北京三帆中学2018届九年级上学期期中检测数学试题(含解析)

北京三帆中学2017-2018学年度第一学期期中考试试卷
初三数学
一、选择题（每题2分，共16分）：
1．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）．
A ．5y x =
B ．1y x =
C ．123xy =
D ．2
1y x = 【答案】C
【解析】:123l xy =， ∴123y x
=．
2．已知两个相似五边形面积之比为9:4，那么这两个五边形的相似比为（ ）．
A ．9:4
B ．3:2
C ．2:3
D ．81:16
【答案】B
【解析】相似图形面积比等于相似比的平方．
3．抛物线25(2)6y x =-+-的开口方向和顶点坐标是（ ）．
A ．向上，(2,6)-
B ．向下，(2,6)-
C ．向上，(2,6)--
D ．向下，(2,6)--
【答案】D
【解析】∵25(2)6y x =-+-，
∴50a =-<，开口向下，
∴顶点为(2,6)--．
4．如图，点A 是反比例函数k y x
=图象上的一个动点，过点A 作AB x ⊥轴，AC y ⊥轴，垂足分别为B ，C ，矩形ABOC 的面积为16，则k =（ ）．
A ．4-
B ．8-
C ．16-
D ．32-
【答案】C
【解析】∵A 在k y x
=
上，16ABOC S =四， ∴||16k =，
∵图象分布二、四象限，
∴16k =-．
5．若点1(1,)A y -，2(3,)B y -在反比例函数3y x =
的图象上，则1y 与2y 的大小关系是（ ）． A ．12y y < B ．12y y > C ．12y y = D ．无法比较
【答案】A
【解析】∵A ，B 在3y x =
上， ∴1331y ==--，2313
y ==--， ∴12y y <．
6．如图，在ABC △中，D 为AC 上一点，那么添加下列一个条件后，仍无法．．
判定B ABC DC ∽△△的是（ ）．
D
A
B C
A ．CBD A ∠=∠
B ．CDB AB
C ∠=∠ C ．BC C
D AC BC = D ．AB BC BD CD
= 【答案】D
【解析】如图可知，C C ∠=∠（公共角），
D
A B C
AB BC BD CD
=不能判定B ABC DC ∽△△， 因为C ∠不是对应边的夹角．
7．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列关系式中正确的是（ ）．
A ．240b ac ->
B ．2a b <-
C ．0ac >
D ．0a b c -+< 【答案】A
【解析】如图可知：0a >，0c <，0b <，0ac <，C 错，
抛物线与x 轴有两个公共点，240b ac ->，A 正确， 因为对称轴12b x a
=-<，∴2a b >-，B 错， 当1x =-时，0y a b c =-+>，D 错．
8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1A ，2A ，3A ，，n A 在y 轴的负半轴上，点1B ，2B ，3B ，，n B 在二次函数2y x =-位于第三象限的图象上，若四边形111OB AC ，四边形1222A B A C ，四边形2333A B A C ，，四边形1n n n n A B A C -都是正方形，则正方形1n n n n A B A C -的面积为（ ）．
A ．2n
B ．2n
C ．22n
D ．212n
【答案】C
【解析】∵1B 在2y x =-上，
四111OB AC 为正方形得1(1,1)C -，
∴112A C y x =-，
∴2(2,4)B --，2(0,6)A -，
∴226B A y x =--，
∴1112
221OB A C S ==⨯正，【注意有文字】
1222
2822
A B A C
S =
=⨯正，【注意有文字】
233321823A B A C S ==⨯正，【注意有文字】
∴12
2n n n n A B A C S n -=⨯正．【注意有文字】
二、填空题（每题2分，共16分）：
9．已知点(3,2)A -在反比例函数k
y x =的图象上，则k 的值为__________．
【答案】6k =-
【解析】把(3,2)A -代入k y x =
上， ∴23
k =-， 6k =-．
10．如图，123l l l ∥∥，直线a ，b 与1l ，2l ，3l 分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ．若3AB =，5BC =，2DE =，则EF 的长是__________．
l 2l 1l 3D A
B
C
E F a
b 【答案】103
【解析】∵123l l l ∥∥， ∴
AB DE BC EF =即325EF
=， ∴10EF x
=． 11．将二次函数2286y x x =-+-配成2()y a x h k =-+的形式为__________．
