2018年北京一二模拟题分类-计算题23题

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2018年北京市西城区高中生物合格考模拟样题(二)试卷及答案

2017-2018 学年（下）西城区合格考模拟样题（二）高一生物2018-6第一部分选择题（1~25 题每小题1 分，26~35 题每小题2 分，共45 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意要求的。

1．构成有机物基本骨架的元素是A．碳B．氢C．氧D．氮2．决定自然界中生物多样性和特异性的根本原因是生物体内A．蛋白质分子的多样性和特异性B．DNA 分子的多样性和特异性C．氨基酸种类的多样性和特异性D．化学元素和化合物的多样性和特异性3．DNA 完全水解后，得到的化学物质是A．氨基酸、葡萄糖、含氮碱基B．氨基酸、核苷酸、葡萄糖C．核糖、含氮碱基、磷酸D．脱氧核糖、含氮碱基、磷酸4．下列与人们饮食观念相关的叙述中，正确的是A．脂质会使人发胖，不要摄入B．谷物不含糖类，糖尿病患者可放心食用C．食物含有基因，这些DNA 片段可被消化分解D．肉类中的蛋白质经油炸、烧烤后，更益于健康5．在线粒体、叶绿体和高尔基体中都含有的化学成分是A．脂肪和核酸B．蛋白质和磷脂C．蛋白质和核酸D．胆固醇和淀粉6．细菌被归为原核生物的原因是A．细胞体积小B．单细胞C．没有成形的细胞核D．没有DNA7．贮存和复制遗传物质的主要场所是A．核糖体B．叶绿体C．细胞核D．线粒体8．下列生理活动中可以使A TP 转化成ADP 的是A．呼吸作用过程中的丙酮酸分解B．光合作用的暗反应阶段C．植物根细胞吸收水分D．叶肉细胞吸收二氧化碳9．右图是三个相邻的植物细胞以及它们之间水分流动方向的示意图。

图中三个植物细胞的细胞液在浓度上的关系是A．甲＞乙＞丙B．甲＜乙＜丙C．甲＞乙，且乙＜丙D．甲＜乙，且乙＞丙10．用14C 标记CO2，可用于研究光合作用过程中A．光反应的条件B．暗反应（碳反应）的条件C．由CO2 合成糖的过程D．能量的转换过程11．细胞内葡萄糖分解为丙酮酸的过程A．不产CO2 B．必须在有O2 条件下进行C．在线粒体内进行D．反应速度不受温度影响12．动物细胞有丝分裂区别于高等植物细胞有丝分裂的过程是A．核膜、核仁消失B．形成纺锤体C．中心粒周围发出纺锤丝（星射线）D．着丝粒分裂13．天宫二号太空实验涉及的空间生命科学研究很丰富，包括太空种菜、航天员食谱、生物在微重力条件下的生命活动等。

2018北京各城区二模数学(理)分类汇编--概率统计解答题

2018北京各城区二模数学（理）分类汇编--概率统计解答题【西城二模】17．（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值；（Ⅱ）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率；（III ）某研究机构提出，可以选取常数*00.5()X n n =+∈N ，若一名从业者该项身体指标检测值大于0X ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于0X ，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病．写出使得判断错误的概率最小的0X 的值及相应的概率（只需写出结论）． 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为 3.4100408.5⨯=人．… 2分 10.100.350.250.150.100.05a =-----=，10.100.200.300.40b =---=． ……………… 4分（Ⅱ）指标检测数据为4的样本中，有患病者400.208⨯=人，未患病者600.159⨯=人． ……………… 6分设事件A 为“从中随机选择2人，其中有患病者”．则 29217C 9(A)C 34P ==， ……………… 8分所以 25(A)1(A)34P P =-=． ……………… 9分（Ⅲ）使得判断错误的概率最小的0 4.5X =． ………………11分当0 4.5X =时，判断错误的概率为21100． ………………13分【海淀二模】（16）（本小题13分）某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：（Ⅱ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；（Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为1x ，21s ，考核成绩的平均数和方差分别为2x ，22s ，试比较1x 与2x ， 21s 与22s 的大小.（只需写出结论） 16. （本小题共13分）解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人.所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率为：60.610=，从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6.………………………………………….4分（Ⅱ）设事件A ：从上述考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分.由（Ⅰ）知，上述考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人.所以，232631()155C P A C ===. ·················· 9分（Ⅲ）12x x =，2212s s >. ····················· 13分【东城二模】（16）（本小题13分）某银行的工作人员记录了3月1号到3月15日上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数，如图所示：从这15天中，随机选取一天，随机变量X 表示当天上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数. （Ⅰ）请把X 的分布列补充完整；（Ⅱ）令m 为X 的数学期望，若()0.5,P n Xn m m -＃+>求正整数n 的最小值；（Ⅲ）由图判断，从哪天开始的连续五天上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数的均值最大？（结论不要求证明）（16）（共13分）解：（I ）X 的分布列分别为………………………4分（Ⅱ）由（I ）可得X 的数学期望1211211()891011121314103155********E X =???????.所以10m =. 因为62(101101)0.5155P X-＃+==<, 5231213(102102)0.5,1515P X++++-＃+==>所以2n =. ………………………10分（Ⅲ）第10日或第11日. ………………………13分【朝阳二模】16.（本小题满分13分）某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量,对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分.每项评分最低分0分,最高分100分.每个景点总分为这五项得分之和,根据考核评分结果,绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下:请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（Ⅰ）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个,求其安全得分大于90分的概率;（Ⅱ）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个,记安全得分不大于90分的景点个数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望;（Ⅲ）记该市26个景点的交通平均得分为1x ,安全平均得分为2x ,写出1x 与2x 的大小关系.（只写出结果）【解析】（Ⅰ）由图可知,交通得分前5名的景点中安全得分大于90分的景点有3个.故从交通得分前5名的景点中任取1个,其安全得分大于90分的概率为35（Ⅱ）由图可知,景点总分前6名的安全得分不大于90分的景点有2个.设从景点总分前6名的景点中任取3个,安全得分不大于90分的个数为ξ,则ξ的取值为0,1,2所以34361(0)5C P C ξ===2142363(1)5C C P C ξ===1242361(2)5C C P C ξ===故ξ的分布列为所以1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=（Ⅲ）12x x >【丰台二模】（16）（本小题共13分）某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A 组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取10位归为B 组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A 组的客户，“⊙”表示B 组的客户．注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值．（Ⅰ）记A ，B 两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m ，n ，根据图中数据，试比较m ，n 的大小（结论不要求证明）；（Ⅱ）从A ，B 两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A 组的客户的概率；（III ）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”．从A ，B 两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．（16）（本小题共13分）解：（Ⅰ）m n <． …………………3分（Ⅱ）设“从抽取的20位客户中任意抽取2位，至少有一位是A 组的客户”为事件M ，则11210101022029()38C C C P M C +==． …………………6分年龄（岁）70605040302010所以从抽取的20位客户中任意抽取2位至少有一位是A 组的客户的概率是2938．（III ）依题意ξ的可能取值为0，1，2．则119811101018(0)25C C P C C ξ===； 1111189211101013(1)50C C C C P C C ξ+===； 11121110101(2)50C C P C C ξ===． …………………10分所以随机变量ξ的分布列为：所以随机变量ξ的数学期望01225505010E ξ=⨯+⨯+⨯=． …………………12分即103=ξE ．【昌平二模】 16.（本小题13分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区一年的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数（AQI ）如下图所示：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（Ⅰ）试估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；（Ⅱ）假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C ：“A 地区空气质量等级优于B 地区空气质量等级”. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 的概率.（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A ，B 两地区哪个地区.（只需写出结论） 16．（共13分）解：（Ⅰ）从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况为“优良”的频率为510.7520-=，估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为3650.75274⨯≈天. -----------4分（Ⅱ）记1A 表示事件：“A 地区空气质量等级为优良”；2A 表示事件：“A 地区空气质量等级为轻中度污染”； 1B 表示事件：“B 地区空气质量等级为轻中度污染”；2B 表示事件：“B 地区空气质量等级为重度污染”，则1A 与1B 独立，2A 与2B 独立，1B 与2B 互斥，111222C A B A B A B =.所以111222()()P C P A B A B A B =111222()()()P A B P A B P A B =++111222()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++.由所给数据得1A ，2A ，1B ，2B 发生的频率分别为34，15，15，320.故13()4P A =，21()5P A =，11()5P B =，23()20P B =，所以31313()()0.2925.4520520P C =⨯++⨯= --------------------10分（Ⅲ）从空气质量角度，建议选择A 地区居住 . --------------------13分【顺义二模】16．（本小题满分13分）2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程.某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体的调查结果如下表：（Ⅱ）在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（Ⅲ）若从该班调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望．16．（Ⅰ）不妨设女生人数为X ，男生人数为Y ，则可得X-Y=4 （1）又由分层抽样可知，65X Y=（2）联立（1）（2）可解得X=24，Y=20（Ⅱ）设该生持满意态度为事件A ，则基本事件的总数有11种，事件A 中包含的基本事件有6种，所以()611P A =（Ⅲ）ξ的可能取值有0，1，2=0ξ对应的事件为从该班11名调查对象中抽取2人，2人中恰好有0人持满意态度基本事件的总数为211C =55，其中包含的基本事件数有2510C =种所以()10205511P ξ=== 同理：()116521*********C C P C ξ⋅====，()26211C 1532=C 5511P ξ=== 所以分布列为：所以期望26312E =0+1+2=11111111ξ⨯⨯⨯【房山二模】（16）（本小题13分）1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权。

2018北京高三一模二模汇编—18分计算

2018北京高三一模二模汇编—18分计算1．（2018•门头沟区二模）磁感应强度是描述磁场性质的重要物理量。

不同物质周围存在的磁场强弱不同，测量磁感应强度的大小对于磁场的实际应用有着重要的物理意义。

（1）如图1所示为电流天平，可以用来测量匀强磁场的磁感应强度。

它的右臂挂着匝数为n匝的矩形线圈，线圈的水平边长为l，处于匀强磁场内，磁场的方向与线圈平面垂直。

当线圈中通过电流I时，调节砝码使两臂达到平衡，然后保持电流大小不变，使电流反向，这时需要在左盘中增加质量为m的砝码，才能使两臂再达到新的平衡。

重力加速度为g，请利用题目所给的物理量，求出线圈所在位置处磁感应强度B的大小。

（2）磁场具有能量，磁场中单位体积所具有的能量叫做能量密度，其值为B2/2μ，式中B是磁感应强度，μ是磁导率，在空气中μ为一已知常量。

请利用下面的操作推导条形磁铁磁极端面附近的磁感应强度B：用一根端面面积为A的条形磁铁吸住一相同面积的铁片P，再用力将铁片与磁铁缓慢拉开一段微小距离△l，并测出拉力F，如图2所示。

因为距离很小，F可视为恒力。

（3）利用霍尔效应原理制造的磁强计可以用来测量磁场的磁感应强度。

磁强计的原理如图3所示：将一体积为a×b×c的长方体导电材料，放在沿x轴正方向的匀强磁场中，已知材料中单位体积内参与导电的带电粒子数为n，带电粒子的电量为q，导电过程中，带电粒子所做的定向移动可认为是匀速运动。

当材料中通有沿y 轴正方向的电流I时，稳定后材料上下两表面间出现恒定的电势差U。

①请根据上述原理导出磁感应强度B的表达式。

②不同材料中单位体积内参与导电的带电粒子数n不同，请利用题目中所给的信息和所学知识分析制作磁强计应采用何种材料。

2．（2018•朝阳区一模）图1所示的蹦极运动是一种非常刺激的娱乐项目。

为了研究蹦极过程，做以下简化：将游客视为质点，他的运动沿竖直方向，忽略弹性绳的质量和空气阻力。

如图2所示，某次蹦极时，游客从蹦极平台由静止开始下落，到P点时弹性绳恰好伸直，游客继续向下运动，能到达的最低位置为Q点，整个过程中弹性绳始终在弹性限度内，且游客从蹦极平台第一次下落到Q点的过程中，机械能损失可忽略。

