高考数学理(北师大版)大一轮总复习练习：3-5三角恒等变形(含答案解析)

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(常考题)北师大版高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试(含答案解析)(1)

一、选择题1．已知,(0,2)αβπ∈，且满足1sin cos 2αα-=，1cos sin 2ββ-=，则sin()αβ+=（） A ．1 B．2-或1 C ．34-或1 D ．1或-12．在ΔABC 中,2sin (22c a Ba b c c -=、、分别为角A B C 、、的对边),则ΔABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形3．设等差数列{}n a 满足：()22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-．若当且仅当11n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（） A ．9,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．9,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,10ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．已知()sin 2cos x x x ϕ+=+对x ∈R 恒成立，则cos 2ϕ=（） A ．25-B ．25C ．35D ．355．函数2()3sin cos f x x x x =+的最大值为（）AB．C ．33 D．3+6．若函数()sin cos 2sin cos 1f x x x x x a =+-+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有零点，则实数a 的取值范围（）A．⎡⎤⎣⎦B．94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．⎡-⎣D．94⎤⎥⎦7．已知直线524x π=是函数21()sin 8)22x f x x ωωω=+<≤图象的一条对称轴，则ω=（） A ．2 B ．4C ．6D ．88．若()tan804sin 420α+=，则()tan 20α+的值为（）A ．35-B ．35C ．3 D ．3 9．已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（） A ．54π B ．34π C ．2π D ．3π 10．已知3cos()63πα+=，则sin(2)6πα-的值为（） A ．22B ．13C ．13-D ．22-11．若，则的值为（）A ．B ．C ．D ．12．若3sin 2sin 703παα⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则tan α=（） A ．233-B ．233C ．3D ．32二、填空题13．已知4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________． 14．已知6sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．15．()sin 5013︒+︒的值__________.16．已知方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，α，,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=________.17．已知2tan 3tan 5πα=，则2sin 59cos 10παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭________. 18．已知sin10cos102cos140m ︒-︒=︒，则m =_________.19．已知()tan 2tan αββ+=，,(0,)2παβ∈，则当α最大时，tan2α=________.20．设,(0,)αβπ∈，cos α，cos β是方程26320x x -=-的两根，则sin sin αβ=_________.三、解答题21．已知函数2()cos sin 32233x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）若,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的递增区间和值域；（2）若004()54f x x ππ=+≤≤，求点02sin 3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 22．已知1sin cos 5αα+=，其中0απ<<. （1）求11sin cos αα+的值；（2）求tan α的值.23．已知函数()cos sin )(0)2f x x x x ωωωω=+->，且()f x 的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若2()f x ，求x 的取值范围. 24．设函数2()cos cos 6f x x x x π⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值. 25．已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最值及取到最值时x 的值；（3）若函数()()g x f x m =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ，2x ，求实数m 的取值范围，并求()12tan x x +的值.26．已知函数2()[2sin()sin ]cos 3f x x x x x π=++．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数()f x 的图象关于点(,)m n 对称，求正数m 的最小值；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由两角与差的正弦、余弦公式变形由已知求得sin()4πα-和cos()4πβ+，用平方关系求得cos()4πα-和sin()4πα+，而sin()sin ()()44ππαβαβ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦，展开后计算，注意分类讨论．【详解】∵1sin cos 2αα-=，∴sin 224αα-=sin()44πα-=，1cos sin 2ββ-=，4cos 22ββ-=，cos()44πβ+=，∴cos()4πα-=sin()4πα+=± sin()sin ()()sin()cos()cos()sin()444444ππππππαβαβαβαβ⎡⎤+=-++=-++-+⎢⎥⎣⎦，当7cos()sin()448ππαβ-+=时，17sin()188αβ+=+=，当7cos()sin()448ππαβ-+=-时，173sin()884αβ+=-=-，故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查两角和与差正弦、余弦公式．解题关键是确定已知角和未知角之间的关系，本题中已知等式变形得出4πα-和4πβ+，未知角有()()44ππαβαβ+=-++，这样易确定使用的公式与顺序．2．A解析：A 【解析】依题意，利用正弦定理及二倍角公式得sin sin 1cos 2sin 2C A BC --=，即sin sin cos A C B =，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，故sin cos 0B C =，三角形中sin 0B ≠，故πcos 0,2C C ==，故三角形为直角三角形，故选A. 3．D解析：D 【解析】因为22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，所以由余弦二倍角公式、平方差公式及两角和与差的余弦公式可得2272718cos 2cos()cos()1sin()a a a a a a a -+-+=+，再运用积化和差公式可得227181cos 2[cos 2cos 2]21sin()a a a a a -++=+，即72181[cos 2cos 2]21sin()a a a a -=+，再由差化积公式可得727218sin()sin()1sin()a a a a a a --+=+．由于{}n a 是等差数列，因此1827a a a a +=+，即1827sin()sin()a a a a +=+，所以72sin()1a a -=-即sin51d =-注意到()1,0d ∈-，则()55,0d ∈-，所以5210d d ππ=-⇒=-，故对称轴方程故等差数列的前n 项和是1(1)2n n n S na d -=+，即221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，其对称轴是1202a n ππ+=，由题设可得1202123222a ππ+<<，即11110a ππ<<，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是先借助三角变换中的两角和差的余弦公式、余弦二倍角公式、积化和差与和差化积公式等三角变换公式进行化简，再借助差数列的定义和性质求出等差数列的公差10d π=-，然后将等差数列的前n 项和公式1(1)2n n n S na d -=+变形为221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，借助对称轴11n =的位置建立不等式组1202123222a ππ+<<，进而求得数列首项的取值范围是11110a ππ<<． 4．D解析：D 【分析】利用两角和的正弦公式进行展开，结合恒成立可得cos ϕ，最后根据二倍角公式得结果. 【详解】由题可知，cos sin sin 2cos x x x x ϕϕ+=+，则cosϕ=，sin ϕ=，所以283cos22cos 1155ϕϕ=-=-=，故选：D. 【点睛】本题主要考查了两角和的余弦以及二倍角公式的应用，通过恒成立求出cos ϕ是解题的关键，属于中档题.5．A解析：A 【分析】利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，由此求得()f x 的最大值. 【详解】依题意()1cos 233sin 2sin 22222x f x x x x -=+=+12cos 2222262x x x π⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以()f x 22=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查降次公式、二倍角公式和辅助角公式，考查三角函数的最值的求法，属于中档题.6．A解析：A 【分析】由题意结合函数零点的概念可得方程1sin cos 2sin cos a x x x x -=+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有解，令sin cos 2sin cos y x x x x =+-，通过换元法求得y 在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的值域即可得解. 【详解】因为函数()sin cos 2sin cos 1f x x x x x a =+-+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有零点，所以方程1sin cos 2sin cos a x x x x -=+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有解，设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，3,44x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，∴,204x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴t ⎡⎤∈⎣⎦，212sin cos t x x =+，∴2215sin cos 2sin cos 124y x x x x t t t ⎛⎫=+-=-+=--+ ⎪⎝⎭，当0t =时，y 取得最大值1，当t =y 取得最小值1-，故可得111a ≤-≤，∴2a ≤≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用，考查了三角函数的性质及三角恒等变换的应用，考查了逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.7．B解析：B 【分析】首先通过三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．【详解】解：函数211()sin cos )sin sin()2223xf x x x x x ωπωωωω=+=-+=-，令：5()2432k k Z πππωπ-=+∈，解得244()5kk Z ω=+∈，由于08ω<，所以4ω=．故选：B ．【点睛】本题考查三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，8．D解析：D 【分析】由()tan804sin 420α+=得：()tan 804sin 4204sin 6023α+===，然后将()tan 20α+化为()tan 8060α⎡⎤+-⎣⎦，用正切的差角公式求解.【详解】因为()tan804sin 4204sin 6023α+===，则()()()()tan 80tan 6023tan 20tan 806071tan 80tan 6012αααα+-⎡⎤+=+-===⎣⎦++⋅+. 故选:D . 【点睛】本题考查诱导公式、正切的差角公式的运用，难度一般.解答时要注意整体思想的运用，即观察目标式与条件式角度之间的和差关系，然后运用公式求解.9．C解析：C 【分析】根据三角恒等变换化简函数()f x ，再由图象的平移得到函数()g x 的解析式，利用函数()g x 的值域，可知12x x -的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，从而得出选项.【详解】函数2()22cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 416y g x x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的图象，所以函数()y g x =的值域为[1,3]-.若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值，由42()62x k k Z πππ-=+∈，解得()62k x k Z ππ=+∈；其中1x ､2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且242T ππ==. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象的平移，以及函数的值域和周期，属于中档题.10．B解析：B 【解析】 ∵3cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 2sin 2sin 26662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦][221cos 2[2cos 11]6633ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.11．C解析：C 【解析】试题分析：因，故应选C ．考点：同角三角函数的关系及运用．12．A解析：A 【分析】由两角和的正弦公式化简，并引入锐角β，cos 7β=，3sin 7β=，已知条件化为sin()1αβ-=，这样可得22k παβπ=++，k Z ∈，代入tan α，应用切化弦公式及诱导公式可得结论．【详解】由已知3sin 2sin 73sin 2sin cos cos sin 70333πππααααα⎛⎫⎛⎫-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin 37αα=3177αα=，设cos 7β=，3sin 7β=，且β为锐角， 3cos sin sin cos sin()177ααβαβααβ=-=-=， ∴22k παβπ-=+，k Z ∈，即22k παβπ=++，k Z ∈，tan tan 2tan 22k ππαβπβ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos 2sin cos 2πββπββ⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故选：A ．【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式，考查诱导公式及同角间的三角函数关系，化简变形求值是解题的基本方法．二、填空题13．【分析】由且求得得到再结合两角和的正切公式即可求解【详解】因为且可得所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式以及两角和的正切公式的化简求证其中解答中熟记三角函数的基本关系式和两角解析：17【分析】由4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求得3sin 5θ=-，得到3tan 4θ=-，再结合两角和的正切公式，即可求解. 【详解】因为4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得3sin 5θ===-，所以sin 3tan cos 4θθθ==-，又由311tan 14tan 341tan 714πθθθ-+⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭+. 故答案为：17.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及两角和的正切公式的化简、求证，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和两角和的正切公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.14．【分析】构造角再用两角和的余弦公式及二倍公式打开【详解】故答案为：【点睛】本题是给值求值题关键是构造角应注意的是确定三角函数值的符号解析：26- 【分析】构造角22643πππαα⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求，再用两角和的余弦公式及二倍公式打开. 【详解】()50,,,444πππαπα⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，sin 42πα⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，22cos 22cos 1443ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 22sin cos 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 6434343πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2132⎛=⨯+= ⎝⎭故答案为：26【点睛】本题是给值求值题，关键是构造角，应注意的是确定三角函数值的符号.15．1【分析】由结合辅助角公式可知原式为结合诱导公式以及二倍角公式可求值【详解】解：故答案为:1【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系考查了二倍角公式考查了辅助角公式考查了诱导公式本题的难点是熟练运用解析：1 【分析】由sin10tan10cos10︒︒=︒，结合辅助角公式可知原式为2sin50sin 40cos10︒︒︒，结合诱导公式以及二倍角公式可求值. 【详解】解： ()cos10sin501sin50cos10︒+︒︒+︒=︒⨯︒()2sin50cos30sin10sin 30cos102sin50sin 402sin50cos50cos10cos10cos10︒︒︒+︒︒︒︒︒︒===︒︒︒()sin 10902sin50cos50sin100cos101cos10cos10cos10cos10︒+︒︒︒︒︒====︒︒︒︒.故答案为:1. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.16．【分析】根据方程的两根为得到由两角和的正切公式得到再确定的范围求解【详解】因为方程的两根为所以则因为所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题解析：34π-【分析】根据方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，得到tan tan 3,tan tan 31a a αβαβ+=-⋅=+，由两角和的正切公式得到()tan αβ+，再确定αβ+的范围求解. 【详解】因为方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，所以tan tan 3,tan tan 31a a αβαβ+=-⋅=+，则()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-⋅，因为2a >，所以tan tan 30,tan tan 310a a αβαβ+=-<⋅=+>，所以tan 0,tan 0αβ<<，α，,02πβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， (),0αβπ+∈-，所以34παβ+=-. 故答案为：34π- 【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．【分析】由可得然后用正弦的和差公式展开然后将条件代入即可求出原式的值【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题考查的三角恒等变换解决此类问题时要善于发现角之间的关系解析：12【分析】由259210πππαα+=++可得22sin sin 5592cos sin 105ππααππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后用正弦的和差公式展开，然后将条件代入即可求出原式的值【详解】因为2tan 3tan5πα= 所以222sin sin sin 555922cos cos sin 10255πππαααππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222sincos cos sin tan tan 2tan 1555522222sin cos cos sin tan tan 4tan5555ππππαααππππααα---====----- 故答案为：12【点睛】本题考查的三角恒等变换，解决此类问题时要善于发现角之间的关系.18．【分析】化简得再利用诱导公式与和差角公式化简求解即可【详解】由题故答案为：【点睛】本题主要考查了根据余弦的诱导公式与和差角公式化简求解的问题需要根据题中的角跟特殊角的关系用和差角公式属于中档题【分析】化简得sin102cos140cos10m ︒-︒=︒,再利用诱导公式与和差角公式化简cos140︒求解即可.【详解】由题()sin102cos 1030sin102cos140cos10cos10m ︒+︒+︒︒-︒==︒︒sin102cos10cos302sin10sin 302cos10cos302cos30cos10cos10︒+︒︒-︒︒︒︒===︒=︒︒.【点睛】本题主要考查了根据余弦的诱导公式与和差角公式化简求解的问题.需要根据题中的角跟特殊角的关系用和差角公式,属于中档题.19．【分析】根据正切的和角公式将用的函数表示出来利用均值不等式求最值求得取得最大值的再用倍角公式即可求解【详解】故可得则当且仅当即时此时有故答案为：【点睛】本题考查正切的和角公式以及倍角公式涉及均值不等解析：7【分析】根据正切的和角公式，将tan α用tan β的函数表示出来，利用均值不等式求最值，求得取得最大值的tan α，再用倍角公式即可求解. 【详解】0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 0,tan 0αβ∴>> tan()2tan αββ+=故可得tantan 2tan 1tantan αββαβ+=-则2tan 1tan 112tan 42tan tan βαβββ==≤=++当且仅当12tan tan ββ=，即tan 2β=时，max tan 4α=此时有222tan 4tan 221tan 7116ααα===--. 【点睛】本题考查正切的和角公式，以及倍角公式，涉及均值不等式的使用.20．【分析】由韦达定理得由平方后化为然后凑配成的代数式再代入求值【详解】由是方程的两根所以从而又由知从而【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的平方关系考查韦达定理解题关键是利用平方关系化正弦为余弦解答本题【分析】由韦达定理得cos cos ,cos cos αβαβ+，由sin sin αβ平方后化为cos ,cos αβ，然后凑配成cos cos ,cos cos αβαβ+的代数式，再代入求值．【详解】由cos α，cos β是方程26320x x -=-的两根所以11cos cos ,cos cos 23αβαβ+==-，从而()()222(sin sin )1cos 1cos αβαβ=--22221cos cos cos cos αβαβ=--+222212cos cos cos cos (cos 2cos cos cos )αβαβααββ=++-++22(1cos cos )(cos cos )αβαβ=+-+22114171329436⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又由,(0,)αβπ∈知sin sin 0αβ>，从而sin sin αβ= 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的平方关系，考查韦达定理，解题关键是利用平方关系化正弦为余弦，解答本题的关键是将()()222(sin sin )1cos 1cos αβαβ=--化为22(1cos cos )(cos cos )αβαβ+-+的形式，属于中档题.三、解答题21．（1）,24ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，值域1⎤+⎥⎣⎦；（2）02sin 3x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 【分析】（1）先利用诱导公式和降幂公式可将()f x 化为()2sin 33x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭数的性质可得函数的单调区间和值域. （2）利用两角差的正弦公式可求02sin 3x ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】①2()sin cos 1cos 3323x x x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2sin 33x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由2222332x k k πππππ-≤+≤+得53344k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，又2x ππ-≤≤，所以()f x 的递增区间为,24ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，又2x ππ-≤≤，故2033x ππ≤+≤，所以20sin 133x π⎛⎫≤+≤⎪⎝⎭，()f x ∴值域为122⎤+⎥⎣⎦.②由024()sin 335x f x π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭得024sin 335x π⎛⎫+=⎪⎝⎭，因04x ππ≤≤，所以02233x πππ≤+≤，故023cos 335x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭00002222sin sin sin cos cos sin 3333333333x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦413525=⨯+=. 【点睛】方法点睛：形如()22sinsin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()'sin 2'f x A x B ωϕ=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法． 22．（1）115sin cos 12αα+=-；（2）4tan 3α=-. 【分析】（1）将等式1sin cos 5αα+=两边平方，可求出sin cos αα的值，进而可求得11sin cos αα+的值；（2）法一：利用同角三角函数的基本关系可求得sin cos αα-的值，结合已知条件可得出关于sin α、cos α的方程组，解出sin α、cos α的值，进而可求得tan α的值；法二：由弦化切可得出222sin cos tan 12sin cos tan 125αααααα==-++，可得出关于tan α的二次方程，由已知条件可得出tan 1α<-，由此可求得tan α的值. 【详解】（1）由1sin cos 5αα+=①，得()21sin cos 12sin cos 25αααα+=+=. 12sin cos 25αα∴=-，所以，111sin cos 5512sin cos sin cos 1225αααααα++===--；（2）法一：由（1）知12sin cos 25αα=-，0απ<<，sin 0α>，cos 0α<，sin cos 0αα∴->.()249sin cos 12sin cos 25αααα∴-=-=，7sin cos 5αα∴-=②.由①②得，4sin 5α，3cos 5α=-，sin 4tan cos 3∴==-ααα；法二：由（1）知12sin cos 25αα=-，22sin cos 1αα+=，22sin cos 12sin cos 25αααα∴=-+. 2222sin cos 12cos sin cos 25cos αααααα∴=-+，即2tan 12tan 125αα=-+，整理可得212tan 25tan 120αα++=，得4tan 3α=-或3tan 4α=-. 因为0απ<<，所以sin 0α>，cos 0α<，又1sin cos 05αα+=>，所以sin cos αα>，tan 1α∴<-，所以4tan 3α=-. 【点睛】方法点睛：在利用同角三角函数的基本关系求值时，可利用以下方法求解：（1）应用公式时注意方程思想的应用，对于sin cos αα+、sin cos αα-、sin cos αα这三个式子，利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±可以知一求二；（2）关于sin α、cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子． 23．（1）7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）523,()2424k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.【分析】利用二倍角公式和两角和的正弦公式化简()f x ，由周期求出ω，（1）根据正弦函数的单调性可得答案；（2）根据正弦函数的值域可得答案. 【详解】)2()cos sin sin cos 22f x x x x x x x ωωωωωω=+-=+-1cos 2sin 222x x ωω+=+12sin 2sin 223x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又函数()f x 的最小正周期为x ，所以22ππω=，故1ω=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）由题意，得3222,232k x k k πππππ+++∈Z ，解得7,1212k xk k ππππ++∈Z ，所以()f x 的单调递减区间是7,()1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）因为2()sin 232f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以39222()434k x k k πππππ+++∈Z ，解得523()2424k x k k ππππ++∈Z ，所以523,()2424x k k k ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z .【点睛】本题考查了三角函数的性质，关键点是求出正弦函数的解析式，利用正弦函数的性质解题，要求学生熟练掌握三角函数的基础知识.24．（1）T π=，单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为12，最小值为14-. 【分析】（1）本题首先可通过三角恒等变换将函数解析式转化为()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后通过周期计算公式即可求出最小正周期，通过正弦函数的单调性即可求出单调递增区间；（2）本题可根据,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，然后根据正弦函数的性质即可求出最值. 【详解】（1）2()cos cos 64f x x x x π⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭21cos sin 2x x x x ⎫=++-⎪⎪⎝⎭221sin cos 2x x x x =++))2212cos 1sin 22sin 14x x x =-+-+11cos 2sin 2cos 2sin 2244244x x x x x =+-=-111sin 22sin 22223x x x π⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则最小正周期22T ππ==，当222232k x k πππππ-+≤-≤+，即()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，函数()f x 单调递增，函数()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的性质易知，当236x ππ-=-，即12x π=时，函数()f x 取最小值，最小值为14-；当232x ππ-=，即512x π=时，函数()f x 取最大值，最大值为12.【点睛】关键点点睛：本题考查结合三角恒等变换判断三角函数性质，能否根据三角恒等变换将函数转化为()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是解决本题的关键，考查三角函数周期性、单调性以及最值的求法，是中档题.25．（1）最小正周期π，单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）4x π=时，()f x 取得最大值1；12x π=-时，()f x 取得最小值2-；（3）)m ∈，()12tan 3x x +=-. 【分析】（1）利用和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为()sin y A ωx φ=+的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，利用正弦函数的定义域和值域，求得()f x 的最大值和最小值，并指出()f x 取得最值时对应的x 的值.（3）函数()()g x f x m =-所在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦匀上有两个不同的零点1x ，2x ，转化为函数()f x 与函数y m =有两个交点；可求m 的范围，结合三角函数的图象可知，1x ，2x ，关于对称轴是对称的，可知12x x +，即可求()12tan x x +的值. 【详解】解：（1）函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭化简可得：()2112sin cos sin 2cos 222f x x x x x x ⎫=-=-++⎪⎭sin 222sin 23x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期22T ππ==，由222232k x k πππππ-≤-≤+，解得：1212k x k π5ππ-≤≤π+，所以函数的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（2）由于64x ππ-≤≤，可得22336x πππ-≤-≤，当236x ππ-=，即4x π=时，()f x 取得最大值1；当232x ππ-=-，即12x π=-时，()f x 取得最小值2-.（3）函数()()g x f x m =-所在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦匀上有两个不同的零点1x '，2x '，转化为函数()f x 与函数y m =有两个交点，令23u x π=-，∵ 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2,33u ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得sin y u =的图象(如图).从图可知：)m ∈时，函数sin y u =与函数y m =有两个交点，其横坐标分别为1x '，2x '.故得实数m 的取值范围是)3,2m ⎡∈⎣，由题意可知1x '，2x '是关于对称轴是对称的：那么函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的对称轴512x π=，所以1256x x π''+=，所以()1253tan tan 6x x π''+==-.【点睛】本题第三问解题的关键在于将问题转化为函数()f x 与函数y m =有两个交点，进而讨论函数在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象，根据数形结合思想求解，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.26．（1）T π=，7[,],1212++∈k k k Z ππππ；（2）3π. 【分析】（1）先利用三角恒等变换，将函数转化为()2sin(2)3f x x π=+，再利用正弦函数的性质求解.（2）根据函数()f x 的图象关于点(,)m n 对称，令2()3m k k Z ππ+=∈求解.【详解】（1）2()[2sin()sin ]cos 3=++f x x x x x π2(sin sin )cos =++-x x x x x2(2sin )cos =+x x x x222sin cos sin )x x x x =+-sin 222sin(2)3x x x π==+， T π=，由3222232k x k πππππ+≤+≤+，解得71212k x k ππππ+≤≤+，则()f x 的单调递减区间是7[,],1212++∈k k k Z ππππ. （2）2()3+=∈m k k Z ππ，,26∴=-∈k m k Z ππ 又0m >m ∴的最小值为3π. 【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．。

