2016中考数学真题word版【考点分类汇编】36规律探索

规律探索
一.选择题
1.（2015湖南邵阳第10题3分）如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）
A．2015πB．3019.5πC．3018πD．3024π
考点：旋转的性质；弧长的计算．.
专题：规律型．
分析：首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．
解答：解：转动一次A的路线长是：，
转动第二次的路线长是：，
转动第三次的路线长是：，
转动第四次的路线长是：0，
转动五次A的路线长是：，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为：+2π=6π，
2015÷4=503余3
顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．
故选：D．
点评：本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键．2.（2015湖北荆州第10题3分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式A m=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（）A．（31，50）B．（32，47）C．（33，46）D．（34，42）
考点：规律型：数字的变化类．
分析：先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可．
解答：解：2015是第=1008个数，
设2015在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1008，
即≥1008，
解得：n≥，
当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；
当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；
故第1008个数在第32组，
第1024个数为：2×1024﹣1=2047，
第32组的第一个数为：2×962﹣1=1923，
则2015是（+1）=47个数．
故A2015=（32，47）．
故选B．
点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
3.（2015湖北鄂州第10题3分）
在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1 、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3......按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 (x)
上，已知正方形A1B1C1D1 的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）
A．B．C．D．
【答案】D.
考点：1.正方形的性质；2.解直角三角形．
4. （2015?山东威海，第12 题3分）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（）
A．B．C．D．
考点：正多边形和圆．.
专题：规律型．
分析：连结OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1，于是可得OD2=E1D1=×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，依此规律可得正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2，然后化简即可．
解答：解：连结OE1，OD1，OD2，如图，
∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，
∴∠E1OD1=60°，
∴△E1OD1为等边三角形，
∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，
∴OD2⊥E1D1，
∴OD2=E1D1=×2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，
同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，
则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2=．
故选D．
点评：本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径．
5．（2015?山东日照，第11题3分）观察下列各式及其展开式：
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（）
A．36 B．45 C．55 D．66
考点：完全平方公式．.
专题：规律型．
分析：归纳总结得到展开式中第三项系数即可．
解答：解：解：（a+b）2=a22+2ab+b2；
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；
（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；
第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；
第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；
第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，
则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．
故选B．
点：此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键
6 , （2015?山东临沂,第11题3分）观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，….
按照上述规律，第2015个单项式是（）
(A) 2015x2015. (B) 4029x2014. (C) 4029x2015. (D) 4031x2015.
【答案】C
【解析】
试题分析：根据这组数的系数可知它们都是连续奇数，即系数为（2n－1），而后面因式x 的指数是连续自然数，因此关于x的单项式是，所以第2015个单项式的系数为2×2015－1=4029，因此这个单项式为.
故选C
考点：探索规律
7．(2015·河南，第8题3分)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半
圆O 1，O 2，O 3，… 组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒
2
个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是（ ） A .（2014,0） B .（2015，－1） C . （2015,1） D . （2016,0）
B 【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索. ∵半圆的半径r =1，∴半圆长度=π， ∴第2015秒点P 运动的路径长为：2
π×2015， ∵
2
π×2015÷π=1007…1，∴点P 位于第1008个半圆的中点上，且这个半圆在x 轴的下方. ∴此时点P 的横坐标为：1008×2－1=2015，纵坐标为－1，∴点P (2015，－1) . 图”中的“○”的个数，若第n 个“龟图”中有245个“○”，则n =（ ） A ．
14 B ．
15 C ．
16 D ．
17
考点： 规律型：图形的变化类．.
分析： 分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则知第n 个图形中小圆的个数为n （n ﹣1）+5．据此可以再求得“龟图”中有245个“○”是n 的值． 解答： 解：第一个图形有：5个○， 第二个图形有：2×
1+5=7个○， 第三个图形有：3×
2+5=11个○， 第四个图形有：4×
3+5=17个○， 由此可得第n 个图形有：[n （n ﹣1）+5]个○， 则可得方程：[n （n ﹣1）+5]=245 解得：n 1=16，n 2=﹣15（舍去）． 故选：C ．
点评： 此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．
P
O 第8题
O 1
x
y O 2
O 3
8. （2015?四川省宜宾市，第7题，3分）如图，以点O 为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、……、20，阴影部分是由第l 个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，……，第l 9个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（ B ） A .231π B .210π C .190π D .171π
9. （2015?浙江宁波，第10题4分）如图，将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的A 1处，称为第1次操作，折痕DE 到BC 的距离记为1h ；还原纸片后，再将△ADE 沿着过AD 中点D 1的直线折叠，使点A 落在DE 边上的A 2处，称为第2次操作，折痕D 1E 1到BC 的距离记为2h ；按上述方法不断操作下去，经过第2015次操作后得到的折痕D 2014E 2014到BC 的距离记为2015h ，若1h =1，则2015h 的值为【 】 A .
