4D . 5二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13.在6的二项展开式中，2x 的系数为___________14.连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i 次得到的点数为i a ，若存在正整数k ，使12...6k a a a +++=，则称k 为你的幸运数字。
【配套K12】高三数学上学期期末考试试题 理(扫描版)
江西省宜春市2016届高三数学上学期期末考试试题理（扫描版）宜春市2015～2016学年第一学期期末统考 高三年级数学（理科）试卷参考答案一．选择题：二．填空题： 13．(]2,1214．-6 15．()1,-+∞ 16．12+三．解答题:分因为5分0分)22(1---n a 即：21=-n na a ，∴数列{}n a 为以2为公比的等比数列 n n a 2=∴ ……………4分 （2）由b n ＝log 2a n 得b n ＝log 22n＝n ，则c n ＝11n n b b +＝()11n n +＝1n －11n +， T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －11n +＝1－11n +＝1nn +.……………8分 ∵1n n +≤k(n＋2)，∴k≥12(1)(2)3n n n n n=++++ ∵n ＋2n＋3≥3＋3＝6，当且仅当n=1或2时等号成立， ∴11263n n ≤++，因此k≥16，故实数k 的取值范围为1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭……………12分19.解（1）设1A ：甲恰胜2局；2A ：和2局； 则27831)3231(31)3231()()()()(12122121=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+==C C A P A P A A P A P ……………………5分（2）31)31(3)2(2=⨯==X P ；94]31)3231[(3)3(12=⋅⋅⋅⨯==C X P ； 92)31()4(333=⋅==A X P …………………9分分布列为：数学期望：9949332=⨯+⨯+⨯=EX .……………………12分20．解（1）因为AE ⊥平面ECD ，CD ⊂平面ECD ，所以AE CD ⊥． 又因为AB //CD ，所以AB AE ⊥． 在矩形ABCD 中，AB AD ⊥， 因为ADAE A =，,AD AE ⊂平面ADE ，所以AB ⊥平面ADE ． ……………………………5分 （2）设CD=3，所求角为θ如图以D 为坐标原点，DE 为x 轴，DC 为y 轴，建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），E （3，0，0），C （0，3，0），M （3，0，1）B （3，3，3）(3,0,3),(3,3,0)CB CE ==-，(3,0,1),(3,3,3)DM DB ==,设平面BCE 的法向量为(,,)m x y z =，则03330mC B xzx y mCE ⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨-==⎩⎪⎩令x=1得(1,1,1)m =-， ……………………………8分设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =类似的可得(1,2,3)n =-， ……………………………10分cos ||7||||3mn m n θ===……………………………12分21．解：（1）由2c a =，设2(0)a k k =>，则c =，222b k =， 所以椭圆C 的方程为2222142x y k k+=，因直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C的右焦点，即A B x x =，代入椭圆方程，解得y k =±，于是2k =k =， 所以椭圆C 的方程为2212x y +=………………………………………………5分 （2）假设存在点E ，使得2211EA EB +为定值，设0(,0)E x ， 当直线AB 与x轴重合时，有20222204211(2)x EA EB x ++==-， 当直线AB 与x 轴垂直时，22220011242(1)2x EA EB x +==--， 由2022200424(2)2x x x +=--，解得03x =±（0x =，20636x =-， 所以若存在点E，此时(E ，2211EA EB +为定值3 根据对称性，只需考虑直线AB过点E ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 又设直线AB的方程为x my =，与椭圆C 联立方程组，化简得224(2)03m y +-=，所以12y y +=，12243(2)y y m -=+，又222222111111(1)EAm y y m y ===++， 所以212122222222221212()21111(1)(1)(1)y y y y EA EB m y m y m y y +-+=+=+++，将上述关系代入，化简可得22113EA EB +=.综上所述，存在点(E ，使得2211EA EB +为定值3………………………12分 22.（1） 2221(21)(1)()2 a x ax f x a x x x --+'=-+=，因为()f x 是单调函数，所以2-=a ………………………………5分（2）依题设，有b 111ln(1)1x x +--221ln(1)1x x +--，于是2121211ln (1)(1)1x x x x x x --=---． 记2111x x --t ，t ＞1，则11ln (1)t t t x -=-，故111ln t x t t--=．于是，x 1-1+x 2-1（x 1-1）(t +1)21ln t t t-，x 1+x 2412ln ln t t t t--．………………………………8分记函数t tt t h ln 21)(--=，t ＞1．因22(1)()2t h t t -'=＞0，故h (x )在(1 )+∞，上单调递增．………………………………10分 于是，t ＞1时，h (t )＞h (1)0．又ln t ＞0，所以，x 1+x 2＞4．………………………………12分。
【配套K12】高三数学上学期期末考试试题 理(含解析)2
北京市海淀区2016届高三年级第一学期期末练习数学（理科）2016.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知(1i)i 1i(b b +=-+∈R)，则b 的值为A.1B.1-C. iD.i - 【考点】复数乘除和乘方 【试题解析】因为（1+bi ）i=i+bi =-b+i=-1+i ，所以【答案】A2. 抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为A. 1(0,)2- B.(0,1)- C.(0,2)- D.(0,4)- 【考点】抛物线 【试题解析】 抛物线的准线方程为：所以与轴的交点的坐标为（0，-1）。
【答案】B3. 如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD AC AE λμ=+， 则λμ-的值为A. 3B.2C. 1D.3- 【考点】平面向量的几何运算 【试题解析】因为E 为DC 的中点，所以【答案】D4. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a 值为1，则输EA BCD输入开始出的a 值为A.1B.2C.3D.5【考点】算法和程序框图 【试题解析】由题知：a=1，i=1，a=2-1=1，i=2，否；a=3，i=3，否；a=6-3=3，i=4，是， 则输出的a 为3． 【答案】C5. 已知数列12345:,,,,A a a a a a ，其中{1,0,1},1,2,3,4,5i a i ∈-=, 则 满足123453a a a a a ++++=的不同数列A 一共有A. 15个B.25个C.30个D.35个 【考点】数列综合应用 【试题解析】 由题知：若，则中可能有3个1，2个0或有4个1，1个-1．所以数列共有：个。
【答案】A6. 已知圆22(2)4C x y -+=：, 直线1:l y =，2:1l y kx =- 若12,l l 被圆C 所截得的弦的长度之比为1:2，则k 的值为12【考点】复数乘除和乘方 【试题解析】 圆圆心为（2，0），半径为2，圆心到的距离为所以被圆所截得的弦长为：圆心到的距离为所以被圆所截得的弦长为：4，所以所以【答案】C7. 若,x y 满足+20,40,0,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2||z y x =-的最大值为A.8-B.4-C.1D.2 【考点】线性规划 【试题解析】 作可行域：A(-2，0)，B(4，0)，C(1，3)，D （0，2）由图知：目标函数过点D 时，目标函数值最大，为【答案】D8. 已知正方体''''ABCD A B C D -，记过点A 与三条直线,,'AB AD AA 所成角都相等的直线条数为m , 过点A 与三个平面．．',,'AB AC AD 所成角都相等的直线的条数为n ，则下面结论正确的是A. 1,1m n ==B. 4,1m n ==C. 3,4m n ==D. 4,4m n == 【考点】立体几何综合点线面的位置关系 【试题解析】 连接，显然与所成角都相等。
【配套K12】高三数学上学期期末试卷 理(含解析)3
2015-2016学年黑龙江省哈尔滨三十二中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1．已知i 是虚数单位，则=（ ） A ．1﹣2iB ．2﹣iC ．2+iD ．1+2i2．已知复数z 1=2+i ，z 2=1﹣i ，则在z=z 1•z 2复平面上对应的点位于（ ）A ．第四象限B ．第一象限C ．第二象限D ．第三象限3．若集合A={x|x≥}，则∁R A=（ ）A ．（﹣∞，0]∪（，+∞） B ．（，+∞） C ．（﹣∞，0]∪[，+∞） D ．[，+∞）4．计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的结果等于（ ）A ．B ．C ．D ．5．（理）积分（x 2+sinx ）dx=（ ）A ．B ．C ．1D ．6．下列命题中的假命题是（ ）A ．∀x ∈R ，2x ﹣1＞0 B ．∀x ∈N *，（x ﹣1）2＞0 C ．∃x ∈R ，lgx ＜1 D ．∃x ∈R ，tanx=27．已知平面向量=（3，1），=（x ，﹣3），且⊥，则x=（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．38．在△ABC 中，若sin 2A+sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是（ ）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定9．函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）10．在△ABC中，若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，则A=（）A．90° B．60° C．135°D．150°11．对于函数f（x）=2sinxcosx，下列选项中正确的是（）A．f（x）在（，）上是递增的B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）的最小正周期为2πD．f（x）的最大值为212．把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（）A．B．C． D．二、填空题13．函数的定义域为．14．已知，则f[f（10）]= ．15．设cos（﹣80°）=k，那么tan100°=．16．平面内有3点A（0，﹣3），B（3，3），C（x，﹣1），且，则x的值是．三、解答题：（共36分）17．已知，求下列各式的值：（1）的值；（2）的值．18．在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长．19．已知函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R．（1）函数y的最小正周期；（2）函数y的递增区间．20．设函数f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数．（Ⅰ）求b，c的值．（Ⅱ）求g（x）的单调区间与极值．2015-2016学年黑龙江省哈尔滨三十二中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知i是虚数单位，则=（）A．1﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+i，再由进行计算即可得到答案．【解答】解：故选D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握．2．已知复数z1=2+i，z2=1﹣i，则在z=z1•z2复平面上对应的点位于（）A．第四象限 B．第一象限 C．第二象限 D．第三象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．【解答】解：∵z1=2+i，z2=1﹣i，则z=z1•z2=（2+i）（1﹣i）=3﹣i．∴z=z1•z2在复平面上对应的点的坐标为（3，﹣1），位于第四象限．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念，是基础题．3．若集合A={x|x≥}，则∁R A=（）A ．（﹣∞，0]∪（，+∞） B ．（，+∞） C ．（﹣∞，0]∪[，+∞） D ．[，+∞） 【考点】补集及其运算；对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】欲求A 的补集，必须先求集合A ，利用对数的单调性求集合A ，然后得结论，【解答】解：∵ x≥，∴x≥，∴0＜x ，∴∁R A=（﹣∞，0]∪（，+∞）． 故选A ．【点评】本题主要考查补集及其运算，这里要注意对数中真数的范围，否则容易出错．4．计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的结果等于（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】观察所求的式子发现满足两角和与差的正弦函数公式sin αcos β﹣cos αsin β=sin （α﹣β），故利用此公式及特殊角的三角函数值化简即可求出原式的值．【解答】解：sin43°cos13°﹣cos43°sin13°=sin （43°﹣13°）=sin30°=．故选A【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．5．（理）积分（x2+sinx）dx=（）A．B．C．1 D．【考点】定积分．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】根据积分计算公式，求出被积函数x2+sinx的原函数，再根据微积分基本定理加以计算，即可得到本题答案．【解答】解：根据题意，可得（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）=（•13﹣cos1）﹣[•（﹣1）3﹣cos（﹣1）]=﹣cos1++cos1=．故选：B【点评】本题求一个函数的原函数并求定积分值，考查定积分的运算和微积分基本定理等知识，属于基础题．6．下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=2 【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的值域，得到A项正确；根据一个自然数的平方大于或等于0，得到B项不正确；根据对数的定义与运算，得到C项正确；根据正弦函数y=tanx的值域，得D 项正确．由此可得本题的答案．