高考数学文(北师大版)大一轮总复习练习：2-5指数与指数函数(含答案解析)

合集下载

【优化方案】高三数学一轮复习第2章2.5指数与指数函数课件文北师大版

(3)在(－∞，＋ (3)在(－∞，＋∞) ∞)上是增函数上是________ ________ 减函数
课前热身
1 1 7 2 ( ) (1 ) 0 1．(教材习题改编)化简 4 ＋(－2.8) － 9 －2 ＋0.1 的结果为( ) 803 A．100 B. 8 797 403 C. D. 8 4
思考感悟
分数指数幂与根式有何关系？
提示：分数指数幂是根式的另一种写法，二
者可以互化，通常利用分数指数幂进行根式
的运算．
2．指数函数的图像与性质 y＝ a x 图像定义域 R ________ (0，＋∞) __________ a>1 0<a<1
值域
(1)过定点(0,1) (2)当x>0时， (2)当x>0时， y>1 ； 0<y<1当x<0时， _______ y>1 性当x<0时，0<y<1 _______ 质
等问题．
例2
1 x－2 x 已知 2x ＋x≤( ) ，求函数 y＝2 4
2
－2－x 的值域．
【思路点拨】
由y＝2x的单调性可得到关
于 x 的一元二次不等式求得 x 的范围，进而可求得函数y＝2x－2－x的值域．
【解】 2 ⇒x2＋x≤4－2x⇒x2＋3x－4≤0， ⇒－4≤x≤1. 1x －x ∵y＝2 ＝( ) 为 R 上的减函数， 2 －x ∴y＝－2 为 R 上的增函数，－x x ∴y＝2 －2 在[－4,1]上为增函数， 15 3 －x x ∴函数 y＝2 －2 的值域为[－15 ， ]． 16 2
x2 x
1 x 2 2 x x 4－2x ( ) 2 ⇒ ＋x≤2 ， 4

2018北师大版文科数学高考总复习教师用书：2-5指数与

第5讲指数与指数函数最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图像；4.体会指数函数是一类重要的函数模型．知识梳理1．根式(1)概念：式子na 叫作根式，其中n 叫作根指数，a 叫作被开方数．(2)性质：(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0. 2．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝na m (a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是＝1n a m(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .3．指数函数的图像与性质a >1 0<a <1图像定义域 R 值域 (0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1 当x >0时，y >1；当x <0时，y >1；当x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)4(－4)4＝－4.( )(2)(－1)＝(－1)＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数．( )(4)函数y ＝a x 2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞)．( ) 解析 (1)由于4(－4)4＝444＝4，故(1)错．(2)(－1)＝4(－1)2＝1，故(2)错．(3)由于指数函数解析式为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，故y ＝2x －1不是指数函数，故(3)错． (4)由于x 2＋1≥1，又a ＞1，∴a x 2＋1≥a .故y ＝a x 2＋1(a ＞1)的值域是[a ，＋∞)，(4)错．答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)化简[(－2)6]－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9解析原式＝(26)－1＝8－1＝7. 答案 B3．函数y ＝a x －a －1(a >0，且a ≠1)的图像可能是( )解析函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图像向下平移1a 个单位长度得到，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a >1，平移距离大于1，所以C 项错误，故选D.答案 D4．(2015·山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a 1，∴b <a <c . 答案 C5．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________．解析由题意知0<2－a <1，解得1<a <2. 答案 (1,2)考点一指数幂的运算【例1】化简：(1) (a >0，b >0)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278＋(0.002)－10(5－2)－1＋(2－3)0.解 (1)原式＝＝ab －1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－105－2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－827＋500－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679.规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【训练1】化简求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－(0.01)0.5；解 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫49－⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝考点二指数函数的图像及应用【例2】 (1)函数f (x )＝1－e |x |的图像大致是( )(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．解析(1)f (x )＝1－e |x |是偶函数，图像关于y 轴对称，又e |x |≥1， ∴f (x )的值域为(－∞，0]，因此排除B 、C 、D ，只有A 满足．(2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图像如图所示，由图像可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．答案 (1)A (2)[－1,1]规律方法 (1)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解．【训练2】 (1)(2017·陕西五校联考)定义运算a ⊕b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x 的图像是( )(2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________．解析 (1)因为当x ≤0时，2x ≤1；当x >0时，2x >1.则f (x )＝1⊕2x＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，1，x >0，图像A 满足．(2)方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)．由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解．答案 (1)A (2)1考点三指数函数的性质及应用(易错警示) 【例3】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62 C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1 (2)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.①若a ＝－1，求f (x )的单调区间； ②若f (x )有最大值3，求a 的值； ③若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．(1)解析 A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确；C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；D 中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误．故选B. 答案 B(2)解 ①当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．②令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.③由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0.规律方法 (1)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．易错警示在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论．【训练3】(1)(2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．c<a<bC．a<c0时，f(x)为增函数，log0.53＝－log23，所以log25>|－log23|>0，所以b＝f(log25)>a＝f(log0.53)>c＝f(2m)＝f(0)，故b＞a＞c，选B.(2)当x≥8时，f(x)＝≤3，∴x≤27，即8≤x≤27；当x<8时，f(x)＝2e x－8≤3恒成立，故x<8.综上，x∈(－∞，27]．答案(1)B(2)(－∞，27][思想方法]1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2．判断指数函数图像上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．3．指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0<a<1和a>1两种情况分类讨论．[易错防范]1．对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域．2．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2017·衡水中学模拟)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ，b ＝x 2，c ＝x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c 1时，0<a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x <23，b ＝x 2>1，c ＝x <0，所以c <a 1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0解析由f (x )＝a x －b 的图像可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1. 函数f (x )＝a x －b 的图像是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. 答案 D3．(2017·南昌一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，则( )A ．a 25，∴b <c .又∵y ＝x 在(0，＋∞)上为增函数，35>25， ∴a >c ，∴b <c <a . 答案 D4．(2017·安阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( ) A ．1 B ．a C ．2 D ．a 2解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1. 答案 A5．(2017·西安调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．答案 B 二、填空题6.⎝ ⎛⎭⎪⎫32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－＝________.解析原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×1＋2×2－⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2.答案 27．(2015·江苏卷)不等式2x 2－x <4的解集为________．解析 ∵2x 2－x <4，∴2x 2－x <22，∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2. 答案 {x |－1<x <2}8．(2017·安徽江淮十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．解析 f (x )＝⎩⎨⎧e x，x ≥1，e |x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)，当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e. 答案 e 三、解答题9．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立．解 (1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}．对于定义域内任意x ，有 f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x－1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )． ∴f (x )是偶函数．(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x >0时的情况，当x >0时，要使f (x )>0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3>0，即1a x －1＋12>0，即a x ＋12(a x －1)>0，则a x >1. 又∵x >0，∴a >1.因此a >1时，f (x )>0.10．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t ＞1或t ＜－13，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |t >1或t <－13. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析因为2x >0，所以由2x(x －a )<1得a >x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，令f (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (0)＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝－1，所以a >－1.答案 D12．已知函数f (x )＝|2x －1|，a f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a <2cD ．2a ＋2c <2解析作出函数f (x )＝|2x －1|的图像如图中实线所示，∵a f (c )>f (b )，结合图像知a <0,0<c <1，∴0<2a <1,1<2c <2，∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1，∴f (c )＝|2c －1|＝2c －1，又f (a )>f (c )，即1－2a >2c －1，∴2a ＋2c <2.答案 D13．(2017·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎨⎧f (x )，x >0，g (x )，x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图像如图所示，那么g (x )＝________.解析依题意，f (1)＝12，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0.当x <0时，－x >0. ∴g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－2x . 答案－2x (x <0)14．(2017·合肥期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＝e x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，∴f ′(x )＝e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ， ∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立，∴f (x )在R 上是增函数．又∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立，⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立，⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立， ⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12. ∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立. 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。