2015
2
1 B .
2014
2
1 C . 2015
2
11-
D . 2014
2
12-
【答案】D .
【考点】探索规律题（图形的变化类）；折叠对称的性质；三角形中位线定理.
【分析】根据题意和折叠对称的性质，DE 是△ABC 的中位线，D 1E 1是△A D 1E 1的中位线，D 2E 2是△A 2D 2E 1的中位线，… ∴2111
1122h =+
=-， 322111
11222h =++=-，
42331111
112222h =+++=-，
…
20152201420141111
112222
h =+++⋅⋅⋅+=-.
故选D . 二.填空题
1．（2015?甘肃武威,第18题3分）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是 45 ，2016是第 63 个三角形数． 考点： 规律型：数字的变化类．
分析：
根据所给的数据发现：第n 个三角形数是1+2+3+…+n ，由此代入分别求得答案即可．
解答：解：第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，
1+2+3+4+…+n=2016，
n（n+1）=4032，
解得：n=63．
故答案为：45，63．
点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
2. （2015?浙江衢州,第15题4分）已知，正六边形在直角坐标系的位置如图所示，，点在原点，把正六边形沿轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2015次翻转之后，点的坐标是▲ .
【答案】．
【考点】探索规律题（图形的变化类－－－－循环问题）；正六边形的性质；含30度角角三角形的性质．
【分析】如答图，根据翻转的性质，每6次为一个循环组依次循环.
∵，∴经过2015次翻转之后，为第336个循环组的第5步.
∵，∴在中，.∴.
∴在中，.∴.
∴的横坐标为，纵坐标为.
∴经过2015次翻转之后，点的坐标是．
3. （2015?浙江湖州，第16题4分）已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3(如图所示)，以此类推…，若A1C1=2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是__________________________
【答案】.
考点：正方形的性质；相似三角形的判定及性质；规律探究题.
4. （2015?四川省内江市，第16题，5分）如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有2n（n+1）根火柴棒．（用含n的代数式表示）
考点：规律型：图形的变化类．.
专题：压轴题．
分析：本题可分别写出n=1，2，3，…，所对应的火柴棒的根数．然后进行归纳即可得出最终答案．
解答：解：依题意得：n=1，根数为：4=2×1×（1+1）；
n=2，根数为：12=2×2×（2+1）；
n=3，根数为：24=2×3×（3+1）；
…
n=n时，根数为：2n（n+1）．
点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
5．(2015·深圳，第15题分)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有个太阳。

【答案】21
【解析】第一行的规律是1，2，3，4，…，故第五个数是5；
第二行的规律是1，2，4，8，…，故第五个数是16；故第五个图中共有21个太阳。

6．(2015·南宁，第18题3分)如图9，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动3 个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第n次
移动到点A N ，如果点A N 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是 ． 考点：规律型：图形的变化类；数轴．.