2018年北京一模二模压轴题

2018年北京一模二模压轴题一．解答题（共19小题）1．如图1，对于平面内的点P和两条曲线L1、L2给出如下定义：若从点P任意引出一条射线分别与L1、L2交于Q1、Q2，总有是定值，我们称曲线L1与L2“曲似”，定值为“曲似比”，点P为“曲心”．例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为r1、r2（都是常数）的两个同心圆C1、C2，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M、N，因为总有是定值，所以同心圆C1与C2曲似，曲似比为，“曲心”为O'．（1）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx与抛物线y=x2、y=分别交于点A、B，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；（2）在（1）的条件下，以O为圆心，OA为半径作圆，过点B作x轴的垂线，垂足为C，是否存在k值，使⊙O与直线BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（3）在（1）、（2）的条件下，若将“y=”改为“y=”，其他条件不变，当存在⊙O与直线BC相切时，直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式．2．对某一个函数给出如下定义：若存在实数k，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点（a，b1），（a+1，b2），b2﹣b1≥k都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数y=﹣x+2，当x取值a和a+1时，函数值分别为b1=﹣a+2，b2=﹣a+1，故b2﹣b1=﹣1≥k，因此函数y=﹣x+2是限减函数，它的限减系数为﹣1．（1）写出函数y=2x﹣1的限减系数；（2）m＞0，已知（﹣1≤x≤m，x≠0）是限减函数，且限减系数k=4，求m 的取值范围．（3）已知函数y=﹣x2的图象上一点P，过点P作直线l垂直于y轴，将函数y=﹣x2的图象在点P右侧的部分关于直线l翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数k≥﹣1，直接写出P点横坐标n的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy中的某圆上，有弦MN，取MN的中点P，我们规定：”表示．以W（﹣3，0）点P到某点（直线）的距离叫做“弦中距”，用符号“d中为圆心，半径为2的圆上．（1）已知弦MN长度为2．的长度；①如图1：当MN∥x轴时，直接写出到原点O的d中的取②如果MN在圆上运动时，在图2中画出示意图，并直接写出到点O的d中值范围．（2）已知点M（﹣5，0），点N为⊙W上的一动点，有直线y=x﹣2，求到直线y=x﹣2的d中的最大值．4．在平面直角坐标系xOy中，将任意两点P（x1，y1）与Q（x2，y2）之间的“直距”定义为：D PQ=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：点M（1，﹣2），点N（3，﹣5），则D MN=|1﹣3|+|﹣2﹣（﹣5）|=5．已知点A（1，0）、点B（﹣1，4）．（1）则D AO=，D BO=；（2）如果直线AB上存在点C，使得D CO为2，请你求出点C的坐标；（3）如果⊙B的半径为3，点E为⊙B上一点，请你直接写出D EO的取值范围．5．已知边长为2a的正方形ABCD，对角线AC、BD交于点Q，对于平面内的点P 与正方形ABCD，给出如下定义：如果a≤PQ≤a，则称点P为正方形ABCD 的“关联点”．在平面直角坐标系xOy中，若A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，1）．（1）在P1（﹣，0），P2（，），P3（0，）中，正方形ABCD的“关联点”有；（2）已知点E的横坐标是m，若点E在直线y=x上，并且E是正方形ABCD 的“关联点”，求m的取值范围；（3）若将正方形ABCD沿x轴平移，设该正方形对角线交点Q的横坐标是n，直线y=x+1与x轴、y轴分别相交于M、N两点．如果线段MN上的每一个点都是正方形ABCD的“关联点”，求n的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy中，过y轴上一点A作平行于x轴的直线交某函数图象于点D，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线交y轴于点E （E在线段OA上，E不与点O重合），则称∠DPE为点D，P，E的“平横纵直角”．图1为点D，P，E的“平横纵直角”的示意图．如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数图象与y轴交于点F（0，m），与x轴分别交于点B （﹣3，0），C（12，0）．若过点F作平行于x轴的直线交抛物线于点N．（1）点N的横坐标为；（2）已知一直角为点N，M，K的“平横纵直角”，若在线段OC上存在不同的两点M1、M2，使相应的点K1、K2都与点F重合，试求m的取值范围；（3）设抛物线的顶点为点Q，连接BQ与FN交于点H，当45°≤∠QHN≤60°时，求m的取值范围．7．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M，给出如下定义：若⊙M上存在两个点A，B，使AB=2PM，则称点P为⊙M的“美好点”．（1）当⊙M半径为2，点M和点O重合时，1点P1（﹣2，0），P2（1，1），P3（2，2）中，⊙O的“美好点”是；2点P为直线y=x+b上一动点，点P 为⊙O的“美好点”，求b的取值范围；（2）点M为直线y=x上一动点，以2为半径作⊙M，点P为直线y=4上一动点，点P为⊙M的“美好点”，求点M的横坐标m的取值范围．8．A为⊙C上一点，过点A作弦AB，取弦AB上一点P，若满足≤＜1，则称P为点A关于⊙C的黄金点．已知⊙C的半径为3，点A的坐标为（1，0）．（1）当点C的坐标为（4，0）时，①在点D（3，0），E（4，1），F（7，0）中，点A关于⊙C的黄金点是；②直线y=x﹣上存在点A关于⊙C的黄金点P，求点P的横坐标的取值范围；（2）若y轴上存在点A关于⊙C的黄金点，直接写出点C横坐标的取值范围．9．研究发现，抛物线y=上的点到点F（0，1）的距离与到直线l：y=﹣1的距离相等．如图1所示，若点P是抛物线y=上任意一点，PH⊥l于点H，则PF=PH．基于上述发现，对于平面直角坐标系xOy中的点M，记点M到点P的距离与点P到点F的距离之和的最小值为d，称d为点M关于抛物线y=的关联距离；当2≤d≤4时，称点M为抛物线y=的关联点．（1）在点M1（2，0），M2（1，2），M3（4，5），M4（0，﹣4）中，抛物线y=的关联点是；（2）如图2，在矩形ABCD中，点A（t，1），点C（t+1，3）①若t=4，点M在矩形ABCD上，求点M关于抛物线y=的关联距离d的取值范围；②若矩形ABCD上的所有点都是抛物线y=的关联点，则t的取值范围是．10．对于平面直角坐标系xOy中的点P和直线m，给出如下定义：若存在一点P，使得点P到直线m的距离等于1，则称P为直线m的平行点．（1）当直线m的表达式为y=x时，①在点P1（1，1），P2（0，），P3（，）中，直线m的平行点是；②⊙O的半径为，点Q在⊙O上，若点Q为直线m的平行点，求点Q的坐标．（2）点A的坐标为（n，0），⊙A半径等于1，若⊙A上存在直线的平行点，直接写出n的取值范围．11．对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形W1，W2给出如下定义：点P为图形W1上一点，点Q为图形W2上一点，当点M是线段PQ的中点时，称点M是图形W1，W2的“中立点”．如果点P（x1，y1），Q（x2，y2），那么“中立点”M的坐标为（，）．已知，点A（﹣3，0），B（0，4），C（4，0）．（1）连接BC，在点D（，0），E（0，1），F（0，）中，可以成为点A和线段BC的“中立点”的是；（2）已知点G（3，0），⊙G的半径为2，如果直线y=﹣x+1存在点K可以成为点A和⊙G的“中立点”，求点K的坐标；（3）以点C为圆心，半径为2作圆，点N为直线y=2x+4上的一点，如果存在点N，使得y轴上的一点可以成为点N与⊙C的“中立点”，直接写出点N的横坐标的取值范围．12．对于平面直角坐标系xOy中的点Q（x，y）（x≠0），将它的纵坐标y与横坐标x的比称为点Q的“理想值”，记作L Q．如Q（﹣1，2）的“理想值”L Q= =﹣2．（1）①若点Q（1，a）在直线y=x﹣4上，则点Q的“理想值”L Q等于；②如图，，⊙C的半径为1．若点Q在⊙C上，则点Q的“理想值”L Q的取值范围是．（2）点D在直线y=﹣x+3上，⊙D的半径为1，点Q在⊙D上运动时都有0≤L Q≤，求点D的横坐标x D的取值范围；（3）M（2，m）（m＞0），Q是以r为半径的⊙M上任意一点，当0≤L Q≤2时，（要求画图位置准确，画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r的值．但不必尺规作图）13．对于平面内的⊙C和⊙C外一点Q，给出如下定义：若过点Q的直线与⊙C 存在公共点，记为点A，B，设k=，则称点A（或点B）是⊙C的“k相关依附点”，特别地，当点A和点B重合时，规定AQ=BQ，k=（或）．已知在平面直角坐标系xOy中，Q（﹣1，0），C（1，0），⊙C的半径为r．（1）如图，当r=时，①若A1（0，1）是⊙C的“k相关依附点”，则k的值为．②是否为⊙C的“2相关依附点”．答：（填“是”或“否”）．（2）若⊙C上存在“k相关依附点”点M，①当r=1，直线QM与⊙C相切时，求k的值．②当k=时，求r的取值范围．（3）若存在r的值使得直线y=﹣x+b与⊙C有公共点，且公共点时⊙C的“相关依附点”，直接写出b的取值范围．14．对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，其中A（t，0）、B（t+2，0）两点，给出如下定义：若在线段AB上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为线段AB的伴随点．（1）当t=﹣3时，①在点P1（1，1），P2（0，0），P3（﹣2，﹣1）中，线段AB的伴随点是；②在直线y=2x+b上存在线段AB的伴随点M、N，且MN=，求b的取值范围；（2）线段AB的中点关于点（2，0）的对称点是C，将射线CO以点C为中心，顺时针旋转30°得到射线l，若射线l上存在线段AB的伴随点，直接写出t的取值范围．15．在平面直角坐标系xOy中，当图形W上的点P的横坐标和纵坐标相等时，则称点P为图形W的“梦之点”．（1）已知⊙O的半径为1．①在点E（1，1），F（﹣，﹣），M（﹣2，﹣2）中，⊙O的“梦之点”为；②若点P位于⊙O内部，且为双曲线y=（k≠0）的“梦之点”，求k的取值范围．（2）已知点C的坐标为（1，t），⊙C的半径为，若在⊙C上存在“梦之点”P，直接写出t的取值范围．（3）若二次函数y=ax2﹣ax+1的图象上存在两个“梦之点”A（x1，y1），B（x2，y2），且|x1﹣x2|=2，求二次函数图象的顶点坐标．16．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，该抛物线与x轴的两个交点分别为A和B，与y轴的交点为C，其中A（﹣1，0）．（1）写出B点的坐标；（2）若抛物线上存在一点P，使得△POC的面积是△BOC的面积的2倍，求点P 的坐标；（3）点M是线段BC上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点D，求线段MD长度的最大值．17．平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）与B（x2，y2），如果满足x1+x2=0，y1﹣y2=0，其中x1≠x2，则称点A与点B互为反等点．已知：点C（3，4）（1）下列各点中，与点C互为反等点；D（﹣3，﹣4），E（3，4），F（﹣3，4）（2）已知点G（﹣5，4），连接线段CG，若在线段CG上存在两点P，Q互为反等点，求点P的横坐标x P的取值范围；（3）已知⊙O的半径为r，若⊙O与（2）中线段CG的两个交点互为反等点，求r的取值范围．18．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A（2，0），B（0，2），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O的半径为，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．19．P是⊙O内一点，过点P作⊙O的任意一条弦AB，我们把PA•PB的值称为点P关于⊙O的“幂值”（1）⊙O的半径为6，OP=4．①如图1，若点P恰为弦AB的中点，则点P关于⊙O的“幂值”为；②判断当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P关于⊙0的“幂值”的取值范围；（2）若⊙O的半径为r，OP=d，请参考（1）的思路，用含r、d的式子表示点P 关于⊙O的“幂值”或“幂值”的取值范围；（3）在平面直角坐标系xOy中，C（1，0），⊙C的半径为3，若在直线y=x+b 上存在点P，使得点P关于⊙C的“幂值”为6，请直接写出b的取值范围．2018年北京一模二模压轴题参考答案与试题解析一．解答题（共19小题）1．如图1，对于平面内的点P和两条曲线L1、L2给出如下定义：若从点P任意引出一条射线分别与L1、L2交于Q1、Q2，总有是定值，我们称曲线L1与L2“曲似”，定值为“曲似比”，点P为“曲心”．例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为r1、r2（都是常数）的两个同心圆C1、C2，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M、N，因为总有是定值，所以同心圆C1与C2曲似，曲似比为，“曲心”为O'．（1）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx与抛物线y=x2、y=分别交于点A、B，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；（2）在（1）的条件下，以O为圆心，OA为半径作圆，过点B作x轴的垂线，垂足为C，是否存在k值，使⊙O与直线BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（3）在（1）、（2）的条件下，若将“y=”改为“y=”，其他条件不变，当存在⊙O与直线BC相切时，直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式．【分析】（1）过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、C，根据题意可得A（k，k2）、B（2k，2k2）、D（k，0）、C（2k，0），由AD∥BC知===，据此可得答案；（2）假设存在k值，使⊙O与直线BC相切，据此知OA=OC=2k，根据OD2+AD2=OA2及对称性可得答案．（3）同理可得A（k，k2）、B（mk，mk2）、D（k，0）、C（mk，0），由切线性质知OA=OC=mk，根据OA＞OD可得m的范围，由OD2+AD2=OA2可得k与m之间的关系式．【解答】解：（1）是，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、C，依题意可得A（k，k2）、B（2k，2k2），因此D（k，0）、C（2k，0），∵AD⊥x轴、BC⊥x轴，∴AD∥BC，∴===，∴两抛物线曲似，曲似比为；（2）假设存在k值，使⊙O与直线BC相切，则OA=OC=2k，又∵OD=k、AD=k2，并且OD2+AD2=OA2，∴k2+（k2）2=（2k）2，解得：k=3（负值舍去），由对称性可取k=﹣，综上，k=；（3）根据题意得A（k，k2）、B（mk，mk2），因此D（k，0）、C（mk，0），∵⊙O与直线BC相切，∴OA=OC=mk，由OA＞OD可得mk＞k，则m＞1，由OD=k、AD=k2，并且OD2+AD2=OA2，∴k2+（k2）2=（mk）2，整理，得：k2=m2﹣1．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是理解“曲似”的定义及平行线分线段成比例定理、切线的性质、勾股定理等知识点．2．对某一个函数给出如下定义：若存在实数k，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点（a，b1），（a+1，b2），b2﹣b1≥k都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数y=﹣x+2，当x取值a和a+1时，函数值分别为b1=﹣a+2，b2=﹣a+1，故b2﹣b1=﹣1≥k，因此函数y=﹣x+2是限减函数，它的限减系数为﹣1．（1）写出函数y=2x﹣1的限减系数；（2）m＞0，已知（﹣1≤x≤m，x≠0）是限减函数，且限减系数k=4，求m 的取值范围．（3）已知函数y=﹣x2的图象上一点P，过点P作直线l垂直于y轴，将函数y=﹣x2的图象在点P右侧的部分关于直线l翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数k≥﹣1，直接写出P点横坐标n的取值范围．