初三数学教案-一元二次方程根与系数关系1 精品

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九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关》教案、教学设计

6.课后作业，分层辅导
根据学生的个体差异，布置不同难度的课后作业，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，针对学生在课堂上的表现，进行有针对性的辅导，解决他们在学习过程中遇到的问题。
7.教学评价，持续改进
通过课堂提问、作业批改、测验等方式，了解学生的学习效果，对教学方法和策略进行调整，以提高教学质量。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的求解方法有初步的了解。在此基础上，他们对一元二次方程的根与系数之间的关系有一定的探究欲望，但可能对根的判别式和韦达定理的理解还不够深入。因此，在教学过程中，教师应充分调动学生的积极性，引导他们通过观察、思考、总结，逐步理解并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。
1.培养学生对待数学问题的认真态度，严谨治学，克服困难，勇于探索。
2.培养学生用数学的眼光观察世界，认识世界，增强学生的数学应用意识。
3.培养学生的创新精神，激发学生的学习兴趣，使学生在学习过程中体验成功，树立自信心。
在教学过程中，要注意关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，为学生的终身发展奠定基础。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在课堂的开始，我将通过一个贴近学生生活的实际问题来导入新课：“同学们，假设我们班要举行一次篮球比赛，已知比赛场地上有两个篮筐，分别距离地面一定高度。现在我们需要计算出篮球从地面抛起，到达篮筐高度时的速度。这个问题可以通过一元二次方程来求解，那么如何找到这个方程的根呢？”这个问题既能够引起学生的兴趣，又能让学生感受到数学与生活的紧密联系。
此外，学生在解决实际问题时可能会遇到一定的困难，需要教师耐心指导，帮助学生建立数学模型，提高学生的数学应用能力。同时，学生的个体差异较大，教师应关注每个学生的学习进度，针对性地进行教学辅导，使他们在原有基础上得到提高。

一元二次方程的根与系数的关系优秀教学设计(教案)

一元二次方程的根与系数的关系教学时间课题课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1．熟练掌握一元二次方程的根与系数关系。

2．灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题。

3．提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。

过程方法学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明。

情感态度培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神。

教学重点一元二次方程的根与系数关系。

教学难点对根与系数关系的理解和推导。

【教学过程】教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？二、探究新知1．课本思考。

分析：将（x- x1）（x-x²）=0化为一般形式x²-( x1+x²)x+ x1x²=0与x²+px+ q=0对比，易知p=-( x1+x²)，q= x1 x²。

即二次项系数是1的一元二次方程如果有实教师出示问题，引出课题学生初步了解本课所要研究的问题学生通过去括号、合并得到一般形式的创设问题情境，激发学生好奇心，求知欲通过思考问题，让学生知道二次项系数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积。

2．跟踪练习。

求下列方程的两根x1、x²。

的和与积。

x²+3x+2=0； x²+2x-3=0； x²-6x+5=0； x²-6x-15=03．方程2x²-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？4．一般的一元二次方程a x²+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1、x²和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。

一元二次方程的根与系数的关系-人教版九年级数学上册教案

一元二次方程的根与系数的关系——人教版九年级数学上册教案一、教学目标1.了解一元二次方程解的概念和性质，掌握求方程解的方法；2.学会熟练运用求根公式及应用一元二次方程解决实际问题；3.掌握一元二次方程根的数量及其相关系数的关系；4.培养分析、解决实际问题的能力和兴趣。

二、教学重点与难点1.教学重点：掌握一元二次方程根的数量及其相关系数的关系。

2.教学难点：能够运用一元二次方程解决实际问题。

三、教学过程1.复习回顾通过让学生进行口算或板书，回忆一元二次方程的定义和一些基本概念例如：二次项的系数、判别式等。

2.引入新知1.学生通过求解以下方程来感受一元二次方程根的划分：x2−2x+1=0，x2−2x+2=0，x2−2x+3=02.通过口算讨论发现，x2−2x+1=0这个方程有极特殊的一点，即方程的两根重合。