分析：序号为奇数的点在点A 的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A 的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A 13表示的数为﹣17﹣3=﹣20，A 12表示的数为16+3=19，则可判断点A n 与原点的距离不小于20时，n 的最小值是13．
解答：解：第一次点A 向左移动3个单位长度至点A 1，则A 1表示的数，1﹣3=﹣2﹣2； 第2次从点A 1向右移动6个单位长度至点A 2，则A 2表示的数为﹣2+6=4； 第3次从点A 2向左移动9个单位长度至点A 3，则A 3表示的数为4﹣9=﹣5； 第4次从点A 3向右移动12个单位长度至点A 4，则A 4表示的数为﹣5+12=7； 第5次从点A 4向左移动15个单位长度至点A 5，则A 5表示的数为7﹣15=﹣8； …；
则A 7表示的数为﹣8﹣3=﹣11，A 9表示的数为﹣11﹣3=﹣14，A 11表示的数为﹣14﹣3=﹣17，A 13表示的数为﹣17﹣3=﹣20，
A 6表示的数为7+3=10，A 8表示的数为10+3=13，A 10表示的数为13+3=16，A 12表示的数为16+3=19，
所以点A n 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是13． 故答案为：13．
点评：本题考查了规律型，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解决本题的关键．
7．(2015·贵州六盘水，第17题4分)在正方形A 1B 1C 1O 和A 2B 2C 2C 1，按如图9所示方式放置，在直线1+=x y
上，点C 1，C 2在x 轴上，已知A 1点的坐标是（0，1），则点B 2的坐标为 ． 考点：一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．. 专题：规律型．
分析：根据直线解析式先求出OA 1=1，求得第一个正方形的边长，再求出第二个正方形的边长为2，即可求得B 2的坐标．
解答：解：∵直线y =x +1，当x =0时，y =1，当y =0时，x =﹣1， ∴OA 1=1，OD =1， ∴∠ODA 1=45°，
∴∠A2A1B1=45°，
∴A2B1=A1B1=1，
∴A2C1=C1C2=2，
∴OC2=OC1+C1C2=1+2=3，
∴B2（3，2）．
故答案为（3，2）．
点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；求出第一个正方形、第二个正方形的边长是解决问题的关键．
8. （2015?山东莱芜,第17题4分）已知：，，
，…，
观察上面的计算过程，寻找规律并计算．
【答案】210
【解析】
试题分析：对于（b＜a）来讲，等于一个分式，其中分母是从1到b的b个数相乘，分子是从a开始乘，乘到a－b+1，共b个数相乘．因此其规律是：
；
；
；
…；
C106==210．
考点：规律探索
9．（2015·湖北省孝感市，第15题3分）观察下列等式：
1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，
则1+3+5+…+2015＝☆．
考点：规律型：数字的变化类．.
分析：根据1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，可得1+3+5+…+（2n﹣1）=n2，据此求出1+3+5+…+2015的值是多少即可．
解答：解：因为1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，
所以1+3+5+…+2015
=1+3+5+…+（2×1008﹣1）
=10082
=1016064
故答案为：1016064．
点评：此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：1+3+5+…+（2n﹣1）=n2．
10 ．（2015·湖南省益阳市，第13题5分）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成1的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有5n+1根小棒．
考点：规律型：图形的变化类．
分析：由图可知：第1个图案中有5+1=6根小棒，第2个图案中有2×5+2﹣1=11根小棒，第3个图案中有3×5+3﹣2=16根小棒，…由此得出第n个图案中有5n+n﹣（n﹣1）=5n+1根小棒．
解答：解：∵第1个图案中有5+1=6根小棒，
第2个图案中有2×5+2﹣1=11根小棒，
第3个图案中有3×5+3﹣2=16根小棒，
…
∴第n个图案中有5n+n﹣（n﹣1）=5n+1根小棒．
故答案为：5n+1．
点评：此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
11 ．（2015·湖南省衡阳市，第20题3分）如图，△，△，△，…，△，都是等腰直角三角形．其中点，，…，在轴上，点，，…，
，在直线上．已知，则的长为．
12、（2015·湖南省常德市，第16题3分）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1。

这个结论在数学上还没有得到证明。

但举例验证都是正确的。

例如：取自然数5。

最少经过下面5步运算可得1，
即：3122225168421⨯+÷÷÷÷−−−→−−→−−→−−→−−→，如果自然数m 最少经过7步运算可
得到1，则所有符合条件的m 的值为 。

【解答与分析】此题阅读量大，主要是通过逆推法，抓住重点，自然数；31x +中的x 一定是自然数
故可得答案为：128,21,20,3
13．(2015?湖南株洲,第16题3分)“皮克定理”是来计算原点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为12
b
S a =+
-，孔明只记得公式中的S 表示多边形的面积，a 和b 中有一个表示多边形那边上(含原点)的整点个数，另一个表示多边形内部的整点的个数，但不记得究竟是
a 还是
b 表示多边形内部的整点的个数，请你选择一些特殊的多边形(如图1)进行验证，得
到公式中表示多边形内部整点个数的字母是 ；并运用这个公式求得如图2中多边形的面积是 【试题分析】
本题考点：找到规律，求出,a b 表示的意义；
由图1的直角三角形的面积可以利用三角形面积公式求出为：4；而边上的整点为8，里面的点为1；由公式12
b
S a =+