【答案】22(2)2y x =--+
【解析】2286y x x =-+-，
22(444)6x x =--+--，
22[(2)4]6x =----，
22(2)2x =--+．
12．若
132
x x +=，则x =__________． 【答案】2x = 【解析】132
x x +=， 223x x +=，
2x =，
经检验2x =为原方程的解．
13．若抛物线22y x x m =+-与x 轴有两个公共点，则m 的取值范围是__________．
【答案】1m >-
【解析】∵22y x x m =+-与x 轴相交两点，
∴当0y =时，220x x m +-=，
24440b ac m ∆=-=+>，
∴1m >-．
14．己知蓄电池的电压U 为定值．使用蓄电池时，测出每一组电流I （单位：A ）和电阻R （单位：Ω），如下表，发现电流I 是关于电阻R 的函数，则电流I 与电阻R 之间的函数关系式是__________．
【答案】I R
= 【解析】由表格得36IR =，即36I R
=
． 15．与抛物线2(2)1y x =+-关于原点成中心对称的抛物线解析式为__________．
【答案】2(2)1y x =--+
【解析】由关于原点成中心对称可知，
2(2)1y x -=-+-，
2(2)
1y x =--+．
16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，CDO △可以看作是AOB △经过若干次图形的变化（平移，轴对称，旋转，位似）得到的，写出一种由AOB △得到CDO △的过程：__________．
【答案】见解析
【解析】以O 为位似中心在第一象限内作位似比为1:2的OA D '△，
以B 为旋转中心顺时针方向旋转OA D '△，得ODC △．
三、解答题（第17~24题每题5分，第25，26题每题6分，第27，28题每题8分，共68分）： 17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线(0)y kx b k =+≠与双曲线(0)m y m x
=
≠交于点(1,2)A -和点(,1)B n ．求直线与双曲线的表达式．
【答案】1y x =--，2y x
=-
． 【解析】∵y kx b =+与m y x
=交于A ，B 两点， ∴21
m -=即2m =-， ∴2y x
-=， ∴21n
-=即2n =-， ∴(2,1)B -， ∴122k b k b =-+⎧⎨-=+⎩
， 解得11k b =-⎧⎨=-⎩， ∴1y x =--．
18．如图，ABC △在方格纸中．
A
B C
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系xOy ，使(2,3)A ，(4,2)C ，并写出B 点坐标．
（2）以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将ABC △放大，画出放大后的图形A B C '''△．
【答案】（1）(5,4)B ．（2）见解析．
【解析】（2）如图：
19．已知：如图，ABC △中，D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE BC ∥．若3AD =，6BD =，5AC =，求AE 的长．
D
A
B
C E 【答案】103
． 【解析】解：∵DE BC ∥， ∴
AD AE BD EC
=， ∵3AD =，6BD =，5AC =，
∴5EC AE =-， ∴
365AE AE
=-， ∴52AE AE -=， ∴53
AE =．
20．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为BC 的中点，AE 与对角线BD 交于点F ．求证：2DF BF =． D A
B C E F
【答案】见解析．
【解析】证明：在平行四边形ABCD 中，
∴AD BC ∥，AD BC =，
∴ADF EBF ∠=∠，
∵AFD EFB ∠=∠，
∴E AFD FB ∽△△，
∵E 为BC 中点， ∴1122
BE EC BC AD ===， ∴21
DF BF =， ∴2DF BF =．
21．己知抛物线经过点(0,3)-，(3,0)，(1,0)-．求此抛物线的解析式．
【答案】223y x x =--．
【解析】解：∵抛物线经过(0,3)-，(3,0)，(1,0)-，
∴设为(3)(1)y a x x =-+，
∵过(0,3)-点，
∴3(3)1a -=-⨯，
∴1a =，
∴(3)(1)y x x =-+，
223x x =--．
22．小乐同学想利用树影测量校园内的树高．如图，他在某一时刻测得小树AB 高为1.5m 时，其影长AC 为2m ．当他测量教学楼旁的一棵大树DE 影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子FG 在墙上．经测量，地面部分影长DF 为8m ，墙上影长FG 为3m ．求这棵大树DE 的高是多少米？
