华师大八年级数学下册-分式的复习1
八年级数学下册 第17章分式复习要点 华东师大版
第17章分式复习要点1、形如（A、B都是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。
整式和分式统称有理式。
2、分母≠0时，分式有意义。
分母＝0时，分式无意义。
3、分式的值为0，要同时满足两个条件：分子＝0，而分母≠0。
4、分式基本性质：分式的分子、分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。
5、分式四则运算1）分式加减的关键是通分，把异分母的分式，转化为同分母分式，再运算．2）分式乘除时先把分子分母都因式分解，然后再约去相同的因式。
3）分式的混合运算，注意运算顺序及符号的变化，4）分式运算的最后结果应化为最简分式或整式．6、分式方程1）分式化简与解分式方程不能混淆．分式化简是恒等变形，不能随意去分母．2）解分式方程的步骤：第一、化分式方程为整式方程；第二，解这个整式方程；第三，验根，通过检验去掉增根。
3）解有关应用题的步骤和列整式方程解应用题的步骤是一样的：设、列、解、验、答。
第18章函数及图象的复习要点1、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。
数轴上的点与实数一一对应。
数轴上的点A、B的坐标为x1、x2, 则AB＝。
2、具有公共原点且互相垂直的两条数轴就构成平面直角坐标系。
坐标平面内的点与有序实数对一一对应。
3、坐标轴上的点不属于任何象限。
x轴上的点纵坐标y＝0；y轴上的点横坐标x＝0。
第一象限内的点x>0,y>0；第二象限内的点x<0,y>0；第三象限内的点x<0,y<0；第四象限内的点x>0,y<0；由此可知，x轴上方的点，纵坐标y＞0；x轴下方的点，纵坐标y＜0；y轴左边的点，横坐标x＜0；y轴右边的点，横坐标x＞0.4、关于某坐标轴对称的点，这个轴的坐标不变，另一个轴的坐标互为相反数。
关于原点对称的点，纵、横坐标都互为相反数。
关于第一、三象限角平分线对称的点，横纵坐标交换位置；关于第二、四象限角平分线上对称的点，不但横纵坐标交换位置，而且还要变成相反数。
华师版八年级数学下册章节知识点复习总结
线__________对称。
的符号
图像 当k>0时，函数图像的两个 当k<0时，函数图像的两个分 分支分别在第 象限， 支分别在第 象限.在每 在每个象限内，y随x的增大 个象限内，y随x的增大而增 而减小. 大.
性质
反比例函数中的几何意义：
k (k 0) 上任 x 一点P作x轴、y轴的垂线PA，PB，则所
反比例函数
1、反比例函数的概念 一般地，函数
y k （k是常数，k x
0）叫做
函数.反比例函数的
解析式也可以写成或xy=k的形式.自变量x的取值范围是x 0的一切实数.
2、反比例函数的图像和性质
反比例函数的图像y (k 0)是_______.它既是_________图形，关于 _________对称。又是___________图形，关于直线___________和直
7、点到坐标轴及原点的距离： 点P(x，y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x，y)到x轴的距离等于； y x （2）点P(x，y)到y轴的距离等于； x2 y2 （3）点P(x，y)到原点的距离等于. 8*、两点间距离公式；已知点A（x1，y1），点B（x2，y2），则.
AB x1 x2 y1 y2
过反比例函数图像 y 得的矩形OAPB的面积 SOAPB＝. y x xy .
k y ， xy k，S k x
平行四边形
1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2、平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边 且相等 （2）平行四边形的对角相等,邻角 （3）平行四边形的对角线互相 . （4）平行四边形的是中心对称图形,对角线交点是对称中心. 3、平行四边形的判定 （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）定理1：两组对边分别 的四边形是平行四边形； （3）定理2：对角线互相 的四边形是平行四边形； （4）定理3：一组对边 的四边形是平行四边形. （5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形
华师大版八年级下册---分式全章复习材料
( ) x2 x 1 1 a 1 2 x x2 （ 1. .(4) 2 , (2) 2 2 2 ,(3) 3 bc bc ( ) x 1 x 1 3 x x 1
2、去掉分子和分母中的“—”号； (1)不改变分式的值,使分式
y y y , , 的分子,分母不含“—”号； 2 y 2x 2x
②
5x 7y 11z 2 2 2 6 y z 12 xz 8x y
⑤
③x 3
9 3 x
x2 y2 x2 y2 ④x y x y
10 a 1 1 a 3a 4 a 1
2
（四）分式混合运算（先算乘方，再算乘除，最后算加减；先算小括号，再算中括号，最后 算大括号）注意：结果要化为最简分式或整式。 1.
