2018-2019学年山西省怀仁一中高二下学期期末考试数学(理)试题 word版
山西省朔州市怀仁县第一中学、应县第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析
2017-2018学年第二学期高二年级期末考试理科数学试题一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1. 表示复数.）【答案】C，所以选C.考点：复数的运算.2. .则下列命题为真命题的是（）D.【答案】B【解析】分析：先判断命题p,q的真假，再判断选项的真假.详解：由题得命题p是真命题，命题q是假命题，如：0>-1,B.点睛：本题主要考查命题的真假，考查含逻辑联结词的命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复合命题的真假的判断口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.3. ）【答案】A.故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)研究圆锥曲线时，首先一般把曲线的方程化成标准方程再研究.4. ）【答案】D，再求函数的单调增区间.因为x>0，所以x>2.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 用导数求函数的单调区间：求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求,得函数的单调递增（减）区间.5. 从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（）A. 70种B. 112种C. 140种D. 168种【答案】C【解析】试题分析：∵从10个同学中挑选4从甲、乙之外的8个同学中挑选41C．考点：组合及组合数公式．视频6.（）【答案】A，所以双曲线的焦点坐标为，故选A.考点：1.抛物线的标准方程及几何性质；2.双曲线的标准方程及几何性质.7.））D.【答案】B【解析】试题分析：由题意故选B．考点：正态分布视频8. ，为两条不重合的直线，，）A. 若所成的角相等，则C. 若【答案】D【解析】考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．分析：根据题意，依次分析选项，A、用直线的位置关系判断．B、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．C、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．D、由a⊥α，α⊥β，可得到a?β或a∥β，再由b⊥β得到结论．解：A、直线a，b的方向相同时才平行，不正确；B、用长方体验证．如图，设A1B1为a，平面AC为α，BC为b，平面A1C1为β，显然有a∥α，b∥β，α∥β，但得不到a∥b，不正确；C、可设A1B1为a，平面AB1为α，CD为b，平面AC为β，满足选项C的条件却得不到α∥β，不正确；D、∵a⊥α，α⊥β，∴a?β或a∥β又∵b⊥β∴a⊥b故选D9. ）【答案】C【解析】分析：先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y=﹣x2与直线y=2x﹣3的面积，即可求得结论．详解：由y=﹣x2与直线y=2x﹣3联立，解得y=﹣x2与直线y=2x﹣3的交点为（﹣3，﹣9）和（1，﹣1）因此，y=﹣x2与直线y=2x﹣3围成的图形的面积是3﹣x2+3x．故答案为：C．点睛：（1）本题主要考查利用定积分的几何意义和定积分求面积，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2轴上方，有一部分在轴下方，那么定积分方的曲边梯形的面积.10. .0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A. 0.960B. 0.864C. 0.720D. 0.576【答案】B【解析】试题分析：系统正常工作当①正常工作，不能正常工作，②正常工作，不能正常工作,③正常工作，因此概率.考点：独立事件的概率.11. 6次，有3次命中且恰有2次连续命中的概率为（）【答案】C个空位，12. 定义“规范01如下：项，其中0，1，0的个数不少于1的个数.01数列”共有（）A. 14个 B. 13个 C. 15个 D. 12个【答案】A【解析】分析：由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．详解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故答案为：A.点睛：本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏. 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13. 某产品的广告费用7.据此模型预报广告费用为10万元时销售额为__________（万元）．【答案】73.5【解析】试题分析：回归直线必过样本点中心（4.5，35），得，因此回归方程为，将代入回归方程，得到答案是73.5。
2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理
2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理(本试题卷共4页，考试用时120分钟，满分150分。