【解答】解：∵指数函数y=2t的值域为（0，+∞）∴任意x∈R，均可得到2x﹣1＞0成立，故A项正确；∵当x∈N*时，x﹣1∈N，可得（x﹣1）2≥0，当且仅当x=1时等号∴存在x∈N*，使（x﹣1）2＞0不成立，故B项不正确；∵当x=1时，lgx=0＜1∴存在x∈R，使得lgx＜1成立，故C项正确；∵正切函数y=tanx的值域为R∴存在锐角x，使得tanx=2成立，故D项正确综上所述，只有B项是假命题故选：B【点评】本题给出含有量词的几个命题，要求找出其中的假命题．着重考查了基本初等函数的值域、对数的运算和不等式的性质等知识，属于基础题．7．已知平面向量=（3，1），=（x，﹣3），且⊥，则x=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】常规题型．【分析】根据题意，⊥⇒=0，将向量坐标代入可得关系式，解可得答案．【解答】解：根据题意，⊥⇒=0，将向量坐标代入可得，3x+1×（﹣3）=0，解可得，x=1，故选：C．【点评】本题向量数量积的应用，判断向量垂直，简单题，仔细计算即可．8．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【考点】余弦定理的应用；三角形的形状判断．【专题】解三角形．【分析】由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围【解答】解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cosC=∴∴△ABC是钝角三角形故选C【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础试题9．函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数零点的判定定理求得函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间．【解答】解：由，以及及零点定理知，f（x）的零点在区间（﹣1，0）上，故选B．【点评】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．10．在△ABC中，若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，则A=（）A．90° B．60° C．135°D．150°【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】把已知条件的左边利用平方差公式化简后，与右边合并即可得到b2+c2﹣a2=bc，然后利用余弦定理表示出cosA的式子，把化简得到的b2+c2﹣a2=bc代入即可求出cosA的值，然后根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：由（a+b+c）（b+c﹣a）=（b+c）2﹣a2=b2+2bc+c2﹣a2=3bc，化简得：b2+c2﹣a2=bc，则根据余弦定理得：cosA===，又A∈（0，180°），所以A=60°．故选B【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，考查了整体代换的数学思想，是一道综合题．11．对于函数f （x ）=2sinxcosx ，下列选项中正确的是（ ）A ．f （x ）在（，）上是递增的B ．f （x ）的图象关于原点对称C ．f （x ）的最小正周期为2πD ．f （x ）的最大值为2【考点】二倍角的正弦．【分析】本题考查三角函数的性质，利用二倍角公式整理，再对它的性质进行考查，本题包括单调性、奇偶性、周期性和最值，这是经常出现的一种问题，从多个方面考查三角函数的性质和恒等变换．【解答】解：∵f（x ）=2sinxcosx=sin2x ，是周期为π的奇函数，对于A ，f （x ）在（，）上是递减的，A 错误；对于B ，f （x ）是周期为π的奇函数，B 正确；对于C ，f （x ）是周期为π，错误；对于D ，f （x ）=sin2x 的最大值为1，错误；故选B ．【点评】在三角函数中除了诱导公式和八个基本恒等式之外，还有两角和与差公式、倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化化积公式，此外，还有万能公式，在一般的求值或证明三角函数的题中，只要熟练的掌握以上公式，用一般常用的方法都能解决我们的问题．12．把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），然后将曲线y=cos（x+1）的图象和余弦曲线y=cosx进行对照，可得正确答案．【解答】解：将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），∵曲线y=cos（x+1）由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得，∴曲线y=cos（x+1）经过点（，0）和（，0），且在区间（，）上函数值小于0由此可得，A选项符合题意．故选A【点评】本题给出一个函数图象的变换，要我们找出符合的选项，着重考查了函数图象变换规律和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换公式等知识点，属于基础题．二、填空题13．函数的定义域为{x|x≤4且x≠1}．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据分式有意义的条件，分母不能为0，偶次根式，被开方数大于等于0，可求出函数的f（x）的定义域．【解答】解：∵∴解得x≤4且x≠1即函数的定义域为{x|x≤4且x≠1}故答案为：{x|x≤4且x≠1}【点评】本题主要考查了函数的定义域及其求法，解题的关键是注意分母不能为0，偶次根式被开方数大于等于0，属于基础题．14．已知，则f[f（10）]= 2 ．【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数的解析式直接求解函数值即可．【解答】解：，则f[f（10）]=f（lg10）=f（1）=12+1=2．故答案为：2．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．15．设cos（﹣80°）=k，那么tan100°=﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】先利用同角三角函数的基本关系式以及诱导公式求sin80°，然后化切为弦，求解即可．【解答】解：∵sin80°===，所以tan100°=﹣tan80°=﹣=﹣=﹣．故答案为：﹣．【点评】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用．16．平面内有3点A（0，﹣3），B（3，3），C（x，﹣1），且，则x的值是 1 ．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题．【分析】根据三个点的坐标，写出两个向量的坐标，根据两个向量之间的平行关系，写出平行的充要条件，写出关于x的方程，解方程即可．【解答】解：∵A（0，﹣3），B（3，3），C（x，﹣1），∴=（3，6），=（x﹣3，﹣4）∵，∴3（﹣4）﹣6（x﹣3）=0∴x=1，故答案为：1【点评】本题考查向量的平行的坐标表示，是一个基础题，题目的关键是写出两个要用的向量的坐标，利用向量的平行关系整理出结果．三、解答题：（共36分）17．已知，求下列各式的值：（1）的值；（2）的值．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）先求出tanα=，由此利用正切加法定理能求出．（2）化切为弦，能求出的值．【解答】解：（1）∵，∴t anα=1﹣tanα，解得tanα=，∴===3．（2）===﹣8．【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式的合理运用．18．在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理得cos∠ADC==，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=10，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=．【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用．属基础题．19．已知函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R．（1）函数y的最小正周期；（2）函数y的递增区间．【考点】三角函数的周期性及其求法；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的单调性．【专题】计算题．【分析】（1）先对函数解析式整理，然后利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式和两角和公式化简整理求得函数f（x）的解析式，进而利用正弦函数的性质性质求得函数的最小正周期．（2）根据（1）中函数的解析式，利用正弦函数的单调性求得函数递增时2x+的范围，进而求得x的范围，即函数f（x）的递增区间．【解答】解：（1）y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=（sin2x+cos2x）+sin2x+2cos2x=1+sin2x+（1+cos2x）=sin2x+cos2x+2=，∴函数的最小正周期T==π．（2）由，得（k∈Z），∴函数的增区间为（k∈Z）．【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，二倍角公式和两角和公式化简求值．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．20．设函数f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数．（Ⅰ）求b，c的值．（Ⅱ）求g（x）的单调区间与极值．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据g（x）=f（x）﹣f'（x）是奇函数，且f'（x）=3x2+2bx+c能够求出b 与c的值．（2）对g（x）进行求导，g'（x）＞0时的x的取值区间为单调递增区间，g'（x）＜0时的x的取值区间为单调递减区间．g'（x）=0时的x函数g（x）取到极值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x3+bx2+cx，∴f'（x）=3x2+2bx+c．从而g（x）=f（x）﹣f'（x）=x3+bx2+cx﹣（3x2+2bx+c）=x3+（b﹣3）x2+（c﹣2b）x﹣c 是一个奇函数，所以g（0）=0得c=0，由奇函数定义得b=3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=x3﹣6x，从而g'（x）=3x2﹣6，当g'（x）＞0时，x＜﹣或x＞，当g'（x）＜0时，﹣＜x＜，由此可知，的单调递增区间；的单调递减区间；g（x）在x=时取得极大值，极大值为，g（x）在x=时取得极小值，极小值为．【点评】本题主要考查对导数的理解．导数大于0时可求原函数的单调递增区间，导数小于0时可求原函数的单调递减区间，取到极值时导数为0．。
【K12教育学习资料】高三数学上学期期末质量抽测理试题(含解析)
昌平区2015－2016学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）2016.1考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分. 2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写.3． 答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔.请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分.4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液.保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损.不得在答题卡上做任何标记.5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）若集合{}2,1,0,1,2Α=--，{}2|1Βx x =>，则=ΑΒA ．{|11}x x x <->或B ．{}2,2-C ．{}2D ．{0}【考点】集合的运算【试题解析】所以【答案】B(2) 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是A ．y =1y x =C. 1()2xy = D. 12log y x = 【考点】函数的单调性与最值【试题解析】结合函数的图像与单调性易知：只有在区间上为增函数。
【答案】A(3) 已知两点(0,0),(2,0)O A -，以线段OA 为直径的圆的方程是 A ．22(1)4x y -+= B ．22(1)4x y ++=俯视图侧（左）视图正（主）视图 C ．22(1)1x y -+= D ．22(1)1x y ++= 【考点】圆的标准方程与一般方程 【试题解析】 以线段为直径的圆的圆心为OA 的中点（-1，0），半径为故所求圆的方程为：。
配套K12高三数学上学期期末考试试题 理(含解析)
北京市东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检高三数学 （理科）学校___________班级_____________姓名____________考号___________ 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合{1,2,3,4}U =，集合{1,3,4}A =，{2,4}B =，那么集合()U C A B =I （A ）{2} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{2,4} 【考点】集合的运算 【试题解析】，所以，故选A【答案】A（2）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于3 1侧（左）视图1俯视图（A ）32 cm3 （B ）3 cm 3 （C ）3 cm 3 （D ）9 cm 3【考点】空间几何体的三视图与直观图【试题解析】由三视图可知，直观图为底面积为，高的三棱锥，所以体积为，故选A【答案】A（3）设i 为虚数单位，如果复数z 满足(12)5i z i -=，那么z 的虚部为 （A ）1- （B ）1 （C ） i （D ）i - 【考点】复数综合运算【试题解析】，虚部为1，故选B【答案】B（4）已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2m c =，那么,,a b c 之间的大小关系为 （A ）b c a << （B ）b a c << （C ）a b c << （D ）c a b << 【考点】对数与对数函数指数与指数函数 【试题解析】因为，所以，，，即，故选C 【答案】C（5）已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“3πα>”是“k >（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【考点】充分条件与必要条件【试题解析】当时，，当时，，所以“”是“”的必要而不充分条件，故选B【答案】B（6）已知函数11,02()ln ,2x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨⎪>⎩，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是（A ） (1,)+∞ （B ）3[,)2+∞ （C ）32[,)e +∞ （D ）[ln 2,)+∞【考点】零点与方程【试题解析】在同一坐标系内作出函数与的图象（如图），关于x 的方程有两个不同的实，等价于直线与图象有两个不同的交点，所以的取值范围是，故选B【答案】B（7）过抛物线220)y pxp =>（的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，如果3BF =，BF AF >，23BFO π∠=，那么AF 的值为 ()A 1 ()B 32()C 3 （D ） 6 【考点】抛物线【试题解析】由已知直线的斜率为，则方程为，联立方程得，即因为，所以，依题意，所以，则，故选A【答案】A（8）如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，)1,0(∈x ，给出以下四个命题：① 四边形MENF 为平行四边形；② 若四边形MENF 面积)(x f s =,)1,0(∈x ,则)(x f 有最小值；③ 若四棱锥A MENF 的体积)(x p V =，)1,0(∈x ，则)(x p 常函数；④ 若多面体MENF ABCD -的体积()V h x =，1(,1)2x ∈，则)(x h 为单调函数． 其中假命题．．．为 ()A ①()B ②()C ③（D ）④【考点】立体几何综合 【试题解析】对①，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理，所以四边形为平行四边形。