2、当 x 为何值时，分式的值为 0？
x3 2x
3x 21 7 x
x2 1 x2 x
的值为零
3.当
时，分式
1
4.当 5. 当 式 子 A 、 6
时，分式
的值为零
x 5
5x x5
x 4x 5
B、-5
2
的值为零时，x 的值是（ D、-5 或 5
）
C、-1 或 5
（四）拓展二：（分式的值为正或负的条件） 1、分式 m 2 的值为正数，求 M 的取值范围。 m3 2、分式 的值是负数，求 X 的取值范围。 二、分式的基本性质 1、变形填空
x 2 3x ( x 1) 2 9
1 x 2 1
2、当 取何值时，下列分式有意义？
1 2x 1 1
3、当 取何值时，下列分式无意义？
（三）拓展一：（分式的值为 0 的条件：分子=0，分母≠0） 1、当 m 为何值时，分式的值为 0？
华师大版数学八年级下册第16章《分式》(第1课时)单元复习教学设计
华师大版数学八年级下册第16章《分式》（第1课时）单元复习教学设计一. 教材分析华师大版数学八年级下册第16章《分式》是学生在掌握了实数、代数式、方程等基础知识后的进一步学习。
本章主要介绍了分式的概念、分式的运算、分式方程的解法等。
本章内容在学生的数学知识体系中起到承上启下的作用，为后续学习函数、几何等知识打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对实数、代数式、方程等概念有一定的了解。
但学生在学习过程中，对于分式的理解容易出现模糊不清、概念混淆等问题。
此外，学生对于分式的运算和分式方程的解法，也需要通过实例讲解和练习来进一步巩固。
三. 教学目标1.理解分式的概念，掌握分式的基本性质。
2.学会分式的运算，包括分式的加减乘除。
3.掌握分式方程的解法，并能应用于实际问题中。
四. 教学重难点1.分式的概念和基本性质的理解。
2.分式的运算方法。
3.分式方程的解法及应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过问题引导学生思考，案例讲解分式的概念和运算方法，小组合作探讨分式方程的解法，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.教学PPT，包括分式的概念、运算方法和分式方程的解法等内容。
2.练习题，包括分式的运算和分式方程的应用问题。
3.教学视频或动画，用于讲解分式的概念和运算方法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入分式的概念，如计算“某商品打八折后的价格是120元，求原价”。
让学生思考如何用数学表达式表示原价和打折后的价格，从而引出分式的概念。
2.呈现（15分钟）讲解分式的概念，通过PPT展示分式的定义和基本性质。
结合实例讲解分式的运算方法，包括分式的加减乘除。
同时，展示教学视频或动画，帮助学生更好地理解分式的概念和运算方法。
3.操练（10分钟）让学生分组练习分式的运算，包括分式的加减乘除。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）讲解分式方程的解法，通过PPT展示分式方程的解法步骤。
华师大版八年级下册数学分式全章复习及测试小结
第17章分式全章小结第一课时综合复习一、知识结构二、重要知识与规律总结（一）概念1、分式：AB（A、B为整式，B≠0）2、有理式：整式和分式统称有理式。
3、最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积。
4、分式方程：分母中含有未知数的方程。
（二）性质1、分式基本性质：A A M A MB B M B M⨯÷==⨯÷（M是不等于零的整式）2、幂的性质：零指数幂：0a=1（a≠0）负整指数幂：1nnaa-=（a≠0，n为正整数）科学记数法：a ×10n，1≤| a |＜10，n是一个整数。
（三）分式运算法则分式乘法：将分子、分母分别相乘，即a c acb d bd=分式除法：将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即a c a d adb d bc bc ÷=⨯=分式的加减：（1）同分母分式相加减：a c a cb b b±±=；（2）异分母分式相加减：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式乘方：()n nna ab b=（b≠0）=（a≥0，b＞0）（四）分式方程解法1、解题思想：分式方程转化为整式方程。
2、转化方法：去分母（特殊的用换元法）。
3、转化关键：正确找出最简公分母。
4、注意点：注意验根。
三、学习方法点拨1、两个整数不能整除时，出现了分数；类似地，两个分式不能整除时，就出现了分式。
因此，整式的除法是引入分式概念的基础。
2、分式的基本性质及分式的运算与分数的情形类似，因而在学习过程中，要注意不断地与分数的情形进行类比，以加深对新知识的理解。
3、解分式方程的思想是把含有未知数的分母去掉，从而将分式方程转化为整式方程来解，这时可能会出现增根，必须进行检验。
学习时，要理解增根产生的原因，认识到检验的必要性，并会进行检验。
4、由于引进了零指数幂和负整指数幂，绝对值较小的数也可以用科学记数法来表示。
华师大版八年级下册数学知识点总结
八年级华师大版数学（下）第16章分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式A叫做分式。
子B2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：A=0的当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使B条件是：A=0，B≠0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
整式分为单项式和多项式。
分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：==，其中M （M ≠0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；（2）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分；（3）约分一定要把公因式约完。
华师大版数学八年级下第1讲 分式及分式方程
