【精品】高一数学下学期期末考试试题文(含解析)
高一数学下期期末考试试题含解析
卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹第二学期期末考试试卷高一数学一：选择题。
1.假设sin 0α<，且tan 0α>，那么α是〔〕A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角 【答案】C 【解析】sin 0α<，那么α的终边在三、四象限；tan 0α>那么α的终边在三、一象限，sin 0α<，tan 0α>，同时满足，那么α的终边在三象限。
2.4sin()3π-的值等于()A.12 B.－12D.【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式把4sin()3π-化简成sin 3π.【详解】44sin()sin()sin 333πππ-=-==【点睛】此题考察诱导公式的应用，即把任意角的三角函数转化成锐角三角函数，考察根本运算求解才能. 3.(3,0)AB =，那么AB等于() A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】 【详解】因为(3,0)AB =，所以93AB =+=，应选B.4.如图是某体育比赛现场上评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别是() A. B.85和C.D.【答案】B 【解析】 【分析】去掉最低分79分，最高分93分，利用平均数的计算公式求得85x=，利用方差公式求得2 1.6s =.【详解】去掉最低分79分，最高分93分，得到数据84,84,84,86,87， 该组数据的平均数8484848687855x++++==，222222(8485)(8485)(8485)(8685)(8785) 1.65s -+-+-+-+-==.【点睛】此题考察从茎叶图中提取信息，并对数据进展加工和处理，考察根本的运算求解和读图的才能. 5.函数y=2cos 1x -的最大值、最小值分别是() A.2，－2 B.1，－3C.1，－1D.2，－1【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数有界性确定最值.【详解】因为1cos 1x -≤≤，所以2cos 1[3,1]y x =-∈-，即最大值、最小值分别是1，－3，选B.【点睛】此题考察余弦函数有界性以及函数最值，考察根本求解才能，属基此题. 6.sin 20︒cos 40︒＋cos20°sin40°的值等于A.14B.2C.12D.4【答案】B 【解析】由题可得，000002040+2040=60sin cos cos sin sin =.应选B.7.向量(4,2)a=-，向量,)5(b x =，且//a b ，那么x 等于()A.10B.5C.52-D.10-【答案】D 【解析】 【分析】由两向量平行，其向量坐标穿插相乘相等，得到452x ⨯=-. 【详解】因为//a b ，所以452x ⨯=-，解得：10x =-.【点睛】此题考察向量平行的坐标运算，考察根本运算，注意符号的正负. 8.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是() A.至少有一个红球与都是红球 B.至少有一个红球与都是白球 C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有两个红球【答案】D 【解析】【详解】试题分析：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况一共有以下几种： 3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球． 选项A 中，事件“都是红球〞是事件“至少有一个红球〞的子事件,不是互斥事件； 选项B 中，事件“至少有一个红球〞与事件“都是白球〞是对立事件；选项C 中，事件“至少有一个红球〞与事件“至少有一个白球〞的交事件为“2个红球1个白球〞与“1个红球2个白球〞,不是互斥事件；选项D 中，事件“恰有一个红球〞与事件“恰有二个红球〞互斥不对立 考点：互斥事件与对立事件 9.函数()y Asin x ωϕ=+的局部图象如以下图，那么〔〕A.2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出w ，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式． 【详解】根据函数()y Asin x ωϕ=+的局部图象，可得2A =，236T πππω==+，解得2w =，再根据五点法作图，可得232ππϕ⨯+=，解得6πϕ=-，故()226f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，应选：A ．【点睛】此题主要考察由函数()y Asin x ωϕ=+的局部图象求解析式，其中解答中函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出w ，由五点法作图求出ϕ的值是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．10.设函数()sin(2)2f x x π=-〔x ∈R 〕，那么()f x 是 A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数 【答案】B 【解析】∵f (x )＝sin 22x π⎛⎫-⎪⎝⎭＝－cos2x ， ∴f (x )为偶函数，周期T ＝π. 11.假设将一个质点随机投入长方形ABCD 中，其中2,1AB BC ==，那么质点落在以AB 为直径的半圆内的概率为〔〕A.8π B.6π C.4π D.2π 【答案】C 【解析】 【分析】质点落在以AB 为直径的半圆内的概率等于半圆面积与长方形面积比. 【详解】如以下图：2,1AB BC ==，2112214S P S ππ⋅⋅===⋅半圆长方形.【点睛】此题考察几何概型的概率计算，注意概率值是半圆面积与长方形面积的比值，与单个图形面积的12.[2021·沙期末]在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，其中a ，b 不一共线，那么四边形ABCD 为() A.平行四边形 B.矩形C.梯形D.菱形【答案】C 【解析】 ∵AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝－8a －2b ＝2BC ，AB 与CD 不平行，∴四边形ABCD 为梯形．二、填空题． 13.角α的终边经过点()3,4P ，那么cos α的值是____________.【答案】35【解析】 【分析】由题意和任意角的三角函数的定义求出cos a 的值即可． 【详解】由题意得角α的终边经过点()3,4P，那么5OP =，所以3cos 5x a OP ==，故答案为35． 【点睛】此题考察任意角的三角函数的定义，属于根底题． 14.向量a ＝(3，2)，b ＝(0，－1)，那么向量3b －a 的坐标是． 【答案】(3,5)-- 【解析】 试题分析：因为(3,2),(0,1)ab ==-,所以33(0,1)(3,2)(3,5)b a -=--=--.考点：向量坐标运算.15.ABC ∆三个顶点的坐标分别为(1,0),(1,2),(0,)A B C c -，假设AB ⊥BC ，那么c 的值是______．【解析】 【分析】 求出(2,2),(1,2)AB BC c ==--，再利用AB ⋅0BC =，求得3c =.【详解】(2,2),(1,2)AB BC c ==--，因为AB ⊥BC ，所以2(1)2(2)0c ⨯-+⨯-=，解得：3c =.【点睛】此题考察向量的坐标表示、数量积运算，要注意向量坐标与点坐标的区别.16.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如以下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出80人作进一步调查，那么在[1500，2000)(元)月收入段应抽出人. 【答案】16 【解析】试题分析：由频率分布直方图知，收入在1500--2000元之间的概率为0．0004×500=0．2，所以在[1500，2000〕〔元〕月收入段应抽出80×0．2=16人。
吉林省长春市市第四十五中学高一数学文下学期期末试卷含解析
吉林省长春市市第四十五中学高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为２ｃｍ，则球的表面积是（）Ａ、８ｃｍ２Ｂ、１２ｃｍ２Ｃ、１６ｃｍ２Ｄ、２０ｃｍ２参考答案：B略2. 函数的定义域是（）A．(－3,0] B．(－3,1] C.(－∞,－3)∪(－3,0] D．(－∞,－3)∪(－3,1]参考答案：A由题意得，所以3. 函数的定义域为（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据正切函数的定义域可知，化简即可求出.【详解】因为，所以故函数的定义域为，选D.4. 已知函数，则的值是( )A． B． C．D．参考答案：A略5. 已知函数的定义域为，的定义域为，则（）A．B．C．D．参考答案：C6. 设是方程的解，且，则（）A．4 B．5 C．7 D．8参考答案：C7. 某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20]，[20,22.5]，[22.5,25]，[25,27.5]，[27.5,30].根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（）A．68 B．72 C．76 D．80参考答案：B8. 定义符号函数，设，若，则f(x)的最大值为（ ）A ．3B ．1C ．D ．参考答案：B 略9. 若，则下列不等式中不正确的是（）A. B. C. D.参考答案：C 【分析】根据不等式的性质和基本不等式，即可作出判断，得到答案.【详解】由题意，不等式，可得，则，，所以成立，所以A 是正确的；由，则，所以，因为，所以等号不成立，所以成立，所以B 是正确的；由且，根据不等式的性质，可得，所以C 不正确；由，可得，所以D 是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，以及基本不等式的应用，其中解答中根据不等式的性质求得的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10. 若对任意的，函数满足，且，则( ▲ )A ．B .C ．D ．参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知点在角的终边上，则．参考答案：∵，∴， ∴，，∴．12. 已知cos2α=﹣，那么tan 2α的值为．参考答案：【考点】GT ：二倍角的余弦．【分析】利用半角公式、正切函数二倍角公式、同角三角函数关系式求解即可得答案．【解答】解：∵cos2α=﹣，∴tan2α===．故答案为：．13. 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若，2sin A＝3sin C，则_____．参考答案：－∵，∴由正弦定理，可得2a=3c，∴a=∵b+c=2a，∴b=∴cosB==﹣14. 不等式的解集是．参考答案：{x|﹣2＜x＜1}【考点】不等式的解法．【分析】由方程化为x﹣1与x+2的乘积为负数，得到x﹣1与x+2异号，转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．【解答】解：方程化为（x﹣1）（x+2）＜0，即或，解得：﹣2＜x＜1，则不等式的解集为{x|﹣2＜x＜1}．故答案为：{x|﹣2＜x＜1}15. = ．参考答案：6略16. （4分）在空间直角坐标系中，在z轴上求一点C，使得点C到点A（1，0，2）与点B（1，1，1）的距离相等，则点C的坐标为．参考答案：（0，0，1）考点：空间中的点的坐标．专题：计算题．分析：根据点C在z轴上，设出点C的坐标，再根据C到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AC，BC，解方程即可求得C的坐标．解答：解：设C（0，0，z）由点C到点A（1，0，2）与点B（1，1，1）的距离相等，得12+02+（z﹣2）2=12+12+（z﹣1）2解得z=1，故C（0，0，1）故答案为：（0，0，1）．点评：考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题．17. 已知数列的通项公式是,其前n项和是,则对任意的（其中*），的最大值是 .参考答案：10三、解答题：本大题共5小题，共72分。
高一数学下学期期末考试试题 文含解析
中学2021-2021学年高一数学下学期期末考试试题 文〔含解析〕一、选择题(在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)20x +-=的倾斜角为〔 〕A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°【答案】A 【解析】 【分析】现求出直线2=0x -的斜率，再根据斜率是倾斜角的正切值，计算倾斜角即可.【详解】设倾斜角为α，因为直线2=0x -的斜率为-3，所以tan α=，又因为[0,180]α∈ 所以0150α=，应选A. 【点睛】此题主要考察了直线的倾斜角与斜率之间的关系，其中熟记直线的倾斜角与斜率之间的关系是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.2.数列1，－3，5，－7，9，…的一个通项公式为( ) A. 21n a n =- B. ()()112nn a n =-- C. ()()121nn a n =--D. ()()121nn a n =-+【答案】B 【解析】试题分析：数列中正负项〔先正后负〕间隔出现，必有1(1)n --，1，3,5,7,9，……故2n-1，所以数列1，-3，5，-7，9，……的一个通项公式是(1)(12)nn a n =--，应选B 。
考点：数列的通项公式。
点评：简单题，利用数列的前几项写出数列的一个通项公式，有时结果不唯一。
ABC ∆的内角A B C 、、所对边分别为130a b c a b A ︒===，，，，．那么该三角形〔 〕 A. 无解 B. 有一解C. 有两解D. 不能确定【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理以及大边对大角定理求出角B ，从而判断出该三角形解的个数。
【详解】由正弦定理得sin sin a b A B =，所以，sin sin 2b A B a ==，b a ∴>，B A ∴>， 60B ∴=或者120，因此，该三角形有两解，应选：C.【点睛】此题考察三角形解的个数的判断，解题时可以充分利用解的个数的等价条件来进展判断，详细来讲，在ABC ∆中，给定a 、b 、A ，该三角形解的个数判断如下： 〔1〕A 为直角或者钝角，a b >，一解；a b ≤，无解；〔2〕A 为锐角，sin a b A =或者a b ≥，一解；sin b A a b <<，两解；0cos 7228'，无解.3490x y --=与圆224x y +=的位置关系是〔 〕A. 相切B. 相离C. 相交但不过圆心D. 相交且过圆心【答案】C 【解析】圆心到直线的间隔()90,25d ==∈， 据此可知直线与圆的位置关系为相交但不过圆心. 此题选择C 选项.{}n a 中，假如14736939,27a a a a a a ++=++=，那么数列{}n a 前9项的和为( )A. 297B. 144C. 99D. 66【答案】C 【解析】 试题分析：14739a a a ++=，369a a a 27，∴a 4=13,a 6=9,S 9=1946()9()922a a a a +⨯+⨯==99考点：等差数列性质及前n 项和点评：此题考察了等差数列性质及前n 项和，掌握相关公式及性质是解题的关键．l 为直线，,αβ是两个不同的平面，以下命题中正确的选项是( )A. 假设l ∥α，l ∥β，那么α∥βB. 假设l ⊥α，l ⊥β，那么α∥βC. 假设l ⊥α，l ∥β，那么α∥βD. 假设α⊥β，l ∥α，那么l ⊥β【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系以及垂直、平行断定与性质定理来判断各选项的正误。
2023-2024学年四川省自贡市高一下学期期末考试数学试题(含解析)
2023-2024学年四川省自贡市高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分。
1.在▵OMN 中，ON−MN +MO =( )A. 0B. 2MOC. 2OMD. 02.复数2+3i 1+i 对应的点( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用按比例分层抽样的方法，从高一、高二、高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试．已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高二年级抽取的人数为( )A. 40B. 35C. 30D. 254.水平放置的▵ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3,B′C′=2，则▵ABC 的面积是( )A. 4B. 5C. 6D. 75.若连续抛两次骰子得到的点数分别是m ，n ，则点P (m,n )在直线x +y =8上的概率是( )A. 112B. 19C. 536D. 166.在▵ABC 中，B =30∘,b =2,c =2 2，则▵ABC 的面积为( )A. 3+ 3B. 3+1C. 3± 3D. 3±17.已知▵ABC 中，AC ⋅AB =0,2AD−AC−AB =0,|AD |=|AB |，则CA 在CB 上的投影向量为( )A. 14CBB. 34CB D. −34CB 8.图1是唐朝著名的风鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱的组合体(如图2).设这种酒杯内壁的表面积为Scm 2，半球的半径为3cm ，若半球的体积不小于圆柱体积，则S 的取值范围是( )A. [24π,+∞)B. (18π,24π]C. [30π,+∞)D. (18π,30π]9.设向量a,b满足|a|=|b|=1，且|3b−a|=10，则以下结论正确的是( )A. a⊥bB. |a−b|=2C. |b−3a|=10D. 向量a+b与a−b夹角为60∘10.下列命题中真命题是( )A. 如果不同直线m、n都平行于平面α，则m，n一定不相交B. 如果不同直线m，n都垂直于平面α，则m，n一定平行C. 如果平面α、β互相平行，若直线m⊂α，直线n⊂β，则m//nD. 如果平面α、β互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β11.一家公司为了解客户对公司新产品的满意度，随机选取了m名客户进行评分调查，根据评分数进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出的频率分布直方图如图所示，其中有8名客户的评分数落在[40,50)内，则( )A. 图中的a=0.005B. m=200C. 同组数据用该组区间的中点值作代表，则评分数的平均数为76.2D. 该公司计划邀请评分数低于第25百分位数的客户参与产品改进会议，若客户甲的评分数为66，则甲将会被邀请参与产品改进会议二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
高一数学(下)期末考试试卷(含详细答案)
