53 指数函数的图像与性质同步(讲师版)

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高中数学 3.3指数函数的图象和性质课件北师大版必修1

4 y 5 x1
2、函数y=a2x-3+3恒过定点
3 2
,4
。
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14
例2：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质变为原来的84%。画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半（保留一个有效数字）？解：设这种物质最初的质量是1，
y 2 x … 0.13 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.4 2 2.8 4 8 …
画 y ( 1 ) x 的图象
2
列出x,y的对应表，用描点法画出图象
x
… -3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 …
y
1 x 2
…
8
4
2.8
2
1.4
1
0.71 0.5
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5
思考
• 怎样得到指数函数图像? • 指数函数图像的特点? • 通过图像，你能发现指数函数的哪些性质?精选ppt Nhomakorabea6
分组画出下列四个函数的图像：
1
y
2x
,
y
1 2
x
2
y
3x
,
y
1 3
x
.
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7
画y=2x 的图象
列出x,y的对应表，用描点法画出图象
x
… -3
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 …
0.3 5
0.25 0.13 …
精选ppt
8
分组画出下列四个函数的图像：
1
1 y 2x, y 22;
2
y
3x

湘教版高中数学《指数函数的图象与性质》同步课件

当然，作出来的图象是有限的，从图象得出来的这些结论是看曲线走势发挥想象力的结果.
一指数函数的图形与性质
如果底数a∈(0，1)，则它的倒数
1 a
＞1，函数
f(－x)=
a－x
=
1 a
x
的图象关于y轴对称.例如
y
2 3
f(x)=
x
与y
ax = 3 2
x
1 a
x
的图象和函数
的图象关于y轴对称，
解可设原来的量是1个单位，经过x年后，剩余量是y个单位. 可得函数解析式为y＝0.84x.列表如下：
一指数函数的图形与性质
在直角坐标系中画出y=0.84x的图象，如图4.2-5所示.从图象和上表都可以看到，大约经过4年，剩余量是原来的50%.
图4.2-5
一指数函数的图形与性质
练习
1.在同一直角坐标系内作出下列各函数的图象：
一指数函数的图形与性质
例 3 作出指数函数y=ax和y=10x的图象. 解通过列表、描点连线(也可借助信息技术在计算机上作图)，得图4.2-3.
x … -2 -1 0 1 2 … y=2x … 0.25 0.5 1 2 4 …
x … -1 -0.5 0 0.5 1 … y=10x … 0.1 0.32 1 3.16 10 …
(1) y=3x；
(2) y=3－ x.
2.求函数y=2|3－x|的值域.
3.比较下列各组中两个数的大小：
(1) 0.20.3和0.20.2；
(2) 1.20.3和1.20.2；
(2) 0.30.1和0.3－0.1； (4) 1.350.2和1.35－ 0.2.
4.已知指数函数f(x)= ax的图象经过点(2， 2)，求f(1)的值.

专题3.5 指数与指数函数(精讲)(解析版)