)注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，班级写在姓名后面。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U={1,2,3,4},集合M={1,2},N={2,3},则N∪(∁UM)=( ) A．{1，2，3} B．{2，3，4} C．{3} D．{4}2．复数的虚部是（）A． 2i B． 2 C． i D．13．已知命题，则为( )A． B．C．D．4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是( )A．0.16 B．0.24C．0.96 D．0.045.已知p：|x|<2；q：x2－x－2<0，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s的值等于( )A．－10 B．－3C．0 D．－27．设变量x，y满足则目标函数z＝2x＋3y的最小值为( ) A．22 B．8C．7 D．238．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A．0.45 B．0.75C．0.6 D．0.89．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )A．30B．20C．15 D．1010. 某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1,2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是( ) A．1,2,3,4,5,6 B．6,16,26,36,46,56C．1,2,4,8,16,32 D．3,9,13,27,36,5411．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－212. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )A．16种B．36种C．42种D．60种二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.14.已知x，y的取值如下表：从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为＝1.46x＋，则实数的值为________．已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X＞2)等于16.设a>0，b>0.若a＋b＝1，则＋的最小值是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分10分）已知在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为(θ为参数)，直线l经过定点P(3,5)，倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．17.(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组研发新产品是否成功相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和均值．18. (本小题满分12分)“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；（2）求40名读书者年龄的众数和平均数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望．20.（本小题满分12分）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为.(1)请完成上面的2×2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关”；(2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．附：K2＝，21.（本小题满分12分）已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.(1)求a，b的值；(2)求函数的极小值；(3)求函数在[－1,2]的最值．22.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间．奈曼旗实验中学2018--2019学年度（下）期末考试高二理科数学试卷出题人：秦绪钰(本试题卷共4页，考试用时120分钟，满分150分。
2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)_20
2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写（涂）在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡书写作答，在试题上作答，答案无效。
3．考试结束，监考教师将答题卡收回。
第I卷（选择题共60分）—、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的代号为A．B．C．D的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.己知复数，若为纯虚数，则A. -1B. 1C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算和纯虚数的概念求得.【详解】由已知得：，所以解得：故选B.【点睛】本题考查复数的除法运算和纯虚数的概念,属于基础题.2.焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题目要求解的双曲线与双曲线有相同的渐近线，且焦点在y轴上可知，设双曲线的方程为，将方程化成标准形式，根据双曲线的性质，求解出的值，即可求出答案。
【详解】由题意知，设双曲线的方程为，化简得。
解得。
所以双曲线的方程为，故答案选A。
【点睛】本题主要考查了共渐近线的双曲线方程求解问题,共渐近线的双曲线系方程与双曲线有相同渐近线的双曲线方程可设为，若，则双曲线的焦点在x轴上，若，则双曲线的焦点在y轴上。
3.设，，若，则的最小值为A. B. 8 C. 9 D. 10【答案】C【解析】分析】根据题意可知，利用“1”的代换，将化为，展开再利用基本不等式，即可求解出答案。
【详解】由题意知，，，且，则当且仅当时，等号成立，的最小值为9，故答案选C。
山西省朔州市怀仁某校2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题理