高三数学一轮(北师大版)第四章+三角函数、三角恒等变

(1)当 x∈0，π2时，求 a·b，|a＋b|； (2)若 f(x)＝a·b－2m|a＋b|≥－32对一切实数 x 都成立，求实数 m 的取值范围． [思路分析] (1)利用向量的坐标运算以及三角函数和角、倍角公式进行运算，注意结果化为最简形式. (2)利用已知条件，根据题意，把问题转化为函数问题需讨论，做到不重不漏．
三角函数与平பைடு நூலகம்向量的综合
已知向量 m＝(f(x)，cosx)，n＝( 3sinx＋cosx,1)，且 m∥n.
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数 f(x)的图像关于直线 x＝x0 对称，且 0<x0<1，求 x0 的值． [思路分析] 对于(1)利用已知求出函数 f(x)的解析式，转化为三角函数知识，进一步解决问题；对于(2)根据对称坐标之间的关系求 x0 即可．
④当 b<a<2R 时，B 总是锐角，A 可以是钝角也可以是锐角，因此，所求的△ABC 存在两个，由 sinA＝2aR，sinB＝2bR得，
当 A<90°时，cosA＝21R 4R2－a2， c＝ a2＋b2＋2abcosA＋B ＝ a2＋b2＋2aRb2 4R2－a2· 4R2－b2－ab；当 A>90°时，cosA＝－21R 4R2－a2， c＝ a2＋b2－2aRb2 4R2－a2· 4R2－b2＋ab.
(2)①当 a>2R 或 a＝b＝2R 时，所求的△ABC 不存在； ②当 a＝2R 且 b<a 时，A＝90°，所求的△ABC 只存在一个，且 c＝ a2－b2； ③当 a<2R 且 b＝a 时，A＝B，且 A、B 都是锐角，由 sinA ＝2aR＝2bR＝sinB，A、B 唯一确定；因此，所求的△ABC 只存在一个，且 c＝2a·cosA＝Ra 4R2－a2；

(常考题)北师大版高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试(答案解析)(1)

