2019版高中数学二轮复习高考小题专练6

高考小题专练(06)
(满分：80分 时间：45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M ＝{3,2a }，N ＝{a ，b }，若M ∩N ＝{2}，则M ∪N ＝( ) A ．{1,2,3} B ．{0,2,3} C ．{0,1,2}
D ．{0,1,3}
解析：选A ∵M ∩N ＝{2}，∴2∈M,2∈N .所以2a ＝2，a ＝1，于是b ＝2，所以M ∪N ＝{1,2,3}，故选A ．
2．已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z ＝3＋a i ，z ·z －
＝4，则a 为( ) A ．1或－1 B ．1
C ．－1
D ．不存在的实数
解析：选A 由题得z －＝3－a i ，故z ·z －
＝3＋a 2＝4⇒a ＝±1，故选A ． 3．“1
m ＞1”是“关于x 的方程sin x ＝m 有解”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 由题得1
m ＞1得1－m m ＞0⇒0＜m ＜1，sin x ＝m 有解可得－1≤m ≤1，故可得
“1
m
＞1”是“关于x 的方程sin x ＝m 有解”的充分不必要条件，故选A ． 4．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
x －2(x ≤1)，ln x (x ＞1)那么函数f (x )的值域为( )
A ．(－∞，－1)∪[0，＋∞)
B ．(－∞，－1]∪(0，＋∞)
C ．[－1,0)
D ．R
解析：选B y ＝x －2(x ≤1)的值域为(－∞，－1]，y ＝ln x (x ＞1)的值域为(0，＋∞)，故函数f (x )的值域为(－∞，－1]∪(0，＋∞)，选B ．
5．在平面直角坐标系中，已知双曲线C 与双曲线x 2
－y 2
3
＝1有公共的渐近线，且经过点
P (－2，3)，则双曲线C 的焦距为( )
A ． 3
B ．2 3
C ．3 3
D ．4 3
解析：选D 双曲线C 与双曲线x 2
－y 2
3
＝1有公共的渐近线，设本题中的双曲线C 的方
程x 2
－y 23＝λ，因为经过点P (－2，3)，所以4－1＝λ，解之得λ＝3，故双曲线方程为x 23－y 2
9
＝
1故焦距为43，选D ．
6．执行如图所示的程序框图，若输出的S ＝88，则判断框内应填入的条件是( )
A ．k ＞4?
B ．k ＞5?
C ．k ＞6?
D ．k ＞7?
解析：选B S ＝0，k ＝1，k ＝2，S ＝2，否；k ＝3，S ＝7，否；k ＝4，S ＝18，否；k ＝5，S ＝41，否；k ＝6，S ＝88，是．所以条件为k ＞5，故选B ．
7．已知a ＝log 32，b ＝log 23，c ＝log 47，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b
D ．a ＜c ＜b
解析：选D a ＝log 32＜1，b ＝log 23＞1，c ＝log 47＞1，log 27＜log 23，故a ＜c ＜b ，选D ．
8．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点P (1,3)，Q (－1,1)，则△POQ 外接圆的半径为( )
A ．10
2 B ．10 C ．
52
D ． 5
解析：选A ∵k OP ＝3，k OQ ＝－1，线段OP ，OQ 的中点分别为⎝⎛⎭⎫12，32，⎝⎛⎭⎫
－12，12，∴线段OP ，OQ 的中垂线所在直线方程分别为y ＝－13x ＋5
3
，y ＝x ＋1，联立方程可得圆心坐标
⎝⎛⎭⎫12，32，所以半径为102
，故选A ． 9．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标压缩为原来的1
2，纵坐标保持不变，得到g (x )图象，若g (x 1)＋g (x 2)＝2，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则x 1－x 2的最大值为( )
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
解析：选C 由题得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6，若g (x 1)＋g (x 2)＝2，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6取到两次最大值，令2x ＋π6＝2k π＋π2⇒x ＝k π＋π
6，要使x 1，x 2∈[－2π，2π]，x 1－x 2最大，故令k ＝1，k ＝－2即可，故x 1－x 2的最大值为3π，选C ．
10．某几何体的三视图如图所示，其中主视图由矩形和等腰直角三角形组成，左视图由半个圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为( )
