江西九江市高中数学第三章统计案例1回归分析相关系数北师大版2-3!

1 回归分析

一、教学目标：1、通过实例了解相关系数的概念和性质，感受相关性检验的作用；2、能对相关系数进行显著性检验，并解决简单的回归分析问题；3、进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用。

二、教学重点，难点：相关系数的性质及其显著性检验的基本思想、操作步骤． 三、教学方法：讨论交流，探析归纳 四、教学过程 （一）、问题情境

1、情境：下面是一组数据的散点图，若求出相应的线性回归方程，求出的线性回归方程可以用作预测和估计吗？

2．问题：思考、讨论：求得的线性回归方程是否有实际意义． （二）、学生活动

对任意给定的样本数据，由计算公式都可以求出相应的线性回归方程，但求得的线性回归方程未必有实际意义．左图中的散点明显不在一条直线附近，不能进行线性拟合，求得的线性回归方程是没有实际意义的；右图中的散点基本上在一条直线附近，我们可以粗略地估计两个变量间有线性相关关系，但它们线性相关的程度如何，如何较为精确地刻画线性相关关系呢？这就是上节课提到的问题①，即模型的合理性问题．为了回答这个问题，我们需要对变量x 与y 的线性相关性进行检验（简称相关性检验）． （三）、探析新课

1、相关系数的计算公式：对于x ，y 随机取到的n 对数据(,)i i x y (1,2,3,,)i n ，样本相关系数r 的计算公式为

2、相关系数r 的性质：（1）||1r ≤；（2）||r 越接近与1，x ，y 的线性相关程度越强；（3）||r 越接近与0，x ，y 的线性相关程度越弱．可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关．

3、对相关系数r 进行显著性检验的步骤： 相关系数r 的绝对值与1接近到什么程度才表明利用线性回归模型比较合理呢？这需要对相关系数r 进行显著性检验．对此，在统计上有明确的检验方法，基本步骤是：（1）提出统计假设0H ：变量x ，y 不具有线性相关关系；（2）如果以95%的把握作出推断，那么可以根据10.950.05-=与2n -（n 是样本容量）在附录2（教材P111）中查出一个r 的临界值0.05r （其中10.950.05-=称为检验水平）；（3）计算样本相关系数r ；（4）作出统计推断：若0.05||r r >，则否定0H ，表明有95%的把握认为变量y 与x 之间具有线性相关关系；若0.05||r r ≤，则没有理由拒绝0H ，即就目前数据而言，没有充分理由认为变量y 与x 之间具有线性相关关系。

说明：1、对相关系数r 进行显著性检验，一般取检验水平0.05α=，即可靠程度为95%． 2、这里的r 指的是线性相关系数，r 的绝对值很小，只是说明线性相关程度低，不一定不相关，可能是非线性相关的某种关系．3．这里的r 是对抽样数据而言的．有时即使||1r =，两者也不一定是线性相关的．故在统计分析时，不能就数据论数据，要结合实际情况进行合理解释．4．对于上节课的例1,可按下面的过程进行检验：（1）作统计假设0H ：x 与y 不具有线性相关关系；（2）由检验水平0.05与29n -=在附录2中查得0.050.602r =；（3）根据公式()2得相关系数0.998r =；（4）因为0.9980.602r =>，即0.05r r >，所以有95

﹪的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系,线性回归方程为

527.59114.453y x =+是有意义的。

（四）、数学运用 1、例题：

例1、下表是随机抽取的8对母女的身高数据,试根据这些数据探讨y 与x 之间的关系．

解：所给数据的散点图如图所示：由图可以看出，这些点在一条直线附近，

因为()1541571638159.25x =+++÷= ，()1551561668161y =+++÷= ，

()8

2

222218()1541638159.2559.5i

i x

x =-=++-⨯=∑ ，

()8

2222218()1551668161116i i y y =-=++-⨯=∑ ， ()8

1

81541551631668159.2516180i

i

i x y x y =-⨯++⨯-⨯⨯=∑ ，

所以963.0116

5.5980≈⨯=

r ，

由检验水平0.05及26n -=，在附录2中查得707.005.0=r ，因为0.9630.707>,所以可以认为x 与y 之间具有较强的线性相关关系．线性回归模型y a bx ε=++中,a b

的估计值 ,a

b 分别为 ()

8

18

2

21

8 1.345,8i i

i i i x y x y

b x x

==-=

≈-∑∑ 53.191a

y bx =-≈- ， 故y 对x 的线性回归方程为x y 345.1191.53+-=

．

例2、要分析学生高中入学的数学成绩对高一年级数学学习的影响，在高一年级学生中随机抽取10名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩如下表：

（1）计算入学成绩x 与高一期末成绩y 的相关系数；（2）如果x 与y 之间具有线性相关关系，求线性回归方程；（3）若某学生入学数学成绩为80分，试估计他高一期末数学考试成绩．

解：(1)因为()16367767010x =

⨯+++= ，()1

6578757610

y =⨯+++= ， 10

1

()()1894xy i i i L x x y y ==--=∑，2

10

1()2474xx i i L x x ==-=∑，10

21

()2056yy i i L y y ==-=∑．

因此求得相关系数为10

0.840x y r =

=

=．

结果说明这两组数据的相关程度是比较高的。

小结解决这类问题的解题步骤：（1）作出散点图，直观判断散点是否在一条直线附近；（2）求相关系数r ；（3）由检验水平和2n -的值在附录中查出临界值，判断y 与x 是否具有较

强的线性相关关系；（4）计算 a

，b ，写出线性回归方程。 2、练习：课本P79页练习题。

（五）、回顾小结：1、相关系数的计算公式与回归系数b

计算公式的比较；2、相关系数的性质；3、探讨相关关系的基本步骤。 （六）、作业：课本P85习题3-1第2题。