高一数学 (下 )期末考试试卷 ( 含详细答案 )理科数学考试注意事项：1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知 sin α＝4，α ∈(0) ，则 tan α等于( ) ．5A．4B．3C．±4D．±33 4 3 42. cos4sin 4等于（）8 8A ． 0 B．2C ． 1D ．－2 2 23．在△ ABC中， a＝ 5，b＝15，A＝ 30°，则 c 等于 ()A ． 2 5 B. 5 C ．25或5 D ．以上都不对4．在△ ABC中，角 A、 B、 C的对边分别为a、 b、 c，若 a2＋b2＝ c2＋ ab，则 C＝ () A． 60°B． 120° C ． 45°D． 30°5．给出平面区域如下图所示，其中 A（ 5，3），B（ 1，1），C（ 1，5），若使目标函数 z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是（）A．2 B ．1 C ．2 D ．33 2 26．在△ ABC中， A＝60°， AB＝2，且△ ABC的面积S ＝ 2 ，则边 BC的长为 ()△ABC 3A. 3 B ． 3 C. 7 D ． 71 / 8高一数学 (下 )期末考试试卷 ( 含详细答案 )7. 等差数列 a n 的首项 a 11 ，公差 d0 ，如果 a 1、 a 2、 a 5 成等比数列，那么d 等于（ ）A ． 3B ．2C ．－ 2D．28. 半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A ． 3 R 3B ．3 R 3 C ． 5 R 3 D． 5 R 3248 248D 1C19. 如图长方体中， AB=AD=2 3 ， CC1= 2 ，则二面角 A11BC 1— BD — C 的大小为（ ）DC （ A） 30 0 0 （ C ）60 0 （D ）90 0 （ B ）45 AB 10. 直线 a,b,c 及平面 α , β , γ , 下列命题正确的是（）A 、若 a α ， b α ,c⊥a, c ⊥ b 则 c ⊥ α B 、若 b α , a//b 则 a// α C 、若 a// α , α ∩ β=b 则 a//b D 、若 a ⊥ α , b ⊥ α 则a//b 11．已知 x 3y 2 0,则3 x27 y1 的最小值是 （）A. 339 B. 1 2 2 C. 6 D. 712. 已知数列 {an} 的通项公式 an = n2 +－ 11n － 12, 则此数列的前 n 项和取最小值时，项数 n 等于 ( ) A. 10或 11 B.12C.11或 12 D.12 或 13第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
高一数学下学期期末考试试题含解析 21
长郡中学2021-2021学年高一数学下学期期末考试试题〔含解析〕一、选择题(在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)1与1的等比中项是〔 〕A. 1B. －1C. ±1D.12【答案】C 【解析】试题分析：设两数的等比中项为)21111x x x ∴=+=∴=±，等比中项为-1或者1考点：等比中项0b a <<，那么以下不等式错误的选项是〔 〕A. 22a b >B. 0a b ->C. 0a b +<D. b a >【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质或者比拟法对各选项里面不等式的正误进展判断.【详解】0b a <<，0a b ∴->，0a b +<，那么()()220a b a b a b -=-+<，22a b ∴<，可得出b a >，因此，A 选项错误，应选：A.【点睛】此题考察判断不等式的正误，常利用不等式的性质或者比拟法来进展判断，考察推理才能，属于根底题.9个大小一样的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，如今从中任意取一个，那么取出的球恰好是红色或者者黑色小球的概率为〔 〕 A.79B.49C.23D.59【答案】D 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】从袋中9个球中任取一个球，取出的球恰好是一个红色或者黑色小球的根本领件数为5，因此，取出的球恰好是红色或者者黑色小球的概率为59，应选：D. 【点睛】此题考察古典概型概率的计算，解题时要确定出全部根本领件数和所求事件所包含的根本领件数，并利用古典概型的概率公式进展计算，考察计算才能，属于根底题.4,21A y、2,3B 的直线的倾斜角为34π，那么y 等于〔 〕 A. 1-B. 2C. 0D. 3-【答案】D 【解析】 【分析】由直线AB 的倾斜角得知直线AB 的斜率为1-，再利用斜率公式可求出y 的值. 【详解】由于直线AB 的倾斜角为34π，那么该直线的斜率为3tan 14π=-， 由斜率公式得()2132142y y ++=+=--，解得3y =-，应选：D.【点睛】此题考察利用斜率公式求参数，同时也涉及了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考察计算才能，属于根底题.5.用斜二测画法画一个程度放置的平面图形的直观图是如下图的一个正方形，那么原来的图形是〔 〕．A. B.C. D.【答案】A 【解析】试题分析：由斜二测画法的规那么知与x'轴平行或者重合的线段与x ’轴平行或者重合，其长度不变，与y 轴平行或者重合的线段与x ’轴平行或者重合，其长度变成原来的一半，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y 轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，观察四个选项，A 选项符合题意．故应选A ．考点：斜二测画法。
湖北省武汉2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。
浙江省金华市义乌苏溪中学2022年高一数学文下学期期末试卷含解析
浙江省金华市义乌苏溪中学2021-2022学年高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知a=40.3，b=8，c=30.75，这三个数的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a参考答案：C【考点】指数函数的图象与性质．【分析】根据幂的运算法则与指数函数的图象与性质，对a、b、c的大小进行比较即可．【解答】解：a=40.3=20.6，b=8==20.75，且20.6＜20.75，∴a＜b；又c=30.75，且20.75＜30.75，∴b＜c；∴a、b、c的大小关系为：a＜b＜c．故选：C．2. 函数，当上恰好取得5个最大值，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先求出取最大值时的所有的解，再解不等式，由解的个数决定出的取值范围。
【详解】设，所以，解得，所以满足的值恰好只有5个，所以的取值可能为0,1,2,3,4，由，故选C。
【点睛】本题主要考查正弦函数的最值以及不等式的解法，意在考查学生的数学运算能力。
3. （5分）设m、r是两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列四个命题中不正确的是（）A．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥nC．m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n D．m⊥α，n⊥β且α∥β，则m∥n参考答案：B【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】证明题．【分析】本题中四个选项涉及的命题是在线面关系的背景下研究线线位置关系，A，B两个选项是在面面垂直的背景下研究线线平行与垂直，C，D两个选项是在面面平行的背景下研究线线平行与垂直，分别由面面垂直的性质与面面平行的性质进行判断得出正确选项【解答】解：A选项中的命题是正确的，分别垂直于两个平面的两条直线一定垂直，故不是正确选项；B选项中的命题是错误的，因为m∥α，n⊥β且α⊥β成立时，m，n两直线的关系可能是相交、平行、异面，故是正确选项；C选项中的命题是正确的，因为m⊥α，α∥β可得出m⊥β，再由n∥β可得出m⊥n，故不是正确选项；D选项中的命题是正确的因为n⊥β且α∥β，可得出n⊥α，再由m⊥α，可得出m∥n故不是正确选项．故选B【点评】本题考查平面之间的位置关系，解题的关键是有着较好的空间想像能力以及对空间中线面，面面位置关系性质熟练掌握，本题是一个易错题，其问法找出“不正确”的选项，做题时易因为看不到“不”字而出错，认真审题可以避免此类错误4. 已知集合，则集合中元素的个数是（）（A）0 (B) 1 (C) 2 (D)无穷多参考答案：A5. 如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为：A．圆锥B．三棱锥 C．三棱台 D．三棱柱参考答案：D6. 如果lgx=lga+3lgb-5lgc,那么 ( )A x=B x=C x=D x=参考答案：A7. 设集合＝{|}，＝{| }，则∪＝()A．{| } B．{|}C． D．{|或}参考答案：D略8. 已知集合，则的真子集有（）A．3个B．4个C．6个D．8个参考答案：A9. 不同直线m，n和不同平面α，β，给出下列命题：①，②，③，④其中假命题有：（）A．0个B．1个C．2个D．3个参考答案：D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题；综合题．【分析】不同直线m，n和不同平面α，β，结合平行与垂直的位置关系，分析和举出反例判定①②③④，即可得到结果．【解答】解：①，m与平面β没有公共点，所以是正确的．②，直线n可能在β内，所以不正确．③，可能两条直线相交，所以不正确．④，m与平面β可能平行，不正确．故选D．【点评】本题考查空间直线与直线，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．10. （5分）水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形参考答案：A考点：平面图形的直观图．专题：计算题；转化思想．分析：由图形和A′O′=通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边BC=B'C'，AO⊥BC，且AO=，故三角形为正三角形．解答：由图形知，在原△ABC中，AO⊥BC，∵A′O′=∴AO=∵B′O′=C′O′=1∴BC=2∴AB=AC=2∴△ABC为正三角形．故选A点评：本题考查了平面图形的直观图的画法及其先关性质，把握好直观图与原图形的关系，是个基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若对数函数y=f（x）图象过点（4，2），则其解析式是．参考答案：f（x）=log2x12. 函数f (x ) =+的定义域是参考答案：{x| x≥－2且x≠－1且x≠0}.13. 函数y=ln（1﹣2x）的定义域是．参考答案：{x|x＜}【考点】对数函数的定义域．【分析】根据对数函数的性质，要使函数有意义，则需真数大于零．【解答】解：根据题意：1﹣2x＞0∴x＜故答案为：{x|x＜}14. 与终边相同的最小正角是_______________。
高一数学下学期期末考试试题文含解析
一中2021～2021学年度第二学期期末考试试题高一〔文科〕数学本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，其中第二卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。
考生答题时，将答案答在答题卡上，在套本套试卷上答题无效。
在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回。
考前须知：1．在答题之前，所有考生必须先将本人的姓名、准考证号填写上在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的规定的正确位置上。
2．选择题答案使需要用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性〔签字〕笔或者碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)答题,写在草稿纸上、超出答题区域或者非题号对应的答题区域之答案一律无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求答题，并需要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题:本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分,在每一小题给出的四个选项里面,只有一项是哪一项符合题目要求的． 1.设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，那么AB =A. {}123,4，，B. {}123，，C. {}234，， D.{}134，，【答案】A 【解析】 由题意{1,2,3,4}AB =，应选A.点睛:集合的根本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进展运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．2.以下函数中，在区间〔0，+∞〕上单调递增的是 A. 12y x = B. y =2x -C.12log y x =D. 1y x=【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合函数的解析式考察函数的单调性即可.【详解】函数122,log xy y x -==， 1y x=在区间(0,)+∞ 上单调递减， 函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，应选A .【点睛】此题考察简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、根底知识的考察，蕴含数形结合思想，属于容易题.3.0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，那么A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量0比拟,a c ，运用中间量1比拟,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=那么01,c a c b <<<<．应选B ．【点睛】此题考察指数和对数大小的比拟，浸透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.函数()1lg 1x f x x-=+，假设()12f a =，那么()f a -=〔 〕A.12B. 2C. 12-D. 2-【答案】C 【解析】 【分析】利用对数的运算性质并结合条件()12f a =的值可求出()f a -的值。
202x版高一数学下学期期末考试试题(含解析)
2020版高一数学下学期期末考试试题(含解析)一、单项选择（每题5分，共60分）1. 已知，且, 则的值为（）A. 2B. 1C. 3D. 6【答案】D【解析】【分析】由题得2x-12=0，解方程即得解.【详解】因为，所以2x-12=0,所以x=6.故答案为：D【点睛】（1）本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 设=,=，则.2. 正弦函数图象的一条对称轴是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求正弦函数的对称轴方程，再给k赋值得解.【详解】由题得正弦函数图象的对称轴方程是，令k=0得.故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查正弦函数的对称轴方程，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)正弦函数的对称轴方程为.3. （）A. B. C. D.【答案】B【解析】故选B4. 已知向量满足，则（）A. 4B. 3C. 2D. 0【答案】B【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.点睛：向量加减乘：5. 在中，为边上的中线，为的中点，则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.6. 若在是减函数，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简函数f(x),再求函数的减区间，给k赋值即得a的最大值.【详解】由题得，令，所以函数f(x)的减区间为令k=0得函数f(x)的减区间为，所以的最大值是.故答案为：【点睛】(1)本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 一般利用复合函数的单调性原理求函数的单调性，首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.7. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则：，利用二倍角公式有：.本题选择A选项.8. 若是圆上任一点，则点到直线距离的最大值（）A. 4B. 6C.D.【答案】B【解析】【分析】先求圆心到点(0,-1)的值d，则点P到直线距离的最大值为d+r.【详解】由题得直线过定点（0，-1），所以圆心（-3,3）到定点的距离为，所以点P到直线距离的最大值为5+1=6.故答案为：B【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.9. 已知函数的最小正周期为，将其图象向右平移个单位后得函数的图象，则函数的图象（）A. 关于直线对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于点对称【答案】D【解析】由题意得，故，∴，∴，∴，∴．∵，，∴选项A,B不正确．又，，∴选项C,不正确，选项D正确．选D．10. 已知是定义为的奇函数，满足，若，则（）A. -50B. 0C. 2D. 50【答案】C【解析】分析：首先根据函数为奇函数得到，再由得到函数的对称轴为，故函数是周期为的周期函数，且，根据周期性可求得结果. 详解：因为函数是奇函数，故且.因为，所以函数的对称轴为，所以函数是周期为的周期函数.因为，，，所以，根据函数的周期为可得所求式子的值.故选C.点睛：本题主要考查函数的奇偶性，考查函数的周期性，考查函数的对称性，是一个综合性较强的中档题.11. 若, ，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题目条件得，而点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.12. 已知为与中较小者，其中，若的值域为，则的值（）A. 0B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求函数的解析式，再通过观察函数的图像得到a,b的值，即得a+b的值.【详解】由题得，观察函数的图像可得.故答案为：C【点睛】本题主要考查正弦函数余弦函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的分析推理能力.二、填空题（每题5分，共20分）13. 已知向量，若，则________.【答案】【解析】分析：由两向量共线的坐标关系计算即可。
高一数学下学期期末考试试题 文(含解析)人教版
