浙江省宁波二中高三数学上学期第一次月考试卷理(含解析)

2015-2016学年浙江省宁波二中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i是虚数单位， =（）A．B． C．D．2．已知函数y=f（2x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．2 B．3 C．4 D．53．设a，b∈R+，则“a﹣b＞1”是“a2﹣b2＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位5．若实数x，y满足不等式组且z=x+3y的最大值为12，则实数k=（）A．﹣12 B．C．﹣9 D．6．设F双曲线﹣=1的右焦点，A为其左顶点，过F作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若AP的斜率为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）=|log2（ax）|在x∈[，2]上的最大值为M（a），则M（a）的最小值是（）A．2 B．C．1 D．8．若等差数列{a n}满足a12+a32=2，则的取值范围是（）A．[1，3] B．[﹣1，十1] C．[3﹣2，3+2] D．[4﹣2，4+2]．二、填空题：本大题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，共36分．9．已知集合A=，B={y|y=2x，x∈R}，则A∪B=；（∁R A）∩B=．10．设f（x）=，则f（x）的减区间为；f（x）在x=e处的切线方程为．11．与圆O：x2+y2=2外切于点A（﹣1，﹣1），且半径2的圆的方程为；若圆C上恰有两个点到直线x+y+m=0的距离为，则实数m的取值范围是．12．在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于，AC的取值范围为．13．已知a，b＞0，且，则（a+1）（b+2）的最小值为．14．平面向量，，满足||=1，•=1，•=2，|﹣|=2，则•的最小值为．15．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1] B．[﹣5，0] C．[﹣5，1] D．[﹣2，0]三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C=．（Ⅰ）若2sinB+2sin（A﹣C）=，求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为2，c=2，求△ABC的周长．17．已知a为实数，f（x）=（x2﹣4）（x﹣a），f′（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）若f′（﹣1）=0，求f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，﹣2]和[2，+∞）上均单调递增，求a的取值范围．18．设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|（Ⅰ）若f（0）≥1，求a的取值范围；（Ⅱ）求f（x）在[﹣2，2]上的最小值．19．已知O为坐标原点，椭圆=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点．（Ⅰ）求△F1PF2周长的最小值；（Ⅱ）设直线PF1和PF2的斜率分别为k1，k2，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A，B和C，D．①证明： =2；②当直线OA，OB，OC，OD的斜率之和为0时，求直线l上点P的坐标．20．已知正项数列{a n}满足a n2+a n=3a2n+1+2a n+1，a1=1．（1）求a2的值；（2）证明：对任意实数n∈N*，a n≤2a n+1；（3）记数列{a n}的前n项和为S n，证明：对任意n∈N*，2﹣≤S n＜3．2015-2016学年浙江省宁波二中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i是虚数单位， =（）A．B． C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数的分母为实数，即可．【解答】解：i是虚数单位， =，故选A．【点评】本题考查复数的代数形式的运算，是基础题．2．已知函数y=f（2x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数是偶函数，结合函数，令x=1，即可得到结论．【解答】解：∵y=f（2x）+x是偶函数，∴f（﹣2x）﹣x=f（2x）+x，∴f（﹣2x）=f（2x）+2x，令x=1，则f（﹣2）=f（2）+2=3．故选：B【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数的奇偶性的性质得到方程关系是解决本题的关键，注意要学会转化．3．设a，b∈R+，则“a﹣b＞1”是“a2﹣b2＞1”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】简易逻辑．【分析】首先，将a 2﹣b 2＞1化简为（a ﹣b ）（a+b ）＞1，然后，结合条件a ，b ∈R +，做出判断．