这便引出了一元二次方程解的概念和性质。

3.讨论不同的二次项系数对一元二次方程的根的影响。

4.讲解一元二次方程的解法，介绍求根公式并让学生观察、理解其含义。

3.例题讲解1.练习使用求根公式求解一元二次方程。

2.通过题目的加减乘除，让学生掌握如何将实际问题建立为一元二次方程，运用一元二次方程解决实际问题。

4.拓展练习通过配合精心设计的习题，引导学生总结一元二次方程根的数量和系数的关系。

5.归纳总结1.让学生回想本节课学过的知识点。

2.教师要求学生口头或书面介绍一元二次方程，比如：定义、图像、根的数量等方面的内容。

四、课后作业1.完成课本相关练习和拓展试题。

2.结合生活实际，自编3道一元二次方程及其解决实际问题的例题，写在作业本上。

五、教学反思在本节课的备课过程中，从实际出发，将一元二次方程的解和实际联系起来，让学生能够欣赏数学课程应用的实际面貌，从而激发学生的数学兴趣。

同时，在教学中也要注重实际情况的演示和练习，让学生能够充分接触到不同情境下使用一元二次方程等的运算过程，从而更加灵活地应用数学。

《一元二次方程根与系数的关系》教案

一元二次方程根与系数的关系教学目标：1、掌握一元二次方程根与系数的关系。

2、会利用定理求解一元二次方程两根之和与两根之积。

3、通过学生自己探索，发现根与系数关系，增强学生信心，激发学生对于数学的学习兴趣和探究欲望。

教学重点1、根与系数关系及运用教学难点1、如何通过求根公式发现韦达定理。

2、如何运用韦达定理解决一些一元二次方程的求解问题。

过程一、复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。

ax 2+bx+c=0 (a ≠0) x= (b 2-4ac ≥0)(2)求一个一元二次方程，使它两根分别为①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2 二、新课讲解如果方程x 2+px+q=0有两个根是x 1,x 2 那么有x 1+ x 2=-p, x 1 •x 2=q猜想：2x 2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？设x 1 、x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则两根之和与两根之积与各项系数之间有什么样的关系？ x 1+x 2= x 1·x 2=三、巩固练习a acb b 242-±-a b-ac口答下列方程的两根之和和与两根之积。

1）x 2-3x+1=0 2) x 2-2x=2 3) 2x 2-3x=0 4) 3x 2=1 判断对错，如果错了，说明理由。

1) 2x 2-11x+4=0两根之和11,两根之积4。

2） x 2+2=0两根之和0，两根之积2。

3） x 2+x+1=0两根之和-1，两根之积1。

四、能力提高例题1 已知方程x 2+kx+k+2=0的两个实数根是x 1,x 2且x 12+x 22=4求k 的值解：（略）引申:（1、若ax 2+bx +c =0 (a ≠0 且 ∆≥0) （1）若两根互为相反数,则b =0; （2）若两根互为倒数,则a =c;（3）若一根为0,则c =0 ; （4）若一根为1,则a +b +c =0 ;（5）若一根为-1,则a -b +c =0; （6）若a 、c 异号,方程一定有两个实数根例题2 方程mx 2-2mx+m-1=0(m ≠0 ) 有一个正根，一个负根，求m 的取值范围。