【分析】（1）根据限减函数的定义即可判断；（2）根据限减函数分m＞1，，，分别构建不等式即可解决问题；（3）设P（n，﹣n2），则翻折后的抛物线的解析式为y=x2﹣2n2，对于抛物线y=﹣x2，（m﹣1，﹣（m﹣1）2），（m，﹣m2）是抛物线图象上两点，由题意：﹣m2+m2﹣2m+1≥﹣1，解得m≤1，对于抛物线y=x2﹣2n2，（m﹣1，（m ﹣1）2﹣2n2），（m，m2﹣2n2）是抛物线图象上两点，由题意：m2﹣2n2﹣[（m ﹣1）2﹣2n2}≥﹣1，解得m≥﹣1，由此即可解决问题；【解答】解：（1）当x取值a和a+1时，函数值分别为b1=2a﹣1，b2=2a+1，故b2﹣b1=2≥k，因此函数y=2x﹣1是限减函数，它的限减系数为2．（2）若m＞1，则m﹣1＞0，（m﹣1，）和（m，）是函数图象上两点，，与函数的限减系数k=4不符，∴m≤1．若，（t﹣1，）和（t，）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则0＜t≤m，，∵﹣t（t﹣1）＞0，且，∴，与函数的限减系数k=4不符．∴．若，（t﹣1，）和（t，）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则0＜t≤m，，∵﹣t（t﹣1）＞0，且，∴，当时，等号成立，故函数的限减系数k=4．∴m的取值范围是．（3）设P（n，﹣n2），则翻折后的抛物线的解析式为y=x2﹣2n2，对于抛物线y=﹣x2，（m﹣1，﹣（m﹣1）2），（m，﹣m2）是抛物线图象上两点，由题意：﹣m2+m2﹣2m+1≥﹣1，解得m≤1，对于抛物线y=x2﹣2n2，（m﹣1，（m﹣1）2﹣2n2），（m，m2﹣2n2）是抛物线图象上两点，由题意：m2﹣2n2﹣[（m﹣1）2﹣2n2}≥﹣1，解得m≥﹣1，∴满足条件的P点横坐标n的取值范围：﹣1≤n≤1．【点评】本题考查二次函数综合题、限减函数的定义、不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．3．在平面直角坐标系xOy中的某圆上，有弦MN，取MN的中点P，我们规定：”表示．以W（﹣3，0）点P到某点（直线）的距离叫做“弦中距”，用符号“d中为圆心，半径为2的圆上．（1）已知弦MN长度为2．①如图1：当MN∥x轴时，直接写出到原点O的d的长度；中的取②如果MN在圆上运动时，在图2中画出示意图，并直接写出到点O的d中值范围．（2）已知点M（﹣5，0），点N为⊙W上的一动点，有直线y=x﹣2，求到直线y=x﹣2的d中的最大值．【分析】（1）①如图所示：连接MW，PW、PO，依据垂径定理的推理可得到△PMW为直角三角形，然后依据勾股定理可求得PW的长，然后在Rt△PWO 中，依据勾股定理求解即可；②由PM=为定值，可知点P在以W为圆心，以为半径的圆上，故此当点P在x轴上时，OP有最大值和最小值；（2）由∠WPM=90°，可知点P在以MW为直径的圆上，然后再求得点D的坐标，由图可知弦中距d过圆心时，距离最大，接下来，证明△EDL为等腰直角三中角，从而可求得DL的长，最后，依据PL=PD+DL求解即可．【解答】解：（1）①如图所示：连接MW，PW、PO．∵MN=2，P为MN的中点，∴MP=1，PW⊥MN．在Rt△MWP中，由勾股定理可知：PW===．在Rt△PWO中，由勾股定理可知：OP===2．②∵PM=为定值，∴点P在以W为圆心，以为半径的圆上．∴当点P在x轴上时OP的最大值为3+，OP的最小值为3﹣．≤3+．∴3﹣≤d中（2）如图所示：由于PW是⊙W的弦心距∴PW⊥MN，∴∠WPM=90°，∴点N在运动过程中，点P在以MW为直径的圆上．由图可知直线与点P的运动轨迹形成的圆相切时，且弦中距d中过圆心时，距离最大．∵D为MW的中点，∴D（﹣4，0），PD=1．将y=0代入y=x﹣2得：x﹣2=0，解得：x=2，∴E（2，0）．∴DE=6．又∵y=x﹣2的图象与x轴夹角是45°，∴△EDL为等腰直角三角，∴DL=DE=×6=3．∴PL=PD+DL=3+1．∴d的最大值为3+1．中【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了垂径定理的推理、勾股定理、圆周角定理得到点P运动的轨迹是解答问题的关键．4．在平面直角坐标系xOy中，将任意两点P（x1，y1）与Q（x2，y2）之间的“直距”定义为：D PQ=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：点M（1，﹣2），点N（3，﹣5），则D MN=|1﹣3|+|﹣2﹣（﹣5）|=5．已知点A（1，0）、点B（﹣1，4）．（1）则D AO=1，D BO=5；（2）如果直线AB上存在点C，使得D CO为2，请你求出点C的坐标；（3）如果⊙B的半径为3，点E为⊙B上一点，请你直接写出D EO的取值范围．【分析】（1）根据“直距”定义结合点A、B的坐标，即可求出结论；（2）根据点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式，设点C的坐标为（m，﹣2m+2），根据D CO=2，即可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）设点E的坐标为（x，y），则当点E在第一象限时，D EO=x+y，当点E在第二象限时，D EO=y﹣x．作直线y=x、y=﹣x的平行线（与），找出这些平行线与y轴交点的纵坐标的最值即可得出结论．【解答】解：（1）D AO=|1﹣0|+|0﹣0|=1；D BO=|﹣1﹣0|+|4﹣0|=5．故答案为：1；5．（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将点A（1，0）、B（﹣1，4）代入y=kx+b，，解得：，∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2．设点C的坐标为（m，﹣2m+2），∵D CO=2，∴|m﹣0|+|﹣2m+2﹣0|=2，解得：m1=0，m2=，∴点C的坐标为（0，2）或（，﹣）．（3）∵点B的坐标为（﹣1，4），⊙B的半径为3，∴⊙B位于第一、二象限，设点E的坐标为（x，y），∴当点E在第一象限时，D EO=x+y，当点E在第二象限时，D EO=y﹣x．设⊙B与y轴交于点N（下面的交点），连接BN，过点B作BM⊥y轴于点M，在Rt△BMN中，BM=1，BN=3，∴MN==2，∴ON=4﹣2；设直线y=x+b经过点B，∵点B的坐标为（﹣1，4），∴4=﹣1+b，解得：b=5，∴点C′的坐标为（0，5）．过点C′作A′D′⊥直线A′D′与点A′，则A′C′=3，又∵△A′C′D′为等腰直角三角形，∴C′D′=3，∴OD′=5+3．∴4﹣2≤D EO≤5+3．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、解含绝对值符号的一元一次方程、勾股定理以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据“直距”定义求值；（2）根据“直距”定义找出关于m的含绝对值符号的一元一次方程；（3）依照题意画出图形，利用数形结合解决问题．5．已知边长为2a的正方形ABCD，对角线AC、BD交于点Q，对于平面内的点P 与正方形ABCD，给出如下定义：如果a≤PQ≤a，则称点P为正方形ABCD 的“关联点”．在平面直角坐标系xOy中，若A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，1）．（1）在P1（﹣，0），P2（，），P3（0，）中，正方形ABCD的“关联点”有；（2）已知点E的横坐标是m，若点E在直线y=x上，并且E是正方形ABCD 的“关联点”，求m的取值范围；（3）若将正方形ABCD沿x轴平移，设该正方形对角线交点Q的横坐标是n，直线y=x+1与x轴、y轴分别相交于M、N两点．如果线段MN上的每一个点都是正方形ABCD的“关联点”，求n的取值范围．【分析】（1）正方形ABCD的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间（包括两个圆上的点），由此画出图形即可判断；（2）因为E是正方形ABCD的“关联点”，所以E在正方形ABCD的内切圆和外接圆之间（包括两个圆上的点），因为E在直线上，推出点E在线段FG 上，求出点F、G的横坐标，再根据对称性即可解决问题；（3）因为线段MN上的每一个点都是正方形ABCD的“关联点”，分两种情形：①如图3中，MN与小⊙Q相切于点F，求出此时点Q的横坐标；②M如图4中，落在大⊙Q上，求出点Q的横坐标即可解决问题；【解答】解：（1）由题意正方形ABCD的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间（包括两个圆上的点），观察图象可知：正方形ABCD的“关联点”为P2，P3；（2）作正方形ABCD的内切圆和外接圆，∴OF=1，OG=，．∵E是正方形ABCD的“关联点”，∴E在正方形ABCD的内切圆和外接圆之间（包括两个圆上的点），∵点E在直线上，∴点E在线段FG上．分别作FF’⊥x轴，GG’⊥x轴，∵OF=1，，∴，．∴．根据对称性，可以得出．∴或．（3）∵、N（0，1），∴∠OMN=60°．∵线段MN上的每一个点都是正方形ABCD 的“关联点”，①MN与小⊙Q相切于点F，如图3中，∵QF=1，∠OMN=60°，∴．∵，∴．∴．②M落在大⊙Q上，如图4中，∵，，∴．综上：．【点评】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．6．在平面直角坐标系xOy中，过y轴上一点A作平行于x轴的直线交某函数图象于点D，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线交y轴于点E （E在线段OA上，E不与点O重合），则称∠DPE为点D，P，E的“平横纵直角”．图1为点D，P，E的“平横纵直角”的示意图．如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数图象与y轴交于点F（0，m），与x轴分别交于点B （﹣3，0），C（12，0）．若过点F作平行于x轴的直线交抛物线于点N．（1）点N的横坐标为9；（2）已知一直角为点N，M，K的“平横纵直角”，若在线段OC上存在不同的两点M1、M2，使相应的点K1、K2都与点F重合，试求m的取值范围；（3）设抛物线的顶点为点Q，连接BQ与FN交于点H，当45°≤∠QHN≤60°时，求m的取值范围．【分析】（1）利用抛物线的对称性即可得出结论；（2）方法1、先判断出以FN为直径的圆与OC有两个交点，得出，即可得出结论；方法2、先判断出△MOK∽△NWM，得出，当y=m时转化出关于x 的方程只有一个实数根即可得出结论；（3）先确定出．进而得出．再得出tan∠BQG==，借助30°≤∠BQG≤45°，即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴分别交于点B（﹣3，0），C（12，0），∴此抛物线的对称轴为x=，∵FN∥x轴，且F（0，m），∴N横坐标为12﹣3=9，故答案为：9，（2）方法一：∵MK⊥MN，∴要使线段OC上存在不同的两点M1、M2，使相应的点K1、K2都与点F重合，也就是使以FN为直径的圆与OC有两个交点，即r＞|m|．∵，∴．又∵m＞0，∴．方法二：∵m＞0，∴点K在x轴的上方．过N作NW⊥OC于点W，设OM=x，OK=y，则CW=OC﹣OW=3，WM=9﹣x．∵一直角为点N，M，K的“平横纵直角”，∴∠NMK=90°，∴∠OMK+∠NMW=90°，∵∠OMK+∠OKM=90°，∴∠OKM=∠WMN，∵∠KOM=∠MWN=90°，∴△MOK∽△NWM，∴∴．∴．当y=m时，，化为x2﹣9x+m2=0．当△=0，即92﹣4m2=0，解得时，线段OC上有且只有一点M，使相应的点K与点F重合．∵m＞0，∴线段OC上存在不同的两点M1、M2，使相应的点K1、K2都与点F重合时，m 的取值范围为．（3）设抛物线的表达式为：y=a（x+3）（x﹣12）（a≠0），又∵抛物线过点F（0，m），∴m=﹣36a．∴．∴．过点Q作QG⊥x轴与FN 交于点R，∴QG=m，∵FN∥x轴，∴∠QRH=90°，∵tan∠BQG=，，，∴tan∠BQG==，又45°≤∠QHN≤60°，∴30°≤∠BQG≤45°，∴当∠BQG=30°时，∴tan30°=，∴，当∠BQG=45°时，tan45°=，∴．∴m的取值范围为．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的对称性，圆的性质，相似三角形的判定和性质，新定义的理解和掌握，锐角三角函数，构造出△MOK ∽△NWM是解本题的关键．7．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M，给出如下定义：若⊙M上存在两个点A，B，使AB=2PM，则称点P为⊙M的“美好点”．（1）当⊙M半径为2，点M和点O重合时，1点P1（﹣2，0），P2（1，1），P3（2，2）中，⊙O的“美好点”是P1和P2；2点P为直线y=x+b上一动点，点P为⊙O的“美好点”，求b的取值范围；（2）点M为直线y=x上一动点，以2为半径作⊙M，点P为直线y=4上一动点，点P为⊙M的“美好点”，求点M的横坐标m的取值范围．【分析】（1）根据⊙M的“美好点”即可判断，求出直线y=x+b与⊙M相切时，b 的值即可解决问题；（2）当直线y=4与⊙M相切时，求出点M的坐标，有两个值，由此即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，∵OP1=2+r，OP2=＜r，OP3=2＞r，根据⊙M的“美好点”的定义可知，P1，P2是⊙M的“美好点”．故答案为P1和P2当直线y=x+b与⊙O相切时，设切点分别为T，该直线交x轴于K，交y轴于E．在Rt△OTK中，OT=2，∠TKO=45°，∴∠KEO=45°，OE=OT=2，∴b=2，根据对称性可知：OF=OE=2，∴b=﹣2，∴b的取值范围为：﹣2≤b≤2．（2）如图2中，当直线y=4与⊙M相切时，切点分别为E或E′，连接ME，M′E′，∵EM=E′M′=2，∴M′（2，2），m（6，6），∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜6．【点评】本题考查一次函数综合题、直线与圆的位置关系、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会在取特殊位置解决问题，属于中考压轴题．8．A为⊙C上一点，过点A作弦AB，取弦AB上一点P，若满足≤＜1，则称P为点A关于⊙C的黄金点．已知⊙C的半径为3，点A的坐标为（1，0）．（1）当点C的坐标为（4，0）时，①在点D（3，0），E（4，1），F（7，0）中，点A关于⊙C的黄金点是D和E；②直线y=x﹣上存在点A关于⊙C的黄金点P，求点P的横坐标的取值范围；（2）若y轴上存在点A关于⊙C的黄金点，直接写出点C横坐标的取值范围．【分析】（1）①根据黄金点的定义，画出图象即可判断；②由直线y=x﹣过A（1，0），且与x轴正方向夹角为30°，设直线y=x﹣与以（2，0）为圆心，1为半径的圆交于点P1，与⊙C交于点P2．推出x P=，x P′=，由此即可判断；（2）如图3中，当⊙C与y轴相切时，点C的横坐标为3，当⊙C经过C′（﹣2，0）时也满足条件，由此即可解决问题；【解答】解：（1）①如图1中，观察图象可知，黄金点是D、E．故答案为D和E；②如图2中，∵直线y=x﹣过A（1，0），且与x轴正方向夹角为30°，设直线y=x﹣与以（2，0）为圆心，1为半径的圆交于点P1，与⊙C交于点P2．∴x P=，x P′=，观察图象可知满足条件的x的范围：≤x＜．（3）如图3中，当⊙C与y轴相切时，点C的横坐标为3，当⊙C经过C′（﹣2，0）时也满足条件，观察图象可知，满足条件的点C的横坐标的取值范围为﹣2≤x＜3，故答案为：﹣2≤x＜3．【点评】本题考查一次函数综合题、直线与圆的位置关系、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会性质特殊点解决问题，属于中考压轴题．9．研究发现，抛物线y=上的点到点F（0，1）的距离与到直线l：y=﹣1的距离相等．如图1所示，若点P是抛物线y=上任意一点，PH⊥l于点H，则PF=PH．基于上述发现，对于平面直角坐标系xOy中的点M，记点M到点P的距离与点P到点F的距离之和的最小值为d，称d为点M关于抛物线y=的关联距离；当2≤d≤4时，称点M为抛物线y=的关联点．（1）在点M1（2，0），M2（1，2），M3（4，5），M4（0，﹣4）中，抛物线y=的关联点是M1，M2；（2）如图2，在矩形ABCD中，点A（t，1），点C（t+1，3）①若t=4，点M在矩形ABCD上，求点M关于抛物线y=的关联距离d的取值范围；②若矩形ABCD上的所有点都是抛物线y=的关联点，则t的取值范围是﹣2≤t≤2﹣1．【分析】（1）（1）根据“关联点”的定义得到：当点M与F在抛物线的两侧时，点F、P、M共点时，PF+MP的值最小，且FM的取值范围为：2≤FM≤4符合题意．当点M与F在抛物线的同侧时，MP+PF的值等于点M到直线l：y=﹣1的距离，求出这个距离即可判断；（2）①当点F、M、A共点时，符合题意．若点A与点M重合时，d取最小值；若点M与点C重合时，d取最大值；③根据题意知，（i）t＞0时，当点A在抛物线y=上时，t取最小值；当点C在抛物线y=上时，t取最大值．（ii）t＜0时，当点B在抛物线y=上时，t取最小值；当点D在抛物线y=上时，t取最大值．（iii）t=0时，点A与点F重合．【解答】解：（1）由题意知，当点M与F在抛物线的两侧时，点F、P、M共点时，PF+MP的值最小，且FM的取值范围为：2≤FM≤4符合题意．∵F（0，1），M1（2，0），∴FM1==，符合题意．FM4=5＞4．不符合题意；当点M与F在抛物线的同侧时，MP+PF的值等于点M到直线l：y=﹣1的距离，∵点M2到直线y=﹣1的距离为3，2＜3＜4，∴M2是抛物线y=的关联点，∵点M3到直线y=﹣1的距离为6，6＞4，不符合题意，。

