5第四章 贴体网格及其生产

( x, y ) ( x, y )

d x dx y dy d x dx y dy d x d x dx x dy y
2 2 2 2 xx xx x 2 x x x x 2 x 2 2 2 2 2 xx xx 2 x 2 x x 2 x Biblioteka §4.2 贴体坐标中的基本方程
利用坐标变换及其逆变换关系，
( x, y ) ( x, y )
x x( , ) y y ( , )
推导流体力学基本方程在计算平面中的形式。
4.2.1 导数的变换
把物理量对( x, y)的导数变换成物理量对( , )的导数。
网格生成过程
1. 任意给定，， min， min，并给定， 方向的网格数M x 1，M y 1 则在( , )平面上，网格点坐标为
i min i , j min j ,
i 0,1, , M x j 0,1, , M y
y
x 1 y x y J y x

x x x Jacobi行列式：J x y x y y y x 1 1 1 1 x y， x y， y x， y x J J J J (由此得 x， y， x， y的差分离散形式)
i 0,1, , M x ) i 0,1, , M x
(4.1.3)
注：物理平面求解域的内外边界和割线边界上的网格点是根据流场 特征给定的，可能有一定的任意性，但是，必须满足几点要求： (1) ( xi ,0 , yi ,0 ) (2) ( xi , M y , yi , M y (3)
(4.1.2)
max min M x ，max min M y 。在计算平面上，矩形区域，均匀网格。
2. 画出物理平面求解域的内外边界和割线边界； 3. 建立计算平面求解域边界和物理平面求解域边界的对应关系；
4. 在物理平面求解域的边界上划分边界网格点，定出边界网格点的坐标， 并建立和计算平面网格点的一一对应关系： (i , max ) ( xi , M y , yi , M y ( min , j ) ( x0, j , y0, j ) j 0,1, , M y ( max , j ) ( xM x , j , yM x , j ) j 0,1, , M y (i , min ) ( xi ,0 , yi ,0 )
The Elements of Computational Fluid Dynamics
第四章 贴体网格及其生成
§4.1 概述 §4.2 贴体坐标中的基本方程 §4.3 贴体网格生成方法
§4.1 概述
考虑求解域比较复杂的流体力学问题：二维翼型在无界流体中匀速运动
方案一：
图 4.1：矩形网格 把参考系建立在翼型上：翼型静止，远场来流速度恒定。 计算域：矩形区域，足够大，包围翼型的有限区域。 计算域的离散化：矩形网格，在x，y方向做均匀剖分。 算法构造：内部计算点比较简单，如：点a；边界附近计算点理论上可以解决， 但是，很困难，通用性差，格式的精度难以保证，如：点 b, c 。
方案二：
在( , )坐标系中， 计算域的边界：
const 或 const
求解域（计算平面）： 矩形区域
图 4.2：贴体网格（O型网格）
贴体坐标(body-fitted coordinate)：曲线坐标系( , ) ：翼型表面 min，远场 max，
翼型表面和远场之间环绕翼型的网格线上 min const max
：虚线构成 方向的边界，对应着 min，也对应着 max，
每一条从翼型出发到远场终止的网格线上 const
贴体网格(body-fitted grid)：由任意曲线坐标系( , )的坐标线组成的网格， 计算区域的所有边界均为一条曲线坐标的网格线。
贴体网格常见类型：结构网格(structured grid) 非结构网格(unstructured grid)
y y
1

最后，计算 xx , xy , yy , xx , xy , yy 由
x x x x
x x x x
y y xx ( x ) 2 2 xy x y yy ( y ) 2 x x y y 0 y y xx x x xy ( x y x y ) yy y y x x y y 0 y y xx x x xy ( x y x y ) yy y y x x y y 0 y y xx ( x ) 2 2 xy x y yy ( y ) 2 x x y y 0

x x y y 1 x x y y 0
分别对， 求导
( x ) 2 x x y y 2 x y ( y ) 2 xx 写成矩阵形式：x x ( x y x y ) y y xy x x y y x y ( x ) 2 2 x y ( y ) 2 yy y x ( x ) xx 2 x y ( y ) x x y y xy x x ( x y x y ) y y x x y y ( x ) 2 2 x y ( y ) 2 x x y y yy
计算度量系数的离散值 方法一：直接构造 x , y , x , y的差分近似 网格点P处 x的计算公式为
x P
Q P
xQ xP
点Q一般不是网格点，xQ 和 Q只能通过插值方法确定。
方法二：首先，定义逆变换的度量系数 x , x , y , y 等， 在贴体坐标系中，采用有限差分进行离散；
多块网格
重叠网格
非结构网格
贴体网格： 物理平面( x, y )：非均匀 计算平面( , )：均匀
网格生成：确定坐标变换关系
( const , const )
( x, y ) ( x, y )
在已经确定了坐标变换关系的条件下， 可以在计算平面中，用矩形区域均匀网格下的有限差分方法求解流体力 学方程。
结构网格：网格点的坐标可以表示为指标(i, j )的函数， 指标(i, j )也表明了网格点的相对位置关系， 如：点(i, j )与点(i 1, j )和点(i, j 1)相邻。 可用于有限差分，有限体积，有限元。
非结构网格：没有上述性质的网格。 适用于有限体积，有限元。
O型网格
H型网格
C型网格
2 2 例：直角坐标系中的Laplace方程 2 0 2 x y 把二阶导数的变换关系代入Laplace方程，得计算平面中的形式： 2 2 2 2 2 ( x ) ( y ) 2 x x y y 2 ( x ) 2 ( y ) 2 2 xx yy (4.2.5) xx yy 0
x x x y y y
一阶导数：
二阶导数： 2 x x 2 x x xx xx x x x x
求解计算平面中的偏微分方程，必须确定坐标变换系数 x , y , x , y ,
xx , xy , yy , xx , xy , yy的离散值。
4.2.2 度量系数及其计算方法
度量系数(metrics )：在导数的坐标变换公式中涉及到的坐标变换系数
x , y , x , y , xx , xy , yy , xx , xy , yy
x
i, j

xi 1, j xi 1, j 2 yi 1, j yi 1, j 2
； ；
x
i, j

xi , j 1 xi , j 1 2 yi , j 1 yi , j 1 2
y
i, j
y
i, j
然后，通过寻找 x , y , x , y 和x , x , y , y 之间的关系，确定 x , y , x , y 等的计算方法 由变换式
1
即： x x( , ) y y ( , ) x y y
y dy
x d y d
y dx

由逆变换式

x 坐标变化的Jacobi矩阵： x
i 0,1, , M x 在翼型表面上； ) i 0,1, , M x 在远场边界上；
( x0, j , y0, j ) 和( xM x , j , yM x , j ) 且( x0, j , y0, j ) ( xM x , j
j 0,1, , M 在割线边界上， , y ) j 0,1, , M 。
y Mx , j y
5. 确定物理平面求解域的内点网格( xi , j , yi , j ) (i 1, , M x 1, j 1, , M y 1), 以及与计算平面上求解域内点网格的对应关系： (i , j ) ( xi , j , yi , j ) (i 1, , M x 1, j 1, , M y 1)
2 2 2 2 2 2 yy yy 2 y 2 y y 2 y y 2