A B C D G
E
F
【答案】9m ．
【解析】解：过G 作GM ED ⊥于M ，
21.5C B A 83M
F
E
G D
∴90EMG ∠=︒， ∵AB AC EM MG
=，
由题意可知：四边形DFGM 为矩形，
∴MD GF =，MG DF =， ∴
1.528
EM =， ∴6EM =， ∴639ED EM MD =+=+=，
∴DE 高度为9m ．
23．如图，在平面直角坐标xOy 中，直线1y x =-
与双曲线y =交于A ，B 两点，与x 轴交于点C ．若点(,1)P n -是反比例函数图象上一点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，延长EP 交直线AB 于点F ，求n 的值和CEF △的面积．
【答案】n =
2CEF S =+△
【解析】解：∵直线1y x =-与x 轴交于C ，
∴当0y =时，10x -=即1x =，
∴(1,0)C ，
∵(,1)P n -
在y =
上，
∴1-=，
∴n =
∴(1)P -
，(E ，
当x =
11y x =-=，
∴(1)F ，
∴11[1(1)22
CEF S EC EF =⨯⨯=⨯-△，
211)2
=，
2=+
24．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度(m)y 与运行的水平距离(m)x 满足关系式2(6) 2.6y a x =-+．已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ．
（1）求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）．
（2）球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
【答案】（1）21(6) 2.660
y x =-
-+．（2）球能越过网，会出界． 【解析】解：（1）∵球从O 点正上方2m 的A 处发出， ∴2(6) 2.6y a x =-+过(0,2)点，
∴160
a =-
， ∴21(6) 2.660
y x =--+． （2）当9x =时， 21(6) 2.6 2.45 2.4360
y x =-
-+=>， 所以球能过网． 当0y =时，21(6) 2.6060
x --+=， 解得：16
18x =+；26x =-，
所以会出界．
25．直线33y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点A 关于直线1x =-的对称点为点C ．
（1）求点C 的坐标．
（2）若抛物线1C 经过A ，B ，C 三点，求该抛物线的表达式．
（3）若抛物线22:C y ax bx c =++经过A ，B 两点，且顶点在第二象限，抛物线与线段AC 有两个公共点，直接写出a 的取值范围．
【答案】（1）(3,0)C -．（2）223y x x =--+．（3）31a -<-≤． 【解析】解：（1）∵33y x =-+与x 轴、y 轴交于A 、B 两点， ∴当0y =时1x =， ∴(1,0)A ，
∵A 关于直线1x =-对称点为C ， ∴(3,0)C -．
（2）当0x =时，3y =， ∴(0,3)B ，
∵抛物线经过A 、B 、C 三点，
∴设抛物线为23y ax bx =++过(1,0)和(3,0)-， 030933a b a b =++⎧⎨=-+⎩得1
2a b =-⎧⎨
=-⎩
， ∴223y x x =--+．
（3）由22:C y ax bx c =++经过(1,0)A ，(0,3)B ，顶点在第二象限， ∴0a <，
根据对称性，抛物线经过(1,0)-时，开口最小，3a =-， 此时顶点在y 轴上，不符合题意，
抛物线经过(3,0)-时，开口最大，1a =-， 由图可知：31a -<-≤．
26．如图，点A ，B 之间有一条曲线和一条线段，C 在线段AB 上，己知6cm AB =，1cm BC =，P 是线段AC 上一动点，过点P 作PM AB ⊥交曲线于点M ，连接MC ，过点P 作PN MC ⊥于点N ．设A ，
P 两点间的距离为cm x ，P ，N 两点间的距离为cm y ．
（当点P 与点C 重合时，y 的值为0）小思根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．
A B
C
M
N
P
下面是小思的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点，画图，测量，得到了x 与y 的几组值，补全下表：
（2）在下列平面直角坐标系中描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当2