一、选择题1．已知函数44()cos sin f x x x =-在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()N t 则函数()()()g t M t N t =-的最小值为（） A1-B ．1C．2D．12-2．已知矩形ABCD 中，AB AD >.设点B 关于AC 的对称点为B '，AB '与CD 交于点P ，若3CP PD =，则tan BCB '∠=（）A．-B． C．2-D．4-3．已知tan 2α=，则sin cos 2sin cos αααα+=-（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-4．化简22221sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ+-=( ) A ．12B1C ．14D．15．已知3(,)4παβπ∈，，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，则cos()4πα+=（） A ．5665-B ．3365-C ．5665D ．33656．已知cos 2π)4αα=+1tan tan αα+等于（） A ．92B ．29C ．9-2D ．2-97．已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（）ABC．D8．已知cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2θ=（） A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24259．已知α∈3π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,cos α=-45,则tan π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( )A ．7B ．17C ．-17D ．-710．已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（）A ．3(0,]5B ．13[,]25C ．13[,]24D ．15[,)2211．若0||4πα<<，则下列说法①sin2α＞sinα，②cos2α＜cosα，③tan2α＞tanα，正确的是（） A ．① B ．②C ．③D ．①③12．若，则的值为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭范围内,函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有_______个.14．已知A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且角A 为锐角，若tan 2tan B A =，则11tan tan B C+的最小值为______. 15．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若3sin 4α=，则()cos αβ-=______. 16．已知π0π2αβ<<<<，3cos 5α=，()3sin 5αβ+=-，则cos β的值为______． 17．已知方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，α，,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=________.18．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是A ,B ,双曲线的右焦点F 为()2,0,点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上,当ABP ∆的外接圆面积达到最小时,点P 恰好在双曲线上,则该双曲线的方程为________.19．设)sin17cos172a =︒+︒,22cos 131b =︒-,2c =,则a ,b ,c 的大小关系是______.20．已知正n 边形的边长为a ，其外接圆的半径为R ，内切圆的半径为r .给出下列四个结论：①2sina R n π=；②2π2sina R n=；③2tan2aR r nπ+=；④π2tana R r n+=. 其中正确结论的序号是______.三、解答题21．设函数()4sin cos 16f x x x πωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其中0>ω. （1）求函数()f x 的递增区间；（2）若函数()()g x f x m =+在,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ，2x ，求实数m 的取值范围.22．已知2()sin cos 2222x x x f x =--. （1）求()f x 图象的对称轴方程；（2）若存在0[0,]x π∈，使()02f x t ≤+，求实数t 的取值范围. 23．已知0πx <<，sin cos x x +=．（Ⅰ）求sin cos x x -的值；（Ⅱ）求2sin 22sin 1tan x xx+-的值．24．已知函数21()cos2sin 12sin 22x f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭，3()24g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）对任意的[]12,0,x x t ∈，当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值；（2）在满足（1）的条件时，若方程[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=在区间,4t π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，求实数a 的取值范围.25．已知函数()cos23f x x =-，()2cos 4g x a x a =-. （1）求函数()()2h x x f x =+的最大值；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围. 26．求值：（1）cos540tan 225cos(330)sin(240)︒︒︒︒+--+-；（2）1cos201sin10tan 52sin 20tan 5︒︒︒︒︒+⎛⎫-- ⎪⎝⎭【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先利用平方差公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将函数变形为()cos 2f x x =，然后发现区间长度刚好是四分之一个周期，从而利用余弦函数的对称性，得到当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，关于cos 2y x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，求出此时的最大值和最小值，即可得到答案．【详解】函数44222222()cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2f x x x x x x x x x x =-=+-=-=，所以函数()f x 的周期为22T ππ==，区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦的区间长度刚好是函数()f x 的四分之一个周期，因为()f x 在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，由函数cos 2y x =的对称性可知，当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，关于2y cos x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，即函数()()()g t M t N t =-取最小值，区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的中点为428t tt t ππ-+==-，此时()f t 取得最值±1，不妨()f t 取得最大值()=1M t ，则有cos 2()18t π-=，解得224t k ππ-=，所以,,8t k k Z ππ=+∈所以2()cos 2cos 2cos 442N t t k πππ⎛⎫==+==⎪⎝⎭, 故()()()g t M t N t =-取最小值为212-．故选：D ．【点睛】关键点睛：本题考查了三角函数的最值，涉及了二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用、三角函数的周期性、对称性的应用，解题的关键是分析出当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦关于cos 2y x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小.2．A解析：A 【分析】根据对称性可得BAC CAP ACP ∠=∠=∠，设1PD =，可计算出AB 的长，利用勾股定理可得BC 的长，在Rt ABC 中，由ABBC可得tan BCA ∠，再利用正切函数的二倍角公式可得答案. 【详解】如图，由题意得BAC CAP ACP ∠=∠=∠. 不妨设1PD =，则3AP CP ==，4AB CD ==，在Rt APD 中，223122AD =-=，即22BC AD ==. 在Rt ABC 中，tan 222AB BCA BC ∠===. 则22tan 22tan tan 2221tan 12BCA BCB BCA BCA ∠'∠=∠===--∠-，故选：A.【点睛】本题考查了利用三角函数解决几何图形问题，关键点是利用对称性找到边长之间的关系然后利用正切函数求解，考查了学生分析问题、解决问题的能力.3．A解析：A 【分析】已知正切值要求正余弦值，可以利用商的关系将“弦化切”，代入数值即可. 【详解】原式分子分母同除以cos α得原=tan 12112tan 141αα++==--故选：A. 【点睛】已知正切值求正余弦值,通常有两种做法：一是将所求式子分子分母同除cos α或2cos α，化为tan α求解；二是利用sin tan cos ααα=得sin tan cos ααα=代入消元即可. 4．A解析：A 【分析】由原式利用二倍角公式，和同角三角函数基本关系进行化简，即可得到结果. 【详解】()()2222cos 2cos 2cos sin cos sin αβααββ=--22222222cos cos cos sin sin cos sin sin αβαβαβαβ=--+，所以22221sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ+-()2222222222221sin sin cos cos cos cos cos sin sin cos sin sin 2αβαβαβαβαβαβ=+---+()222222221sin sin cos cos +cos sin +sin cos 2αβαβαβαβ=+ ()()()2222221sin sin +cos cos cos +sin 2αββαββ=+()2211sin cos 22αα=+=. 故选：A 【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，涉及到同角三角函数基本关系和三角恒等变换，属于中档题.5．A解析：A【分析】由角的变换可知()()44ππααββ+=+--，利用同角三角基本关系及两角差的余弦公式求解即可. 【详解】3(,)4παβπ∈，, 3(,2)2παβπ∴+∈,3(,)424πππβ-∈,4cos()5αβ∴+=,5cos()413πβ-=-,cos()cos[()()cos ()]cos (()s )sin ()444in 4πππααβαβαπββββ∴+=+-++-=-+-453125651351365=-⨯-⨯=-，故选：A 【点睛】本题主要考查了角的变换，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于中档题.6．A解析：A 【分析】先利用cos 2sin 22παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合cos 2π3)4αα=+得出cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭的值，然后利用二倍角公式得到24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4sin 29α=，又12tan tan sin 2ααα+=，将4sin 29α=代入便可解出答案. 【详解】因为sin 22sin cos cos 2244π4)444πππααααπαππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又4cos 2sin 229παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，所以4sin 29α=，所以1sin cos 1229tan 4tan cos sin sin cos sin 229ααααααααα+=+====.故选：A. 【点睛】本题考查诱导公式，考查正弦、余弦的二倍角公式及其应用，难度一般，解答时公式的变形运用是关键.7．D解析：D 【分析】结合同角三角函数基本关系计算sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角差的正弦公式进行求解即可.【详解】由,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭可得2,633πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，又11cos cos 6323ππα⎛⎫+=<= ⎪⎝⎭，所以2,633πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11132326-=⨯-⨯=. 故选:D 【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式与同角三角函数基本关系，解题的关键是熟练运用公式.8．D解析：D 【分析】由2sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1244πππθθθθ=-=-=--，代入即可求解. 【详解】因为cos 4πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，由24924sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1212445025πππθθθθ=-=-=--=⨯-=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简、求值，其中解答中熟记余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.9．B解析：B 【分析】先根据同角三角函数关系求tan α，再根据两角差正切公式求结果. 【详解】由已知得tan α=34,则tan π1tan 141tan 7ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭. 选B 【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力.10．B解析：B 【分析】先化简函数，根据()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则为函数含有零的增区间的子集，再根据区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则取得最大值时对应的最小正数解属于[]0,π，最后取交集.【详解】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，22sin sin sin x x x ωωω=+-，sin x ω=，令22,22k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈，则22,22k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈，因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 25,23,2262,k k k Z ππππωωωωππ⎡⎤∴-++∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦所以223562ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤，令2,2x k k Z πωπ=+∈，因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，所以02ππω≤≤，所以12ω≥，所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和最值以及二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．B解析：B 【分析】取6πα=-判断①③，根据余弦函数的性质结合二倍角公式判断②.【详解】当6πα=-时，31sin 2sin ,sin sin ,sin 2sin 3262ππαααα⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3tan 2tan 3,tan tan ,tan 2tan 363ππαααα⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则①③错误；0||4πα<<，2cos cos ||,12αα⎛⎫∴=∈ ⎪⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos cos 1(cos 1)(2cos 1)0αααααα∴-=--=-+<即cos2cos αα<，②正确；故选：B 【点睛】本题主要考查了求余弦函数的值域以及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.12．C解析：C 【解析】试题分析：因，故应选C ．考点：同角三角函数的关系及运用．二、填空题13．1【分析】将函数图象交点个数等价于方程在根的个数即可得答案【详解】∵函数图象交点个数等价于方程在根的个数∴解得：∴方程只有一解∴函数与函数的图象交点有1个故答案为：1【点睛】本题考查函数图象交点个数解析：1 【分析】将函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数，即可得答案. 【详解】∵函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数， ∴sin 1tan sin sin 0sin (1)0cos cos x x x x x x x=⇔-=⇔-=，解得：0x =， ∴方程只有一解，∴函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有1个. 故答案为：1. 【点睛】本题考查函数图象交点个数与方程根个数的等价性，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.14．【分析】由三角形内角的性质结合可得由目标函数式并利用基本不等式即可求得其最小值注意基本不等式的使用条件一正二定三相等其中为锐角【详解】为△的三内角为锐角∴故有即可得∴当且仅当时等号成立∴的最小值为故解析：23【分析】由三角形内角的性质结合tan 2tan B A =，可得23tan tan tan 2BC B =-，由目标函数式11tan tan B C+并利用基本不等式即可求得其最小值，注意基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，其中A 为锐角，tan 2tan 0B A => 【详解】A 、B 、C 为△ABC 的三内角，A 为锐角，tan 2tan 0B A => ∴tan 2tan[()]2tan()B B C B C π=-+=-+故有2(tan tan )tan tan tan 1B C B B C +=-，即可得23tan tan tan 2BC B =-∴2111tan 2tan 12tan tan tan 3tan 33tan 3B B BC B B B -+=+=+≥=，当且仅当tan 1B =时等号成立 ∴11tan tan B C +的最小值为23故答案为：23【点睛】本题考查了由三角形内角间的函数关系，利用三角恒等变换以及基本不等式求目标三角函数的最值，注意两角和正切公式、基本不等式(使用条件要成立)的应用15．；【分析】根据角的终边关于轴对称得到以及两角差的余弦公式即可求出【详解】因为角与角均以为始边它们的终边关于轴对称所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数定义的应用两角差的余弦公式同角三角函数解析：18；【分析】根据角的终边关于y 轴对称得到cos cos ,sin sin αβαβ=-=，以及两角差的余弦公式即可求出. 【详解】因为角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，所以3cos cos ,sin sin 4αβαβ=-==，所以()22cos cos cos sin sin sincos αβαβαβαα-=+=-22sin 1α=-92116=⨯- 18= 故答案为：18【点睛】本题主要考查了三角函数定义的应用，两角差的余弦公式，同角三角函数的关系，属于中档题.16．【分析】根据角的范围求出和的值再将变成利用两角差的余弦公式即可求得【详解】因为且所以因为所以因为所以所以故答案为：【点睛】本题考查了同角公式以及两角差的余弦公式考查了学生的计算能力属于中档题解析：2425-【分析】根据角的范围，求出sin α和cos()αβ+的值，再将cos β变成cos()αβα+-利用两角差的余弦公式即可求得. 【详解】因为02πα<<，且3cos 5α=，所以4sin 5α，因为π0π2αβ<<<<，所以322ππαβ<+<，因为3sin()5αβ+=-，所以4cos()5αβ+=-，所以cos cos()βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++433424555525=-⨯-⨯=-.故答案为：2425-【点睛】本题考查了同角公式以及两角差的余弦公式，考查了学生的计算能力，属于中档题.17．【分析】根据方程的两根为得到由两角和的正切公式得到再确定的范围求解【详解】因为方程的两根为所以则因为所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题解析：34π-【分析】根据方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，得到tan tan 3,tan tan 31a a αβαβ+=-⋅=+，由两角和的正切公式得到()tan αβ+，再确定αβ+的范围求解. 【详解】因为方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，所以tan tan 3,tan tan 31a a αβαβ+=-⋅=+，则()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-⋅，因为2a >，所以tan tan 30,tan tan 310a a αβαβ+=-<⋅=+>，所以tan 0,tan 0αβ<<，α，,02πβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， (),0αβπ+∈-，所以34παβ+=-. 故答案为：34π- 【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】设点的坐标为由于为定值由正弦定理可知当取得最大值时的外接圆面积取得最小值也等价于取得最大值结合已知即可求得答案【详解】不妨设点的坐标为由于为定值由正弦定理可知当取得最大值时的外接圆面积取得最解析：22122x y -=.【分析】设点P 的坐标为()()2,0m m >,由于AB 为定值,由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时,APB ∆的外接圆面积取得最小值,也等价于tan APB ∠取得最大值,结合已知,即可求得答案. 【详解】不妨设点P 的坐标为()()2,0m m >,由于AB 为定值,由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时,APB ∆的外接圆面积取得最小值,也等价于tan APB ∠取得最大值,2tan a APF m +∠=,2tan aBPF m-∠=, ∴()2222tan tan 221a aa a m m APB APF BPF a ab b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+, 当且仅当()20b m m m=>,即当m b =时,等号成立,此时APB ∠最大,即APB ∆的外接圆面积取最小值.点P 的坐标为()2,b ,代入22221x y a b-=,可得a =b =∴双曲线的方程为22122x y -=.故答案为:22122x y -=.【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程,解题关键是掌握双曲线基础知识和灵活使用均值不等式,考查了分析能力和计算能力,属于难题.19．【分析】根据两角和的正弦公式二倍角公式诱导公式即可将化简再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式二倍角公式诱导公式的应用以及正弦函数的单调性解析：c a b <<【分析】根据两角和的正弦公式，二倍角公式，诱导公式，即可将,a b 化简，再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系．【详解】)sin17cos17sin17cos 45cos17sin 45sin 622a =︒+︒=︒+︒=， 22cos 131cos 26sin 64b =︒-==，sin 602c ==，所以，c a b <<．故答案为：c a b <<．【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，诱导公式的应用，以及正弦函数的单调性的应用，属于基础题．20．①③【分析】首先根据正边形的某个边作出内切圆和外接圆的半径的图形分析与角的关系判断选项【详解】如图是正边形的外接圆的半径是内切圆的半径设在中综上可知正确的选项是①③故答案为：①③【点睛】关键点点睛：解析：①③ 【分析】首先根据正n 边形的某个边，作出内切圆和外接圆的半径的图形，分析,R r 与角的关系，判断选项. 【详解】如图，OA 是正n 边形的外接圆的半径，OB 是内切圆的半径，设,OA R OB r ==，nπα=，2a AB =，在Rt OAB 中，2sin2sina a R nnππ==cos cos2sina n r R nnπππ=⋅=，21cos 2cos 22sin 4sin cos22a a n n R r n n nπππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴+===cos 22sin 2tan 22a a n n n πππ=，综上可知正确的选项是①③.故答案为：①③ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作图，根据正n 边形的某个边，作出示意图，同时相邻的R 与r 的夹角是nπ，下面的问题就迎刃而解. 三、解答题21．（1）递增区间是(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）(]2,1--.【分析】（1）利用两角差的正余弦公式、正余弦的二倍角公式对()f x 进行化简，再根据正弦函数的周期和单调递增区间可得答案；（2）由x 的范围求出26x π-及sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围，利用换元法分析()2sin F u u =的单调性和最值，结合()y F u =与y m =-两函数的图象的交点个数可得答案. 【详解】（1）()24sin cos 123cos 2sin 16f x x x x x x πωωωωω⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭32cos22sin 26x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∵()f x 的最小正周期为π，且0>ω，∴22ππω=，解得1ω=, ∴()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，设26u x π=-，∵函数sin y u =的递增区间是()2,222k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ,由()222262k x k k πππππ-≤-≤+∈Z ，得()63k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，∴函数()f x 的递增区间是(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）由（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，520,66u x ππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，令()2sin F u u =，则5166F F ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵()2sin F u u =在0,2u π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上递增，在5,26u ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上递减， ∴()max 22F u F π⎛⎫==⎪⎝⎭， ∵函数()()g x f x m =+在,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点， ∵.函数()y f x =与y m =-两图象在,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点， ∴函数()y F u =与y m =-两图象在50,6u π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点， ∴12m ≤-<，解得21m -<≤-， ∴实数m 的取值范围是(]2,1--. 【点睛】本题考查了三角函数的化简和性质，关键点是利用两角差的正余弦公式、正余弦的二倍角公式对()f x 进行化简和利用三角函数的性质解题，考查了学生分析问题、解决问题的能力. 22．（1）对称轴方程6x k ππ=-+，k ∈Z ；（2）3t ≥-.【分析】（1）先运用降幂公式、辅助角公式，将原函数的解析式化为()()sin f x A x b ωϕ=++或()()cos f x A x b ωϕ=++的形式，然后运用整体法求解对称轴；（2）根据题目条件，只需使min ()2f x t ≤+成立即可，然后三角函数的图象及性质求解()f x 的最小值，然后解得t 的取值范围.【详解】解：（1）2()sin cos 222x x x f x =-1sin 2x x =-cos 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令6x k ππ+=，得6x k ππ=-+，k ∈Z ，所以()f x 图象的对称轴方程为6x k ππ=-+，k ∈Z ．（2）若存在0[0,]x π∈，使()02f x t ≤+，则min ()2f x t ≤+，由[0,]x π∈得7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，根据余弦函数的性质可得，当6x ππ+=，即56x π=时，函数取得最小值1-，所以12t -≤+，故3t ≥-. 【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数图象及性质的综合运用，解答的一般思路如下：（1）利用三角恒等变换研究三角函数的图象性质问题时，先利用正弦、余弦的二倍角公式将原函数解析式进行化简，将原函数解析式化简为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式，然后可利用整体法求解原函数的单调区间、对称轴、对称中心等；（2）解答与三角函数图象性质有关的不等式恒成立、有解等问题时，要注意参数分离、整体思想的运用，将问题转化为处理函数最值问题来解决.23．（1 ；（2）415【分析】（1）先根据sin cos x x +的值和二者的平方关系联立求得 sin cos x x 的值，再把sin cos x x -平方即可求出；（2）结合（1）求sin x ，cos x 的值，最后利用商数关系求得tan x 的值，代入即可得解．【详解】（1）∵sin cos x x +=， ∴21(sin cos )12sin cos 5x x x x +=+=， ∴2sin cos 5x x =-， ∵0πx <<，∴sin 0x >，cos 0x <，sin cos 0x x -> ∴249(sin cos )12sin cos 155x x x x -=-=+=，∴sin cos 5x x -=. （2）sin cos 5x x +=，sin cos x x -=解得sin 5x =，cos 5x =-， ∴sin tan 2cos xx x==- ∵4sin 25x =-，24sin 5x =，∴24sin 22sin 4551tan 81215x xx -++==-+．【点睛】方法点睛：三角恒等常用的方法：三看（看角、看名、看式），三变（变角、变名、变式）. 24．（1）4π；（2）32a <.【分析】（1）构造()()()h x f x g x =-，由单调性的定义得出()h x 在区间[0,]t 上为增函数，结合正弦型函数的单调性，得出正实数t 的最大值.（2）方程[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=有解，可分离参数为2()112()1()1h x a h x h x +==-++，在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，再根据()h x 的值域，求解实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）依题可知：1()cos 2sin cos 2f x x x x =+sin 224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又∵()()()()1212f x f x g x g x -<-，∴()()()()1122f x g x f x g x -<-，令()()()h x f x g x =-，则3()2244h x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2244x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2x =.∵()()12h x h x <，∴()h x 在[]0,t 上单调递增， ∵22222k x k ππππ-≤≤+，∴()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴4t π≤，即t 的最大值为4π. （2）∵[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=， ∴(2)[()()]10a f x g x a --+-=， ∴2()112()1()1h x a h x h x +==-++，即12sin 21a x =-+在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，∵1sin 21x -<<，∴32a <. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.25．（1）-1；（2）()4-+∞ 【分析】（1）易得()2sin 233h x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解.（2）将0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立，转化为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22cos 2cos 440x a x a -+->恒成立，令[]cos 0,1t x =∈，利用二次函数的性质求()22244r t t at a =-+-的最小值即可.【详解】（1）因为函数()cos23f x x =-，所以()2cos 232sin 233h x x x x π⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当22,32x k k Z πππ+=+∈，即 ,12x k k Z ππ=+∈时， sin 213x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()h x 的最大值是-1；（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立，所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos232cos 4x a x a >--恒成立，所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22cos 2cos 440x a x a -+->恒成立，令[]cos 0,1t x =∈ ()22244r t t at a =-+- 当02a ≤，即 0a ≤时， ()()min 0440r t r a ==->，解得 1a >，此时无解；当012a <<，即 02a <<时， ()2min 44022a a r t r a ⎛⎫==-+-> ⎪⎝⎭，解得44-<+，此时42a -<；当12a ≥，即 2a ≥时， ()()min 1220r t r a ==->，解得 1a >，此时2a ≥；综上：a 的取值范围是()4-+∞【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.26．（1）0（2【分析】（1）利用诱导公式化简，即可求解；（2）先利用二倍角公式化简1cos 202sin 20︒︒+，由切化弦化1tan 5tan 5︒︒-，通分后利用两角差的正弦公式展开即可化简求值.【详解】利用（1）原式cos(3180)tan 45cos30sin 60110;︒︒︒=⨯︒+-+=-+= （2）原式=22cos 10cos5sin 5sin10()4sin10cos10sin 5cos5︒︒︒=-︒-︒︒︒︒22cos10cos 5sin 5cos10cos10cos10sin10sin102cos1012sin10sin 5cos52sin102sin10sin102︒︒-︒︒︒︒=-︒=-︒⋅=-︒︒︒︒︒︒︒cos102sin 20cos102sin(3010)2sin102sin10︒-︒︒-︒-︒==︒︒1cos102(cos10)222sin10︒︒︒︒--=== 【点睛】关键点点睛：三角函数化简求值，需要根据式子的结构特征选择合适的公式，并且要注意公式的正用、逆用，特别是复杂式子的灵活运用，属于难题.。

