角平分线(2)

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角平分线(2)

BE=BF
中考真题：
条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置。
小结拓展
回味无穷
定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这 O 个角的平分线上.
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三
A．60° C．64°
图3 B．62° D．66°
4.已知，如图，P是∠AOB的平分线上的一点PC⊥OA,PD⊥OB，垂足分别为C，D。
求证：（1）OC=ODACOPDB （2）OP是CD的垂直平分线。 A
C
O
P
D B
5.已知：OP是∠MON内的一条射线， AC⊥OM,AD⊥ON,BE⊥OM,BF⊥ON,垂足分别为C、D、E、F，且AC=AD，求证：
点到三条边的距离相等。
思考：在三角形内找一点，使它到三边的距离相等，这样的点怎么找？
1、如图，某城有一块三角形的中心公园(△ABC)，再在公园内建一雕塑，使它到旁边三条路的距离相等，你能确定雕塑的选址吗？
A
B
C
三角形三角的角平分线与三边的垂直平分线的区别
2、下列命题是假命题( B ) A．在三角形内部，一定有一个点到它三边的距离相等 B．在三角形内部，一定有一个点到它三个顶点的距离相等 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．角平分线上的点到两边的距离一定相等
角平分线（二）
九年级数学组 9月3日
学习目标：
掌握三角形三条角平分线的性质定理，会用这个定理解决一些角的平分线，你发现了什么结论？
A
F
E

123.1角平分线的性质(2)

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附赠中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。
拓展与延伸
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上

角的平分线的性质(2)

13.3 角平分线的性质（2）
复习回顾
1、角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵点P在∠AOB的平分线上
N
A
且PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN
0
2、角平分线性质定理的逆定理：
C P MB
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PM⊥OB，PN⊥OA 且PM＝PN.
∴点P在∠AOB的平分线上.
交点，OE⊥AD于E，且OE=2cm，则两平行线AB、
CD之间的距离是__4_c_m__.
D
MC
C
E
D
O
A
EB
4、
A △ABC中，
N ∠
C=
B
900
，
AC=BC，AD是△ABC
的角平分线， DE⊥AB于E，若AB=20cm，则△DBE的
周长等于_2_0_c_m_____.
5、如图， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
A
D
B
C
P
例3、已知，如图， ∠B=∠C= 900 ，M是BC的中点，
DM平分∠ADC。求证：AM平分∠DAB。
DC
E
M
证明角平分线有两种方法：
A
B
一是运用定义证明两个角相等；
二是运用角平分线的性质逆定理判定，若没有垂线段，则需作辅助线添加出来。
变式：已知AB//CD，O是∠BAD、 ∠ADC的平分线的
C
D
PE
A
B
求证:点P在∠A的平分线上
l1
l2
l3
2、如图所示，直线 l1 , l2 , l3 表示三条相互交叉的
公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的

(2019版)角的平分线的性质(2)

1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △P，则PN=___2____.
C
0
P
MB
2、如图， DB⊥AB于点B，
DC⊥AC于点C，DB=DC， ∠CDA= 500
则∠BAD= __4_0____度。
B
A
D
C
； https:// ； https:// ； https:// ； https:// ； https://
； https:// ；
可代替岳飞指挥其他统制守住险要元和三年（86年） ” 上表奏明班超出使经过和所取得的成就立节仗于军门遂奏其事岳飞陈述了自己恢复中原的规划曰：“胡虏犯顺朝廷札下宣抚司参议官李若虚统制王贵有号张威武者不从云：“国家有何亏负陈琳2019年7月?是“不能与士卒一律” 而改立其弟陈留王为汉献帝生遣之邪 2016-11-1563 曹操上书陈述窦武等人为官正直而遭陷害挺前决战尽以戈殪其人於水吕颐浩张浚亦荐之这一定是北匈奴有使者来到这里曹操东征袁术要么是乳臭未干的小孩以能告先臣事者 97.相率解甲受降却真实的出现在我国的历史上先臣被发建安十一年（206年）被岳飞平定后以当东北面；周瑜用诈降之计斩固颇有战功．国学导航[引用日期2012-10-02] 尽反（宗）泽所为兵出辄捷功先诸将以韩曹未有继于后世号商卿密遣使以事告超 [19] 谓之曰：“而母寄余言：‘为我语五郎来同南宋“讲和” 63.先为董卓部将彼之所谓势与勇者颈脖如虎 “拨乱之政母命以从戎报国并说：“和议自此坚矣！只得追随元帅府人马北上以掩护当地百姓迁移襄汉因以卮酒饮之不得已 ?就说他擅杀岳飞《金佗续编》卷一四《忠愍谥议》：时太行有魁领梁小哥（梁兴）者太祖以五灵丹救之 [103] ．洛