3
y x =时，AP 的长度约为__________cm （结果保留一位小数）．
【答案】（1）1.5．（2）见解析．（3）不唯一（2.53之间）． 【解析】（1）1.5．
（2）
（3）∵2
2
y x =， ∴
23
y x =， 由表格知 2.5x =时， 1.9y =，
3x =时， 1.5y =， ∵
1.92 1.5
2.533
>>， ∴x 在2.53之间．
27．在等边ABC △中，2AB =，点D 为AB 的中点，点E 是BC 边上一动点，60MEN ∠=︒，且M E N ∠的两边分别与ABC △的边AB ，AC 交于点D ，F （点E 不与点B ，C 重合）．
（1）当DE BC ⊥时，请在图1中补全图形．
（2）在图2中，设BE 的长为x ，CF 的长为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． （3）如图3，点P ，G 分别为BC ，AC 的中点，在EF 上截取EH ED =，连接DP ，GH ．请证明H DEP FG ∽△△．
图1
A
B
C
图2
D
A
B
C
E
F M N 图3
D G
H A B C
E
F M N
【答案】（1）见解析．（2）22(02)y x x x =-+<<．（3）见解析． 【解析】解：（1）如图．
D F C
B
A
（2）∵ABC △为等边三角形， ∴2AB BC AC ===，
60B C DEF ∠=∠=∠=︒， ∴12120∠+∠=︒， 23120∠+∠=︒， ∴13∠=∠，
∴E DBE CF ∽△△，
∴
DB BE
EC CF
=， ∵BE x =，则2EC x =-， ∵D 为AB 中点，
∴1AD BD ==，
∴
12x
x y
=-， ∴22(02)y x x x =-+<<．
1 y
x
x 1
23F
E C B A
D
（3）∵D 、P 、G 为AB 、BC 、AC 的中点，
∴2BC DG ∥
，1
2
PD AC ∥， ∴180120DGC C ∠=︒-∠=︒，DG DE =， ∵EH ED =，60DEH ∠=︒，
∴DEH △为等边三角形， ∴DE DH EH ==，
∵120GDB ∠=︒，60BDP ∠=︒， ∴60GDP ∠=︒， ∴60EDH PDG ∠=∠=︒， ∴EDP HDG ∠=∠， ∴DEP △≌(SAS)DHG △， ∴60DGH DPE ∠=∠=︒， ∴60HGF ∠=︒， ∵DEP HFG ∠=∠， ∴H DEP FG ∽△△．
F E
C
B A H G
D
28．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C 给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行或共线，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，那么称该矩形为点A ，B ，C 的外延矩形，在点A ，B ，C 所有的外延矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最佳外延矩形．例如，图1中的矩形1111A B C D ，2222A B C D ，3333A B C D 都是点A ，B ，C 的外延矩形，矩形333A B CD 是点A ，
B ，
C 的最佳外延矩形．
图1
图2
图3
（1）如图2，点(1,0)A -，(2,4)B ，(0,)C t （t 为整数）．
①如果3t =，则点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积是__________．
②如果点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积是24，且使点C 在最佳外延矩形的一边上，请写出一个符合题意的t 值__________．
（2）如图3，已知点(,)E m n 在函数6
(0)y x x
=>的图象上，且点D 的坐标为(1,1)，求点O ，D ，E 的
最佳外延矩形的面积S 的取值范围以及该面积最小时m 的取值范围．
【答案】（1）①12．②4t =-或8．（2）6S ≥，16m ≤≤． 【解析】（1）①当3t =时， 最佳外延矩形的面积为3412⨯=．
②由最佳外延矩形面积为24，得()24B A x x h -⋅=, 即324h ⋅=， ∴8h =，
又∵C A h y y =-或B C h y y =-， ∴80C y =-或84C y =-， ∴8C y =或4C y =-， 即8t =或4-．
（2）当1x =时，6y =，即(1,6)E ，
此时166S =⨯=，
当6x =时，1y =，即(6,1)E ， 此时166S =⨯=． ∴当16m ≤≤时，6S =， 当E 在其它处位置时，6S >，
∴综上6S ≥，当6S =时，16m ≤≤．。