【解答】解：设命题p ：a ﹣b ＞1； 命题q ：a 2﹣b 2＞1 ∵a 2﹣b 2＞1化简得 （a ﹣b ）（a+b ）＞1 又∵a，b ∈R +， ∴p ⇒q ，q 推不出p ， ∴P 是q 的充分不必要条件，即“a﹣b ＞1”是“a 2﹣b 2＞1”的充分不必要条件．【点评】本题重点考查充分条件、必要条件和充要条件的概念及其应用，属于中档题．4．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x 的图象（ ） A ．向左平移个长度单位 B ．向右平移个长度单位 C ．向左平移个长度单位D ．向右平移个长度单位【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换． 【专题】计算题．【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．【解答】解：∵，只需将函数y=sin2x 的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A ．【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．5．若实数x，y满足不等式组且z=x+3y的最大值为12，则实数k=（）A．﹣12 B．C．﹣9 D．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合．【分析】分k≥0和k＜0作出可行域，求出使z=x+3y取得最大值的点A的坐标，代入目标函数后由最大值为12求得k的值．【解答】解：当k≥0时，由不等式组作可行域如图，联立，解得A（）．当z=x+3y过A点时，z有最大值，为，解得：k=﹣9，与k≥0矛盾；当k＜0时，由不等式组作可行域如图，联立，解得A（）．当z=x+3y过A点时，z有最大值，为，解得：k=﹣9．综上，k=﹣9．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了分类讨论的数学数学思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．6．设F双曲线﹣=1的右焦点，A为其左顶点，过F作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若AP的斜率为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出直线PF的方程，可得P的坐标，进而可求AP的斜率，利用AP的斜率为，建立方程，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，直线PF：y=﹣（x﹣c），与y=x联立，可得P（，），∵AP的斜率为，∴=，∴4e2+e﹣5=0，∵e＞1，∴e=．故选：A．【点评】本题考查直线AP的斜率，双曲线的离心率，考查学生的计算能力，比较基础．7．已知函数f（x）=|log2（ax）|在x∈[，2]上的最大值为M（a），则M（a）的最小值是（）A．2 B．C．1 D．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】对a讨论，当0＜a＜时，当≤a＜1时，当1≤a＜时，当a≥时，通过图象，比较f（）和f（2）的大小，求得M（a）的范围，即可得到最小值．【解答】解：0＜a＜1的图象如右，当0＜a＜时，f（）=|log2（a）|=log2，f（2）=log2，f（）＞f（2），即有M（a）=log2∈（3，+∞），当≤a＜1时，f（）=|log2（a）|=log2，f（2）=log2（2a），f（）＞f（2），即有M（a）=log2∈（2，3]；a≥1的图象如右，当1≤a＜时，f（）=|log2（a）|=log2，f（2）=log2（2a），f（）＞f（2），即有M（a）=log2∈（，2）；当a≥时，f（）=|log2（a）|=log2，f（2）=log2（2a），f（）＜f（2），即有M（a）=log2（2a）∈[，+∞）．综上可得M（a）的范围是[，+∞）．则M（a）的最小值为．故选B．【点评】本题考查函数的最值的求法，考查对数函数的图象和性质，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．8．若等差数列{a n}满足a12+a32=2，则的取值范围是（）A．[1，3] B．[﹣1，十1] C．[3﹣2，3+2] D．[4﹣2，4+2]．【考点】数列与不等式的综合；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的性质求出a4yu 公差d的范围，然后利用基本不等式求解表达式的范围．【解答】解：设等差数列的公差为d，由a12+a32=2，得，化为：，由判别式△≥0，得：16﹣20（﹣1）≥0，即，同样可以算出d2≤1．则===1﹣=1﹣，当，1﹣≥1﹣=3﹣2．满足等号的条件，，，1﹣=1﹣=1+≤=3+2，的取值范围是：[3﹣2，3+2]．故选：C．【点评】本题考查数列的基本性质的应用，基本不等式求解表达式的最值的求法，考查计算能力．二、填空题：本大题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，共36分．9．已知集合A=，B={y|y=2x，x∈R}，则A∪B=[0，+∞）；（∁R A）∩B=（2，+∞）．