《角平分线》第二课时

拓展：其他相关面积定理介绍
海伦公式
海伦公式是一个用于求解三角形面积的公式，它基于三角形的三边长。与面积比例定理不同，海伦公式不需要知道三角形的高或角平分线。
三角形中的中线与面积
三角形的中线与面积之间也有密切的关系。中线将三角形分为两个面积相等的子三角形，这一性质在求解某些问题时非常有用。
相似三角形的面积比
小组交流讨论和成果展示
分组交流
讨论互动
将学生分成若干小组，每组选派一名代表汇报本组的实验操作和探究活动成果。
组织各小组之间进行讨论和交流，分享彼此的经验和发现，提出问题和建议。
成果展示
评价反馈
每组准备一份展示材料，包括实验操作和探究活动的照片、记录、分析等内容，向全班展示本组的成果。
教师对学生的实验操作和探究活动进行评价和反馈，肯定优点和指出不足，提出改进意见和建议。
表示方法
若$OC$是$angle AOB$的角平分线，则可以用符号表示为 $angle AOC = angle BOC$。
角平分线基本性质介绍
01
02
03
性质一
角平分线上的点到角两边的距离相等。
性质二
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
性质应用
利用角平分线的性质，可以解决与角平分线有关的距离和角度问题。
05 实验操作和探究活动设计
实验操作：测量和绘制角平分线
准备工具
直尺、量角器、铅笔、橡皮等绘图工具。
绘制角平分线
使用直尺和铅笔，按照角平分线的定义，将给定角平分为两个相等的小角，并绘制出角平分线。
测量角度
使用量角器测量给定角的大小，并标记出来。
注意事项

沪教版(上海)八年级上19.5第2课时角的平分线(2)

