高中物理 必修二：5.6向心加速度

6 向心加速度 教学过程导入新课 情景导入通过前面的学习我们知道在现实生活中,物体都要在一定的外力作用下才能做曲线运动,如下列两图（课件展示）.地球绕太阳做(近似的)匀速圆周运动 小球绕桌面上的图钉做匀速圆周运动对于图中的地球和小球,它们受到了什么样的外力作用?它们的加速度大小和方向如何确定?复习导入前面我们已经学习了曲线运动的有关知识，请完成以下几个问题:问题 1.加速度是表示__________的物理量，它等于___________________的比值.在直线运动中，v 0表示初速度，v t 表示末速度，则速度变化量Δv=__________,加速度公式a=__________，其方向与速度变化量方向__________.2.在直线运动中，取初速度v 0方向为正方向，如果速度增大，末速v t 大于初速度v 0，则Δv=v t －v 0__________0（填“>”或“<”），其方向与初速度方向______________________；如果速度减小，Δv=v t -v 0__________0，其方向与初速度方向____________________.3.在圆周运动中，线速度、角速度的关系是___________________.参考答案1：速度改变快慢 速度的改变跟发生这一改变所用时间 v t －v 0 tv v t 0- 相同 2.> 相同 < 相反 3.v=ωr对于匀速圆周运动中的加速度又有哪些特点呢? 推进新课一、速度变化量引入：从加速度的定义式a=tv∆∆可以看出，a 的方向与Δv 相同，那么Δv 的方向又是怎样的呢？指导学生阅读教材中的“速度变化量”部分，引导学生在练习本上画出物体加速运动和减速运动时速度变化量Δv 的图示。

问题：1.速度的变化量Δv 是矢量还是标量？2.如果初速度v 1和末速度v 2不在同一直线上，如何表示速度的变化量Δv ？ 投影学生所画的图示，点评、总结并强调： 结论：（1）直线运动中的速度变化量如果速度是增加的，它的变化量与初速度方向相同（甲）；如果速度是减小的，其速度变化量就与初速度的方向相反（乙）.（2）曲线运动中的速度变化量物体沿曲线运动时，初末速度v1和v2不在同一直线上，速度的变化量Δv同样可以用上述方法求得.例如，物体沿曲线由A向B运动，在A、B两点的速度分别为v1、v2.在此过程中速度的变化量如图所示.可以这样理解：物体由A运动到B时，速度获得一个增量Δv，因此，v1与Δv的矢量和即为v2.我们知道，求力F1和F2的合力F时，可以以F1、F2为邻边作平行四边形，则F1、F2所夹的对角线就表示合力F.与此类似，以v1和Δv为邻边作平行四边形，两者所夹的对角线就是v1和Δv的矢量和，即v2，如图所示.因为AB与CD平行且相等，故可以把v1、Δv、v2放在同一个三角形中，就得到如图所示的情形.这种方法叫矢量的三角形法.利用课件动态模拟不同情况下的Δv，帮助学生更直观地理解这个物理量.二、向心加速度1.向心加速度的方向课件展示图，并给出以下问题，引导学生阅读教材“向心加速度”部分：问题：（1）在A、B两点画速度矢量v A和v B时，要注意什么？（2）将v A的起点移到B点时要注意什么？（3）如何画出质点由A点运动到B点时速度的变化量Δv？（4）Δv／Δt表示的意义是什么？（5）Δv 与圆的半径平行吗？在什么条件下，Δv 与圆的半径平行？让学生亲历知识的导出过程，体验成功的乐趣.讨论中要倾听学生的回答，必要时给学生以有益的启发和帮助，引导学生解决疑难，回答学生可能提出的问题. 利用课件动态展示上述加速度方向的得出过程.结论：上面的推导不涉及“地球公转”“小球绕图钉转动”等具体的运动，结论具有一般性：做匀速圆周运动的物体加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度. 2.向心加速度的大小引入：匀速圆周运动的加速度方向明确了，它的大小与什么因素有关呢？ （1）公式推导指导学生按照书中“做一做”栏目中的提示，在练习本上推导出向心加速度大小的表达式，也就是下面这两个表达式：a n =rv 2a n =rω2巡视学生的推导情况，解决学生推导过程中可能遇到的困难，给予帮助，回答学生可能提出的问题.投影学生推导的过程，和学生一起点评、总结. 推导过程如下：在图中，因为v A 与OA 垂直，v B 与OB 垂直，且v A =v B ，OA=OB ，所以△OAB 与v A 、v B 、Δv 组成的矢量三角形相似.用v 表示v A 和v B 的大小，用Δl 表示弦AB 的长度，则有r l v v ∆=∆或Δv=Δl·rv用Δt 除上式得rvt l t v ∙∆∆=∆∆当Δt 趋近于零时，tv∆∆表示向心加速度a 的大小，此时弧对应的圆心角θ很小，弧长和弦长相等，所以Δl=rθ，代入上式可得a n =rvt r t v ∙∆=∆∆θ=vω利用v=ωr 可得a n =rv 2或a n =rω2.