【配套K12】高三数学上学期期末教学质量检测试题 理(扫描版)
潮州市2015-2016学年度第一学期期末高三级教学质量检测卷理科数学卷高三理科数学:高三理科数学第7题双曲线方程为：2221(0)yx bb-=>潮州市2015-2016学年度第一学期期末高三级教学质量检测卷数学（理科）参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．简析：1．由210x -≥解得1x ≥或1x ≤-，于是(,1][1,)B =-∞-+∞，故)1,1(-=B C R ，所以)1,0()(=⋂B C A R ．故选B ． 2．由于13(3)33i i iz i i i+-===--，于是()1z z i i ⋅=⋅-=．故选C ． 3．经过循环后，a 的分别为4、16、256，由于33log 2564log 44=>，于是256a =． 故选C ．4．如图：过点D 分别作//DE AC ，//DF AB ，交点分别 为E ，F ，由已知得13AE AB =，23AF AC =， 故12123333AD AE AF AB AC a b =+=+=+．故选D ．5．抛物线28y x =的焦点为(2,0)，由题意得22c e a a===，解得1a =，又222413b c a =-=-=．故双曲线的标准方程为2213y x -=．故选A ． 6．由题意及正弦曲线的对称性可知12222x x k πωϕπ+⋅+=+，于是12()12x x f +=． 故选D ．7．圆22(2)1x y +-=的圆心为(0,2)，半径1r =，于是圆心到双曲线的两条渐近线距离相等，故只需考虑其中一条渐近线与圆位置关系就可以，双曲线的渐近线方程为y bx =±，考虑y b x =，即0b x y -=．由题意得1≥，解得23b ≤，于是22213c a c -=-≤，解02c <≤，又双曲线的离心率ce c a==，且1e >，故12e <≤． 故选A ．8．2sin(2)cos[(2)]cos(2)2cos ()162636πππππθθθθ-=--=+=+-212(13=-=-．故选C ．9．222'()2432()32f x x ax x a a =-++=--++，因为()f x '的最大值为5，所以2325a +=，又0a >，故1a =，13(1)3f =，'(1)5f =，所以所求切线方程为135(1)3y x -=-，即15320x y --=．故选B ．10．由三视图知该几何体是由一个半圆锥与一个四棱锥的组合体，于是2111122233V π=⨯⨯⨯⨯⨯=A ． ，所以所求的概率为．故选简析：13．画出满足条件可行域，将直线3y x =-向上平移，可知当直线经过点(1,0)时，z 取得最大值为3．14．由题意得2411224443(2)(2)280C a C C a a a ++=，即44a =，又0a >，于是a =15．由直角三角形斜边上的中线的性质及题意可得SC 中点F (如图)就是球心，即SC 就是球O 的直径，由已知可得2SC =．于是球O 的表面积2414S ππ=⨯=．16．由正弦定理，sin cos 0b A B =可化为sin 0B B =，即tan B =又(0,)B π∈，于是3B π=，又2b a c =，所以2222cos b a c ac B =+-可化为224()b a c =+，于是2a cb+=． 三、解答题：（共5小题，每题12分，共60分） 17．（本小题共12分）解：(Ⅰ) 设等差数列{}n a 的公差为d ．∵215313a a a +=，∴233123a a =，又0n a >，于是36a =．……………………………………………2分∵17747()7562a a S a +===，∴48a =，…………………………4分 ∴432d a a =-=，故132642a a d =-=-=．∴1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=．…………………….…………6分（Ⅱ）∵11n n n b b a ++-=且2n a n =，∴12(1)n n b b n +-=+．当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L22(1)222(1)n n n n =+-++⨯+=+L ．…………..8分当1n =时，12b =满足上式．故(1)n b n n =+．……………………………………….………………9分∴1111(1)1n b n n n n ==-++ …………………………………………10分 ∴12111111111111(1)()()()22311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L1111n n n =-=++．……………………………………….………12分18．（本小题共12分）解：(Ⅰ)∵在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率的概率是35． ∴喜欢户外活动的男女员工共30，其中女员工10，男员工20人，不喜欢户外活动的男女员工共20，其中男员工5，女员工15人．………..2分分（Ⅱ）∵2250(2015105)8.3337.87930202525K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关；. …………………….…5分 （Ⅲ）ξ所有可能取值为0，1，2，3．………………….…………………………6分363101(0)6C P C ξ===； 12463101(1)2C C P C ξ===； 21463103(2)10C C P C ξ===； 343101(3)30C P C ξ===．……….…………10分 ∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望11316()0123 1.26210305E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==．…..…12分ACDE F 19题图19．（本小题共12分） 方法一：（Ⅰ）证明：∵AE ⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ． ∴AE ⊥BF ，∵BF ⊥AC ，AE AC A =， ∴BF ⊥平面AE C ，DF ⊂平面AEC ，∴BF ⊥DF ，……………………………………………..…2分 ∵390ABC BAC ∠=∠=，又44AC CD ==， ∴30BAC ∠=．1CD =．∴1sin 30422BC AC ==⨯=，又BF ⊥AC ．∴1cos 60212CF BC CD ==⨯==，又CD ∥AE ，AE ⊥平面ABC ，∴CD ⊥平面ABC ．又AC ⊂平面ABC ．∴CD ⊥AC ，∴45DFC ∠=． 又3AF AC CF AE =-==，∴45EFA ∠=，∴90EFD ∠=，即DF ⊥EF ．……………………………..…4分 又BF EF F =，BF 、EF ⊂平面BEF ． ∴DF ⊥平面BEF ，BE ⊂平面BEF ．∴DF ⊥BE ；………………………………………………………6分（Ⅱ）如图，过点F 作FG DE ⊥于点G ，连接BG ．由（Ⅰ）知BF ⊥平面AEC ，又DE ⊂平面AEC ， (所以BF DE ⊥．又BF FG F =，BF 、FG ⊂平面BFG ， 所以DE ⊥平面BFG ．又BG ⊂平面BFG ，) 所以BG FG ⊥．(三垂线定理)故BGF ∠二面角B DEF --的平面角．…………………8分 在Rt EAF∆中，EF== 在RtFCD ∆中，FD =.……9分在Rt EFD ∆中，ED ===由EFFD FG ED ⋅=⋅得5EF FD FG ED ⋅===． (10)分 在Rt BFC∆中，BF=在Rt BFG ∆中，BG===． (11)分所以cos 4FG BFG BG ∠=== ∴二面角B DE F --的平面角的余弦值为46. …….………..………12分方法二：DD过F 作//Fz AE ，由AE ⊥平面ABC 可知Fz ⊥平面ABC ， 又AC 、BF ⊂平面ABC ，于是Fz AC ⊥，Fz BF ⊥， 又BF ⊥AC ，∴BF 、AC 、Fz 两两垂直．以F 为原点，FA 、FB 、Fz 依次为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（如图）．…7分 由(Ⅰ)可得tan 3033BF AF =⨯=⨯= 于是(0,0,0)F ，(0,3,0)B ，(1,0,1)D -，(3,0,3)E ，(1,,1)BD =-，(3,,3)BE =，(0,,0)FB =．由(Ⅰ)知是平面DEF 的一个法向量． 设(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+--=⋅，，033303z y xz y x 取2z =，得到(1,3,2)n =-．………………………………10分∴cos 4||||2n FB n FB n FB ⋅<>===⋅，，…………………11分又二面角B DE F --是锐二面角． ∴二面角B DE F --的平面角的余弦值为46. …….……………12分 方法二：(Ⅰ)证明：过F 作//Fz AE ，由AE ⊥平面ABC 可知Fz ⊥平面ABC ，又AC 、BF ⊂平面ABC ，于是Fz AC ⊥，Fz BF ⊥， 又BF ⊥AC ，∴BF 、AC 、Fz 两两垂直．以F 为原点，FA 、FB 、Fz 依次为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（如图）．…1分∵390ABC BAC ∠=∠=，44AC CD ==，3AE =，∴1CD =，30BAC ∠=．∴122BC AC ==，1cos 60212FC BC =⋅=⨯=，3AF AC FC =-=， BF=．……………………………………………………3分于是(0,0,0)F，(0,0)B ，(1,0,1)D -，(3,0,3)E ，(1,0,1)FD =-，(3,3)BE=．故130(130FD BE ⋅=-⨯+⨯+⨯=．所以DF ⊥BE ……………………..…………………6(Ⅱ)由(Ⅰ)知(3,0,3)FE =，(1,BD =-，(3,3)BE =，(0,0)FB =．于是030030FB FE ⋅=⨯+⨯=，所以FB FE ⊥，又F B ⊥AC ．所以FB 是平面DEF 的一个法向量．…………………………………..…8分设(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+--=⋅，，033303z y x n z yx n取2z =，得到(1,3,2)n =-．…………………………………....…10分∴cos 4||||2n FB n FBn FB ⋅<>===⋅，．又二面角B DE F --是锐二面角． ∴二面角B DE F --的平面角的余弦值为46. …………………………12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得2221a cb a bc ⎧-=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩……………………………………………….1分解得a =1c =. ……………………………………………………3分所以所求椭圆方程为22132x y +=………………………………………4分 （Ⅱ）方法一：当直线AB 与x 轴垂直时，||AB =， 此时3AOB S ∆=不符合题意故舍掉；…………………………………..5分 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为(1)y k x =+，由22132(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-=………6分 设1122(,),(,)A x yB x y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，………………….…..7分∴||AB ====== =分 原点O 到直线的AB 距离d =，…………………………..…10分∴三角形的面积1||2AOBS AB d∆===．由4AOBS∆=得22k=，故k=分∴直线AB的方程为1)y x=+，或1)y x=+．y-=，y+=…………………………….12分方法二：由题意知直线AB的斜率不为O，可设其方程为1ny x=+．………….5分由221132ny xx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x得22(23)440n y ny+--=．…………………….6分设1122(,),(,)A x yB x y，则122423ny yn+=+，122423y yn-=+．…….7分∴121||||2AOBS OF y y∆=⋅-=分又AOBS∆=，所以212129()42y y y y+-=．…………………….……..9分∴2224169()23232nn n+=++．解得2n=±．………………..…….….11分∴直线AB1y x=+，或1y x=+，即：210x+=，或210x+=．………………………..12分21．（本小题共12分）解：（Ⅰ）∵()lnaf x xx=-，∴221'()a x af xx x x+=--=-．………………………………….….. 1分由题意得'(1)0f=，即11a+-=，解得1a=-．…………….. 2分经检验，当1a=-时，函数()f x在1x=取得极大值．……….. 3分∴1a=-.………………………………………………………..……….4分（Ⅱ）设()()35ln35ag x f x x x xx=+-=-+-，则函数()g x的定义域为(0,)+∞．∴当0x>时，()0g x≥恒成立．于是(1)20g a=-≥，故2a≥．………….…………………….……5分∵22213'()3a x x ag xx x x--=--+=．∴方程'()0g x=有一负根1x和一正根2x，12x x<<．其中1x不在函数定义域内．当2(0,)x x ∈时，'()0g x <，函数()g x 单调递减． 当2(,)x x ∈+∞时，'()0g x >，函数()g x 单调递增．∴()g x 在定义域上的最小值为2()g x ．……………………………………….……7分依题意2()0g x ≥．即2222()ln 350ag x x x x =-+-≥．又22230x x a --=， 于是2231a x x =-，又02>x a ，所以312>x ．∴2222()31ln 350g x x x x =--+-≥，即2266ln 0x x --≥，…………..……9分令()66ln h x x x =--，则161'()6x h x x x-=-=．当1(,)3x ∈+∞时，'()0h x >，所以)(x h 是增函数．又(1)66ln10h =--=，所以2266ln 0x x --≥的解集为[1,)+∞． (11)分又函数23y x x =-在1(,)6+∞上单调递增， ∴222233112a x x =-≥⨯-=．故a 的取值范围是[2,)+∞．