2025届高考数学一轮复习北师大版多选题专题练：角恒等变换(含解析)

2025届高考数学一轮复习北师大版多选题专题练：角恒等变换，，则( )A. B.C.2．已知，则( )A.为第三象限角 B.C. D.3．已知,A.C.4．若,,则的值是( )5．已知，，，则( )A.为第二象限角 B.C. D.[]0,2πα∈44sin sin cos cos 03333αααα+=α3=22αππ-<<tan 2α=sin cos αα-=44sin cos αα-=13=1sin cos 2θθ=2θ<<πθsin cos θθ+=sin cos 0θθ-=tan 1θ=-()0,πθ∈sin cos θθ+=sin cos θθ=π,π2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos θ=7cos 5θθ-=sin 2cos αβ=,02βπ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭cos 1cos 2cos 1cos 2αββα+=+αsin α=4sin 25β=-tan()1αβ+=A. B.A. B.C.A. B.C.10．下列四个等式正确的是( )A.B.C. D.11．若，则( )A. B. C. D.12．下列命题正确的是( )A.B.函数的最小正周期是C.，则D.若，则sin15cos15︒︒22ππcos sin 66-2sin 67.5cos 67.5︒︒22cos 67.51︒-212sin 22.5-2sin15cos15 22cos 15sin 15-212sin 15-tan 25tan 3525tan 35︒+︒+︒︒=2tan 22.511tan 225︒=-⋅︒22ππ1cos sin 882-=14sin10=︒tan 1α>sin 0α>sin 20α>cos 20α<tan 20α<1tan151tan15-︒=+︒221tan 21tan 2x y x-=+π1tan (0)tan A m m A +=≠2sin 2A m=-1cos cos sin sin 3x y x y +=7cos(22)9x y -=-13．已知，，，，，则下列说法正确的是( ).A. B. C. D.14．下列三角式中，值为1的是( ).A. B. C.15．已知，则( )A. B. C. D.16．若为第四象限角，则下列命题不正确的是( )A. B. C. D. 17．已知，，则( )A. B.为锐角C. D.18．下列各式与相等的是( )B.D.19的是( )A. B. C. D.20．在中，，( )A. B. C. D.αβπ0,2γ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin sin sin αγβ+=cos cos cos βγα+=1cos()2βα-=1cos()2βα-=-π3βα-=π3βα-=-4sin15cos15︒︒22ππ2cos sin 66⎛⎫- ⎪⎝⎭22tan 22.51tan 22.5-︒︒π4cos cos 24αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos αα+=ππ()4k k α=+∈Z tan 40α=tan 1α=αcos20α>cos20α<sin20α>sin20α<tan 4α=1tan 4β=-tan()tan 1αβ-=απ3tan 45β⎛⎫+=⎪⎝⎭tan 2tan 2αβ=tan αsin 1cos αα+1((0,π))cos αα∈1cos 2sin 2αα-2sin15cos15︒︒212sin 15-︒22sin 15cos 15+︒︒23tan151tan 15-︒︒ABC △120C =︒tan tan A B +=2A B C+=tan()A B +=tan tan A B =cos B A=参考答案1．答案：ACD，得，故A 正确.因为，，所以，，所以错误.故选ACD.2．答案：AC解析：因为，所以，，所以为第三象限角，A 正确，B 错误；因为，所以，C 正确；结合选项C ，可知，D 错误.故选AC.3．答案：BD解析：依题意,,两边平方得,A 选项错误,B 选项正确.则,所以由故选：BD.tan 13tan 1αα+==-tan 2α=22αππ-<<tan 0α>02απ<<sin α=α=sin cos αα-=()()44222222sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα-=-+=-=22212sin cos (sin cos )sin cos (sin cos )(sin cos )αααααααααα--=--+sin cos tan 1sin cos tan 1αααααα--===++1sin cos 02θθ=>2θ<<πsin 0θ<cos 0θ<θπ<<θ2(sin cos )12sin cos 0θθθθ-=-=sin cos 0θθ-=tan 1θ=()0,πθ∈sin cos θθ+=22sin 2sin cos cos 12sin cos θθθθθθ++=+=12sin cos 25θθ=-<πθ<<sin cos 0θθ->sin cos θθ-====sin cos sin cos θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩θ=4．答案：CD解析：因为,,则或,故选：CD.5．答案：BC解析：因为，所以有，所以得到，，可得且为第一象限角，故，故A 不正确，B 正确；又，故，，故C 正确；由，，知，故D 不正确.故选BC.解析：因为，所以不正确；因为sin β=tan 2α=tan()0αβ+=[0,2π]α∈44sin sincos cos cos 03333ααααα+==1π2α=3π2α=22cos 1cos 22cos cos 1cos 22cos αβββαα+==+33cos cos αβ=cos cos αβ=sin 2cos 0αβ=>tan 2α=αsin α=cos α=1cos sin 2βα==,02βπ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭4sin 25β=-tan 2β=-1111sin15cos15sin 302224︒︒=︒=⨯=A 22πππcos sin cos 663-==212tan 301tan 6021tan 302=⨯==-︒︒︒故选：CD.8．答案：AC解析：因为因为因为；，故选：AC.9．答案： BCD解析：A.B. C. ；故选：BCD10．答案：AD解析：，故，故A 正确；，故，故B 错误；，故C错误；232tan15332tan 301tan 1522︒⨯==⨯==-tan 25tan 3525tan 35︒+︒︒︒=2tan 22.511tan 22.52︒=-︒==2sin 67.5cos 67.sin1355︒︒=︒=22cos 67.51cos135-=︒=︒212sin 22.5cos 45︒=︒=-tan 45=︒=2sin15cos15sin 30︒==22cos 15sin 1cos305︒-== 212sin 15cos30︒==- ()tan 25tan 35tan 60tan 25351tan 25tan 35︒+︒︒=︒+︒==-︒︒22tan 22.5tan 4511tan 225︒=︒=-⋅︒22πππcos sin cos 884-==，故D 正确.故选AD.11．答案：BCD解析：本题考查二倍角公式的应用.因为，所以，可能是负数，故A 项错误，，B 项正确，，C 项正确，，D 项正确.12．答案：AD 解析：，选项A 正确；，故，选项B 错误；，，选项C 错误；，，故选项D 正确.13．答案：AC解析：由已知，得，，两式分别平方相加，得，，，A 正确，B 错误.，，，，，，C 正确，D 错误.故选AC.14．答案：ABC解析：A 选项，，故A 正确.B 选项，，故B 正确.()2cos 601012sin 20411sin10sin 20sin 2022︒+︒︒====︒︒︒sin 10cos αα>>sin 22sin cos 0ααα=>tan 1α>sin α22222222cos sin 1tan cos 2cos sin 0cos sin 1tan ααααααααα--=-==<++22tan tan 201tan ααα=<-1tan15tan 45tan15tan(4515tan 301tan151ta )n 45tan15-︒︒-︒==︒-︒=︒=+︒+︒︒2222222222sin 211tan 2cos 2sin 2cos 2cos 4sin 21tan 2cos 2sin 21cos 2xx x x x y x x x x x x---====+++242T ππ==221sin cos sin cos 2tan tan cos sin sin cos sin 2A A A A A m A A A A A A ++=+===2sin 2A m =1cos cos sin sin cos()3x y x y x y +=-=217cos(22)2cos ()12199x y x y ∴-=--=⨯-=-sin sin sin γβα=-cos cos cos γαβ=-22(sin sin )(cos cos )1βααβ-+-=2cos()1βα∴--=-1cos()2βα∴-=∴αQ βπ0,2γ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin sin sin 0γβα∴=->βα∴>π3βα∴-=∴14sin15cos152sin 30212︒︒︒==⨯=22πππ12cos sin 2cos 216632⎛⎫-==⨯= ⎪⎝⎭C 选项，，故C 正确.D，故D 错误.故选ABC.15．答案：BCD 解析：16．答案：ABC解析：为第四象限角，，，，故选项C 错误，D正确.不妨设，则，满足为第四象限角，，故选A 、B 错误.本题答案为ABC.17．答案：ACD解析：因为，，所以，未必是锐角（比如可以是第三象限角），，.18．答案：CD解析：A；B 不符合，；C 符合，因为，所以原式；D符合，.故选CD.19．答案：BD解析：A 不符合，；B 符合，C 不符合，；D 符合，.故选BD.20．答案：CD解析：，，22tan 22.5tan 4511tan 22.5︒=-︒=︒1==≠α sin 0α∴<cos 0α>sin 22sin cos 0ααα∴=<π4α=-π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭απcos 2cos 02α⎛⎫=-= ⎪⎝⎭tan 4α=1tan 4β=-tan()tan tan tan 1αβαβ-=-=ααπ1tan 3tan 41tan 5βββ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭8tan 2tan 215αβ==-|tan |α===22sincossin 22tan 1cos 22cos 2αααααα==+(0,π)α∈1sin tan cos cos αααα===21cos 22sin tan sin 22sin cos αααααα-==12sin15cos15sin 302=︒︒=︒212sin 15cos30-==︒︒22sin 15cos 151︒+︒=223tan1532tan153tan 301tan 1521tan 152︒︒=⋅=⋅--︒=︒︒120C =︒Q 60A B ∴+=︒，即，，又，.综上，A ，B 均错误，C ，D 均正确.故选CD.2()A B C∴+=12A B C +=tan tan tan()tan 601tan tan A B A B A B +∴+====-︒1tan tan 3A B =tan tan A B +=tan tan A B ∴==30A B ∴==︒cos B A ∴=。