山西省朔州市怀仁某校2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.4?x1x AB4}?x|?2?0}B?{xA?{?Z|=（ 1.已知集合，则），24x?{?1,0,1,2}{x|?1?x?2} A．B．{?2,?{0,1,2}1,0,1,2} C ．D．1?ti t?zi的取值范围为为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则2.已知1?i（）(1,1]?1,1)[?B． A．(1,??(??,?1)) C．． D2xxaxa的取值范围为( －1)) 3.若命题“?＋1<0”是假命题，则实数∈R，使(＋000aa≤3 BA．1≤．－1≤≤3aa≤1 C．－3≤D≤3 ．－1≤22xx22??1?1?y?yCC：：4.与双曲线已知双曲线，给出下列说法，其中错误的是1222（）A.它们的焦距相等 B．它们的焦点在同一个圆上D．它们的离心率相等 C.它们的渐近线方程相同2a??1aa}{a0x??x1?3”的（）5.在等比数列的两根”是“中，“，是方程8124n A．充分不必要条件 B．必要不充分条件D ．既不C.充要条件充分也不必要条件MlαPla，2与点(1，1)1(21)0已知直线6.过点(1，，－，平行于向量＝，，，平面过直线 3)，α)的法向量不可能是则平面(- 1 -11????，，－1 ，2) B.A.(1，－4??4211????，－，1－D.(0，－1C. ，1)??42πθθρθθρ围成的图形的面积为＋＝＝，sin cos 7.在极坐标系中，由三条直线1＝0，3)(1313－32－ D.A. B. C.3444) ( 个不同的数，…，9这9个整数中同时取4其和为偶数，则不同的取法共有8.若从1,2,3， 66种63种C．65种 D．A．60种 B．mbba)mm122＋yayxmx展开式的二项式系数，()展开式的二项式系数的最大值为9.设)为正整数，(＋＋等于( 7的最大值为，则，若13 ＝8 A．5 B．6 C．7D． 110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：10.通过随机询问总604爱2050 20不爱好3011060总计5022bcnad－－22KK＝≈7.8.由＝算得，dbccdaab＋60×50×60×50＋＋＋附表：2k PK 0.001(0.0500.010≥) k10.8283.8416.635)参照附表，得到的正确结论是(A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”|MA|2x CC xy ?8MFA 则当11.焦点为的抛物线在抛物线：，点的准线与上，轴交于点 |MF|MA ）取得最大值时，直线的方程为（ y ?2x ?y ??yx2??x ?2 B ．A 或．- 2 -2y ??2x ??y ?2x2y ??2x ?2 C.D 或．4]?[2,x)x(f(x)fx ?2)?2f(R 时，满足定义在，且当上的函数12.2?3,x ?x,2?x ??4?2,1]?x ?[?x ?[?2,0]??xf()1?ax ?g(x)，使得，对，?22x ?214,?x ?,3?x ?a)(xg(x)?f 的取值范围为（ ，则实数）121111[?,0)[,(0,??)],(???)．B ． A888411)??(??,?][,(0,8]C.D ．84二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.?2a ?bab (8,6))b ?(2,1)?ca ?(1,方向上的投影，若向量，和与13.已知共线，则为 ．a 1???t ???x ＋，＝ t ??2?t 为参数)转化成普通方程为将参数方程________(． 14.b 1???t ??y －?＝t ??22XPPXXN σ________. ，则>2)，()，且＝(－2≤15.已知随机变量0.4服从正态分布≤0)＝(0BCDA ?O 的外已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）16.OBEBD3?3BC?3AB?2EEBD的截面，则，，过点在线段作圆接球，，点上，且 .所得截面圆面积的取值范围是.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤70分.三、解答题：本大题共6小题，共?2x?4?t,??2l x t轴的)已知直线，以坐标原点为极点，的参数方程为（为参数）17.(10分?2?t?y??2??lCC4cos?AB，，直线非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为与圆交于两点.CAB的长；）求圆的直角坐标方程及弦（1CAB?PABP的面积的最大值）动点（2在圆上（不与，重合），试求- 3 -m x1?)?x?f(x.设函数的最大值为18.(12分)22baam mb?ba??. 的值；（2）若正实数，求，满足的最小值（1）求1a?b?1AOCG?COOPAAB的为直径的圆为在以上，所在平面，19.(12分)如图，点垂直与圆.垂心PAC?OPG平面（1）求证：平面；G?A?OPAB?2AC?2PA?. ）若，求二面角的余弦值（2 消费)2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，20.(12分元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能600元（含600每超过.选择其中的一种个）的抽奖盒中，3个，黑球7方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球6个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3.7折；若没摸出红球，则不打折折，若摸出1个红球，则打个）的抽奖盒中，个，黑球7方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3.200元球，连摸3次，每摸到1次红球，立减有放回每次摸取1元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠）若两个顾客均分别消费了600（1 的概率；试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？）2若某顾客消费恰好满1000元，（22yx22baab.1 (，且>2>0)＝的离心率为＋21. (12分)已知椭圆＝22ab2 求椭圆的方程；(1)ABBmAymlx 0(2)是否存在实数与椭圆交于，使直线两点，且线段：－，＋的中点在圆＝22myx.的值；若不存在，请说明理由＝5＋上？若存在，求出k2kxxxfx(－＋已知函数22. (12分)≥0)．()＝ln(1＋)2fkyfx在点)(1，(1))处的切线方程；2(1)当＝时，求曲线＝(xf求(2)()的单调区间．- 4 -高二理科数学期末试卷答案一、选择题1-5:BBBDA 6-10:DBDBC 11-12：AD二、填空题2235yx??][24, 15.0.1 16.－＝1 .13. 14：22ba5三、解答题2?????cos?44cos? 17.