专题3.5 指数与指数函数【考纲要求】1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。

2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.3.了解指数函数的变化特征.4．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.【知识清单】1．根式和分数指数幂1．n 次方根2.根式(1)概念：式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：①(n a )n ＝a .②n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数. 3.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －m n ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2．指数函数的图象和性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质【考点梳理】考点一根式、指数幂的化简与求值【典例1】（2019·广东省佛山一中高一月考）下列运算结果中，一定正确的是（）A．347a a a⋅=B．()326a a-=C a=Dπ=-【答案】AD【解析】34347a a a a+==，故A正确；当1a=时，显然不成立，故B不正确；a=，故Cπ=-，D正确，故选AD.【典例2】计算：(214)12−(−9.6)0−(827)23+(32)−2．【答案】12.【解析】分析：直接利用指数幂的运算法则求解即可,求解过程注意避免计算错误.详解：(214)12−(−9.6)0−(827)23+(32)−2=(94)12−1−(23)3×23+(23)2=32−1=12．【规律方法】化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．【变式探究】1.计算：1.5－13×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋80.256 【答案】110 【解析】原式＝113133234422 2223210811033⎛⎫⎛⎫⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋－.2.计算：1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋148＝________. 【答案】2 【解析】原式＝1323⎛⎫ ⎪⎝⎭×1＋342×142－13223⎛⎫= ⎪⎝⎭. 【易错提醒】1.根式：（1）任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．（2）n 0＝0(n ＞1，且n ∈N *)．（3）有限制条件的根式化简的步骤2.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．3.把根式n a m 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对m n 进行约分，否则，有时会改变a 的取值范围而导致出错，如8a 2，a ∈R ，化成分数指数幂应为a 28 ，a ∈R ，而a 14 ＝4a ，则有a ≥0，所以化简时，必须先确定a的取值范围．4.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．考点二：根式、指数幂的条件求值【典例3】已知x +x −1=3 ，则x 32+x −32的值为__________．【答案】2√5【解析】题意(x 12+x −12)2=x +2+x −1=5，∴x 12+x −12=√5，∴x 32+x −32=(x 12+x −12)(x −1+x −1)=√5(3−1)=2√5，故答案为2√5．【典例4】已知11223a a -+=，求下列各式的值. （1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++ 【答案】(1)7;(2)47;(3)6.【解析】（1）将11223a a -+=两边平方得1129a a -++=，所以117a a -+=.（2）将117a a -+=两边平方得22249a a -++=，所以2247a a -+=. （3）由（1）（2）可得2211471 6.171a a a a --+++==+++ 【总结提升】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如(x 12+x −12)2=x +2+x −1，(x +x −1)2=x 2+2+x −2，x 32+x −32=(x 12+x −12)(x −1+x −1)，解题时要善于应用公式变形．【变式探究】设11223x x -+=，求1x x -+ 的值．【答案】7【解析】11223x x -+=,21112222327x x x x --⎛⎫∴+=+-=-= ⎪⎝⎭.考点三：指数函数的概念【典例5】若y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有 ( )A ．a ＝1或2B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a >0且a ≠1 【答案】C【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1a >0a ≠1，解得a ＝2，故选C.【规律方法】判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y ＝a x (a ＞0，a ≠1)这一结构形式．【变式探究】若函数y ＝(m －2)a x ＋3－2n (a >0，且a ≠1)是指数函数，则k ＝，b ＝ .【答案】3，32. 【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝13－2n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3n ＝32.考点四：指数函数的图象【典例6】（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知在同一坐标系下，指数函数x y a =和x y b =的图象如图，则下列关系中正确的是（）A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1a b >>D ．1b a >>【答案】C【解析】很显然a ，b 均大于1；x y a =与1x =的交点在x y b =与1x =的交点上方，故b a <，综上所述:1a b >>.故选:C.【典例7】（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）函数21()x f x a -=(0a >且1)a ≠过定点（） A ．(1,1) B ．1(,0)2 C ．(1,0) D ．1(,1)2【答案】D【解析】令12102x x -=⇒=，所以函数21()x f x a -=(0a >且1)a ≠过定点1(,1)2．【典例8】（2019·华东师大二附中前滩学校高三月考）函数1(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵0a >，∴10a>，∴函数x y a =需向下平移1a 个单位，不过（0,1）点，所以排除A ，当1a >时，∴101a<<，所以排除B ，当01a <<时，∴11a >，所以排除C ，故选D. 