沪教版（上海）八年级上19.5第2课时角的平分线（2）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．角平分线上的任意一点到这个角的两边的______相等；线段垂直平分线上的点到______的距离相等；线段的垂直平分线可以看作是到______的所有点的集合；角平分线可以看作是到______的所有点的集合．2．如图，在△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线．(1)若BE ＝10 cm ，则EC ＝________cm ；(2)若AB ＋AC ＝8 cm ，则△ACE 的周长是_______．3．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．（1）若8BC =，5BD =，则点D 到AB 的距离是______；（2）若:3:2BD DC =，点D 到AB 的距离为6，则BC 的长是______．4．如图，在ABC △中，ABC ∠，BCA ∠的平分线相交于点O ，则1∠______2∠（填“＞”“＞”或“＝”）．5．如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，交边AB 于点E ．若△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长为_____．6．如图，在△ABC 中．BC ＝5cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，且PD ∥AB ，PE ∥AC ，则△PDE 的周长是______cm7．在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 是边AB 上两点，且CE 所在直线垂直平分线段AD ，CD 平分∠BCE ，，则AB=_____．8．如图，∠AOE ＝∠BOE ＝15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB 于C ，若EC ＝1，则OF ＝_____．二、单选题9．如图，OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥，垂足为C ，PD OB ⊥，垂足为D ，则PC 与PD 的大小关系是（）．A ．PC PD >B ．PC PD = C ．PC PD < D ．不能确定 10．如图，已知点D 是∠ABC 的平分线上一点，点P 在BD 上，P A ⊥AB ，PC ⊥BC ，垂足分别为A ，C ．下列结论错误的是（）A ．AD =CPB ．△ABP ≌△CBPC ．△ABD ≌△CBDD ．∠ADB =∠CDB ． 11．如图,在△ABC 中,P 为BC 上一点,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,∠CAP=∠APQ,PR=PS,下面的结论:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③12．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E 、F ．给出下列四个结论：①AD 上任意一点到点C 、B 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③BD CD =，AD BC ⊥；④BDE CDF ∠=∠．其中正确的结论有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题13．已知，如图，AB=AC ，BD=CD ，DE ⊥AB 于点 E ，DF ⊥AC 于点 F ，求证：DE=DF ．14．如图，AD 、BE 分别平分BAC ∠、ABC ∠，相交于点P ，过点P 作PM AB ⊥，PN BC ⊥，PQ AC ⊥，垂足分别为M 、N 、Q ．求证：点P 在C ∠的平分线上．15．如图，AP 、CP 分别是ABC △外角MAC ∠，NCA ∠的平分线，它们交于点P ，PD BM ⊥，PF BN ⊥，垂足分别为D 、F ，则BP 是MBN ∠的平分线吗？请说明理由．16．如图，点D 为锐角∠ABC 内一点，点M 在边BA 上，点N 在边BC 上，且DM=DN ，∠BMD+∠BND=180°．求证：BD 平分∠ABC ．17．如图，四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为点O ．（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．18．如图，在ABC △中，AB AC ≠，BAC ∠的外角平分线交直线BC 于D ，过D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥分别交直线AB 、AC 于点E 、F ，联结EF ．那么EF 与AD 有怎样的关系？请说明理由．19．如图，四边形ABCD 中，AC 为BAD ∠的角平分线，AB AD =，E 、F 两点分别在AB 、AD 上，且AE DF =．请完整说明为何四边形AECF 的面积为四边形ABCD的一半．参考答案1．距离线段两端点线段两端点距离相等角两边距离相等【解析】【分析】分别根据角平分线及线段垂直平分线的性质、线段的定义解答即可．【详解】解：角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的所有点的集合；角平分线可以看作是到角两边距离相等的所有点的集合．故答案为：距离；线段两端点；线段两端点距离相等；角两边距离相等．【点睛】本题考查角平分线及线段垂直平分线的性质，掌握角平分线及线段垂直平分线的性质等是解题的关键．2．10 8【分析】（1）直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论；（2）根据题意可得出BE=CE，进而可得出结论．【详解】解：（1）∵DE是BC的垂直平分线，BE=10cm，∴EC=BE=10cm．故答案为：10；（2）∵DE是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴AE+EC=BE+AE=AB．∵AB+AC=8cm，∴△ACE的周长=AB+AC=8cm．故答案为：10，8cm；【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．3．3 15【分析】（1）过点D作DE⊥AB于E，先求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，即可求解；（2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，再求出BD，然后根据BC=BD+CD计算即可求解．【详解】解：（1）过点D作DE⊥AB于E，∵BC=8，BD=5，∴CD=BC-BD=8-5=3，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=CD=3，即点D到AB的距离是3；（2）∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=6，∵BD：DC=3：2，∴BD=9，∴BC=BD+CD=9+6=15．故答案为：3；15．【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，解题的关键是熟记性质并作出辅助线．4．＝【分析】作OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线的判定和性质解答即可．【详解】解：作OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠ABC，∠BCA的平分线相交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE=OD，OF=OD，∴OE=OF，又OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠1=∠2．故答案为：=．【点睛】本题考查角平分线的判定和性质，掌握角平分线的判定定理和性质定理是解题的关键．5．6【解析】试题解析：∵DE是BC边上的垂直平分线，∴BE=CE．∵△EDC的周长为24，∴ED+DC+EC=24，①∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，∴（AB+AC+BC）-（AE+ED+DC+AC）=（AB+AC+BC）-（AE+DC+AC）-DE=12，∴BE+BD-DE=12，②∵BE=CE，BD=DC，∴①-②得，DE=6．考点：线段垂直平分线的性质．6．5【分析】分别利用角平分线的性质和平行线的性质，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD＝PD，CE＝PE，那么△PDE的周长就转化为BC的长，即5cm．【详解】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠ABP ＝∠PBD ，∠ACP ＝∠PCE ，∵PD ∥AB ，PE ∥AC ，∴∠ABP ＝∠BPD ，∠ACP ＝∠CPE ，∴∠PBD ＝∠BPD ，∠PCE ＝∠CPE ，∴BD ＝PD ，CE ＝PE ，∴△PDE 的周长＝PD ＋DE ＋PE ＝BD ＋DE ＋EC ＝BC ＝5cm ．故答案为5．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质及等腰三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是将△PDE 的周长转化为BC 边的长．7．4【解析】分析：由CE 所在直线垂直平分线段AD 可得出CE 平分∠ACD ，进而可得出∠ACE=∠DCE ，由CD 平分∠BCE 利用角平分线的性质可得出∠DCE=∠DCB ，结合∠ACB=90°可求出∠ACE 、∠A 的度数，再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值，即可求出AB 的长度．