解：（1）由得，2222C4?2)?yx?y?4x?0?(x. 的直角坐标方程为所以，所以圆2220?t?22t:lC4?y?(x?2)的参数方程代入圆，将直线，并整理得2t??20?.，解得12Cl2|t?t|?2. 截得的弦长为被圆所以直线21l0x?y??4.（2）直线的普通方程为?,?2cosx?2??C为参数），（圆的参数方程为??,?2siny???lC)?2cos,2sinP(2P的距离到直线上的动点可设曲线，则点????|2sin4|2?2cos????d?d1??))?2|cos(?|2cos(??取最大值，，当时，442 d2?2. 且的最大值为1?22?(2?2)?2S??22，所以ABP?22?2ABP?. 即的面积的最大值为x≤－1，－1，??xx?＜11＜2，＋1，－xxfx |＝1|－解：（Ⅰ）|()＝|＋18.?? x1，≥1，fxxfxm＝1．．所以≥1时，( )有最大值由1()的单调性可知，当ba，＋＝（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，12222baba1ab1)] ＋[()＋＋1)(＋＝＋(abba13＋＋11＋＋1- 5 -2222bababaab1)(＋1)(＋1)(＋＋11)(1 2222baba) ＝[＋＋＋＋]≥(·＋2aabb1＋3＋11＋＋31111 2baab＝．当且仅当(时取等号．＝＋＝)＝23322ba1．＋即的最小值为ab3＋11＋ACOG M. 交于点19.解：（1）如图，延长AC G?AOC M. 因为的中点为为的重心，所以BCOOM//AB.的中点，所以为因为AC?ACOM?OBC AB. 因为的直径，所以是圆，所以OM?ABCPAABCOM??PA. 平面，所以，因为平面PAC?PACACAACPA??PA，又平面平面，，PAC?OM. 所以平面OPG?PACOG?OG平面即，，又平面PACOPG?.平面所以平面x CCACB APyz轴正方向建立空间直角坐标系，（2）以点方向分别为为原点，，，，131,0)O(,,0)(0,M3,0,0)(B2)(0,1,0)A PxyzC?(0,1,C(0,0,0)，，，，则，，，222133OPMOPMOPG2)?,,,0,0)OP?(OM??(的一即为平面，设平面.则，平面222 ?30,?x??n?OM??2n?(0,?y,z)4,1)xn?(,1?z. ，则令，得个法向量为?31?y?2z??OP???x0,n??22CCH?ABABCCH?PA?PAH，于点，由作，易得平面过点CH?PAOCHAABPA?PAB的一个法向量，所以平面，即又为平面.- 6 -31?30??HCB?60?Rt?ABCAB?2ACABC??CBCH?. ，则中，由，，得在2233?HCBx?CHcos??sin?HCBy?CH. ，所以HH4433,0)(,CH?. 所以4433?4??1?0|0?|251|n|CH?44??G?A?OP???cos. ，则的大小为设二面角1739|n|?||CH2214???161620.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠3C13P(A)??A，为事件，则3C120101?A)?P(PP?(A).所以两位顾客均享受到免单的概率为14400XX可能的取值为0，600，（2）若选择方案一，设付款金额为700元，则，1000.312CCC17733P(X?600)?P(X?0)???，，33C120C401010123CCC721737P(X?1000)??P(X?700)??，，33C40C241010X的分布列为，故172171?600??700??1000)E(X?0???764（元）. 所以1204040246Z?1000?200YZY，，则若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为933Y~B?Y)E()?3?(3,由已知可得，故，101010E(Z)?E(1000?200Y)?1000?200E(Y)?820（元）. 所以E(X)?E(Z)，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算因为.- 7 -c?2?a＝2，?，＝a2??c由题意得(1)解得21. 解：，＝12ba，2＝??b?＝1，222cba，－＝2y2x＝故椭圆的方程为＋1.2AxyBxyABMxy).(的中点为，(2)设，()，，线段)，(0012122y??2x＋＝1，2?联立直线与椭圆的方程得??xym＝0－，＋22222mxmmxmmΔ＜3，－2)(2＞)0－4即3×3＋2×＋(，即－2＝0，所以＝mmxx2＋21myxx，＋且，＝＝－＝＝000323mm2??22??yxMM，－上，＋＝即，又因为5点在圆??3322mm2????2????mmm－.所以不存在3矛盾5，解得＋3＝±，与.故实数＜＝????332xxkfxx＋－)＝ln(1＋当22. 解： (1)，＝2时，)(1xxf.2－′(1)＝＋x＋13ff＝′(1)(1)＝ln 2，，由于2fxyf，处的切线方程为((1)))在点所以曲线(1＝3yyxx0.＝－－23－ln 2＝＋(2ln 2－1)，即32kkxx1－＋xfx )．(∈－1(2)，′(，＋∞)＝x＋1xxfk.′(当＝－＝0时，)x＋1xf；′(所以，在区间(－1,0)上，)>0xf)<0. ′(在区间(0，＋∞)上，xf，－(1,0))的单调递增区间是(故．，＋∞)单调递减区间是(0kxkx1＋－xkf，)＝0<当＝<1时，由′(0x＋1k－1xx>0.＝，＝得021kk－1xf；上，(1,0)(所以，在区间－和，＋∞)′()>0k- 8 -k－1fx)<0.，在区间(0上，(′)kk－1xf，＋∞)，－1,0)和(故 ()的单调递增区间是(kk－1)．单调递减区间是(0，k2xxkf.)′(＝当时，＝1x＋1fx)的单调递增区间是(－1，＋∞)故(．xkxk1－＋xkf＝0)＝当，>1时，由′( x＋1k－1xx＝0.1,0)，－＝∈得(21kk－1fx)>0；上， 1，′()和(0，＋∞)(所以，在区间－kk－1xf)<0.(′(，0)上，在区间kk－1xf，，＋∞1的单调递增区间是(－，)和)(0故()kk－1 ．0)单调递减区间是(，k- 9 -。
2018-2019学年高二(下)期末数学试卷(含答案)