【规律方法】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．3.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.(2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．4.过定点的图象(1)画指数函数y ＝ax(a ＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）；(2) x y a ＝与x y a -＝的图象关于y 轴对称；(3)当a ＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a ＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．【变式探究】1.（2020·上海高一课时练习）函数x y a =和(1)y a x =+（其中0a >且1a ≠）的大致图象只可能是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】由于(1)y a x =+过点()1,0-，故D 选项错误.当1a >时，x y a =过()0,1且单调递增；(1)y a x =+过点()1,0-且单调递增，过()0,a 且1a >.所以A 选项错误.当01a <<时，x y a =过()0,1且单调递减，(1)y a x =+过点()1,0-且单调递增，过()0,a 且01a <<.所以B 选项错误.综上所述，正确的选项为C.故选：C2.如图所示是下列指数函数的图象：(1)y ＝a x ；(2)y ＝b x ；(3)y ＝c x ；(4)y ＝d x .则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是 ( )A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c【答案】B【解析】可先分为两类，(3)(4)的底数一定大于1，(1)(2)的底数一定小于1，然后再由(3)(4)比较，c ，d 的大小，由(1)(2)比较a ，b 的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x 轴，故选B.【特别提醒】指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大．考点五：指数函数的性质及其应用【典例8】 (2017北京文理)已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x （）（A ）是偶函数，且在R 上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数（C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是增函数【答案】B【解析】【典例9】（2020·北京高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）． A ．(1,1)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D.【典例10】（2015·山东高考真题（文））设a =0.60.6，b =0.61.5，c =1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a【答案】C【解析】由y =0.6x 在区间(0,+∞)是单调减函数可知，0<0.61.5<0.60.6<1，又1.50.6>1，故选C .【典例11】（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知函数2()(0,1,0)x f x a a a x -=>≠≥且的图像经过点(3,0.5)，（1）求a 值；（2）求函数2()(0)x f x a x -=≥的值域；【答案】（1）12a =（2）0,4]（【解析】（1）函数()2x f x a -=的图像经过点()3,0.5320.5a -∴=12a ∴= （2）由（1）可知()()2102x f x x -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭ 1012<< ()f x ∴在[0,+∞）上单调递减，则()f x 在0x =时有最大值 ()()21042maxf x f f -⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭ 又()0f x >∴函数()f x 的值域为0,4]（【规律方法】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b. 规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．4.简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．5.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．6.有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象和性质，数形结合求解．【变式探究】1.（2018年新课标I 卷文）设函数f (x )={2−x ， x ≤01 ， x >0，则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是（） A. (−∞ ， −1] B. (0 ， +∞) C. (−1 ， 0) D. (−∞ ， 0)【答案】D【解析】将函数f(x)的图象画出来，观察图象可知会有{2x <02x <x +1，解得x <0，所以满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是(−∞ ， 0)，故选D.2.（2019·天津高三高考模拟）若2x2+1≤(14)x−2，则函数y =2x 的值域是 A ．[18,2) B ．[18,2] C ．(−∞,18] D ．[2,+∞) 【答案】B【解析】将2x 2+1≤(14)x−2化为x 2+1≤−2(x −2)，即x 2+2x −3≤0，解得x ∈[−3,1]，所以2−3≤2x ≤21，所以函数y =2x 的值域是[18,2].故选C.3.(2019年高考北京理)设函数（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【答案】【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a 的取值范围.若函数为奇函数，则即，()e e x xf x a -=+(]1,0--∞a a ()0f x '≥()e e x x f x a -=+()(),f x f x -=-()e e e e x x x x a a --+=-+即对任意的恒成立，则，得.若函数是R 上的增函数，则在R 上恒成立，即在R 上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.4．（2015·山东省高考真题（理））已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += . 【答案】32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-. ()()1e e 0x x a -++=x 10a +=1a =-()e e x xf x a -=+() e e 0x x f x a -'=-≥2e x a ≤2e 0x >0a ≤a (],0-∞。