2018北京高三二模数学理分类汇编-数列

2018北京高三二模分类汇编--数列一、选择、填空题1、（2018东城二模）设等比数列 {a n }的公比 q=2 ，前n 项和为S n ，则S4a2= 2、（2018顺义二模）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若11a =-，1035S =，则20a =__________3、（2018丰台二模）已知等比数列中，143527,a a a a ==，则7a =A ．127B ．19C ．13D ．34、（2018通州二模）已知等比数列{}n a 中，11a =，2327a a =，则数列{}n a 的前5项和5=S5、（2018西城二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =，23S S >，则数列{}na 的通项公式可以是____ 解答题1、（2018西城二模）（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(2)n a a a n L ≥的各项均为整数，满足：1(1,2,,)i a i n -=L ≥，且123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L ，其中10a ≠．（Ⅰ）若3n =，写出所有满足条件的数列3A ；（Ⅱ）求1a 的值；（Ⅲ）证明：120n a a a +++>L ．2、（2018海淀二模）（本小题13分）如果数列{}n a 满足“对任意正整数,,i j i j ≠，都存在正整数k ，使得k a =i a j a ”，则称数列{}n a 具有“性质P ”.已知数列{}n a 是无穷项的等差数列，公差为d （Ⅰ）若1=2a ，公差=3d ，判断数列{}n a 是否具有“性质P ”，并说明理由；（Ⅱ）若数列{}n a 具有“性质P ”，求证：10a ≥且0d ≥；{}n a（Ⅲ）若数列{}n a 具有“性质P ”，且存在正整数k ，使得2018k a =，这样的数列共有多少个？并说明理由.3、（2018东城二模）（本小题13分）设,a λ均是正整数，数列{}n a 满足：1a a =，1,2,nn n n n a a a a a 是偶数，是奇数.λ+⎧⎪=⎨⎪+⎩（I ）若33a =，5λ=，写出1a 的值；（II ）若1a =，λ为给定的正奇数，求证：若n a 为奇数，则n a l £；若n a 为偶数，则2n a l £；（III ）在（II ）的条件下，求证：存在正整数(2)n n ≥，使得1n a =.4、（2018朝阳二模）（本小题满分13分）若无穷数列{}na满足:存在*(),,p q a a p q p q =∈>N ,并且只要 p q a a =就有p i q i a ta ++=（t 为常数,1,2,3,i =L）,则称{}na具有性质T ．（Ⅰ）若{}n a 具有性质T ,且1245 4,5,1,5,3,a a a ta =====78936a a a ++=,求3a ;（Ⅱ）若无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,且=2()n n S b b +∈R ,证明存在无穷多个b 的不同取值,使得数列{}n a 有性质T ;（Ⅲ）设{}n b 是一个无穷数列,数列{}n a 中存在*(),,pq a a p q p q =∈>N ,且*1cos n n na b a n +=∈N （）.求证:“{}n b 为常数列”是“对任意正整数1a ,{}n a 都具有性质T ”的充分不必要条件.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1=0a ，2=a m ，当2n ≥时，11,,,,1,.n n n na k t Sa k t n a k t +->⎧⎪==⎨⎪+<⎩其中，k 是数列的前n 项中1i i a a +<的数对1(,)i i a a +的个数，t 是数列的前n 项中1i i a a +>的数对1(,)i i a a +的个数(1,2,3,,1)i n =-L ．（Ⅰ）若5m =，求3a ，4a ，5a 的值；（Ⅱ）若n a (3)n ≥为常数，求m 的取值范围；（Ⅲ）若数列{}n a 有最大项，写出m 的取值范围（结论不要求证明）．6、（2018昌平二模）(本小题13分)7、（2018顺义二模）（本小题满分13分）已知数列12:,,,n n A a a a L .如果数列12:,,,n n B b b b L 满足1n b a =，11k k k k b b a a --+=+，其中2,3,,k n =L ，则称n B 为n A 的“陪伴数列”.（Ⅰ）写出数列4:3,1,2,5A 的“陪伴数列”4B ；（Ⅱ）若9A 的“陪伴数列”是9B .试证明：991,,b a a 成等差数列. （Ⅲ）若n 为偶数，且n A 的“陪伴数列”是n B ，证明：1n b a =.已知集合{}123,,,...n A a a a a =，其中i N +∈，1,2≤≤>i n n ，()1()1i j A a a i j n +≤<≤表示中所有不同值的个数.（Ⅰ）设集合{}{2,4,6,8},2,4,8,16P Q ==,分别求()()11P Q 和；（Ⅱ）若集合{}2,4,8,...,2,nA =求证：()()112-=n n A ；（Ⅲ）()1A 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．9、（2018通州二模）（本小题13分）若数列{}n b 满足：对于*∈N n ，都有d b b n n =-+2（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列．（Ⅰ）若⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n 判断{}n c 是否为准等差数列，并求出{}n c 的第8项，第9项以及前9项的和9T ；（Ⅱ）设数列{}n a 满足：a a =1，且对于*∈N n ，都有n a a n n 21=++成立，{}n a 的前n 项和为n S ．（i ）求证：{}n a 为准等差数列，并求其通项公式；（ii ）求证：{}n a 为等差数列的充分必要条件是22n n S =.2018北京高三二模数学（理）分类汇编—数列答案选择 1、1522、183、A4、145、2n -+ 解答题1、（2018西城二模）（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(2)n a a a n L ≥的各项均为整数，满足：1(1,2,,)i a i n -=L ≥，且123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L ，其中10a ≠．（Ⅰ）若3n =，写出所有满足条件的数列3A ；（Ⅱ）求1a 的值；（Ⅲ）证明：120n a a a +++>L ．解：（Ⅰ）满足条件的数列3A 为：1,1,6--；1,0,4-；1,1,2-；1,2,0-．（Ⅱ）11a =-．否则，假设11a ≠-，因为10a ≠，所以11a ≥．又23,,,1n a a a -L ≥，因此有 12312312222n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+L1232(1)2(1)2(1)2(1)n n n ---+-⋅+-⋅++-⋅+-L ≥123222211n n n ---=-----=L ，这与123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L 矛盾！所以11a =-．（Ⅲ）先证明如下结论：{1,2,,1}k n ∀∈-L ，必有12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅L ≤.否则，令 12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅>L ，注意左式是2n k -的整数倍，因此 12122222n n n k n k k a a a ----⋅+⋅++⋅L ≥．所以有：12312312222n n n n na a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+L 122(1)2(1)2(1)2(1)n kn k n k -----+-⋅+-⋅++-⋅+-L ≥1222221n k n k n k -----=-----L1=，这与123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L 矛盾！所以12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅L ≤．因此有：112123121212312210,20,420,2220,2220.k k k k n n n n a a a a a a a a a a a a a a -------<⋅+⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅++⋅+LL LL ≤≤≤≤将上述1n -个不等式相加得 12121(21)(21)(21)0n n n a a a ---⋅-+⋅-++⋅-<L ， ① 又123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L，②两式相减即得 120n a a a +++>L ． 2、（2018海淀二模）（本小题13分）如果数列{}n a 满足“对任意正整数,,i j i j ≠，都存在正整数k ，使得k a =i a j a ”，则称数列{}n a 具有“性质P ”.已知数列{}n a 是无穷项的等差数列，公差为d （Ⅰ）若1=2a ，公差=3d ，判断数列{}n a 是否具有“性质P ”，并说明理由；（Ⅱ）若数列{}n a 具有“性质P ”，求证：10a ≥且0d ≥；（Ⅲ）若数列{}n a 具有“性质P ”，且存在正整数k ，使得2018k a =，这样的数列共有多少个？并说明理由.解：（Ⅰ）若12a =，公差3d =，则数列{}n a 不具有性质P ．理由如下：由题知31n a n =-，对于1a 和2a ，假设存在正整数k ，使得12k a a a =，则有312510k -=⨯=，解得113k =，矛盾！所以对任意的*k ∈N ，12k a a a ≠．（Ⅱ）若数列{}n a 具有“性质P”，则①假设10a <，0d ≤，则对任意的*n ∈N ，1(1)0n a a n d =+-⋅<.设12k a a a =⨯，则0k a >，矛盾！②假设10a <，0d >，则存在正整数t ，使得123120t t t a a a a a a ++<<<⋅⋅⋅<≤<<<⋅⋅⋅设111t k a a a +⋅=，212t k a a a +⋅=，313t k a a a +⋅=，…，1121t t k a a a ++⋅=，*i k ∈N ，1,2,,1i t =+L ，则12310t k k k k a a a a +>>>>⋅⋅⋅>，但数列{}n a 中仅有t 项小于等于0，矛盾！③假设10a ≥，0d <，则存在正整数t ，使得123120t t t a a a a a a ++>>>⋅⋅⋅>≥>>>⋅⋅⋅设112t t k a a a ++⋅=，213t t k a a a ++⋅=，314t t k a a a ++⋅=，…，1122t t t k a a a +++⋅=，*i k ∈N ，1,2,,1i t =+L ，则12310t k k k k a a a a +<<<<⋅⋅⋅<，但数列{}n a 中仅有t 项大于等于0，矛盾！综上，10a ≥，0d ≥．（Ⅲ）设公差为d 的等差数列{}n a 具有“性质P”，且存在正整数k ，使得2018k a =．若0d =，则{}n a 为常数数列，此时2018n a =恒成立，故对任意的正整数k ，21220182018k a a a =≠=⋅，这与数列{}n a 具有“性质P”矛盾，故0d ≠．设x 是数列{}n a 中的任意一项，则x d +，2x d +均是数列{}n a 中的项，设 1()k a x x d =+，2(2)k a x x d =+则2121()k k a a xd k k d -==-⋅，因为0d ≠，所以21x k k =-∈Z ，即数列{}n a 的每一项均是整数．由（Ⅱ）知，10a ≥，0d ≥，故数列{}n a 的每一项均是自然数，且d 是正整数．由题意知，2018d +是数列{}n a 中的项，故2018(2018)d ⋅+是数列中的项，设2018(2018)m a d =⋅+，则2018(2018)2018201820172018()m k a a d d m k d -=⋅+-=⨯+=-⋅，即(2018)20182017m k d --⋅=⨯．因为2018m k --∈Z ，*d ∈N ，故d 是20182017⨯的约数．所以，1,2,1009,2017,21009,22017,10092017d =⨯⨯⨯,210092017⨯⨯．当1d =时，12018(1)0a k =--≥，得1,2,...,2018,2019k =，故12018,2017,...,2,1,0a =，共2019种可能；当2d =时，120182(1)0a k =--≥，得1,2,...,1008,1009,1010k =，故12018,2016,2014,...,4,2,0a =，共1010种可能；当1009d =时，120181009(1)0a k =-⨯-≥，得1,2,3k =，故12018,1009,0a =，共3种可能；当2017d =时，120182017(1)0a k =--≥，得1,2k =，故12018,1a =，共2种可能；当21009d =⨯时，120182018(1)0a k =-⨯-≥，得1,2k =，故12018,0a =，共2种可能；当22017d =⨯时，1201822017(1)0a k =-⨯⨯-≥，得1k =，故12018a =，共1种可能；当10092017d =⨯时，1201810092017(1)0a k =-⨯⨯-≥，得1k =，故12018a =，共1种可能；当210092017d =⨯⨯时，12018210092017(1)0a k =-⨯⨯⨯-≥，得1k =，故12018a =，共1种可能．综上，满足题意的数列{}n a 共有201910103221113039+++++++=（种）．经检验，这些数列均符合题意． 3、（2018东城二模）（本小题13分）设,a λ均是正整数，数列{}n a 满足：1a a =，1,2,nn n n n a a a a a 是偶数，是奇数.λ+⎧⎪=⎨⎪+⎩（I ）若33a =，5λ=，写出1a 的值；（II ）若1a =，λ为给定的正奇数，求证：若n a 为奇数，则n a l £；若n a 为偶数，则2n a l £；（III ）在（II ）的条件下，求证：存在正整数(2)n n ≥，使得1n a =. 解：（I ）1或12.（II ）①当1,2n =时，11a =为奇数，1a λ≤成立，21a λ=+为偶数，22a λ≤.②假设当n k =时，若k a 为奇数，则k a λ≤，若k a 为偶数，则2k a λ≤. 那么当1n k =+时，若k a 是奇数，则1k k a a λ+=+是偶数，12k a λ+≤；若k a 是偶数，12kk a a λ+=≤. 此时若1k a +是奇数，则满足1k a λ+≤，若1k a +是偶数，满足12k a λλ+≤≤. 即1n k =+时结论也成立.综上，若n a 为奇数，则n a λ≤；若n a 为偶数，则2n a λ≤（III ）由（II ）知，{}n a 中总存在相等的两项.不妨设()r s a a r s =<是相等两项中角标最小的两项，下证1r =.假设2r ≥.①若r s a a λ=≤，由110,0r s a a -->>知r a 和s a 均是由1r a -和1s a -除以2得到，即有11r s a a --=，与r 的最小性矛盾；②若r s a a λ=>，由112,2r s a a λλ--≤≤知r a 和s a 均是由1r a -和1s a -加上λ得到，即有11r s a a --=，与r 的最小性矛盾；综上，1r =，则11s a a ==.即若1a =，λ是正奇数，则存在正整数(2)n n ≥，使得1n a = 4、（2018朝阳二模）（本小题满分13分）若无穷数列{}na满足:存在*(),,p q a a p q p q =∈>N ,并且只要p q a a =就有p i q i a ta ++=（t 为常数,1,2,3,i =L）,则称{}na具有性质T ．（Ⅰ）若{}n a 具有性质T ,且1245 4,5,1,5,3,a a a ta =====78936a a a ++=,求3a ;（Ⅱ）若无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,且=2()n n S b b +∈R ,证明存在无穷多个b 的不同取值,使得数列{}n a 有性质T ;（Ⅲ）设{}n b 是一个无穷数列,数列{}n a 中存在*(),,pq a a p q p q =∈>N ,且*1cos n n na b a n +=∈N （）.求证:“{}n b 为常数列”是“对任意正整数1a ,{}n a 都具有性质T ”的充分不必要条件.【解析】（Ⅰ）因为{}n a 具有性质T ,且255,a a ==所以6374859633,33,315,39,a a a a a a a a a =======由78936aa a ++=,得3315936a ++=,所以32a =,经检验符合题意.（Ⅱ）因为无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,且=2()n nS b b +∈R , 所以1=2,a b +当2n ≥时,11=222nn n n a ---=,若存在(),pq a a p q =>则1q =,取122p b -=-(,p ∈N 且2,p p ≥为常数), 则12p pq a a -==,对12p t-=,有11+1122(1,2,3)p i p p i i i a a ta i +--++====L所以数列{}n a 有性质T ,且b 的不同取值有无穷多个.（Ⅲ）证明:当{}n b 为常数列时,有n b m =(常数),*1cos ()n n a m a n +=∈N对任意正整数1a ,因为存在p q a a =,则由cos cos p q m a m a =,必有+11p q a a +=,进而有+(1,2,3,)p iq i a a i +==⋅⋅⋅,这时1t =,+(1,2,3,)p i q i a ta i +==⋅⋅⋅所以{}n a 都具有性质T .所以,“{}n b 为常数列”是“对任意正整数1a ,{}n a 都具有性质T ”的充分条件.取π,21,20,2,n n k b n k ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩*()k ∈N ,对任意正整数1a ,由*11cos (2,)nn n a b a n n --=≥∈N ,得2112πcos cos 2a b a a ==,因为1a 为正整数,所以20a ≠,且12a a ≠.322433πcos 0,cos ,2a b a a b a ====⋅⋅⋅当3n ≥时,0,21,π,22,2n n k a n k =+⎧⎪=⎨=+⎪⎩*()k ∈N对任意,p q ,则,p q 同为奇数或同为偶数, ①若,p q 同为偶数,则+(1,2,3,)p i q i a a i +==⋅⋅⋅成立; ②若,p q 同为奇数,则+(1,2,3,)p iq i a a i +==⋅⋅⋅成立; 所以若对于任意,p q 满足pq a a =,则取1t =,+1p i q i a a +=⨯,故{}n a 具有性质T ,但{}n b 不为常数列,所以“{}n b 为常数列”是“对任意正整数1a ,{}n a 都具有性质T ”的不必要条件.证毕.5、（2018丰台二模）（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1=0a ，2=a m ，当2n ≥时，11,,,,1,.n n n na k t Sa k t n a k t +->⎧⎪==⎨⎪+<⎩其中，k 是数列的前n 项中1i i a a +<的数对1(,)i i a a +的个数，t 是数列的前n 项中1i i a a +>的数对1(,)i i a a +的个数(1,2,3,,1)i n =-L ．（Ⅰ）若5m =，求3a ，4a ，5a 的值；（Ⅱ）若n a (3)n ≥为常数，求m 的取值范围；（Ⅲ）若数列{}n a 有最大项，写出m 的取值范围（结论不要求证明）．解：（Ⅰ）因为1=0a ，2=5a ，所以 12a a <，所以 3214a a =-=．因为 23a a >，所以1234341a a a a ++==-．因为34a a >，所以 54+14a a ==．所以34a =，43a =，54a =．（Ⅱ）当0m =时，30a =，40a =，当0m >时，因为 12a a <，所以 32211a a m a =-=-<，所以12342133a a a m a ++-==．因为34a a =，所以2113m m --=，所以2m =．当0m <时，因为 12a a >，所以 32211a a m a =+=+>，所以12342133a a a m a +++==．因为34a a =，所以 2113m m ++=，所以 2m =-．所以3n ≥时，1n n a a +=为常数的必要条件是 {2,0,2}m ∈-．当2m =时，341a a ==，因为当3(3)n k k ≤≤>时，1n a =，都有 102111n n S a n n+++++===L ，所以当2m =符合题意，同理 2m =-和0m =也都符合题意．所以m 的取值范围是 {2,0,2}-．（Ⅲ）{|2m m ≤-或02}m ≤≤．（若用其他方法解题，请酌情给分）6、（2018昌平二模）(本小题13分)故1,49p px ==，即36x p ==.7、（2018顺义二模）（本小题满分13分）已知数列12:,,,n n A a a a L .如果数列12:,,,n n B b b b L 满足1n b a =，11k k k k b b a a --+=+，其中2,3,,k n =L ，则称n B 为n A 的“陪伴数列”.（Ⅰ）写出数列4:3,1,2,5A 的“陪伴数列”4B ；（Ⅱ）若9A 的“陪伴数列”是9B .试证明：991,,b a a 成等差数列. （Ⅲ）若n 为偶数，且n A 的“陪伴数列”是n B ，证明：1n b a =. 解：（Ⅰ）4:5,1,4,3B -.（Ⅱ）证明：对于数列n A 及其“陪伴数列”n B ，因为19b a =，1212b b a a +=+，2323b b a a +=+，……8989b b a a +=+，将上述几个等式中的第2,4,6,8,这4个式子都乘以1-，相加得1122389122389()()()()()()n b b b b b b b a a a a a a a -+++-++=-+++-++L L即9919912b a a a a a =-+=- 故9912a b a =+所以991,,b a a 成等差数列.（Ⅲ）证明：因为1n b a =，1212b b a a +=+，2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n L这2n个式子都乘以1-，相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+L L 即1n b a -=-，1n b a =.8、（2018房山二模）（本小题13分）已知集合{}123,,,...n A a a a a =，其中i N +∈，1,2≤≤>i n n ，()1()1i j A a a i j n +≤<≤表示中所有不同值的个数.（Ⅰ）设集合{}{2,4,6,8},2,4,8,16P Q ==,分别求()()11P Q 和；（Ⅱ）若集合{}2,4,8,...,2,nA =求证：()()112-=n n A ；（Ⅲ）()1A 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由()246,268,2810,4610,4812,68141P =5+=+=+=+=+=+=得由()246,2810,21618,4812,416208+16=241Q =6+=+=+=+=+=，得（Ⅱ）证明: ()1i j a a i j n +≤<≤Q 最多有()212n n n C -=个值,()()11,2n n A -∴≤又集合{}2,4,8,...,2,nA =任取(),1,1,i j k l a a a a i j n k l n ++≤<≤≤<≤当1j ≠时,不妨设111,22,j ii j j k j a a a a a a +<+<=≤<+则即1,i j k a a a a +≠+当11,,i j k j i k a a a a =≠+≠+时， ∴当且仅当,1i k j ==时1=,i j k a a a a ++ 即所有()1i j a a i j n +≤<≤的值两两不同，()()11=,2n n A -∴（Ⅲ）()1A 存在最小值，且最小值为23n -，不妨设123...,n a a a a <<<<可得1213121......,n n n n a a a a a a a a a a -+++<<+<<<<+，∴()1i j a a i j n +≤<≤中至少有23n -个不同的数，即()123A n ≥-，取{}1,2,3,...,,A n =则，{}3,4,5,...,21,i j a a n +∈-，即i j a a +的不同值共有23n -个，故()1A 的最小值为23n -．9、（2018通州二模）（本小题13分）若数列{}n b 满足：对于*∈N n ，都有d b b n n =-+2（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列．（Ⅰ）若⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n 判断{}n c 是否为准等差数列，并求出{}n c 的第8项，第9项以及前9项的和9T ；（Ⅱ）设数列{}n a 满足：a a =1，且对于*∈N n ，都有n a a n n 21=++成立，{}n a 的前n 项和为n S ．（i ）求证：{}n a 为准等差数列，并求其通项公式；（ii ）求证：{}n a 为等差数列的充分必要条件是22n n S =.解：（Ⅰ）解：当n 为奇数时，28n n c c +-=，当n 为偶数时，28n n c c +-=，所以{}n c 为准等差数列. 且418=c ，359=c.21124)4117(25)353(9=⨯++⨯+=T （Ⅱ）（i ）证明：因为12n n a a n ++=， ①)1(221+=+++n a a n n ②②-①得22=-+n n a a ．所以，{}n a 为公差为2的准等差数列．当n 为奇数时，12121-+=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-++=a n n a a n ；当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2122， ⎩⎨⎧--+=∴为偶数）　（为奇数）（n a n n a n a n ,,1. （ii ）证明：若{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则由22=-+n n a a , 得到1d =，又122a a +=，求得12a =，所以12n a n =-. 所以2122n n a a n S n +=⋅=.若22n n S =，则112n n n a S S n -=-=-(其中2n ≥).又 1112a S ==，所以11n n a a --=，即{}n a 为等差数列.。