高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.（）A. 5B. 5iC. 6D. 6i2.( )B.3.某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6：5，为了解学生的视力情况，若样本中男生比女生多12人，则n=（）A. 990B. 1320C. 1430D. 15604.（2，k（6，4是（）A. （1，8）B. （-16，-2）C. （1，-8）D. （-16，2）5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 3πB. 4πC. 6πD. 8π6.若函数f（x）a的取值范围为（）A. （-5，+∞）B. [-5，+∞）C. （-∞，-5）D. （-∞，-5]7.设x，y z=x+y的最大值与最小值的比值为（）A. -1B.C. -28.x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为（）A. 2B. 1 D. 49.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10=10，S30=30，则S20=（）A. 20B. 10C. 20或-10D. -20或1010.当的数学期望取得最大值时，的数学期望为（）A. 211.若实轴长为2的双曲线C：4个不同的点则双曲线C的虚轴长的取值范围为( )12.已知函数f（x）=2x3+ax+a．过点M（-1，0）引曲线C：y=f（x）的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若|MA|=|MB|，则f（x）的极大值点为（）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.（x7的展开式的第3项为______．14.已知tan（α+β）=1，tan（α-β）=5，则tan2β=______．15.287212,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C面积则椭圆C的标准方程为______.16.已知高为H R的球O的球面上，若二面4三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.nn的通项公式．18.2019年春节档有多部优秀电影上映，其中《流浪地球》是比较火的一部．某影评网站统计了100名观众对《流浪地球》的评分情况，得到如表格：（1）根据以上评分情况，试估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上（包括四星）的频率；（2）以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立．（i）若从全国所有观众中随机选取3名，求恰有2名评价为五星1名评价为一星的概率；（ii）若从全国所有观众中随机选取16名，记评价为五星的人数为X，求X的方差．19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b sin A cos C+a sin C cos B A．（1）求tan A的值；（2）若b=1，c=2，AD⊥BC，D为垂足，求AD的长．20.已知B（1，2）是抛物线M：y2=2px（p＞0）上一点，F为M的焦点．（1，M上的两点，证明：|FA|，|FB|，|FC|依次成等比数列．（2）若直线y=kx-3（k≠0）与M交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，且y1+y2+y1y2=-4，求线段PQ的垂直平分线在x轴上的截距．21.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PB=PC，E为线段BC的中点，F为线段PA上的一点．（1）证明：平面PAE⊥平面BCP．（2）若PA=AB，二面角A-BD=F求PD与平面BDF所成角的正弦值．22.已知函数f（x）=（x-a）e x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a=2时，F（x）=f（x）-x+ln x，记函数y=F（x1）上的最大值为m，证明：-4＜m＜-3．答案和解析1.【答案】A【解析】故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系，子集与真子集，并集及其运算，属于基础题．先分别求出集合A与集合B，再判别集合A与B的关系，以及元素和集合之间的关系，以及并集运算得出结果．【解答】解：A={x|x2-4x＜5}={x|-1＜x＜5}，B={2}={x|0≤x＜4}，∴∉A，B，B⊆A，A∪B={x|-1＜x＜5}．故选C．3.【答案】B【解析】解：某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6：5，样本中男生比女生多12人，设男生数为6k，女生数为5k，解得k=12，n=1320．∴n=1320．故选：B．设男生数为6k，女生数为5k，利用分层抽样列出方程组，由此能求出结果．本题考查高一学生数的求法，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∴k=-3；∴（-16，-2）与共线．k=-3考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量基本定理．5.【答案】A【解析】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴，故选：A．几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，根据体积公式得到结果．本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．6.【答案】B【解析】解：函数f（x）x≤1时，函数是增函数，x＞1时，函数是减函数，由题意可得：f（1）=a+4≥，解得a≥-5．故选：B．利用分段函数的表达式，以及函数的单调性求解最值即可．本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．7.【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：A（2，5），B-2）由z=-x+y，得y=x+z表示，斜率为1纵截距为Z的一组平行直线，平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大值为7，经过B时则z=x+y的最大值与最小值的比值为：．故选：C．