2019学年度第二学期高一年级期期末联考文科数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.1.是首顶,公差的等差数列,如果,则序号等于A. 671B. 672C. 673D. 674【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】a n=2 020=1+3（n﹣1），解得n=674．故选：D．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.2.若,则的大小关系是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件先判断与零的关系，进而作差比较大小即可.【详解】∵，∴又，∴∴故选：D【点睛】比较大小的常用方法（1）构造函数，判断出函数的单调性，让所要比较大小的数在同一单调区间内，然后利用单调性进行比较．（2）作差与零比较，即．（3）作商与1比较，即．3.3.用长度为1的木棒摆放4个边长为1的正三角形，至少需要（）根A. 6B. 9C. 10D. 12【答案】A【解析】【分析】用6根长度为1的木棒可以组成正四面体即可.【详解】用6根长度为1的木棒可以组成正四面体，而正四面体是由四个正三角形构成的，故选：A【点睛】本题考查了正四面体的性质，考查空间想象力，属于中档题.4.4.一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是A. 球B. 三棱锥C. 正方体D. 圆柱【答案】D【解析】试题分析：球的三视图都是圆，如果是同一点出发的三条侧棱两两垂直，并且长度相等的三棱锥的三视图是全等的等腰直角三角形，正方体的三视图可以是正方形，但圆柱的三视图中有两个视图是矩形，有一个是圆，所以圆柱不满足条件，故选D.考点：三视图视频5.5.若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值和最小值分别为( )A. 4和3B. 4和2C. 3和2D. 2和0【答案】B【解析】分析：先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点N（1，0）时的最小值，过点M（2，0）时，2x+y最大，从而得到选项．详解：满足约束条件如图：平移直线2x+y=0，经过点N（1，0）时，2x+y最小，最小值为：2，则目标函数z=2x+y的最小值为2．经过点M（2，0）时，2x+y最大，最大值为：4，则目标函数z=2x+y的最大值为：4．故选B.点睛：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．6.6.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不．正确的是A. 该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B. 该几何体有12条棱、6个顶点C. 该几何体有8个面，并且各面均为三角形D. 该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形【答案】D【解析】【分析】根据几何体的直观图，得出该几何体的结构特征，由此判断选项A、B、C正确，选项D错误．【详解】根据几何体的直观图，得该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，且有棱MA、MB、MC、MD、AB、BC、CD、DA、NA、NB、NC和ND，共12条；顶点是M、A、B、C、D和N共6个；且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA共个，且每个面都是三角形．所以选项A、B、C正确，选项D错误．故选：D．【点睛】本题考查了利用空间几何体的直观图判断几何体结构特征的应用问题，是基础题目．7.7.已知等比数列{}的前n项和为,且，则数列{}的公比q的值为A. 2B. 3C. 2或-3D. 2或3【答案】C【解析】试题分析：，所以，解之得或考点：等比数列前项和8.8.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度等于A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，由题意得,,,所以,,所以.选C．9.9.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. 8B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知三视图我们可以判断出该几何体为一个正方体截去一个三棱台，根据已知中正方体的棱长为2，我们根据三视图中所标识的数据，分别计算出正方体的体积和三棱台的体积，进而可以求出该几何体的体积．【详解】分析已知中的三视图得：几何体是正方体截去一个三棱台，∴．故选：C．【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10.10.等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则数列的前项和取最小值时的为A. 3B. 3或4C. 4或5D. 5【答案】B【解析】【分析】根据成等比数列可求得和的关系，再根据可求得和，进而可得，最后根据数列项的特点判断出的值．【详解】∵成等比数列，∴，∴，整理得，∵，∴．又，解得，∴．∴，∴．∴当时，，且当时，；当当时，．∴当或时，数列的前项和取最小值．故选B．【点睛】求等差数列前n项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前n项和(A、B为常数)看做二次函数，根据二次函数的性质求最值．11.11.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为A. 4∶3B. 3∶1C. 3∶2D. 9∶4【答案】C【解析】作圆锥的轴截面，如图，设球半径为R，则圆锥的高h=3R，圆锥底面半径r=R，则l==2R，所以===. 选C.12.12.某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，提价幅度较大的一种是A. 先提价p%,后提价q%B. 先提价q%,后提价p%C. 分两次提价%D. 分两次提价%（以上p≠q）【答案】D【解析】【分析】逐一得到四种提价方案，两次提价的结果，利用重要不等式比较大小即可.【详解】由题意可知，A，B选项的两次提价均为：；C选项的提价为：，D选项的提价为：又∵，∴∴提价最多的为D选项.故选：D【点睛】本题以商品提价为背景，考查了重要不等式的应用，属于中档题.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.13.已知等差数列若则________【答案】4【解析】【分析】由a2+a3+a7=6，可得a4=2，利用a1+a7=2a4，即可得出结论．【详解】∵a2+a3+a7=6，∴3a1+9d=6，∴a1+3d=2，∴a4=2，∴a1+a7=2a4=4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查等差数列的性质，考查等差数列的通项，属于基础题．14.14.要制作一个容积为，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元。
高一数学下学期期末考试试题含解析 28
沁县中学2021-2021学年度第二学期期末考试高一数学一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)的一个通项公式是〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式．【详解】观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式a n=〔n∈Z*〕．应选：C．【点睛】此题考察了数列的概念及简单表示法，考察了数列的通项公式的求法，是根底题．2.设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，那么A∩B＝( )A. (,3)B. (－3,)C. (1,)D. (－3,)【答案】A【解析】【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【详解】∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=〔1，3〕，B={x|2x﹣3＞0}=〔，+∞〕，∴A∩B=〔，3〕，应选：A．【点睛】此题考察的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于根底题．中，，那么〔〕A. B. C. 或者 D. 或者【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可求得sinB==，结合范围，即可解得B的值．【详解】∵∴由正弦定理可得：sinB===，,∴解得：B=或者π．应选：C．【点睛】此题主要考察了正弦定理的应用，属于根本知识的考察．的前项和为,假设，那么=〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设出公差d，由a8+a10=28求出公差d，求利用前n项和公式求解S9得答案．【详解】等差数列的首项为a1=2，设公差为d，由a8=a1+7d，a10=a1+9d，∵a8+a10=28即4+16d=28得d=，那么S9==72．应选：B．【点睛】此题考察了等差数列的通项公式，考察了等差数列的前n项和，是根底题．，那么以下说法正确的选项是〔〕A. 假设，，那么B. 假设，那么C. 假设，那么D. 假设，那么【答案】D【解析】【分析】根据不等式的根本性质以及特殊值法判断即可．【详解】A．取a=1，b=-3，c=2，d=1，可知不成立，B．取c=0，显然不成立，C．取a=-3，b=﹣2，显然不成立，D．根据不等式的根本性质，显然成立，综上可得：只有B正确．应选：D．【点睛】此题考察了不等式的根本性质、举反例否认一个命题的方法，考察了推理才能，属于根底题．的三个内角满足，那么〔〕A. 一定是锐角三角形；B. 一定是直角三角形；C. 一定是钝角三角形；D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.【答案】A【解析】【分析】先根据正弦定理及题设，推断a：b：c=7：11：13，再通过余弦定理求得cosC的值小于零，推断C为钝角．【详解】∵根据正弦定理，又sinA：sinB：sinC=7：11：13∴a：b：c=7：11：13，设a=7t，b=11t，c=13t〔t≠0〕∵c2=a2+b2﹣2abcosC∴cosC===>0∴角C为锐角．又角C为最大角，故一定是锐角三角形应选：A．【点睛】由边角关系判断三角形形状，可以灵敏应用“角化边〞或者“边化角〞两个途径，其中方法一综合应用正弦定理完成边向角的转化，应用和差角公式进展三角变形，得出角之间的关系，最终确定三角形的形状。
高一数学下学期期末考试试题(含解析) (2)
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）考试时间120分钟，满分150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在括号里）1．已知:1231p x -<-<，:(3)0q x x -<，则p 是q 的（）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 【答案】A【解析】解：∵1230x -<-<，可得12x <<，设集合A 为{}|12x x <<， 又∵(3)0x x -<，可得03x <<，设集合B 为{}|03x x <<， 则A B Ü，可得p 是q 的充分不必要条件．2．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）．A ．ln(2)y x =+B ．y =C ．12xy =D ．1y x x=+【答案】A【解析】解：A 项、ln(2)y x =+在(2,)-+∞上为增函数，符合题目要求． 故选A ．3．将函数sin(2)y x ϕ=+的图像沿x 轴向左平移π8个单位，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为（）．A ．3π4B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C【解析】解：∵sin(2)y x ϕ=+左移π8个单位，函数变为ππsin 2sin 284y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∵πsin 24y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数，取x 为x -，则ππsin 2sin 244x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ππ22π()44x x k k ϕϕ++-++=∈Z ， ∴π2π2k ϕ=-，取1k =， 得π4ϕ=，即ϕ一个可能取值为π4． 故选C ．4．在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（）．A ．10-B ．5-C ．10D ．5【答案】C【解析】解：521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开项215535155C ()()(1)C k k k k k k k T x x x ----+=-=-，令354k -=，可得3k =，∴553355(1)C (1)C 10k k---=-=．故选C ．5．将4名学生分到两个班级，每班至少1人，不同的方法有（）种．A ．25B ．16C ．14D ．12【答案】C【解析】解：4名学生中有2名学生分在一个班的种数为24C 6=，有3名学生分在一个班有3242C A 8⋅=种结果，∴6814+=种，共有14种结果． 故选C ．6．右图是求样本1x ，2x ，，10x 平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容的（）．A ．n S S x =+B ．10nx S S =+ C ．S S n =+D ．xS S n=+【答案】A【解析】解：该程序的作用是求样本1x ，210x x ，平均数x ，∵“输出x ”的前一步是“Sx n=”， ∴循环体的功能是累加个样本的值，应为n S S x =+． 故选A ．7．将正整数1，2，3，4，5，6，7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（）．A ．221B ．463C ．121D ．263【答案】B【解析】解：将正整数1，2，3，4，5，6，7随机分成两组，使得每组至少有一个数，共有分法：123777C C C 63++=种，其中满足两组中各数之和相等的分法如下4种，①1，2，4，7；3，5，6． ②1，3，4，6；2，5，7． ③1，6，7；2，3，4，5． ④1，2，5,6；3，4，7． ∴两组中各数之和相等的概率463P =． 故选B ．8．已知集合{}230123|222A x x a a a a =+⨯+⨯+⨯，其中{}0,1(0,1,2,3)k a k ∈=，且30a ≠，则A中所有元素之和是（）．A ．120B ．112C ．92D ．84【答案】C【解析】解：根据集合A 的形式，可以把0a ，1a ，2a ，3a 看做四位二进制数，四位二进制共可以表示0至15， ∵30a ≠，∴可表示8至15的数字，由等差数列求和可得891592++=． 故选C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上） 9．在ABC △中，若2a =，cos A =，1cos 4B =-，b =__________．【解析】解：∵cos A =，sin A == 1cos 4B =-，sin B由正弦定理sin sin a bA B=，∴sin 2sin a B b A ===．10．在等比数列{}n a 中，若2420a a +=，4660a a +=，则b =__________．【答案】【解析】解：设等比数列{}n a 中公比为q ， ∵242462420(=60a a a a q a a +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩）， ∴23q =，∴q =11．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么||a b +=__________．【解析】解：∵222||()||||2cos ,a b a b a b a b a b +=+=++⋅⋅<>12．设函数2,(),x x af x x x a <⎧=⎨⎩≥，对任意实数b ，关于x 的方程()0f x b -=总有实数根，则a 的取值范围是__________． 【答案】[0,1]【解析】解：∵对任意实数b ，关于x 的方程()0f x b -=总有实数根， 即对任意实数b 函数()f x 的图像与直线y b =总有交点， 奇函数()f x 的值域为R ，在同一坐标系中画出y x =与2y x =的图像，由图可得，当[0,1]a ∈时，函数()f x 的值域为R ， ∴[0,1]a ∈．13．若422345123345(1)x mx a x a x a x a x a x a x -=+++++，其中26a =-，则实数m =__________． 12345a a a a a ++++=__________．【答案】32；116【解析】解：由题意4(1)mx -的展开式的通项为14()C r r rr T m x +=-，令1r =得24a m =-， ∵26a =-，∴64m -=-，解得32m =， 在展开式中令1x =得412345312a a a a a ⎛⎫-=++++ ⎪⎝⎭，即12345116a a a a a =++++．14．设M 为不等式组40400x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≥所表示的平面区域，N 为不等式组04t x t y t -⎧⎨-⎩≤≤≤≤所表示的平面区域，其中[0,4]t ∈，在M 内随机取一点A ，记点A 在N 内的概率为P ． （1）若1t =，则P =__________． （2）P 的最大值是__________． 【答案】38；12【解析】解：由题意可得，当1t =时，如图，233448P =⨯=，如图，当2(4)t t -取得最大值时，P 最大，最大值为12．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4cos 5B =，2b =． （1）若53a =，求角A 的度数．（2）求ABC △面积的最大值．【答案】（1）30︒． （2）3．【解析】（1）∵4cos 5B =，3sin 5B ，由正弦定理sin sin a bA B=， ∴5131sin sin 3252a A Bb ==⨯⨯=，∴30A =︒．（2）∵2224cos 25a c b B ac +-==， ∴22845a c ac +-=，∵222a c ac +≥， ∴8245ac ac -≤，∴10ac ≤，当且仅当a c == 1sin 32S ABC ac B =△≤，∴ABC △的面积的最大值为3．16．（本小题满分13分）已知函数2()(1)cos f x x x =+．（1）求函数()f x 的定义域及其单调减区间． （2）求函数()f x 的值域．【答案】（1）定义域为π|π,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，单调递减区间为π2π,ππ63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】解：（1）∵2()(1)cos f x x x =21cos x ⎛= ⎝2cos cos x x x =11cos2222x x =+ππ1sin cos2cos sin2662x x =++π1sin 262x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵ππ32π2π2π262k x k +++≤≤ π42π2π+2k π33k x +≤≤ π2πππ63k x k ++≤≤，即()f x 单调递减区间为π2π,ππ63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，∵tan x 中ππ2x k ≠+，k ∈Z ， ()f x 定义域为π|π,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ．（2）∵πsin 2[1,1]6x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴13(),22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．17．（本小题满分14分）一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13．求：（1）这名学生在途中遇到2次红灯次数的概率． （2）这名学生在首次停车前经过了3个路口的概率． （3）这名学生至少遇到一次红灯的概率． 【答案】（1）80243．（2）827．（3）211243． 【解析】解：（1）设事件A 为在途中遇到2次红灯，251122280()=C 33333243P A ⨯⨯⨯⨯⨯=．（2）设首次停车前经过3个路口，为事件B ， 说明前3个交通岗都是绿灯， 328()327P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭．（3）设至少遇到一次红灯为事件C ，则其互斥事件为全遇到绿灯，设互斥事件为D ， ∴()1()P C P D =-5221113243⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．18．（本小题满分13分）一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6． （1）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次,求取出的两个球编号之和为6的概率． （2）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率． （3）若一次从袋中随机抽取3个球，求球的最大编号为4的概率． 【答案】（1）536．（2）29．（3）12． 【解析】解：（1）设先后两次从袋中取出球的编号为m ，n ， 则两次取球的编号的一切可能结果(m,)n 有6636⨯=种，其中和为6的结果有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种， 则所求概率为536P =． （2）每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率12C 1C 3b b P ==， ∴3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为2223122C (1)3339P P ⎛⎫⎛⎫-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）若3个球中最大编号为4，说明一定抽到4，剩下两个在1，2，3中任选2个，所求概率2336C 1C 2P ==，19．