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第五章三角函数第四节三角恒等变换pptx课件北师大版

+ -
+ -
α= 2 + 2 ,β= 2 − 2 等.
(2)两角互余与互补关系
π
π
π π
3π
例如:(3+α)+(6-α)=2,(4+α)+( 4 -α)=π 等.
(3)非特殊角转化为特殊角
30°
例如:15°=60°-45°=45°-30°=
,
2
150°
70°=45°+30°=
,105°=60°+45°等.
即从复杂的一端证到简单的一端,另外还要注意强化“目标意识”和“化异为
同”的意识.“目标意识”就是在证明过程中,时刻紧盯目标,逐步向目标靠
拢;“化异为同”意识,就是指化异角为同角、化异名为同名、化异次为同次.
3π)cos(+π)-1
2sin(sin+cos
2
2 .
对点训练 2(2021 山西太原高三月考)求证:
− 1 sin
π
+6
+ 2 =0.
π
+6
A.
∵sin
π
+6
∴cos
π
−
3
∈[-1,1],∴sin
=cos
π
+
6
π
+6
π
−
2
1
=4,
=sin
π
+
6
1
= .故选
4
B.
考向3.给值求角问题
典例突破
1
3 3
π
π
例 5.(1)(2021 湖南岳阳高三期中)若 sin α=-7,cos β= 14 ,且 α∈(-2,0),β∈(0,2),

2022届高考数学一轮复习第三章第三节第2课时简单的三角恒等变形课时作业理含解析北师大版

简单的三角恒等变形授课提示：对应学生用书第305页[A 组基础保分练] 1．（2021·邢台一中月考）已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34，则cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝（） A ．725 B ．925C ．1625D ．2425解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34，∴1＋tan α1－tan α＝34，∴tan α＝－17，∴cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α2＝1＋sin 2α2＝（sin α＋cos α）22（sin 2α＋cos 2α）＝（tan α＋1）22（tan 2α＋1）＝925．答案：B2．（2021·河南天一模拟）已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝35，则sin 4x 的值为（） A ．725 B ．±725C ．1825D ．±1825解析：因为sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝22（cos 2x －sin 2x ）＝35，所以sin 2x －cos 2x ＝－325，所以（sin 2x －cos 2x ）2＝1－2sin 2x cos 2x ＝1－sin 4x ＝1825，所以sin 4x ＝725．答案：A3．（2021·青岛模拟）若2cos 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α－12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝4，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝（） A ．12 B ．13C ．14D ．15解析：∵2cos 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α－12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝4，∴tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝1＋tan 2α1－tan 2α＝14．答案：C4．若α为第二象限角，且sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2cos （π－α），则2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值为（） A ．－15 B ．15C ．43D ．－43解析：∵sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2cos （π－α），∴2sin αcos α＝－cos 2α，∵α是第二象限角，∴cos α≠0，2sin α＝－cos α，∴4sin 2α＝cos 2α＝1－sin 2α，∴sin 2α＝15，∴2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝cos 2α＋sin 2α＝cos 2α－sin 2α＋2sin αcos α＝－sin 2α＝－15．答案：A5．（2021·邵阳模拟）若tan π12cos 5π12＝sin 5π12－m sin π12，则实数m 的值为（）A ．2 3B ． 3C ．2D ．3解析：由tan π12cos 5π12＝sin 5π12－m sin π12，可得sin π12cos 5π12＝cos π12sin 5π12－m sin π12cos π12，即sin π12cos ⎝⎛⎭⎫π2－π12＝cos π12sin ⎝⎛⎭⎫π2－π12－m sin π12·cos π12，即sin 2 π12＝cos 2π12－m 2sin π6，亦即m 2sin π6＝cos π6，∴m 2·12＝32，∴m ＝23．答案：A6．已知函数f （x ）＝（2cos 2 x －1）sin 2x ＋12cos 4x ，若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f （α）＝22，则α的值为（）A ．5π8B ．11π6C ．9π16D ．7π8解析：由题意知f （x ）＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x ＝12sin 4x ＋12cos 4x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4，因为f （α）＝22sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝22，所以4α＋π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即α＝π16＋k π2，k ∈Z ．因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以α＝π16＋π2＝9π16．答案：C7．（2021·平顶山模拟）已知sin α＝－45⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，若sin （α＋β）cos β＝2，则tan （α＋β）＝_________．解析：因为sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，所以cos α＝35．由sin （α＋β）cos β＝2，得sin （α＋β）＝2cos[（α＋β）－α]，即65cos （α＋β）＝135sin （α＋β），所以tan （α＋β）＝613．答案：6138．（2021·长沙模拟）化简：2sin （π－α）＋sin 2αcos 2 α2＝_________．解析：2sin （π－α）＋sin 2αcos 2α2＝2sin α＋2sin α·cos α12（1＋cos α）＝2sin α（1＋cos α）12（1＋cos α）＝4sin α．答案：4sin α9．（2021·广州模拟）已知函数f （x ）＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22－2sin 2 x 2．（1）若f （x ）＝233，求sin 2x 的值；（2）求函数F （x ）＝f （x ）·f （－x ）＋f 2（x ）的最大值与单调递增区间．解析：（1）由题意知f （x ）＝1＋sin x －（1－cos x ）＝sin x ＋cos x ．又∵f （x ）＝233，∴sin x ＋cos x ＝233，∴sin 2x ＋1＝43，∴sin 2x ＝13．（2）F （x ）＝（sin x ＋cos x ）·[sin （－x ）＋cos （－x ）]＋（sin x ＋cos x ）2 ＝cos 2x －sin 2x ＋1＋sin 2x ＝cos 2x ＋sin 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1时，F （x ）取得最大值，即F （x ）max ＝2＋1．令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π（k ∈Z ），∴k π－3π8≤x ≤k π＋π8（k ∈Z ），从而函数F （x ）的最大值为2＋1，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8（k ∈Z ）． [B 组能力提升练] 1．（2021·湖北八校联考）已知3π≤θ≤4π，且 1＋cos θ2＋1－cos θ2＝62，则θ＝（） A ．10π3或11π3 B ．37π12或47π12C ．13π4或15π4D ．19π6或23π6解析：因为3π≤θ≤4π，所以3π2≤θ2≤2π，所以cos θ2≥0，sin θ2≤0，则 1＋cos θ2＋1－cos θ2＝cos 2θ2＋sin 2θ2＝cos θ2－sin θ2＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π4＝62，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π4＝32，所以θ2＋π4＝π6＋2k π或θ2＋π4＝－π6＋2k π，k ∈Z ，即θ＝－π6＋4k π或θ＝－5π6＋4k π，k ∈Z ．因为3π≤θ≤4π，所以θ＝19π6或23π6．答案：D2．（2021·济南长清月考）若2cos 2θcos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3sin 2θ，则sin 2θ＝（）A ．13B ．23C ．－23D ．－13解析：∵2cos 2θcos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3sin 2θ，∴2（cos 2θ－sin 2θ）22（cos θ－sin θ）＝3sin 2θ，∴2（cos θ＋sin θ）＝3sin 2θ，∴3sin 22θ－4sin 2θ－4＝0，得sin 2θ＝－23．答案：C3．（2021·成都二中月考）已知tan （α＋β）＝2tan β⎝⎛⎭⎫α，β≠k π2，k ∈Z ，则sin （α＋2β）sin α的值为（）A ． 3B ．32C ．12D ．3解析：∵tan （α＋β）＝2tan β⎝⎛⎭⎫α，β≠k π2，k ∈Z ，∴sin （α＋β）·cos β＝2cos （α＋β）sin β，∴sin （α＋2β）sin α＝sin [（α＋β）＋β] sin[（α＋β）－β]＝3cos （α＋β）sin βcos （α＋β）sin β＝3．答案：D 4．（2021·黄冈调考）已知圆C ：x 2＋（y －1）2＝R 2与函数y ＝2sin x 的图像有唯一交点，且交点的横坐标为a ，则4cos 2a2－a －2sin 2a＝（）A ．－2B ．2C ．－3D ．3 解析：设圆C 与y ＝2sin x 图像的唯一交点为A （a ，2sin a ），则过点A 的y ＝2sin x 图像的切线的斜率k ＝2cos a ．连接AC （图略），则过点A 和圆心C （0，1）的直线的斜率为2sin a －1a ．因为圆C 在点A 处的切线和直线AC 垂直，所以2sin a －1a×2cos a ＝－1，整理得2cos a －a ＝2sin2a ，所以4cos 2 a 2－a －2sin 2a ＝2⎝⎛⎭⎫2cos 2a2－1－a sin 2a ＝2cos a －asin 2a＝2．答案：B5．设α是第四象限角，若sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝_________．解析：sin 3αsin α＝sin （α＋2α）sin α＝sin αcos 2α＋cos αsin 2αsin α＝cos 2α＋2cos 2α＝4cos 2α－1＝135，解得cos 2α＝910．因为α是第四象限角，所以cos α＝31010，sin α＝－1010，所以sin 2α＝2sin αcos α＝－35，cos 2α＝2cos 2α－1＝45，所以tan 2α＝－34．答案：－346．已知α∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，β∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋β＝－1213，则cos （α＋β）＝_________．解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，π4－α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－45，因为sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋β＝－1213，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋β＝1213，又因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π4，π4＋β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4＋β＝513，所以cos （α＋β）＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋β－⎝⎛⎭⎫π4－α＝35×513－45×1213＝－3365．答案：－33657．已知函数f （x ）＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R ．（1）求f ⎝⎛⎭⎫π6的值；（2）若sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24．解析：（1）f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6 ＝⎝⎛⎭⎫322＋12×32＝3＋34．（2）因为f （x ）＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋12（sin 2x ＋cos 2x ）＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π4 ＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝12＋22⎝⎛⎭⎫12sin α＋32cos α．又因为sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－45，所以f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24＝12＋22×⎝⎛⎭⎫12×35－32×45 ＝10＋32－4620．[C 组创新应用练]已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （－3，3）．（1）求sin 2α－tan α的值；（2）若函数f （x ）＝cos （x －α）cos α－sin （x －α）sin α，求函数g （x ）＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f 2（x ）在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域．解析：（1）因为角α的终边经过点P （－3，3），所以sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33．所以sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36．（2）因为f （x ）＝cos （x －α）cos α－sin （x －α）sin α＝cos x ，x ∈R ，所以g （x ）＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1，因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤76π，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，所以－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1≤1，所以g （x ）在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域为[－2，1]．。