A ．3π＋4 2
B ．4(π＋2＋1)
C ．4(π＋2)
D ．4(π＋1)
解析：选A 由三视图知几何体的上半部分是半圆柱，圆柱底面半径为1，高为2，其表面积为：S 1＝1
2×π×2×2＋π×12＝3π，下半部分为正四棱锥，底面棱长为2，斜高为2，其
表面积：S 2＝4×⎝⎛⎭⎫1
2×2×2＝42，所以该几何体的表面积为S ＝S 1＋S 2＝3π＋42， 本题选择A 选项．
11．为培养学生分组合作能力，现将某班分成A ，B ，C 三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组，某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在B 组中的那位的成绩与甲不一样，在A 组中的那位的成绩比丙低，在B 组中的那位成绩比乙低．若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是( )
A ．甲、丙、乙
B ．乙、甲、丙
C ．乙、丙、甲
D ．丙、乙、甲
解析：选C 因为在B 组中的那位的成绩与甲不一样，在B 组中的那位的成绩比乙低．所以甲、乙都不在B 组，所以丙在B 组. 假设甲在A 组，乙在C 组，由题得甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是乙、丙、甲．假设甲在C 组，乙在A 组，由题得矛盾，所以排序正确的是乙、丙、甲．故选C ．
12．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心的
圆与双曲线C 在第一象限交于点P ，直线PF 1恰与圆F 2相切于点P ，与双曲线左支交于点Q ，且|PQ |＝2|F 1Q |，则双曲线的离心率为( )
A ． 3
B ． 5
C ．13
D ．15
解析：选B 设|PQ |＝2m ，|QF 1|＝m ，∴|PF 2|＝3m －2a ，|QF 2|＝m ＋2a ，在三角形PQF 2
中，∠P ＝90°.∴(2m )2＋(3m －2a )2＝(m ＋2a )2，∴m ＝43a .在直角三角形PF 1F 2中，(3m )2＋(3m
－2a )2＝(2c )2，∵m ＝4
3
a ，∴c 2＝5a 2，∴e ＝ 5.故选B ．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上) 13．中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．意思是“圆内接正多边形的边数无限增多的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”．如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的概率________．
解析：设圆心为O ，圆的半径为1，则正六边形的面积S ＝6×12×12×32＝33
2，则对应
的概率P ＝33
2π＝33
2π
．
答案：33
2π
14．已知函数f (x )＝e x －x 2的图象在点(1，f (1))处的切线过点(0，a )，则a ＝________． 解析：函数f (x )＝e x －x 2的导数为f ′(x )＝e x －2x ，函数f (x )＝e x －x 2的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为e －2，切点为(1，e －1)，由切线过点(0，a )，可得：e －2＝e －1－a
1－0得a ＝
1．
答案：1
15．已知向量m ＝(1,2)，n ＝(2,3)，则m 在m －n 方向上的投影为________．
解析：因为向量m ＝(1,2)，n ＝(2,3)，∴ m －n ＝(－1，－1), m ·(m －n )＝－3，|m －n |
＝2，m 在m －n 方向上的投影为m ·(m －n )|m －n |＝－32
＝－32
2．
答案： －32
2
16．现某小型服装厂锁边车间有锁边工10名，杂工15名，有7台电脑机，每台电脑机每天可给12件衣服锁边；有5台普通机，每台普通机每天可给10件衣服锁边．如果一天至少有100件衣服需要锁边，用电脑机每台需配锁边工1名，杂工2名，用普通机每台需要配锁边工1名，杂工1名，用电脑机给一件衣服锁边可获利8元，用普通机给一件衣服锁边可获利6元，则该服装厂锁边车间一天最多可获利________元．
解析：设每天安排电脑机和普通机各x ，y 台，则一天可获利z ＝12×8x ＋10×6y ＝96x ＋60y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤10，2x ＋y ≤15，
12x ＋10y ≥100，
0＜x ≤7，0＜y ≤5画出可行域(如图)，可知当目标函数经过A (5,5)
时，
z max ＝780．
答案：780。