高考数学一轮复习课时训练指数与指数函数北师大版

A 级基础达标演练 (时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·山东)函数y ＝2x－x 2的图象大致是( )．解析在同一坐标系中作出y ＝2x与y ＝x 2的图象可知，当x ∈(－∞，m )∪(2,4)，y <0，；当x ∈(m,2)∪(4，＋∞)时，y >0，(其中m <0)，故选A. 答案 A2．(2012·合肥模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于任意的x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 010)＋f (2 011)的值为( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．2 解析 ∵f (x )是偶函数， ∴f (－2 010)＝f (2 010)． ∵当x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期为2的周期函数，∴f (－2 010)＋f (2 011)＝f (2 010)＋f (2 011) ＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 22＝0＋1＝1. 答案 C3．(2012·人大附中月考) 设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )． A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析 (数形结合法)如图所示．由1<x <2，可知1<x 3<8；－1＜x －2＜0,1<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2<2.答案 B4．(2011·四川)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )．解析函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1的图象如图；作其关于直线y ＝x 的对称图象，可知选A.答案 A5．(2010·辽宁)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( )．A.10 B ．10 C ．20D ．100解析由已知条件a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，又1a ＋1b＝2，则log m 2＋log m 5＝2，即log m 10＝2，解得m ＝10. 答案 A二、填空题(每小题4分，共12分)6．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a ＞0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．解析 (数形结合法)由图象可知0＜2a ＜1，∴0＜a ＜12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 7．若3a＝0.618，a ∈[k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析 ∵3－1＝13，30＝1，13＜0.618<1，∴k ＝－1.答案－18．若函数f (x )＝a x－x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析令a x－x －a ＝0即a x＝x ＋a ，若0<a <1，显然y ＝a x与y ＝x ＋a 的图象只有一个公共点；若a >1，y ＝a x与y ＝x ＋a 的图象如图所示．答案 (1，＋∞) 三、解答题(共23分) 9．(11分)设函数f (x )＝2|x ＋1|－|x －1|，求使f (x )≥22的x 的取值范围．解 y ＝2x是增函数，f (x )≥2 2 等价于|x ＋1|－|x －1|≥32.①(1)当x ≥1时，|x ＋1|－|x －1|＝2，∴①式恒成立． (2)当－1<x <1时，|x ＋1|－|x －1|＝2x ， ①式化为2x ≥32，即34≤x <1.(3)当x ≤－1时，|x ＋1|－|x －1|＝－2，①式无解．综上，x 取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.10．(12分)已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x(e ＝2.718 28…) (1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值； (2)若f (x )f (y )＝4，g (x )g (y )＝8，求g x ＋yg x －y的值．解 (1)[f (x )]2－[g (x )]2＝(e x －e －x )2－(e x＋e －x )2＝(e 2x－2＋e－2x)－(e 2x ＋2＋e－2x)＝－4.(2)f (x )f (y )＝(e x－e －x)(e y －e －y) ＝ex ＋y＋e－x －y－ex －y－e－x ＋y＝[ex ＋y＋e－(x ＋y )]－[ex －y＋e －(x －y )]＝g (x ＋y )－g (x －y )∴g (x ＋y )－g (x －y )＝4① 同理，由g (x )g (y )＝8，可得g (x ＋y )＋g (x －y )＝8， ②由①②解得g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2， ∴g x ＋yg x －y＝3.B 级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·杭州模拟)定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≤b ba ＞b，如1]( )．A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析 f (x )＝2x *2－x＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ≤0，2－xx ＞0，∴f (x )在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0＜f (x )≤1. 答案 C2．(2012·上饶质检)设函数f (x )＝2x1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是( )．A ．{0,1}B ．{0，－1}C ．{－1,1}D ．{1,1} 解析由f (x )＝2x1＋2x －12＝1－11＋2x －12＝12－11＋2x ，由于(2x ＋1)在R 上单调递增，所以－11＋2x 在R 上单调递增，所以f (x )为增函数，由于2x＞0，当x →－∞，2x→0，∴f (x )＞－12，当x →＋∞，11＋2x →0，∴f (x )＜12，∴－12＜f (x )＜12，∴y ＝[f (x )]＝{0，－1}．答案 B二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2012·安庆模拟)若f (x )＝a －x与g (x )＝a x －a(a ＞0且a ≠1)的图象关于直线x ＝1对称，则a ＝________.解析 g (x )上的点P (a,1)关于直线x ＝1的对称点P ′(2－a,1)应在f (x )＝a －x上，∴1＝aa－2.∴a －2＝0，即a ＝2.答案 24．(★)若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．解析 (数形结合法)曲线|y |＝2x＋1即为y ＝2x＋1或y ＝－(2x＋1)，作出曲线的图象(如图)，要使该曲线与直线y ＝b 没有公共点，须－1≤b ≤1.答案－1≤b ≤1【点评】本题采用数形结合法，准确画出函数|y |＝2x＋1的图象，由图象观察即得b 的取值范围.三、解答题(共22分)5．(10分)已知f (x )＝10x －10－x10x ＋10－x .(1)判断函数奇偶性；(2)证明：f (x )是定义域内的增函数．(1)解 ∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝10－x－10x10－x ＋10x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)证明法一 f (x )＝10x －10－x 10x ＋10－x ＝102x－1102x＋1＝1－2102x ＋1. 令x 2＞x 1，则f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2102x 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2102x 1＋1＝2·102x 2－102x 1102x 2＋1102x1＋1. 当x 2＞x 1时，102x2－102x1＞0. 又∵102x 1＋1＞0,102x2＋1＞0，故当x 2＞x 1时，f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)．所以f (x )是增函数．法二考虑复合函数的增减性．由f (x )＝10x－10－x10x ＋10－x ＝1－2102x＋1. ∵y 1＝10x为增函数，∴y 2＝102x＋1为增函数，y 3＝2102x ＋1为减函数，y 4＝－2102x＋1为增函数，f (x )＝1－2102x ＋1为增函数．∴f (x )＝10x －10－x10x ＋10－x 在定义域内是增函数．6．(12分)若函数y ＝a ·2x －1－a2x－1为奇函数．(1)求a 的值； (2)求函数的定义域；(3)求函数的值域．解 ∵函数y ＝a ·2x －1－a2x－1，∴y ＝a －12x－1. (1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即a －12－x－1＋a －12x －1＝0， ∴2a ＋1－2x1－2x ＝0，∴a ＝－12.(2)∵y ＝－12－12x －1，∴2x－1≠0，即x ≠0.∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)∵x ≠0，∴2x－1＞－1.∵2x－1≠0，∴0＞2x－1＞－1或2x－1＞0. ∴－12－12x －1＞12或－12－12x －1＜－12.即函数的值域为{y |y ＞12或y ＜－12}．。