《指数函数》经典讲义(完整版)

指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理知识点1：指数函数函数(01)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R知识点2：指数函数的图像和性质知识点3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图所示，则01c d a b <<<<<，在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大，在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大在第一象限内，“底大图高”知识点4：指数式、指数函数的理解① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像1223,,21xx y y x y y =⋅===- 等函数均不符合形式()01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数⑤ 画指数函数x y a =的图像，应抓住三个关键点：()()11,,0,1,1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、同步题型分析题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例1：已知函数，且．（1）求m 的值；（2）判定f （x ）的奇偶性；（3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明．专题：计算题．分析：（1）欲求m 的值，只须根据f （4）=的值，当x=4时代入f （x ）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f （x ）与f （﹣x ）的关系，即可得到答案；（3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f （x1）＞f （x2），即可．解答：解：（1）因为，所以，所以m=1．（2）因为f （x ）的定义域为{x|x≠0}，又，所以f （x ）是奇函数．（3）任取x1＞x2＞0，则，因为x1＞x2＞0，所以，所以f （x1）＞f （x2），所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．例2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：f（x）＞0．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．解答：解：（1）该函数为偶函数．由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故该函数为偶函数．…（7分）（2）证明：任取x∈{x|x≠0}当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，∴2x﹣1＞0，故从而…（11分）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞0，…（12分）又因为函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；（3）求的值．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；解答：解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；（2）由（1）知，∴====1；（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得n为奇数时，=×1=；n为偶数时，=+f（）==；综上，=．点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．题型2：指数函数的图像变换．例1：已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．考点：指数函数的图像变换．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到．（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．解答：解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．题型3：指数函数单调性例1：已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；解答：解：（1）当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a（﹣）+b（﹣），∵＜，＜，a＞0，b＞0，∴a（﹣）＜0，b（﹣）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），则f（x+1）＞f（x）即化为b（3x+1﹣3•2x+1）＞b（3x﹣3•2x），若b＞0，则有3x+1﹣3•2x+1＞3x﹣3•2x，整理得，解得x＞1；若b＜0，则有3x+1﹣3•2x+1＜3x﹣3•2x，整理得，解得x＜1；故b＞0时，x的范围是x＞1；当b＜0时，x的范围是x＜1．点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．例2：已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．（1）试求f（x）的表达式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数可得f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x）；从而写出f（x）的表达式；（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立转化为对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t＞﹣恒成立，从而可得．解答：解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，设∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x），故f（x）=；（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）=，∵x1＜x2＜0，∴﹣＜0，0＜＜1，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1可化为t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，化简可得，t＞﹣，令g（x）=﹣=﹣1+，∵x∈（0，1），∴g（x）＜﹣1+=0，故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立可化为t≥0．点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．例3：已知函数f（x）=|2x﹣1﹣1|，（x∈R）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性；（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求m+n 的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，所以A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，进而由t∈（0，1），可求m+n的取值范围．解答：解：（1）证明：任取x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞），且x1＜x2，=，∵x1＜x2，∴，∴，∴f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．（5分）函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6分）（2）因为函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2m﹣1﹣1＜0，2n ﹣1﹣1＞0，又A，B两点的坐标满足方程t=|2x﹣1﹣1|，故得t=1﹣2m﹣1，t=2n﹣1﹣1，即m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（2﹣2t）+log2（2+2t）=log2（4﹣4t2），当0＜t＜1时，0＜4﹣4t2＜4，﹣∞＜log2（4﹣4t2）＜2．因此，m+n的取值范围为（﹣∞，2）．（17分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论三、课堂达标检测检测题1：已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题．分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（﹣x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．解答：解：f（x）==1﹣（1）∵e2x+1恒大于零，∴x∈R（2）函数是奇函数∵f（﹣x）==又由上一问知函数的定义域关于原点对称，∴f（x）为奇函数（3）是一个单调递增函数设x1，x2∈R 且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=1﹣=∵x1＜x2，∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在R是单调增函数点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目．检测题2：已知函数f（x）=2ax+2（a为常数）（1）求函数f（x）的定义域．（2）若a=1，x∈（1，2]，求函数f（x）的值域．（3）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点．专题：常规题型；转化思想．分析：（1）利用指数函数的定义域来考虑．（2）利用函数f（x）在（1，2]上的单调性求函数的值域．（3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2必须为减函数．解答：解：（1）函数y=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R．（2）因为a=1，所以f（x）=2x+2．易知此时f（x）为增函数．又因为1＜x≤2，所以f（1）＜f（x）≤f（2），即8＜f（x）≤16．所以函数f（x）的值域为（8，16]．（3）因为f（x）为减函数，而y=2u是增函数，所以函数u=ax+2必须为减函数．所以得a＜0点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想．检测题3：设f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）对任意不为零的实数x都满足f（﹣x）=﹣f（x）．已知当x＞0时（1）求当x＜0时，f（x）的解析式（2）解不等式．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质．专题：常规题型．分析：（1）求当x＜0时，f（x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值x，再转化到已知区间上求解析式，由f（﹣x）=﹣f（x）解出f（x）即可．（2）解不等式f（x）＜﹣，分x＞0和x＜0两种情况，根据求得的解析式求解即可．解答：解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，=又f（﹣x）=﹣f（x）所以，当x＜0时，（2）x＞0时，，∴化简得∴，解得1＜2x＜4∴0＜x＜2当x＜0时，∴解得2x＞1（舍去）或∴x＜﹣2解集为{x|x＜﹣2或0＜x＜2}点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出f（x）来．解不等式也要分段求解，注意x的取值范围．11。

指数函数图像和性质名师优质公开课

fx = 0.9x
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
练习： 1、已知下列不等式，试比较m、n的大小：
( 2)m ( 2)n
mn
33
1.1m 1.1n
mn
2、比较下列各数的大小：
10 , 0.42.5 , 20.2
0.42.5 10 20.2
比较指数型值经常借助于指数函数的图像
或直接运用函数的单调性
（0，+∞）上是减函数。
（3）在第一象限，图象向上与 y 轴无限靠近，向右与 x 轴无限靠近。
指数函数的定义：
函数
y a x (a 0且a 1)
叫做指数函数，其中x是自变量函数定义域是R 值域是（0，）
下列函数中，哪些是指数函数？
y 4x y x4
y 4 x1
y 4 x
y 4x y 3x
y 3x y 2x
1
0
1
x
y
y
y 1 x
y2 a x
(a 1)
y 1 x 3
y
y 3x y 2x
y ax
(0 a 1)
1 1
0
x
0
1
1
0x
x
y
y 1 x 2
y 1 x 3
y 3x y 2x
y=1 1
0
1
x
y
y ax
(a 1)
1
0
x
y
y ax
(0 a 1)
或选用适宜的中介值（惯用的特殊值是0和1），再运用单调性比较大小
a>1
0<a<1
图 6
5

指数与指数函数图像及性质(教师版)

指数与指数函数图像及性质【知识要点】 1．根式（1）如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根.其中1>n ，且*∈N n 。

（2）如果a x n=，当n 为奇数时，na x =；当n 为偶数时，n a x ±=()0>a .其中n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 其中1>n ，且*∈N n 。