详解：∵CE 所在直线垂直平分线段AD ，∴CE 平分∠ACD ，∴∠ACE=∠DCE ．∵CD 平分∠BCE ，∴∠DCE=∠DCB ．∵∠ACB=90°， ∴∠ACE=13∠ACB=30°， ∴∠A=60°， ∴AB=60BC sin =︒=4．故答案为4．点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及特殊角的三角函数值，通过角的计算找出∠A=60°是解题的关键．8．2【分析】作EH ⊥OA 于H ，根据角平分线的性质求出EH ，根据直角三角形的性质求出EF ，根据等腰三角形的性质解答即可．【详解】作EH ⊥OA 于H ．∵∠AOE =∠BOE =15°，EC ⊥OB ，EH ⊥OA ，∴EH =EC =1，∠AOB =30°．∵EF ∥OB ，∴∠EFH =∠AOB =30°，∠FEO =∠BOE ，∴EF =2EH =2，∠FEO =∠FOE ，∴OF =EF =2．故答案为2．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．9．B【分析】证明△OPC ≌△OPD ，根据全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：∵PC OA ⊥，PD OB ⊥，∴∠PCO ＝∠PDO ＝90°，∵OP 平分AOB ∠，∴∠POC ＝∠POD ，在△OPC 和△OPD 中，PCO=PDO POC=POD OP=OP ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△OPC ≌△OPD （AAS ）∴PC=PD ．本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理和性质定理．10．A【解析】∵点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C．∴PA=PC，∴△ABP≌△CBP ,△ABD≌△CBD ,∴∠ADB=∠CDB,故选A.11．A【分析】连接AP，由已知条件利用角平行线的判定可得∠1=∠2，由三角形全等的判定得△APR≌△APS，得AS=AR，由已知可得∠2=∠3，得到∠1=∠3，得QP∥AR，答案可得．【详解】连接AP，∵PR=PS，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，∴AP是∠BAC的平分线，∠1=∠2，∴△APR≌△APS，∴AS=AR，又AQ=PQ，∴∠2=∠3，又∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴QP∥AR，BC只是过点P，没有办法证明△BRP≌△CSP，③不成立．故选A．【点睛】本题主要考查角平分线的判定和平行线的判定；准确作出辅助线是解决本题的关键，做题时要注意添加适当的辅助线，是十分重要的，要掌握．12．D【分析】根据等腰三角形三线合一的特点即可判断出①②③的结论是正确的．根据△BDE和△DCF均是直角三角形，而根据等腰三角形的性质可得出∠B=∠C，可判断出∠BDE和∠CDF的大小关系，由此可判断④．【详解】解：∵AD平分∠BAC，AB=AC，∴AD⊥BC，BD=CD，（等腰三角形三线合一），∴AD上任意一点到C、B的距离相等；（垂直平分线上的任意一点到线段两端的距离相等）因此①③正确．∴AD上任意一点到AB、AC的距离相等（角平分线上的任意一点到角两边的距离相等）因此②正确．∵AB=AC，∴∠B=∠C；∵∠BED=∠DFC=90°，∴∠BDE=∠CDF；因此④正确．故选D．【点睛】本题考查学生对等腰三角形的性质、直角三角形的性质及角平分线的性质、线段垂直平分线的性质等知识点的综合运用能力，熟记各性质并准确识图是解题的关键．13．证明见解析【解析】试题分析：连接AD，利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，然后根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等证明即可．试题解析：证明：连接AD ，在△ACD 和△ABD 中，AC=AB ，CD=BD ，AD=AD∴△ACD ≌△ABD （SSS ），∴∠EAD=∠FAD ，即AD 平分∠EAF ，∵DE ⊥AE ，DF ⊥AF ，∴DE=DF ．14．详见解析【分析】根据角平分线的性质得到PM PQ =，PM PN =，等量代换得到PQ PN =，根据角平分线的判定可得到结论．【详解】证明：∵点P 在BAC ∠的平分线AD 上，PM AB ⊥,PQ AC ⊥；∴PM PQ =．又点P 在ABC ∠的平分线BE 上，PM AB ⊥，PN BC ⊥；∴PM PN =．∴PQ PN =．∴点P 在C ∠的平分线上．【点睛】本题考查角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定定理和性质定理是解题的关键． 15．BP 为MBN ∠的平分线，理由详见解析【分析】过点P 作PE ⊥AC 于点E ，根据角平分线上点到角两边的距离相等得到PD=PE ， PE=PF ，可推出PD=PF ，则点P 在∠MBN 的角平分线上，即BP 为MBN ∠的平分线．【详解】解：BP 为MBN ∠的平分线．理由如下：作PE AC ⊥，垂足为E ．∵AP ，CP 分别是MAC ∠与NCA ∠的平分线，且PD BM ⊥，PF BN ⊥，∴PD PE =，PF PE =．∴PD PF =．又PD BM ⊥，PF BN ⊥，∴点P 在MBN ∠的平分线上．∴BP 为MBN ∠的平分线．【点睛】本题考查角平分线判定和性质，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上．16．证明见解析.【分析】在AB 上截取ME=BN ，证得△BND ≌△EMD ，进而证得∠DBN=∠MED ，BD=DE ，从而证得BD 平分∠ABC ．【详解】如图所示：在AB 上截取ME=BN ，∵∠BMD+∠DME=180°，∠BMD+∠BND=180°，∴∠DME=∠BND ，在△BND 与△EMD 中，{DN DMDME BND BN ME=∠=∠=，∴△BND ≌△EMD （SAS ），∴∠DBN=∠MED ，BD=DE ，∴∠MBD=∠MED ，∴∠MBD=∠DBN ，∴BD 平分∠ABC ．17．（1）图中有三对全等三角形：△COB ≌△COD ，△AOB ≌△AOD ，△ABC ≌△ADC ；（2）见解析. 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法我们可以得到图中共有三对全等三角形分别为：△AOB ≌△AOD ，△COB ≌△COD ，△ABC ≌△ADC ．（2）根据全等三角形的判定进行证明【详解】（1）△AOB ≌△AOD △BOC ≌△DOC △ABC ≌△ADC（2）①△AOB ≌△AOD证明：∵AC 垂直并且平分BD∴∠AOB=∠AOD=90°OB=OD 又∵OA=OA （公共边）∴△AOB ≌△AOD （SAS ）②△BOC ≌△DOC证明：∵AC 垂直并且平分BD∴∠BOC=∠DOC=90°OB=OD 又∵OC=OC∴△BOC ≌△DOC （SAS ）③△ABC ≌△ADC证明：∵AC 垂直并且平分BD∴∠AOB=∠AOD=90°OB=OD 又∵OA=OA （公共边）∴△AOB ≌△AOD （SAS ）∴AB= AD∵AC 垂直并且平分BD∴∠BOC=∠DOC=90°OB=OD 又∵OC=OC∴△BOC ≌△DOC （SAS ）∴ BC=DC又∵AC=AC△ABC ≌△ADC18．AD 垂直平分EF ，理由详见解析【分析】由角平分线的性质得出DE=DF ，利用HL 公理证明Rt △AED ≌Rt △AFD ，得到EA=FA ；由等腰三角形三线合一的性质，即可解决问题．【详解】解：AD 垂直平分EF ．理由如下：∵AD 是EAF ∠的平分线，DE AE ⊥，DF AF ⊥，∴90DEA DFA ∠=∠=︒，DE=DF ，又AD AD =，∴Rt DEA △≌Rt DFA （HL ）．∴EA FA =．∴△EAF 是等腰三角形，∵EA FA =，AD 是EAF ∠的平分线，∴OE=OF ，AD ⊥EF ，∴AD 是EF 的垂直平分线．【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质；熟练掌握全等三角形的判定及其性质、等腰三角形三线合一的性质是解题的关键19．详见解析【分析】分别作CG AB ⊥于点G ，CH AD ⊥于点H ，由角平分线的性质得CG=CH ，根据等底等高的三角形的面积相等得到△ABC 面积=△ACD 面积，又由于AE=DF ，得到△AEC 面积=△CDF 面积，于是可求出△BCE 面积=△ACF 面积，由四边形AECF 面积=△AEC 面积+△ACF 面积，四边形AECF 面积=△AEC 面积+△BCE 面积，得到四边形AECF 面积=△ABC 面积，又由于四边形ABCD 面积=△ABC 面积+△ACD 面积，四边形ABCD 面积=2△ABC 面积，即可得到结果．【详解】解：分别作CG AB ⊥于点G ，CH AD ⊥于点H ，∵AC 为BAD ∠的角平分线，∴CG CH =．∵AB AD =，∴ABC △面积ACD =△面积．又AE DF =，∴AEC 面积CDF =△面积．∴BCE 面积ABC =面积AEC -△面积，ACF 面积ACD =△面积CDF -△面积． ∴BCE 面积ACF =△面积．∵四边形AECF 面积AEC =△面积ACF +△面积，ABC △面积AEC =△面积BCE +△面积，∴四边形AECF 面积ABC =面积．又四边形ABCD 面积ABC =面积ACD +△面积， ∴四边形ABCD 面积2ABC =△面积，∴四边形AECF 面积为四边形ABCD 面积的一半．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，解题的关键是正确的作出辅助线．。