……………………………….……………………12分解法二：由于()ln af x x x=-的定义域为(0,)+∞，于是()53f x x ≥-可化为x x x x a 53ln 2+-≥．……………………..……5分设x x x x x g 53ln )(2+-=．则'()ln 66g x x x =-+．设()'()h x g x =，则116'()6xh x x x-=-=． 当(1,)x ∈+∞时，'()0h x <，所以()h x 在[1,)+∞减函数． 又(1)'(1)0h g ==，∴当(1,)x ∈+∞时，()(1)0h x h <=，即当(1,)x ∈+∞时，'()0g x <， ∴)(x g 在[1,)+∞上是减函数．∴当[1,)x ∈+∞时，()(1)1ln1352g x g ≤=⨯-+=.………….……..…8分 当(0,1)x ∈时，先证1ln -<x x ，设)1(ln )(--=x x x F ，1'()0xF x x-=>，)(x F 是增函数且0)1(=F ，0)(<x F ，即1ln -<x x ， 当(0,1)x ∈时，22)1(253)1(53ln )(222<+--=+--<+-=x x x x x x x x x x g …..11分 综上所述()g x 的最大值为2．∴a 的取值范围是[2,)+∞．………………………………………….………12分选做题（共10分）22．（本小题共10分） 证明：（Ⅰ）连接OC ，因为OA OC =，所以OCA OAC ∠=∠．………….…..2分又因为AD CE ⊥，所以90ACD CAD ∠+∠=．又因为AC 平分BAD ∠，所以OAC CAD ∠=∠，…………….…..4分所以90OCA ACD ∠+∠=o ，即OC CE ⊥．所以CE 是O e 的切线……………………………………………….….6分 （Ⅱ）连接BC ，因为AB 是圆O 的直径，所以090BCA ADC ∠=∠=，又因为OAC CAD ∠=∠，…………………………………….………8分 所以ABC ∆∽ACD ∆所以AC ADAB AC=，即2AC AB AD =⋅………………………………..10分 23．（本小题共10分）解：(Ⅰ)圆C 的参数方程化为普通方程是22(1)1x y -+=．即2220x y x +-=……………………………………………………….…2分又222x y ρ=+，cos x ρθ=．于是22cos 0ρρθ-=，又0ρ=不满足要求．所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=……………………………….……5分 (Ⅱ)因为射线:4OM πθ=的普通方程为(0)y x x =≥．……………………6分联立方程组22,0(1)1y x x x y =≥⎧⎨-+=⎩消去y 并整理得20x x -=． 解得1x =或0x =，所以P 点的直角坐标为(1,1)……………………8分所以P点的极坐标为,)4π…………………………….……………10分解法2：把4πθ=代入2cos ρθ=得2cos4πρ==所以P点的极坐标为)4π………………..……………10分24．（本小题共10分） 解：（Ⅰ）若1a =时，则()|31|3f x x x =-++．当13x ≥时，()5f x ≤可化为3135x x -++≤， 解之得1334x ≤≤；……………………………………………….…2分 当13x <时，()5f x ≤可化为3135x x -+++≤， 解之得1123x -≤<.……………………………………………….……4分 综上所述，原不等式的解集为13{|}.24x x -≤≤……………………5分 （Ⅱ）1(3)2,()3()|31|31(3) 4.()3a x x f x x ax a x x ⎧++≥⎪⎪=-++=⎨⎪-+<⎪⎩函数()f x 有最小值的充要条件为3030a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得33a -≤≤….…9分∴实数a的取值范围是[3,3] …………………………………….……10分。
【配套K12】高三数学上学期期末试卷 理(含解析)5
2015-2016学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共12小题1．集合P={x|＞0}，Q={x|y=}，则P∩Q=（）A．（1，2] B．[1，2] C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．[1，2）2．已知复数，则下列说法正确的是（）A．z的虚部为4iB．z的共轭复数为1﹣4iC．|z|=5D．z在复平面内对应的点在第二象限3．下列命题中正确命题的个数是（）（1）cosα≠0是的充分必要条件（2）f（x）=|sinx|+|cosx|，则f（x）最小正周期是π（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变（4）设随机变量ζ服从正态分布N（0，1），若P（ζ＞1）=p，则．A．4 B．3 C．2 D．14．某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是2，该几何体的体积为（）A．B．C．4 D．5．函数y=log（sin2xcos﹣cos2xsin）的单调递减区间是（）A．（kπ+，kπ+），k∈Z B．（kπ+，kπ+），k∈ZC．（kπ﹣，kπ+），k∈Z D．（kπ+，kπ+），k∈Z6．执行如图程序框图其输出结果是（）A．29 B．31 C．33 D．357．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）A．B．C．D．58．哈六中高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为（）A．484 B．472 C．252 D．2329．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（）A．B．C．D．10．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线经过双曲线的左焦点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．在平行四边形ABCD中，，，若将其沿AC折成直二面角D﹣AC﹣B，则三棱锥D﹣ACB的外接球的表面积为（）A．16π B．8πC．4πD．2π12．已知函数f（x）=﹣lnx+x+h，在区间上任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则实数h的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，e﹣3）C．（﹣1，+∞）D．（e﹣3，+∞）二、填空题：每小题5分，共20分13．在（n∈N*）的展开式中，所有项系数的和为﹣32，则的系数等于．14．如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，点P在射线OC上，则•的最小值为．15．椭圆的左焦点为F，A（﹣a，0），B（0，b），C（0，﹣b）分别为其三个顶点．直线CF与AB交于点D，若椭圆的离心率，则tan∠BDC=．16．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=2，b=a，则△ABC面积的最大值为．三、解答题：共70分17．已知数列的前n项和为S n，且满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=log2a n，，且数列{c n}的前n项和为T n，求T n的取值范围．18．为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环（Ⅱ）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X表示这3人中通过预选赛的人数，求X的分布列与数学期望．附：K2=19．△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90°，D、E分别是边AC和AB的中点，现将△ADE沿DE折起，使面ADE⊥面DEBC，H、F分别是边AD和BE的中点，平面BCH与AE、AF分别交于I、G两点．（Ⅰ）求证：IH∥BC；（Ⅱ）求二面角A﹣GI﹣C的余弦值；（Ⅲ）求AG的长．20．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，圆x2+y2=4上有一动点P，P在x轴的上方，C（1，0），直线PA交椭圆E于点D，连结DC，PB．（1）若∠ADC=90°，求△ADC的面积S；（2）设直线PB，DC的斜率存在且分别为k1，k2，若k1=λk2，求λ的取值范围．21．设函数．（Ⅰ）当时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）令，（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=0，b=﹣1，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值．选作题：考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知C点在⊙O直径的延长线上，CA切⊙O于A点，DC是∠ACB的平分线，交AE于F 点，交AB于D点．（1）求∠ADF的度数；（2）若AB=AC，求AC：BC．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2015•海南模拟）在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（θ为参数）若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=（其中t为常数）．（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；（2）当t=﹣2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．选修4-5：不等式选讲24．（2015•哈尔滨校级三模）已知实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．（Ⅰ）证明：（1+a）（1+b）（1+c）≥8；（Ⅱ）证明：．2015-2016学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共12小题1．集合P={x|＞0}，Q={x|y=}，则P∩Q=（）A．（1，2] B．[1，2] C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．[1，2）【考点】其他不等式的解法；交集及其运算．【专题】不等式的解法及应用；集合．【分析】利用不等式的解法求出集合P，函数的定义域求出集合Q，然后求解交集即可．【解答】解：集合P={x|＞0}={x|x＞1或x＜﹣3}，Q={x|y=}={x|﹣2≤x≤2}，P∩Q={x|1＜x≤2}=（1，2]．故选：A．【点评】本题考查集合的交集的求法，分式不等式的解法，考查计算能力．2．已知复数，则下列说法正确的是（）A．z的虚部为4iB．z的共轭复数为1﹣4iC．|z|=5D．z在复平面内对应的点在第二象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z，然后逐一核对四个选项得答案．【解答】解：∵=，∴z的共轭复数为1﹣4i．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的概念，是基础题．3．下列命题中正确命题的个数是（）（1）cosα≠0是的充分必要条件（2）f（x）=|sinx|+|cosx|，则f（x）最小正周期是π（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变（4）设随机变量ζ服从正态分布N（0，1），若P（ζ＞1）=p，则．A．4 B．3 C．2 D．1【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】（1）cosα≠0，根据图象可得α≠kπ；（2）根据诱导公式可知f（x）最小正周期是；（3）根据方差的计算公式可得结论；（4）利用正态分布的性质可解．【解答】解：（1）cosα≠0，则α≠kπ，故是的充分不必要条件，故错误；（2）f（x）=|sinx|+|cosx|，则f（x）最小正周期是，故错误，（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则每个数与平均数的差的平方不变，故样本的方差不变，故正确；（4）设随机变量ζ服从正态分布N（0，1），若P（ζ＞1）=p，由图象的对称性可得，若P（ξ＞1）=P，则P（ξ＜﹣1）=P，∴P（﹣1＜ξ＜1）=1﹣2P，则，故正确．故选：C．【点评】考查了余弦函数的性质，周期性，方差的计算和正态分布的性质．4．某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是2，该几何体的体积为（）A．B．C．4 D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其底面面积S=×2×2=2，高h=2，故几何体的体积V==，故选：A．【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．5．函数y=log（sin2xcos﹣cos2xsin）的单调递减区间是（）A．（kπ+，kπ+），k∈Z B．（kπ+，kπ+），k∈ZC．（kπ﹣，kπ+），k∈Z D．（kπ+，kπ+），k∈Z【考点】两角和与差的正弦函数；复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】先确定定义域可得2x﹣≥2kπ，按“同增异减”的原则，确定2kπ≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，从而可得解．【解答】解：∵sin2xcos﹣cos2xsin=sin（2x﹣）＞0，∴2kπ+π＞2x﹣＞2kπ，又∵函数y=log（sin2xcos﹣cos2xsin）单调递减，∴由2kπ＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z可解得函数y=log（sin2xcos﹣cos2xsin）的单调递减区间是：（kπ+，kπ+），k∈Z故选：B．【点评】求复合函数y=f（g（x））的单调区间的步骤一般为：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．本题属于中档题．6．执行如图程序框图其输出结果是（）A．29 B．31 C．33 D．35【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，a=3，不满足输出条件，再次执行循环体后，a=7，不满足输出条件，再次执行循环体后，a=15，不满足输出条件，再次执行循环体后，a=31，满足输出条件，故输出结果为31，故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）A．B．C．D．5【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】由题意作出其平面区域，（x﹣2）2+y2可看成阴影内的点到点A（2，0）的距离的平方，求阴影内的点到点A（2，0）的距离的范围可得．【解答】解：由题意作出其平面区域，（x﹣2）2+y2可看成阴影内的点到点A（2，0）的距离的平方，由图象知点B（0，1）到点A的距离最短，故（x﹣2）2+y2的最小值为（0﹣2）2+12=5；故选：D．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．8．哈六中高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为（）A．484 B．472 C．252 D．232【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】排列组合．