(3)()()*∈>==N n n a a nnn,1,00。

,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数其中1>n ，且*∈N n 。

2. 分数指数幂(1)正分数指数幂的定义: n m nm a a=()1,,,0>∈>*n N n m a (2)负分数指数幂的定义: nm nm aa1=-()1,,,0>∈>*n Nn m a(3) 要注意四点：①分数指数幂是根式的另一种表示形式； ②根式与分数指数幂可以进行互化； ③0的正分数指数幂等于0； ④0的负分数指数幂无意义。

(4)有理数指数幂的运算性质:①sr sraa a +=⋅()Q s r a ∈>,,0；② ()rs sra a =()Q s r a ∈>,,0；③()r r rb a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0.3.无理数指数幂(1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。

4．指数函数的概念：一般地，函数()0,1xy aa a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。

5．指数函数的图像与性质第一课时【典例精讲】题型一根式、指数幂的化简与求值1.n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，规定：1a a =；2. (1,)na n n N +=>∈,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数；3. 1(0,,,)n mn mn aa m n N ma-+=>∈且为既约分数，=a a αβαβ（）. 【例1】计算下列各式的值．（1（2（3；（4)a b >. 正确解析：（18=-；（2|10|10=-=；（3|3|3ππ=-=-；（4||()a b a b a b =-=->.温馨提醒：(1) n 中实数a 的取值由n的奇偶性确定，只要n 有意义，其值恒等于a，即na =；(2)n 的奇偶性限制，a R ∈n 的奇偶性影响.【变式1】求下列各式的值：（1*1,n n N >∈且）；（2.【例2】计算)21313410.027256317--⎛⎫--+-+⎪⎝⎭【答案】)2130134114790.027256310.3496417330--⎛⎫--+-+=-+-+=⎪⎝⎭【变式2】化简34]的结果为（）A ．5B ．C ．﹣D ．﹣ 5【答案】B【解析】3234[(5)]-===，故选B【变式3】1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫-⎪⎝⎭0＋148＝________.【答案】2【解析】原式＝1323⎛⎫⎪⎝⎭×1＋342×142－13223⎛⎫= ⎪⎝⎭. 题型二根式、指数幂的条件求值 1. 0a >时，0;ba >2. 0a ≠时， 01a =；3. 若,r sa a =则r s =；4. 1111222222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>；5. 11112222()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>.【例3】已知11223a a -+=，求下列各式的值.（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++ 【答案】(1)7;(2)47;(3)6.【解析】（1）将11223a a-+=两边平方得1129a a -++=，所以117a a -+=.（2）将117a a -+=两边平方得22249a a -++=，所以2247a a -+=.（3）由（1）（2）可得22114716.171a a a a --+++==+++【变式1】已知,a b 是方程2640x x -+=的两根，且0,a b >>的值.【方法规律技巧】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是： (1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点； (2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.【变式2】已知12,9,x y xy +==且x y <，求11221122x y x y-+的值.【答案】【变式3】已知11223a a-+=，求33221122a aa a----的值.易错分析：本题解答一是难以想到应用“立方差”公式，二是应用“立方差”公式时易出现错误．正确解析：由于3311332222()()a aa a ---=-，所以331111122222211112222()()a a a a a a a a a aa a--------++⋅=--=1118.a a -++=温馨提醒：条件求值问题，化简已知条件、所求代数式是进一步代入计算的基础，熟记公式，准确化简是关键.【变式4】（1）已知122+=xa，求xx xx a a a a --++33；（2）已知a x=+-13，求6322--+-x ax a .【例4】计算下列各式的值：（1）246347625---+-；（2）()2x 3442<--+-x x x ；（3）12121751531311++-+++++++n n ；（4）()54 2222233=++--xxxx x 其中. 【变式5】化简或计算出下列各式：（1）121316324(12427162(8)--+-+-；（2）化简65312121132ab b a b a ---⎪⎪⎭⎫⎝⎛；（3【课堂练习】1. 若()0442-+-a a 有意义,则a 的取值范围是( )A.2≥aB.42<≤a 或4>aC. 2≠aD. 4≠a 2. 下列表述中正确的是( )A.()()()273336263=-=-=- B.32213421313a a aa a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅ C.无理数指数幂na (n 是无理数)不是一个确定的实数 D.()()()⎩⎨⎧≤-≥=00a a a a a nn3. 已知0>a ,则的值2313123131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 为 ( )A.3232-+aa B.4 C. 3232--aa D. 4-4. 计算：()=-+-0430625.0833416π ______.【思维拓展】1.化简⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----2141811613212121212121的结果是 ( )A.13212121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- B.132121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.32121-- D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3212121第二课时题型三指数函数的概念【例1】已知函数()2()33xf x a a a =-+是指数函数，求实数a 的值。