（本小题满分14分）设m ∈R ，不等式2(31)2(1)0mx m x m -+++>的解集记为集合P ． （1）若{}|12P x x =-<<，求m 的值． （2）当0m >时，求集合P ．（3）若{}|32x x P -<<⊆，求m 的取值范围． 【答案】见解析．【解析】解：（3）依题意，当(3,2)x ∈-时，不等式2(31)2(1)0mx m x m -+++>恒成立， 当0m =时，原不等式化为20x -+>，即{}|2P x x =<，符合题意， 当0m >时，由（2）知01m <<时，符合题意， 当0m <时，∵1112m m m+=+<， ∴12m P xx m ⎧+⎫=<<⎨⎬⎩⎭， 此时一定有13m m +-≤成立，解得104m -<≤， 综上，若{}|32x x P -<<⊆，1,14m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．20．（本小题满分13分）已知每项均为正整数的数列1:A a ，2a ，3a ，4a ，，n a ，其中等于i 的项有k 个(1,2,3)i =，设12(1,2,3)j j b k k k j =+++=，12()(1,2,3)m g m b b b nm m =+++-=．（1）设数列:1A ，2，1，4，求(1)g ，(2)g ，(3)g ，(4)g ，(5)g ． （2）若数列A 满足12100n a a a n +++-=，求函数()g m 的最小值．【答案】（1）(1)2g =-；(2)3g =-；(3)4g =-；(4)4g =-；(5)4g =-． （2）100-．【解析】解：（1）根据题目中定义，12k =，21k =，30k =，41k =，0(5,6,7)j k j ==，12b =，2213b =+=，32103b =++=，44b =，4(5,6,7)m b m ==， 1(1)412g b =-⨯=-，12(2)423g b b =+-⨯=-， 123(3)b 434g b b =++-⨯=-，1234(4)444g b b b b =+++-⨯=-， 12345(5)454g b b b b b =++++-⨯=-．（2）∵1(1)()m g m g m b n ++-=-，由“数列A 含有n 项”及bj 的含义知1m b n +≤， ∴(1)()0g m g m +-≤， 即()(1)g m g m +≥， 又∵设整数{}12max ,n M a a a =，当m M ≥时，必有m b n =，∴(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M -==+≥≥≥， ∴()g m 最小值为(1)g M -， ∵1231(1)(1)M g M b b b b n M --=++++--1231()()()()M b n b n b n b n -=-+-+-++-桑水 2334()()()M M M k k k k k k k =----+----++- 23[2(1)]M k k M k =-+++- 12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++ 12()n M a a a b =-++++， ∵123100n a a a a n ++++-=．(1)100g M -=-， ∴()g m 最小值为100-．。
高一数学下学期期末考试试题(含解析)
高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题(每小题5分，共50分) 1.设ABC∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且3 cos 4a C csin A =，已知ABC ∆的面积等于10，4b =，则a 的值为（ ） A.233B.283C.263D.253【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理化简已知，结合sin 0A ≠，可求4cos sin 3C C =，利用同角三角函数基本关系式可求3sin 5C =，进而利用三角形的面积公式即可解得a 的值． 【详解】解：3cos 4sin a C c A =，∴由正弦定理可得3sin cos 4sin sin A C C A =，sin 0A ≠，3cos 4sin C C ∴=，即4cos sin 3C C =，222221625sin cos sin sin sin 199C C C C C ∴+=+==，解得：3sin 5C =或3sin 5C =-（舍去） 4b =，ABC ∆的面积11310sin 4225S ab C a ===⨯⨯⨯，∴解得253a =． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．2.在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，如果,,a b c 成等差数列，30B =︒，ABC ∆的面积为32，那么b =（ ）B. 1D. 2【答案】B 【解析】试题分析：由余弦定理得22222cos ()22cos b a c c B a c ac ac B =+-=+--，又面积1sin 2ABC S ac B ∆=13642ac ac ==⇒=，因为a b c ，，成等差数列，所以2a c b +=，代入上式可得22412b b =--，整理得24b =+，解得1b =，故选B ．考点：余弦定理；三角形的面积公式．3.已知数列{}n a 的前n 项和为11,2,4n n n n S a S a S +==+，则n a =（ ） A. 432n - B. 212n - C. 212n + D. 42n【答案】B 【解析】 【分析】由条件14n n n S a S +=+可得14n n a a +=，即数列{}n a 是以2为首项，4为公比的等比数列，从而得出答案.【详解】因为14n n n S a S +=+，所以14n n n S S a +-=， 即14n n a a +=，且12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，4为公比的等比数列，所以121242n n n a --=⨯=，故选：B.【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，属于基础题. 4.已知实数x ，y 满足1x >，1y >，且1ln 4x ，14，ln y 成等比数列，则xy 有（ ）A. 最大值eB.C. 最小值eD. 最小值【答案】C 【解析】试题分析：因为1ln 4x ，14，ln y 成等比数列，所以可得111ln ?ln ,ln ?ln ,ln ln ln 1,4164x y x y xy x y xy e =∴=∴=+≥=≥，xy 有最小值e ，故选C.考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算及基本不等式求最值.5.在等差数列{}n a 中，若25215a a +=，则数列{}n a 的前7项的和7S =（ ） A. 25 B. 35C. 30D. 28【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式可得45a =，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列{}n a 满足25215a a +=， 可得112815a d a d +++=，则135a d +=. 即45a =，可得()17747273522a a a S +⨯⨯===， 故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.6.已知数列{}n a 满足1133,23n n n a a a a +==+，则2019a ＝（ ） A.32020B.20203C.20193D.20213【答案】A 【解析】 【分析】 把递推式a n +133n n a a =+两边同时取倒数,得到数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,利用等差数列通项公式求出20191a ,再取倒数即可.【详解】因为a n +133nn a a =+,两边同时取倒数可得,11113n n a a +=+，即11113n n a a +-=, 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以23为首项,13为公差的等差数列, 所以()12111333n n n a +=+-=, 所以2019120203a =,即201932020a =. 故选:A【点睛】本题考查利用数列的递推公式求通项公式和等差数列的定义;对递推公式进行灵活的变形是求解本题的关键;属于中档题.7.如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. c a c b ->-B. 11a b>C. 1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.ln ln a b >【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A ； 根据幂函数的性质判断B ； 根据指数函数的性质判断C ； 根据对数函数的单调性判断D ． 【详解】解：0a b >>a b ∴-<-c a c b ∴-<-故A 错误；由于1y x -=在()0,∞+上单调递减，故11a b<即B 错误； 由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即C 错误；由于ln y x =在()0,∞+上单调递增，故lna lnb >即D 正确，故选：D ．【点睛】本题考查不等式的性质，考查对数函数的单调性，属于基础题． 8.若不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. 12a <-或12a > B. 12a >或0a < C. 12a >D. 1122a -<<【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出0a >⎧⎨∆<⎩，由此求出a 的取值范围.【详解】解：显然a=0，不等式不恒成立，所以不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立，则00a >⎧⎨∆<⎩，即20140a a >⎧⎨-<⎩， 解得12a >， 所以实数a 的取值范围是12a >. 故选C.【点睛】本题主要考查了利用判别式解决一元二次不等式恒成立问题，是基础题.9.在长方体1111ABCD A B C D -中，2BC =，14AB BB ==，E ，F 分别是11A B ，CD 的中点，则异面直线1A F 与BE 所成角的余弦值为（ ）A.5 B. 5C.30 D.6 【答案】C 【解析】 【分析】连接CE ，则可证BEC ∠是异面直线1A F 与BE 所成角，在直角三角形BEC 中通过计算即可得结果.【详解】连接CE ，如图所示：因为112A E CF CD ==，1//A E CF ，所以四边形1A ECF 是平行四边形， 所以1//EC A F ，故BEC ∠是异面直线1A F 与BE 所成角，因为2BC =，14AB BB ==，E ，F 分别是11A B ，CD 的中点， 所以1122B E DF CD ===， 由勾股定理，得222425BE =+= 在BEC △中，90CBE ∠=，tan BC BEC BE ∴∠=5525==，则30cos BEC ∠=故选:C【点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题，考查了转化与化归的思想.求异面直线所成角的步骤：1.平移，将两条异面直线平移成相交直线；2.定角，根据异面直线所成角的定义找出所成角；3.求角，在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角；4.下结论．10.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A. []26，B. []48，C.D.⎡⎣【答案】A 【解析】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB =点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABPSAB d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．二、多项选择题(每小题5分，共10分，漏选得2分，选错0分)11.若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A. 11B E A B ⊥B. 平面1//B CE 平面1A BDC. 三棱锥11C B CE -的体积为83D. 三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π 【答案】CD 【解析】 【分析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算11B E A B ⋅值即可判断A ；分别求出平面1B CE ，平面1A BD 的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B ；利用等体积法，求出三棱锥11-B CC E 的体积即可判断C ；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故求出长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积即可判断D.【详解】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-， 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y = 所以(1,2,1)n =，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高， 所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积. 12.若直线y b =+与圆221x y +=相切，则b =（ ）A. 2-B. 2±C. 2D. 5±【答案】AC 【解析】 【分析】 根据直线3y x b =+与圆221x y +=相切，则圆心到直线的距离等于半径求解.【详解】因为直线3y x b =+与圆221x y +=相切，所以131b =+，解得2b =±. 故选：AC【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 三、填空题(每小题5分，共20分)13.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,3AB AA ==，则四棱锥111A B C CB -的体积是________【答案】23【解析】 【分析】利用柱体和椎体的的体积公式，分别求得正三棱柱111ABC A B C -和三棱锥1A ABC -的体积，进而求得四棱锥111A B C CB -的体积.【详解】在正三棱柱111ABC A B C -中，12,3AB AA ==，则正三棱柱111ABC A B C -的体积为2132333ABC V S h ∆=⋅=⨯⨯=， 三棱锥1A ABC -的体积为22113233334ABC V S h ∆=⋅=⨯⨯⨯=， 所以四棱锥111A B C CB -的体积是1223V V V =-=.故答案为：23.【点睛】本题主要考查了柱体与锥体的体积的计算，其中解答中熟记三棱锥和三棱柱的体积公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14.如图，在正方体中，,E F 分别是1,AA AB 的中点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是_______.【答案】60（或π3） 【解析】 【分析】连接1A B 、1BC ，即可得出11BA C ∠为异面直线EF 与11A C 所成角，根据正方体的性质即可求解.【详解】如图，连接1A B 、1BC ，可得11BA C ∠为异面直线EF 与11A C 所成角，由正方体的性质可得11A BC 为等边三角形， 所以11BA C ∠60=或π3. 故答案为：60（或π3） 【点睛】本题考查了求异面直线所成角，解题的关键是作出平行线，属于基础题. 15.已知54x >，则函数1445y x x =+-的最小值为_______. 【答案】7 【解析】 【分析】转化函数，通过基本不等式求解即可．【详解】54x >，450x ∴->， 114(45)52574545y x x x x =+=-++≥+=--．当且仅当14545x x -=-，即，即32x =时等号成立.法二：54x >，令2440(45)y x '=-=-得1x =或32x =， 当5342x <<时'0y <函数单调递减， 当32x >时'0y >函数单调递增．所以当32x =时函数取得最大值为：314732452⨯+=⨯-. 【点睛】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n S n =+，则n a =__________【答案】5,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩【解析】 【分析】利用通项公式与前n 项和的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，由此即可求出结果．【详解】当1n =时，115a S ==；当2n ≥时，()()22141421n n n S S n n a n -⎡⎤-=+--+=-⎣⎦=； 所以5,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.故答案为：5,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩.【点睛】本题主要考查了数列通项公式与前n 项和的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，本题属于基础题．四、解答题(17题10分，其它题12分，共70分 17.已知不等式20x ax b ++≤的解集为{}14x x -≤≤. （1）求,a b 的值;（2）解不等式20x bx a --≤.【答案】（1）3,4a b =-=-；（2）{}31x x -≤≤-. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得1-和4为方程20x ax b ++=的两实根，利用韦达定理即可求解.（2）利用（1）解不等式2430x x ++≤即可求解.【详解】解：（1）由题意知1-和4为方程20x ax b ++=的两实根，利用韦达定理可得14,14a b -+=--⨯= 所以3,4a b =-=-.（2）由（1）知不等式20x bx a --≤为2430x x ++≤解得: 31x -≤≤-所以不等式20x bx a --≤的解集为{}31x x -≤≤-.【点睛】本题考查了根据一元二次不等式的解集求参数、解一元二次不等式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.18.正方体1111ABCD A B C D -，12AA =，E 为棱1CC 的中点，AC 与BD 交于点O .（1）求证: 1// AD 平面1DOC （2）求证:11B D AE ⊥;【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）连接1AD ，可得11//AD BC ，利用线面平面的判定定理即可证出.（2）利用线面垂直的判定定理证出11B D ⊥平面11ACC A ，再根据线面垂直的性质定理即可证出.【详解】（1）连接1AD ，1DC ，1BC ，11//AB D C ，且11AB D C =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，11//D A BC ∴1BC ⊂平面1DOC ，1AD ⊄平面1DOC ，∴1// AD 平面1DOC .（2）连接11A C ，则1111B D A C ⊥，1CC ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ， 111CC B D ∴⊥，又1111CC AC C ⋂=，所以11B D ⊥平面11ACC A ，AE ⊂平面11ACC A ， ∴11B D AE ⊥.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理，考查了考生的逻辑推理能力，属于基础题.19.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=. （1）求角B 的大小； （2）若7b =4a c +=，求ABC∆面积S .【答案】(1) 60B =︒ (2) 33S = 【解析】【详解】分析：（1）由()2cos cos -=a c B b C，利用正弦定理可得()2sin sin cos sin cos A C B B C -⋅=⋅，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得1cos 2B =；从而可得结果；（2）由余弦定理可得()222222cos 22a c ac b a c b B ac ac+--+-==可得3ac = ，所以1·sin 2S ac B ==详解： (1)∵()2sin sin cos sin cos A C B B C -⋅=⋅ ∴2sin cos sin cos sin cos A B B C C B ⋅=⋅+⋅()2sin cos sin sin A B B C A ⋅=+=1cos 2B =∴60B =︒ （2）∵()222222cos 22a c ac b a c b B ac ac+--+-==∴3ac =∴1·sin 2S ac B ==点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．20.已知各项均为正数的等差数列{}n a 中，12315a a a ++=，且12a +，25a +，313a +构成等比数列{}n b 的前三项. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+，152n n b -=⋅；（2）5(21)21n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦【解析】 【分析】（1）通过等数列中项的性质求出25a =，等比数列中项性质求出2d =，然后分别求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式（2）{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则{}n n a b 前n 项和n T 则可以考虑用错位相减的方法求和。