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．【解析】解：由题意，对任意的∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x1）=f（x）min=-3，f（x2）=f（x）max=3．∴|x1-x2|min∵T=4．∴|x1-x2|min=．故选：A．本题由题意可得f（x1）=f（x）min，f（x2）=f（x）max，然后根据余弦函数的最大最小值及周期性可知|x1-x2|min本题主要考查余弦函数的周期性及最大最小的取值问题，本题属中档题．9.【答案】A【解析】解：由等比数列的性质可得：S10，S20-S10，S30-S20成等比数列，（30-S20），解得S20=20，或S20=-10，∵S20-S10=q10S10＞0，∴S20＞0，∴S20=20，故选：A．由等比数列的性质可得：S10，S20-S10，S30-S20成等比数列，列式求解．本题考查了等比数列的通项公式和前n项和及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：∴EX取得最大值．此时故选：D．利用数学期望结合二次函数的性质求解期望的最值，然后求解Y的数学期望．本题考查数学期望以及分布列的求法，考查计算能力．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了双曲线的性质，动点的轨迹问题，考查了转化思想，属于中档题．设P i（x，y）⇒x2+y2（x2。
2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)_11
2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知等差数列中，，则（）A. 20B. 30C. 40D. 50【答案】A【解析】等差数列中，，，．故选：A．2.已知中，,则满足此条件的三角形的个数是 ( )A. 0B. 1C. 2D. 无数个【答案】C【解析】由正弦定理得即即，所以符合条件的A有两个，故三角形有2个故选C点睛：此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，会根据三角函数值求对应的角.3.函数，如果，且，则（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】根据图象可知，，所以，所以，所以，因为图象经过，所以代入解析式可得，解得，所以。
因为，所以这个区间内函数的对称轴为，又，所以，所以。
故本题正确答案为C。
点睛：本题主要考查的正弦型三角函数的图像和性质，根据三角函数的“五个关键点”可以从图像中得到，，求得函数的解析式，由，可知即得结果.4.数列中，，（），那么（）A. 1B. -2C. 3D. -3【答案】A【解析】∵，∴，即，∴，∴，∴是以6为周期的周期数列.∵2019=336×6+3，∴．故选B.5.将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（）A. ，的最小值为B. ，的最小值为C. ，的最小值为D. ，的最小值为【答案】A【解析】由题意得由题意得所以，因此当时，的最小值为，选A.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.6.在边长为1的正中，，是边的两个三等分点（靠近于点），等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：如图，，是边的两个三等分点，故选C.考点：平面向量数量积的运算7.若等差数列的前项和满足，，则（）A. B. 0 C. 1 D. 3【答案】B【解析】根据等差数列的性质仍成等差数列，则，则，，选B.8.如图，一货轮航行到处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距，随后货轮按北偏西的方向航行后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意可知：，与正东方向的夹角为，与正东方向的夹角为，，中利用正弦定理可得货轮的速度故选9.若均为单位向量，且，则的最小值为（）A. B. 1 C. D.【答案】A【解析】则当与同向时最大，最小，此时=，所以=-1，所以的最小值为，故选A点睛：本题考查平面向量数量积的性质及其运算律，考查向量模的求解，考查学生分析问题解决问题的能力，求出，表示出，由表达式可判断当与同向时，最小.10.已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影为（）A. 0B. 1C. 2D.【答案】D【解析】试题分析：在方向上的投影为，故选D.考点：向量的投影.11.如图，在中，．是的外心，于，于，于，则等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由正弦定理有 ,三角形外接圆半径,所以,在中, ,同理,所以 ,选D.12.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，由题设可得在上恒成立，令，则，又，且，故，所以问题转化为不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立。
2018-2019学年山西省朔州市怀仁一中高二(下)期末数学试卷(理科)(附答案详解)
2018-2019学年山西省朔州市怀仁一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|4−xx+2≥0}，B={x|14≤2x≤4}，则A∩B=()A. {x|−1≤x≤2}B. {−1,0，1，2}C. {−2,−1,0，1，2}D. {0,1，2}2.已知i为虚数单位，若复数z=1−ti1+i在复平面内对应的点在第四象限，则t的取值范围为()A. [−1,1]B. (−1,1)C. (−∞,−1)D. (1,+∞)3.若命题“∃x∈R，使x2+(a−1)x+1<0”是假命题，则实数a的取值范围为()A. [1,3]B. [−1,1]C. [−3,3]D. [−1,3]4.已知双曲线C1：x22−y2=1与双曲线C2：x22−y2=−1，给出下列说法，其中错误的是()A. 它们的焦距相等B. 它们的焦点在同一个圆上C. 它们的渐近线方程相同D. 它们的离心率相等5.