高考数学一轮复习第3章第5节三角恒等变换教学案文含解析北师大版

第五节三角恒等变换[考纲传真] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. [常用结论]1．公式T (α±β)的变形：(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．公式C 2α的变形： (1)sin 2α＝12(1－cos 2α)；(2)cos 2α＝12(1＋cos 2α)．3．公式逆用： (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4∓α；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6∓α；(3)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6±α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3∓α.4．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)，特别的sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4； sin α±3cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π3； 3sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π6. [基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． ( ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 的大小关系不确定． ( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立． ( )(4)函数y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值为7． ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－32 B ．32 C ．－12 D ．12D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D ．]3．(教材改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值为( ) A ．210 B ．－210 C ．7210 D ．－7210A [由cos α＝－35，α是第三象限角知sin α＝－45，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos π4cos α－sin π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝210.故选A ．] 4．已知sin(α－π)＝35，则cos 2α＝________.725 [由sin(α－π)＝35，得sin α＝－35，则cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝725.]5．(教材改编)11－tan 15°－11＋tan 15°＝________.33 [11－tan 15°－11＋tan 15°＝＋－－－＋＝2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33. ]1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则tan α＝( )A ．－1B ．0C ．12D ．1A [因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α.所以1－32cos α＝3－12sin α.所以tan α＝sin αcos α＝－1，故选A ．]2．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( ) A ．－12 B ．12 C ．32 D ．－32B [sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝s in70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.]3．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝( )A ．23B ．43C ．34D ．32D [由sin θ－cos θ＝－144得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以0＜π4－θ＜π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34.2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.]4．已知0＜θ＜π，则＋sin θ＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ＝________.－cos θ [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos2θ2＝cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cos θ2＞0.所以原式＝－cos θ.]►考法1 给值求值【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A ．89B ．79C ．－79D ．－89(2)(2019·太原模拟)已知角α是锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3等于( )A ．26＋16B ．3－28C ．3＋28D ．23－16(3)若α，β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________.(1)B (2)A (3)－73 [(1)cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×132＝79.故选B ． (2)由0＜α＜π2得－π6＜α－π6＜π3又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝223×32＋13×12＝26＋16，故选A ． (3)因为sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，两式平方相加得：2－2cos αcosβ－2sin αsin β＝12，即2－2cos(α－β)＝12，所以cos(α－β)＝34，因为α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12＜0，所以0＜α＜β＜π2.所以－π2＜α－β＜0.所以sin(α－β)＝－1－cos2α－β＝－74. 所以tan(α－β)＝sin α－βcos α－β＝－73.] ►考法2 给角求值【例2】 (1)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝________. (2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝________.(1) 3 (2)1 [(1)由tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°＝3得tan 20°＋tan 40°＝3(1－tan 20°tan 40°)∴原式＝3(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40°＝ 3. (2)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10° ＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.]►考法3 给值求角【例3】 (1)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A ．7π4B ．9π4C ．5π4或7π4D ．5π4或9π4(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．(1)A (2)－3π4 [(1)∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π.又sin 2α＝55＞0，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， ∴cos 2α＝－255且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4. ∵sin(β－α)＝1010＞0， ∴cos(β－α)＝－31010且β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， ∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22. ∵2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，∴α＋β∈[]π，2π，∴α＋β＝7π4，故选A ．(2)因为tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13＞0，所以0＜α＜π2，又因为tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34＞0，所以0＜2α＜π2，所以tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.因为tan β＝－17＜0，所以π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－3π4.]( )A ．539B ．－69C ．33D ．－33(2)1－cos 210°cos 80°1－cos 20°＝________. (3)(2019·长春模拟)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β值是________．(1)A (2)22 (3)π4 [(1)由0＜α＜π2得π4＜π4＋α＜3π4，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，由－π2＜β＜0得π4＜π4－β2＜π2. 又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos π4＋αcos π4－β2＋sin π4＋αsin π4－β2＝13×33＋223×63＝539. (2)原式＝sin 210°cos 80°2sin 210°＝sin 210°2sin 210°＝22. (3)∵α，β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. ∴β＝π4.]【例4】 (2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．[解] (1)由已知得f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∵－π3≤x ≤π4，∴－5π6≤2x －π6≤π3，∴当2x －π6＝－π2，即x ＝－π6时，f (x )有最小值，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，当2x －π6＝π3，即x ＝π4时，f (x )有最大值，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34. 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若－π2＜α＜0，f (α)＝56，求sin 2α的值．[解] (1)∵函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，∴函数f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)若－π2＜α＜0，则2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6，∴f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋12＝56， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝13，∴2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝223，∴sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6sin π6＝13×32－223×12＝3－226.1．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A ．65B ．1C ．35D ．15A [法一：∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z)时，f (x )取得最大值65. 故选A ．法二：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝π2， ∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤65. ∴f (x )max ＝65，故选A ．] 2．(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A ．725B ．15C ．－15D ．－725D [因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.]3．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( ) A ．15B ．55C ．255D ．1B [由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23，所以cos α＝56，sin α＝±16，得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝a －b 1－2，所以|a －b |＝55.] 4．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan α－5π4＝15，则tan α＝________.32 [法一：因为tan α－5π4＝15，所以tan α－tan 5π41＋tan αtan 5π4＝15，即tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.法二：因为tan α－5π4＝15，所以tan α＝tan α－5π4＋5π4＝tan α－5π4＋tan 5π41－tan α－5π4tan 5π4＝15＋11－15×1＝32.]5．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________． 5 [f (x )＝2cos x ＋sin x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫255cos x ＋55sin x ，设sin α＝255，cos α＝55，则f (x )＝5sin(x ＋α)，∴函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为 5.]。

高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第4讲简单的三角恒等变形训练理北师大版

1．若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝( ) A.3B ．－ 3 C.33 D ．－33解析：选A.sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3. 2．(2016·赣州联考)化简cos 40°cos 25°1－sin 40°＝( ) A ．1B. 3C. 2 D ．2解析：选C.原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°（cos 20°－sin 20°）2＝（cos 20°＋sin 20°）（cos 20°－sin 20°）cos 25°（cos 20°－sin 20°）＝cos 20°＋sin 20°cos （45°－20°）＝cos 20°＋sin 20°cos 45°cos 20°＋sin 45°sin 20°＝ 2. 3．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝( ) A.33B.12C. 3 D ．1解析：选D.因为tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，所以tan β＝1－tan α1＋tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－α.又α、β均为锐角，所以β＝π4－α，即α＋β＝π4，所以tan(α＋β)＝tan π4＝1.4．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6 解析：选C.因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，所以cos α＝255，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. 所以β＝π4.5．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝( ) A.33 B ．－33C.63 D ．－69解析：选C.由已知得π4<π4＋α<3π4，π4<π4－β2<π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63，cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63.6．(2016·温州八校联考)若sin α＋cos α＝13，0<α<π，则sin 2α＋cos 2α的值为() A.8＋179 B.－8＋179 C.－8－179 D.－8±179解析：选C.因为sin α＋cos α＝13 <1且0<α<π，所以α为钝角．又由sin α＋cos α＝13得1＋2sin αcos α＝19，所以sin 2α＝2sin αcos α＝－1＋19＝－89，sin α－cos α＝（sin α＋cos α）2－2sin 2α＝ 19－2×⎝⎛⎭⎫－89＝ 179＝173，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－(sin α＋cos α)·(sin α－cos α)＝－13×173＝－179，从而sin 2α＋cos 2α＝⎝⎛⎭⎫－89＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－179＝－8－179.7．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2＜cos α2，则cos α2＝________．解析：因为α是第二象限角，所以α2可能在第一或第三象限．又sin α2＜cos α2，所以α2为第三象限角，所以cos α2＜0.因为tan α＝－43，所以cos α＝－35，所以cos α2＝－1＋cos α2＝－55. 答案：－558．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________．解析：因为cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，所以sin 2α＝1－cos 22α＝53，所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156. 答案：2－1569. 已知锐角α，β满足：sin β－cos β＝15，tan α＋tan β＋3tan α·tan β＝3，则cos α＝________．解析：由tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，得tan(α＋β)＝3，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α＋β＝π3，所以sin(α＋β)＝32，cos(α＋β)＝12.对sin β－cos β＝15平方得1－2sin βcos β＝125，2sin βcos β＝2425， sin β＋cos β＝1＋2sin βcos β＝1＋2425＝75.联立sin β－cos β＝15，得sin β＝45，cos β＝35，故cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝12×35＋32×45＝3＋4310. 答案：3＋431010．(2016·济南模拟)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，β∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，且53sin α＋5cos α＝8，2sin β＋6cos β＝2，则cos(α＋β)的值为________．解析：由53sin α＋5cos α＝8，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 又β∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，β＋π3∈⎝⎛⎭⎫π2，56π，由已知得sin ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝22. 所以cos ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝－22. 所以cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋（α＋β）＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋⎝⎛⎭⎫β＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫β＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6·sin ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝－210. 答案：－21011．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得sin β＝255，tan β＝2.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝5π4.12．已知0<α<π2<β<π，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45. (1)求sin 2β的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值．解：(1)法一：因为cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22sin β＝13，所以cos β＋sin β＝23，所以1＋sin 2β＝29，所以sin 2β＝－79.法二：sin 2β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝2cos 2⎝⎛⎭⎫β－π4－1＝－79. (2)因为0<α<π2<β<π，所以π4<β－π4<34π，π2<α＋β<3π2.所以sin ⎝⎛⎭⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0，因为cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35. 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤（α＋β）－⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)·sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－35×13＋45×223＝82－315.。

一轮复习北师大版简单的三角恒等变形课件

一轮复习北师大版简单的三角恒等变形课件
1．公式的常见变形
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)√
【答案】 B
【答案】 D
【答案】 D
【思维升华】 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．
【答案】 (1)C (2)A
Hale Waihona Puke 【思维点拨】 (1)利用降幂公式及辅助角公式将f(x)化为一个角的一种三角函数，利用公式确定最小正周期，利用正弦函数的性质求最值．
(2)通过图像的伸缩变换得到g(x)的解析式，进而确定函数的值域．
【思维升华】三角变形和三角函数性质相结合是高考的一个热点，解题时要注意观察角、式子间的联系，利用整体思想解题．
【审题路线图】
►方法与技巧 1．三角函数的求值与化简要有联系的观点，注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换． 2．利用三角函数值求角要考虑角的范围． 3．与三角函数的图像与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变形将已知条件中的函数解析式整理为f(x)＝ Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助三角函数图像解决．
►失误与防范 1．利用辅助角公式，asin x＋bcos x转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角． 2．计算形如y＝sin(ωx＋φ)，x∈[a，b]形式的函数最值时，不要将ωx＋φ的范围和x的范围混淆．

高考数学大一轮总复习第三章三角函数、三角恒等变形、解三角形计时双基练22 三角恒等变形理北师大版

计时双基练二十二三角恒等变形A 组基础必做1．(2015·洛阳统考)已知sin 2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．－23C. 13D. 23解析 ∵cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝23。

答案 D2．(2016·湘潭模拟)设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°·cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．a <c <b解析 a ＝12cos 6°－32sin 6°＝sin 24°，b ＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，c ＝1－cos 50°2＝sin 25°，所以a <c <b 。

答案 D3．当θ为第二象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sinθ2的值是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．以上都不对解析 ∵cos θ2＝13，且θ为第二象限角，∴θ2在第一象限且cos θ2<sin θ2， ∴原式＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1。

答案 B4．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( ) A.33 B ．－33 C.539D ．－69解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，∵0<α<π2，则π4<π4＋α<3π4，又 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223。