高一数学下学期期末考试试题(含解析) (2)
——————————教育资源共享步入知识海洋————————2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接根据集合交集的定义求解即可.详解：因为集合，，所以，故选C.点睛：本题考查主要考查集合的交集，属于简单题. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或不属于集合的元素的集合.2. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据正方体的性质可得就是异面直线与所成的角，从而可得结果. 详解：根据正方体的性质可得就是异面直线与所成的角，根据正方形的性质可得，故选B.3. 为了得到函数的图象，只需将函数图象上（）A. 所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变B. 所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C. 所有点沿轴向上平移一个单位长度D. 所有点沿轴向下平移一个单位长度【答案】D【解析】分析：利用对数的运算法则化简，从而可得结果.详解：，将图象上的所有点沿轴向下平移一个单位长度，就得到函数的图象，故选D.点睛：本题主要考查对数的运算、对数函数图象的性质及变换，属于中档题.函数图象的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图象经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.本题图象是利用对数函数图象经过“平移变换”得到的.4. 若实数，满足，则目标函数的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由约束条件作出可行域，最大时最大，由图可得目标函数取得最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数得结论.详解：满足不等式组的平面区域，如图所示，由，可得，由图可知，当时，，故选B.点睛：本题主要考查简单的线性规划求最值，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.5. 在矩形中，若与交于点，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：利用平面向量几何运算的平行四边形法则与三角形法则，逐一验算四个选项中的结论即可得结果.详解：在矩形中，，，错误，由矩形的对角线相等，得成立，即成立，故选C.点睛：本题考查平面向量的几何运算，属于中档题. 向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．6. 在平面直角坐标系中，点是角终边上的一点，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用三角函数的定义求得，由二倍角的正切公式可得结果.详解：点是角终边上的一点，，从而，故选A.点睛：本题考查主要考查三角函数的定义以及二倍角的正切公式的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.7. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用判别式不小于零列不等式求解即可.详解：因为不等式对任意恒成立,所以，，解得，即实数的取值范围是，故选C.点睛：本题主要考查一元二次不等式恒成立问题，属于简单题.一元二次不等式在实数集上恒成立问题，一定要注意二次项系数的符号.8. 若，，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用指数函数的性质以及对数函数的性质，分别确定，，的范围，从而可得结果.详解：因为，所以，故选D.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.9. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均由半圆和边长为的等边三角形构成，俯视图是圆，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由三视图可知，该几何体是一个圆锥和半球组成的组合体，利用所给数据，结合棱锥的侧面积公式与球的表面积公式可得结果.详解：如图，该几何体是圆锥（底面半径为1，母线长为2），和半球（半径为1）组成的组合体，则其表面积是，故选C.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10. 函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：利用奇偶性排除；利用基本不等式可得时，可排除，从而可得结果.详解：首先，，则为奇函数，可排除，其次，当时，（当且仅当时，），可排除，故选A.........................11. 在中，，，分别是角，，的对边，若，，成等比数列，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由，，成等比数列可得，代入，利用余弦定理可得结果. 详解：由，，成等比数列得，代入，得，则，故选A.点睛：本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.12. 若，分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用反函数的对称性以及的图象关于对称，可得与关于对称，从而可得结果.详解：由，得，其根就是直线与曲线交点的横坐标，由，得，其根就是直线与曲线交点的横坐标，因为的图象关于对称，且曲线与曲线关于对称，所以与关于对称，又可得，故选D.点睛：函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点横坐标.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，满足，，则__________．【答案】【解析】分析：直接利用平面向量坐标表示的线性运算法则求解即可.详解：因为，，所以，故答案为.点睛：本题考查平面向量坐标表示的线性运算法则,属于简单题.14. 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把个面包分成份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份面包数之和恰好是较少的两份面包数之和的倍，则最少的那份面包数是__________．【答案】【解析】分析：根据等差数列的前五项和为，且后三项和是前两项和的倍，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得详解：设份面包数按照从小到大的顺序排列分别为，它们组成以为公差的等差数列，则可得解得，即最少的那份面包数是，故答案为.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.15. 函数的部分图象如图所示，则的值是__________．【答案】【解析】分析：由图象可得，结合，解方程组可得结果.详解：由，取，解得，，于是，故答案为.点睛：本题主要考查已知三角函数图象求解析式，以及简单三角方程的解法，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.16. 在四面体中，，，.当四面体体积最大时，直线与平面所成的角是__________．【答案】【解析】分析：当平面时，四面体的体积最大，此时直线与平面所成角就是，利用等腰直角三角形性质可得结果.详解：如图，将四面体置于棱长为的正方体中，显然当平面时，四面体的体积最大，此时直线与平面所成角就是，而，故直线与平面所成角就是，故答案为.点睛：本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题.求直线与平面所成的角由两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在中，角，，的对边分别是，，，，，.（1）求；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）直接利用正弦定理求解即可；（2）利用（1）可得因为，所以，由两角和的正弦公式求得，由三角形面积公式可得结果.详解：（1）由正弦定理，得.因为，所以，.（2）因为，所以.从而的面积为.点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.18. 已知向量，.（1）若，且，求的值；（2）求函数的单调减区间.【答案】（1）；（2）,.【解析】分析：（1）由平面向量平行的性质得，两边同除以，得，即，从而可得结果；（2）由平面向量数量积公式，利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递减区间详解：（1）由，得；由，得，两边同除以，得，即，结合，得.（2）.由，，解得，，所以函数的单调减区间是，.点睛：本题主要考查平面向量的性质以及三角函数的单调性、属于中档题.函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.19. 某租赁公司，购买了一辆小型挖掘机进行租赁.据市场分析，该小型挖掘机的租赁利润（单位：万元）与租赁年数的关系为.（1）该挖掘机租赁到哪几年时，租赁的利润超过万元？（2）该挖掘机租赁到哪一年时，租赁的年平均利润最大？【答案】（1），，；（2）.【解析】分析：（1）由题意，得，解得，结合为整数可得结果；（2）租赁的年平均利润为，利用基本不等式可得结果.详解：（1）由题意，得，整理，得，解得，所以该挖掘机租赁到第，，年时，租赁的利润超过万元.（2）租赁的年平均利润为.因为，所以当且仅当时，即时，，所以该挖掘机租赁到第年时，租赁的年平均利润最大.点睛：本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及基本不等式求最值，属于中档题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.20. 已知数列的前项和为，数列是等比数列.设数列前项和为，且，.（1）求数列和的通项公式；（2）求.【答案】（1）,；（2）.【解析】分析：（1）当时，，检验是否符合即可得的通项公式，结合，列方程可求得的通项公式；（2）结合（1）可得，利用错位相减法求和即可得结果.详解：（1）当时，；当时，，代入上式成立，所以.由，得，即，解得，从而公比，于是.（2）因为，所以，①则，②①-②，得，即.点睛：本题主要考查等比数列和等差数列的通项以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式21. 在三棱柱中，侧面底面，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】分析：（1）连接，设，利用三角形中位线定理可得，由线面平行的判定定理可得结论；（2）由勾股定理可得，，利用面面垂直的性质可得平面，从而可得，利用线面垂直的判定定理可得结论；（3）因为平面，平面，所以，利用棱锥的体积公式可得结果.详解：（1）连接，设，则为的中点.因为为的中点，所以.又平面，，所以平面.（2）证明：在中，由，，，得，即；在中，同理可得.因为侧面底面，侧面底面，所以平面.又平面，所以，又，所以平面.（3）因为平面，平面，所以.在直角中，由及，得.所以.点睛：本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的. 22. 已知函数是偶函数.（1）求证：是偶函数； （2）求证：在上是增函数； （3）设（，且），若对任意的，在区间上总存在两个不同的数，，使得成立，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】分析：（1）直接利用奇偶性的定义证明即可；（2）设，则，分解因式可得，从而可得结论；（3）由（1）和（2），得在上是减函数，则，当时，结合函数图象可得，解得，即；当时，直线与函数的图象没有交点，不合题意，从而可得结果.详解：（1）函数的定义域为，因为，所以是偶函数.（2）证明：设，则.由，得，，，所以，即，所以在上是增函数.（3）解：由（1）和（2），得在上是减函数，则..当时，的值域为.当直线与函数的图象有两个交点时，，解得，即.当时，的值域为，而，所以直线与函数的图象没有交点，此时不符合题意.综上，所求的取值范围是.点睛：本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），可得在已知区间上是增函数，可得在已知区间上是减函数.。
高一数学下学期期末考试试题含解析 试题 32
智才艺州攀枝花市创界学校宝山区二零二零—二零二壹高一数学下学期期末考试试题〔含解析〕一、填空题tan(2)6y x π=+的最小正周期为__________．【答案】2π 【解析】函数tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π故答案为：2π 2()(4)2f x x m x =+-+为偶函数，那么实数m 的值是________.【答案】4 【解析】 【分析】 根据偶函数的定义知()()f x f x -=，即可求解.【详解】因为2()(4)2f x x m x =+-+为偶函数，所以22()(4)2()(4)2f x x m x f x x m x -=--+==+-+,故(4)4m m --=-，解得4m =. 故填4.【点睛】此题主要考察了偶函数的定义，利用定义求参数的取值，属于中档题.147258369中，元素4的代数余子式的值是________.【答案】6 【解析】 【分析】利用代数余子式的定义直接求解.【详解】三阶行列式147258369中，元素4的代数余子式的值是：328(1)(1824)639-=--=.故答案为：6.【点睛】此题主要考察了三阶行列式中元素的代数余子式的求法，属于中档题. 4.cot m α=〔02πα-<<〕，那么cos α=________.〔用m 表示〕【答案】【解析】 【分析】根据同角三角函数之间的关系，结合角所在的象限，即可求解. 【详解】因为cot m α=，02πα-<<所以cos sin m αα=，0m < 故22222cos cos sin 1cos m αααα==-，解得cos α=， 又02πα-<<，0m <，所以cos α=.故填【点睛】此题主要考察了同角三角函数之间的关系，三角函数在各象限的符号，属于中档题.arcsin 3arccos x x π+=，那么实数x 的值是_______.【答案】2【解析】 【分析】由arcsin arccos 2x x π+=得arccos arcsin 2x x π=-，代入方程arcsin 3arccos x x π+=即可求解. 【详解】arcsin arccos 2x x π+=,arccos arcsin 2x x π∴=-.arcsin 3arccos x x π+=,arcsin 3arcsin 2x x ππ⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭,arcsin 4x π∴=,即x =，故填2. 【点睛】此题主要考察了反三角函数的定义及运算性质，属于中档题.6.某银行一年期定期储蓄年利率为5%，假设存款到期不取出继续留存于银行，银行自 动将本金及80%的利息〔利息须交纳20%利息税，由银行代交〕自动转存一年期定期储蓄， 某人以一年期定期储蓄存入银行20万元，那么5年后，这笔钱款交纳利息税后的本利和为________元.〔准确到1元〕 【答案】218660 【解析】 【分析】 20万存款满一年到期后利息有200000 2.25%120%)⨯⨯-（，本息和一共200000 2.25%120%)200000200000(1 2.25%80%)⨯⨯-+=+⨯（，再过一年本息和2200000(1 2.25%80%)+⨯，⋯经过5年一共有本息5200000(1 2.25%80%)+⨯元，计算即可求出结果.【详解】20万存款满一年到期后利息有200000 2.25%120%)⨯⨯-（，本息和一共200000 2.25%120%)200000200000(1 2.25%80%)⨯⨯-+=+⨯（，再过一年本息和2200000(1 2.25%80%)+⨯，⋯经过5年一共有本息5200000(1 2.25%80%)+⨯元, 5200000(1.018)218659.76218660⨯=≈元.故填218660.【点睛】此题主要考察了银行存款的复利问题，由固定公式可用，本息和=本金1+⨯（利率(1)⨯-利息税)n ，利率是一年年利率，n 是存款年数，代入公式计算即可求出本息和，属于中档题.1()(1)k f x k x +=-()k ∈R 为幂函数，那么满足sin()sin k θθ=02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的θ的值为________. 【答案】3π【解析】 【分析】 根据幂函数定义知2k =，又sin2sin θθ=，由二倍角公式即可求解.【详解】因为1()(1)k f x k x +=-()k ∈R 为幂函数，所以1=1k -，即2k =,因为sin()sin k θθ=, 所以sin2sin θθ=，即2sin cos sin θθθ=，因为02πθ<<，所以1cos 2θ=，=3πθ.故填3π. 【点睛】此题主要考察了幂函数的定义，正弦的二倍角公式，属于中档题.3549x =，假设用含x 的形式表示5log 35，那么5log 35=________.【答案】22x- 【解析】 【分析】两边取以5为底的对数，可得55log 35log 49x =，化简可得5log 72xx=-，根据对数运算即可求出结果.【详解】因为3549x=所以两边取以5为底的对数，可得55log 35log 49x =， 即555(log 5log 7)2log 7x +=，所以5log 72xx=-， 552log 351log 7122x x x=+=+=--， 故填22x-. 【点睛】此题主要考察了对数的运算法那么，属于中档题.ABC ∆中，A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c ，且22sin sin 22B C A BP c a ++=⋅+⋅， 假设用含a 、b 、c ，且不含A 、B 、C 的式子表示P ，那么P =_______.【答案】2a b c++ 【解析】 【分析】利用诱导公式，二倍角公式，余弦定理化简即可得解. 【详解】22sin sin 22B C A BPc a ++=⋅+⋅ 2a b c++=. 