动力学-4(2小时)
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P
t
y(t) 0
P( ) sin (t )d m
t
0 h(t )P( )d
---杜哈美积分
P(t) P
t
t
2. 时刻作用瞬时冲量 y(t) P sin (t ) m
t
t
计阻尼时
y(t)
t 0
P( ) m D
e
(t )sin D
(t
)d
t
0 h(t )P( )d
h(t
)
1
m D
§2.5 一般动载下的时域分析
将荷载看成是连续作用的一系
列冲量，求出每个冲量引起的 P(t)
位移后将这些位移相加即为动
荷载引起的位移。
m
P(t)
y(t)
一.瞬时冲量的反应
1.t=0 时作用瞬时冲量
P mv0
Sm
v0 P / m
y0 y(t)
1 2
P ( )2 0
m
y0 cost
P sint
一. 矩形脉冲
1. 位移反应
m
P(t)
y(t) P(t)
荷载离开前 (0 t t1)
P
t
y(t)
P sin (t )d
0 m
k
yst (1 cost)
t
t1
yst 1(t)
1 (t )
1
c ost
2 sin 2
T
t
荷载离开后 (t t1)
令 t t t1
t 0时 y0 y(t1) yst (1 cost1) v0 y(t1) yst sin t1
t1 T / 2 1max 2
2 2
t1 T / 2 t1 T / 2
1max 2
T
t1
2
2 2 sint1 / T 2
sin 2
T
t1
sin
T
t1
1 2
3. 结论
t1 T / 2 时，最大位移发生于荷载离开前。 2
t1 T / 2 时，最大位移发生于荷载离开后。
2 s in
T
t1
t1 T / 2 时，最大位移发生于荷载离开时。 2
t1/T 0 0.01 0.02 0.05 0.10 1/6 0.2 0.3 0.4 0.5
0 0.063 0.126 0.313 0.618 1.0 1.176 1.618 1.902 2
二. 瞬时冲量最大反应 P(t)
当t1与T相比非常小时
例：重物（重量为Q）自由落下，
在梁上与质点(重量为Q/2)结合共 同振动（不反弹），求振幅。
h
解： 求瞬时冲量
EI
S
mv0
Q g
2gh
l/2
求自振频率
2 1
1
2g
mf Q Q / 2 f 3Qf
f l3
g
48 EI
求冲量等效荷载
求振幅
m
l/2
PE S Q
4h 3Qf
A PE f
三. 正弦波脉冲
P(t)
0
P(t) P0 sint
t t1
P0
0 t t1
t1
t
荷载离开前
y(t) t P0 sin sin (t )d
0 m
yst
1
1
2
(sin t
sin t)
荷载离开后
令 t t t1
y0
y (t1 )
yst
1
1
2
(sin t1
sin t1)
v0
y (t1 )
yst
1 2
yst
1( ) 时的情况，此时仍是 t1 TP / 2 /
1( ) 时的情况
荷载离开前
y (t )
1 2
yst
(sint
t
c ost )
y (t )
1 2
yst
(
cost
2t
sin t
cost)
荷载离开后
令 t t t1
y0
y (t1 )
1 2
yst
v0 y(t1) 0
0.39 0.66 0.73 1.00 1.05 1.2 1.42 1.55 1.69 1.76 2
§2.7 位移激振与隔振
由于支承运动而引起的振动称为位移激振。
一、运动方程
ug (t) yr (t)
质点位移 y(t) yr (t) ug (t) 参
质点加速度 y(t) yr (t) ug (t)
(cost1
cost1)
t1 TP / 2 /
y0
yst
1
1
2
(0
sin
)
v0
yst
1
2
(1 cos
)
y(t )
y0 cost
v0
sin t
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Asin(t
)
A y 2 ( v0 )2
0
yst
1
1 2
2 sin2 2 (1 cos )2
yst
1
2
2 cos 2
y (t )
y0 cost
2
yst
c ost
最大位移反应
t1
T 2
(
1)
最大位移反应发生于第一阶段；
t1
T 2
(
1)
最大位移反应发生于第二阶段；
t1
T 2
(
1)
最大位移反应发生于荷载离开时.