2018年北京市十一学校高考数学二模试卷(理科)

2018年北京市十一学校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．(★)已知，则A∩B=（）A．[-3，0）B．[-3，0]C．（0，+∞）D．[-3，+∞）2．(★)若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数为（）A．B．C．D．3．(★)已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．-＞0B．sin x-sin y＞0C．（）x-（）y＜0D．ln x+ln y＞04．(★★)已知p：∃x＞0，e x-ax＜1成立，q：函数f（x）=-（a-1）x是减函数，则p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．(★)若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．B．C．D．6．(★)四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．7．(★★)在平面直角坐标系中，如果我们定义两点A（x 1，y 1）、B（x 2，y 2）的距离d（A，B）为：d（A，B）=max{|x 1-x 2|，|y 1-y 2|}，则单位圆（到原点O（0，0）的距离等于1的所有点的轨迹）的面积为（）A．πB．1C．2D．48．(★★)已知点A（-1，-1）．若曲线T上存在两点B，C，使△ABC为正三角形，则称T为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：①x+y-3=0（0≤x≤3）；②x 2+y 2=2（- ；③y= （x＞0）．其中，“正三角形”曲线的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．(★★)已知角α终边上一点P的坐标是（2sin2，-2cos2），则sinα= ．10．(★★)过双曲线的右焦点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E，O为坐标原点，若∠OFE=2∠EOF，则b= ．11．(★★★)已知在△ABC所在平面内有两点P、Q，满足+ =0，+ + = ，若| |=4，| |=2，S △APQ= ，则•的值为．12．(★★★)设S n为数列{a n}的前n项和，已知a 1=2，对任意p、q∈N *，都有a p+q=a*）的最小值为．p+a q，则f（n）= （n∈N13．(★★★)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为万元．14．(★★★)已知函数．①若a=1时f（x）-t有3个零点，则t的取值范围为；②若f（x）的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则a的取值范围是．三、解答题（本题共6个小题，共80分）15．(★★★)如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．（Ⅰ）求∠ACP；（Ⅱ）若△APB的面积是，求sin∠BAP．16．(★★★)2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程．某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体的调查结果如表：（Ⅰ）若该班女生人数比男生人数多4人，求该班男生人数和女生人数（Ⅱ）在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（Ⅲ）若从该班调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望．17．(★★★)如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD= BC=2，E是BC的中点，AE∩BD=M，将△BAE沿着AE翻折成△B 1AE，使平面B 1AE⊥平面AECD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面B 1DM；（Ⅱ）求二面角D-AB 1-E的余弦值；（Ⅲ）在线段B 1C上是否存在点P，使得MP∥平面B 1AD，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．(★★★★)已知抛物线E：x 2=2py（p＞0），其焦点为F，过F且斜率为1的直线被抛物线截得的弦长为8．（1）求抛物线E的方程；（2）设A为E上一动点（异于原点），E在点A处的切线交x轴于点P，原点O关于直线PF的对称点为点B，直线AB与y轴交于点C，求△OBC面积的最大值．19．(★★★★★)已知函数f（x）=e x-1+a，函数g（x）=ax+lnx，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线y=x相切，求a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x）≥g（x）+1；（Ⅲ）若函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点P（x 0，y 0），证明：x 0＜2．20．(★★★★★)某条公路上依次有10个车站A 0，A 1，…，A 9，相邻两站（如A 0与A 1、A 1与A 2…）间距离均为1km，某货车从A 0站出发，跑遍各站，运送货物，且货车在每站只停留一次，最终返回A 0站，由于货运需要，货车不一定顺次停车．（如可能从出发到返回依次停车于A 0→A 5→A 4→A 8→A 7→A 3→A 6→A 2→A 9→A 1→A 0）；（1）若货车按上述示例送货，其总里程是多少？（写出结果即可）（2）求该货车可能行驶的最小里程？（3）求该货车可能行驶的最大里程？并求达到该最大里程的停靠方案数有多少种？。