-可知，b 为偶数，故8b =，1a =，即b 为边上整点的个数，a 为形内的整点的个数；利用矩形面积进行验证：10b =，2a =，代入公式1
2
b
S a =+-＝6；利用长×宽也可以算出＝6，验证正确。

利用数出公式中的7,15b a ==，代入公式求得S ＝17.5 答案为：17.5
14．(2015·黑龙江绥化，第20题 分)填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律 ，按此规律得出a +b +c =__________． 考点：规律型：数字的变化类．．
分析：观察不难发现，左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去1的差，根据此规律列式进行计算即可得解．
解答：解：根据左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去1的差， 可得6+4=a ，6+3=c ，ac +1=b ， 可得：a =10，c =9，b =91， 所以a +b +c =10+9+91=110， 故答案为：110
点评：本题是对数字变化规律的考查，仔细观察前三个图形，找出四个数之间的变化规律是解题的关键．
15.（2015?江苏徐州,第17题3分）如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，第n 个正方形的边长为 （
）
n ﹣1
．
考点： 正方形的性质．. 专题： 规律型．
分析： 首先求出AC 、AE 、HE 的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题． 解答： 解：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB =BC =1，∠B =90°， ∴AC 2=12+12，AC =； 同理可求：AE =（
）2
，HE =（
）3
…， ∴第n 个正方形的边长a n =（）
n ﹣1
．
故答案为（
）
n ﹣1
．
点评： 该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．
.
16 .（2015?山东东营,第18题4分）如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为1的等边三角形，点A在轴上，点O，B1，B2，B3，…都在直线上，则点A2015的坐标是．
【答案】(,)
【解析】
试题分析：由题意可知点B1的坐标为（，），所以点A1的坐标为（，）；
点B2的坐标为（1，），所以点A2的坐标为（2，）；
点B3的坐标为（，），所以点A3的坐标为（，）；
点B4的坐标为（2，2），所以点A4的坐标为（3，2）；
……
所以点A2015的坐标为（+1，），即(,)
考点：规律题.
17.（2015?山东聊城,第17题3分）如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成3个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成5个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3，把△ABC分成7个互不重叠的小三角形；…△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3、…、P n，把△ABC 分成3+2（n﹣1）个互不重叠的小三角形．
考点：规律型：图形的变化类．.
分析：利用图形得到，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成互不重叠的小三角形的个数=3+2×0；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成互不重叠的小三角形的个数=3+2×1；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3，把△ABC分成互不重叠的小三角形的个数=3+2×2，即分成的互不重叠的小三角形的个数为3加上P点的个数与1的差的2倍，从而得到△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3、…、P n，把△ABC 分成的互不重叠的小三角形的个数．
解答：解：如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2×0，
△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2×1，
△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3，把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2×2，
所以△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3、…、P n，把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2（n﹣1）．
故答案为3+2（n﹣1）．
点评：本题考查了规律型：图形的变化类：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，然后通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．18. （2015?四川甘孜、阿坝，第25题4分）如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A20的坐标为（5，﹣5）．
考点：规律型：点的坐标．.
分析：由=5易得A20在第二象限，根据A4的坐标，A8的坐标，A12的坐标不难推出A20的坐标．
解答：解：∵=5，
∴A20在第二象限，
∵A4所在正方形的边长为2，
A4的坐标为（1，﹣1），
同理可得：A8的坐标为（2，﹣2），A12的坐标为（3，﹣3），
∴A20的坐标为（5，﹣5），
故答案为：（5，﹣5）．
点评：本题考查坐标与图形的性质，解题关键是首先找出A20所在的象限．19．（2015·山东潍坊第17 题3分）如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2
为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则S n=
（）n．（用含n的式子表示）
考点：等边三角形的性质．.