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】先求出集合A，B，再根据集合的集合交，并，补运算即可．【解答】解：A==[0，2]，B={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），∴A∪B=[0，+∞），（∁R A）=（﹣∞，0）∪（2，+∞），（∁R A）∩B=（2，+∞），故答案为：[0，+∞），（2，+∞）．【点评】本题主要考查了集合交，并，补的混合运算，属于基础题．10．设f（x）=，则f（x）的减区间为（0，1），（1，e）；f（x）在x=e处的切线方程为y=e ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】求出函数的导数，令导数小于0，可得减区间，注意定义域；求得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程．【解答】解：f（x）=的导数为f′（x）=，由f′（x）＜0，可得0＜x＜1或1＜x＜e．可得f（x）在x=e处的切线斜率为0，切点为（e，e），即有切线的方程为y=e．故答案为：（0，1），（1，e），y=e【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查运算能力，属于基础题．11．与圆O：x2+y2=2外切于点A（﹣1，﹣1），且半径2的圆的方程为（x+3）2+（y+3）2=8 ；若圆C上恰有两个点到直线x+y+m=0的距离为，则实数m的取值范围是m∈（0，4）∪（8，12）．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（1）两圆相切，则切点与两圆的圆心三点共线，设出所求圆的圆心为C（a，b），列方程求得a，b即可；（2）由题意可得圆心（﹣3，﹣3）到直线l：x+y+m=0的距离d满足＜d＜3．根据点到直线的距离公式求出d，再解绝对值不等式求得实数m的取值范围．【解答】解：设所求圆的圆心为C（a，b），∵切点A（﹣1，﹣1）与两圆的圆心O、C三点共线，∴，又|AC|=2，∴（x﹣a）2+（y﹣b）2=8解得a=3，b=﹣3，∴所求圆的方程为（x+3）2+（y+3）2=8；由题意可得圆心（﹣3，﹣3）到直线l：x+y+m=0的距离d满足＜d＜3，∴＜＜3，∴m∈（0，4）∪（8，12）．故答案为：（x+3）2+（y+3）2=8，m∈（0，4）∪（8，12）【点评】本题主要考查圆的方程，考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，绝对值不等式的解法，属于中档题．12．在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于 2 ，AC的取值范围为（）．【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）根据正弦定理和B=2A及二倍角的正弦公式化简可得值；（2）由（1）得到AC=2cosA，要求AC的范围，只需找出2cosA的范围即可，根据锐角△ABC 和B=2A求出A的范围，然后根据余弦函数的增减性得到cosA的范围即可．【解答】解：（1）根据正弦定理得： =，因为B=2A ，化简得=即=2；（2）因为△ABC 是锐角三角形，C 为锐角，所以，由B=2A 得到A+2A ＞且2A=，从而解得：，于是，由（1）的结论得2cosA=AC ，故．故答案为：2，（，）【点评】考查学生灵活运用正弦定理及二倍角的正弦公式化简求值，本题的突破点是根据三角形为锐角三角形、内角和定理及B=2A 变换角得到角的范围．13．已知a ，b ＞0，且，则（a+1）（b+2）的最小值为．【考点】基本不等式． 【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得ab=（2a+b ），展开代入可得（a+1）（b+2）=（2a+b ）（）+2=（4++）+2，由基本不等式可得．【解答】解：∵a，b ＞0，且，∴=3，∴ab=（2a+b ），∴（a+1）（b+2）=ab+2a+b+2=（2a+b ）+2=（2a+b ）（）+2=（4++）+2≥（4+2）+2=，当且仅当=即a=且b=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查基本不等式求最值，整体代换是解决问题的关键，属中档题．14．平面向量，，满足||=1， •=1， •=2，|﹣|=2，则•的最小值为 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，建立直角坐标系．由||=1，不妨设=（1，0）．由•=1，•=2，可设=（1，m），=（2，n）．利用|﹣|=2，可得，（m+n）2=3+4mn≥0，再利用数量积运算=2+mn即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．∵||=1，∴不妨设=（1，0）．∵•=1，•=2，∴可设=（1，m），=（2，n）．∴=（﹣1，m﹣n）．∵|﹣|=2，∴，化为（m﹣n）2=3，∴（m+n）2=3+4mn≥0，∴，当且仅当m=﹣n=时取等号．∴=2+mn．故答案为：．【点评】本题考查了通过建立直角坐标系解决向量有关问题、数量积运算及其性质、不等式的性质，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题．