(人教版九年级上册数学)21.2《一元二次方程的根与系数的关系》名师教案

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调韦达定理的两个公式及其推导过程，以及判别式Δ的应用。对于难点部分，我会通过具体例子和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程根与系数关系相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用图形计算器绘制抛物线，观察不同a, b, c值对根的影响。
-对于实际问题的转化，教师可以提供多个不同背景的例子，如几何问题、物理问题等，指导学生如何提取关键信息，建立一元二次方程模型，并运用根与系数的关系求解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的根与系数的关系》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数的问题？”（如分配资源、计算面积等）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程根与系数关系的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对一元二次方程的根与系数关系这一部分内容兴趣浓厚，但同时也存在一些理解上的难点。首先，韦达定理的两个公式记忆和运用上，部分学生还存在困难。在讲解过程中，我通过具体的方程例子进行推导，希望能帮助他们更好地记忆和理解。然而，从学生的反馈来看，可能还需要在课后加强个别辅导，确保每个人都能掌握。

九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计

（二）过程与方法
1.通过引导学生在自主探究、合作交流的过程中发现一元二次方程的根与系数的关系，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
2.利用具体的实例，让学生在实际操作中掌握一元二次方程的根与系数的关系，提高学生的实际操作能力和应用能力。
3.通过对一元二次方程根与系数关系的探究，培养学生数形结合的思想，让学生学会从多角度分析问题，形成严密的逻辑思维。
5.拓展延伸，提高思维：
-通过拓展延伸性问题的设置，引导学生运用一元二次方程根与系数关系解决更复杂的问题，提高学生的思维能力和创新能力。
6.总结反馈，反思提升：
-在课堂结束前，引导学生总结所学内容，进行自我反馈，发现不足，及时改进。
-教师对课堂教学进行反思，了解学生的学习情况，调整教学策略，提高教学质量。
-根据实际问题，列出一元二次方程，并运用根与系数关系求解。
3.拓展题：
-探究一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的根与系数之间的关系，并给出证明。
-通过阅读教材或其他资料，了解一元二次方程根与系数关系在其他数学分支中的应用。
4.实践题：
-调查生活中的一元二次方程问题，例如：物品的定价与折扣、投资收益等，并运用所学知识解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
-将学生分成若干小组，针对本节课所学的一元二次方程根与系数关系，讨论以下问题：
a.一元二次方程根与系数关系在实际问题中的应用；
b.如何运用根与系数关系解决具体问题；
c.根的判别式和韦达定理在解题过程中的作用。
2.教学方法：
-采用小组合作学习法，促进学生之间的交流与讨论。
四、教学内容与过程
（一）导入新课

数学《一元二次方程根与系数的关系》教案

数学《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标：1. 知道一元二次方程的定义和一般形式；2. 能够求解一元二次方程的根；3. 知道一元二次方程根与系数的关系，掌握这种关系的应用。

教学重点：1. 一元二次方程的根与系数的关系；2. 解一元二次方程。

教学难点：1. 如何确定一元二次方程的解；2. 如何掌握一元二次方程根与系数的关系。

教学方法：1. 经验教学法；2. 归纳法；3. 演示法；4. 课堂讨论。

教学资源：1. 教材；2. ppt。

教学过程：Step 1. 引入新知识介绍今天的教学内容，告诉学生今天会讲一元二次方程的根与系数的关系。

Step 2. 一元二次方程的定义及一般形式教师简单介绍一下一元二次方程的定义，然后让学生看下面的一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0解释一下式子中的各个符号的含义，a，b，c分别代表什么。

Step 3. 如何求解一元二次方程的根让学生看下面这个一元二次方程的实例：x^2+6x+5=0请问这个一元二次方程的根是多少？教师引导学生使用求根公式：x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} 将a，b，c的值代入公式，求出x的值。

x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\times1\times5}}{2\times1}=-1或-5解释这个结果是什么意思，根是如何求得的。

Step 4. 一元二次方程根与系数的关系让学生看下面这个一元二次方程的实例：x^2+mx+n=0请问这个一元二次方程的根是多少？教师引导学生使用求根公式：x=\frac{-m\pm\sqrt{m^2-4n}}{2}然后让学生思考，如果我们知道了这个方程的根，是否可以求出m和n呢？引导学生进行讨论，发现可以求出m和n。