专题：规律型．
分析：由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出S1，同理求出S2，依此类推，得到S n．
解答：解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，
∴BB1=1，AB=2，
根据勾股定理得：AB1=，
∴S1=××（）2=（）1；
∵等边三角形AB1C1的边长为，AB2⊥B1C1，
∴B1B2=，AB1=，
根据勾股定理得：AB2=，
∴S2=××（）2=（）2；
依此类推，S n=（）n．
故答案为：（）n．
点评：此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．
20. （2015山东济宁，15，3分）若,
,
,
……
则
【答案】－n(n+1)(4n+3)
【解析】
试题分析：根据各个式子的特点可知：
第一个等式中，右边相乘的第一个数是－1，第二个数是1+1，第三个数是等号左边最后一个数3×
2+1； 第二个等式中，右边相乘的第一个数是－2，第二个数是2+1，第三个数是等号左边最后一个数5×
2+1； 第三个等式中，右边相乘的第一个数是－3，第二个数是3+1，第三个数是等号左边最后一个数7×2+1； ……
第n 个等式中，右边相乘的第一个数是－n ，第二个数是n +1，第三个数是等号左边最后一个数
（2n +1）×
2+1=4n +3； 因此结果为－n (n +1)(4n +3). 考点：规律探索
21．（2015?广东省,第15题，4分）观察下列一组数：13，25，37，49，5
11
，…，根据该组
数的排列规律，可推出第10个数是 ▲ . 【答案】
12
21
. 【考点】探索规律题（数字的变化类）.
【分析】观察得该组数的排列规律为：分母为奇数，分子为自然数，第n 个数为21
+n
n ，所以，第10个数是
1012
210121
=⨯+.
22．（2015?安徽省,第13题，5分）按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213
，…，
若x 、y 、z 表示这列数中的连续三个数，猜想x 、y 、z 满足的关系式是 ． 考点：规律型：数字的变化类．.
分析：首项判断出这列数中，2的指数各项依次为 1，2，3，5，8，13，…，从第三个数起，每个数都是前两数之和；然后根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，可得这列数中的连续三个数，满足xy =z ，据此解答即可．
解答：解：∵21
×
22=23，22×23=25，23×25=28，25×28=213，…， ∴x 、y 、z 满足的关系式是：xy =z ． 故答案为：xy =z ．
点评：此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了同底数幂的乘法法则，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出x 、y 、z 的指数的特征．
23. （2015?四川成都,第23题4分）已知菱形A 1B 1C 1D 1的边长为2，∠A 1B 1C 1＝60°，对角线A 1C 1，B 1D 1相交于点O ．以点O 为坐标原点，分别以OA 1，OB 1所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系．以B 1D 1为对角线作菱形B 1C 2D 1A 2∽菱形A 1B 1C 1D 1，再以A 2C 2为对角线作菱形A 2B 2C 2D 2∽菱形B 1C 2D 1A 2，再以B 2B 2为对角线作菱形B 2C 3D 2A 3∽菱形A 2B 2C 2D 2，…，按此规律继续作下去，在x 轴的正半轴上得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，则点A n 的坐标为____________．
【答案】：（3
n －1
，0）
【解析】：由题意，点A 1的坐标为（1，0）， 点A 2的坐标为（3，0），即（3
2－1
，0）
点A 3的坐标为（9，0），即（3 3－1，0）
点A 4的坐标为（27，0），即（3 4－1
，0）
………
∴点A n 的坐标为（3 n －1，0） 三.解答题
1．(2015·贵州六盘水，第22题10分)毕达哥拉斯学派对”数”与”形”的巧妙结合作了如下研究：
请在答题卡上写出第六层各个图形的几何点数，并归纳出第n 层各个图形的几何点数． 考点：规律型：图形的变化类．.