【分析】由分类计数原理，故分为2类，不选三班的同学，利用间接法，没有条件得选择3人，再排除3个同学来自同一班，选三班的一位同学，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，根据分类计数原理，即可得到答案【解答】解：分两类，不选三班的同学，利用间接法，没有条件得选择3人，再排除3个同学来自同一班，有﹣3=208选三班的一位同学，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，有=264种，根据分类计数原理，得208+364=472，故选：B．【点评】本题考查了分类计数原理，关键是如何分类，属于中档9．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据题意，区域D：表示矩形，面积为3．到坐标原点的距离小于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆内，求出阴影部分的面积，即可求得本题的概率．【解答】解：区域D：表示矩形，面积为3．到坐标原点的距离小于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆内，则图中的阴影面积为+=∴所求概率为P=故选：D．【点评】本题给出不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使该到原点距离小于2的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点，属于基础题．10．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线经过双曲线的左焦点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】确定抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与准线方程，利用点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，求出M的坐标，代入双曲线方程，即可求得结论．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），其准线方程为x=﹣，∵准线经过双曲线的左焦点，∴c=；∵点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，∴M的横坐标为，代入抛物线方程，可得M的纵坐标为±p，将M的坐标代入双曲线方程，可得﹣=1，∴a=p，∴e==1+．故选：C．【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查曲线的交点，考查双曲线的几何性质，确定M的坐标是关键．11．在平行四边形ABCD中，，，若将其沿AC折成直二面角D﹣AC﹣B，则三棱锥D﹣ACB的外接球的表面积为（）A．16π B．8πC．4πD．2π【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】综合题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由已知中，可得AC⊥CB，沿AC折成直二面角D﹣AC﹣B，平面DAC⊥平面ACB，可得三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为BD，进而根据，求出三棱锥D﹣ACB的外接球的半径，可得三棱锥D﹣ACB的外接球的表面积．【解答】解：平行四边形ABCD中，∵，∴AC⊥CB，沿AC折成直二面角D﹣AC﹣B，∴平面DAC⊥平面ACB，三棱锥D﹣ACB的外接球的直径为DB，∴BD2=AD2+AC2+BC2=2BC2+AC2=4∴外接球的半径为1，故表面积是4π．故选：C．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，平面向量数量积的运算，其中根据已知求出三棱锥D﹣ACB的外接球的半径是解答的关键．12．已知函数f（x）=﹣lnx+x+h，在区间上任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则实数h的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，e﹣3）C．（﹣1，+∞）D．（e﹣3，+∞）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用．【分析】由条件可得2f（x）min＞f（x）max且f（x）min＞0，再利用导数求得函数的最值，从而得出结论．【解答】解：任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，等价于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可转化为2f（x）min＞f（x）max且f（x）min＞0．令得x=1．当时，f'（x）＜0；当1＜x＜e时，f'（x）＞0；所以当x=1时，f（x）min=f（1）=1+h，==e﹣1+h，从而可得，解得h＞e﹣3，故选：D．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的恒成立问题，求函数的最值，属于中档题．二、填空题：每小题5分，共20分13．在（n∈N*）的展开式中，所有项系数的和为﹣32，则的系数等于﹣270 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】根据题意，在中，令x=1可得，其展开式所有项系数的和为（﹣2）n，结合题意可得n的值，进而由二项式定理可得其展开式的通项，令的指数为2，可得r的值，将r的值代入展开式的通项，可得答案．【解答】解：在中，令x=1可得，其展开式所有项系数的和为（﹣2）n，又由题意可得，（﹣2）n=﹣32，则n=5，则（﹣3）5的展开式的通项为T r+1=C5r（）5﹣r（﹣3）r，令5﹣r=2，可得r=3，则含的为T4=C53（）2（﹣3）3=﹣270，故答案为﹣270．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是用赋值法求出n的值，由此得到该二项式展开式的通项．14．如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，点P在射线OC上，则•的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，，设=t≥0．可得•=•=t2﹣t=﹣，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：如图所示，，设=t≥0．∴•=•=﹣=t2﹣t=﹣．当t=时取等号，∴•的最小值为﹣．故答案为：．【点评】本题考查了向量的三角形法则、向量数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．椭圆的左焦点为F，A（﹣a，0），B（0，b），C（0，﹣b）分别为其三个顶点．直线CF与AB交于点D，若椭圆的离心率，则tan∠BDC=．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由椭圆的离心率得到a，b，c之间的关系，利用这些关系表示出∠BAO、∠CFO的正切值，由图得∠BDC=∠BAO+∠CFO，利用两角和的正切求出tan∠BDC的值．【解答】解：由题意得离心率e=，则设c=m，a=2m（m＞0），由a2=b2+c2得，b2=a2﹣c2=3m2，解得b=，由图可知，∠DFA=∠CFO，且∠BDC=∠BAO+∠DFA，∴∠BDC=∠BAO+∠CFO，又tan∠BAO==，tan∠CFO=，则tan∠BDC=tan（∠BAO+∠OFC）==．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查两角和与差的正切函数，训练了平面几何在解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．16．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=2，b=a，则△ABC面积的最大值为2．【考点】三角形的面积公式．【专题】方程思想；综合法；解三角形．【分析】先利用余弦定理求出cosC的值然后利用三角形面积公式可知S=a2sinC，然后化简变形求出S的最大值，注意取最大值时a的值．【解答】解：由公式c2=a2+b2﹣2abcosC和c=2，b=a得4=a2+2a2﹣2a2cosC可推出cosC=，又由公式S面积=absinC和b= a 得S=a2sinC=•=，当a2=12时，S面积取最大值2．三角形三边a+b＞c，b﹣a＜c所以得2+2＞a＞2﹣2，所以a=2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了三角形中的几何计算，同时考查了余弦定理和二次函数的最值等有关基础知识，属于中档题．三、解答题：共70分17．已知数列的前n项和为S n，且满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=log2a n，，且数列{c n}的前n项和为T n，求T n的取值范围．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】（1）由，可求a1，然后由n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1可得a n=2a n﹣1，根据等比数列的通项可求（2）由，而，利用裂项可求T n，即可求解【解答】解：（1）当n=1时，，解得a1=2当n≥2时，…①…②②﹣①得即a n=2a n﹣1∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列∴（2）=∵n∈N*∴∴【点评】本题主要考查了递推公式，a n=s n﹣s n﹣1，（n≥2）在数列的通项求解中的应用，等比数列的通项公式的应用及裂项求和方法的应用，属于数列知识的综合应用．18．为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环（Ⅱ）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X表示这3人中通过预选赛的人数，求X的分布列与数学期望．附：K2=【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）由题意求出K2，由此得到有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关．（II）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（I）由题意： K2≈7.822K2≈7.822＞6.635，∴有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关．（II）由题意X的可能取值为0，1，2，3，，，，，E（X）==2．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．19．△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90°，D、E分别是边AC和AB的中点，现将△ADE沿DE折起，使面ADE⊥面DEBC，H、F分别是边AD和BE的中点，平面BCH与AE、AF分别交于I、G两点．（Ⅰ）求证：IH∥BC；（Ⅱ）求二面角A﹣GI﹣C的余弦值；（Ⅲ）求AG的长．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的性质；点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）证明ED∥BC，推出ED∥平面BCH，利用直线与平面平行的性质定理以及平行公理证明IH∥BC．（Ⅱ）建立空间右手直角坐标系，求出平面AGI的一个法向量，平面CHI的一个法向量，利用向量的数量积求解二面角A﹣GI﹣C的余弦值．（Ⅲ）法（一），通过，解得，然后求解即可．法（二）取CD中点J，连接AJ交CH于点K，连接HJ，通过△HKJ与△CKA相似，求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：因为D、E分别是边AC和AB的中点，所以ED∥BC，因为BC⊂平面BCH，ED⊄平面BCH，所以ED∥平面BCH因为ED⊄平面BCH，ED⊂平面AED，平面BCH∩平面AED=HI所以ED∥HI又因为ED∥BC，所以IH∥BC．…（4分）（Ⅱ）解：如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得，D（0，0，0），E（2，0，0），A（0，0，2），F（3，1，0），C（0，2，0），H（0，0，1），，，，，设平面AGI的一个法向量为，则，，令z1=1，解得x1=1，y1=﹣1，则设平面CHI的一个法向量为，则，，令z2=﹣2，解得y1=﹣1，则，，所以二面角A﹣GI﹣C的余弦值为…（8分）（Ⅲ）解：法（一），设则，解得，…（12分）法（二）取CD中点J，连接AJ交CH于点K，连接HJ，△HKJ与△CKA相似，得，易证HI∥GK，所以…（12分）【点评】本题考查空间向量求解二面角的平面角的大小，直线与平面平行的性质定理以及判定定理的应用，空间距离的求法，考查计算能力以及空间想象能力．20．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，圆x2+y2=4上有一动点P，P在x轴的上方，C（1，0），直线PA交椭圆E于点D，连结DC，PB．（1）若∠ADC=90°，求△ADC的面积S；（2）设直线PB，DC的斜率存在且分别为k1，k2，若k1=λk2，求λ的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设D（x，y），利用勾股定理和两点间的距离公式即可关于x，y的方程，与椭圆的方程联立即可解得点D的坐标，利用S△ADC=即可得出；（2）设P（x0，y0），得到直线PA的方程，与椭圆的方程联立及利用点P在圆上即可表示出直线PB、DC的斜率，利用k1=λk2，及反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）设D（x，y），∵∠ADC=90°，∴AD2+DC2=AC2，∴（x+2）2+y2+（x﹣1）2+y2=9，化为x2+y2+x﹣2=0 ①．∵点D在椭圆E上，∴②．联立①②得，消去y得3x2+4x﹣4=0，又﹣2＜x＜2，解得．代入椭圆方程解得．∴S△ADC==．（2）设P（x0，y0），则直线PA的方程为，代入椭圆的方程得到，∵，∴，化为．此方程有一个实数根﹣2，设D（x1，y1），则，代入直线PA的方程得，∴，k2===．∵k1=λk2，∴==，∵﹣2＜x0＜2，，∴λ的取值范围为（﹣∞，0）∪（0，3）．【点评】熟练掌握圆锥曲线的定义、方程及其性质、勾股定理、两点间的距离公式、斜率公式、直线与圆锥曲线的相交问题转化为方程组、一元二次方程的根与系数的关系、反比例函数的单调性是解题的关键．21．设函数．（Ⅰ）当时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）令，（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=0，b=﹣1，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）函数的定义域是（0，+∞），把代入函数解析式，求其导数，根据求解目标，这个导数在函数定义域内只有一个等于零的点，判断这唯一的极值点是极大值点即可；（II）即函数F（x）的导数在（0，3]小于或者等于恒成立，分离参数后转化为函数的最值；（III）研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程2mf （x）=x2有唯一实数解，得到m所满足的方程，解方程求解m．【解答】解：（I）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞），当时，，（2′）令f'（x）=0，解得x=1．