在等比数列{a n}中，“a4，a12是方程x2+3x+1=0的两根”是“a8=±1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知直线l过点P(1,0，−1)，平行于向量a⃗=(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2，3)，则平面α的法向量不可能是()A. (1,−4,2)B. (14,−1,12) C. (−14,1,−12) D. (0,−1,1)7.在极坐标系中，由三条直线θ=0，θ=π3，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积是()A. 12B. 34C. √34D. 3−√348.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A. 60种B. 63种C. 65种D. 66种9.设m为正整数，(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=()A. 5B. 6C. 7D. 810. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由k 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)算得，k 2=110×(40×30−20×20)260×50×60×50≈7.8．参照附表，得到的正确结论是( )A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”11. 焦点为F 的抛物线C ：y 2=8x 的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当|MA||MF|取得最大值时，直线MA 的方程为( )A. y =x +2或y =−x −2B. y =x +2C. y =2x +2或y =−2x +2D. y =−2x +212. 定义在R 内的函数f(x)满足f(x +2)=2f(x)，且当x ∈[2,4)时，f(x)={−x 2+4x,2≤x ≤3x 2+2x,3<x <4g(x)=ax +1，对∀x 1∈[−2,0)，∃x 2∈[−2,1]，使得g(x 2)=f(x 1)，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,−18]∪[18,+∞) B. [−14,0)∪(0,18] C. (0,8]D. (−∞,−14]∪[18,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(1,λ),b ⃗ =(2,1)，若向量2a ⃗ +b ⃗ 与c ⃗ =(8,6)共线，则a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为______．14. 将参数方程{x =a2(t +1t )y =b 2(t −1t )(t 为参数)转化成普通方程为______ ．15. 已知随机变量X 服从正态分布N(0,σ2)且P(−2≤X ≤0)=0.4，则P(X >2)=______．16. 已知球O 是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A −BCD 的外接球，BC =3,AB =2√3，点E 在线段BD 上，且BD =3BE ，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知直线l 的参数方程为{x =4+√22t,y =√22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点．(1)求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；(2)动点P 在圆C 上(不与A ，B 重合)，试求△ABP 的面积的最大值．18. 设函数f(x)=|x +1|−|x|的最大值为m ．(1)求m 的值；(2)若正实数a ，b 满足a +b =m ，求a 2b+1+b 2a+1的最小值．19.如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直于圆O所在的平面，G为△AOC的重心．(1)求证：平面OPG⊥平面PAC；(2)若PA=AB=2AC=2，求二面角A−OP−G的余弦值．20.2021年春节期间，万达广场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600 元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸到2个红球，则打6折；若摸到1个红球，则打7折；若没摸到红球，则不打折．方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．(1)若两个顾客均分别消费了 600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；(2)若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且a2=2b．(1)求椭圆的方程；(2)是否存在实数m，使得直线l：x−y+m=0与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．22.已知函数f(x)=ln(1+x)−x+k2x2(k≥0)．(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求f(x)的单调区间．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合A ={x ∈Z|4−xx+2≥0}={x ∈Z|−2<x ≤4}={−1,0，1，2，3，4}， B ={x|14≤2x ≤4}={x|−2≤x ≤2}，则A ∩B ={−1,0，1，2}． 故选：B ．化简集合A 、B ，根据交集的定义写出A ∩B ． 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则z =1−ti 1+i转化为一般形式，再根据复数的几何意义，令z 的实部大于0，虚部小于0，解不等式组即可得出t 的范围． 【解答】 解：复数z =1−ti 1+i=(1−ti)(1−i)(1+i)(1−i)=1−t 2−t+12i ，∵z 在复平面内对应的点在第四象限，∴{1−t 2>0−t+12<0，解得−1<t <1．则实数t 的取值范围为(−1,1)． 故选：B ．3.【答案】D【解析】 【分析】本题考查特称命题的真假，一元二次不等式恒成立的条件，属于基础题．