高考数学一轮复习第三章第2课时简单的三角恒等变形学案理含解析北师大版

高考数学一轮复习：第二课时简单的三角恒等变形授课提示：对应学生用书第69页题型一三角函数式的化简1．（2021·东莞考前冲刺）cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4等于（） A ．1 B ．1－cos 2x C ．1＋cos 2xD ．1＋sin 2x解析：由cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝ 1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π22＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝12（1＋sin 2x ＋1＋sin 2x ）＝1＋sin 2x ．答案：D2．化简：cos 40°cos 25°1－sin 40°＝（）A ．1B ． 3C ． 2D ．2解析：原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°（cos 20°－sin 20°）＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝2．答案：C3．2cos 10°－23cos （－100°）1－sin 10°＝_________．解析：由题意2cos 10°－23cos （－100°）1－sin 10°＝2cos 10°＋23sin 10°1－sin 10°＝4⎝⎛⎭⎫12cos 10°＋32sin 10°1－2sin 5° cos 5°＝4cos 50°cos 5°－sin 5°＝4 cos 50°2cos 50°＝22．答案：2 24．若180°＜α＜270°，则12＋1212＋12cos 2α＝_________．解析：原式＝12＋121＋cos 2α2＝12＋12cos2α，因为180°＜α＜270°，所以cos α＜0，从而上式＝12－12cos α，＝1－cos α2＝sin2α2，因为90°＜α2＜135°，所以sinα2＞0，从而上式＝sin α2．答案：sin α21．三角函数式的化简要遵循“三看”原则2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．题型二三角函数式求值考法（一）给角求值[例1] （1）化简sin 235°－12cos 10°cos 80°等于（）A ．－2B ．－12C ．－1D ．1（2）计算tan 12°－3（4cos 212°－2）sin 12°＝_________．[解析] （1）sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1．（2）原式＝sin 12°cos 12°－32（2cos 212°－1）sin 12°＝sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝2⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°sin 24°cos 24°＝2sin （12°－60°）12sin 48°＝－4． [答案] （1）C （2）－4三角函数给角求值问题的解题策略一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，利用三角变形转化为求特殊角的三角函数值问题．另外此类问题也常通过代数变形（比如：正负项相消、分子分母相约等）的方式来求值．考法（二）给值求值[例2] 已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，若1712π＜x ＜74π，则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值为_________． [解析] 法一：由1712π＜x ＜74π，得53π＜x ＋π4＜2π．又cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－45，所以cos x ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin π4＝35×22－45×22＝－210，从而sin x ＝－7210，tan x ＝7．则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x cos x ＋2sin 2 x 1－tan x＝2×⎝⎛⎭⎫－7210×⎝⎛⎭⎫－210＋2×⎝⎛⎭⎫－721021－7＝－2875．法二：由法一得tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－43．又sin 2x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－2cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋1＝－1825＋1＝725．则sin 2x ＋2sin 2 x 1－tan x＝sin 2x ＋2sin 2 x1－sin x cos x＝sin 2x cos x ＋2sin 2x cos x cos x －sin x ＝sin 2x （sin x ＋cos x ）cos x －sin x ＝sin 2x ·1＋tan x 1－tan x ＝sin 2x ·tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝725×⎝⎛⎭⎫－43＝－2875． [答案] －2875给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变形把求解目标用已知条件表达出来．考法（三）给值求角 [例3] 若sin 2α＝55，sin （β－α）＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是_________． [解析] 因为α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π，又sin 2α＝55，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以cos 2α＝－255且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，又因为sin （β－α）＝1010，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以cos （β－α）＝－31010，所以cos （α＋β）＝cos[（β－α）＋2α] ＝cos （β－α）cos 2α－sin （β－α）sin 2α＝⎝⎛⎭⎫－31010×⎝⎛⎭⎫－255－1010×55＝22，又α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，所以α＋β＝7π4． [答案] 74π通过某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：（1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数，若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，则选正、余弦皆可；若角的范围是（0，π），则选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则选正弦较好． [提醒] 对角的范围的限定是求角问题中的难点，一般来说对角的范围的限定可从以下两方面进行：（1）题目给定的角的范围；（2）利用给定的各个三角函数值来限定，如由三角函数值的正负可挖掘出角的范围，也可借助特殊角的三角函数值和函数的单调性来确定角的范围，注意应尽量使角的范围精准，避免增根．[题组突破]1．（2020·高考全国卷Ⅲ）已知2tan θ－tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝7，则tan θ＝（） A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：2tan θ－tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2tan θ－1＋tan θ1－tan θ＝7，解得tan θ＝2．答案：D2．已知2tan αsin α＝3，－π2＜α＜0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π6的值是（） A ．0 B ．22C ．1D ．12解析：由2tan αsin α＝3，得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，∴cos α＝12或cos α＝－2（舍去）．∵－π2＜α＜0，∴sin α＝－32，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝0．答案：A3．已知α，β∈（0，π），且tan （α－β）＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为_________．解析：tan α＝tan （α－β＋β）＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）·tan β＝12－171＋12×17＝13，所以tan （2α－β）＝tan（α＋α－β）＝tan α＋tan （α－β）1－tan α·tan （α－β）＝13＋121－13×12＝1．由tan α＝13，得tan α＜1，则0＜α＜π4，得0＜2α＜π2．由tan β＝－17，知β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－34π．答案：－34π题型三三角恒等变形的综合应用[例] 已知函数f （x ）＝（2cos 2x －1）sin 2x ＋12cos 4x ．（1）求函数f （x ）的最小正周期及单调递减区间；（2）若α∈（0，π），且f ⎝⎛⎭⎫α4－π8＝22，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． [解析] （1）因为f （x ）＝（2cos 2x －1）sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x ＝12（sin 4x ＋cos 4x ）＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4，所以函数f （x ）的最小正周期T ＝π2．令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z ．所以函数f （x ）的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z ．（2）因为f ⎝⎛⎭⎫α4－π8＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝1．又α∈（0，π），所以－π4＜α－π4＜3π4，所以α－π4＝π2，故α＝3π4．因此tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝tan 3π4＋tan π31－tan 3π4tanπ3＝－1＋31＋3＝2－3．三角恒等变形的综合应用主要是将三角变形与三角函数的性质相结合，通过变形把函数化为f （x ）＝A sin （ωx ＋φ）＋b 的形式，再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．[对点训练]已知函数f （x ）＝cos 2x ＋23sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋x －sin 2x ．（1）当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f （x ）的最大值和最小值；（2）若f （θ）＝65，求tan 2⎝⎛⎭⎫π6－θ的值．解析：（1）依题意，知f （x ）＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6．因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，则－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤2，于是当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f （x ）min ＝－1，f （x ）max ＝2．（2）因为f （θ）＝65，所以sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫π3－2θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－2θ＝ sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6＝35，于是tan 2⎝⎛⎭⎫π6－θ＝sin 2⎝⎛⎭⎫π6－θcos 2⎝⎛⎭⎫π6－θ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2θ1＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－2θ＝1－351＋35＝14．三角函数求值中的核心素养数学运算——三角函数求值中的素养问题数学运算就是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的核心素养．三角函数求值中的数学运算根据的是三角函数公式进行给角求值、给值求值和给值求角，旨在培养学生的准确、快速的运算能力．[例] 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2．（1）求sin 2α的值；（2）求tan α－1tan α的值．[解析] （1）cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12．因为α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3，所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3 ＝－32，所以sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3 ＝－12×12－⎝⎛⎭⎫－32×32＝12．（2）因为α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，所以2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，又由（1）知sin 2α＝12，所以cos 2α＝－32．所以tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2 α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝23．发现角之间的联系如：⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫π3－α＝π2，2α＋π3＝2⎝⎛⎭⎫π6＋α，利用tan α＝sin αcos α进行切弦互化，利用sin 2α＋cos 2α＝1进行正、余弦互化，本题体现了数学运算核心素养．[对点训练]（2021·宜兴月考）已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝7210，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2．（1）求cos α；（2）求f （x ）＝cos 2x ＋52sin αsin x 的最值．解析：（1）∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝7210，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2． ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－210， ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝－210×22＋7210×22＝35．（2）由（1）得cos α＝35，∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α＝45， ∴f （x ）＝cos 2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，∴当sin x ＝12时，f （x ）取得最大值32，当sin x ＝－1时，f （x ）取得最小值－3．。

高中数学三角恒等变形综合检测题(北师大版附解析)

高中数学三角恒等变形综合检测题（北师大版附解析）第三章三角恒等变形(时刻120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin 15cos 75＋cos 15sin 75等于()A．0 B.12C.32D．1【解析】sin 15cos 75＋cos 15sin 75＝sin(15＋75)＝sin 90＝1.【答案】D2．在锐角△ABC中，设x＝sin Asin B，y＝cos Acos B，则x、y的大小关系为()A．xy B．x＞yC．x＜y D．xy【解析】y－x＝cos(A＋B)＝cos(－C)＝－cos C，∵C为锐角，－cos C＜0，y－x＜0，即x＞y.【答案】B3．若sin ＋cos ＝tan (02)，则的取值范畴是()A．(0，6) B．(4)C．(3) D．(2)【解析】因为sin ＋cos ＝2sin(＋4)，当02时，此式的取值范畴是(1，2]，而tan 在(0，4)上小于1，故可排除A，B；在(2)上sin ＋cos 与tan不可能相等，因此D不正确，故选C.【答案】C4．在△ABC中，若sin C＝2cos Asin B，则此三角形必是()A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【解析】sin C＝sin[－(A＋B)]＝sin(A＋B)，sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B.sin(A－B)＝0，A＝B，△ABC为等腰三角形．【答案】A5．(2021陕西高考)设向量a＝(1，cos )与b＝(－1，2cos )垂直，则co s 2等于()A.22B.12C．0 D．－1【解析】a＝(1，cos )，b＝(－1,2cos )．∵ab，ab＝－1＋2cos2＝0，cos2＝12，cos 2＝2cos2－1＝1－1＝0.【答案】C6．当02时，函数f(x)＝1＋cos 2x＋8sin2xsin 2x的最小值为()A．2 B．23C．4 D．43【解析】f(x)＝1＋cos 2x＋8sin2xsin 2x＝2cos2x＋8sin2x2sin xcos x＝cot x＋4tan x24＝4.当且仅当cot x＝4tan x，即tan x＝12时取得等号．故选C.【答案】C7．(2021江西高考)若sin 2＝33，则cos ＝()A．－23 B．－13C.13D.23【解析】cos ＝1－2sin22＝1－2332＝1－23＝13.【答案】C8．(2021重庆高考)4cos 50－tan 40＝()A.2B.2＋32C.3 D．22－1【解析】4cos 50－tan 40＝4sin 40－sin 40cos 40＝4sin 40cos 40－sin 40cos 40＝2sin 80－sin 40cos 40＝sin 80＋sin60＋20－sin60－20cos 40＝sin 80＋2cos 60sin 20cos 40＝sin 80＋sin 20cos 40＝sin50＋30＋sin50－30cos 40＝2sin 50cos 30cos 40＝3cos 40cos 40＝3.【答案】C9．已知f(x)＝sin2(x＋4)，若a＝f(lg 5)，b＝f(lg 15)，则()A．a＋b＝0 B．a－b＝0C．a＋b＝1 D．a－b＝1【解析】由题意知f(x)＝sin2(x＋4)＝1－cos2x＋22＝1＋sin 2x2，令g(x)＝12sin 2x，则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋12，a＝f(lg 5)＝g (lg 5)＋12，b＝f(lg 15)＝g(lg 15)＋12，则a＋b＝g(lg 5)＋g(lg 15)＋1＝g(l g 5)＋g(－lg 5)＋1＝1，故a＋b＝1.【答案】C10．关于函数f(x)＝2sin xcos x，下列选项中正确的是()A．f(x)在(2)上是递增的B．f(x)的图像关于原点对称C．f(x)的最小正周期为2D．f(x)的最大值为2【解析】f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x，f(x)为奇函数，f(x)图像关于原点对称．【答案】B二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)11．(2021江西高考)若sin ＋cos sin －cos ＝12，则tan 2＝________.【解析】由sin ＋cos sin －cos ＝12，等式左边分子、分母同除co s 得，tan ＋1tan －1＝12，解得tan ＝－3，则tan 2＝2tan 1－tan2＝34.【答案】3412．知，(0，4)，tan 21－tan22＝14，且3sin ＝sin(2＋)，则＋＝____ ____.【解析】由tan 21－tan22＝14，得tan ＝12.由3sin ＝sin(2＋)，得3sin[(＋)－]＝sin[(＋)＋]，化简得tan(＋)＝2tan ＝1.由于，(0，4)，故＋(0，2)，因此＋＝4.【答案】413．若是第二象限角，cos 2－sin 2＝1－sin ，则角2所在的象限是_ _______．【解析】∵1－sin ＝sin 2－cos 22＝|sin 2－cos 2|＝cos 2－sin 2，sin cos 2.∵是第二象限角，2＋2k＋2k，kZ.则4＋k2＋kZ.由上可得54＋2k32＋2k，kZ.因此2是第三象限角．【答案】第三象限角14．函数f(x)＝sin2(2x－4)的最小正周期是________．【解析】f(x)＝1－cos22x－42＝1－cos4x－22＝1－sin 4x2，最小正周期T＝22.【答案】215．(2021江苏高考)设为锐角，若cos(＋6)＝45，则sin(2＋12)的值为_ _______．【解析】∵为锐角且cos(＋6)＝45，sin(＋6)＝35.sin(2＋12)＝sin[2(＋6)－4]＝sin 2(＋6)cos 4－cos 2(＋6)sin 4＝2sin(＋6)cos(＋6)－22[2cos2(＋6)－1]＝23545－22[2(45)2－1]＝12225－7250＝17250.【答案】17250三、解答题(本大题共6小题，共75分．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)(2021辽宁高考)设向量a＝(3sin x，sin x)，b ＝(cos x，sin x)，x0，2.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝ab，求f(x)的最大值．【解】(1)由|a|2＝(3sin x)2＋sin2 x＝4sin2x，|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x0，2，从而sin x＝12，因此x＝6.(2)f(x)＝ab＝3sin xcos x＋sin2x＝32sin 2x－12cos 2x＋12＝sin2x－6＋12，当x＝0，2时，sin2x－6取最大值1.因此f(x)的最大值为32.17．(本小题满分12分)若2sin(4＋)＝sin ＋cos ，2sin2＝sin 2，求证：sin 2＋12cos 2＝0.【证明】由2sin(4＋)＝sin ＋cos 得2cos ＋2sin ＝sin ＋cos ，两边平方得2(1＋sin 2)＝1＋sin 2，即sin 2＝12(sin 2－1)，①由2sin2＝sin 2得，1－cos 2＝sin 2. ②将②代入①得sin 2＝12[(1－cos 2)－1]得sin 2＝－12cos 2，即sin 2＋12cos 2＝0.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4cos xsinx＋4(＞0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)讨论f(x)在区间0，2上的单调性．【解】(1)f(x)＝4cos xsinx＋4＝22sin xcos x＋22cos2x＝2(sin 2x＋cos 2x)＋2＝2sin2x＋4＋2.因为f(x)的最小正周期为，且＞0，从而有2＝，故＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋4)＋2.若02，则2x＋54.当2x＋2，即08时，f(x)单调递增；当2＜2x＋54，即8＜x2时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间0，8上单调递增，在区间2上单调递减．19．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝sin(x＋6)＋sin(x－6)－2cos2x2，xR(其中0)．(1)求函数f(x)的值域；(2)若对任意的aR，函数y＝f(x)，x(a，a＋]的图像与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定的值(不必证明)，并求函数y＝f(x)，xR的单调增区间．【解】(1)f(x)＝sin(x＋6)＋sin(x－6)－2cos2x2＝2sin xcos 6－cos x －1＝2sin(x－6)－1，∵xR，f(x)的值域为[－3,1]．(2)由题意得函数f(x)的周期为.2＝，＝2，f(x)＝2sin(2x－6)－1.令2k22x－2k2，kZ.得k6k3，kZ.函数f(x)的单调增区间为[k6，k3]，kZ.图120．(本小题满分13分)如图1，以Ox为始边作角与)，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为(－35，45)．(1)求sin 2＋cos 2＋11＋tan 的值；(2)若OPOQ＝0，求sin(＋)．【解】(1)由三角函数定义得cos ＝－35，sin ＝45，则原式＝2sin cos ＋2cos21＋sin cos ＝2cos sin ＋cos sin ＋cos cos ＝2cos2＝2(－35)2＝1825.(2)∵OPOQ＝0，－＝2.＝－2.sin ＝sin(－2)＝－cos ＝35，cos ＝cos(－2)＝sin ＝45.sin(＋)＝sin cos ＋cos sin＝4545＋(－35)35＝725.21．(本小题满分13分)(2021湖北高考)设函数f(x)＝sin2x＋23sin xcos x－cos2x＋(xR)的图像关于直线x＝对称，其中，为常数，且(12，1)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图像通过点(4，0)，求函数f(x)的值域．【解】(1)因为f(x)＝sin2x－cos2x＋23sin xcos x＋＝－cos 2x＋3sin 2x＋＝2sin(2x－6)＋，由直线x＝是y＝f(x)图像的一条对称轴，可得sin(2－6)＝1，因此2－6＝k2(kZ)，即＝k2＋13(kZ)．又(12，1)，kZ，因此k＝1，故＝56.因此函数f(x)的最小正周期是65.(2)由y＝f(x)的图像过点(4，0)，得f(4)＝0，我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一样在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