（∵x＞0）因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．所以f（x）的极大值为，此即为最大值…（4分）（II），x∈（0，3]，则有≤，在x0∈（0，3]上恒成立，所以a≥，x0∈（0，3]，当x0=1时，取得最大值，所以a≥…（8分）（III）因为方程2mf（x）=x2有唯一实数解，所以x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解，设g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，则．令g'（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．因为m＞0，x＞0，所以（舍去），，当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减，当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增当x=x2时，g'（x2）=0，g（x）取最小值g（x2）．（12′）则既所以2mlnx2+mx2﹣m=0，因为m＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*）设函数h（x）=2lnx+x﹣1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，即，解得．…（12分）【点评】本题考查导数在研究函数性质、研究不等式和方程问题中的综合运用，试题的难度不大，但考查点极为全面．本题的难点是第三问中方程解的研究，当函数具有极值点时，在这个极值点左右两侧，函数的单调性是不同的，这样就可以根据极值的大小，结合函数图象的变化趋势确定方程解的个数，如本题中函数在定义域内有唯一的极值点，而且是极小值点，也就是最小值点，如果这个最小值小于零，函数就出现两个零点，方程就有两个不同的实数解，只有当这个最小值等于零时，方程才有一个实数解，而最小值等于零的这个极小值点x满足在此点处的导数等于零，函数值也等于零，即我们的解析中的方程组，由这个方程组求解m使用了构造函数通过函数的性质得到x2的方法也是值得仔细体会的技巧．选作题：考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知C点在⊙O直径的延长线上，CA切⊙O于A点，DC是∠ACB的平分线，交AE于F 点，交AB于D点．（1）求∠ADF的度数；（2）若AB=AC，求AC：BC．【考点】弦切角；与圆有关的比例线段．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）由弦切角定理可得∠B=∠EAC，由DC是∠ACB的平分线，可得∠ACD=∠DCB，进而∠ADF=∠AFD，由BE为⊙O的直径，结合圆周角定理的推论，可得∠ADF的度数；（2）由（1）的结论，易得△ACE∽△BCA，根据三角形相似的性质可得，又由AB=AC，可得AC：BC=tanB，求出B角大小后，即可得到答案．【解答】（1）因为AC为⊙O的切线，所以∠B=∠EAC因为DC是∠ACB的平分线，所以∠ACD=∠DCB所以∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，即∠ADF=∠AFD，又因为BE为⊙O的直径，所以∠DAE=90°．所以．（2）因为∠B=∠EAC，所以∠ACB=∠ACB，所以△ACE∽△BCA，所以，在△ABC中，又因为AB=AC，所以∠B=∠ACB=30°，Rt△ABE中，【点评】本题考查的知识点是弦切角，三角形相似的性质，其中（1）中是要根据已知及弦切角定理结合等量代换得到∠ADF=∠AFD，（2）的关键是根据三角形相似的性质得到=tanB．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2015•海南模拟）在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（θ为参数）若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin（θ+）=（其中t为常数）．（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；（2）当t=﹣2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．【专题】直线与圆．【分析】（1）把曲线M的参数方程化为 y=x2﹣1，把曲线N的极坐标方程化为 x+y﹣t=0．曲线N与曲线M只有一个公共点，数形结合求得t的范围．（2）当t=﹣2时，曲线N即 x+y+2=0，当直线和曲线N相切时，由（1）可得t=﹣，故本题即求直线x+y+2=0和直线x+y+=0之间的距离，利用两条平行线间的距离公式计算求得结果．【解答】解：（1）曲线M（θ为参数），即 x2=1+y，即 y=x2﹣1，其中，x=sinθ+cosθ=sin（θ+）∈[﹣，]．把曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=（其中t为常数）化为直角坐标方程为 x+y﹣t=0．由曲线N（图中蓝色直线）与曲线M（图中红色曲线）只有一个公共点，则有直线N过点A（，1）时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点B（﹣，1）之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以﹣+1＜t≤+1满足要求，当直线和曲线M相切时，由有唯一解，即 x2+x﹣1﹣t=0 有唯一解，故有△=1+4+4t=0，解得t=﹣．综上可得，要求的t的范围为（﹣+1， +1]∪{﹣}．（2）当t=﹣2时，曲线N即 x+y+2=0，当直线和曲线M相切时，由（1）可得t=﹣．故曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离，即直线x+y+2=0和直线x+y+=0之间的距离，为=．【点评】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．（2015•哈尔滨校级三模）已知实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．（Ⅰ）证明：（1+a）（1+b）（1+c）≥8；（Ⅱ）证明：．【考点】不等式的证明．【专题】推理和证明．【分析】（Ⅰ）利用，相乘即可证明结论．（Ⅱ）利用，，，，相加证明即可．【解答】证明：（Ⅰ），相乘得：（1+a）（1+b）（1+c）≥8abc=8．实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．（1+a）（1+b）（1+c）≥8﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）。
【配套K12】高三数学上学期质检试a卷 理(含解析)
2015-2016学年河南省百校联盟高三（上）质检数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．B．C．D．2．已知集合A={y|y=log2x，0＜x＜1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，）B．（0，1）C．（，1）D．∅3．（1+tan12°）（1﹣tan147°）=（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知斜四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的各棱长均为2，∠A1AD=60°，∠BAD=90°，平面A1ADD1⊥平面ABCD，则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为（）A．B． C． D．5．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=﹣20，则﹣6a4+3a5=（）A．﹣20 B．4 C．12 D．206．在四边形ABCD中，M为BD上靠近D的三等分点，且满足=x+y，则实数x，y的值分别为（）A．，B．，C．，D．，7．设S n为等比数列{a n}的前n项和，记命题甲：4a2﹣a4=0，命题乙：S4=5S2，则命题甲成立是命题乙成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（）A．1000πB．200πC．πD．π9．在平行四边形ABCD中，AC=5，BD=4，则•=（）A．B．﹣C．D．﹣10．已知实数x，y满足，的最大值为6，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．411．如图所示：一张正方形状的黑色硬质板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a，b（2≤a≤10），剪去部分的面积为8，则+的最大值为（）A．1 B．C．D．212．已知定义域为R的函数g（x），当x∈（﹣1，1]时，g（x）=，且g（x+2）=g（x）对∀x∈R恒成立，若函数f（x）=g（x）﹣m（x+1）在区间[﹣1，5]内有6个零点，则实数m的取值范围是（）A．（，） B．（﹣∞，]∪（，+∞）C．[，） D．[，]二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．13．函数f（x）=xlnx在点（e，f（e））处的切线方程为．14．已知点（sin，a n+）在直线l：y=﹣x++2上，则数列{a n}的前30项的和为．15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为．16．定义函数：G（x）=，下列结论正确的①G（a）G（b）=G（a+b）；②G（a）+G（b）≥2G（）；③G（a+b）≥1+a+b；④G（ab）=G（a）G（b）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（2015秋•河南月考）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，=．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）求sinAcosC的取值范围．18．（12分）（2015秋•河南校级月考）已知S n是数列{a n}的前n项和，S2=2，且2S n+nS1=na n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=+﹣2，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2015秋•沧州月考）设函数h（x）=x2﹣mx，g（x）=lnx．（Ⅰ）设f（t）=m（sinx+cosx）dx且f（2016π）=2，若函数h（x）与g（x）在x=x0处的切线平行，求这两切线间的距离；（Ⅱ）任意x＞0，不等式h（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围．20．（12分）（2015秋•沧州月考）如图，在△ABC中，AO⊥BC于O，OB=2OA=2OC=4，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，BD与AE相交于H，CD与AF相交于G，将△ABO沿OA折起，使二面角B﹣OA﹣C为直二面角．（Ⅰ）在底面△BOC的边BC上是否存在一点P，使得OP⊥GH，若存在，请计算BP的长度；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣D的余弦值．21．（12分）（2015秋•河南月考）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且对任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（3）=1．（Ⅰ）集合A={x|f（x）＞f（x﹣1）+2}，B={x|f（）＞0}，且满足A∩B=∅，求正实数a的取值范围；（Ⅱ）设a＜b，比较f（）与f（）的大小，并说明理由．22．（12分）（2015秋•河南校级月考）设函数f（x）=﹣ax．（1）若a=0，求f（x）的单调增区间；（2）当b=1时，若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．（其中e为自然对数的底数）2015-2016学年河南省百校联盟高三（上）质检数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；对应思想；定义法；数系的扩充和复数．【分析】先对复数进行化简运算，由共轭复数的定义可得答案．【解答】解： ==，∴复数（i为虚数单位）的共轭复数为，故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算及复数的基本概念，属基础题．2．已知集合A={y|y=log2x，0＜x＜1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，）B．（0，1）C．（，1）D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出A中y的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A补集与B的交集即可．【解答】解：由A中y=log2x，0＜x＜1，得到y＜0，即A=（﹣∞，0），∴∁R A=[0，+∞），由B中y=（）x，x＞1，得到0＜y＜，即B=（0，），则（∁R A）∩B=（0，），故选：A．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．（1+tan12°）（1﹣tan147°）=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；函数思想；转化思想；三角函数的求值．【分析】化简表达式，利用两角和的正切函数求解即可．【解答】解：（1+tan12°）（1﹣tan147°）=（1+tan12°）（1+tan33°）=1+tan12°+tan33°+tan12°tan33°=1+tan45°（1﹣tan12°tan33°）+tan12°tan33°=2．故选：B．【点评】本题考查两角和的正切函数的应用，考查计算能力．4．已知斜四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的各棱长均为2，∠A1AD=60°，∠BAD=90°，平面A1ADD1⊥平面ABCD，则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为（）A．B． C． D．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；空间角．【分析】延长AD，过D1作D1E⊥AD于E，连结BE，说明∠D1BE为直线BD1与平面ABCD所成的角，然后求解即可．【解答】解：延长AD，过D1作D1E⊥AD于E，连结BE，因为平面A1ADD1⊥平面ABCD，平面A1ADD1∩平面ABCD=AD，所以D1E⊥平面ABCD，即BE为BE在平面ABCD内的射影，所以∠D1BE为直线BD1与平面ABCD所成的角，因为D1E=2sin60°=，BE==，所以，tan∠D1BE==．故选：C．【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，考查计算能力，空间想象能力．5．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=﹣20，则﹣6a4+3a5=（）A．﹣20 B．4 C．12 D．20【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；函数思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】求出数列的第三项，然后化简所求的表达式，求解即可．