第1讲 分式及分式方程第一部分： 分式知识互联网题型一：分式的混合运算与化简求值思路导航：对于分式的混合运算和化简求值来说，最为重要的就是细心运算，不要跳步.个别的题目要注意是否有简便方法. 典题精练【例1】 计算：⑴2322()x y x x y xy x y ⎛⎫⎛⎫-÷+⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⑵2212239a aa a a a -+÷---【例2】 将下列式子先化简，再求值⑴已知：2380x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+-⋅--++的值；⑵已知：31=+xx ，求1242++x x x 的值；⑶已知：2410a a ++=，且42321533a ma a ma a++=++，求m 的值；⑷已知113x y -=，求2322x xy yx xy y+---的值．（5） 已知实数x,y,z 满足1z y x =+++++yx zx z y ，求y x z x z y Z y +++++222x 的值。
（6） 若,05a 22=-+b ab 求baa -b 的值题型二：分式的恒等变形 思路导航恒等概念是对两个代数式而言，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等．表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式．将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换)．以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变．典题精练【例3】 若1abc =，求证：1111a b cab a bc b ca c ++=++++++题型三：部分分式与分离常数例题精讲【引例】 已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a 、b 的值．典题精练【例4】 已知()()237231111x x A Bx x x x -+=++-+-+，其中A 、B 为常数，求42A B -的值．【例5】 ⑴若整数m 使61mm-+为正整数，则m 的值为 ． ⑵若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 的值有（ ）．A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个 【例6】 已知a b ck b c a c a b===+++，求k 的值．思维拓展训练训练1. ⑴若不论x 为何值，分式212x x c++总有意义，则c ．⑵已知分式22153x x x +--的值为零，那么x 的值是 .⑶当x 时，分式215x x -+的值为正数.⑷当x 满足 时，102x x +<-. 训练2. ⑴ ÷． ⑵2225241244a a a a a a ⎛⎫-+-+÷ ⎪+++⎝⎭，其中23a =训练3. 已知13x x -=，求1242++x x x 的值.训练4. 已知()22221111x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A 、B 、C 为常数，求A B C ++的值．复习巩固题型一 分式的混合运算与化简求值 巩固练习【练习1】 计算： 22222112326246x x x x x x x x ⎛⎫++⎛⎫-÷- ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭【练习2】 若4x y +=-，3xy =-，则式子1111x y +++的值为 . 题型二 分式的恒等变形 巩固练习【练习3】 已知x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111x y z y z x+=+=+，求证：2221x y z =.题型三 部分分式与分离常数 巩固练习【练习4】 若28224M N x x x x --=+--恒成立，求M 、N 的值．【练习5】当x 为何值时，分式22365112x x x x ++++有最小值？最小值是多少？第二部分：分式方程知识互联网模块一 分式方程的基本解法 知识导航1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫作分式方程． 2．可化为一元一次方程的分式方程的解法⑴解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程． ⑵可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； ②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根． 注意．．：⑴增根能使最简公分母等于0． ⑵增根是去分母后所得整式方程的根． 3．解分式方程产生增根的原因增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根，即分式方程无解． 夯实基础【例1】 ⑴若分式方程：11222kx x x -+=--有增根，则k 的值为__________. ⑵若关于x 的分式方程2213m x x x+-=-无解，则m 的值为_________.⑶若分式方程212x ax +=--的解是正数，求a 的取值范围.(4)当m 为何值时，关于x 的方程121x 1-12+=-+x mx x 无解？题型二 巧解分式方程知识导航对于某些特殊类型的分式方程，如果采用常规方法来解，往往会带来繁琐的运算。
华师大八年级数学(下)复习提纲
第17章 分式§17.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
整式分为单项式和多项式。
分类：有理式 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；（2）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分；（3）约分一定要把公因式约完。
华东师大初中数学八年级下册《分式》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《分式》全章复习与巩固（基础）：【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数,科学记数法.构建和发展相互联系的知识体系．5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【知识网络】【要点梳理】【分式全章复习与巩固知识要点】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算a b a b c c c±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算 a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 a c a d ad b d b c bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4．