《指数函数的图象和性质》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】

2 ＝2x的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数y＝2x的图象，画出函数 y (1)x 的图象？
2
新知探究
因为 y (1)x 2x，点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数y＝2x
2 的图象上任意一点P(x，y)关于y轴的对称点P1(－x，y)都在函数
y
(1)x
的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象
目标检测
1
在同一直角坐标系中画出函数 y 3x 和 y (1)x 的图象，并说明它们 3
的关系．
答案：图象已在前面问题3中给出，此处略去．函数
y
3x
和
y
( 1 ) x的 3
图象关于y轴对称．
目标检测
2 比较下列各题中两个值的大小：（1）6 2 ，7 2 ；（2）0.3－3.5，0.3－2.3；（3）1.20.5，0.51.2．
关于y轴对称．
根据这种对称性，就可以利用一个函数的图
象，画出另一个函数的图象，比如利用函数y ＝2x的图象，画出 y (1)x 的图象．如右图所
2 示．
新知探究
问题3 选取底数a(a＞0，且a≠1)的若干个不同的值，例如a＝ 3，a＝4， a＝13 ， a＝14 在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们
点法画出函数y＝2x的图象．
x
y
-2
0.25
-1.5
0.35
-1
0.5
-0.5
0.71
0
1
0.5
1.41
1
2
1.5
2.83
2
4
新知探究
问题2 为了得到指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质，我们

高中数学第三章指数函数和对数函数5.5.3对数函数的图像和性质课件北师大版必修

(2)y＝
log1 x
＝
log
1 2
x,
0
x
1,
其图像如图②.
2 log2x, x 1
其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0，1]上是减少的，在[1，＋∞)上是增
加的．
画出函数 y＝lg |x－1|的图像．【解析】(1)先画出函数 y＝lg x 的图像(如图).
(2)再画出函数 y＝lg |x|的图像(如图).
同理当 x∈[0，1)时，y＝log1 (1－x2)是增加的． 2
所以函数 y＝log1 (1－x2)的增区间为[0，1). 2
【补偿训练】已知函数 y＝loga(x＋b)(a>0，且 a≠1)的图
像如图所示． (1)求实数 a 与 b 的值． (2)函数 y＝loga(x＋b)与 y＝logax 的图像有何关系？
【解析】(1)由图像可知，函数的图像过点(－3，0)与点(0，2)，所以得方程 0＝loga(－3＋b)与 2＝logab，解得 a＝2，b＝4. (2)函数 y＝loga(x＋4)的图像可以由 y＝logax 的图像向左平移 4 个单位得到．
(2)函数 y＝ logax 与 y＝ log1x 的图像有什么关系？
a
提示：y＝ log1x
a
＝
loga x
loga
1 a
＝－logax ，所以它们关于
x
轴对称．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数y＝3x与函数y＝log3x的图像关于直线y＝x对称．( √ ) 【解析】函数y＝3x与函数y＝log3x互为反函数，图像关于直线y＝x对称． (2)f(x)＝ln (x2－1)是偶函数．( √ ) 【解析】因为函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，且f(－x)＝ln (x2－1)＝ f(x)，所以该函数是偶函数．

高中数学第三章指数函数和对数函数3.3第1课时指数函数的图像与性质学案含解析北师大版必

学习资料§3指数函数第1课时指数函数的图像与性质内容标准学科素养1。

理解指数函数的概念和意义．2。

能借助计算器或计算机画出指数函数的图像．3.初步掌握指数函数的有关性质。

精确数学概念提升数学运算熟练等价转化授课提示：对应学生用书第44页［基础认识]知识点指数函数错误!（1）细胞分裂时，第1次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去,如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？提示:y＝2x。

它的底数为常数，自变量为指数，而y＝x2，恰好反过来．(2)函数的性质包括哪些?如何探索指数函数的性质？提示：函数的性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性，可以通过描点作图,先研究具体的指数函数性质，再推广至一般．知识梳理指数函数思考：1.函数y＝3·5x是指数函数吗？为什么？提示：不是．不符合指数函数的定义,指数函数的解析式必须满足：①自变量为x在指数位置上;②底数a＞0且a≠1;③a x的系数是1.2．指数函数定义中为什么规定a＞0且a≠1?提示：（1)如果a＝0，当x＞0时，a x＝0；当x≤0，a x无意义．（2）如果a＜0，当x＝错误!，错误!等时,a x无意义．(3）如果a＝1,当a x＝1，无研究的价值．为了避免上述各种情况,所以规定a＞0且a≠1.［自我检测］1．函数y＝2－x的图像是图中的()解析：y＝2－x＝错误!x.答案：B2．函数y＝(a－1）x在R上为减函数，则a的取值范围是()A．a＞0，且a≠1 B．a＞2C．a＜2 D．1＜a＜2解析:由0＜a－1＜1，解得1＜a＜2.答案：D3．若指数函数y＝f(x)的图像经过点(π，e)，则f（－π)＝________。