北师大版2020版新一线高考文科数学一轮复习教学案：第2章第5节指数与指数函数含答案

2,3,10，，的指数函数的图像.3.体会指数函数是一类重要的函数模型． ①正分数指数幂：a n ＝ a m (a ＞0，m ，n ∈N *，且 n ＞1)；－ n ②负分数指数幂：a ＝ m ＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且 n ＞1)；ans第五节指数与指数函数[考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为1 12 31．有理数指数幂(1)分数指数幂mnm1 1 na m③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质①a r · a s ＝a r ＋(a ＞0，r ，s ∈Q)； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q)； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)． 2．指数函数的图像与性质y ＝a xa ＞1 0＜a ＜1图像定义域值域性质当 x ＞0 时，y ＞1；x ＜0 时，0＜y ＜1 R(0，＋∞)过定点(0,1)当 x ＞0 时，0＜y ＜1；x ＜0 时，y ＞13．(教材改编)若函数 f (x )＝a x (a ＞0，且 a ≠1)的图像经过点 P 2，2⎪，则 f (－1)等于( )A ． 2B[由题意知＝a 2，所以 a ＝，所以 f (x )＝ ⎪ ，所以 f (－1)＝ ⎪ ＝ 2.]在 R 上是增函数在 R 上是减函数[常用结论]指数函数的图像与底数大小的关系如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图像，底数 a ，b ，c ，d 与 1 之间的大小关系为 c ＞d ＞1＞a ＞b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数 y ＝a x (a ＞0，且 a ≠1)的图像越高，底数越大．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×” )4(1) (－4)4＝－4．2 1(2)(－1)4＝(－1)2＝－1．(3)函数 y ＝2x －1 是指数函数．(4)若 a m ＜a n (a ＞0 且 a ≠1)，则 m ＜n ．( )( )( )( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．化简[(－2)6]－(－1)0 的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．91B[原式＝(26)2－1＝8－1＝7.]⎛ 1⎫ ⎝ ⎭2 B ． 2C ． 1 4D ．41 2 2 2⎛ 2⎫x ⎛ 2⎫－1⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭4．函数 y ＝a x －a (a ＞0，且 a ≠1)的图像可能是()A． m⎪＝n7m79＝(93)2＝96＝33＝3，故选D.]3．化简－8⎪3＋0.0022－10(5－2)－1＋3π0＋＝________.⎛8⎫3－16[原式＝ 27⎪＋5002－＋3＋A B C DC[令y＝a x－a＝0，得x＝1，即函数图像必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C．] 5．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．(1,2)[由题意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.]指数幂的化简与求值1．(2019·济宁模拟)下列各式中成立的是()1⎛n⎫7⎝⎭3C．4x3＋y3＝(x＋y)4B．12D．3(－3)4＝－3339＝3D[3111132．若a＞0，b＞0，则化简ab－1＝________.21⎛27⎫－－5⎝⎭921105⎝⎭5－29＝＋105－10(5＋2)＋3＋2＋x2＝3，则x2＋x2＋2x2＋x－2＋3[由x2＋x2＝3得x＋x－1＋2＝9.x2＋x2＝(x2＋x2)(x＋x－1－1)＝3×6＝18.x2＋x2＋218＋22＋x－2＋3＝4599＝－16.]11－4．若x33－＝________.112－5所以x＋x－1＝7.同理由x＋x－1＝7可得x2＋x－2＝47.3311－－33－所以x247＋3＝5.][规律方法]指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解题．易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．指数函数的图像及应用【例1】(1)函数f(x)＝a x－b的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(1)画指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，－1，a⎪.(1)函数y＝(a＞1)的图像大致是()(2)已知函数f(x)＝3＋a2x－4的图像恒过定点P，则点P的坐标是________．(3)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝k只有一个公共点，则实数k的取值范围为________．(1)D(2)(2,4)(3){0}∪[1，＋∞)[(1)由f(x)＝a x－b的图像可以观察出函数f(x)＝a x－b在定义域上是减少的，所递减以0＜a＜1.函数f(x)＝a x－b的图像是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0.(2)令2x－4＝0得x＝2，且f(2)＝4，则点P的坐标为(2,4)．(3)函数y＝|3x－1|的图像是由函数y＝3x的图像向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图像如图所示．当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有唯一的交点．][规律方法]指数函数图像应用的4个技巧⎛1⎫⎝⎭(2)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断所给的图像是否过这些点，若不满足则排除．(3)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解．xa x|x|A B C D(2)函数f(x)＝2|x－1|的图像是()A B C D(3)已知a＞0，且a≠1，若函数y＝|a x－2|与y＝3a的图像有两个交点，则实数a的取值范围是________．⎛2⎫(1)B(2)B(3) 0，3⎪[(1)y＝⎨又a＞1，故选B．(3)①当0＜a＜1时，如图①，所以0＜3a＜2，即0＜a＜；所以0＜a＜.]⎧⎛1⎫x【例3】(1)设函数f(x)＝⎨⎝2⎭⎛1⎫a⎛1⎫a⎛1⎫－3(1)C(2)[(1)当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为 2⎪－7＜1，即 2⎪＜8，即 2⎪＜ 2⎪，因为2 0＜＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为a＜1，所以0≤a＜1.⎧a x，x＞0，⎩－a x，x＜0，(2)函数f(x)＝2|x－1|的图像可由y＝2|x|的图像向右平移1个单位得到，故选B．23②当a＞1时，如图②，而y＝3a＞1不符合要求．图①图②23指数函数的性质及应用►考法1比较指数式的大小421【例2】已知a＝33，b＝95，c＝1213，则()A．b＜a＜cC．b＜c＜aB．a＜b＜cD．c＜a＜b422122A[因为a＝33＝93＞95＝b，c＝1213＝113＞93＝a，所以c＞a＞b.故选A．]►考法2解简单的指数方程或不等式⎪⎪－7，x＜0，⎪⎩x，x≥0，若f(a)＜1，则实数a的取值范围是() A．(－∞，－3)C．(－3,1)B．(1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)⎧4x，x≥0，(2)已知实数a≠1，函数f(x)＝⎨⎩2a－x，x＜0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．1⎛1⎫a⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12(2)当 a ＜1 时，41－a ＝21，解得 a ＝；当 a ＞1 时，代入不成立．故 a 的值为 .] (2)已知 0≤x ≤2，则 y ＝4x －－3·2x ＋5 的最大值为________． 2 2 ⎩a 0＋b ＝0， a ⎧⎪a ＝， 2 所以 a ＋b ＝－ .(2)y ＝ (2x )2－3·2x ＋5.令 t ＝2x ，由 0≤x ≤2 得 1≤t ≤4，又 y ＝ t 2－3t ＋5＝ (t －3)2＋，∴当 t ＝1 时，y 有最大值，最大值为 .]【例 5】函数 f (x )＝ 2⎪ 2 (－∞，1] 4，＋∞⎪ [令 u ＝－x 2＋2x ＋1，则 u ＝－(x －1)2＋2. ⎛1⎫u 又 y ＝ 2⎪ 在 R 上是减函数，则函数 f (x )＝ 2⎪ 的递减区间为函数 u ＝－x 2＋2x ＋1 的因为 u ≤2，则 f (x )≥ 2⎪ ＝，即函数 f (x )的值域为⎢4，＋∞⎪.]故 a 的取值范围是(－3,1)．故选 C ．1 12 2►考法 3 与指数函数有关的函数的值域或最值问题【例 4】 (1)已知函数 f (x )＝a x ＋b (a ＞0， ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则 a ＋b ＝________.123 5⎧a －1＋b ＝－1， (1)－ (2) [(1)当 a ＞1 时，函数 f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎨⎧a －1＋b ＝0，无解．当 0＜ a ＜ 1 时，函数 f (x )＝ a x ＋ b 在 [－ 1,0]上为减函数，由题意得 ⎨⎩a 0＋b ＝－1，解得1⎨ ⎪⎩b ＝－2，321 21 1 12 2 252►考法 4 复合函数的单调性、值域或最值⎛1⎫ ⎝ ⎭－x ＋2x ＋1 的递减区间是________，值域是________．⎛1 ⎫ ⎝ ⎭－x 2＋2x ＋1⎛1⎫ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭增区间．由此函数 f (x )的递减区间为(－∞，1]．2⎛1⎫ 1 ⎡1 ⎫ ⎝ ⎭ 4 ⎣ ⎭[规律方法] 指数函数性质应用的常考题型及求解策略常考题型比较幂值的大求解策略(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大(1)(2019· 信阳模拟)已知 a ＝ 5⎪－1 ，b ＝ 5⎪ －1 c ＝ 2⎪ －3⎛3⎫ 4 ⎛27⎫ 43 － 14 － 1⎛3⎫⎛3⎫ ⎛27⎫ －1(3)由题意知，函数 u ＝－x 2＋ax ＋1 在区间(－∞，3)上是增加的，则 ≥3，即 a ≥6.⎝ ⎭ ＝⎝ ⎭⎝ ⎭ ＞⎝ ⎭ ＞⎝ ⎭ 小小．(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小解简单指数不等式探究指数型函数的性质先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致易错警示：在研究指数型函数单调性时，当底数与 “1”的大小关系不明确时，要分类讨论．⎛3⎫ ⎝ ⎭ 3 ⎛3⎫ ⎝ ⎭4，⎛3⎫ ⎝ ⎭4 ，则 a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a(2)(2019· 长春模拟)函数 y ＝4x ＋2x ＋1＋1 的值域为( )A ．(0，＋∞)C ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)(3)已知函数 y ＝2－x 2＋ax ＋1 在区间(－∞，3)上是增加的，则 a 的取值范围为________．(4)函数 y ＝2－x 2＋2x 的值域为________．－ 3 － 1 (1)D (2)B (3)[6，＋∞)(4)(0,2] [(1)c ＝ 2⎪ 8 ⎪ ，则4 5⎪5⎪ 8 ⎪ ，即 a ＞b ＞c ，故选 D.(2)y ＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x ＋1，令 t ＝2x ，则 t ＞0，∴y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2＞1，故选 B ．a2(4)－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，则 0＜y ≤2.即函数 y ＝2－x 2＋2x 的值域为(0,2]．]。