Step 5. 应用案例分析提供一些应用案例，让学生掌握一元二次方程根与系数的关系的应用。

例如：1. 设一元二次方程的两个根分别是3和4，求方程的一般形式。

一元二次方程的根与系数的关系数学教案

一元二次方程的根与系数的关系数学教案标题：一元二次方程的根与系数的关系I. 引言A. 课程目标B. 学习者背景C. 主题介绍II. 一元二次方程回顾A. 一元二次方程的定义B. 一元二次方程的标准形式C. 一元二次方程的解法（因式分解法、完全平方公式法、求根公式法）III. 根与系数的关系A. 定义：如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两根x₁, x₂，则有如下关系：i. x₁+x₂=-b/aii. x₁x₂=c/aB. 推导过程C. 应用实例IV. 实践活动A. 分组讨论：通过实际问题引出一元二次方程，然后利用根与系数的关系解决问题B. 小组展示：每组分享自己的解决思路和方法C. 教师点评：对各小组的表现进行评价，并进一步强调根与系数的关系的重要性V. 总结与反馈A. 本节课的主要内容回顾B. 学生自我评估学习效果C. 教师给出下一节课程的学习建议以下是一个关于根与系数的关系应用实例的部分内容示例：实例：已知一元二次方程2x²-3x-5=0有两个实数根x₁, x₂，试求下列各式的值：a) (x₁²+x₂²)b) (x₁³+x₂³)解答：根据根与系数的关系，我们有：x₁+x₂=-(-3/2)=3/2x₁x₂=-5/2对于a)，我们有：x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=(3/2)²-2(-5/2)=9/4+5=29/4对于b)，我们有：x₁³+x₂³=(x₁+x₂)(x₁²-x₁x₂+x₂²)=(3/2)[(3/2)²-2(-5/2)+x₁²+x₂²]=(3/2)[9/4+5+29/4]=67/2。

2022年初中数学精品教案《一元二次方程根与系数的关系》公开课专用

教学目标【知识与能力】使学生掌握一元二次方程根与系数关系，并初步应用．【过程与方法】不断提高学生观察分析及推理运用能力．【情感态度价值观】使学生进一步了解事物都是相互制约得辩证唯物主义关系以及由特殊到一般在有一班到特殊的思想方法．教学重难点【教学重点】根与系数的关系与应用．【教学难点】根与系数的发现与准确掌握．课前准备无教学过程一、复习提问一元二次方程一般式及求根公式让学生认识求根公式反映了根与系数关系(强调a ≠0) 引言、一元二次方程求根公式反映了根与系数关系吗？一元二次方程还有其他的根与系数关系吗？我们说有：今天我们就讲一元二次方程的根与系数关系．引出新课，板书课题．二、学生活动一(出示小黑板)解以下方程并观察x 1+x 2，x 1x 2与a ，b ，c 的关系． (1)x 2-2x =0(2)x 2-3x -4=0 2学生答：二次项系数为1是为了研究问题的方便，我们把二次项系数为1的方程设为x 2+px +q =0的形式，同学们归纳总结x 1，x 2与x 2+px +q =0系数的关系x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q ．板书型如x 2+px +q =0的方程的两根x 1，x 2那么x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q ．三、学生活动二1212板书型如ax 2+bx +c =0的方程的两根x 1，x 2那么x 1+x 2=-a b ，x 1x 2=ac，这就是一元二次方程的根与系数的关系，同学们探索如果a ，b ，c 我们可求出x 1，x 2在a ，b ，c ，x 1，x 2是否3个量就可以求出其他3个量呢，看下面的问题．例1、关于x 的方程3x 2+mx -4=0有一个根是2，求另一个根及m 的值.例2、设12,x x 是方程22510x x ++=的两个根，求以下各式的值：四、学生练习 (1)x 2-3x +1=0 (2)2x 2-9x +5=0(3)4x 2-7x +1=0 (4)2x 2+3x =0 (5)6x 2-1=0(6)3x 2-2x =-2(7)3x 2=1教师讲解同时归纳运用根与系数应注意哪些． 1、化成一般式． 2、二次项系数化1． 3、不要漏掉“—“．学生练习方程3x 2-19x +m =0的一根是1，求另一根及m 的值． (学生板演) 五、课堂小结今天这节课你学到了什么，由学生完成，教师适当讲解．思考题m 取何值时方程x 2+mx +m -1=0 (1)两根之和为1. (2)两根之积为-1. (3)两根互为倒数. (4)两根互为相反数. (5)一根为0.第1课时教学目标：（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