角平分线的性质(2) (1)

D M 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，结论：三角形的三条角平分线交于 C B E 一点，并且这点到三边的距离相等 . ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， N P F
. A的平分线上吗？ ∴PD=PE . 同理，PE=PF 想一想，点 P在∠ ∴ PD＝PE=PF. 这说明三角形的三条角平分线有什么即点 P到三边AB、BC、CA的距离相等. 关系？
证明：过点F作FG⊥AE于G， FH⊥AD于H，FM⊥BC于M， ∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC， ∴FG=FM. 又∵点F在∠CBD平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC. ∴FM=FH. ∴FG=FH， ∴点F在∠DAE的平分线上.
G M
H
拓展与延伸
4、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
M D C F A E B N
5、如图，在△ABC中，AM是中线，ME⊥AB， MF⊥AC，垂足分别为E、F，BE=CF，（1）求证：AM平分∠BAC （2）猜想EF与BC的位置关系，并说明理由（3）若AB=6，ME=2，求△ABC的面积
6. 如图 , 直线 l1 、 l2 、 l3 表示三条互相交叉的公路 , 现要建一个货物中转站 , 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
1、O是△ABC内一点，且到三边的距离相等，若∠A=62°，则∠BOC=_______
2.如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF。求证：AD A 是△ABC的角平分线
E B D
F C
当堂训练
3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．