2022届高考数学(文)大一轮复习检测：第二章第5讲指数与指数函数 Word版含答案

第5讲指数与指数函数, [同学用书P31])1．根式(1)根式的概念①若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n ＞1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，n ＞1)．②n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a m n＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；②负分数指数幂：a －mn ＝1a m n ＝1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质y ＝a x a >10<a <1图象定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质过定点(0，1)当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1；当x <0时，y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数1．辨明三个易误点(1)指数幂的运算简洁消灭的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算变换中方法不当，不留意运算的先后挨次等．(2)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特殊留意区分a >1或0<a <1. (3)在解形如a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式时，常借助换元法解决，但应留意换元后“新元”的范围．2．指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a .1.教材习题改编化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为() A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9 [答案] B2.教材习题改编设x ＋x －1＝3，则x 2＋x －2的值为( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 B [解析] 由于x ＋x －1＝3.所以(x ＋x －1)2＝9，即x 2＋x －2＋2＝9，所以x 2＋x －2＝7.3．函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( ) A ．y ＝1－x B ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x－1 D ．y ＝log 2(2x ) A [解析] 由f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(1，1)，又0＝1－1，知(1，1)不在y ＝1－x 的图象上．4.教材习题改编若a >1且a 3x ＋1>a －2x ，则x 的取值范围为________．[解析] 由于a >1，所以y ＝a x 为增函数，又a 3x ＋1>a －2x ，所以3x ＋1>－2x ，即x >－15.[答案] ⎝⎛⎭⎫－15，＋∞ 5．若指数函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． [解析] 由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2，得－2<a <－1或1<a < 2. [答案] (－2，－1)∪(1，2)指数幂的运算[同学用书P32][典例引领]化简下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·⎝⎛⎭⎫－3a －12b －1÷()4a 23·b－312. 【解】 (1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a －16b －3÷⎝⎛⎭⎫4a 23·b －312＝－54a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13b －32＝－54a －12·b －32＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． [留意] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．化简下列各式：(1)(0.027)23＋⎝⎛⎭⎫27125－13－⎝⎛⎭⎫2790.5； (2)⎝⎛⎭⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12.[解] (1)原式＝0.32＋⎝⎛⎭⎫1252713－ 259＝9100＋53－53＝9100. (2)原式＝2（4ab －1）3210a 32b －32＝16a 32b －3210a 32b －32＝85. 指数函数的图象及应用[同学用书P32][典例引领](1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0(2)若方程|3x －1|＝k 有一解，则k 的取值范围为________．【解析】 (1)由f (x )＝a x －b 的图象可以观看出函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.(2)函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解．【答案】 (1)D (2){0}∪[1，＋∞)若将本例(2)变为函数y ＝|3x－1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围如何？[解] 由本例(2)作出的函数y ＝|3x －1|的图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k ∈(－∞，0]．指数函数的图象及应用(1)与指数函数有关的函数图象的争辩，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． [通关练习]1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )A [解析] 将函数解析式与图象对比分析，由于函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两共性质．2．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．[解析] 方程|a x －1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点． (1)当0＜a ＜1时，如图①，所以0＜2a ＜1，即0＜a ＜12；(2)当a ＞1时，如图②，而y ＝2a ＞1不符合要求．所以0＜a ＜12.[答案] ⎝⎛⎭⎫0，12 指数函数的性质及应用(高频考点)[同学用书P33]指数函数的性质主要是其单调性，特殊受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式消灭．高考对指数函数的性质的考查主要有以下四个命题角度： (1)比较指数幂的大小；(2)解简洁的指数方程或不等式； (3)争辩指数型函数的性质；(4)求解指数型函数中参数的取值范围． [典例引领](1)(2022·高考全国卷丙)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b(2)(2021·福州模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．(3)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)＞0的解集为________．【解析】 (1)由于a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，指数函数y ＝16x在R 上单调递增，所以b ＜a ＜c .(2)当a ＜1时，41－a ＝21，所以a ＝12；当a ＞1时，代入不成立． (3)f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝f (－x )＝2－x －4.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ≥0，2－x －4，x ＜0，当f (x －2)＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2x －2－4＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，2－x ＋2－4＞0，解得x ＞4或x ＜0.所以不等式的解集为{x |x ＞4或x ＜0}．【答案】 (1)A (2)12 (3){x |x ＞4或x ＜0}有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)求解简洁的指数不等式问题，应利用指数函数的单调性，要特殊留意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类争辩．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析推断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．[留意] 在争辩指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类争辩． [题点通关]角度一比较指数幂的大小1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a C [解析] 由于指数函数y ＝0.6x 在(－∞，＋∞)上为减函数，所以0.60.6＞0.61.5，即a ＞b ，又0＜0.60.6＜1，1.50.6＞1，所以a ＜c ，故选C. 角度二解简洁的指数方程或不等式2．(2021·高考江苏卷)不等式2x 2－x <4的解集为________．[解析] 由于2x2－x <4，所以2x2－x <22，所以x 2－x <2，即x 2－x －2<0，所以－1<x <2. [答案] {x |－1<x <2}(或(－1，2)) 角度三争辩指数型函数的性质3．(2021·太原模拟)函数y ＝2x －2－x 是( ) A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减A [解析] 令f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，排解C 、D.又函数y ＝－2－x ，y ＝2x 均是R 上的增函数，故y ＝2x －2－x 在R 上为增函数．角度四求解指数型函数中参数的取值范围4．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．[解析] 当a ＞1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1，0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1，0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.[答案] －32,[同学用书P34])——利用换元法求解指数型函数的值域问题函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫14x－⎝⎛⎭⎫12x＋1在x ∈[－3，2]上的值域是________．【解析】由于x ∈[－3，2]，若令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则t ∈⎣⎡⎦⎤14，8.y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤34，57.【答案】 ⎣⎡⎦⎤34，57 (1)此题利用了换元法，把函数f (x )转化为y ＝t 2－t ＋1，其中t ∈⎣⎡⎦⎤14，8，将问题转化为求二次函数在闭区间上的最值(值域)问题，从而削减了运算量．(2)对于同时含有a x 与a 2x (log a x 与log 2a x )(a >0且a ≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t ＝a x(t ＝log a x )进行换元巧解，但肯定要留意新元的范围．已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3，0]上的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1，令t ＝2x ，x ∈[－3，0]，则t ∈⎣⎡⎦⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝⎛⎭⎫t －142－98，t ∈⎣⎡⎦⎤18，1，故值域为⎣⎡⎦⎤－98，0.(2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解．记g (m )＝2am 2－m －1，当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立．当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a <0，过点(0，－1)，不成立，当a ＞0时，开口向上，对称轴m ＝14a＞0，过点(0，－1)必有一个根为正，所以a >0.综上所述，a 的取值范围是(0，＋∞)．, [同学用书P243(独立成册)])1．化简（a 23·b －1）－12·a －12·b136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD ．1aD 解析] 原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a . 2．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为( ) A ．[9，81] B ．[3，9] C ．[1，9] D ．[1，＋∞)C [解析] 由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2，由于f (x )＝3x －2在[2，4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9，可知C 正确．3．函数y ＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )D [解析] 当a >1时函数单调递增，且函数图象过点⎝⎛⎭⎫0，1－1a ，由于0<1－1a<1，故A ，B 均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数图象恒过点⎝⎛⎭⎫0，1－1a ，由于1－1a<0，所以选D. 4．(2021·德州模拟)已知a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则( ) A ．a c ，所以b <c <a ，故选D.5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C [解析] 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝⎛⎭⎫12a －7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3，由于0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a <1，所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3，1)．6．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]B [解析] 由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.7．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a ＝________．[解析] 当a >1时，f (x )＝a x －1在[0，2]上为增函数，则a 2－1＝2，所以a ＝±3，又由于a >1，所以a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x －1在[0，2]上为减函数，又由于f (0)＝0≠2，所以0<a <1不成立．综上可知，a ＝ 3. [答案]38．已知函数f (x )＝e x －e －x e x ＋e －x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝________．[解析] 由于f (x )＝e x －e －x e x ＋e －x，f (a )＝－12，所以e a －e －a e a ＋e －a＝－12.所以f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －ae a ＋e －a＝－⎝⎛⎭⎫－12＝12. [答案] 129．(2021·济宁月考)已知函数f (x )＝(a －2)a x (a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则a 的取值范围是________．[解析] 当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x 单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递增．又由题意知f (x )单调递增，故a 的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)．[答案] (0，1)∪(2，＋∞)10．(2021·安徽江淮十校第一次联考)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．[解析] 由于f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}＝⎩⎨⎧e x ，x ≥1，e 2－x ，x <1.当x ≥1时，f (x )≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x <1时，f (x )>e. 故f (x )的最小值为f (1)＝e.[答案] e11．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24)．若不等式⎝⎛⎭⎫1a x＋⎝⎛⎭⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．[解] 把A (1，6)，B (3，24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3，结合a >0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x .要使⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x ≥m 在x ∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．由于函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x＋⎝⎛⎭⎫13x在(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56.所以只需m ≤56即可．即m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，56.12．已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a＝⎝⎛⎭⎫13b，下列五个关系式： ①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b . 其中不行能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [解析] 函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x的图象如图所示．由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0. 故①②⑤可能成立，③④不行能成立．13．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a ＞0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.14．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |，(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)当x <0时，f (x )＝0，无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，将上式看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12，由于2x >0，所以x ＝1.(2)当t ∈[1，2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，由于22t －1＞0，所以m ≥－(22t ＋1)，由于t∈[1，2]，所以－(22t＋1)∈[－17，－5]，故实数m的取值范围是[－5，＋∞)．。

2019高三数学文北师大版一轮教师用书：第2章第5节指

第五节指数与指数函数[考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图像.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．(对应学生用书第16页) [基础知识填充]1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a＝1na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)幂的运算性质：a m a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，其中a ＞0，b ＞0，m ，n ∈R .2．指数函数的图像与性质[ 指数函数的图像与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图像，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞B ．由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图像越高，底数越大．图2-5-1 [基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)4(－4)4＝－4.( )(2)(－1)＝(－1)＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数．( )(4)函数y ＝ax 2＋1(a ＞1)的值域是(0，＋∞)．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．化简[(－2)6] －(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10D ．9B [原式＝(26) －1＝8－1＝7.]3．(教材改编)若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图像经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则f (－1)等于( ) A ．22 B ． 2 C ．14D ．4B [由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1＝ 2.]4．函数y ＝a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图像可能是( )A B C DC [法一：令y ＝a x －a ＝0，得x ＝1，即函数图像必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C ．法二：当a ＞1时，y ＝a x －a 是由y ＝a x 向下平移a 个单位，且过(1,0)，A ，B ，D 都不合适；当0＜a ＜1时，y ＝a x －a 是由y ＝a x 向下平移a 个单位，因为0＜a ＜1，故排除选项D ．]5．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________．(1,2) [由题意知0＜2－a ＜1，解得1＜a ＜2.](对应学生用书第17页)化简求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－(0.01)0.5；[解] (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫49－⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝＝1a .[规律方法] 1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．[变式训练1] 化简求值：(1)(0.027)－⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫279－(2－1)0；(2)56a ·b －2·(－3ab －1)÷(4a ·b －3) .[解] (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 000－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫259－1＝103－49＋53－1＝－45.(2)原式＝－52a b －3÷(4a ·b －3)＝－54a b －3÷(a b)＝－54a·b＝－54·1ab3＝－5ab4ab 2.(2)若曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，求b 的取值范围.【导学号：00090029】(1)B [y ＝e －|x －1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x －1|，因此原函数的图像是函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x |的图像向右平移一个单位得到的，故选B ．](2)曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 的图像如图所示，由图像可得，如果曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)．[规律方法] 指数函数图像的画法(判断)及应用(1)画(判断)指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .(2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解.[变式训练2] (1)函数f (x )＝a x －b 的图像如图2-5-2，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )图2-5-2A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0(2)方程 2x ＝2－x 的解的个数是________．(1)D (2)1 [(1)由f (x )＝a x －b 的图像可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0＜a ＜1，函数f (x )＝a x －b 的图像是在y ＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b ＜0.(2)方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)．由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解．]角度1 (1)(2018·阜阳模拟)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b(2)(2018·兰州模拟)不等式2x 2－x ＜4的解集为________．(1)A (2){x |－1＜x ＜2} [(1)因为a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上是增加的，指数函数y ＝16x 在R 上是增加的，所以b ＜a ＜C ． (2)由2x 2－x ＜4得2x 2－x ＜22. 所以x 2－x ＜2，解得－1＜x ＜2.] 角度2 复合函数的单调性、值域或最值已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．【导学号：00090030】[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7，则g (x )在区间(－∞，－2)上是增加的，在区间[－2，＋∞)上单调递减，又函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减少的，因此f (x )的单调递增区间是[－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)由f (x )有最大值3知，ax 2－4x ＋3有最小值－1，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1.(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0. [规律方法] 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．2．解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．3．探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论．。