人教版九年级数学上册教案-21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1带教学反思

*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．探索一元二次方程的根与系数的关系．2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题．一、情境导入一般地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为已知常数，p 2－4q ≥0)，试用求根公式求出它的两个解x 1、x 2，算一算x 1＋x 2、x 1·x 2的值，你能得出什么结果？二、合作探究探究点：一元二次方程根与系数的关系【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值已知m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两实数根，则1m ＋1n的值为( ) A ．－1 B.12 C ．－12D ．1 解析：根据根与系数的关系，可以求出m ＋n 和mn 的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两实数根，所以m ＋n ＝12，mn ＝－1，1m ＋1n＝n ＋m mn ＝12－1＝－12.故选C. 方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0.【类型二】根据方程的根确定一元二次方程已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是( )A ．x 2－6x ＋8＝0B ．x 2＋9x －1＝0C ．x 2－x －6＝0D ．x 2＋x －20＝0解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1·x 2＝－20.如果令方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，a ＝1，则－b ＝－1，c ＝－20.∴方程为x 2＋x －20＝0.故选D.方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项．【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解(2014·云南曲靖)已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为________．解析：设另一根为x1，则由根与系数的关系得x1＋4＝3，∴x1＝－1.故答案为x＝－1.方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决．【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数(2014·山东烟台)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是( )A．－1或5 B．1C．5 D．－1解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决．设方程两根为x1，x2，由题意，得x21＋x22＝5.∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5.∵x1＋x2＝a，x1x2＝2a，∴a2－2×2a＝5.解得a1＝5，a2＝－1.又∵Δ＝a2－8a，当a＝5时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去a＝5.当a＝－1时，Δ>0，此时方程有两实数根．所以取a ＝－1.故选D.方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件Δ≥0，导致解答不全面．【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．解：(1)根据题意，得Δ＝(2a)2－4×a(a－6)＝24a≥0.解得a≥0.又∵a－6≠0，∴a≠6.由根与系数关系得：x1＋x2＝－2aa－6，x1x2＝aa－6.由－x1＋x1x2＝4＋x2得x1＋x2＋4＝x1x2，∴－2aa－6＋4＝aa－6，解得a＝24.经检验a＝24是方程－2aa－6＋4＝aa－6的解．即存在a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立．(2)原式＝x1＋x2＋x1x2＋1＝－2aa－6＋aa－6＋1＝66－a为负整数，则6－a为－1或－2，－3，－6.解得a＝7或8，9，12.三、板书设计教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件.~。