/2
四. 爆炸冲击荷载（作业）
P(t)
P(t)
0 P(t) P(1 t / t1)
t t1
P
0 t t1
P
t
t
位移反应
t1
t1
y (t )
yst
[(1
yst
1 {
t1
cost) 1 (sin t t)]
0
t1
[sint sin (t t1)] cost}
t t
t1 t1
t1/T 0.125 0.2 0.25 0.371 0.4 0.5 0.75 1.0 1.5 2.0
A y02 v02 / 2
y0
y(t1 )
P k
2 sin2
T
t1
P k
2(
T
t1 ) 2
0
v0
y (t1 )
P k
sin
2
T
t1
P k
2
T
t1
A P 2 t1
k
T
m y(t) P(t)
P
k
t t t1
A Pt1f PE f
f 1/ k ---柔度系数
PE Pt1 ---冲量等效荷载
v0
sin t
m
2. 时刻作用瞬时冲量
y(t) P sin (t ) m
t
t P(t) t
P
P(t) P
t
t
t
t
若设 P 1
h(t ) 1 sin(t ) P(t) m
单位冲量响应函数
m
P(t)
y(t)
（脉冲响应函数）
y(t) Ph(t )
二.动荷载的位移反应
t
t P(t) t
y(t )
y0
c ost
v0
sin t
Asin(t
)
A
y2 ( v0 )2
0
2y2 st
(1 cos 2
T
t1 )
2 yst
sin
T
t1
y(t )
2 yst
sin T
t1
sin(t
)
yst 2
sin(t
)
2 2 sint1 / T
2. 最大位移反应
1 (t )
2 sin 2
T
t
(0 t t1)
e (t )
sin
D (t
)
若t=0 时体系有初位移、初速度
y(t) Aet sin( Dt )
t 0
P( ) m D
e
(t
)sin
D
(t
)d
§2.6 冲击荷载的动力反应
冲击荷载的特点---作用时间短。 结构动力反应的特点---最大反应出现快、荷载消失前 后反应不同。 计算特点：
1. 不计阻尼； 2. 要考虑瞬态振动； 3. 要分析荷载消失前后两种状态
t
y(t) 0
P( ) sin (t )d m
t
0 h(t )P( )d
---杜哈美积分
P(t) P
t
t
2. 时刻作用瞬时冲量 y(t) P sin (t ) m
t
t
计阻尼时
y(t)
t 0
P( ) m D
e
(t )sin D
(t
)d
t
0 h(t )P( )d
h(t
)
1
m D
§2.5 一般动载下的时域分析
将荷载看成是连续作用的一系
列冲量，求出每个冲量引起的 P(t)
位移后将这些位移相加即为动
荷载引起的位移。
m
P(t)
y(t)
一.瞬时冲量的反应
1.t=0 时作用瞬时冲量
P mv0
Sm
v0 P / m
y0 y(t)
1 2
P ( )2 0
m
y0 cost
P sint
一. 矩形脉冲
1. 位移反应
m
P(t)
y(t) P(t)
荷载离开前 (0 t t1)
P
t
y(t)
P sin (t )d
0 m
k
yst (1 cost)
t
t1
yst 1(t)
1 (t )
1
c ost
2 sin 2
T
t
荷载离开后 (t t1)
令 t t t1
t 0时 y0 y(t1) yst (1 cost1) v0 y(t1) yst sin t1
t1 T / 2 1max 2
2 2
t1 T / 2 t1 T / 2
1max 2
T
t1
2
2 2 sint1 / T 2
sin 2
T
t1
sin
T
t1
1 2
3. 结论
t1 T / 2 时，最大位移发生于荷载离开前。 2
t1 T / 2 时，最大位移发生于荷载离开后。
2 s in
T
t1
t1 T / 2 时，最大位移发生于荷载离开时。 2
t1/T 0 0.01 0.02 0.05 0.10 1/6 0.2 0.3 0.4 0.5
0 0.063 0.126 0.313 0.618 1.0 1.176 1.618 1.902 2
二. 瞬时冲量最大反应 P(t)
当t1与T相比非常小时
例：重物（重量为Q）自由落下，
在梁上与质点(重量为Q/2)结合共 同振动（不反弹），求振幅。
h
解： 求瞬时冲量
EI
S
mv0
Q g