分析：首先看三角形数，根据前三层的几何点数分别是1、2、3，可得第六层的几何点数是6，第n 层的几何点数是n ；然后看正方形数，根据前三层的几何点数分别是1=2×1﹣1、3=2×2﹣1、5=2×
3﹣1，可得第六层的几何点数是2×6﹣1=11，第n 层的几何点数是2n ﹣1；再看五边形数，根据前三层的几何点数分别是1=3×
1﹣2、2=3×2﹣2、3=3×3﹣2，可得第六层的几何点数是3×
6﹣2=16，第n 层的几何点数是3n ﹣2；最后看六边形数，根据前三层的几何点数分别是1=4×
1﹣3、5=4×2﹣3、9=4×3﹣3，可得第六层的几何点数是4×6﹣3=21，第n 层的几何点数是4n ﹣3，据此解答即可．
解答：解：∵前三层三角形的几何点数分别是1、2、3， ∴第六层的几何点数是6，第n 层的几何点数是n ；
B 2 y
B 1
C 2 C 3
A 2 A 3
A 1 O
C 1
D 1
D 2
x
∵前三层正方形的几何点数分别是：1=2×1﹣1、3=2×2﹣1、5=2×3﹣1，
∴第六层的几何点数是：2×6﹣1=11，第n层的几何点数是2n﹣1；
∵前三层五边形的几何点数分别是：1=3×1﹣2、2=3×2﹣2、3=3×3﹣2，
∴第六层的几何点数是：3×6﹣2=16，第n层的几何点数是3n﹣2；
前三层六边形的几何点数分别是：1=4×1﹣3、5=4×2﹣3、9=4×3﹣3，
∴第六层的几何点数是：4×6﹣3=21，第n层的几何点数是4n﹣3．
三角形数正方形数五边形数六边形数名称及图形
几何点数
层数
第一层几何点数 1 1 1 1
第二层几何点数 2 3 4 5
第三层几何点数 3 5 7 9
……………
第六层几何点数 6 11 16 21
……………
第n层几何点数n2n﹣1 3n﹣2 4n﹣3
故答案为：6、11、16、21、n、2n﹣1、3n﹣2、4n﹣3．
点评：此题主要考查了图形的变化类问题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
2、（2015?四川自贡,第22题12分）观察下表:
.我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为4x y 回答下列问题：
⑴. 第3格的“特征多项式”为，第4格的“特征多项式”为，第n格的“特征多项式”为；
⑵.若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16.
①.求,x y的值；
②.在此条件下，第n的特征是否有最小值若有，求出最小值和相应的n值.若没有，请说明理由.
考点：找规律列多项式、解二元一次方程组、二次函数的性质、配方求值等.
坚持就是胜利！
分析：
⑴. 本问主要是抓住x y 、的排列规律；x 在第n 格是按()n 1+排，每排是()n 1+个x 来排列
的；y 在第n 格是按n 排，每排是n 个y 来排列的；根据这个规律第⑴问可获得解决. ⑵.①.按排列规律得出“特征多项式”以及提供的相应的值，联立成二元一次方程组来解，可求出,x y 的值.
②.求最小值可以通过建立一个二次函数来解决；前面我们写出了第n 格的“特征多项式”和求出了x y 、的值，所以可以建立最小值关于n 的二次函数，根据二次函数的性质最小值便可求得. 略解：
⑴. 第3格的“特征多项式”为 16x 9y + ，第4格的“特征多项式”为25x 16y +，第n 格的“特征多项式”为()22n 1x n y ++（n 为正整数）；
⑵.①.依题意：4x y 109x 4y 16+=-⎧⎨+=-⎩ 解之得: 24x 7
26y 7⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
②.设最小值为W ,依题意得:
()()()2222222426248242312
W n 1x n y n 1n n n n 127777777
=++=-++=--=--
答：有最小值为-
312
7
，相应的n 的值为12. 3. （2015?浙江滨州,第20题9分） 根据要求，解答下列问题.
（1）解下列方程组(直接写出方程组的解即可):
1
.
2 .
3 .
（2）以上每个方程组的解中，x 值与y 值的大小关系为 . （3）请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解.
【答案】（1）① ② ③（2）x =y
【解析】
试题分析：（1）快速利用代入消元法或加减消元法求解； （2）根据（1）发现特点是x =y ；
（3）类比①②③写出符合x =y 的方程组，直接写出解即可.
试题解析：解：（1）1
2
3
（2）x =y . （3）酌情判分,其中写出正确的方程组与解各占1分. 考点：消元法解二元一次方程组，规律探索
4．(2015?湖南株洲,第21题6分)P 表示n 边形的对角线的交点个数(指落在其内部的交点)，如果这些交点都不重合，那么P 与n 的关系式是
)(24
)
1(2b an n n n P +-∙-=
(其中，,a b 是常数，4n ≥)
(1)填空：通过画图可得：
四边形时，P ＝ (填数字)，五边形时，，P ＝ (填数字) (2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求,a b 的值
(注：本题的多边形均指凸多边形) 【试题分析】
本题考点：待定系数法求出,a b ，二元一次方程组 (1)由画图可得，当4n =时，1P = 当5n =时，5P = (2)将上述值代入公式可得： 化简得：
414519a b a b -=⎧⎨
-=⎩ 解之得：5
6a b =⎧⎨=⎩
5 , (2015山东青岛，第23题,10分)
问题提出：用n 根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角。