初中数学初三数学下册《一元二次方程的根与系数关系》教案、教学设计

3.思考拓展题：完成以下题目，鼓励学生进行深度思考，提高学生的几何思维能力。
（1）已知一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的两个根分别为α和β。请证明：若α + β为定值，当a > 0时，αβ的最大值为(b^2 - 4ac) / (4a)。
（2）已知抛物线y = ax^2 + bx + c与x轴的交点为（α，0）和（β，0）。请证明：当a > 0时，线段[α，β]的长度为2√[(α + β)^2 - 4αβ]。
3.学会运用韦达定理求解一元二次方程的根，并能解决实际问题中涉及一元二次方程根的计算问题。
4.能够运用一元二次方程的根与系数关系分析解决几何问题，提高学生的几何思维能力。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，学生将通过以下过程与方法提高数学素养：
1.通过自主探究、合作学习等方式，发现一元二次方程根与系数之间的关系，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
3.重点：培养学生合作学习的意识和能力，通过小组讨论和互助学习，提高学生的问题解决能力。
难点：如何在小组合作中平衡学生的参与度，确保每个学生都能在合作中收获知识和技能。
（二）教学设想
1.引入：通过一个实际问题的情景引入，如设计一个与一元二次方程相关的实际情境，让学生感受到数学知识在解决现实问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
（二）讲授新知
1.判别式的概念：讲解判别式的定义，引导学生理解判别式元二次方程的根与系数之间的关系，并总结规律。
3.韦达定理：介绍韦达定理，并用实例讲解其应用方法。
4.数形结合：利用几何图形，如抛物线与x轴的交点，形象地展示一元二次方程的根与系数关系。
二、学情分析
针对初三学生的年龄特点和认知水平，他们对一元二次方程已有一定的了解，具备了一定的数学基础。在此基础上，学生对本章节内容的掌握程度有以下特点：

一元二次方程根与系数的关系教案(完美版)

一元二次方程根与系数的关系一、教学目标（一）知识与技能掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．（二）过程与方法培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．（三）情感、态度与价值观1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：根与系数的关系及其推导．2．教学难点：正确理解根与系数的关系．3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．三、教学过程（一）明确目标一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．在线分享文档设x 1、x 2是方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根．以上一名学生在板书，其它学生在练习本上推导．由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么x 1我们就可把它写成x 2+px+q=0．结论2．如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q ．结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）x 2-2x ＋1＝0；（2）x 2-9x ＋10＝0；（3）2x 2-9x ＋5＝0；（4）4x 2-7x ＋1＝0；（5）2x 2-5x ＝0；（6）x 2-1＝0此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系． 3．一元二次方程根与系数关系的应用．（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．在线分享文档验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要注意-b/a的负号。

初中数学《一元二次方程根与系数关系》教案

初中数学《一元二次方程根与系数关系》教案一、教学目标1.理解一元二次方程的概念，能够列出一元二次方程；2.理解一元二次方程的根的概念，能够求解一元二次方程的根；3.熟练掌握一元二次方程的系数与根之间的关系；4.能够运用所学知识解决实际问题。

二、教学重点1.一元二次方程的根的概念；2.一元二次方程的系数与根之间的关系；3.运用一元二次方程解决实际问题。

三、教学难点1.理解一元二次方程根与系数之间的关系；2.运用所学知识解决实际问题。

四、教学过程1. 导入1.明确本节课教学目标；2.回顾上节课所学习的知识点：如何列出一元二次方程及如何求解一元二次方程的根。

2. 学习一元二次方程根与系数关系1.讲解一元二次方程根的概念；2.讲解一元二次方程系数与根之间的关系，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根为 $x_i=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中$\\sqrt{b^2-4ac}$ 称为一元二次方程的判别式 $\\Delta$；3.讲解一元二次方程根的性质，即当判别式 $\\Delta>0$ 时，方程有两个不相等的实根；当 $\\Delta=0$ 时，方程有两个相等的实根；当$\\Delta<0$ 时，方程没有实根，但有复数根；4.根据所学知识，解决一些简单的练习题。

3. 运用所学知识解决实际问题1.讲解如何运用一元二次方程解决实际问题；2.讲解如何将实际问题转化为一元二次方程；3.根据所学知识，解决一些实际问题。

4. 总结1.总结本节课所学知识点；2.强调一元二次方程根与系数之间的关系；3.强调运用所学知识解决实际问题的重要性。

五、教学后记本节课重点讲解了一元二次方程根与系数之间的关系，并以实际问题为例进行了多次练习。

希望同学们能够掌握本节课所学知识，善于将实际问题转化为数学问题，并能够运用所学知识解决实际问题。

数学教案-一元二次方程的根与系数的关系(一)