零指数. 5.负整数指数6.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.7.科学记数法（1）把一个绝对值大于10的数表示成10n a ⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即10n a -⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式及其基本性质1、在ma y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C ； 【解析】()21131x x a x x x y m+++，，，是分式. 【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．2、当x 为何值时，分式293x x -+的值为0？ 【思路点拨】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分母的值不等于0时，这个值就是要求的字母的值．【答案与解析】解： 要使分式的值为0，必须满足分子等于0且分母不等于0．由题意，得290,30.x x ⎧-=⎨+≠⎩ 解得3x =．∴ 当3x =时，分式293x x -+的值为0． 【总结升华】分式的值为0的条件是：分子为0，且分母不为0，即只有在分式有意义的前提下，才能考虑分式值的情况.举一反三：【变式】（1）若分式的值等于零，则x ＝_______；（2）当x ________时，分式没有意义．【答案】（1）由24x -＝0，得2x =±. 当x ＝2时x －2＝0，所以x ＝－2；（2）当10x -=，即x ＝1时，分式没有意义． 类型二、分式运算3、（2017•青浦区一模）计算：÷（a ﹣1）+． 【思路点拨】结合分式混合运算的运算法则进行求解即可．【答案与解析】解：原式=×+ =+ =+ =．【总结升华】本题考查了分式的混合运算，解答本题的关键在于熟练掌握分式混合运算的运算法则．举一反三：【变式】（2015•滨州）化简：÷（﹣）【答案】解：原式=÷=• =﹣．4、计算：（1）5231010-⨯⨯； （2）134139m npmn p ----÷； （3）22223a a b b ⎛⎫-⎛⎫÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）1322233(3)(2)(3)mn m n m n ----÷． 【思路点拨】（1）题和（2）题只有乘除运算，按幂的乘法和除法法则进行计算；（3）题中出现了分式，可先将每一个分式转化为整数指数幂，然后再用法则计算；（4）题中出现了整数幂的乘法、除法、乘方计算；先算乘方，再算乘除．【答案与解析】解：（1）原式5233133103103101000-+-=⨯=⨯=⨯=； （2）原式5111(4)3(1)252221(39)33n m n p m n p m p ---------=÷==； （3）原式242222244994a a a b b b ba =÷= 242222999444ab a a--+-===； （4）原式333244333(2)(3)m n m n m n ---=-÷32434334(3)4443236363m m n m n n +-------⨯==-=-． 【总结升华】（1）整数指数幂的运算结果一般要用正整数指数幂来表示．如：（4）题中的结果得到4436m n --后，还要化为4436m n -．（2）进行混合运算时特别要注意运算顺序．5、用科学记数法表示下列各数：（1）0.00001；（2）0.000000203；（3）-0.000135；（4）0.00067【答案与解析】解：（1）0.00001＝510-；（2）0.000000203＝72.0310-⨯；（3）-0.000135＝41.3510--⨯；（4）0.00067＝46.710-⨯.【总结升华】注意在10n a -⨯中n 的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）．类型三、分式方程的解法【 分式全章复习与巩固 例6（1）】6、解方程23222x x x -=+- 【答案与解析】解：23222x x x -=+-方程两边同乘以()()22x x -+，得()()()()2232222x x x x x --+=+-72x =27x =检验： 当27x =时，最简公分母()()22x x -+≠0， ∴27x =是原方程的解. 【总结升华】分式方程一定要记得检验.举一反三：【变式】()1231244x x x -=---， 【答案】解： 方程两边同乘以()24x -，得()()12422332x x x =---=-∴ 检验：当32x =-时，最简公分母()240x -≠， ∴32x =-是原方程的解． 类型四、分式方程的应用7、（2015•东莞二模）某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？【思路点拨】先设原计划每天铺设x 米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x 米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．【答案与解析】解：设原计划每天铺设x 米管道，由题意得：﹣=5，解得：x=20，经检验：x=20是原方程的解．答：原计划每天铺设20米管道．【总结升华】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．举一反三：【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过老师家，小明到王老师家的路程为3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km ，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min ，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?【答案】解：设王老师步行的速度为x km/h ，则他骑自行车的速度为3x km/h.根据题意,得230.50.520360x x ⨯+=+． 解这个方程，得5x =．经检验5x =是原方程的根且符合题意．当5x =时，315x =．答：王老师步行的速度为5km/h ，他骑自行车的速度为15km/h ．。
华师大版初中数学八年级下册第16章分式复习(1)
h，采用新工艺前、后每时分别加工多少个零件？
解：设采用新工艺前、后每时分别加工 x 个，1.5x 个，根据题意，得
1200 1200
=
+10
x 1.5x
解，得 x=40,1.5x=40×1.5=60.