2018届北京市顺义区高三第二次统练(二模)数学理试题(解析版)

顺义区2018届高三第二次统练数学试卷（理科）第一部分(选择题共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 设集合，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A.2. 若满足则的最大值为A. 1B. 3C. 4D.【答案】D【解析】根据题意，画出可行域如图所示，则当目标函数经过点时取得最大值，最大值为故选D.3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】模拟程序的运行，可得；不满足条件，执行循环体，；不满足条件，执行循环体，；此时，满足条件，退出循环，输出k的值为4．故选A．4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A. B. C. D. 16【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，该三棱锥底面是等腰三角形，底边长为4，底边上的高为4，三棱锥的高为2．故选B．5. 已知直线,其中在平面内.则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由在平面内. “”不能得到“”，反过来由“”可以得到“”，故“”是“”的必要而不充分条件.故选B.6. 若，则的大小关系为A. B. C. D.【答案】C【解析】选C.7. 已知是正△的中心．若，其中，，则的值为A. B. C. D. 2【答案】C【解析】由题是正△的中心，延长交与则即故选C.8. 已知点．若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：①；②；③．其中，“正三角形”曲线的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】①因为点不在直线上，直线与坐标轴的交点坐标为，此时．因为所以存在两点，使为正三角形，所以①是“正三角形”型曲线．②得，图形是第三象限内的四分之一圆弧，曲线线与坐标轴的交点坐标为，此时弧长，最长的弦长为如图可知三角形AMN不可能是正三角形，所以②不是“正三角形”型曲线．③利用数形结合思想，以为圆心，做一个顶角是，由图象可知当圆与曲线相交时，则存在，使使为正三角形，所以③为“正三角形”型曲线．故选C．【点睛】本题是新定义问题，解题的关键是读懂题目的意思，并且能够把形的问题转化为代数方法或几何方法去解决，本题的综合性较强，运算量较大．第二部分(非选择题共110分)二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9. 若，则x=__.【答案】1【解析】即答案为1.10. 已知为等差数列，为其前项和，若，则_______.【答案】18【解析】∵为等差数列，为其前项和，若，故选：A．即答案为18.11. 设双曲线经过点(4,1),且与具有相同渐近线,则的方程为________________;渐近线方程为__________________.【答案】(1). (2).【解析】与具有相同渐近线的双曲线方程可设为∵双曲线经过点(4,1),即双曲线方程为即对应的渐近线方程为，故答案为(1). (2).【点睛】本题主要考查双曲线的性质，求共渐近线双曲线的发出，其中利用待定系数法是解决本题的关键．12. 曲线为参数)的对称中心到直线的距离为_______.【答案】【解析】曲线为参数)表示以为圆心，以1 为半径的圆，圆心即为对称中心，则圆心到直线的距离为即答案为.13. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，他们的终边关于轴对称，若，则=__.【答案】【解析】角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称故答案为：．14. 已知是集合的非空子集，且当时，有.记满足条件的集合的个数为，则_______；_______.学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...【答案】(1). 3(2).【解析】将，，分为组，和，和，，和，单独一组，每组中的两个数必须同时属于或同时不属于一个满足条件的集合，每组属于或不属于，共两种情况，所以的可能性有，排除一个空集，则可能性为，即，，故，．三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 在中，内角所对的边分别为.已知，，的面积为9.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求及的值.【答案】(1);(2)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）由的面积,可以得到.又因为,所以同角三角函数基本关系式可求.（Ⅱ）由（Ⅰ）知在中,由余弦定理得.再由正弦定理可求的值.试题解析：（Ⅰ）因为的面积,所以,所以.因为,所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知在中,由余弦定理得,所以.又因为,所以在中,由正弦定理得.16. 2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程.某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体的调查结果如下表：（Ⅰ）若该班女生人数比男生人数多4人，求该班男生人数和女生人数（Ⅱ）在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（Ⅲ）若从该班调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为，求随机变量的分布列及其数学期望．【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）设女生人数为X，男生人数为Y，由题X-Y=4 （1）又由分层抽样可知，（2）联立（1）（2）可解得X，Y.（Ⅱ）设该生持满意态度为事件A则由古典概型可求；（Ⅲ）的可能取值有0，1，2，则由超几何分布可求的分布列及其数学期望．试题解析：（Ⅰ）不妨设女生人数为X，男生人数为Y，则可得X-Y=4 （1）又由分层抽样可知，（2）联立（1）（2）可解得X=24，Y=20.（Ⅱ）设该生持满意态度为事件A，则基本事件的总数有11种，事件A中包含的基本事件有6种，所以（Ⅲ）的可能取值有0，1，2对应的事件为从该班11名调查对象中抽取2人，2人中恰好有0人持满意态度基本事件的总数为=55，其中包含的基本事件数有种所以同理：，所以分布列为：所以期望17. 如图，在正三棱柱中，侧棱长和底面边长均为1，是的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）试问线段上是否存在点，使？若存在，求的值，若不存在，说明理由．【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）连结交于点O，连结OD，则OD是的一条中位线，则∥OD，即可证明∥平面（Ⅱ）以点D为坐标原点，DB所在直线为X轴，AD所在直线为Y轴，垂直于面ABC的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，求出及平面ADC1的一个法向量一个法向量，即可求出与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）假设点E在线段上，使，不妨设（），通过（1）（2）求得不相等，故这样的点E不存在..试题解析：（Ⅰ）连结交于点O，连结OD交于点O O是的中点又是的中点OD是的一条中位线∥OD又∥平面（Ⅱ）以点D 为坐标原点，DB 所在直线为X 轴，AD 所在直线为Y 轴，垂直于面ABC 的直线为Z 轴，建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A （0，，0），C （，0，0）在平面ADC 1中，（0，，0），设为平面ADC 1的一个法向量，则有，即不妨令，则，，所以又，则设与平面所成角为，则==与平面所成角的正弦值为.（Ⅲ）假设点E 在线段上，使不妨设（），在平面ADC 1中，（0，，0），（1）（2）由（1）可解得又（2）可解得,（1）与（2）矛盾，所以这样的点E不存在.18. 已知函数,其中.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若不等式在定义域内恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：）当时，，，求出，利用直线方程的点斜式可求求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）函数定义域为，且对进行分类讨论，可求实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）当时，∴则，又∴曲线在点处的切线方程为：（Ⅱ）函数定义域为，且下面对实数进行讨论：①当时，恒成立，满足条件②当时，由解得，从而知函数在内递增；同理函数在内递减，因此在处取得最小值∴，解得综上：当时，不等式在定义域内恒成立.19. 已知椭圆的左焦点为，左顶点为，离心率为，点满足条件. （Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于两点，记和的面积分别为，证明：.【答案】(1);(2)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出，利用求的值；（Ⅱ）方法一：分类讨论，设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理证明，求出面积，即可得出结论；方法二：依题意可设直线的方程为：，代入椭圆方程，利用韦达定理证明，求出面积，即可得出结论；试题解析：（Ⅰ）椭圆的标准方程为：∴，则，∵，解得（Ⅱ）方法一：①若直线的斜率不存在，则，，符合题意②若直线的斜率存在，因为左焦点，则可设直线的方程为：，并设.联立方程组，消去得：∴,∵∴∵，∴方法二：依题意可设直线的方程为：，并设.—5分联立方程组，消去，得∴,∵∴∵，∴【点睛】本题考查椭圆方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，三角形面积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20. 已知数列.如果数列满足，，其中，则称为的“陪伴数列”.（Ⅰ）写出数列的“陪伴数列”；（Ⅱ）若的“陪伴数列”是.试证明：成等差数列.（Ⅲ）若为偶数，且的“陪伴数列”是，证明：.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）由“陪伴数列”的定义易得：.（Ⅱ）证明：对于数列及其“陪伴数列”，因为，，，……，将上述几个等式中的第这4个式子都乘以，相加得即可证明.（Ⅲ）证明：因为，，，……，由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加即可证明试题解析：（Ⅰ）解：.（Ⅱ）证明：对于数列及其“陪伴数列”，因为，，，……，将上述几个等式中的第这4个式子都乘以，相加得即故所以成等差数列.（Ⅲ）证明：因为，，，……，由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得即，.。

北京高考理科数学2018模拟试题1(含答案、详细评标及试题难度系数分析)

普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷1（北京卷）理科数学本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟，考生务必将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并收回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，若A B =A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,2}D ．{0,1,2} 2.下列函数中，在区间(0,}+∞上为增函数的是 A．y =B ．2=(1)y x -C ．2x y -=D ．0.5log (1)y x =+3.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的 A ．充分且不必要条件 B ．必要且不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既非充分也非必要条件4.设a ，b R ∈，若a b >，则 A ．11a b< B ．lg lg a b > C ． 22a b> D ．sin sin a b > 5.若输出的S 的值为64，则判断框内应填入的条件是 A .3?k ≤ B .3?k < C .4?k ≤ D .4?k > 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．B ．C ．D ．7.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（） A ．12B ．40C ．60D ．808.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中（如图2），检查''''OM ON O M O N ===；项目③：打开过程中（如图2），检查''''OK OL O K O L ===；项目④：打开后（如图3），检查123490∠=∠=∠=∠=︒；项目⑤：打开后（如图3），检查''''AB A B C D CD ===．在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（） A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．③④⑤第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2018届北京市东城区高三二模数学试题及答案(理科)(优选.)

word.北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（二）高三数学（理科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{|12}A x x =-<<，{|2B x x =<-或1}x >，则A B =（A ）{|2x x <-或1}x > （B ）{|2x x <-或1}x >- （C ）{|22}x x -<< （D ）{|12}x x <<（2）复数(1+i)(2-i)=（A ）3+i （B ）1+i （C ）3-i （D ）1-i（3）在5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，3x 的系数为10，则实数a 等于（A ）1- （B ）12（C ）1 （D ）2 （4）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线的倾斜角为60º，且与椭圆x 25+y 2＝1有相等的焦距，则C 的方程为（A ）x 23－y 2＝1 （B ）x 29－y 23＝1 （C ）x 2－y 23＝1 （D ）x 23－y 29＝1（5）设a ，b 是非零向量，则“|a ＋b |＝|a |－|b |”是“a // b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分word.，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图.若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为12,m m ；平均数分别为12,s s ，则下面正确的是（A ） 1212,m m s s （B ）1212,m m s s （C ）1212,m m s s （D ）1212,m m s s（7）已知函数a x x g x x f +==2)(,log )(2，若存在]2,21[,21∈x x ，使得)()(21x g x f =，则a 的取值范围是（A ）[5,0] （B ）(,5][0,) （C ）(5,0) （D ）(,5)(0,)（8）A ，B ，C ，D 四名工人一天中生产零件的情况如图所示，每个点的横、纵坐标分别表示该工人一天中生产的I 型、 II 型零件数，则下列说法错误．．的是（A ）四个工人中，D 的日生产零件总数最大（B ）A ，B 日生产零件总数之和小于C ，D 日生产零件总数之和（C ）A ，B 日生产I 型零件总数之和小于II 型零件总数之和（D ）A ，B ，C ，D 日生产I 型零件总数之和小于II 型零件总数之和第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2018北京市昌平区二模数学试题(含答案)

收集数据
从八、九两个年级各随机抽取 20 名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百
分制）如下：
八年级
78 86
74
81
75
76
87
70
75
90
75 79
81
70
74
80
86
69
83
77
九年级
93 73
88
81
72
81
94
83
77
83
80 81
70
81
73
78Leabharlann 82807040
整理、描述数据
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
李老师说小丽的作法正确，请你写出她作图的依
据：
．
16. 如图，在圆 O 的内接四边形 ABCD 中，AB=3 ，AD=5，∠
BAD=60°，点 C 为弧 BD 的中点，则 AC 的长是
．
（第 16 题）三、解答题（本题共 12 道小题，共 68 分，第 17-22 题每小题 5 分，第 23-26
其中两条纵向虚线上端的数值分别
是每个年级抽出的 40 名男生身高的平均数，根据统计图提供的信息，
下列结论不合理的是（） A．六年级 40 名男生身高的中位数在第 153~158cm 组
（第 6 题）
B．可以估计该校九年级男生的平均身高比六年级的平均身高高出 18.6cm
C．九年级 40 名男生身高的中位数在第 168~173cm 组
度，小文同学做了如下的探索：根据物理学中光的反射
定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在合适的位置，刚好能在

专题01 实数的有关概念及运算-2年中考1年模拟备战2018年中考数学精品系列(原卷版)