数学教案－一元二次方程的根与系数的关系(一)一、教学目标 1.把握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数； 2.通过根与系数的教学，进一步培育同学分析、观看、归纳的力量和推理论证的力量； 3.通过本节课的教学，向同学渗透由特别到一般，再由一般到特别的熟悉事物的规律。

教学重点和难点：二、重点难点疑点及解决方法 1.教学重点：根与系数的关系及其推导。

2.教学难点：正确理解根与系数的关系。

3.教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。

4.解决方法；在实数范围内运用韦达定理，必需留意这个前提条件，而应用判别式的前提条件是方程必需是一元二次方程，即二次项系数，因此，解题时，要依据题目分析题中有没有隐含条件和。

三、教学步骤（一）教学过程 1.复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。

（2）解方程①，②。

观看、思索两根和、两根积与系数的关系。

在老师的引导和点拨下，由沉重得出结论，老师提问：全部的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？ 2.推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系。

设是方程的两个根。

∴ ∴以上一名同学板书，其他同学在练习本上推导。

由此得出，一元二次方程的根与系数的关系。

（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1.假如的两个根是，那么。

假如把方程变形为。

我们就可把它写成。

的形式，其中。

从而得出：结论2.假如方程的两个根是，那么。

结论1具有一般形式，结论2有时给讨论问题带来便利。

练习1.（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）此组练习的目的是更加娴熟把握根与系数的关系。

3.一元二次方程根与系数关系的应用。

（1）验根。

（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。

①；②；③；④；⑤。

验根是一元二次方程根与系数关系的简洁应用，应用时要留意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成一般形式，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要留意中的负号。

初中九年级数学教案-一元二次方程的根与系数的关系-全市获奖

数关系，求下列方程两个根的和与积：
（1）
（2）
五：习题演练
练习：根据一元二次方程根与系数关系，求下列方程两个根的和与积：
（1）
（2）
（3）
六：能力提升
前测第2题：已知关于的方程的一个根是，则它的另一个根是．
（简便算法）
1方程有一个根是，则方程的另一个根是
学习重点
一元二次方程的根与系数的关系
学习难点
对一元二次方程的根与系数的关系的理解和推导
教学
方式
电子书包
三
学
教
过
程
学教内容
学生活动
教师活动
一：课前讨论
电子书包讨论区：
主题---一元二次方程解法思维导图
二：复习
1、一元二次方程的一般形式：
a2＋b＋c＝0a≠0
2、求根公式：
时，
3、根与系数的关系
1不解方程判别根
a2＋b＋c＝0a≠0
系数化一2＋＋ =0
对照方程2pq=0，可得结论：
=
=
4、证明结论
若，△≥0），两根为
求证；
证明：由求根公式得：
，
∴
符号语言：
；
文字语言：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数比的相反数；两个根的积等于常数项与二次项系数的比。
带领学生重做，引入时学生出的题
此结论有何用韦达定理
通过教学三种（两种）语言的表现形式，提升学生数学思维能力
重做引入时学生出的题，获得成就感
韦达定理及其用处
例题讲解
订正
（先求解、关系混淆、未整理）
回顾前测第二题
进一步熟悉根与系数关系的应用
统计正确率

人教版九年级数学教案-一元二次方程的根与系数的关系(1)