经检验 x=40 是原方程的根，也符合题意.
答：采用新工艺前后每时分别加工 40 个、60 个.
［师］下面我们来看第二个问题.
=
÷
a2
ab
a(a b)
ab
b
=
a2
×
=
(a b)(a b) a b
a2 2a 1 1
(a 1)2
1 a 1 1 a
（2）
－
=
－
由分子 x－1=0，得 x=1,
而当 x=1 时，分母 x+1=1+1=2≠0.
所以当 x=1 时，分式的值为零.
［例 2］约分
a2 1
16 x 2
（1）Leabharlann ;（2）.a2 a 2
20xy
a2 1 (a 1)(a 1) a 1
解：（1）
=
=
a2 a 2 (a 2)(a 1) a 2
16x2 4x 4x 4x
［生］我们组来回答此问题，此人晨练时平均每分钟行
米.
mn
我们组也举出一个例子：长方形的面积为 8 m2,长为 p m,宽为____________ m.
8
［生］应为 m.
p
TB:小初高题库
华师大版初中数学
［师］同学们举的例子都很有特色，谁还能举.
［生］如果某商品降价 x%后的售价为 a 元，那么该商品的原价为多少元？
TB:小初高题库
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9ab2c
a-1
(2) a2+2a+1 与
6 a2-1
约分与通分的依据都是: 分式的基本性质
1.已知
xy
ZHale Waihona Puke 2=3 = 4,试求
x+y-z
x+y+z
的值.
11
2x-3xy+2y
2.已知 x + y = 5 ,求
-x+2xy-y
的值.
3.已知 x +
1
x
=3 ,
求 x2 +
1
x2
的值.
变: 已知 x2 – 3x+1=0 ,求 x2+
a -b a+b
(
)
= a2 –b2
(2) ab+b2 = a+b
ab2+b
( ab+1 )
(4)
a+b ab
=
2a2+2ab
(2a2b )
2.下列变形正确的是(
)
C
a
a2
A b = b2
a-b a2-b
B
a = a2
C 2-x = X-2 X-1 1-x
D
4= 2 2a+b a+b
3.填空:
-a-b a+b c-d = ( d-c )
学习目标：
进一步理解分式、有理式、最简分式、 最简公分母的概念
熟练掌握分式的基本性质、分式运算 法则；准确熟练地进行分式的运算
通过对例题的学习，进一步理解数学 的整体思想
1.分式的定义:
形如 A ,其中 A ,B 都是整式,
B
且 B 中含有字母.
2.分式有意义的条件: B≠0 分式无意义的条件: B = 0
被你拥抱过，览了 被你默诵过，懂了 被你翻开又合起 被你动了奶酪和心思
不舍你的过往 和过往的你 记挂你的现今 和现今的你 遐想你的将来 和将来的你 难了难了 相思可以这一世
---------------------------------- 谢谢喜欢 ----------------------------------
1.约分 : 把分子.分母的最大公因式(数)约去. 2.通分: 把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式.
关键是找最简公分母:各分母所有因式的最高次幂的积.