高考数学(理)一轮复习讲练测：专题4.5三角恒等变换(测)答案解析

高考数学讲练测【新课标版】【测】第四章三角函数和解三角形第05节三角恒等变换班级 __________姓名 _____________ 学号 ___________ 得分 __________一、选择题（本大题共 12小题，每题 5 分，在每题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1. (2016 太·原模拟 )设α，β均为锐角，且cos( α＋β)＝sin( α－β)，则 tanα的值为 ()A ． 2 B. 32C． 1 D. 2【答案】C【分析】由 cos( α＋β)＝sin( α－β)得 cosαcosβ － sinα sinβ＝ sinα cosβ － cosα sinβ，即cosα (cosβ＋ sinβ )＝ sin α(cosβ＋ sinβ )，由于β为锐角，因此 cosβ＋ sinβ ≠0，因此cos α＝ sinα，因此 tanα＝ 1.2. 【成都七中2015届数学阶段性测试题，理8】已知a R,2sincos 10，则2tan(2)（）44B ．731A ．C． D ．347【答案】 B510π3π3. (2016 成·都一诊 )若 sin2α＝5， sin( β－α)＝10，且α∈ [ 4，π]，β ∈ [π，2 ]，则α＋β的值是 ()A.7πB.9π44C.5π或 7πD.5π或 9π4444【答案】A4.已知 sin 21 ，则 cos2 ( ) ()34A ．1B ．1C ．233 3【答案】 C1 cos 211 sin 21223【分析】 cos422224θ )5. 已知 θ为第二象限角，，则 cos的值为 (sin( －πθ)＝252A. 3B. 4 3 4 5 5C ． ±D ． ±5 5【答案】Cθ 【分析】由 θ为第二象限角，可知为第一或第三象限角．2由 sin( π－θ)＝ 2425，可知 sin θ＝ 2425，∴ cos θ＝－72θ18.∴cos θ 3 25.∴ 2cos＝ cos θ＋ 1＝25＝ ± .22 5D ．2 ，应选 C.3232 cos 2sin16. 已知 tan22 2 ，且知足，则2值（）422 sin4A ． 2B ．－ 2C ．322D ．322【答案】 C【分析】 tan 22tan2 2 ,整理可得2 tan 2tan2 0 ,1 tan 2解得 tan2 2 ．由于,因此 tan2 ．或 tan2422cos2sin1cos sin 22 sin42sin cos cos sin44cos sin cos sin1tan12cos 2 3．故 C 正确．cos sin cos sin1tan122cos7. 若,，则 3cos 2sin4，则 sin 2的值为（）21B．11717A ．18C．D．181818【答案】 D ．8. 已知tan()2)1tan()（）， tan(，那么5444A ．B．C．D．【答案】 C【分析】由于4()(4) ，tan()tan()3因此 tan()tan[()()]44，答案选 C.41tan() tan()2249.设a R，函数f ( x)cos x(asin x cos x)cos2 (x) 知足 f () f (0) ．则 f (x)23的单一递减区间为（）A. [ k, k5]( k Z)B.[ k, k5]( k Z)6636C. [k 5]( k Z) D. [k, k5 , k]( k Z) 6336【答案】 D10.已知8,cos B3，则 cosC 等于ABC 中，sin A517A ．1377B．77C．7713或8585D．858585【答案】 D【分析】由cos B30 得B 为锐角， sin B1 cos2 B4；由55 84sin B ，由正弦定理得A B ，当 A 为钝角，不切合内角和定理，因此A sin A5178，得 cos A15锐角，由sin A1sin2A1717由cosC cos A B cos A B13，故答案cos Acos B sin Asin B85为 D11.如下图，正方形 ABCD 的边长为 1，延伸 BA 至 E，使 AE ＝1，连结 EC， ED ，则 sin ∠CED ＝()31010A.10B. 1055C. 10D.15【答案】Bcos(3 )12. 【 2015 高考重庆，理9】若 tan2 tan ，则10 （）5sin()5A 、 1B 、 2C 、 3D 、4【答案】 C【分析】由已知，c o s ( 3)cos cos3sin sin3cos3tan sin31010 1010 10sin( ) sin cos cos sintan cos sin55 55 5cos32 tan5 sin310 102tan cos sin5 5 5cos cos 3 2sin sin 35 10 5 10＝sin cos 551(cos 5 cos ) (cos cos 5) 3cos2 10 10 10 10 103，选 C.1sin2cos2510二、填空题（本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分。

高考数学一轮复习必考部分第三篇三角函数、解三角形第5节三角恒等变换应用能力提升文北师大

第5节三角恒等变换【选题明细表】知识点、方法题号三角函数的化简求值2,3,7给值求值1,5,8,10,12给值求角4,9,11综合应用6,13,14,15,16基础对点练(时间:30分钟)1.(2015高考某某卷)若tan α=,tan(α+β)=,则tan β等于( A )(A)(B)(C)(D)解析:tan β=tan[(α+β)-α]===,故选A.2.化简等于( C )(A)-2 (B)-(C)-1 (D)1解析:===-1.故选C.3.(2015某某师大附中模拟)cos4-sin4等于( D )(A)0 (B)-(C)1 (D)解析:cos4-sin4=（cos2-sin2）（cos2+sin2）=cos2-sin2=cos=.4.(2015某某月考)若函数sin α-cos α=-（0<α<）,则α属于( B )(A)（0,）(B)(,)(C)(,)(D)(,)解析:sin α-cos α=sin(α-)=-,sin(α-)=-,由-<-<0,因为0<α<,所以-<α-<0,即<α<,故选B.5.(2015某某某某第二次适应性测试)已知sin 2α=,则cos2(α-)等于( D )(A)-(B)(C)-(D)解析:cos2(α-)====.6.(2016某某模拟)设函数f(x)=sin(2x+)+cos（2x+）,则( D )(A)y=f(x)在(0,)内单调递增,其图像关于直线x=对称(B)y=f(x)在（0,）内单调递增,其图像关于直线x=对称(C)y=f(x)在（0,）内单调递减,其图像关于直线x=对称(D)y=f(x)在（0,）内单调递减,其图像关于直线x=对称解析:因为f(x)=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x++）=cos 2x,所以f(x)在（0,）内单调递减,且图像关于直线x=对称.7.(2015高考某某卷)sin 15°+sin 75°的值是.解析:sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°=sin(15°+45°)=sin 60°=.答案:8.(2015某某新阵地教育研究联盟联考)已知点P(cos α,sin α)在直线y=-3x上,则tan（α-）=;=.解析:因为点P(cos α,sin α)在直线y=-3x上,所以sin α=-3cos α,即tan α=-3,则tan（α-）===2;====-.答案:2 -9.已知cos α=,cos(α+β)=-,α∈(0,),α+β∈(,π),则β的值为.解析:因为cos α=,α∈(0,),所以sin α=,又因为cos(α+β)=-,α+β∈(,π),所以sin (α+β)=,因为cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=,又因为α∈(0,),α+β∈(,π),β∈(0,π),所以β=.答案:10.(2015某某模拟)已知α,β均为锐角,且sin α=,tan(α-β)=-.(1)求sin(α-β)的值;(2)求cos β的值.解:(1)因为α,β均为锐角,所以0<α<,0<β<,所以-<α-β<,又tan(α-β)=-<0,所以-<α-β<0,sin(α-β)<0,又tan(α-β)==-,sin2(α-β)+cos2(α-β)=1,所以sin(α-β)=-.(2)由(1)可得cos(α-β)=,因为0<α<,sin α=,所以cos α===,所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×(-)=.11.已知0<α<,0<β<,且3sin β=sin(2α+β),4tan=1-tan2,证明:α+β=.证明:因为3sin β=sin(2α+β),即3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),所以3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α,所以2sin(α+β)cos α=4cos(α+β)sin α,所以tan(α+β)=2tan α.又因为4tan=1-tan2,所以tan α==.所以tan(α+β)=2tan α=1.因为α+β∈(0,),所以α+β=.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016某某某某检测)已知sin(-α)=,则cos[2(+α)]的值是( D )(A)(B)(C)-(D)-解析:因为sin(-α)=,所以cos(-2α)=cos[2（-α）]=1-2sin2（-α）=,因为（-2α）+（π+2α）=π,所以cos[2(+α)]=cos(+2α)=cos[π-(-2α)]=-cos(-2α)=-.13.(2015某某模拟)已知函数f(x)=sin x+2cos2,设a=f(),b=f(),c=f(),则a,b,c的大小关系是( B )(A)a<b<c (B)c<a<b(C)b<a<c (D)b<c<a解析:f(x)=sin x+2·=sin x+cos x+=2sin(x+)+,因为函数f(x)在[0,]上单调递增,所以f()<f(),而c=f()=2sin+=2sin +=f(0)<f(),所以c<a<b.14.(2015某某模拟)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=.解析:f(x)=sin x-2cos x=sin(x+ϕ),其中cos ϕ=,sin ϕ=-,当x+ϕ=2kπ+时,函数f(x)取得最大值,即θ=2kπ+-ϕ,所以cos θ=cos(-ϕ)=sin ϕ=-.答案:-15.已知角α的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(-3,).(1)求sin 2α-tan α的值;(2)若函数f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α,求函数y=f(-2x)-2f2(x)在区间[0,]上的值域.解:(1)因为角α终边经过点P(-3,),所以sin α=,cos α=-,tan α=-.所以sin 2α-tan α=2sin αcos α-tan α=-+=-.(2)因为f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α=cos x,x∈R,所以y=cos(-2x)-2cos2x=sin 2x-1-cos 2x=2sin(2x-)-1.因为0≤x≤,所以0≤2x≤,所以-≤2x-≤,所以-≤sin(2x-)≤1,所以-2≤2sin(2x-)-1≤1,故函数y=f(-2x)-2f2(x)在区间[0,]上的值域是[-2,1].16.(2015某某模拟)已知函数f(x)=cos2ωx-sin ωx·cos ωx(ω>0)的最小正周期是π.(1)求函数f(x)的单调递增区间和对称中心;(2)若A为锐角三角形ABC的内角,求f(A)的取值X围.解:(1)依题意,得f(x)=-sin 2ωx=cos(2ωx+)+,因为T==π,所以ω=1.所以f(x)=cos(2x+)+,由-π+2kπ≤2x+≤2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为[-+kπ,-+kπ],k∈Z.令2x+=+kπ,k∈Z,所以x=+,k∈Z,所以对称中心为（+,）,k∈Z.(2)依题意,得0<A<,所以<2A+<,所以-1≤cos（2A+）<,所以-≤cos（2A+）+<1,所以f(A)的取值X围为[-,1).精彩5分钟1.(2015某某模拟)已知tan(α+)=2,tan(β-)=-3,则tan(α-β)等于( D )(A)1 (B)-(C)(D)-1解题关键:注意观察α+与β-π的关系,配凑使用公式求tan(α-β).解析:tan[(α+)-(β-)]=tan[(α-β)+π]=tan(α-β)word==-1.2.(2015某某质检)已知α∈（,）,β∈（0,）,且cos（-α）=,sin（π+β）=-,则cos(α+β)=.解题关键:注意角α,β的X围.解析:因为α∈（,）,cos（-α）=,所以sin（-α）=-,因为sin（π+β）=-,所以sin（π+β）=,所以cos（π+β）=,所以cos(α+β)=cos[(+β)-(-α)]=×+(-)×=-.答案:-。