15．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1] B．[﹣5，0] C．[﹣5，1] D．[﹣2，0]【考点】偶函数；函数恒成立问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】在解答时，应先分析好函数的单调性，然后结合条件f（ax+1）≤f（x﹣2）在[，1]上恒成立，将问题转化为有关 x的不等式在[，1]上恒成立的问题，在进行解答即可获得问题的解答．【解答】解：由题意可得|ax+1|≤|x﹣2|对恒成立，得x﹣2≤ax+1≤2﹣x对恒成立，从而且对恒成立，∴a≥﹣2且a≤0，即a∈[﹣2，0]，故选D．【点评】本题考查的是不等式、函数性质以及恒成立有关的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了函数的性质、恒成立的思想以及问题转化的能力．值得同学们体会与反思，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C=．（Ⅰ）若2sinB+2sin（A﹣C）=，求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为2，c=2，求△ABC的周长．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由题意和内角和定理表示出B，代入已知的式子利用两角差的正弦公式化简，求出sinA的值，由内角的范围求出角A的值；（Ⅱ）由题意和三角形的面积公式列出方程求出ab的值，由余弦定理列出方程化简，即可求出a+b的值，再求出△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）由C=得A+B=π﹣C=，则B=﹣A，因为2sinB+2sin（A﹣C）=，所以2sin（﹣A）+2sin（A﹣）=，则2（cosA+sinA）+2（sinA﹣cosA）=，化简得，sinA=，由0＜A＜π得A=或，因为C=，所以；…（Ⅱ）以为C=，△ABC的面积为2，所以S=，则ab=8，因为c=2，所以由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，则12=a2+b2﹣ab，即a2+b2=12+8=20，所以a+b===6，即△ABC的周长是．…【点评】本题考查余弦定理，两角差的正弦公式，以及三角形的面积公式，注意内角的范围，属于中档题．17．已知a为实数，f（x）=（x2﹣4）（x﹣a），f′（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）若f′（﹣1）=0，求f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，﹣2]和[2，+∞）上均单调递增，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）结合已知中函数的解析式及f′（﹣1）=0，构造方程求出a值，进而分析出函数的单调性后，求出函数的极值和端点对应的函数值，比照后可得答案．（II）若f（x）在（﹣∞，﹣2]和[2，+∞）上均单调递增，则f′（x）=3x2﹣2ax﹣4≥0对（﹣∞，﹣2]恒成立且f′（x）=3x2﹣2ax﹣4≥0对[2，+∞）恒成立，解不等式组可得答案．【解答】解：（I）∵f（x）=（x2﹣4）（x﹣a），∴f′（x）=2x（x﹣a）+（x2﹣4）又∵f′（﹣1）=﹣2×（﹣1﹣a）+（1﹣4）=0，∴a=∴f（x）=（x2﹣4）（x﹣），∴f′（x）=2x（x﹣）+（x2﹣4）=3x2﹣x﹣4令f′（x）=0，解得x=﹣1，x=，当x∈[﹣2，﹣1]时，f′（x）≤0恒成立，f（x）为减函数当x∈[﹣1，4/3]时，f′（x）≥0恒成立，f（x）为增函数，当x∈[4/3，2]时，f′（x）≤0恒成立，f（x）为减函数又∵f（﹣2）=0，f（﹣1）=，f（）=﹣，f（2）=0可以得到最大值为，最小值为﹣（II）∵f（x）=（x2﹣4）（x﹣a），∴f′（x）=3x2﹣2ax﹣4，依题意：f′（x）=3x2﹣2ax﹣4≥0对（﹣∞，﹣2]恒成立，即2ax≤3x2﹣4∴a≥又∵y=在（﹣∞，﹣2]上为增函数，故x=﹣2时，取最大值﹣2，所以a≥﹣2f′（x）=3x2﹣2ax﹣4≥0对[2，+∞）恒成立，即2ax≤3x2﹣4∴a≤又∵y=在[2，+∞）上为增函数，故x=2时，取最小值2，所以a≤2故a的取值范围为[﹣2，2]．【点评】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度较大．18．设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|（Ⅰ）若f（0）≥1，求a的取值范围；（Ⅱ）求f（x）在[﹣2，2]上的最小值．【考点】分段函数的应用；函数的值域．