北师大版高考数学(文)大一轮复习---第5讲指数与指数函数--(附答案)

第5讲指数与指数函数一、选择题1．(2017·衡水中学模拟)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ，b ＝x 2，c ＝x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c 1时，0<a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x <23，b ＝x 2>1，c ＝x <0，所以c <a 1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0解析由f (x )＝a x －b 的图像可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图像是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.答案 D3．(2017·南昌一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，则( )A ．a 25，∴b <c .又∵y ＝x 在(0，＋∞)上为增函数，35>25， ∴a >c ，∴b <c <a .答案 D4．(2017·安阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1.答案 A5．(2017·西安调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．答案 B 二、填空题6.⎝ ⎛⎭⎪⎫32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－＝________.解析原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×1＋2×2－⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2.答案 27．(2015·江苏卷)不等式2x 2－x <4的解集为________．解析 ∵2x 2－x <4，∴2x 2－x <22，∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2.答案 {x |－1<x <2}8．(2017·安徽江淮十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥1，e|x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)，当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.答案 e 三、解答题9．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立．解 (1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}．对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )． ∴f (x )是偶函数．(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x >0时的情况，当x >0时，要使f (x )>0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3>0，即1a x －1＋12>0，即a x ＋12(a x －1)>0，则a x >1. 又∵x >0，∴a >1.因此a >1时，f (x )>0.10．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0. 解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t ＞1或t ＜－13，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |t >1或t <－13.11．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析因为2x >0，所以由2x (x －a )<1得a >x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，令f (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (0)＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝－1，所以a >－1.答案 D12．已知函数f (x )＝|2x －1|，a f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a <2cD ．2a ＋2c <2解析作出函数f (x )＝|2x －1|的图像如图中实线所示，∵a f (c )>f (b )，结合图像知a <0,0<c <1，∴0<2a <1,1<2c <2，∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1，∴f (c )＝|2c －1|＝2c －1，又f (a )>f (c )，即1－2a >2c －1，∴2a ＋2c <2.答案 D13．(2017·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎨⎧f (x )，x >0，g (x )，x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图像如图所示，那么g (x )＝________.解析依题意，f (1)＝12，∴a ＝12， ∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0.当x <0时，－x >0.∴g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－2x .答案－2x (x <0)14．(2017·合肥期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＝e x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，∴f ′(x )＝e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立，∴f (x )在R 上是增函数．又∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立，⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立，⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12. ∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立.。

高考数学(文)一轮对点训练：2-5指数与指数函数答案解析

－ 13 1 11．已知 a ＝ 2， b ＝ log 23，c ＝ log1 3，则 ( )2A ． a>b>cB ．a>c>bC ． c>a>bD ． c>b>a答案C－ 11 1分析由指数函数及对数函数的单一性易知0<23<1，log 2 <log 21＝ 0，log 1>log 132321＝ 1, 应选 C.22.当 x ∈ (－ ∞，－ 1]时，不等式 (m 2－ m) ·4x －2x <0 恒建立，则实数 m 的取值范围是 ()A ． (－ 2,1)B ．( －4,3)C ． (－ 1,2)D ． (－ 3,4)答案 C分析原不等式变形为m 2－ m< 1 x，21 x∵函数 y ＝ 2在 (－ ∞，－ 1]上是减函数，1 x ≥ 1 － 1＝ 2，∴2221 x2当 x ∈ (－∞，－ 1]时， m － m< 2 恒建立等价于m －m<2，解得－ 1<m<2.|x －1|的图象是 ()3．函数 f( x)＝ 2答案B2x －1 ，x ≥1，分析f(x)＝ 1 x－1， x<1 应选 B.2，4．已知 4 a＝ 2， lg x ＝a ，则 x ＝________.答案 10分析∵ 4a＝ 2，∴ a ＝ log 42＝1.21 2由 lg x ＝ 1，得 x ＝ 10＝ 10.25．某食品的保鲜时间 y(单位：小时 )与储蓄温度 kx ＋bx(单位：℃ )知足函数关系 y ＝e (e ＝2.718 为自然对数的底数， k ，b 为常数 )．若该食品在 0 ℃ 的保鲜时间是 192 小时，在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是 ________小时．答案24be b ＝ 192e ＝ 192，因此该食品在 33 ℃的保鲜时间是y ＝ e33k分析由题意得22k ＋b ，即11k 1e＝48e ＝2＋ b11k 3b13×192＝ 24(小时 )．＝ (e ) ·e ＝ 2。

高考数学一轮复习第二章函数2.5指数与指数函数课件文北师大版

A.充分不必要条件 C.充要条件
1 �� 1 解析:由 <1,解得 x>0.由 >1,解得 0<x<1. 3 �� 1 1 故“ <1”是“ >1”的必要不充分条件,故选 B. 3 ��
4.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( C ) A.a<b<c B.a<c1,故选C.
-21考点一
考点二
考点三
解题心得1.比较两个指数幂的大小时,尽量化为同底或同指.当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同, 底数不同时,构造同一幂函数,然后比较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值比较. 2.解决简单的指数方程或不等式的问题主要利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论. 3.求解指数型函数与函数性质的综合问题,首先要明确指数型函数的构成,涉及值域、奇偶性、单调区间、最值等问题时,都要借助相关性质的知识分析判断.
解 (1)原式= (2)原式= =
4 9 8 27
2 3
(��3 ��2 ��3 ��3 )2
1 1 2 -3 3 ��
2
1 2 1
=��
-
��
=ab-1.
27 -3 8
1 2