1.约分
(1)
-6x2y
27xy2
(3)
m2+4m+4 m2 - 4
(2) -2(a-b)2 -8(b-a)3
2.通分
(1) x 与 y
6a2b
你忘，或者不忘 我都在这里，念你、羡你 念你袅娜身姿 羡你悠然书气
人生若只如初见 任你方便时来 随你心性而去 却为何，有人 为一眼而愁肠百转 为一见而不远千里
晨起凭栏眺 但见云卷云舒 风月乍起 春寒已淡忘 如今秋凉甚好 几度眼迷离
感谢喧嚣 把你高高卷起 砸向这一处静逸 惊翻了我的万卷 和其中的一字一句 幸遇只因这一次
-x +y x+y
x-y = ( -x-y)
4.与分式
２m－３ ４－m
的值相等的分式是（
A
Ａ
３－２m ４－m
Ｂ
２m-３ ４－m
Ｃ
３－２m ４－m
Ｄ
） ３－２m
m－４
５．下列各式正确的是（ A ）
Ａ
－x＋y －x－y ＝
X－y X＋y
Ｂ
－x＋y －x－y ＝
－x－y X＋y
－x＋y X＋y
Ｃ －x－y ＝ X－y
A A÷M B = ( B÷M )
(其中M为 不为0 的整式)
2.分式的符号法则:
A
=
( -A
)
=
A
=
B
B
(-B )
-A ( -B )
-A A
=
=
-B ( B )
( -A ) =
B
-A (B )
1.写出下列等式中的未知的分子或分母.
(1)
a+b
(a2+ab )
ab = a2b
a2+b2-2ab
(3)
1
x2
的值.
变:已知 x+ 1 =3 ,求
x
x2 x4+x2+1
的值.
---------------------------------- 赠予 ----------------------------------
【幸遇•书屋】
你来，或者不来 我都在这里，等你、盼你 等你婉转而至 盼你邂逅而遇
你想，或者不想 我都在这里，忆你、惜你 忆你来时莞尔 惜你别时依依
无意义.
5.当x为何值时,下列分式的值为0?
(1) X-4 X+1
(2) X-1 X -2
(3)
X -3 X-3
X=4
X=1
X=-3
(4) X2 -1 X2 +2x+1 X=1
6.当x为何值时,分式 2x (x-2) 5x (x+2)
(1) 有意义
(2) 值为 0
X≠0且x≠-2
X=2
7.要使分式 -2 的值为正数,则x的取值范围是 X>1 1-x
xy 8．如果把分式 x＋y 中的x和y的值都扩大３倍，
则分式的值（
）
A
Ａ 扩大３倍 Ｂ不变
Ｃ缩小１／３ Ｄ缩小１／６
9．若x，y的值均变为原来的１／３ ，则分式
（ C ）．
Ａ 是原来的１／３
Ｂ 是原来的１／９
Ｃ 保持不变
Ｄ 不能确定
３xy的值 x２＋y２
３a １0．已知分式 ２a＋b 的值为 ５／３， 若a，b的值都扩大到原来的５倍，则扩大后分式的值是 5/3
Ｄ －x＋y ＝
－x－y
X－y X＋y
6．不改变分式的值，将下列分式的分子．分母的最高次 项的系数变为正数． （１） －x２＋１
x－２
（２） x－x２ ３x＋１
（３） ２－x x－x２
x 7．如果把分式 x＋y 中的x和y的值都扩大３倍， 则分式的值（ B ） Ａ 扩大３倍 Ｂ不变 Ｃ缩小１／３ Ｄ缩小１／６
8.当x <-2 时,分式 X2+1 的值是负数. X+2
9.当x ≥7
时,分式
X-7 X2+1
的值是非负数.
10.当x >-1
时,分式
X+1 X2-2x+3
的值为正.
1.分式的基本性质:
分式的分子与分母同乘以(或除以) 一个不为0的整式 分式的值 不变
用式子表示: A = A X M
B
(BXM )
3.分式值为 0 的条件: A=0且 B ≠0 A
4.分式 B > 0 的条件: A>0 ,B>0 或 A<0, B<0 分式 A < 0 的条件: A>0 ,B<0 或 A<0 ,B>0 B
1.下列各式(1) 3 (2) 2x (3) 2x2 (4) x
2x
3
x
∏
是分式的有 3 个。
3 (5) 1- 2x
2.下列各式中x 取何值时,分式有意义.
X -1
(1) X + 2
1 (2) X -1
4x (3) X2 -1
1 (4)
X2 - 2x+3
3.下列分式一定有意义的是(B )
X+1 A x2
X+1 B X2+1
X2 +1 C X-1
1 D X -1
4.当 x .y 满足关系
2x=y
时,分式
2x + y 2x - y