2gh
l/2
求自振频率
2 1
1
2g
mf Q Q / 2 f 3Qf
f l3
g
48 EI
求冲量等效荷载
求振幅
m
l/2
PE S Q
4h 3Qf
A PE f
三. 正弦波脉冲
P(t)
0
P(t) P0 sint
t t1
P0
0 t t1
t1
t
荷载离开前
y(t) t P0 sin sin (t )d
0 m
yst
1
1
2
(sin t
sin t)
荷载离开后
令 t t t1
y0
y (t1 )
yst
1
1
2
(sin t1
sin t1)
v0
y (t1 )
yst
1 2
yst
1( ) 时的情况，此时仍是 t1 TP / 2 /
1( ) 时的情况
荷载离开前
y (t )
1 2
yst
(sint
t
c ost )
y (t )
1 2
yst
(
cost
2t
sin t
cost)
荷载离开后
令 t t t1
y0
y (t1 )
1 2
yst
v0 y(t1) 0
0.39 0.66 0.73 1.00 1.05 1.2 1.42 1.55 1.69 1.76 2
§2.7 位移激振与隔振
由于支承运动而引起的振动称为位移激振。
一、运动方程
ug (t) yr (t)
质点位移 y(t) yr (t) ug (t) 参
质点加速度 y(t) yr (t) ug (t)
(cost1
cost1)
t1 TP / 2 /
y0
yst
1
1
2
(0
sin
)
v0
yst
1
2
(1 cos
)
y(t )
y0 cost
v0
sin t
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Asin(t
)
A y 2 ( v0 )2
0
yst
1
1 2
2 sin2 2 (1 cos )2
yst
1
2
2 cos 2
y (t )
y0 cost
2
yst
c ost
最大位移反应
t1
T 2
(
1)
最大位移反应发生于第一阶段；
t1
T 2
(
1)
最大位移反应发生于第二阶段；
t1
T 2
(
1)
最大位移反应发生于荷载离开时.
/2
四. 爆炸冲击荷载（作业）
P(t)
P(t)
0 P(t) P(1 t / t1)
t t1
P
0 t t1
P
t
t
位移反应
t1
t1
y (t )
yst
[(1
yst
1 {
t1
cost) 1 (sin t t)]
0
t1
[sint sin (t t1)] cost}
t t
t1 t1
t1/T 0.125 0.2 0.25 0.371 0.4 0.5 0.75 1.0 1.5 2.0
A y02 v02 / 2
y0
y(t1 )
P k
2 sin2
T
t1
P k
2(
T
t1 ) 2
0
v0
y (t1 )
P k
sin
2
T
t1
P k
2
T
t1
A P 2 t1
k
T
m y(t) P(t)
P
k
t t t1
A Pt1f PE f
f 1/ k ---柔度系数
PE Pt1 ---冲量等效荷载
v0
sin t
m
2. 时刻作用瞬时冲量
y(t) P sin (t ) m
t
t P(t) t
P
P(t) P
t
t
t
t
若设 P 1
h(t ) 1 sin(t ) P(t) m
单位冲量响应函数
m
P(t)
y(t)
（脉冲响应函数）
y(t) Ph(t )
二.动荷载的位移反应
t
t P(t) t
y(t )
y0
c ost
v0
sin t
Asin(t
)
A
y2 ( v0 )2
0
2y2 st
(1 cos 2
T
t1 )
2 yst
sin
T
t1
y(t )
2 yst
sin T
t1
sin(t
)
yst 2
sin(t
)
2 2 sint1 / T
2. 最大位移反应
1 (t )
2 sin 2
T
t
(0 t t1)
e (t )
sin
D (t
)
若t=0 时体系有初位移、初速度
y(t) Aet sin( Dt )
t 0
P( ) m D
e
(t
)sin
D
(t
)d
§2.6 冲击荷载的动力反应
冲击荷载的特点---作用时间短。 结构动力反应的特点---最大反应出现快、荷载消失前 后反应不同。 计算特点：
1. 不计阻尼； 2. 要考虑瞬态振动； 3. 要分析荷载消失前后两种状态