2021高考数学一轮复习统考第2章函数第5讲指数与指数函数学案(含解析)北师大版

第5讲指数与指数函数基础知识整合一、指数及指数运算 1．根式的概念根式的概念符号表示备注如果□01x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根 —n >1且n ∈N *当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个□02正数，负数的n 次方根是一个□03负数 na零的n 次方根是零当n 为偶数时，正数的n 次方根有□04两个，它们互为□05相反数 ±na (a ＞0)负数没有偶次方根2．分数指数幂(1)a m n ＝□06 na m (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)； (2)a －m n ＝□071a m n ＝□081n am (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)； (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)a r·a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；(2)(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )．二、指数函数及其性质 1．指数函数的概念函数□09y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数．说明：形如y ＝ka x，y ＝ax ＋k(k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数．2．指数函数的图象和性质底数 a >1 0<a <1图象性质函数的定义域为R，值域为(0，＋∞)函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0<y<1当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有y>1函数在定义域R上为增函数函数在定义域R上为减函数1．(na)n＝a(n∈N*且n>1)．2.na n＝⎩⎨⎧a，n为奇数且n>1，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a＜0，n为偶数且n>1.3．底数对函数y＝a x(a>0，且a≠1)的函数值的影响如图(a1>a2>a3>a4)，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．4．当a>0，且a≠1时，函数y＝a x与函数y＝⎝⎛⎭⎪⎫1ax的图象关于y轴对称．1．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A．－9 B．7C．－10 D．9答案 B解析[(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝7.2．函数f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫13x＋1(x≥0)的值域为( )A．(－∞，2] B．(2，＋∞)C．(0,2] D．(1,2]答案 D解析 ∵当x ≥0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ∈(0,1]，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋1∈(1,2]，即f (x )的值域为(1,2]．3．(a 2－a ＋2)－x －1<(a 2－a ＋2)2x ＋5的解集为( )A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2，＋∞)答案 D解析 ∵a 2－a ＋2>1，∴－x －1<2x ＋5， ∴x >－2，选D ．4．(2019·德州模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525 ，则( )A ．a 25，所以b <c .又y ＝x 25 在(0，＋∞)上为增函数，35>25，所以a >c ，所以b <c <a .故选D ． 5．(2020·蒙城月考)已知0<a <1，b <－1，则函数y ＝a x＋b 的图象必定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 y ＝a x＋b 的图象如图．由图象可知，y ＝a x＋b 的图象必定不经过第一象限．6．若x ＋x －1＝3，则x 12 ＋x －12 ＝________；x 2＋x －2＝________.答案 5 7解析 ∵(x 12 ＋x －12 )2＝x ＋x －1＋2＝5，且x 12 ＋x －12 >0，∴x 12 ＋x －12 ＝ 5.又(x ＋x －1)2＝x 2＋x －2＋2＝9，∴x 2＋x －2＝7.核心考向突破考向一指数幂的运算例1 求值与化简：(1)823 ×100－12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫14－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34 ；(2)a 23 ·b －1－12 ·a －12 ·b 136a ·b 5(a >0，b >0)；(3)3a 92 a －3÷3a －73a 13(a >0)；(4)已知a >0，a 12 ＋a －12 ＝3，求a 2＋a －2＋1a ＋a －1＋1的值．解 (1)原式＝(23)23 ×(102) －12 ×(2－2)－3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34 ＝22×10－1×26×⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝8625 .(2)原式＝a －13 ·b －12 ·a －12 ·b 13a 16 ·b 56＝a －13 －12 －16 ·b 12 ＋13 －56 ＝1a.(3)原式＝(a 92 a －23 )13 ÷(a －73 a 133 )12 ＝(a 3) 13 ÷(a 2) 12 ＝a ÷a ＝1.(4)将a 12 ＋a －12 ＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，所以a ＋a －1＝7.将a ＋a －1＝7两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49，所以a 2＋a －2＝47，所以a 2＋a －2＋1a ＋a －1＋1＝47＋17＋1＝6.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．[即时训练] 1.化简：a 3b 23ab 2a 14b 124a －13 b 13(a >0，b >0)．解原式＝a 3b 2a 13b 23 12 ab 2a －13 b 13＝a 32 ＋16 －1＋13 ·b 1＋13 －2－13 ＝ab －1＝a b .2．计算0.027－13 －⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27912 －(2－1)0.解原式＝(0.33)－13 －72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912 －1＝103－49＋53－1＝－45.3．化简：56a 13 ·b －2·(－3a －12 b －1)÷(4a 23 ·b －3)12 (a >0，b >0)．解原式＝－52a －16 b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a －16 b －3÷(a 13 b －23 )＝－54a －12 ·b －23＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.4．已知a －1a＝3(a >0)，求a 2＋a ＋a －2＋a －1的值．解 ∵a －1a＝3，∴a 2＋1a2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＋2·a ·1a＝9＋2＝11，而⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝a 2＋1a2＋2＝13， ∴a ＋1a＝13，∴a 2＋a ＋a －2＋a －1＝11＋13. 考向二指数函数的图象及其应用例2 (1)(2019·山西晋城模拟)函数f (x )＝a x －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 答案 D解析由图象知f (x )是减函数，所以0<a <1，又由图象在y 轴上的截距小于1可知a －b<1，即－b >0，所以b <0.故选D ．(2)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析 ①当0<a <1时，y ＝|a x－1|的图象如图1.因为y ＝2a 与y ＝|a x－1|的图象有两个交点，所以0<2a <1.所以0<a <12.②当a >1时，y ＝|a x－1|的图象如图2，而此时直线y ＝2a 不可能与y ＝|a x－1|的图象有两个交点．综上，0<a <12.(1)研究指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象要抓住三个特殊点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .(2)与指数函数有关的函数图象问题的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)根据函数图象的变换规律得到的结论 ①函数y ＝ax ＋b(a >0，且a ≠1)的图象可由指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象向左(b >0)或向右(b <0)平移|b |个单位长度得到．②函数y ＝a x ＋b 的图象可由指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度得到．③函数y ＝a |x |的图象关于y 轴对称，当x ≥0时，其图象与指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)在[0，＋∞)的图象相同；当x <0时，其图象与x ≥0时的图象关于y 轴对称．[即时训练] 5.已知函数f (x )＝2x－2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )答案 B解析 y ＝|f (x )|＝|2x－2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≥1，2－2x，x <1，易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x＝1，且过点(1,0)，(0,1)，|f (x )|≥0，又y ＝|f (x )|在(－∞，1)上单调递减，故选B ．6．若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________. 答案 [－1,1]解析曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1]．精准设计考向，多角度探究突破考向三指数函数的性质及其应用角度1 比较指数幂的大小例3 (1)(2019·南昌模拟)下列不等关系正确的是( )A ．3－23 <3－4<32B ．32<⎝ ⎛⎭⎪⎫1313 <33C ．2.60<⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.6<22.6D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.6<2.60<22.6 答案 D解析因为y ＝3x是增函数，所以3－4<3－23 <32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1313 ＝3－13 <32<33，故排除A ，B ；因为y ＝2x 是增函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫122.6＝2－2.6<20＝2.60<22.6，故选D ．(2)已知实数a ，b 满足等式2019a＝2020b，下列五个关系式： ①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个答案 B解析在同一坐标系下画出y ＝2019x与y ＝2020x的图象，结合图象可知①②⑤可能成立，所以不可能成立的有2个，选B ．比较指数式大小的方法比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1,0等中间量进行比较．[即时训练] 7.(2020·山东实验中学月考)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<1，则有( )A ．0<n <mB ．n <m <0C ．0<m <nD ．m <n <0答案 A解析因为指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上递减，所以由⎝ ⎛⎭⎪⎫12m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，得m >n >0，故选A ．8．已知0<a <1，x >y >1，则下列各式中正确的是( ) A ．x a<y aB ．a x <a yC ．a x>a y D ．a x>y a答案 B解析对于A ，∵x y >1，∴x a y a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x y a >⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 0＝1，∴x a >y a ，∴A 错误；∵0<a <1，∴f (x )＝a x 为减函数，又x >y >1，∴a x <a y，∴B 正确，C 错误；对于D ，∵a x <a 0＝1，而y a >y 0＝1，∴a x <y a，∴D 错误．故选B ．角度2 解简单的指数不等式例4 (1)(2019·宜昌调研)设函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)答案 C解析当a <0时，不等式f (a )<1为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C ．(2)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,1) B ．(－4,3) C ．(－3,4) D ．(－1,2)答案 D解析 ∵(m 2－m )·4x －2x <0在(－∞，－1]上恒成立，∴(m 2－m )<12x 在x ∈(－∞，－1]上恒成立．∵y ＝12x 在(－∞，－1]上单调递减，∴当x ∈(－∞，－1]时，y ＝12x ≥2，∴m 2－m <2，∴－1<m <2，故选D ．解指数不等式的思路方法对于形如a x>a b的不等式，需借助函数y ＝a x的单调性求解，如果a 的取值不确定，则需分a >1与0<a <1两种情况讨论；而对于形如a x>b 的不等式，需先将b 转化为以a 为底的指数幂的形式，再借助函数y ＝a x的单调性求解．[即时训练] 9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．[－3，－1]D ．{－3}答案 B解析当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]，当a ≤x <0时，f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－1，∴⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12a ，－1[－8，1]，即－8≤－12a <－1，即－3≤a <0，∴实数a 的取值范围是[－3,0)．故选B ．10．若x 满足不等式2x 2＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －2，则函数y ＝2x的值域是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，18D ．[2，＋∞)答案 B解析将2x 2＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －2化为x 2＋1≤－2(x －2)，即x 2＋2x －3≤0，解得x ∈[－3,1]，所以2－3≤2x ≤21，所以函数y ＝2x的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2.故选B ．角度3 与指数函数有关的复合函数问题例5 (1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调减区间为________.答案 (－∞，1]解析设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 为减函数，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的减区间即函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，∴所求减区间为(－∞，1]．(2)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 解析令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，因为x ∈[－3,2]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8. 故y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.与指数函数有关的复合函数的单调区间的求解步骤(1)求复合函数的定义域．(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的．(3)分层逐一求解函数的单调区间．(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．[即时训练] 11.已知函数y ＝9x ＋m ·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，则m 的取值范围为________.答案 (－∞，－18]解析设t ＝3x，则y ＝9x＋m ·3x－3＝t 2＋mt －3.因为x ∈[－2,2]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，9.又函数y ＝9x ＋m ·3x －3在区间[－2,2]上单调递减，即y ＝t 2＋mt －3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，9上单调递减，故有－m2≥9，解得m ≤－18.所以m 的取值范围为(－∞，－18]．12．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. (3)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故f (x )的值域为(0，＋∞)时，a 的值为0.已知函数f (x )＝a|x ＋b |(a >0，且a ≠1，b ∈R )．(1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件．解 (1)因为f (x )为偶函数，所以对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，即a|x ＋b |＝a|－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .①当a >1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，所以－b ≤2，b ≥－2.②当0<a <1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，a ，b 应满足的条件为a >1且b ≥－2. 答题启示由于指数函数y ＝a x，当a >1时为增函数，当0<a <1时为减函数，所以在有关指数函数问题的处理中，一定要根据a 的值来分类讨论．对点训练若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.答案 14解析函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m >0，即m <14.若a >1，则函数f (x )在[－1,2]上的最小值为1a ＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，12＝m ，与m <14矛盾；当0<a <1时，函数f (x )在[－1,2]上的最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116<14.所以a ＝14.。