故答案为2a b c++. 【点睛】此题主要考察了诱导公式，二倍角的三角函数公式，余弦定理，属于中档题.(0,)2πθ∈，假设函数()f x 在R 上恒有17(3)(3)22f x f x -+=+，且422sin 11()log 13x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<<⎩，那么函数()cos 1y f x θ=--在区间[5,14]-上零点的个数 是________. 【答案】15 【解析】 【分析】根据17(3)(3)22f x f x -+=+可得函数周期，作出函数一个周期上的图象，利用数形结合即可求解.【详解】函数()f x 在R 上恒有17(3)(3)22f x f x -+=+,1133422f x f x ⎛⎫⎛⎫∴-+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴函数周期为4.常数(0,)2πθ∈,cos 1(1,2)θ∴+∈,∴函数()cos 1y f x θ=--在区间[5,14]-上零点,即函数()([5,14])y f x x =∈-与直线1y =及直线2y =之间的直线的交点个数.由422sin 11()log 13x x f x xx π-≤≤⎧=⎨<<⎩，可得函数()f x 一个周期内的图象，做草图如下： 由图可知，在一个周期内，函数()cos 1y f x θ=--有3个零点，故函数()cos 1y f x θ=--在区间[5,14]-上有15个零点.故填15.【点睛】此题主要考察了函数零点的个数判断，涉及数形结合思想在解题中的运用，属于难题.P 关于直线的对称点在函数()f x 的图像上，那么称点P 、直线l 及函数()f x 组成系统(,,)T P l f ，函数1()mx g x x-=的反函数图像过点(3,1)，且第一象限内的点00(,)M x y 、直线:n y x =及函数()g x 组成系统(,,)T M n g ，那么代数式000011()()22x y x y ++的最小值为________. 【答案】94【解析】 【分析】 根据函数1()mx g x x-=的反函数图像过点(3,1)可求出m ,由00(,)M x y 、直线:n y x =及函数()g x 组成系统(,,)T M n g 可知00(,)M y x '在()g x 的图象上，4m =且0014x y +=，代入000011()()22x y x y ++化简为20020049144x x x x -+--，换元2004,t x x =-那么914t y t=+-，利用单调性求解. 【详解】因为函数1()mx g x x-=的反函数图像过点(3,1)， 所以(1)13g m =-=，即4m =，由00(,)M x y 、直线:n y x =及函数()g x 组成系统(,,)T M n g 知00(,)M y x '在()g x 上，所以0140,0x x y y +=>>，，代入000011()()22x y x y ++化简得0000000011114()()()()22242x x x y x y x x -++=++- 20020049144x x x x -=+--， 令2004,t x x =-由00140,0x x y y +=>>，知004x <<，故04t <≤ 那么91361()144t y t t t=+-=+-在(0,4]t ∈上单调递减， 所以当4t =即02x =时，min 94y =，故填94.【点睛】此题主要考察了对称问题，反函数概念，根据条件求最值，函数的单调性，换元法，综合性大，难度大，属于难题. 二、选择题 12.“2aπ=〞是“函数cos y x =的图像关于直线x a =对称〞的〔〕条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既不充分又非必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的断定，即可得出结果. 【详解】当2a π=时，2x π=是函数cos y x =的对称轴，所以“2a π=〞是“函数cos y x =的图像关于直线x a =对称〞的充分条件，当函数cos y x =的图像关于直线x a =对称时，,x a k k Z π==∈,推不出2a π=，所以“2a π=〞是“函数cos y x =的图像关于直线x a =对称〞的不必要条件，综上选A .【点睛】此题主要考察了充分条件、必要条件，余弦函数的对称轴，属于中档题.1251028b b ⎛⎫⎪⎝⎭，解为34212021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，那么21b b -的值是〔〕 A.1 B.2C.3D.4【答案】C 【解析】 【分析】由题意得134205102121b ⨯+=，23420282121b ⨯+=，解方程即可得到所求值. 【详解】由题意得134205102121b ⨯+=，23420282121b ⨯+=，解得1225b b ==，，那么213b b -=，应选C.【点睛】此题主要考察了线性方程组的解法，以及增广矩阵的概念，考察运算才能，属于中档题.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()5f x x x =--，那么不等式()(1)0f x f x --<的解集为〔〕 A.(1,2)- B.(1,3)-C.(2,3)-D.(2,4)-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分析可得函数的解析式，作出函数图象，结合不等式和二次函数的性质以及函数图象中的递减区间，分析可得答案. 【详解】根据题意，设0x >，那么0x -<，所以2()5f x x x -=-+，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以2()5()f x x x f x -=-+=-，所以2()5f x x x =-，即0x ≥时，当0x <时，2()5f x x x =--，那么()f x 的图象如图： 在区间55(,)22-上为减函数， 假设()(1)0f x f x --<，即(1)()f x f x ->，又由1x x -<，且(3)(2),(2)(3)f f f f -=-=，必有133x x ->-⎧⎨<⎩时，()(1)0f x f x --<，解得23x -<<，因此不等式的解集是(2,3)-，应选C.【点睛】此题主要考察了函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性求出函数的解析式，根据图象解不等式是此题的关键，属于难题.12()()()a f x f x bf x =(),a b ∈R ，那么称1()f x 与2()f x 经过变换(,)T a b 生成函数()f x ，1221()(1220)g x x x =-+-，1222()(10)gx x x =-+，设1()g x 与2()g x 经过变换(,)T m n生成函数()g x，(4)g =，(6)2)g =，那么()g x 的最大值为〔〕A.1B.4C.6D.9【答案】B 【解析】 【分析】根据变换(,)T m n 可生成函数21()()()g x mg x ng x =-112222(10)(1220)m x x n x x =-+--+-，再根据(4)g =，(6)2)g =可求出,m n，转化为求112222()(10)(1220)g x x x x x =-+--+-的最大值,化简()g x ==，利用单调性求解即可.【详解】由题意可知21()()()g x mg x ng x =-112222(10)(1220)m x x n x x =-+--+-,又(4)g =，(6)2)g =解得1m n ==, 所以112222()(10)(1220)g x x x x x =-+--+-又()g x ==，因为y =[2,10]x ∈上单调递减且为正值，y =[2,10]x ∈上单调递减且为正值，所以()g x ==在[2,10]x ∈上单调递减，所以当2x =时函数有最大值(2)4g =.应选B.【点睛】此题主要考察了函数的单调性，利用单调性求函数的最大值，涉及创设新情景及函数式的变形，属于难题 三、解答题α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(,)m n ，0mn ≠，且cos()x βπ-=32ππβ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，求sin()αβ-〔用含m 、n 、x 的形式表示〕.【解析】 【分析】由任意角的三角函数定义求得sin ,cos αα，再由诱导公式及同角的三角函数根本关系式求得cos ,sin ββ，再由两角差的正弦求sin()αβ-.【详解】由题意，sin α=cos α=，又cos()x βπ-=，所以cos x β=-，32ππβ<<，那么sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-==【点睛】此题主要考察了任意角的三角函数定义，同角三角函数的关系，两角和差的正弦，属于中档题. 17.()2f x x k =+()k ∈R .〔1〕设1k=，求满足2()log (616)1xf x =-+的实数x 的值；〔2〕假设()f x 为R 上的奇函数，试求函数()y x x f x =+的反函数.【答案】〔1〕12x =；〔2〕1010x y x ≥=<⎪⎩.【解析】 【分析】 〔1〕把1k=代入函数解析式，代入方程2()log (616)1xf x =-+即可求解.〔2〕由函数奇偶性得k ，然后求得()y x x f x =+的解析式，分段求解反函数即可.【详解】〔1〕当1k =时，()21f x x =+，由2()log (616)1x f x =-+，得()221log 6161x x +=-+， 即()22log 616xx =-，解得12x =. 〔2〕()f x 为R 上的奇函数，0k ∴=，那么()2f x x =.∴222,0()22,0x x x y x x f x x x x x x x ⎧+=+=+=⎨-+<⎩,由22y x x =+，0x ≥，得1x =，0y ≥;由22y x x =-+，0x <，得1x =0y <.∴函数()y x x f x =+的反函数为11,0()10x f x x -=-<⎪⎩.【点睛】此题主要考察了函数的解析式及求法，考察了反函数的求法，属于中档题.2()x mx af x x++=(),m a ∈R . 〔1〕当2a =时，函数()f x 的图像经过点(1,1)a +，试求m 的值，并写出〔不必证明〕()f x 的单调递减区间；〔2〕设1a =-，()()0h x x f x +⋅=，()2cos()3g x x π=-，假设对于任意的[1,2]s ∈，总存在[0,]t π∈，使得()()h s g t =，务实数m 的取值范围.【答案】〔1〕递减区间为[和；〔2〕[2,1]m ∈--.【解析】 【分析】〔1〕将点(1,3)代入函数()f x 即可求出m ,根据函数的解析式写出单调递减区间即可〔2〕 当1a =-时，写出函数()h x ，由题意知()h s 的值域是()g t 值域的子集,即可求出. 【详解】〔1〕因为函数()f x 的图像经过点(1,1)a +，且2a =所以(1)123f m =++=，解得0m =.∴()f x的单调递减区间为[）和.〔2〕当1a =-时，1()f x x m x=-+，∴[0,]t π∈时，()[1,2]g t ∈-由对于任意的[1,2]s ∈，总存在[0,]t π∈，使得()()h s g t =知：()h s 的值域是()g t 值域的子集.因为2()1h x x mx =--+的对称轴为2m x =-,①当12m-≤时，即2m ≥-时， 只需满足(1)2(2)321h m h m =-≤⎧⎨=--≥-⎩解得21m -≤≤-. ②当122m<-<，即42m -<<-时， 因为(1)2h m =->，与()[1,2]h s ⊆-矛盾，故舍去. ③当22m-≥时，即4m ≤-时， (1)4h m =-≥与()[1,2]h s ⊆-矛盾，故舍去.综上，[2,1]m ∈--.【点睛】此题主要考察了函数的单调性，以及含参数二次函数值域的求法，涉及存在性问题，转化思想和分类讨论思想要求较高，属于难题.()2sin()f x x ωϕ=+0,22ππωϕ⎛⎫>-<<⎪⎝⎭的局部图象如下列图. 〔1〕求ω与ϕ的值； 〔2〕设ABC ∆的三个角A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c ，假设5()1212A f π+=，且11113111aa=--，试求b c +的取值范围；〔3〕求函数131511()()()4622242224y f x f x f x πππ=+++++()x ∈R 的最大值. 【答案】〔1〕2ω=，3πϕ=-；〔2〕(2,4]b c +∈；〔3〕154. 【解析】 【分析】 〔1〕由图象有3254412ππ⋅=，可得ω的值，然后根据五点法作图可得52122ππϕ⨯+=，进而求出ϕ〔2〕根据55()2sin[2()]2cos 12122123A A f A πππ+=+-==,可得A ,然后由行列式求出a ,再由正弦定理b c +转化为sin )6b cB C B π+==+，根据B 的范围求出b c +的范围〔3〕将131511()()()4622242224y f x f x f x πππ=+++++()x ∈R 化简到最简形式，然后逐步换元，转化为利用导数求值问题. 【详解】〔1〕由函数图象可得3254412ππ⋅=，解得2ω=，再根据五点法作图可得52122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=-，∴()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 〔2〕55()2sin[2()]2cos 12122123A A f A πππ+=+-==11113111aa=--，2a ∴=由正弦定理知sin sin sin b c a B C A ===，∴b B =，3c C =，20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴(2,4]b c +∈.〔3〕131511()()()4622242224y f x f x f x πππ=+++++ 令12t x π=+，因为x ∈R ，所以t R ∈，那么1sin 23sin sin 232333t t t πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 令3t πθ=-，因为t R ∈，所以R θ∈,那么15cos 2sin 22y θθθ=++ 令cos [1,1]m θ=∈-，那么21()2y f m m ==-±， ∴只需求出21()22f m m m =-的最大值，()2f m m '=，令()0f m '=，那么m =，∴当1,m ⎛∈- ⎝⎭时，()0f m '>，此时()f m单调递增，当m ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f m '<， 此时()f m 单调递减，∴15()max 4f m f ⎛== ⎝⎭.∴函数131511()()()4622242224y f x f x f x πππ=+++++()x ∈R 的最大值为154.【点睛】此题主要考察了利用三角函数的局部图象求解析式和三角函数的图象与性质，考察了转化思想和数形结合思想，属于难题.a 、b 、k ，假设22(1)(1)1a b k a b ab++≥⋅-⋅-成立，那么称a 、b 具有“性质k 〞.〔1〕试问：①()xx ∈R ，0是否具有“性质2〞；②tan y 〔124y ππ<<〕，0是否具有“性质4〞；〔2〕假设存在03[,2]4x ππ∈及01[,2]2t ∈，使得00001sin 22sin 0x x t m t ----≤成立，且0sin x ，1具有“性质2〞，务实数m 的取值范围；〔3〕设1x ，2x ，⋅⋅⋅，2019x 为2021个互不一样的实数，点(,)m n x x 〔{},1,2,,2019m n ∈⋅⋅⋅〕均不在函数1y x=的图象上，是否存在(),i j i j ≠，且{},1,2,,2019i j ∈⋅⋅⋅，使得i x 、j x 具有“性质2021〞，请说明理由.【答案】〔1〕①具有“性质2〞，②不具有“性质4〞；〔2〕52m ≥-；〔3〕存在. 【解析】 【分析】〔1〕①根据题意需要判断212||x x +≥的真假即可②根据题意判断21tan 4|tan |y y +≥是否成立即可得出结论；〔2〕根据具有性质2可求出0x 的范围，由存在性问题成立转化为00max (sin 22sin )x x -≤0max 01()t m t ++，根据函数的性质求最值即可求解. 【详解】〔1〕①因为212x x +≥，212x x +≥-成立,所以212||x x +≥，故()x x ∈R ，0具有“性质2〞②因为124y ππ<<，设tan ty =，那么316t <<设2()41f t t t =-+，对称轴为2t =，所以函数2()41f t t t =-+在3(6t ∈上单调递减，当1t →时，min ()20f t →-<， 所以当124y ππ<<时，21tan4tan 0y y +-≥不恒成立，即21tan 4|tan |y y +≥不成立，故tan y 〔124y ππ<<〕，0不具有“性质4〞.〔2〕因为0sin x ，1具有“性质2〞 所以22000(1sin)(1+12|sin 1||1sin |x x x +≥--）化简得2200(1sin)(1sin )x x +≥-解得034x ππ≤≤或者02x π=. 因为存在03[,2]4x ππ∈及01[,2]2t ∈，使得00001sin 22sin 0x x t m t ----≤成立，所以存在03[,]4x ππ∈{2}π及01[,2]2t ∈使00max (sin 22sin )x x -≤0max 01()t m t ++即可. 令00sin 22sin y x x =-，那么200002cos 22cos 2(2cos cos 1)y x x x x '=-=--，当03[,]4x ππ∈时，0y '>， 所以00sin 22sin y x x =-在03[,]4x ππ∈上是增函数， 所以0x π=时，0max 00(sin 22si )n x x =-，当02x π=时，00sin 22sin =0x x -，故03[,]4x ππ∈{2}π时，0max 00(sin 22si )n x x =- 因为1y x m x=++在1[,1]2上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以0max 015()=2t m m t +++， 故只需满足502m ≤+即可，解得52m -≤. 〔3〕假设具有“性质2021〞，那么22(1)(1)20181ij i j i jx x x x x x ++≥⋅-⋅-，即证明在任意2021个互不一样的实数中，一定存在两个实数,i j x x ,满足：22(1)(1)20181i j i j i j x x x x x x ++≥⋅-⋅-.证明：由()()()22111122222221111|111j j j j jj i i jijijx x x x x x x x x x x x x x xxx x --+-⋅-==-++++++，令tan ix α=，由万能公式知2111sin 2,1222i i x x α⎡⎤=∈-⎢⎥+⎣⎦， 将11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦等分成2021个小区间，那么1220191i ,,11s n 2sin 2,sin 2222a a a 这2021个数必然有两个数落在同一个区间，令其为：11sin 2,sin 222ϕγ，即111sin 2sin 2222018ϕγ-≤， 也就是说，在1x ，2x ，⋅⋅⋅，2019x 这2021个数中，一定有两个数满足221112018i i i i x x x x -≤++， 即一定存在两个实数,i j x x ，满足22(1)(1)20181i j i j i jx x x x x x ++≥⋅-⋅-，从而得证.【点睛】此题主要考察了不等式的证明，根据存在性问题求参数的取值范围，三角函数的单调性，万能公式，考察了创新才能，属于难题.。