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，S5=﹣20，可得a3=﹣4，﹣6a4+3a5=﹣6（a3+d）+3（a3+2d）=﹣3a3=12．故选：C．【点评】本题考查等差数列的前n项和的应用，考查计算能力．6．在四边形ABCD中，M为BD上靠近D的三等分点，且满足=x+y，则实数x，y的值分别为（）A．，B．，C．，D．，【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】可画出图形，根据向量加法、减法，及数乘的几何意义便有，这样根据平面向量基本定理便可得出x，y的值，从而找出正确选项．【解答】解：如图，=；又；∴．故选：A．【点评】考查向量加法、减法，以及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．7．设S n为等比数列{a n}的前n项和，记命题甲：4a2﹣a4=0，命题乙：S4=5S2，则命题甲成立是命题乙成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】方程思想；等差数列与等比数列；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质和通项公式的计算进行判断即可．【解答】解：若4a2﹣a4=0，则4a2=a4，即，解得q=±2，当q=1时，S4=5S2，不成立，即q≠1，则由S4=5S2，得=5×，即1﹣q4=5（1﹣q2），即（1﹣q2）（1+q2）=5（1﹣q2），则（1﹣q2）（q2﹣4）═0，即q2=1或q2=4，即q=±2或q=1（舍）或q=﹣1，则命题甲成立是命题乙成立的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的通项公式以及前n项和公式是解决本题的关键．8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（）A．1000πB．200πC．πD．π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角三角形，高为10的直三棱柱，且三棱柱外接球的半径是三棱柱对角线的一半，结合图形即可求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角三角形，且直角边长分别为6和8，高为10的直三棱柱，如图所示；所以该三棱柱外接球的球心为A1B的中点，因为A1B=10，所以外接球的半径为5，体积为π•=π．故选：D．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．9．在平行四边形ABCD中，AC=5，BD=4，则•=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】利用向量加法、减法的三角形法则把用向量表示，平方后作差得答案．【解答】解：∵，=．∴，则•=．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，训练了向量加法、减法的三角形法则，是中档题．10．已知实数x，y满足，的最大值为6，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；换元法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用分式函数的性质将条件进行化简，结合一元二次函数的性质建立方程关系进行求解即可．【解答】解： =（）2﹣2•（）+3=（﹣1）2+2，设k=，则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由得，即A（1，1），则点A（1，1）在直线x+y＜a内，即a＞1+1=2，由得．即B（1，a﹣1），AC对应直线为y=x，斜率k=1，则k=的最大值为k=a﹣1，则1≤k≤a﹣1，（a≥2），则当=a﹣1时，取得最大值为6，即（a﹣1﹣1）2+2=6，即（a﹣2）2=4，解得a﹣2=2或a﹣2=﹣2，即a=4或a=0（舍），故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用分式函数的性质结合一元二次函数的单调性和最值的关系是解决本题的关键．综合性较强．11．如图所示：一张正方形状的黑色硬质板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a，b（2≤a≤10），剪去部分的面积为8，则+的最大值为（）A．1 B．C．D．2【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】应用题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由题意，2ab=8，b=，从而将问题转化为关于a的函数，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：由题意，2ab=8，∴b=，∵2≤a≤10，∴+=+=1+=，当且仅当a=，即a=6时， +的最大值为，故选：C．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，正确转化是关键．12．已知定义域为R的函数g（x），当x∈（﹣1，1]时，g（x）=，且g（x+2）=g（x）对∀x∈R恒成立，若函数f（x）=g（x）﹣m（x+1）在区间[﹣1，5]内有6个零点，则实数m的取值范围是（）A．（，） B．（﹣∞，]∪（，+∞）C．[，） D．[，]【考点】函数零点的判定定理；分段函数的应用．【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】若函数f（x）=g（x）﹣m（x+1）在区间[﹣1，5]内有6个零点，则y=g（x）与y=m（x+1）的图象在区间[﹣1，5]内有6个交点．画出函数的图象，数形结合可得答案．【解答】解：∵g（x+2）=g（x）对∀x∈R恒成立，∴函数g（x）的周期为2．又∵当x∈（﹣1，1]时，g（x）=，∴函数g（x）的图象如下图所示：令函数f（x）=g（x）﹣m（x+1）=0，则g（x）=m（x+1），若函数f（x）=g（x）﹣m（x+1）在区间[﹣1，5]内有6个零点，则y=g（x）与y=m（x+1）的图象在区间[﹣1，5]内有6个交点．∵y=m（x+1）恒过点（﹣1，0），过（﹣1，0），（4，2）点的直线斜率为，过（﹣1，0），（2，2）点的直线斜率为，根据图象可得：x∈（，），故选：A【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的零点，数形结合思想，难度中档．二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．13．函数f（x）=xlnx在点（e，f（e））处的切线方程为2x﹣y﹣e=0 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=e时的导数值，然后由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f（x）=xlnx，得f′（x）=lnx+1，则f′（e）=lne+1=2，又f（e）=e，∴函数f（x）=xlnx在点（e，f（e））处的切线方程为y﹣e=2（x﹣e），即2x﹣y﹣e=0．故答案为：2x﹣y﹣e=0．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．14．已知点（sin，a n+）在直线l：y=﹣x++2上，则数列{a n}的前30项的和为59．【考点】数列与解析几何的综合．【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列；三角函数的求值．【分析】把点（sin，a n+）代入直线l，得a n=2﹣sin，由sin的取值是1，0，﹣1，0的循环，能求出数列{a n}的前30项和．【解答】解：点（sin，a n+）在直线l：y=﹣x++2上，∴a n=2﹣sin，sin的最小正周期为4，取值是1，0，﹣1，0的循环，∴数列{a n}的前30项和：S30=30×2﹣ [7（1+0﹣1+0）+1+0]=59．故答案为：59．【点评】本题考查数列的前30项和的求法，是中档题，解题时要注意三角函数的周期性的合理运用．15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】综合题；解三角形．【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=﹣，C=．根据△ABC的面积为S=ab•sinC=ab=c，求得c=3ab．再由余弦定理化简可得9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，由此求得ab的最小值．【解答】解：在△ABC中，由条件用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，∴cosC=﹣，C=．由于△ABC的面积为S=ab•sinC=ab=c，∴c=3ab．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，整理可得9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时，取等号，∴ab≥，故答案为：．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，诱导公式、两角和的正弦公式、基本不等式的应用，属于基础题．16．定义函数：G（x）=，下列结论正确的②③①G（a）G（b）=G（a+b）；②G（a）+G（b）≥2G（）；③G（a+b）≥1+a+b；④G（ab）=G（a）G（b）【考点】分段函数的应用．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】画出函数G（x）=的图象，数形结合逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：G（x）=的图象如下图所示：当a＜0，b＞0时，G（a）G（b）=G（a+b）不成立，故①错误；函数在y轴左侧的图象平等于x轴不具有凸凹性，函数在y轴右侧为凹函数，故G（a）+G（b）≥2G（）恒成立，故②正确；由图可得：G（x）≥1+x恒成立，故G（a+b）≥1+a+b恒成立，故③正确；当a，b＞2时，G（ab）=G（a）G（b）不成立，故④错误；故正确的结论是：②③，故答案为：②③【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，数形结合思想，难度中档．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（2015秋•河南月考）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，=．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）求sinAcosC的取值范围．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可解得tanB=，结合范围B∈（0，π），即可求得B的值．（Ⅱ）利用三角形内角和定理及两角和的余弦函数公式化简可得sinAcosC=﹣sin（2A+）+，结合范围0，利用正弦函数的图象和性质即可得解取值范围．【解答】（本题满分为10分）解：（Ⅰ）∵由正弦定理可得， =．∴sinB=cosB，可得tanB=，∵B∈（0，π），∴B=…4分（Ⅱ）∵sinAcosC=﹣sinAcos（A+B）=﹣sinAcos（A+），∴﹣sinAcos（A+）=﹣sinA（cosA﹣sinA）=﹣sin（2A+）+，∵0，∴＜2A+＜，∴sinAcosC∈[，]…10分【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，正弦函数的图象和性质及两角和的余弦函数公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）（2015秋•河南校级月考）已知S n是数列{a n}的前n项和，S2=2，且2S n+nS1=na n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=+﹣2，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由S2=2，且2S n+nS1=na n，得a1=0，a2=2， =，n＞2，由此利用累乘法能求出a n=2n﹣2．（Ⅱ）由a n=2n﹣2，得S n=n2﹣n，从而得到b n=+﹣2=2（），由此利用裂项法能求出数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵S n是数列{a n}的前n项和，S2=2，且2S n+nS1=na n，①∴2a1+a1=a1，解得a1=0，∴a2=2，2S n﹣1+（n﹣1）S1=（n﹣1）a n﹣1，n≥2，②①﹣②，得：2a n=na n﹣（n﹣1）a n﹣1，n≥2，∴=，n＞2，∴a n===2n﹣2，当n=1时，上式成立，∴a n=2n﹣2．（Ⅱ）∵a n=2n﹣2，∴S n=2（1+2+3+…+n）﹣2n=2×﹣2n=n2﹣n，∴b n=+﹣2=+﹣2=﹣2==2（），∴数列{b n}的前n项和：T n=2（1﹣+…+）=2（1+）=3﹣．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，则中档题，解题时要认真审题，注意累乘法和裂项求和法的合理运用．19．（12分）（2015秋•沧州月考）设函数h（x）=x2﹣mx，g（x）=lnx．（Ⅰ）设f（t）=m（sinx+cosx）dx且f（2016π）=2，若函数h（x）与g（x）在x=x0处的切线平行，求这两切线间的距离；（Ⅱ）任意x＞0，不等式h（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；定积分．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）运用定积分的运算法则和三角函数的特殊值，可得m=﹣1，分别求出g（x），h（x）的导数，求得切线的斜率，切点，再由点斜式方程可得切线的方程，再由两直线平行间的距离，计算即可得到所求；（Ⅱ）任意x＞0，不等式h（x）≥g（x）恒成立，即为x2﹣mx﹣lnx≥0，由x＞0，可得m≤x﹣，设F（x）=x﹣，求出导数，讨论x＞1，0＜x＜1导数的符号，判断单调性，可得最小值，即可得到m的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（t）=m（sinx+cosx）dx=m（sinx﹣cosx）|=m[（sint﹣cost）﹣（1﹣0）]=m（sint﹣cost﹣1），f（2016π）=2，可得m（﹣1﹣1）=2，解得m=﹣1，则h（x）=x2+x的导数为h′（x）=2x+1，g（x）=lnx的导数为g′（x）=，由题意可得2x0+1=，解得x0=（﹣1舍去），即有h（x）在x=处的切线的方程为y﹣=2（x﹣），即为2x﹣y﹣=0；g（x）在x=处的切线的方程为y﹣ln=2（x﹣），即为2x﹣y﹣1﹣ln2=0．则两切线间的距离为d==；（Ⅱ）任意x＞0，不等式h（x）≥g（x）恒成立，即为x2﹣mx﹣lnx≥0，由x＞0，可得m≤x﹣，设F（x）=x﹣，F′（x）=1﹣=，当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）递增；当0＜x＜1时，F′（x）＜0，F（x）递减．即有x=1处取得极小值，且为最小值1，则有m≤1，即m的取值范围是（﹣∞，1]．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数运用单调性求最值，考查运算能力，属于中档题．20．（12分）（2015秋•沧州月考）如图，在△ABC中，AO⊥BC于O，OB=2OA=2OC=4，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，BD与AE相交于H，CD与AF相交于G，将△ABO沿OA折起，使二面角B﹣OA﹣C为直二面角．