2020大一轮高考总复习文数(北师大版)讲义：第2章第05节指数与指数函数 Word版含答案.doc

第五节指数与指数函数1．正整数指数函数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)，叫作正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N ＋.2．分数指数幂 (1)定义一般地，给定正实数a ，对于任意给定的整数m 、n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n ＝a m ，我们把b 叫作a 的mn次幂，记作b ＝a mn ，它就是分数指数幂．(2)规定：分数指数幂与根式的关系①正分数指数幂的根式形式：a m na ＞0)；②负分数指数幂的根式形式：a－m n＝1a m n(a ＞0，m ，n ∈N ＋且n ＞1)；③0的分数指数幂：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质若a ，b ＞0，m ，n ∈R ，则 (1)a m ·a n ＝a m ＋n ；(2)(a m )n ＝a m ·n ；(3)(ab )n ＝a n b n .4．指数函数的图像与性质(1)在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．(2)指数函数y ＝a x (a >0， a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.(3)指数函数图像在坐标系中的位置如下图所示，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)2a ·2b ＝2ab .( ) (2)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数．( )(3)若a m <a n (a >0且a ≠1), 则m <n .( ) (4)函数y ＝2－x 在R 上为单调减函数．( )答案： (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．化简416x 8y 4 (x <0，y <0)得( ) A ．2x 2y B ．2xy C ．4x 2y D ．－2x 2y解析：选D416x 8y 4＝2x 2|y |＝－2x 2y .3．函数f (x )＝3x ＋1的值域为( ) A ．(－1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．[1，＋∞)解析：选B ∵3x ＞0，∴3x ＋1＞1，即函数f (x )＝3x ＋1的值域为(1，＋∞)． 4．函数f (x )＝a x －2＋1(a >0，且a ≠1)的图像必经过点( )A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(2,0)D ．(2,2)解析：选D 由f (2)＝a 0＋1＝2，知f (x )的图像必过点(2,2)． 5．(教材习题改编)若⎝⎛⎭⎫123x ＋1>2－x ＋2，则x 的取值范围是________．解析：因为⎝⎛⎭⎫123x ＋1>2－x ＋2，即2－3x －1>2－x ＋2⇒－3x －1>－x ＋2⇒2x <－3⇒x <－32. 答案： x <－32指数幂的运算 [明技法]指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．注意：运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． [提能力]【典例】计算：(1)⎝⎛⎭⎫338－23 －⎝⎛⎭⎫5490.5＋(0.008)－23 ÷(0.02)－12 ×(0.32)12 ； (2)15＋2－(3－1)0－9－4 5. 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫82723 －⎝⎛⎭⎫49912 ＋⎝⎛⎭⎫1 000823 ÷50×4210＝49－73＋25×152×4210＝－179＋2＝19. (2)原式＝5－2－1－(5－2)2＝(5－2)－1－(5－2)＝－1. [刷好题](金榜原创)化简－x 3x 的结果是( )A ．－－xB ．xC ．－xD ．－x 解析：选A 依题意知x <0，故－x 3x＝－－x 3x 2＝－－x .指数函数的图像 [明技法]指数函数的图像及应用(1)与指数函数有关的函数图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称、翻折变换得到其图像．(2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解．[提能力]【典例】 (1)(2017·黄山调研)函数f (x )＝xa x|x |(0<a <1)的图像大致是( )(2) (2018·衡水模拟)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．解析：(1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >0，－a x ，x <0.又0<a <1，结合图像可知选D ．(2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图像如图所示．由图像可得，如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则－1≤b ≤1.故b 的取值范围是[－1,1]．答案：(1)D (2)[－1,1][母题变式1] 若将本例(2)中“|y |＝2x ＋1”改为“y ＝|2x －1|”，且与直线y ＝b 有两个公共点，求b 的取值范围．解：曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 的图像如图所示．由图像可得，如果曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)． [母题变式2] 若将本例(2)改为：函数y ＝|2x －1|在(－∞，k ]上单调递减，求k 的取值范围．解：因为函数y ＝|2x －1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k ≤0，即k 的取值范围为(－∞，0]．[刷好题]1．若函数y ＝a x ＋b －1(a ＞0且a ≠1)的图像经过第二、三、四象限，则a 、b 的取值范围分别是________________．解析：因为函数y ＝a x ＋b －1(a ＞0且a ≠1)的图像经过第二、三、四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，b －1＜－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，b ＜0. 答案：a ∈(0,1) b ∈(－∞，0)2．方程2x ＝2－x 的解的个数是________．解析：方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)．由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解．答案：1指数函数性质的综合 [析考情]指数函数的性质特别是单调性，备受高考命题专家的青睐．高考常以选择题或填空题的形式出现，考查幂值大小比较、解简单不等式、判断指数函数单调性以及求指数函数的最值等问题，难度偏小，属中低档题．[提能力]命题点1：比较指数幂大小问题【典例1】 (2018·大连检测)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 由指数函数y ＝0.6x 在(0，＋∞)上单调递减，可知0.61.5<0.60.6，由幂函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上单调递增，可知0.60.6<1.50.6，所以b <a <c ，故选C ．命题点2：解简单的指数不等式或方程【典例2】(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧e x －1，x ＜1，x 13 ，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：当x <1时，由e x －1≤2，得x <1；当x ≥1时，由x 13≤2，解得1≤x ≤8，综合可知x 的取值范围为x ≤8.答案：(－∞，8]命题点3：与指数函数有关的函数最值(值域)问题【典例3】 (2018·武威检测)已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，又y ＝22x －1－3·2x ＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝52.答案：52命题点4：与指数函数有关的单调性问题【典例4】已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________．解析：∵|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a >1.由于函数f (x )＝a |x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图像关于直线x ＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)>f (1).答案：f (－4)>f (1) [悟技法]指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质 (如奇偶性、单调性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．[刷好题]1．下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1解析：选B A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73.B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62.C 中，∵0.8－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.D中， ∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1.2．(2018·蚌埠检测)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x ＜－2或x ＞4} B ．{x |x ＜0或x ＞4} C ．{x |x ＜0或x ＞6}D ．{x |x ＜－2或x ＞2}解析：选B f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝f (－x )＝2－x －4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x－4，x ≥0，2－x －4，x ＜0，当f (x －2)＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，2－x ＋2－4＞0，解得x ＞4或x ＜0.3．(2018·承德模拟)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.解析：当a >1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.答案：－32。

