运筹学作业图形

运用Excel求解资本限额下最优投资项目组合

重庆大学经济与工商管理学院刘谊廖莹毅

任何一个公司都会面临资金不足的问题，在这种情况下公司的投资决策就会受到资本限额的影响。所谓“资本限额”指的是由于没有足够的资金，公司不能投资于所有净现值（NPV）大于零的项目。资本限额有“软”、“硬”两种形式。软资本限额主要是由公司内部原因所致。例如，公司管理层能力有限，不能管理过多的投资项目；或者公司确定了某一时期可以进行的投资额度，超过这个额度，即使存在NPV为正的项目，公司也不予考虑。硬资本限额主要由公司外部原因引起。例如，资本市场资金供不应求，或者政府限制某个行业的投资。

在有资本限额的情况下进行投资决策，考虑问题的核心在于如何将有限的资金在现有的投资项目之间进行合理的分配，以保证公司取得最大收益（NPV最大）。因此，在项目之间进行选择时不仅要考虑每一项目所产生的NPV，还要考虑若干项目组合后对资金的利用程度，即总体NPV的大小。同时，由于投资项目的不可分性，企业只能拒绝或者接受整个项目，而不能只接受项目的某些部分，所以最终形成的投资决策往往是一个预算额小于资本限额的总资本预算。

一般而言，现值指数（PVI）法是资本限额下辨别最佳投资项目组合的有力工具，即计算所有项目的PVI，然后从大到小进行排序，在资本限额内按次序挑选。然而，在资本限额的临界点附近，PVI法有时会失效，这时只能通过考察不同项目组合的NPV大小进行决策。但是，在项目数非常多或者资本限额为多期的情况下，计算不同项目组合的NPV工作量非常大，求解困难，影响工作效率。这时，我们可以借助零一整数规划的分析方法来求解资本限额下最优投资项目组合的选择问题，并利用Excel的规划求解功能在计算机的辅助下简化人工计算过程，提高工作效率。下面结合具体实例加以说明。

1、规划模型的建立

规划问题可以涉及到众多领域，例如生产的组织安排问题，运输的调度问题，农作物的合理布局问题，原料的恰当搭配问题，等等。尽管规划问题种类繁多，但概括起来可以分为两类：一类是确定了某个任务，研究如何使用最少的人力、物力和财力去完成它；另一类是已经有了一定数量的人力、物力和财力，研究如何使它们获得最大的收益。显然，资本限额下最优投资项目组合问题属于后一类，也就是在资本限额（财力）一定的条件下，研究如何选取合适的投资项目组合，以获得最大的经济利益。从数学的角度来看，该规划问题有下述特征：

目标：每个问题都有一个明确的目标，如利润最大或成本最小。本文中我们的目标就是在满足资本约束条件下，求出NPV总额最大的那一组投资项目组合。

决策变量：每个规划问题都有一组需要求解的未知数（X1,X2,X3……,Xn）,称作决策变量。这组决策变量的一组确定值代表一个具体的规划方案。在本文中各个备选的投资项目就是要求解的决策变量Xi，它们的一组取值构成了一个具体的投资组合方案。

约束条件：对于规划问题的决策变量通常都有一定的限制条件，称作约束条件。约束条件可以用与决策变量有关的不等式或等式来表示。本文中的约束条件就是被选中项目的资本

总支出必须小于或等于资本限额。

对每一个备选的投资项目而言，只可能存在两种状态，即要么被选中，要么不被选中，这意味着决策变量的取值也只有两种状态。于是我们可以借助整数规划中的0-1整数规划来描述这个问题。例如：JA 公司打算在接下来的几年中实行资本限额限制。表1给出了15个项目本年和第二年所需要的现金流出以及每个项目的NPV 。此外，初始的资本限额为$1.3百万，第二年度的资本限额为$0.4百万。分别在一年和两年资本限额下，求解最优投资项目组合。

表1 JA 公司投资项目数据表 单位：千美元

项目符号

NPV

初始支出

第二年支出

1 301.5 437 55

2 214 382 0

3 43 310 86

4 5

5 260 0 5 31

6 229 30 6 85 188 0

7 124 135 0

8 78 107 28

9 122 93 73 10 95.5 86 41 11 59 82 9 12 61 70 151 13 21.5 55 19 14 41 49 110 15

60

38

142

如果我们只考虑资金的初始支出，即资本限额和投资决策都只涉及一期，这就是单期资本限额问题。它是一个典型的线性规划问题，我们可先把其转化为简单的数学模型。设Xi 表示决策标量，它表示第i 个项目是否被采纳。Xi 为1表示被采纳，0为不被采纳。Yi 表示第i 个项目的初始支出。易得到如下零一规划模型。

目标函数：Max NPV 总额=

∑==15

1

i i XiNPVi

约束条件：

百万3.1$15

1

∑==≤i i XiYi

)15...3,2,101=⎩⎨⎧=i i i Xi （个项目不被采纳时。

，当第个项目被采纳时，

，当第

如果我们考虑资金的初始支出和第二年的支出，即资本限额和投资决策涉及到多期，这

就是多期资本限额问题。和单期相比，多期问题增加了约束条件。即

百万4.0$151

∑==≤i i XiZi (Zi 表示第I 个项目第二年的支出)

以下我们将通过Excel 的规划求解工具实现上述单期和多期资本限额问题。 2、Excel 的求解过程。

表2 单元格具体含义一览表（单期资本限额） 单元格标号 名称 数据类型 初始值 所含公式 具体含义 B2:B16 原始数据格 非负实数 （表1） —— 各项目NPV D2:D16 原始数据格 非负实数 （表1） —— 各项目初始支出 C2:C16 可变单元格（Xi ） 0或1 0 —— 项目被采纳与否 D18 约束条件格 非负实数 1300

——

本年资本限额 D17

约束条件格

非负实数

∑==16

2*i i Di Ci

本年最优支出总额

B17 目标单元格 非负实数 0

∑==16

2

*i i Bi Ci

最优NPV 总额

（1）该线性规划问题的数学模型输入Excel 中（图1），各单元格的具体含义如表2所示： （2）选择“工具”菜单中“加载宏”选项，在安装提示下装入“规划求解”（注意要插入安装盘）。也可以把安装盘中“Pfiles\Office\Library ”下的Solver 文件夹及其目录下的Solver.xla 、Solvr32.dll 复制到Office 安装目录“Office\Library ”下，然后加载即可。

图1 初始数据