（Ⅰ）在底面△BOC的边BC上是否存在一点P，使得OP⊥GH，若存在，请计算BP的长度；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣D的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】（Ⅰ）根据条件便知H，G分别为△AOB，△AOC的重心，从而有GH∥EF∥BC，并可说明∠BOC为直角，过O作OP⊥BC，从而有OP⊥GH，而根据摄影定理便有，这样即可求出BP的长度；（Ⅱ）根据上面知OB，OC，OA三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，从而可以根据条件求出图形上一些点的坐标，从而可以得到向量的坐标，可设平面AGH的法向量为，而根据即可求出，同样的方法可以求出平面DGH的一个法向量，根据cos=即可得出二面角A﹣GH﹣D的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）H，G分别为△AOB和△AOC的重心；∴；连接EF，则GH∥EF；由已知，EF∥BC，∴GH∥BC；∵OA⊥OB，OA⊥OC，二面角B﹣OA﹣C为直二面角；∴∠BOC为直角；∴在Rt△BOC中，过O作BC的垂线，垂足为P，OP⊥BC，又BC∥GH；∴OP⊥GH，则由摄影定理得：OB2=BP•BC；∴；（Ⅱ）分别以OB，OC，OA为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：O（0，0，0），A（0，0，2），D（0，0，1），B（4，0，0），C（0，2，0），H（），；∴，；设为平面AGH的法向量，则：；取x1=1，则y1=2，z1=1，∴；设为平面DGH的法向量，则：；取x2=1，则；∴；∴由图可知二面角A﹣GH﹣D为锐角，∴该二面角的余弦值为．【点评】考查三角形重心的概念及其性质，平行线分线段成比例，三角形中位线的性质，以及二面角的平面角的定义，直角三角形的摄影定理的内容，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决二面角问题的方法，平面的法向量的概念及求法，能求空间点的坐标，根据点的坐标求向量的坐标，向量垂直的充要条件，以及向量夹角的余弦公式，清楚两平面所成二面角的大小和两平面的法向量夹角的关系．21．（12分）（2015秋•河南月考）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且对任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（3）=1．（Ⅰ）集合A={x|f（x）＞f（x﹣1）+2}，B={x|f（）＞0}，且满足A∩B=∅，求正实数a的取值范围；（Ⅱ）设a＜b，比较f（）与f（）的大小，并说明理由．【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数思想；构造法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先证明函数的单调性，在分别求出集合A，B，根据A∩B=∅，求正实数a的取值范围；（Ⅱ）首先判断﹣的正负情况，利用构造函数得出g（x）=x+2+（x﹣2）e x，根据导函数，判断函数的单调性，从而得出上述表达式的正负，利用单调性得出函数值的大小．【解答】解：（Ⅰ）设0＜x1＜x2＜+∞，则由条件“对任意正数x，x都有f（xy）=f（x）+f （y）”，可知：f（x2）=f（．x1）=f（）+f（x1），∵＞1∴由已知条件f（）＞0，∴f（x2）﹣f（x1）=f（）＞0即f（x2）＞f（x1），因此f（x）在（0，+∞）上为增函数；∵f（3）=1，∴f（9）=2，∴f（x）＞f（x﹣1）+2，∴f（x）＞f（9x﹣9），∴x＞9x﹣9，x＞0，x﹣1＞0，∴A=（1，），令x=y=1，得f（1）=0，∵f（）＞0=f（1），∴f（）＞1，∴＞0，∴B=（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），∵A∩B=∅，∴≥，∴0＜a≤；（Ⅱ）﹣=，令b﹣a=x，g（x）=x+2+（x﹣2）e x，x＞0，∴g'（x）=1+（x﹣1）e x，令h（x）=g'（x）=1+（x﹣1）e x，∴h'（x）=xe x＞0，∴g'（x）在（0，+∞）上递增，g'（0）=0，∴g'（x）＞g（0）=0，∴g（x）在（0，+∞）上递增，g（0）=0，∴g（x）＞g（0）=0，∵b﹣a＞0，∴﹣=＞0，∴＞，∴f（）＞f（）．【点评】考查了抽象函数的单调性判断，利用函数单调性，利用定义法求解实际问题，利用导函数判断函数的单调性问题．22．（12分）（2015秋•河南校级月考）设函数f（x）=﹣ax．（1）若a=0，求f（x）的单调增区间；（2）当b=1时，若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．（其中e为自然对数的底数）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】（1）求f（x）=的定义域，再求导f′（x）==b，从而讨论确定函数的单调性；（2）当b=1时，f（x）=﹣ax，f′（x）=﹣a，从而可得当x2=e2时，f′（x2）+a有最大值，从而只需使存在x1∈[e，e2]，使f（x1）≤0，从而可得a≥﹣，从而解得．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f′（x）==b，①当b＞0时，x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0；故f（x）的单调增区间为（e，+∞）；②当b＜0时，x∈（0，1）∪（1，e）时，f′（x）＞0；故f（x）的单调增区间为（0，1），（1，e）；（2）当b=1时，f（x）=﹣ax，f′（x）=﹣a，故f′（x2）+a==﹣（﹣）2+，故当x2=e2时，f′（x2）+a有最大值，故只需使存在x1∈[e，e2]，使f（x1）≤，故﹣ax1≤，即a≥﹣，令g（x）=﹣，g′（x）=；故g（x）=﹣在[e，e2]上是减函数，g（e）=1﹣，g（e2）=﹣；故只需使a≥﹣；故实数a的最小值为﹣．【点评】本题考查了导数的综合应用及存在性问题的化简与应用．。
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2015—2016学年度高三阶段性检测数学(理工类)试题2016.01本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．3．答第II 卷时必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，要字体工整，笔迹清晰，严格在题号所指示的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．参考公式：锥体的体积公式V=13Sh ．其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。
共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}21log ,1,,12xA y y x xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>==>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B ⋂=A. 102y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. {}01y y <<C. 112yy ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D. φ2.下列说法中错误的是A.若命题2:,10p x R x x ∃∈++<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈++≥B.“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C.命题“若2320,1x x x -+==则”的逆否命题为:“若1x ≠，则232x x -+≠0”D.若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题3.由曲线1xy =，直线,3y x x ==所围成的封闭图形的面积为 A. 1ln 32+ B. 4ln 3- C. 92D. 1164.C解析：因为0.20331>= ，πππ0log 1log 3log π1,=<<=33log coslog 104<=，所以a b c >>，故选C. 5. 李华经营了两家电动轿车销售连锁店，其月利润（单位：元）分别为21590016000L x x =-+-,23002000L x =-（其中x 为销售辆数），若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为（ ）A.11000B. 22000C. 33000D. 40000 5.C 解析：设甲连锁店销售x 辆，则乙连锁店销售110x -辆，故利润2590016000300(110)2000L x x x =-+-+-- 2560015000x x =-++25(60)33000x =--+，所以当x=60辆时，有最大利润33000元，故选C 。
6.已知函数()sin cos f x x x =+，且'()3()f x f x =，则x 2tan 的值是（ ） A.34-B.34C.43- D.436.A 解析：因为'()c o s xs i n x 3s i n x 3c o s f x x =-=+，所以1tan 2x =-，所以22t a n 14t a n 211t a n 314x x x -===---，故选A. 7. “2a =”是“函数2()32f x x a =+-在区间(,2]-∞-内单调递减”的（ ） A 充分非必要条件． )(B 必要非充分条件．)(C 充要条件． )(D 既非充分又非必要条件．7. D 解析：若函数2()32f x x a =+-在区间(,2]-∞-内单调递减，则有322a-≥-，即43a ≤，所以“2a =”是“函数2()32f x x a =+-在区间(,2]-∞-内单调递减”的非充分非必要条件，所以选D.8. （文）已知全集{}08U x Z x =∈<<，{2,3,5}M =，{}28120N x x x =-+=，则集合{1,4,7}为 ( )A ． ()U M N ⋃ðB ．()U M N ⋂ðC ． ()U M N ⋃ðD ． ()U M N ⋂ð8.(文) C 解析：因为{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,6N =，所以{}2,3,5,6M N =，所以{}1,4,7U M N ⋃=ð.故选C. 8.（理） 曲线3:(0)C y x x =≥在点1x =处的切线为l ，则由曲线C 、直线l 及x 轴围成的封闭图形的面积是 （ ）． A. 1 B.112 C. 43 D.34 8. （理）B 解析：曲线3:(0)C y x x =≥在点1x =处的切线为32y x =-，32y x =- 与x 轴的交点为2(,0)3，所以由曲线C 、直线l 及x 轴围成的封闭图形的面积是113422031113111(32)(2)204246123S x dx x x x x =--=--=-=⎰⎰9.设函数()422x f x x =+-的零点为()1,x g x 的零点为()21214x x x g x -≤，若，则可以是 A. ()1g x =B. ()21xg x =-C. ()1ln 2g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭D. ()41g x x =-10.已知点A 是抛物线214y x =的对称轴与准线的交点，点B 为该抛物线的焦点，点P 在该抛物线上且满足PB m PA m =，当取最小值时，点P 恰好在以A,B 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为A. 12B.1211第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知()()111123f n n N n*=+++⋅⋅⋅+∈经计算得()()()()()3572,42,8,163,32222f f f f f =>>>>，……，观察上述结果，可归纳出的一般结论为 ▲ .12.一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积是 ▲ .13.已知两直线1220,100l y l y -+=--=截圆C 所得的弦长均为2，则圆C 的面积是 ▲ .14.定义a b *是向量a b 和的“向量积”，它的长度sin a b a b θ*=⋅⋅，其中θ为向量a b 和的夹角.若向量()(()2,0,1,u u v u u v =-=*+=，则 ▲ .15.已知函数()()[]220,ln 32xa f x e a a x =-+>∈，当时，函数()f x 的最大值与最小值的差为32，则实数a = ▲ .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分） 在ABC∆中，角A,B,C 的对边分别是,,a b c向量()(),2,c o s ,c o s ,//p a b cq A C p q =-=且. （1）求角A 的大小； （2）设()()()cos sin 0,2A f x x x f x ωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭且的最小正周期为π，求()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域.17. （本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD//BC,CE//BG ，且2BCD BCE π∠=∠=,平面A B C ⊥平面BCEG,BC=CD=CE=222AD BG ==.（1）证明：AG//平面BDE ；（2）求平面BDE 和平面ADE 所成锐二面角的余弦值.18. （本小题满分12分）第二届世界互联网大会在浙江省乌镇开幕后，某科技企业为抓住互联网带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备.生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台，需另投入成本为()21402C x x x =+（万元）；若年产量不小于80台时，()81001012180C x x x=+-（万元）.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.（1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，首项11a =，其前n 项和为n S ；数列{}n b 是等比数列，首项12233216,72b b S b S ===，且. （1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）若nn nS c b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .20. （本小题满分13分）已知函数()()()22ln 210f x a x a x xa =-++->.（1）若函数()f x 的图象在点()()2,2f 处的切线与x 轴平行，求实数a 的值； （2）讨论()f x 的单调性；（3）若()22f x x ax b ≥-++恒成立，求实数a b +的最大值.21. （本小题满分14分）椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上顶点为P ，4,33b Q ⎛⎫⎪⎝⎭是C 上的一点，以PQ 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C的右焦点F且与坐标不垂直的直线l交椭圆于A,B两点，在直线x=2上是 为等边三角形？若存在，求出直线l的斜率；若不存在，请否存在一点D，使得ABD说明理由.。