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）原不等式即为﹣a|a|≥1，考虑a＜0，解二次不等式求交集即可；（Ⅱ）将函数f（x）改写为分段函数，讨论当a≥0时，①﹣a≤﹣2，②﹣a＞﹣2，当a＜0时，①≤﹣2，②＞﹣2，运用二次函数的单调性，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）若f（0）≥1，则﹣a|a|≥1⇒⇒a≤﹣1，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1]；（Ⅱ）函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|=，当a≥0时，①﹣a≤﹣2即a≥2时，f（x）在[﹣2，2]上单调递增，所以f（x）min=f（﹣2）=4﹣4a﹣a2；②﹣a＞﹣2即0≤a＜2时，f（x）在[﹣2，﹣a]上单调递减，在[﹣a，2]上单调递增，所以f（x）min=f（﹣a）=﹣2a2；当a＜0时，①≤﹣2即a≤﹣6时，f（x）在[﹣2，2]上单调递增，所以f（x）min=f（﹣2）=12+4a+a2；②＞﹣2即﹣6＜a＜0时，f（x）在[﹣2，]上单调递减，在[，2]上单调递增，所以f（x）min=f（）=，综上可得，f（x）min=【点评】本题考查绝对值函数的运用，考查分类讨论的思想方法，考查二次函数在闭区间上的最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．19．已知O为坐标原点，椭圆=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点．（Ⅰ）求△F1PF2周长的最小值；（Ⅱ）设直线PF1和PF2的斜率分别为k1，k2，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A，B和C，D．①证明： =2；②当直线OA，OB，OC，OD的斜率之和为0时，求直线l上点P的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；数形结合；方程思想；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）过F2作直线x+y=2的对称点M，由对称知识，可得M的坐标，即有|PF1|+|PF2|的最小值为|MF1|，可得△F1PF2周长的最小值；（Ⅱ）①把直线PF1、PF2的方程联立求得交点的坐标的表达式，代入直线x+y=2上，整理求得=2，原式得证；②设出A，B，C，D的坐标，联立直线PF1和椭圆的方程根据韦达定理表示出x A+x B和x A x B，进而可求得直线OA，OB斜率的和与CO，OD斜率的和，由k OA+k OB+k OC+k OD=0推断出k1+k2=0或k1k2=1，分别讨论求得p．【解答】解：（Ⅰ）过F2作直线x+y=2的对称点M，设M（m，n），椭圆=1的a=，b=1，c=1，即有F1（﹣1，0）、F2（1，0），可得，解得，即为M（2，1），则|PF1|+|PF2|的最小值为|MF1|==，则△F1PF2周长的最小值为|F1F2|+|MF1|=2+；（Ⅱ）①由于F1（﹣1，0）、F2（1，0），PF1，PF2的斜率分别是k1，k2，且点P不在x轴上，所以k1≠k2，k1≠0，k2≠0．又直线PF1、PF2的方程分别为y=k1（x+1），y=k2（x﹣1），联立方程解得，所以P（，），由于点P在直线x+y=2上，所以+=2，即2k1k2+3k1﹣k2=0，故﹣=2；②由，得，即有，，同样可算得，k OC+k OD=，由k OA+k OB+k OC+k OD=0，得，整理得（k1+k2）（k1k2﹣1）=0，即k1+k2=0或k1k2=1，又因为，由，由，解得（舍）或，综上可得，P（0，2）或．【点评】本题主要考查了直线与椭圆的关系的综合问题，椭圆的简单性质．考查了学生综合推理能力，基本计算能力．20．已知正项数列{a n}满足a n2+a n=3a2n+1+2a n+1，a1=1．（1）求a2的值；（2）证明：对任意实数n∈N*，a n≤2a n+1；（3）记数列{a n}的前n项和为S n，证明：对任意n∈N*，2﹣≤S n＜3．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）由代入法，解方程可得a2，注意负值舍去；（2）由题意可得可得a n2﹣4a2n+1+a n﹣2a n+1+4a2n+1=0，因式分解，即可得证；（3）运用（2）的结论，结合等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）a n2+a n=3a2n+1+2a n+1，a1=1，即有a12+a1=3a22+2a2=2，解得a2=（负的舍去）；（2）证明：a n2+a n=3a2n+1+2a n+1，可得a n2﹣4a2n+1+a n﹣2a n+1+4a2n+1=0，即有（a n﹣2a n+1）（a n+2a n+1+1）+4a2n+1=0，由于正项数列{a n}，即有a n+2a n+1+1＞0，4a2n+1＞0，则有对任意实数n∈N*，a n≤2a n+1；（3）由（1）可得对任意实数n∈N*，a n≤2a n+1；即为a1≤2a2，可得a2≥，a3≥a2≥，…，a n≥，前n项和为S n=a1+a2+…+a n≥1+++…+==2﹣，又a n2+a n=3a2n+1+2a n+1＞a2n+1+a n+1，即有（a n﹣a n+1）（a n+a n+1+1）＞0，则a n＞a n+1，数列{a n}递减，即有S n=a1+a2+…+a n＜1+1+++…+=1+=3（1﹣）＜3．则有对任意n∈N*，2﹣≤S n＜3．【点评】本题考查数列的通项和求和间的关系，考查数列不等式的证明，同时考查等比数列的求和公式的运用，以及不等式的性质，属于中档题．。