中考系列：数学2年中考1年模拟第一篇数与式专题01 实数的有关概念及运算【题组】一、选择题1．作为世界文化遗产的长城，其总长大约为6700000m ．将6700000用科学记数法表示为（） A ．6.7×105 B ．6.7×106 C ．0.67×107 D ．67×108 2．若21a =，b 是2的相反数，则a +b 的值为（）A ．﹣3B ．﹣1C ．﹣1或﹣3D ．1或﹣3 3．正整数x 、y 满足（2x ﹣5）（2y ﹣5）=25，则x +y 等于（） A ．18或10 B ．18 C ．10 D ．26 4．﹣5的相反数是（）A ．5B ．﹣5C ．51D ．51- 5．近似数5.0×102精确到（）A ．十分位B ．个位C ．十位D ．百位6．总投资647亿元的西域高铁预计2017年11月竣工，届时成都到西安只需3小时，上午游武侯区，晚上看大雁塔将成为现实，用科学记数法表示647亿元为（）A ．647×108B ．6.47×109C ．6.47×1010D ．6.47×1011 7．某微生物的直径为0.000 005 035m ，用科学记数法表示该数为（）A ．5.035×10﹣6 B ．50.35×10﹣5 C ．5.035×106 D ．5.035×10﹣5 8．若244x x -+ 与23x y --互为相反数，则x +y 的值为（） A ．3 B ．4 C ．6 D ．99．纽约、悉尼与北京时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）：城市悉尼纽约时差/时+2﹣13当北京6月15日23时，悉尼、纽约的时间分别是（）A ．6月16日1时；6月15日10时B ．6月16日1时；6月14日10时C ．6月15日21时；6月15日10时D ．6月15日21时；6月16日12时 10．下列四个数中最大的数是（）A ．0B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣311．若数轴上表示﹣1和3的两点分别是点A 和点B ，则点A 和点B 之间的距离是（） A ．﹣4 B ．﹣2 C ．2 D ．4 12．（﹣21）÷7的结果是（） A ．3 B ．﹣3 C ．13 D ．13- 13．小亮用天平称得一个罐头的质量为2.026kg ，用四舍五入法将2.026精确到0.01的近似值为（） A ．2 B ．2.0 C ．2.02 D ．2.03 14．把0.0813写成a ×10n （1≤a ＜10，n 为整数）的形式，则a 为（） A ．1 B ．﹣2 C ．0.813 D ．8.1315．23222333m n ⨯⨯⨯=+++6474814243个个……（） A ．23n m B ．23m n C ．32m nD ．23m n16．从2，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（） A ．15 B ．25 C ．35 D ．4517．观察下列关于自然数的式子： 4×12﹣12① 4×22﹣32② 4×32﹣52③ …根据上述规律，则第2017个式子的值是（）A ．8064B ．8065C ．8066D ．8067 18．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x 为64时，输出的y 是（）A．22B．32C．23D．819．9的算术平方根是（）A．3B．﹣3C．±3D．320．估计38的值在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间21．下列四个数中，最大的数是（）A．3B．3C．0D．π22．下列实数中的无理数是（）1A．9B． C．0D．323．64的立方根是（）A．4B．8C．±4D．±824．如表是一个4×4（4行4列共16个“数”组成）的奇妙方阵，从这个方阵中选四个“数”，而且这四个“数”中的任何两个不在同一行，也不在同一列，有很多选法，把每次选出的四个“数”相加，其和是定值，则方阵中第三行三列的“数”是（）302sin60°22﹣3﹣2﹣sin45°0|﹣5|623（）﹣14（）﹣1A．5B．6C．7D．8二、填空题25．写出一个比3大且比4小的无理数：．26．如图，数轴上点A表示的实数是．27．若单项式425m nx y+-与22017m nxy -是同类项，则m ﹣7n 的算术平方根是．28．某市前年PM 2.5的年均浓度为50微克/立方米，去年比前年下降了10%，如果今年PM 2.5的年均浓度比去年也下降10%，那么今年PM 2.5的年均浓度将是微克/立方米． 29．定义一种新的运算：2*x y x y x +=，如：32153*133+?==，则()2*3*2= ． 30．已知A ，B ，C 是数轴上的三个点，且C 在B 的右侧．点A ，B 表示的数分别是1，3，如图所示．若BC =2AB ，则点C 表示的数是．三、解答题’31．计算：2)21(|275|60sin 6)2017(----+-οοπ．32．计算：2017002)1(60tan |32|)2()33(-++---+--π． 33．对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b =2a ﹣b ．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．（1）若3⊗x =﹣2011，求x 的值；（2）若x ⊗3＜5，求x 的取值范围．34．在一条不完整的数轴上从左到右有点A ，B ，C ，其中AB =2，BC =1，如图所示．设点A ，B ，C 所对应数的和是p ．（1）若以B 为原点，写出点A ，C 所对应的数，并计算p 的值；若以C 为原点，p 又是多少？（2）若原点O 在图中数轴上点C 的右边，且CO =28，求p ．【练习题组】一、选择题1．﹣|﹣2|的倒数是（） A ．2 B ．12 C ．12- D ．﹣2 2．计算（﹣2）﹣5的结果等于（）A ．﹣7B ．﹣3C ．3D ．7 3．如果向右走5步记为+5，那么向左走3步记为（） A ．+3 B ．﹣3 C ．13+ D ．13- 4．以下选项中比12-小的数是（） A ．1 B ．2 C ．12 D ．12- 5．当1＜a ＜2时，代数式|a ﹣2|+|1﹣a |的值是（）A ．﹣1B ．1C ．3D ．﹣36．从分别标有数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的七张没有明显差别的卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上的数的绝对值不小于2的概率是（）A ．17 B ．27 C ．37 D ．477．如图，数轴上点P 对应的数为p ，则数轴上与数2p-对应的点是（）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D8．若a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且满足420a b -+-=，则c 的值可以为（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．89．点A ，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a 和b ．对于以下结论：甲：b ﹣a ＜0 乙：a +b ＞0 丙：|a |＜|b | 丁：ba＞0 其中正确的是（）A ．甲乙B ．丙丁C ．甲丙D ．乙丁10．数轴上点A 、B 表示的数分别是5、﹣3，它们之间的距离可以表示为（） A ．﹣3+5 B ．﹣3﹣5 C ．|﹣3+5| D ．|﹣3﹣5| 11．（2016江苏省扬州市）已知M =219a -，N =279a a -（a 为任意实数），则M 、N 的大小关系为（） A ．M ＜N B ．M =N C ．M ＞N D ．不能确定 12．实数a 、b 满足221440a a ab b ++++=，则a b 的值为（） A ．2 B ．12 C ．﹣2 D ．12- 13．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A ．84B ．336C ．510D ．132614．13世纪数学家斐波那契的（计算书）中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为（）A ．42B ．49C ．67 D ．7715．如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm ），其中不合格的是（）A ．Φ45.02B ．Φ44.9C ．Φ44.98D ．Φ45.01 16．A ，B 是数轴上两点，线段AB 上的点表示的数中，有互为相反数的是（）A ．B ．C ．D ．17．已知点M 、N 、P 、Q 在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是（）A ．MB ．NC ．PD ．Q 18．1.58×106米的百万分之一大约是（）A ．初中学生小丽的身高B ．教室黑板的长度C ．教室中课桌的宽度D ．三层楼房的高度19．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A ．|a |＜|b |B ．a ＞bC ．a ＜﹣bD ．|a |＞|b | 20．27的运算结果应在哪两个连续整数之间（）A ．2和3B ．3和4C ．4和5D ．5和621．如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n +q =0，则m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是（）A ．pB ．qC ．mD ．n22．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简2()a a b +-的结果是（）A ．﹣2a +bB ．2a ﹣bC ．﹣bD ．b 23．4的平方根是（）A ．±2B ．﹣2C ．2D ．12±24．如图，数轴上点A ，B 分别对应1，2，过点B 作PQ ⊥AB ，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交PQ 于点C ，以原点O 为圆心，OC 长为半径画弧，交数轴于点M ，则点M 对应的数是（）A ． 3B ． 5C ． 6D ． 7 25．已知实数x ，y 满足480x y -+-=，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A ．20或16B ．20C ．16D ．以上答案均不对 26．下列说法中正确的是（） A ．12化简后的结果是22 B ．9的平方根为3C ．8是最简二次根式D ．﹣27没有立方根 27．﹣8的立方根是（）A ．2B ．﹣2C ．±2D ．32-28．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：指数运算 21=2 22=4 23=8 (31)=3 32=933=27… 新运算 log 22=1log 24=2log 28=3…log 33=1log 39=2 log 327=3…根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216=4，②log 525=5，③log 212=﹣1．其中正确的是（） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 29．38的算术平方根是（）A ．2B ．±2C ．2D ．2±30．据《云南省生物物种名录（2016版）的》介绍，在素有“动植物王国”之美称的云南，已经发现的动植物有25434种，25434用科学记数法表示为（） A ．2.5434×103B ．2.5434×104C ．2.5434×10﹣3D ．2.5434×10﹣431．科学家在实验中检测出某微生物约为0.0000035米，将0.0000035用科学记数法表示为（） A ．3.5×10﹣6B ．3.5×106C ．3.5×10﹣5D ．35×10﹣532．成都地铁自开通以来，发展速度不断加快，现已成为成都市民主要出行方式之一．今年4月29日成都地铁安全运输乘客约181万乘次，又一次刷新客流纪录，这也是今年以来第四次客流纪录的刷新，用科学记数法表示181万为（）A ．18.1×105B ．1.81×106C ．1.81×107D ．181×10433．近日，记者从潍坊市统计局获悉，2016年第一季度潍坊全市实现生产总值1256.77亿元，将1256.77亿用科学记数法可表示为（精确到百亿位）（）A ．1.2×1011B ．1.3×1011C ．1.26×1011D ．0.13×1012 34．用科学记数法表示的数是1.69×105，则原来的数是（）A ．169B ．1690C ．16900D ．169000 二、填空题35．规定：log a b （a ＞0，a ≠1，b ＞0）表示a ，b 之间的一种运算．现有如下的运算法则：log an n a =．log N M=log log n n MN（a ＞0，a≠1，N ＞0，N ≠1，M ＞0）．例如：log 223=3，log 25=1010log 5log 2，则100log 1000= ．36．实数a ，n ，m ，b 满足a ＜n ＜m ＜b ，这四个数在数轴上对应的点分别为A ，N ，M ，B （如图），若2AM =BM •AB ，2BN =AN •AB ，则称m 为a ，b 的“大黄金数”，n 为a ，b 的“小黄金数”，当b ﹣a =2时，a ，b 的大黄金数与小黄金数之差m ﹣n = ．37．计算：139282--+--= ．38．已知220x y x y -+++-=，则22x y -的值为．39．如图，O 为数轴原点，A ，B 两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC ，连接OC ，以O 为圆心，CO 长为半径画弧交数轴于点M ，则点M 对应的实数为．40．对于实数a ，b ，定义运算“*”：a *b =2 ()()a ab a b a b a b ⎧-≥⎨-<⎩．例如：因为4＞2，所以4*2=2442-⨯=8，则（-3）*（-2）= ． 41．比较大小：53-522-． 42．能够说明“2x x =不成立”的x 的值是（写出一个即可）．43．已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为m 、n ，且m 、n 满足21(2)0m n -+-=，圆心距O 1O 2=52，则两圆的位置关系为．44．高斯函数[x ]，也称为取整函数，即[x ]表示不超过x 的最大整数．例如：[2.3]=2，[﹣1.5]=﹣2．则下列结论：①[﹣2.1]+[1]=﹣2；②[x ]+[﹣x ]=0；③若[x +1]=3，则x 的取值范围是2≤x ＜3；④当﹣1≤x ＜1时，[x +1]+[﹣x +1]的值为0、1、2．其中正确的结论有（写出所有正确结论的序号）．45．（2016四川省雅安市）P 为正整数，现规定P ！=P （P ﹣1）（P ﹣2）…×2×1．若m ！=24，则正整数m = ．46．一天有8.64×104秒，一年如果按365天计算，用科学记数法表示一年有秒．三、解答题47．计算：013133tan 308(2016)()2π--+---+o． 48．请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：（1）999×（﹣15）（2）413999118999()99918555⨯+⨯--⨯．49．计算116()23÷-+，方方同学的计算过程如下，原式=116()623÷-+÷=﹣12+18=6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．50．求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法﹣﹣更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大公约数．例如：求91与56的最大公约数解：请用以上方法解决下列问题：（1）求108与45的最大公约数；（2）求三个数78、104、143的最大公约数．51．一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1，4，7，8．现规定从袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数；然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数．（1）写出按上述规定得到所有可能的两位数；（2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于4且小于7的概率．52．（2016重庆市）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=pq．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=34．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t ，t =10x +y （1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F （t ）的最大值．☞考点归纳归纳 1：实数及其分类基础知识归纳：基本方法归纳：判断一个数是不是有理数，关键是看它是不是有限小数或无限循环小数；判断一个数是不是无理数，关键在于看它是不是无限不循环小数．注意问题归纳：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；【例1】下列实数中，无理数是（）A ．0B ．2C ．﹣2D ．27归纳 2：实数的有关概念基础知识归纳：1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a |≥0；正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab =1，反之亦成立．倒数等于本身的数是1和-1．基本方法归纳：如果a 与b 互为相反数，则有a +b =0，a =-b ，反之亦成立；零的绝对值是它本身，若|a |=a ，则a ≥0；若|a |=-a ，则a ≤0注意问题归纳：零没有倒数；一个非零的数的绝对值一定是正数【例2】若244x x -+ 与23x y --互为相反数，则x +y 的值为（） A ．3 B ．4 C ．6 D ．9 归纳 3：实数的大小比较基础知识归纳：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．基本方法归纳：（1）求差比较：设a 、b是实数，,0b a b a >⇔>-,0b a b a =⇔=-b a b a <⇔<-0（2）求商比较法：设a 、b 是两正实数，;1;1;1b a bab a b a b a b a <⇔<=⇔=>⇔> （3）平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>22．注意问题归纳：实数的大小比较，一般要将其进行化简，并合理选择方法来进行比较．【例3】用“＜”号，将1)61(-、0)2(-、2)3(-、22-连接起来______【例4】已知实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则a +b 0．（填“＞”，“＜”或“=”）归纳 4：科学计数法与近似数基础知识归纳：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a ×10n ，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．基本方法归纳：利用科学计数法表示一个数，在确定n 的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）注意问题归纳：利用科学计数法表示数和转化为原数时，要注意数位的变化．【例5】PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm （1μm =0.000001m ）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们还有一定量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大影响．2.3μm 用科学记数法可表示为（）A ．23×10﹣5m B ．2.3×10﹣5m C ．2.3×10﹣6m D ．0.23×10﹣7m 归纳 5：实数的混合运算基础知识归纳：实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算．同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行基本方法归纳：实数的混合运算经常涉及到零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、二次根式等内容，要熟练掌握这些知识．注意问题归纳：实数的混合运算经常以选择、填空和解答的形式出现，是中考是热点，也是比较容易出错的地方，在解答此类问题时要注意基本性质和运算的顺序．【例6】计算：2021(2017)(12)2cos 452π-⎛⎫-+---+ ⎪⎝⎭o ．☞1年模拟一、选择题1．某桑蚕丝的直径约为0.000016米，将0.000016用科学记数法表示是（）A ．1.6×10﹣4 B ．1.6×10﹣5 C ．1.6×10﹣6 D ．16×10﹣42．23-的相反数是（） A ．32 B ．32- C ．23 D ．23-3．C 919大飞机是中国完全具有自主知识产权的干线民用飞机，其零部件总数超过100万个，请将100万用科学记数法表示为（）A ．1×106B ．100×104C ．1×107D ．0.1×1084．生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm ，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（）A ．3.2×107B ．3.2×108C ．3.2×10﹣7 D ．3.2×10﹣8 5．81-的相反数是（） A ．8 B ．﹣8 C ．18 D ．81- 6．计算12-+的结果是（）A ．-3B ．-1C ．1D ．37．下列运算错误．．的是（） A ．0(31)1-= B ．291(3)44-÷= C ．22256x x x -=- D ．3224(2)(2)m m m ÷=8．如图，数轴上点A 表示数a ，则|a |是（）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2 9．下列四个数中，最小的数是（） A ．﹣1 B ．0 C ．12D ．3 10．计算12+（﹣18）÷（﹣6）﹣（﹣3）×2的结果是（） A ．7 B ．8 C ．21 D ．36 11．在0、2、﹣1、﹣2这四个数中，最小的数为（） A ．0 B ．2 C ．﹣1 D ．﹣212．海南省是中国国土面积（含海域）第一大省，其中海域面积约为2000000平方公里，数据2000000用科学记数法表示为2×10n ，则n 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8 13．大米包装袋上（10±0.1）kg 的标识表示此袋大米重（）A ．（9.9～10.1）kgB ．10.1kgC ．9.9kgD ．10kg 14．下列四个数：﹣3，3-，﹣π，﹣1，其中最小的数是（） A ．﹣π B ．﹣3 C ．﹣1 D ．3- 15．4的算术平方根是（）A ．4B ．2C ．﹣2D ．±2 16．下列实数中，为无理数的是（）A ．﹣2B ．2C ．2D ．417．将一组数2，2，6，22，10，…，210，按下列方式进行排列：2，2，6，22，10； 23，14，4，32，25；…若2的位置记为（1，2），23的位置记为（2，1），则38这个数的位置记为（） A ．（5，4） B ．（4，4） C ．（4，5） D ．（3，5） 18．若3＜a ＜10，则下列结论中正确的是（）A ．1＜a ＜3B ．1＜a ＜4C ．2＜a ＜3D ．2＜a ＜4 二、填空题19．请写出一个无理数．20．对于实数p ，q ，我们用符号{}min ,p q 表示p ，q 两数中较小的数，如{}min 1,21=，因此{}min 2,3--= ；若{}22min (1),1x x -=，则x = ．三、解答题 21．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如a bi +（,a b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：()()()()253251372i i i i -++=++-+=+()()()21212221213i i i i i i i +⨯-=⨯-+⨯-=+-++=+；根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：3i =_________，4i =___________；（2）计算：()()134i i +⨯-；（3）计算：232017i i i i++++L ．22．规定：[x ]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x ≠n +0.5，n 为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．则下列说法正确的是．（写出所有正确说法的序号）①当x =1.7时，[x ]+（x ）+[x ）=6； ②当x =﹣2.1时，[x ]+（x ）+[x ）=﹣7； ③方程4[x ]+3（x ）+[x ）=11的解为1＜x ＜1.5；④当﹣1＜x ＜1时，函数y =[x ]+（x ）+x 的图象与正比例函数y =4x 的图象有两个交点． 23．已知实数m 、n 满足210n m -++=，则m +2n 的值为． 24．计算1+4+9+16+25+…的前29项的和是．25．若a 、b 、c 为三角形的三边，且a 、b 满足29(2)0a b -+-= ，第三边c 为奇数，则c = ．26．计算：020171(252)25(1)453-+-+--⨯．。