（2）对公式的理解引导学生思考并完成“思考与讨论”栏目中提出的问题,深化本节课所学的内容.强调：①在公式y=kx 中，说y 与x 成正比的前提条件是k 为定值.同理，在公式a n =rv 2中，当v 为定值时，a n 与r 成反比；在公式a n =rω2中，当ω为定值时，a n 与r 成正比.因此，这两个结论是在不同的前提下成立的，并不矛盾.②对于大、小齿轮用链条相连时，两轮边缘上的点线速度必相等，即有v A =v B =v.又a A =Ar v 2，a B =B r v 2，所以A 、B 两点的向心加速度与半径成反比.而小齿轮与后轮共轴，因此两者有共同的角速度，即有ωB =ωC =ω.又a B =r B ω2，a C =r C ω2，所以B 、C 两点的向心加速度与半径成正比. （3）向心加速度的几种表达式问题：除了上面的a n =rv 2、a n =rω2外，向心加速度还有哪些形式呢？先让学生思考，适时提示转速、频率、周期等因素. 结论：联系ω=Tπ2=2πf ，代入a n =rω2可得： a n =r T224π和a n =4π2f 2r.至此，我们常遇到的向心加速度表达式有以上五种. 3.向心加速度的物理意义因为向心加速度方向始终指向圆心，与线速度方向垂直，只改变线速度的方向，不改变其大小，所以向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量. 典例探究（题目先课件展示，让学生思考后再给出解析内容）例1 关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（ ） A.它们的方向都沿半径指向地心B.它们的方向都在平行赤道的平面内指向地轴C.北京的向心加速度比广州的向心加速度大D.北京的向心加速度比广州的向心加速度小解析：如图所示，地球表面各点的向心加速度方向（同向心力的方向）都在平行赤道的平面内指向地轴.选项B 正确，选项A 错误.在地面上纬度为φ的P 点，做圆周运动的轨道半径r=R 0cos φ，其向心加速度为a n =rω2=R 0ω2cos φ.由于北京的地理纬度比广州的地理纬度大，北京随地球自转的半径比广州随地球自转的半径小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小，选项D 正确，选项C 错误. 答案：BD点评：因为地球自转时，地面上的一切物体都在垂直于地轴的平面内绕地轴做匀速圆周运动，它们的转动中心（圆心）都在地轴上，而不是地球球心，向心力只是引力的一部分（另一部分是重力），向心力指向地轴，所以它们的向心加速度也都指向地轴.例2 如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点.左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r ，b 点在小轮上，距小轮中心的距离为r ，c 点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上.若在传动过程中皮带不打滑，则（ ）A.a 点与b 点的线速度大小相等B.a 点与b 点的角速度大小相等C.a 点与c 点的线速度大小相等D.a 点与d 点的向心加速度相等解析：如皮带不打滑，a 、c 两点的线速度相等，故C 选项正确.又a 、c 两点半径不同，则角速度不同，由v=rω得ωa =2ωc .同一轮上各点角速度相等，所以B 选项是不正确的.但同一轮上各点线速度不等，即b 、c 两点的线速度不等，所以b 与a 两点的线速度也不相等，A 选项也不正确.向心加速度a=rω2，得a 、d 两点的向心加速度分别为a a =rωa 2和a d =4r 2d ω=4r （2aω）2=rωa 2，所以a a =a d ，选项D正确.答案：CD 课堂训练1.关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是（ ）A.它描述的是线速度方向变化的快慢B.它描述的是线速度大小变化的快慢C.它描述的是向心力变化的快慢D.它描述的是角速度变化的快慢 解析：向心加速度不改变线速度的大小，只改变其方向. 答案：A2.一小球被细线拴着做匀速圆周运动，其半径为R ，向心加速度为a ，则（ ） A.小球相对于圆心的位移不变 B.小球的线速度为Ra C.小球在时间t 内通过的路程s=Rt a / D.小球做圆周运动的周期T=2πa R /s 解析：小球做匀速圆周运动，各时刻相对圆心的位移大小不变，但方向时刻在变.