高一数学下学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某市长安区第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学一、选择题：共12题1．不等式的解集为A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查一元二次不等式的解法.,即,解得.即不等式的解集为.选C.2．数列,,,,,,,则是这个数列的A.第10项B.第11项C.第12项D.第21项【答案】B【解析】本题考查数列的通项.由题意得,令,解得.选B.3．在数列中，，，则的值为A.52B.51C.50D.49【答案】A【解析】本题考查等差数列的性质.由得,所以为等差数列,所以==,所以.选A.4．=A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查同角三角函数的诱导公式及两角和的正弦公式.====.选A.【备注】.5．已知角的终边经过点,则的值等于A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的定义.由题意得所以=,=,所以=.选D.6．若数列是等差数列，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查等差数列的性质,诱导公式.因为是等差数列，所以=，又所以，,所以===.选B.【备注】若，等差数列中.7．设,若是与的等比中项，则的最小值为A.8B.4C.1D.【答案】B【解析】本题考查等比数列性质,基本不等式.因为是与的等比中项，所以,即.所以===4(当且仅当时等号成立),即的最小值为4.选B.【备注】若，等比数列中.8．已知是等比数列，，则=A.16()B.16()C.)D.)【答案】C【解析】本题考查等比数列的通项与求和.由题意得的公比=,所以=,所以,令,则是以8为首项,为公比的等比数列,所以的前n项和=).选C.【备注】等比数列中，.9．在△中，已知，，若点在斜边上，，则的值为A.48 B.24 C.12 D.6【答案】B【解析】本题考查平面向量的线性运算和数量积.因为，,所以==,所以==+0=24.选B.【备注】.10．函数,,的部分图象如图所示，则A. B.C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的性质和图象,解析式的求解.由图可得，,,即,即,所以,又过点,所以=2,由可得=.所以.选D.【备注】知图求式.11．已知向量,，且∥，则= A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查向量的坐标运算与线性运算,二倍角公式.因为∥，所以,即,即=-3,所以=====.选C.【备注】二倍角公式：，.12．设函数，若存在使得取得最值，且满足，则m的取值X围是A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查三角函数的性质与最值,一元二次不等式.由题意得,且=,解得,(),所以转化为,而,所以,即,解得或.选C.二、填空题：共6题13．不等式的解集是 .【答案】【解析】本题考查分式不等式,一元二次不等式.由题意得且,所以或.所以不等式的解集是.【备注】一元高次不等式的解法:穿针引线法.14．已知，，则的值为_______.【答案】3【解析】本题考查两角和与差的正切角公式.由题意得=== 3.【备注】=是解题的关键.15．已知向量a=，b=, 若m a+n b=(),则的值为______. 【答案】-3【解析】本题考查平面向量的坐标运算.由题意得===,即,解得,,所以.16．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.【答案】【解析】本题考查解三角形的应用.画出图形,为炮台,为两船的位置;由题意得m,,,;在△中,=m.在Rt△中,,所以m;在△中,由余弦定理得=300.即,两条船相距m.【备注】余弦定理:.17．若将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是.【答案】【解析】本题主要考查三角函数图象平移、函数奇偶性及三角运算.解法一f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位得函数y=sin(2x+-2φ)的图象,由函数y=sin(2x+-2φ)的图象关于y轴对称可知sin(-2φ)=±1,即sin(2φ-)=±1,故2φ-=kπ+,k∈Z,即φ=+,k∈Z,又φ>0,所以φmin=.解法二由f(x)=sin(2x+)=cos(2x-)的图象向右平移φ个单位所得图象关于y轴对称可知2φ+=kπ,k∈Z,故φ=-,又φ>0,故φmin=.【备注】解题关键:解决三角函数的性质问题,一般化为标准型后结合三角函数的图象求解,注意正余弦函数的对称轴过曲线的最低点或最高点是解题的关键所在.18．已知分别为△的三个内角的对边，，且，则△面积的最大值为 . 【答案】【解析】本题考查正、余弦定理,三角形的面积公式.由正弦定理得=,又所以,即,所以=,所以.而,所以;所以≤=(当且仅当时等号成立).即△面积的最大值为.【备注】余弦定理:.三、解答题：共5题19．在△中，已知,,.(1)求的长；(2)求的值.【答案】(1)由余弦定理知，==，所以.(2)由正弦定理知，所以，因为，所以为锐角，则，因此【解析】本题考查二倍角公式,正、余弦定理.(1)由余弦定理知.(2)由正弦定理知，，因此.20．设是公比为正数的等比数列，,.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】(1)设q为等比数列{a n}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{a n}的通项为a n＝2·2n-1＝2n(n∈N*)(2)S n＝＋n×1＋×2＝2n+1＋n2－2.【解析】本题考查等差、等比数列的通项与求和.(1)求得q＝2,所以a n＝2n(n∈N*);(2)分组求和得S n＝2n+1＋n2－2.21．已知向量,，函数，且的图象过点.(1)求的值；(2)将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若图象上各最高点到点的距离的最小值为，求的单调递增区间.【答案】(1)已知，过点，解得(2)由(1)知,左移个单位后得到,设的图象上符合题意的最高点为，,解得,，解得,,由得,的单调增区间为【解析】本题考查平面向量的数量积,三角函数的图像与性质,三角恒等变换.(1)由向量的数量积求得，过点，解得;(2),求得,,其单调增区间为.22．某种汽车的购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费用第一年是0.2万元,第二年是0.4万元,第三年是0.6万元,……,以后逐年递增0.2万元. 汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的总和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用x(x∈N*)年的维修总费用为g(x),年平均费用为f(x).(1)求出函数g(x),f(x)的解析式;(2)这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?最小值是多少?【答案】(1)由题意,知使用x年的维修总费用为g(x)==0.1x+0.1x2,依题意,得f(x)=[10+0.9x+(0.1x+0.1x2)]=(10+x+0.1x2).(2)f(x)=++1≥2+1=3,当且仅当,即x=10时取等号.所以x=10时,y取得最小值3.所以这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小,最小值是3万元.【解析】无23．把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数．(1)若，求，的值；(2)已知函数，若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和.【答案】(1)三角形数表中前m行共有个数，所以第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第项．故第m行最后一个数是．因此，使得的m是不等式的最小正整数解．由得，, 于是，第45行第一个数是，(2)第n行最后一个数是，且有n个数，若将看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为的等差数列，故..故.因为，两式相减得.．【解析】本题考查数列的概念,数列的通项与求和.(1)找规律得第m行最后一个数是.可得，求出第45行第一个数是，(2).．错位相减可得.。
高一数学下学期期末考试试题含解析_3
一中2021~2021年度第二学期高一年级期末考试数学试卷〔文科〕一、选择题：每一小题给出的四个选项里面只有一项是哪一项符合题目要求的． a b >，那么以下不等式成立的是〔 〕A.11a b< B. 22ax bx > C. 22a b > D.33x x a b > 【答案】D 【解析】 【分析】取特殊值检验，利用排除法得答案。
【详解】因为a b >，那么当1,1a b ==-时11a b>，故A 错；当0x =时22ax bx =，故B 错； 当1,1a b ==-时，22a b =，故C 错；因为a b >且103x >，所以33x x a b>应选D.【点睛】此题考察不等式的根本性质，属于简单题。
ABC △中，3A π∠=，6,BC AB ==C ∠=〔 〕A.4π或者34πB.34πC.4π D.6π 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理计算即可。
【详解】由题根据正弦定理可得sin sin BC AC A C = sin C =，解得sin 2C = ， 所以C ∠为4π或者34π，又因为3A π∠=，所以C ∠为4π应选C.【点睛】此题考察正弦定理，属于简单题。
}{na 满足11a==，那么10a =〔 〕A. 10B. 20C. 100D. 200【答案】C 【解析】 【分析】由题可得数列是以1为首相，1为公差的等差数列，求出数列的通项公式，进而求出10100a =【详解】因为11a ==，所以数列是以1为首相，1为公差的等差数列()111n n =+-⨯=10=，那么10100a =【点睛】此题考察由递推公式证明数列是等差数列以及等差数列的通项公式，属于一般题。
x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，那么关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是〔 〕 A. (,1)(3,)-∞-+∞ B. (1,3)- C. (1,3) D. (,1)(3,)-∞+∞【答案】A【解析】 【分析】由不等式的解集可知0a >且1ba=；从而可解得()()30ax b x +-=的根，根据二次函数图象可得所求不等式的解集.【详解】由0ax b ->的解集为()1,+∞可知：0a >且1ba= 令()()30ax b x +-=，解得：11x =-，23x =0a > ()()30ax b x ∴+->的解集为：()(),13,-∞-+∞此题正确选项：A【点睛】此题考察一元二次不等式的求解问题，关键是可以通过一次不等式的解集确定方程的根和二次函数的开口方向.5.我国古代名著?九章算术?中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．〞意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤〞，假设该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤一共重多少斤？〔 〕 A. 6斤 B. 7斤C. 9斤D. 15斤【答案】D 【解析】【分析】直接利用等差数列的求和公式求解即可.【详解】因为每一尺的重量构成等差数列{}n a ，14a =，52a =，156a a ∴+=，数列的前5项和为155553152a a S =⨯=⨯=+．即金锤一共重15斤， 应选D ．【点睛】此题主要考察等差数列求和公式的应用，意在考察运用所学知识解答实际问题的才能，属于根底题.}{na 前n 项和为nS，满足1020S S =，那么以下结论中正确的选项是〔 〕A. 15S 是n S 中的最大值B. 15S 是n S 中的最小值C. 150S =D. 300S =【答案】D 【解析】此题考察等差数列的前n 项和公式，等差数列的性质，二次函数的性质. 设公差为,d 那么由等差数列前n 项和公式1(1)2n n n S na d -=+知：n S 是n 的二次函数；又1020S S =知对应二次函数图像的对称轴为102015;2n +==于是对应二次函数为2()(15);f n a n b =-+无法确定000;a a a =><或或所以根据条件无法确定n S 有没有最值；但是根据二次函数图像的对称性，必有(0)(30)0,f f ==即300.S =应选D}{na 中，23711440aa a -+=，数列}{nb 是等比数列，且77b a =，那么68b b =〔 〕A. 4B. 8C. 16D. 64【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列性质可求得7a ，再利用等比数列性质求得结果.【详解】由等差数列性质可得：()222371131177744480a a a a a a a a -+=+-=-=又{}n a 各项不为零 78a ∴=，即78b =由等比数列性质可得：268764b b b ==此题正确选项：D【点睛】此题考察等差数列、等比数列性质的应用，属于根底题.ABC ∆中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，假设sin cos 0b A B -=，且三边,,a b c 成等比数列，那么2a cb+的值是〔 〕B.2C. 2D. 1【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理整理可得tan B =，进而可知在三角形中3B π=，由,,a b c 成等比数列得2b ac =，再根据余弦定理化简配方，从而得出答案。
高一数学下学期期末考试试题文含解析3
卜人入州八九几市潮王学校2021年第二学期高一年级期末考试试卷数学〔文科〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.(2,3)A ，(3,2)B --，那么直线AB 的斜率是〔〕A.1B.-1C.5D.-5【答案】A 【解析】 【分析】由23k 32AB--=--,即可得出结果. 【详解】直线AB 的斜率23132k --==--.【点睛】此题主要考察直线的斜率，属于根底题型.a ，b ，c ∈R ，且a b >，那么以下不等式一定成立的是〔〕A.a c b c +>-B.22acbc>C.20c a b>-D.2()0a b c-【答案】D 【解析】 【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A.a c +与b c -的大小不确定，所以该选项错误； B.22222()0,acbc a b c ac bc =≥≥-∴-,所以该选项错误；C.20c a b-,所以该选项错误； D.2()0a b c -,所以该选项正确.应选：D【点睛】此题主要考察实数大小的比较，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题.ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设3A π=，4B π=，a=，那么b =〔〕 A.3 B.2C.D.【答案】C 【解析】 【分析】直接利用正弦定理求解.【详解】在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a bA B=，所以sin sin 4sin sin3a Bb Aππ⋅===应选：C【点睛】此题主要考察正弦定理解三角形，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题.:10m x y +-=被圆22:240M x y x y +--=截得的弦长为〔〕A.4B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】先由圆的一般方程写出圆心坐标()1,2，再由点到直线的间隔公式求出圆心到直线m 的间隔d ，那么弦长等于.【详解】∵22240xy x y +--=，∴()()22125x y -+-=，∴圆M 的圆心坐标为()1,2，半径为()1,2到直线10x y +-=的间隔d ==m 被圆M 截得的弦长等于=【点睛】此题主要考察圆的弦长公式的求法，常用方法有代数法和几何法；属于根底题型. 5.假设某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积是〔〕A.13B.32C.34D.3【答案】B 【解析】 【分析】先由三视图判断该几何体为底面是直角三角形的直三棱柱，由棱柱的体积公式即可求出结果.【详解】据三视图分析知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，且三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为1，所以该几何体的体积13122V =⨯=.【点睛】此题主要考察几何体的三视图，由三视图求几何体的体积，属于根底题型. 6.如图，假设长方体1111ABCD A B C D -的六个面中存在三个面的面积分别是2,3,6，那么该长方体中线段1BD 的长是〔〕B.C.28D.【答案】A 【解析】 【分析】由长方体的三个面对面积先求出同一点出发的三条棱长，即可求出结果. 【详解】设长方体1111ABCD A B C D -从一个顶点出发的三条棱的长分别为,,a b c ，且2ab =，3ac =，6bc =，那么1a =，2b =，3c =，所以长方体1111ABCD A B C D -中线段1BD 的长等=【点睛】此题主要考察简单几何体的构造特征，属于根底题型.221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=相切，那么实数m =〔〕A.9B.-11C.-11或者-9D.9或者-11【答案】D 【解析】 【分析】分别讨论两圆内切或者外切，圆心距和半径之间的关系即可得出结果.【详解】圆1C 的圆心坐标为()0,0，半径11r =；圆2C 的圆心坐标为()3,4，半径2r =论：当圆1C 与圆2C 1=+，所以9m =；当圆1C 与圆2C 内1=，所以11m =-，综上，9m =或者11m =-.【点睛】此题主要考察圆与圆位置关系，由两圆相切求参数的值，属于根底题型. 8.,m n 为两条不同的直线，,αβ ①假设m α⊥，m β⊥，那么//αβ；②假设//m α，//m β，那么//αβ；③假设m α⊥，//m β，那么αβ⊥；④假设//m α，//n β，//αβ，那么//m n 〕A.②③B.①③C.②④D.①④【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的断定与性质即可答题.【详解】垂直于同一条直线的两个平面互相平行,故①对；平行于同一条直线的两个平面相交或者平行，故②错；假设//m α，//n β，//αβ，那么//m n 或者m 与n 为异面直线或者m 与n 为相交直线，故④错；假设//m β，那么存在过直线m 的平面r ，平面r 交平面β于直线l ，//l m ，又因为m α⊥，所以lα⊥，又因为l ⊂平面β，所以βα⊥，故③对.应选B.【点睛】此题主要考察空间中，直线与平面平行或者垂直的断定与性质,以及平面与平面平行或者垂直的断定与性质，属于根底题型.x ，y 满足不等式组220,10,2,x y x y y ++⎧⎪+-⎨⎪-⎩那么z x y =-的最大值为〔〕A.5-B.2C.5D.7【答案】C 【解析】 【分析】利用线性规划数形结合分析解答.【详解】由约束条件220,10,2,x y x y y ++⎧⎪+-⎨⎪-⎩，作出可行域如图：由210y x y =-⎧⎨+-=⎩得A(3,-2).由zx y =-，化为y x z =-，由图可知，当直线y x z =-过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为5.应选：C .【点睛】此题主要考察利用线性规划求最值，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题.{}n a 的前n 项和为n S ，18a =，42a =且满足()*212n n n a a a n N ++=-∈，假设510S a λ=，那么λ的值是〔〕A.13-B.3-C.12-D.2-【答案】D 【解析】 【分析】由递推关系可证得数列{}n a 为等差数列，利用等差数列通项公式求得公差2d =-；利用等差数列通项公式和前n 项和公式分别求得10a 和5S ，代入求得结果. 【详解】由()*212n n n a a a n N ++=-∈得：211n n n n a a a a +++-=-∴数列{}n a 为等差数列，设其公差为d18a =，42a =3286d ∴=-=-，解得：2d =- 101981810a a d ∴=+=-=-，515454020202S a d ⨯=+=-= 此题正确选项：D【点睛】此题考察等差数列根本量的计算，涉及到利用递推关系式证明数列为等差数列、等差数列通项公式和前n 项和公式的应用. 