2018年北京市中考一二模初二题目汇总精品

10海淀二模10西城二模 13．解分式方程：xxx -+=-3331. 14．已知关于x 的一元二次方程x 2―m x ―2=0．（1）对于任意实数m ，判断此方程根的情况，并说明理由；（2）当m =2时，求些方程的根．16．已知1582=+x x ，求2)12()1(4)2)(2(++---+x x x x x 的值.18．如图，在矩形ABCD 中， AB ＝6，∠BAC =30°，点E 在CD 边上．（1）若AE =4，求梯形ABCE 的面积；（2）若点F 在AC 上，且CEA BFA ∠=∠，求AEBF 的值．23．已知：关于x 的一元二次方程04)4(2=-++-m x m x ，其中40<<m ．（1）求此方程的两个实数根（用含m 的代数式表示）；10崇文二模10丰台二模10宣武二模10石景山二模9．如果分式1232-+-x x x 的值是零，那么x 的取值是．10．分解因式：=+-x x x 4423． 14．解分式方程：xx x 31122-=- 16．已知：ab b a 4422=+（0≠ab ），求 22225369a b a b b a ba b a ab b --++++÷-的值．19．已知：如图，在四边形ABCD 中， 60=∠C ，135=∠DAB ,8=BC ，62=AB求DC 的长．23．已知关于x 的一元二次方程()0312=-+--m x m x ． DCBA（1）求证：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．10海淀一模10西城一模10朝阳一模。

高考数学试题-2018北京东城区高三理科数学二模试题最

北京市东城区2018-2018学年度第二学期综合练习（二）高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知复数2(1)(1)z a a i =-++，若z 是纯虚数，则实数a 等于（ B ） A ．2B ．1C ．1±D ．1-2.对于非零向量a ，b ，“2+0a b =”是“a//b ”的（ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 执行如图所示的程序框图,输出的T 等于（C ）A .10B .15C .20D .304.右图是一个几何体的三视图, 根据图中的数据,计算该几何体的表面积为（ D ） A ．15π B ．18πC ．22πD ．33π5. 已知不等式组1,1,0x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩表示的平面区域为M ，若直线3y kx k =-与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是（ A ）A.1[,0]3-B. 1(,]3-∞C. 1(0,]3D. 1(,]3-∞- 6.已知函数6(3)3,7,(),7.x a x x f x ax ---≤⎧=⎨>⎩若数列{}n a 满足()n a f n =*()n ∈N ，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ C ）A . 9[,3)4B . 9(,3)4C . (2,3)D . (1,3)7.已知抛物线22y px =(0)p >与双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>有相同的焦点F ，点A是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是（ D ） A .(0,)6πB .(,)64ππC . (,)43ππD . (,)32ππ8. 已知集合{1,2,3,4}A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意i A ∈，i i f ≠)(.设4321,,,a a a a 是4,3,2,1的任意一个排列，定义数表12341234()()()()aa a a f a f a f a f a ⎛⎫⎪⎝⎭，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为 ( A ) A ．216B ．108C ．48D ．24第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡相应位置的横线上．9. 命题“000,xx e x ∃∈>R ”的否定是． 10. 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知AD =6AC =，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距离为．11.已知一个样本容量为100的样本数据的频率分布直方图如图所示，样本数据落在[6,10)内的样本频数为，样本数据落在[2,10)内的频率为．12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆5cos 1,:5sin 2x C y θθ=-⎧⎨=+⎩（θ为参数）和直线46,:32x t l y t =+⎧⎨=--⎩ （t 为参数），则直线l 与圆C 相交所得的弦长等于．13. 在函数)sin()(ϕω+=x A x f (0,0)A ω>>的一个周期内，当9π=x 时有最大值21，当94π=x 时有最小值21-，若)2,0(πϕ∈，则函数解析式)(x f = ． 14. 已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若11a =，22a =，1212n n n n n n a a a a a a ++++=++，且121n n a a ++≠，则123a a a ++=_______________，2010S =_______________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， cos 2A C +=（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若3a =，b =c 的值．16．（本小题满分13分）袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）用X 表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X 的分布列和均值．17．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90DAB ∠=，//AD BC ，AD ⊥侧面PAB ，△PAB 是等边三角形，2DA AB ==， 12BC AD =，E 是线段AB 的中点．（Ⅰ）求证：PE CD ⊥；（Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积；（Ⅲ）求PC 与平面PDE 所成角的正弦值．18．（本小题满分13分）已知抛物线的焦点F 在y 轴上，抛物线上一点(,4)A a 到准线的距离是5，过点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，过M ，N 两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为T ．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）求FT MN ⋅的值；（Ⅲ）求证：FT 是MF 和NF 的等比中项．19．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，141n n S a +=+，设12n n n b a a +=-．（Ⅰ）证明数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）数列{}n c 满足21log 3n n c b =+*()n ∈N ，设1223341n nn T cc c c cc c c +=++++，若对一切*n ∈N 不等式4(2)n n mT n c >+恒成立，求实数m 的取值范围．20.(本小题满分14分)已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+． (Ⅰ) 若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围； (Ⅱ) 设m ，n +∈R ，且m n ≠，求证：ln ln 2m n m nm n -+<-．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市东城区2018-2018学年度第二学期综合练习（二）高三数学参考答案（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．B 2．A 3．C 4．D 5．A 6．C 7．D 8．A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．x ∀∈R ，xe x ≤ 10 11．32，0.412． 13．1sin(3)26x π+ 14．6，4020 注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为cos23A C +=A B C π++=，所以sinsin()222B A C π+=-=．…………………………………3分所以 21cos 12sin 23B B =-=．………………………………………7分（Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2210c c -+=．…………………………………………………………11分解得1c =．…………………………………………………………………13分 16. （本小题满分13分）解：（I ）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则3111433331227()55C C C C P A C ⋅⋅⋅==．…………………………………………………5分（II ）由题意X 所有可能的取值为：1，2，3，4.…………………………………6分31211(1)220P X C ===； 212133333331219(2)220C C C C C P X C ⋅+⋅+===； 21123636333126416(3)22055C C C C C P X C ⋅+⋅+====； 211239393331213634(4)22055C C C C C P X C ⋅+⋅+====．……………………………………………………………10分随机变量X 的均值为11916341551234220220555544EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………………13分 17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ，所以AD PE ⊥．……………………………………………………………2分又因为△PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点，所以PE AB ⊥．因为ADAB A =，所以PE ⊥平面ABCD ．…………………………………………………4分而CD ⊂平面ABCD ，所以PE CD ⊥．……………………………………………………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：PE ⊥平面ABCD ，所以PE 是四棱锥P ABCD -的高．由2DA AB ==，12BC AD =，可得1BC =．因为△PAB 是等边三角形，可求得PE =所以111(12)2332P ABCD ABCD V S PE -=⋅=⨯+⨯=9分（Ⅲ）解：以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -．则(0,0,0)E ，(1,1,0)C -，(2,1,0)D，P ．(2,1,0)ED =，EP =，(1,1,PC =-．设(,,)x y z =n 为平面PDE 的法向量．由0,0.ED EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即20,0.x y +=⎧⎪=令1x =，可得(1,2,0)=-n ．………………………12分设PC 与平面PDE 所成的角为θ．||3sin cos ,5||||PC PC PC θ⋅=<>==n n n ．所以PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35． …………………………………14分 18. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意可设抛物线的方程为22x py =(0)p ≠．因为点(,4)A a 在抛物线上，所以0p >．又点(,4)A a 到抛物线准线的距离是5，所以452p+=，可得2p =．所以抛物线的标准方程为24x y =．………………………………………………3分（Ⅱ）解：点F 为抛物线的焦点，则(0,1)F ．依题意可知直线MN 不与x 轴垂直，所以设直线MN 的方程为1y kx =+．由21,4.y kx x y =+⎧⎨=⎩ 得2440x kx --=．因为MN 过焦点F ，所以判别式大于零．设11(,)M x y ，22(,)N x y ．则124x x k +=，124x x =-．……………………………………………………6分2121(,)MN x x y y =--2121(,())x x k x x =--．由于24x y =，所以'12y x =．切线MT 的方程为1111()2y y x x x -=-， ①切线NT 的方程为2221()2y y x x x -=-． ②由①，②，得1212(,)24x x x x T +．…………………………………8分则1212(,1)(2,2)24x x x x FT k +=-=-．所以21212()2()0FT MN k x x k x x ⋅=---=．………………………10分（Ⅲ）证明：2222(2)(2)44FTk k =+-=+．由抛物线的定义知 11MF y =+，21NF y =+．则12(1)(1)MF NF y y ⋅=++2121212(2)(2)2()4kx kx k x x k x x =++=+++244k =+．所以2FTMF NF =⋅．即FT 是MF 和NF 的等比中项．…………………………………………………13分 19．（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）由于141n n S a +=+， ① 当2n ≥时，141n n S a -=+． ②①-②得 1144n n n a a a +-=-．所以 1122(2)n n n n a a a a +--=-．…………………………………………………2分又12n n n b a a +=-，所以12n n b b -=．因为11a =，且12141a a a +=+，所以21314a a =+=．所以12122b a a =-=．故数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列．…………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2n n b =，则211log 33n n c b n ==++（n ∈*N ）． 1223341n n n T c c c c c c c c +=++++1111455667(3)(4)n n =++++⨯⨯⨯++ 1144n =-+ 4(4)nn =+．……………………………………………………………………9分由4(2)n n mT n c >+，得243mn n n n +>++．即(4)(2)(3)n n m n n ++>+．所以22683n n m n n++>+．所以22383811333n m n n n n n +>+=+++++．……………………………………11分设238()133f x x x x=++++，1x ≥．可知()f x 在[1,)+∞为减函数，又15(1)4f =，则当n ∈*N 时，有()(1)f n f ≤．所以154m >．故当154m >时，4(2)n n mT n c >+恒成立．…………………………………13分20. （本小题满分14分）解：(Ⅰ) '21(1)(1)()(1)a x a x f x x x +--=-+ 22(1)2(1)x ax x x +-=+22(22)1(1)x a x x x +-+=+．………………………………………3分因为()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，所以'()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立．即2(22)10x a x +-+≥在(0,)+∞上恒成立．当(0,)x ∈+∞时，由2(22)10x a x +-+≥，得122a x x-≤+．设1()g x x x=+，(0,)x ∈+∞．1()2g x x x =+≥=．所以当且仅当1x x=，即1x =时，()g x 有最小值2．所以222a -≤．所以2a ≤．所以a 的取值范围是(,2]-∞．…………………………………………………………7分 (Ⅱ)不妨设0m n >>，则1mn>．要证ln ln 2m n m nm n -+<-，只需证112ln m m n nm n-+<，即证2(1)ln 1m m n m n n ->+．只需证2(1)ln 01m mn m n n-->+．……………………………………………………………11分设2(1)()ln 1x h x x x -=-+．由(Ⅰ)知()h x 在(1,)+∞上是单调增函数，又1m n >，所以()(1)0m h h n>=． 2(1)ln 01m m n m n n-->+所以l n l nm n m m n -+<-．………………………………………………………14分。

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