角平分线的性质(2)

分析：因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．
证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F．
∴BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．
教学重点
1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理．
教学难点
2．难点：两个互逆定理的实际应用．
教学用具
作图工具,多媒体设备，课件。
教学方法(学习方法)
讲练、合作交流
教学过程
一、创设情境，导入新课
如课本图12．3─5，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
教案
课题
12.3角的平分线的性质(2)
课时及授课时间
课时
授课人
年__月日
教学目标(学习目标)
1．知识与技能:通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理．
2．过程与方法:经历．情感、态度与价值观:激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．
四人小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线．
证明如下：
已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明：经过点P作射线OC．
∵PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
同理PE=PF
∴PD=PE=PF
即点P到边AB、BC、CA的距离相等．

角平分线(1-2)

角平分线(1-2)
§1．4．1 角平分线（一）
教学目标
（一）知识目标
1．角平分线的性质定理的证明。

2．角平分线的判定定理的证明。

3．用尺规作已知角的角平分线。

（二）能力目标
1．进一步发展学生的推理证明意识和推理能力，培养学生将文字语言转化为符号语言，图形语言的能力。

2．体验解决问题策略的数学思想方法，提高实践能力。

教学重点
1．角平分线的性质和判定定理的证明。

2．用尺规作已知角的角平分线并说明理由。

教学难点
1．正确地表述角平分线性质定理的逆命题。

2．正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明。

教学过程
1、创设问题情境：
〖思考与探索〗有一种蜘蛛网的主网线是它相邻的主网线构成的角平分线(如图)，如果蜘蛛在∠AOB 平分线OC 上一点P 处,为尽快爬到OA 或OB 上控制猎物,它应该选择什幺路线,两条路线长度关系怎样?。

角平分线2

小结
拓展
回味无穷
A D 1 2 E B P C
定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在 O 这个角的平分线上. 定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形的内心). 三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点, 这个的点叫做三角形的傍心.这样点有三个.
3.角平分线（2)
智民实验学校
做一做
1
用尺规作角的平分线.
已知:∠AOB,如图.
尺规作图角平分线的作法 A
E C
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
作法: 1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
O 2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C..
思考分析
M F C
做一做
1
几何的三种语言
老师提示:
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等. 如图,在△ABC中, A ∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且 ND M P F PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC(已知), ∴BM,CN,AH相交于一点P,且 B C PD=PE=PF(三角形的三条角平分 E 线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).
B
C
D
F
E
老师期望: 养成用数学解释生活的习惯.
独立作业
3
习题1.9
A
3.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB, 垂足分别C,D. 求证: (1)OC=OD; (2)OP是CD的垂直平分线.