由a=Rv 2得v 2=Ra ，所以v=Ra在时间t 内通过的路程s=vt=Ra t做圆周运动的周期T=a RRaR v R πππωπ2222===. 答案：BD3.由于地球自转，比较位于赤道上的物体1与位于北纬60°的物体2，则（ ） A.它们的角速度之比ω1∶ω2=2∶1 B.它们的线速度之比v 1∶v 2=2∶1 C.它们的向心加速度之比a 1∶a 2=2∶1 D.它们的向心加速度之比a 1∶a 2=4∶1解析：同在地球上，物体1与物体2的角速度必相等.设物体1的轨道半径为R ，则物体2的轨道半径为Rcos60°,所以v 1∶v 2=ωR ∶ωRcos60°=2∶1a 1∶a 2=ω2R ∶ω2R cos60°=2∶1. 答案：BC 4.如图为甲、乙两球做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图象，其中甲的图线为双曲线.由图象可知，甲球运动时，线速度大小____________（填“变化”或“不变”,下同），角速度____________；乙球运动时，线速度大小____________，角速度____________.解析：由图可知，甲的向心加速度与半径成反比，根据公式a=rv 2，甲的线速度大小不变；而由图可知，乙的加速度与半径成正比，根据公式a=ω2r ，说明乙的角速度不变. 答案：不变 变化 变化 不变5.如图所示皮带传动轮，大轮直径是小轮直径的3倍，A 是大轮边缘上一点，B 是小轮边缘上一点，C 是大轮上一点，C 到圆心O 1的距离等于小轮半径，转动时皮带不打滑.则A 、B 、C 三点的角速度之比ωA ∶ωB ∶ωC =____________，向心加速度大小之比a A ∶a B ∶a C =____________.解析：A 与B 的线速度大小相等，A 与C 的角速度相等. 答案：1∶3∶1 3∶9∶1 课堂小结课件展示本课小节：1.向心加速度的定义、物理意义;2.向心加速度的方向：指向圆心；3.向心加速度的大小：4.向心加速度的方向时刻改变布置作业教材“问题与练习”第2、3、4题板书设计 6 向心加速度一、速度的变化量加速度a=tv∆∆,a 的方向与Δv 相同 Δv 的方向： 矢量三角形二、向心加速度1.方向：做匀速圆周运动的物体，加速度指向圆心.2.大小：a n =r v 2=r ω2=r T224π=4π2f 2r. 3.意义：始终指向圆心，与v 垂直，只改变v 的方向，不改变其大小，是描述线速度方向变化快慢的物理量.活动与探究课题：研究电视画面中汽车轮胎的正反问题.过程：在电视画面中我们常常会看到一辆向前奔驰的汽车，它的轮子一会儿在正转，一会儿又在倒转.假设轮子的辐条如图所示，请解释造成这种现象的原因是什么,并分析什么情况下出现正转现象,什么情况下出现倒转现象.（参考资料：电视画面是每隔1/30 s 更迭一帧，人的视觉暂留时间为0.1 s ）图5-6-12 习题详解1.解答：本题主要考查对向心加速度的各种表达式的理解和掌握.线速度相等时，考虑a=r v 2周期相等时，考虑a=r T224π角速度相等时，乙的线速度小，考虑a=ωv 线速度相等时，甲的角速度大，考虑a=ωv. 所以：A.乙的向心加速度大 B.甲的向心加速度大 C.甲的向心加速度大 D.甲的向心加速度大2.解答：已知周期，由ω=Tπ2，代入a=ω2r 得a=r T 224π.将已知数据统一成国际单位后代入得a=22)3600243.27(14.34⨯⨯⨯×3.84×108 m/s 2=2.7×10-3 m/s 2.3.解答：在相同时间内的路程之比为4∶3，则由v=tl∆∆知线速度之比为4∶3； 又已知运动方向改变的角度之比是3∶2，所以角速度之比为3∶2. 利用公式a=vω可得122334=∙==B B A A B A v v a a ωω. 4.解答：两轮边缘上各点的线速度必相等，则有v 1=v 2=v. 又因为r 1∶r 2=1∶3，所以 ω1∶ω2=2211:r v r v =3∶1. （1）两轮的转速比等于角速度之比，即有 n 1∶n 2=ω1∶ω2=3∶1.（2）在同一轮上各点的角速度必相等.由a=ω2r 知，A 点的转动半径为机器皮带轮的一半，故A 点的向心加速度为轮边缘的向心加速度的一半,即a A =0.05 m/s 2.（3）电动机皮带轮边缘上点的向心加速度a 1=12r v机器皮带轮边缘上点的向心加速度a 2=22r v所以a 1∶a 2=r 2∶r 1=3∶1 得a 1=3a 2=0.30 m/s 2.设计点评思维方法是解决问题的灵魂，是物理教学的根本；亲自实践参与知识的发现过程是培养学生能力的关键，本课的设计就特别注重了这一点.另外，多媒体的灵活应用也能很好地帮助学生理解有关概念.典型例题和针对性的演练题目也是本课的重要组成部分，可使学生更深地理解和应用知识.。