11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -，点P 在线段1BC 上运动，那么以下判断正确的选项是〔〕①平面1PB D ⊥平面1ACD②1//A P 平面1ACD③异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是0,3π⎛⎤⎥⎝⎦④三棱锥1D APC -的体积不变A.①②B.①②④C.③④D.①④【答案】B【分析】①连接DB 1，容易证明DB 1⊥面ACD 1，从而可以证明面面垂直；②连接A 1B ，A 1C 1容易证明平面BA 1C 1∥面ACD 1，从而由线面平行的定义可得； ③分析出A 1P 与AD 1所成角的范围，从而可以判断真假；④1A D PC V -=1A CD P V -，C 到面AD 1P 的间隔不变，且三角形AD 1P 的面积不变；【详解】对于①，连接DB 1，根据正方体的性质，有DB 1⊥面ACD 1，DB 1⊂平面PB 1D ，从而可以证明平面PB 1D⊥平面ACD 1，正确．②连接A 1B ，A 1C 1容易证明平面BA 1C 1∥面ACD 1，从而由线面平行的定义可得A 1P∥平面ACD 1，正确． ③当P 与线段BC 1的两端点重合时，A 1P 与AD 1所成角取最小值3π， 当P 与线段BC 1的中点重合时，A 1P 与AD 1所成角取最大值2π， 故A 1P 与AD 1所成角的范围是32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，错误； ④1A D PC V -=1A CD P V -，C 到面AD 1P 的间隔不变，且三角形AD 1P 的面积不变． ∴三棱锥A ﹣D 1PC 的体积不变，正确； ． 应选：B ．【点睛】此题考察空间点、线、面的位置关系，空间想象才能，中档题．111ABC A B C -的底面为直角三角形，侧棱长为2，体积为1，假设此三棱柱的顶点均在同一球面上，那么该球半径的最小值为〔〕A.1B.2【答案】D【分析】先证明棱柱为直棱柱，再求出棱柱外接球的半径，利用根本不等式求出其最小值. 【详解】∵三棱柱内接于球，∴棱柱各侧面均为平行四边形且内接于圆， 所以棱柱的侧棱都垂直底面， 所以该三棱柱为直三棱柱.设底面三角形的两条直角边长为a ，b ， ∵三棱柱111ABC A B C -的高为2，体积是1，∴1212ab ⋅=，即1ab =，将直三棱柱111ABC A B C -补成一个长方体， 那么直三棱柱111ABC A B C -与长方体有同一个外接球，所以球O 的半径为24222ab +=.应选：D【点睛】此题主要考察几何体外接球的半径的计算和根本不等式求最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.20x x a -->的解集为{|3x x >或者}2x <-，那么实数a =__________.【答案】6 【解析】 【分析】由题意可知2-，3为方程20x x a --=的两根，利用韦达定理即可求出a 的值.【详解】由题意可知2-，3为方程20x x a --=的两根，那么23a -⨯=-，即6a =.【点睛】此题主要考察一元二次不等式的解，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题.(,)M a b 在直线:3425l x y +=__________.【答案】5 【解析】 【分析】(0,0)到点(,)a b 的间隔，再利用点到直线的间隔求解.(0,0)到点(,)a b 的间隔.又∵点(,)M a b 在直线:3425l x y +=上，(0,0)到直线34250x y +-=的间隔d ，且5d ==.【点睛】此题主要考察点到两点间的间隔和点到直线的间隔的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，那么使不等式12019113n T ->成立的最大正整数n 的值是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】设等比数列{a n }的公比q ，由于是正项的递增等比数列，可得q ＞1．由a 1+a 5=82，a 2•a 4=81=a 1a 5，∴a 1，a 5，是一元二次方程x 2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a 1，a 5，利用通项公式可得q ，a n ．利用等比数列的求和公式可得数列{2na }的前n 项和为T n ．代入不等式2021|13T n﹣1|＞1，化简即可得出． 【详解】数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，a 2•a 4=81=a 1a 5，即15158281a a a a +=⎧⎨⋅=⎩解得15181a a =⎧⎨=⎩，那么公比3q =，∴13n n a -=， 那么2122221333nn T -=++++11132311313n n -⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭-， ∴12019113n T ->，即1201913n ⨯>，得32019n <，此时正整数n 的最大值为6. 故答案为6.【点睛】此题考察了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考察了推理才能与计算才能，属于中档题． 16.ABC ∆中，3A B C +=，且sin cC=ABC ∆面积的最大值为__________. 【答案】1+【解析】 【分析】先利用正弦定理求出c=2,分析得到当点C在AB 的垂直平分线上时，AB 边上的高最大，ABC ∆的面积最大，利用余弦定理求出a =ABC ∆面积的最大值.【详解】由3A B C +=可得45C =︒，由正弦定理，得sin cC= 故sin 452c=︒=，当点C 在AB 的垂直平分线上时，AB 边上的高最大，ABC ∆的面积最大，此时a b =.由余弦定理知，2222cos c a b ab C=+-(224a ==，即a =故ABC∆面积的最大值为11sin (41222ab C =⨯+⨯=+故答案为：1【点睛】此题主要考察正弦定理余弦定理解三角形，考察三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于中档题.三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.3()21f x x =-，()1g x x =-.〔1〕求解不等式()()f x g x ；〔2〕假设12x>，求3()2()y f x g x =+的最小值. 【答案】〔1〕122xx ⎧<⎨⎩或者12x ⎫-⎬⎭〔2〕5【解析】 【分析】〔1〕对x 分类讨论解不等式得解；〔2〕由题得3()2()f xg x +91211222x x ⎛⎫=+-- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，再利用根本不等式求函数的最小值. 【详解】解：〔1〕当12x>时，()()(21)(1)3f x g x x x ⇔--，解得122x <. 当12x <时，()()(21)(1)3f x g x x x ⇔--，解得12x -.所以不等式解集为122xx ⎧<⎨⎩或者12x ⎫-⎬⎭.〔2〕3()2()f xg x +91211222x x ⎛⎫=+-- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭2915-=， 当且仅当21492x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即2x =时取等号.【点睛】此题主要考察分式不等式的解法，考察根本不等式求函数的最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.18.如图，在三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，且CA CB =.〔1〕证明：BC ∥平面PDE ； 〔2〕假设平面PCD ⊥平面ABC ，证明：AB PC ⊥.【答案】〔1〕见解析〔2〕见解析 【解析】 【分析】〔1〕先证明||DE BC ，再证明BC ∥平面PDE ；〔2〕先证明AB ⊥平面PCD ，再证明AB PC ⊥.【详解】证明：〔1〕因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以||DE BC .又DE ⊂平面PDE ，BC ⊂/平面PDE ，所以BC ∥平面PDE . 〔2〕因为CA CB =，D 为AB 中点，所以AB CD ⊥.又平面PCD ⊥平面ABC .平面PCD 平面ABC CD =，所以AB ⊥平面PCD .又PC⊂平面PCD ，所以AB PC ⊥.【点睛】此题主要考察空间几何元素位置关系的证明，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.()222:0O x y r r +=>与直线34150x y -+=相切〔1〕假设直线:25l y x =-+与圆O 交于,M N 两点，求;MN〔2〕()()9,0,1,0A B --，设P 为圆O 上任意一点，证明：PA PB为定值【答案】〔1〕4；〔2〕详见解析.【分析】〔1〕利用直线与圆相切dr =，结合点到直线间隔公式求出半径，从而得到圆的方程；根据直线被圆截得弦长的求解方法可求得结果；〔2〕设()00,Px y ，那么2209xy +=，利用两点间间隔公式表示出PA PB，化简可得结果.【详解】〔1〕由题意知，圆心O 到直线34150x y -+=的间隔：3d==圆O 与直线相切3r d ∴==∴圆O 方程为：229x y +=圆心O 到直线:25l y x =-+的间隔：d '==4MN ∴==，〔2〕证明：设()00,Px y ，那么22009x y +=即PA PB为定值3【点睛】此题考察直线与圆的综合应用问题，涉及到直线与圆位置关系的应用、直线被圆截得弦长的求解、两点间间隔公式的应用、定值问题的求解.解决定值问题的关键是可以用变量表示出所求量，通过化简、消元整理出结果.20.如图，在正方体1111ABCD A B C D -，中，E ，F ，Q ，R ，H 分别是棱AB ，BC ，11A D ，11D C ，1DD 的中点.〔1〕求证：平面1BD F ⊥平面QRH；〔2〕求平面11AC FE 将正方体分成的两局部体积之比.【答案】〔1〕见解析〔2〕17:7 【解析】〔1〕先证明1BD ⊥平面QRH ，再证明平面1BD F⊥平面QRH；〔2〕连接1C E ，1C B ，那么截面11AC FE 右侧的几何体为四棱锥111C A B BE -和三棱锥1C BEF -，再求出每一局部的体积得解.【详解】〔1〕证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1AD .因为Q ，H 分别是11A D ，1DD 的中点，所以1QH AD ⊥.因为AB ⊥平面11ADD A ，QH ⊂平面11ADD A ，所以AB QH ⊥. 因为1ABAD A =，所以QH ⊥平面1ABD ，1BD ⊂平面1ABD ， 所以1QH BD ⊥，同理1RH BD ⊥，因为QH RH H =，所以1BD ⊥平面QRH，因为1BD ⊂平面1BD F ，所以平面1BD F ⊥平面QRH；〔2〕连接1C E ，1C B ，那么截面11AC FE 右侧的几何体为四棱锥111C A B BE -和三棱锥1C BEF -，设正方体棱长为1， 所以1111C A B BEC BEF V V --+111111133A B BE BEF S C B S CC ∆=⋅+⋅3211111711113223224⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯⋅+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以平面11AC FE 将正方体分成的两局部体积之比为771:17:72424⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 【点睛】此题主要考察面面垂直关系的证明和几何体体积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于中档题.21.如图，在四边形ABCD 中，34ABCπ∠=，AB AD ⊥，AB =.〔1〕假设AC =ABC ∆的面积；〔2〕假设6ADC π∠=，CD =AD 的长.【答案】〔1〕12；〔2〕【分析】〔1〕由余弦定理求出BC ，由此能求出△ABC 的面积．〔2〕设∠BAC ＝θ，AC=x ，由正弦定理得sin sin 4xAB ABCπθ=∠⎛⎫- ⎪⎝⎭从而1=sin 4x πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在ACD ∆中，由正弦定理得x ，建立关于θ的方程，由此利用正弦定理能求出sin∠CAD ．再利用余弦定理可得结果. 【详解】〔1〕因为34ABC π∠=，AB =AC =所以2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，即2230BC BC +-=，所以1BC =.所以111222ABCS=⨯=. 〔2〕设04BACπθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，AC x =，那么2CAD πθ∠=-，在ABC ∆中，由正弦定理得：sin sin 4xAB ABCπθ=∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1sin 4x πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭； 在ACD ∆中，sinsin 62xCDππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以cos x θ=.即1cos sin 4πθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得：1tan 2θ=，所以sin cos CAD θ∠==，所以AC x ===cos CAD ∠=， 所以在ACD ∆中，2222cos CD AC AD AC AD CAD =+-⋅∠.即2220AD --=，解得AD =或者AD =〔舍〕.【点睛】此题考察正、余弦定理在解三角形中的应用，考察了引入角的技巧方法，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是中档题．{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线22y x =-上.〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设()23log 2n nnS b a -+=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】〔1〕2n n a =〔2〕2n nnT =【解析】 【分析】〔1〕先由题意得到22n n S a =-，求出12a =，再由22n n S a =-，1122n n S a ++=-作出，得到数列{}n a 为等比数列，进而可求出其通项公式；〔2〕先由〔1〕得到22nnnb -=，再由错位相减法，即可求出结果. 【详解】解：〔1〕由题可得22n n S a =-.当1n =时，1122S a =-，即12a =.由题设22n n S a =-，1122n n S a ++=-，两式相减得12n na a +=. 所以{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，故2n na =.〔2〕由〔1〕可得122n n S +=-，所以()23log 222n n n nS nb a -+-==， 2310122222n n n T --=++++. 两边同乘以12得23411101222222n n nT +--=+++⋯+.上式右边错位相减得2311111121222222n n n nT +----⎛⎫-=++++- ⎪⎝⎭. 所以21111112222122212n n n nT +---⨯-=+--. 化简得2n n nT =.【点睛】此题主要考察求数列的通项公式，以及数列的前n 项和，熟记等比数列的通项公式与求和公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型.。
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宣威五中2018年春季学期期末试卷高一文科数学
一、单选题
1.1.已知等差数列中，若，则它的前项和为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：利用等差数列的性质求和.
详解：由题得故答案为：D
点睛：(1)本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和转化能力.(2) 等差数列中，如果,则,特殊地，时，则
，是的等差中项.
2.2.在中，，，分别为角，，所对的边，若，则（）
A. 一定是锐角三角形
B. 一定是钝角三角形
C. 一定是斜三角形
D. 一定是直角三角形
【答案】D
【解析】
【详解】分析：已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，得到
，确定出C为直角，即可得到三角形为直角三角形.
解析：已知，利用正弦定理化简得：
，
整理得：，
，
，即.
则为直角三角形.
故选：D.
点睛：利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路
(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用
这个结论．
3.3.已知向量满足，则
A. 4
B. 3
C. 2
D. 0
【答案】B
【解析】
分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因为所以选B.
点睛：向量加减乘：
4.4.“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，
所以，
又，则
故选D.
点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：
（1）定义法，若（）或（），数列是等比数
列；
（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.
5.5.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
因为的底边的长是定值，所以三角形面积的取值范围转化为点P到直线的距离，即圆上动点到直线的距离问题.
【详解】令得，令得，所以，,圆心到直线的距离，所以P到直线距离满足，即，又三角形面积，所以，故选A.
【点睛】圆上的动点到直线的距离问题，一般可以转化为该圆圆心到直线的距离，其范围为圆心到直线的距离加减半径，即.
6.6.在中,点在线段上,且则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
三角形所在的平面上，取为基底，利用向量的加减法可以表示出向量,从而求出
.
【详解】因为,所以，从而
，故选B.
【点睛】平面向量的线性运算问题，一般只需选定一组基底，其余的向量都利用这组基底表
示出来，即可解决相关问题.
7.7.在中，，，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.
详解：因为
所以，选A.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
8.8.已知点，若动点的坐标满足，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
作出可行域，根据可行域的形状，确定的最小值.
【详解】作出可行域如图：
观察图象可知，最小距离为点A到直线的距离，即
，故选C.
【点睛】有关可行域外一定点与可行域内动点距离的最值，一般是连接可行域的顶点所得线段的长或定点到可行域边界的距离.
9.9.若不等式的解集为，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：根据“三个二次”的关系求解，先由解集得到不等式系数的值，然后再求比值．
详解：∵不等式的解集为，
∴和是方程的解，且，
∴，解得，
∴．
故选C．
点睛：解一元二次不等式时要结合“三个二次”的关系进行，借助图象的直观性可容易的得到不等式的解集，同时也要注意不等式解集的端点值是不等式对应的二次函数的零点、也是一元二次方程的根．
10.10.在由正数组成的等比数列中，若，的为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
在等比数列中，由，得，所以，则
，故选A
11.11.若正数a，b满足，则的最小值为（）
A. 1
B. 6
C. 9
D. 16
【答案】B
【解析】。