*2.5一元二次方程的根與係數的關係1．掌握一元二次方程的根與係數的關係；(重點)2．會利用根與係數的關係解決有關的問題．(難點)一、情景導入解下列方程，將得到的解填入下麵的表格中，你發現表格中兩個解的和與積和原來的方程有什麼聯繫？(1)x2－2x＝0；(2)x2＋3x－4＝0；(3)x2－5x＋6＝0.方程x1x2x1＋x2x1·x2二、合作探究探究點一：一元二次方程的根與係數的關係利用根與係數的關係，求方程3x2＋6x－1＝0的兩根之和、兩根之積．解析：由一元二次方程根與係數的關係可求得．解：這裏a＝3，b＝6，c＝－1.Δ＝b 2－4ac ＝62－4×3×(－1)＝36＋12＝48＞0， ∴方程有兩個實數根．設方程的兩個實數根是x 1，x 2，那麼x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－13.方法總結：如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有兩個實數根x 1，x 2，那麼x 1＋x 2＝－b a，x 1x 2＝ca.探究點二：一元二次方程的根與係數的關係的應用【類型一】利用根與係數的關係求代數式的值設x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的兩個根，利用根與係數的關係，求下列各式的值：(1)(x 1＋2)(x 2＋2)； (2)x 2x 1＋x 1x 2.解析：先確定a ，b ，c 的值，再求出x 1＋x 2與x 1x 2的值，最後將所求式子做適當變形，把x 1＋x 2與x 1x 2的值整體代入求解即可．解：根據根與係數的關係，得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－32.(1)(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝－32＋2×(－2)＋4＝－32；(2)x 2x 1＋x 1x 2＝x 22＋x 12x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝（－2）2－2×（－32）－32＝－143.方法總結：先確定a ，b ，c 的值，再求出x 1＋x 2與x 1x 2的值，最後將所求式子做適當的變形，把x 1＋x 2與x 1x 2的值整體代入求解即可．【類型二】已知方程一根，利用根與係數的關係求方程的另一根已知方程5x 2＋kx －6＝0的一個根為2，求它的另一個根及k 的值．解析：由方程5x 2＋kx －6＝0可知二次項係數和常數項，所以可根據兩根之積求出方程另一個根，然後根據兩根之和求出k 的值．解：設方程的另一個根是x 1，則2x 1＝－65，∴x 1＝－35.又∵x 1＋2＝－k5，∴－35＋2＝－k5，∴k ＝－7. 方法總結：對於一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)，當已知二次項係數和常數項時，可求得方程的兩根之積；當已知二次項係數和一次項係數時，可求得方程的兩根之和．【類型三】判別式及根與係數關係的綜合應用已知α、β是關於x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的兩個不相等的實數根，且滿足1α＋1β＝－1，求m 的值．解析：利用韋達定理表示出α＋β，αβ，再由1α＋1β＝－1建立方程，求解m 的值．解：∵α、β是方程的兩個不相等的實數根， ∴α＋β＝－(2m ＋3)，αβ＝m 2. 又∵1α＋1β＝α＋βαβ＝－（2m ＋3）m 2＝－1，化簡整理，得m 2－2m －3＝0. 解得m ＝3或m ＝－1.當m ＝－1時，方程為x 2＋x ＋1＝0，此時Δ＝12－4＜0，方程無解， ∴m ＝－1應舍去．當m ＝3時，方程為x 2＋9x ＋9＝0，此時Δ＝92－4×9＞0，方程有兩個不相等的實數根．綜上所述，m ＝3.易錯提醒：本題由根與係數的關係求出字母m 的值，但一定要代入判別式驗算，字母m 的取值必須使判別式大於0，這一點很容易被忽略．三、板書設計一元二次方程的根与系数的关系⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧关系：如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根x 1，x 2，那么x 1＋x2＝－b a ，x 1x 2＝ca 应用⎩⎪⎨⎪⎧利用根与系数的关系求代数式的值已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根判别式及根与系数的关系的综合应用讓學生經歷探索，嘗試發現韋達定理，感受不完全的歸納驗證以及演繹證明．通過觀察、實踐、討論等活動，經歷發現問題、發現關係的過程，養成獨立思考的習慣，培養學生觀察、分析和綜合判斷的能力，激發學生發現規律的積極性，激勵學生勇於探索的精神．通過交流互動，逐步養成合作的意識及嚴謹的治學精神.。