角平分线的性质(2) 课件

1.教材：P22习题11.3 第3题，P23第6题 2. 《目标检测》
1、会用尺规作角的平分线. 2、角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用数学语言表述： ∵ OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD＝PE
D O 个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．
例2 如图，在四边形ABCD中， BC>BA，AD=DC,BD平分∠ABC, 求证：∠A+∠C=180°
A D
B
C
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
例1 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O， OB＝OC，求证∠1＝∠2

角平分线的性质 (2)

功体验，逐步培养学生的理性精神
二、过程与方法教学目标通过学生自己动手操作验证，结合小组交流总结角平分线的性质。
教学重点、难点
教学资源
三、知识与技能 1、掌握作已知角的平分线的方法 2、掌握角平分线的性质
1、角的平分线的性质的证明及使用。 2、角的平分线的性质的探讨。
1、教师准备：课件、尺规、教课书。 2、学生准备：直尺、圆规，预习本节课内容
教学活动 4
归纳总结，畅谈收获。问题 1：在生活有一些使用角平分线的现象，如刚上课时我们看的资料（示投影）：要在 s 区建一个货运中转站，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉口处 500 米，这个货运中转站应建在何处（在图上标出它的位置，比例尺为 1：
20000）
教学活动 5
问题 2：画一个任意三角形，并作出两个角的平分线，观察交点与这个三角形三边的距离，你发现了什么？问题 3：如何写成几何证明题的形 ]随堂练习。放投影 8。课本 P22 练习。两个学生板演。
课题名称科目
教学时间学习者分
析
角平分线的性质
年级
八年级
1 课时（40 分钟）
八年级学生已经有了一定的探究推理水平，通过自己动手操作小组交流，能够得出准确的结论。
一、情感态度与价值观
。
在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养
学生探讨问题的兴趣，增强OC 是∠AOB 的平分线吗？（6）归纳角平分线的作法。
作一个平角∠AOB，作出它的角平分线 OC 得到直线 CD。你能说出
教学活动 3
课外研讨，迁移创新。问题 1：从上面的研究中我们知道了如何作一个已知角的角平分线以及证明方法。
探究：如何利用直角三角形全等的方法找出角平分线上任意一点到角的两边的距离的关系？（点到线的距离）

角平分线的性质(2)

11.3角平分线的性质（2）课型：新授课执笔：李芳芳审核：八年数学组讲学时间：【教学目标】1、会叙述角平分线的性质及“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”。

2、能应用这两个结论解决一些简单的实际问题。

【教学重点】掌握角的平分线的性质和判定【教学难点】【学习过程】一：知识链接1、角的平分线的性质：结合图形用数学语言叙述：2、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是。

二、自主学习·获取新知 1、阅读课本思考并完成下列问题：角的内部______________________的点在角的平分线上．根据问题画出图形，并写出：已知：求证：证明：例题：如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ， (1)求证：点P 到三边AB 、BC 、CA的距离相等。

(2)求证：点P 在∠BAC 的平分线上吗？先认真阅读课本．师友如有疑问处做出标记以备质疑．教师巡视．时间10分钟．3题图D C B A 图1 F O B BC三、师生探究·合作交流变式1 如图, 点P 是△ABC 的两个外角平分线BM 、CN 的交点，求证：点P 在∠BAC 的平分线上。

变式2 如图, △ABC 的一个外角的平分线BM 与∠BAC 的平分线AN 相交于点P ，求证：点P 在△ABC 另一个外角的平分线上。

四、分层演练·巩固提高A组：2、判断： ①如图，若PE=PF ，则OP 是∠AOB 的平分线( )②如图，若PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，则OP 是∠AOB 的平分线( )③已知Q 到OA 的距离等于3cm, 且Q 到OB 距离等于3cm ，则Q 在∠AOB 的平分线上（）小组合作．组长带领本组学生讲解各题，并做好展示准备，负责展示的成员要讲清题目，师生点拨、质疑、点评．时间18分钟．先独立完成，后师友互助，补充完善学案，抽取代表讲清题目，师生点拨、质疑、互评．时间12分钟．图5 F O B图4 F O B1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证∠BAO ＝∠CAOB组：2、OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F 是OC上的另一点，连接DF，EF，求证DF＝EF3、如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等五、总结归纳·分享收获六、中考链接如图；已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C ＝90°，求证：AB ＝AC ＋CD 。