解析:设f（x)＝a x（a＞0,且a≠1)，则f（π）＝e，即aπ＝e。

∴f（－π）＝a－π＝1aπ＝错误!。

3.3.3指数函数的图像与性质(一)

学习目标
1．理解与掌握指数函数的图像与性质，提高识图与用图能力。 2. 自主学习，合作探究，学会由具体到一般的讨论方式及数形结合的思想方法。 3. 提高数学应用的意识，培养严谨的数学思维习惯，激情参与，享受学习成功的快乐。
预习反馈
1.优秀小组：优秀个人： 2.存在的问题：（1 ）（2 ）（3 ）
有，a决定不等号的方向
总结升华
【课堂小结】
1.知识方面：（1）指数函数的图像；（2）指数函数的性质：定义域，值域，单调性；过定点。 2.数学思想方面：（1）化归与转化的思想（2）数形结合的思想方法（3）分类讨论的思想
整理巩固要求：整理巩固探究问题
落实基础知识完成知识结构图
当堂检测
Байду номын сангаас
【归纳总结】
研究指数函数的图像与性质时，需注意以下问题： 1.当底数a大小不定时，必须分a>0和0<a<1两种情况讨论。 2.当a>1时，a的值越大，图像越靠近y轴，递增速度越快；当0<a<1时，a的值越小，图像越靠近y轴，递减的速度越快 3.熟悉指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系：在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
要求：学生自主完成
答案：见教师用书
课堂评价
学科班长：1.回顾目标总结收获 2.评出优秀小组和个人
课后完成训练学案并整理巩固
（1）通过此例题的训练，学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性，同时注意体会数形结合思想的应用。（2）由于指数函数的定义域为R，所以函数y=af(x)( )的定义域与函数f(x)的定义域相同。

金会珍-指数函数的图像与性质课件

2.如果指数函数 y (a 3) x 是减函数 , 求a的取值范围
解 : 因为y (a 3) x 为减函数, 所以0 a 3 1 所以 3 a 2
x 3.画y ( 1 ) 它的性质 6 简图，并根据图像说出
小结
（1）理解并掌握指数函数的图像与性质（2）根据函数图像说出函数的性质 (3)根据指数函数的单调性比较大小
复习引入
一般地，函数 y a （a＞0 且 a≠1）
x
叫做指数函数其中 x 是自变量，函数的定义域为 R.
复习引入
x
y 3x
-2
-1
0 1
1 3
2 9
1 9
1 3
y
y=3x
-
1
0
x -
x
1 y ( )X 3
-2 9
-1 3
0 1
1 1/3
2 1/9
1 X y( ) 3
-
y
-
1
课堂练习
如果a3 a 2 (a 0且a 1)成立，求a的取值范围
解：由于3 2.而a 3 a 2 . 则y a 是减函数,
x
所以0 a 1
课堂检测
1. 比较a0.3和a0.2 (a 0且a 1)的大小 ;
解 : 如果a 1，那么a 0.3 a 0.2 如果0 a 1, 那么a 0.3 a 0.2
(4)当x>0时,y>1;x<0时0<y<1 (4)当x>0时,0<y<1;x<0时y>1
(5)在R上是增函数
(5)在R上是减函数
说一说
你能很快说出指数函数 y 6 x的性质吗？

北师大版高中数学必修一课件《3.3.3指数函数的图像与性质(2)》

高中数学课件
（金戈铁骑整理制作）
§3.3.3指数函数的图像与性质（2）
永丰中学高中数学教研组
必修1第三章第3节
复习导入
指数函数的图像与性质
a＞1
0＜a＜1
•
图
1、指数y函数的定义；y
函象• 2数、叫指做数指o函y数1 数函a图xx数(a象，的0其, 且作中oa1法x是；1)自x
(变1)•定量义3域、. 指数列函表数描的点图R连象线和性质.
形如y a f (x)的函数的定义域就是f (x) 的定义域
必修1第三章第3节
探究二、指数型函数值域的求法
例：求下列函数的值域（1）y 2x1；（2）y 2 ； x2 2x1
1
（3）y 2x2 ；（4）y 23x5；（5）y 2 x ；（6）y 2 x5
必修1第三章第3节
解：（1）｛y y 0｝；（2）｛y y 1｝；（3）｛y 0 y 1｝；（4）｛y y 0且y 1｝；（5）｛y y 1｝；（6）｛y y 1｝
总结：
求形如y a f (x)的函数的值域时先求f (x)的值域
必修1第三章第3节
探究三、利用指数函数性质比较大小
(2)值域
(0,+∞)
性 (3)定点
过定点(0,1)，即x=0时，y=1
质 (4)单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
(5)函数值的分布情
况
当x＞0时，y＞1
当x＞0时，0＜y＜1
当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1
必修1第三章第3节
新知探究
探究一、指数型函数定义域的求法
例：求下列函数定义域
（7）方程2x x 3的实数解的个数为 _____ .