1高考数学北师大理豫赣陕皖桂新素养备考大一轮讲义：第二章 §5 指数与指数函数含答案

§2.5指数与指数函数1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是mna(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N＋，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定mna－＝1mna(a>0，m，n∈N＋，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图像与性质概念方法微思考1.如图所示是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图像，则a，b，c，d与1之间的大小关系为．提示c>d>1>a>b>02．结合指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图像和性质说明a x>1(a>0，a≠1)的解集是否与a的取值有关．提示当a>1时，a x>1的解集为{x|x>0}；当0<a<1时，a x>1的解集为{x|x<0}．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)n＝a(n∈N＋)．(×)(2)分数指数幂mna可以理解为mn个a相乘．(×)(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(√)(4)若a m<a n(a>0，且a≠1)，则m<n.(×)题组二教材改编2．化简416x 8y 4(x <0，y <0)＝ . 答案－2x 2y3．若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图像经过点P ⎝⎛⎭⎫2，12，则f (－1)＝ . 答案2解由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x ，所以f (－1)＝⎝⎛⎭⎫22－1＝ 2. 4．已知113344333,,,552a b c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则a ，b ，c 的大小关系是．答案 c >,555--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即a >b >1，又3433<1,22c -0⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴c b>0时，⎝⎛⎭⎫12a＝⎝⎛⎭⎫13b可能成立．当a<b<0时，⎝⎛⎭⎫12a＝⎝⎛⎭⎫13b可能成立．当a＝b＝0时，⎝⎛⎭⎫12a＝⎝⎛⎭⎫13b显然成立．当0<a<b时，显然⎝⎛⎭⎫12a>⎝⎛⎭⎫13b.当b<a<0时，显然⎝⎛⎭⎫12a<⎝⎛⎭⎫13b.综上可知，③④不可能成立.指数幂的运算1．(2019·西安模拟)计算23×31.5×612＝.答案 6解原式＝2×11136233122⎛⎫⎪⨯ ⎝⎭⨯＝2×111113363233232-⨯⨯⨯⨯＝2×111112363332++-+⨯＝6.2．(2019·沧州七校联考)12331214(0.1)()··a b -⎛⎫⎪⎝⎭－－＝ . 答案 85解原式＝33322233221240·a b a b--＝85. 3．若1122x x -+＝3，则33222232x x x x --+-+-＝ .答案 13解由1122x x-+＝3，两边平方，得x ＋x －1＝7，再平方得x 2＋x －2＝47. ∴x 2＋x －2－2＝45.33111133222222=()+()()x x x x x x ---+=+(x －1＋x －1)＝3×(7－1)＝18.∴33222232x x x x --+-+-＝13.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．指数函数的图像及应用例1 (1)(2019·郑州模拟)定义运算ab ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝12x 的图像是( )答案 A解因为当x <0时，1>2x ；当x ≥0时，1≤2x . 则f (x )＝12x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，1，x ≥0，故选A.(2)已知函数f (x )＝|2x －1|，a f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b ≥0，c >0 C ．2－a <2c D ．2a ＋2c <2答案 D解作出函数f (x )＝|2x －1|的图像，如图，∵a<b<c且f (a)>f (c)>f (b)，结合图像知，0<f (a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f (a)＝|2a－1|＝1－2a，∴f (c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f (c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f (a)>f (c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D.思维升华(1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断选项中的图像是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图像可从指数函数的图像通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练1(1)函数y＝a|x|(a>1)的图像是()答案 B解函数y ＝a |x |(a >1)是偶函数，当x ≥0时，y ＝a x ，又已知a >1，故选B.(2)若曲线y ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x －1与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是．答案 (0,1)解曲线y ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x －1与直线y ＝b 图像如图所示，由图像可得：如果曲线y ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x －1与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)．指数函数的性质及应用命题点1 比较指数式的大小例2 (1)已知a ＝432，b ＝254，c ＝1325，则( ) A ．b <a <c B ．a 25，∴234>254，即a >b ，∵y ＝23x 在(0，＋∞)上递增，4<5，22334<5, 即a <c .∴b <a <c .(2)已知0<a (1)bba a －－ B ．2(1)>(1)b ba a －－ C ．(1＋a )a >(1＋b )b D ．(1－a )a >(1－b )b答案 D解 ∵y ＝(1－a )x 是减函数， ∴(1－a )a >(1－a )b ，又y ＝x b 在(0，＋∞)上是增函数，1－a >1－b ， ∴(1－a )b >(1－b )b ，∴(1－a )a >(1－b )b .D 对，其余皆错．命题点2 解简单的指数方程或不等式例3 (1)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为．答案 12解当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立．故a 的值为12.(2)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为．答案 {x |x >4或x <0}解 ∵f (x )为偶函数，f (x )在[0，＋∞)上递增，且f (2)＝0，∴|x －2|>2，解得x >4或x <0. 命题点3 指数函数性质的综合应用例4 (1)函数f (x )＝2+2112x x +⎛⎫⎪⎝⎭－的递减区间为．答案 (－∞，1] 解设u ＝－x 2＋2x ＋1， ∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u在R 上为减函数， ∴函数f (x )＝2+2112x x +⎛⎫⎪⎝⎭－的递减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的递增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的递增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的递减区间为(－∞，1]． (2)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上递增，则m 的取值范围是．答案 (－∞，4]解令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上递减．而y ＝2t 在R 上递增，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．函数f (x )＝4x －2x ＋1的值域是．答案 [－1，＋∞) 解设t ＝2x (t >0)，则 y ＝t 2－2t ＝(t －1)2－1(t >0)．当t ＝1时，y min ＝－1，无最大值．∴函数f (x )＝4x －2x ＋1的值域为[－1，＋∞)．若函数f (x )＝24313ax x +⎛⎫⎪⎝⎭－有最大值3，则a＝ . 答案 1解令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量；(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练2 (1)(2020·蚌埠质检)已知0<a 1，即a a >a b ，同理可得，b a >b b ，又∵a a b a ＝⎝⎛⎭⎫a b a<1，∴b a >a a ，即b a 最大．(2)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞ )D ．(－∞ ，－2]答案 B解由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，＋∞)上递减，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B.(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫12x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是．答案 [－3,0)解当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]，当a ≤x <0时，f (x )∈⎣⎡⎭⎫－12a ，－1，所以⎣⎡⎭⎫－12a ，－1[－8,1]，即－8≤－12a <－1，即－3≤a <0.所以实数a 的取值范围是[－3,0).1．给出下列结论： ①当a <0时，322()a ＝a 3；②na n ＝|a |(n >1，n ∈N ＋，n 为偶数)；③函数f (x )＝12(2)x -－(3x －7)0的定义域是{x |x ≥2且x ≠73}；④若5a ＝0.3,0.7b ＝0.8，则ab >0. 其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④答案 B解 322()a >0，a 3<0，故①错， ∵0<5a <1,0<0.7b <1，∴a <0，b >0，∴ab <0.故④错．2．(2019·北京大兴区期末)下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5x B ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1 D ．y ＝3|x |答案 B3．已知a ＝0.860.75，b ＝0.860.85，c ＝1.30.86，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a D ．c >a >b答案 D解 ∵函数y ＝0.86x 在R 上是减函数， ∴0<0.860.85<0.860.75<1，又1.30.86>1，∴c >a >b .4．已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x >0时，10时，11.∵当x >0时，b x <a x ，∴当x >0时，⎝⎛⎭⎫a b x>1. ∴ab >1，∴a >b ，∴10，故排除D ，因此选C.6．(2019·安徽省马鞍山第二中学模拟)若函数y ＝a x －m＋n －3(a >0且a ≠1)的图像恒过定点(3,2)，则m ＋n ＝ . 答案 7解 ∵函数y ＝a x －m ＋n －3(a >0且a ≠1)的图像恒过定点，令x －m ＝0，可得x ＝m ，y ＝n －2，可得函数的图像经过定点(m ，n －2)．∴m ＝3，n －2＝2，解得m ＝3，n ＝4，则m ＋n ＝7.7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x >1，(2－3a )x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎦⎤23，34解若函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，(2－3a )x ＋1，x ≤1是R上的减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，2－3a <0，a ≤2－3a ＋1，解得a ∈⎝⎛⎦⎤23，34.8．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根⇔函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 的图像有两个交点．①当0<a <1时，如图①，所以0<2a <1，即0<a <12.②当a >1时，如图②，而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12.9．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝ . 答案－32解 ①当0<a <1时，函数f (x )在[－1,0]上递减，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝0，f (0)＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，此时a ＋b ＝－32.②当a >1时，函数f (x )在[－1,0]上递增，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝－1，f (0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，显然无解．所以a ＋b ＝－32.10．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是．答案 (－1,2)解原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x ，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.11．求函数f (x )＝－4x －2x ＋1＋3的定义域、值域．解 ∵－4x －2x ＋1＋3≥0，即(2x )2＋2·2x －3≤0.令t ＝2x >0，∴t 2＋2t －3≤0，∴(t －1)(t ＋3)≤0，∴0<t ≤1.∴2x ≤1.∴x ≤0.∴函数f (x )的定义域为(－∞，0]．令y ＝－t 2－2t ＋3＝－(t ＋1)2＋4(0<t ≤1)．对称轴t ＝－1.∴函数y 在(0,1]上递减．∴0≤y <3.∴函数f (x )的值域为[0，3)．12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图像经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )的表达式；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)因为f (x )的图像过A (1,6)，B (3,24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24.所以a 2＝4，又a >0，所以a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x －m ≥0恒成立，即m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上恒成立．又因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上均为减函数，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上也是减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56，所以m ≤56，即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，56.13．当x ∈[－2,2]时，a x <2(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是() A ．(1，2) B.⎝⎛⎭⎫22，1C.⎝⎛⎭⎫22，1∪(1，2) D ．(0,1)∪(1，2)答案 C解 x ∈[－2,2]时，a x <2(a >0，且a ≠1)．若a >1，y ＝a x 是增函数，则有a 2<2，可得a <2，故有1<a <2；若0<a <1，y ＝a x 是减函数，则有a －2<2，可得a >22，故有22<a <1.综上所述，a ∈⎝⎛⎭⎫22，1∪(1，2)．14．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是．答案 ⎣⎡⎦⎤34，57解令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34，∵x ∈[－3,2]，∴t ∈⎣⎡⎦⎤14，8，∴当t ＝12时，y min ＝34，当t ＝8时，y max ＝57.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤34，57.15．若函数f (x )＝2|x ＋a |(a ∈R )满足f (1－x )＝f (1＋x )，f (x )在区间[m ，n ]上的最大值记为f (x )max ，最小值记为f (x )min ，若f (x )max －f (x )min ＝3，则n －m 的取值范围是．答案 (0,4]解因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x )的图像关于直线x ＝1对称，所以a ＝－1，所以f (x )＝2|x －1|.作出函数y ＝f (x )的图像如图所示．当m <n ≤1或1≤m <n 时，离对称轴越远，m 与n 的差越小，由y ＝2x －1与y ＝21－x 的性质知极限值为0.当m <1<n 时，函数f (x )在区间[m ，n ]上的最大值与最小值的差为f (x )max －f (x )min＝2|±2|－20＝3，则n －m 取得最大值2－(－2)＝4，所以n －m 的取值范围是(0,4]．16．已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋4(－1≤x ≤2)． (1)若λ＝32，求函数f (x )的值域； (2)若方程f (x )＝0有解，求实数λ的取值范围．解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋4＝⎝⎛⎭⎫122x －2λ·⎝⎛⎭⎫12x ＋4(－1≤x ≤2)．设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋4⎝⎛⎭⎫14≤t ≤2. 当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋4＝⎝⎛⎭⎫t －322＋74⎝⎛⎭⎫14≤t ≤2. 所以g (t )max ＝g ⎝⎛⎭⎫14＝5316，g (t )min ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝74. 所以f (x )max ＝5316，f (x )min ＝74，故函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤74，5316.(2)方程f (x )＝0有解可转化为λ＝2·2x ＋12·12x (－1≤x ≤2)．设φ(x )＝2·2x ＋12·2x ⎝⎛⎭⎫12≤2x ≤4，当2x ＝12，即x ＝－1时，φ(x )min ＝2；当2x ＝4，即x ＝2时，φ(x )max ＝658. 所以函数φ(x )的值域为⎣⎡⎦⎤2，658. 故实数λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤2，658.。