《指数函数的图象和性质(2)》示范公开课教学课件【高中数学北师大版】

第三章指数运算与指数函数
指数函数的图象和性质（2）
前面研究了指数函数(1)的图象和性质
定义域
（左、右无限延伸）R
值域
图象上的点
单调性
(从左向右上升)在R上是增函数；当x值趋近于正无穷大时，y值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，y值趋近于0
那么当0<a<l时，函数又会有怎样的图象和性质呢?
同底不同幂，利用指数函数(时)的单调性来判断.
解：(1)因为函数在R上是减函数，且-1.8-2.8，所以；(2)因为函数在R上是减函数，且，所以.
求下列函数的值域：（1）；（2），
解：(1)因为的值域为R ，而函数在R上的值域是，所以函数的值域为（2）因为，的值域为，而函数在上的值域为
复合函数，先求内层函数的值域，再求外层函数的值域.
比较下列各题中两个数的大小：（1），；（2），；（3），；（4），.
解：(1)因为函数在R上是增函数，且-1.51.5，所以；(2)因为函数在R上是减函数，且1.5，所以；(3) ，因为函数在R上是增函数，且1.4，所以；(4)因为函数()在R上是增函数，且且，所以
利用指数函数的单调性来判断.
求使下列不等式成立的实数x的集合：（1）；（2）．
总结出指数函数(且)的图象和性质：
图象
性质
（1）定义域：R
（5）在R上是增函数；当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0.
（5）在R上是减函数；当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大.
比较下列各题中两个数的大小：（1），；（2），
先分析一个具体的指数函数．
列表、描点、连线，画出函数的图象

指数函数的图像与性质_高中数学教师资格证面试试讲逐字稿

指数函数的图像与性质同学们，上节课我们共同探究了指数函数的表达式和定义域，今天我们继续探究指数函数的图像与性质，接下来请大家思考这样一个问题，结合上一章函数的内容，我们还需要从哪些方面来研究指数函数的性质呢？通过什么方式研究更好呢？请大家快速思考，老师研究课题写在黑板上。

好了，谁能来汇报一下？好你来。

他说要从值域单调性和奇偶性来研究指数函数。

在大屏幕上。

好最后一排的两位同学。

两位同学的操作非常的迅速，那现在呢，我们已经得到了4个指数函数的图像，y=2的，x 次幂y=1/2的x次幂y=7的x和y=1/7的x次幂，那接下来请大家仔细观察大屏幕上的图像边观察边思考，在坐标系下图像的分布有哪些相同点和不同点啊？你得出来的结论进行4人小组交流，时间为5分钟，讨论结束之后请小组代表进行汇报。

好时间到，老师在刚刚巡视的过程中啊，看到大家讨论的都非常的积极，当然也得出了很多的成果，那下面有哪个小组可以来汇报一下呢？好的，第三小组。

他们首先找不住了，有一个共同的点01，而且图像都分布在x轴的上方，他们发现的不同点是当a=2和7的时候，图像从左至右呈现上升趋势为r上的增函数，而当a=1/2和1/7的时候为r上的减函数，回答的很完整，老师把他们的汇报结果。

屏幕上的表一内。

那么根据上节课，我们对指数a的要求大于0且不等于1，并结合刚刚这些图像的特点，你有什么发现呢？第五小组继续。

嗯，你们发现了当地数大于一的时候，他们在定义域r上都是单调增函数，而当底数大于零小于1是他们在r上都是单调减函数，他们给出了一个很合理的猜想，那既然是猜想，就需要我们进一步的进行一下验证，大家来跟随老师利用几何画板验证一下，大家一起看大屏幕，首先呢，我让a在大于一的范围内进行变化，看一看是否满足我们刚才的猜想。

没有问题对吧？那同样我让a在0~1内进行变化，大家继续仔细观察，对这样也符合我们刚才的猜想，这样呢我们就通过几何画板验证了刚才的猜想。

接下来呢，请大家快速完成导学案上的表格，梳理一下指数函数的性质特点，我们找一位同学到黑板上来填充一下。