由命题“∃x ∈R ，使x 2+(a −1)x +1<0”是假命题，知∀x ∈R ，x 2+(a −1)x +1≥0，为真命题，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵命题“∃x∈R，使x2+(a−1)x+1<0”是假命题，∴∀x∈R，x2+(a−1)x+1≥0，为真命题．∴Δ=(a−1)2−4≤0，∴−1≤a≤3．故选：D．4.【答案】D【解析】解：根据题意，双曲线C1：x22−y2=1，其中a=√2，b=1，则c=√2+1=√3，则其焦距2c=2√3，焦点坐标为(±√3,0)，渐进线为y=±√22x，离心率e=ca=√3√2=√62；双曲线C2：x22−y2=−1，其标准方程为y2−x22=1，其中a=1，b=√2，则c=√2+1=√3，则其焦距2c=2√3，焦点坐标为(0,±√3)，渐进线为y=±√22x，离心率e=ca=√3；据此依次分析选项：对于A、两个双曲线的焦距都为2√3，A正确；对于B、双曲线C1焦点坐标为(±√3,0)，双曲线C2焦点坐标为(0,±√3)，都在圆x2+y2= 3上，B正确；对于C、两个双曲线的渐进线为y=±√22x，C正确；对于D、双曲线C1离心率为√62，双曲线C2的离心率为√3，不正确；故选：D．根据题意，由两个双曲线的方程计算出两个双曲线的焦点坐标、焦距、渐进性方程以及离心率，进而分析选项即可得答案．本题考查双曲线的标准方程，注意将双曲线的方程变形为标准方程．5.【答案】A【解析】解：∵a4，a12是方程x2+3x+1=0的两根，∴a4+a12=−3，a4⋅a12=1，∴a4和a12均为负值，由等比数列的性质可知a 8为负值，且a 82=a 4⋅a 12=1，∴a 8=−1，故“a 4，a 12是方程x 2+3x +1=0的两根”是“a 8=±1”的 充分不必要条件， 故选：A ．由韦达定理可得a 4⋅a 12=1，a 4和a 12均为负值，由等比数列的性质可得．本题考查等比数列的性质和韦达定理，注意等比数列隔项同号，本题易得错误答案±1，属易错题．6.【答案】D【解析】解：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量a ⃗ =(2,1,1)，和向量PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 而PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2，3)−(1，0，−1)=(0，2，4)，选项A ，(2,1，1)⋅(1，−4，2)=0，(0,2，4)⋅(1，−4，2)=0满足垂直，故正确； 选项B ，(2,1，1)⋅(14，−1，12)=0，(0,2，4)⋅(14，−1，12)=0满足垂直，故正确； 选项C ，(2,1，1)⋅(−14，1，−12)=0，(0,2，4)⋅(−14，1，−12)=0满足垂直，故正确； 选项D ，(2,1，1)⋅(0，−1，1)=0，但(0,2，4)⋅(0，−1，1)≠0，故错误． 故选D由题意可知，所求法向量比垂直于向量a ⃗ =(2,1,1)，和向量PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即数量积需都为0，验证即可．本题考查平面的法向量，涉及数量积的运算，属基础题．7.【答案】D【解析】解：三条直线θ=0，θ=π3，ρcosθ+ρsinθ=1的直角坐标方程分别为y =0，y =√3x ，x +y =1，这3条直线构成△OAB ，其中，O(0,0)，A(1,0)，B(√3−12,3−√32)， ∴△OAB 的面积为12×1×3−√32=3−√34，故选：D ．把极坐标化为直角坐标方程，在直角坐标系中画出这3条直线，从而求出这3条直线围成图形的面积．本题主要考查把极坐标化为直角坐标方程的方法，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．8.【答案】D【解析】 【分析】本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是根据题意把符合条件的取法分成三种情况，利用组合数表示出结果，本题是一个基础题．本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法． 【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有C 44=1种结果， 当取得4个奇数时，有C 54=5种结果， 当取得2奇2偶时有C 42C 52=6×10=60．∴共有1+5+60=66种结果， 故选D ．9.【答案】B【解析】解：∵m 为正整数，由(x +y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，以及二项式系数的性质可得a =C 2m m ，同理，由(x +y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b ，可得b =C 2m+1m =C 2m+1m+1． 再由13a =7b ，可得13C 2m m =7C 2m+1m，即13×(2m)!m!⋅m!=7×(2m+1)!m!⋅(m+1)!，即 13=7×2m+1m+1，即13(m +1)=7(2m +1)，解得m =6，故选：B ．根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m 的值．本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．10.【答案】C≈7.8．【解析】解：由题意算得，k2=110×(40×30−20×20)260×50×60×50∵7.8>6.635，∴有0.01=1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”故选：C．题目的条件中已经给出这组数据的观测值，我们只要把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于6.635，得到有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”．本题考查独立性检验的应用，这种问题一般运算量比较大，通常是为考查运算能力设计的，本题有创新的地方就是给出了观测值，只要进行比较就可以，本题是一个基础题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想，属于中档题．由题意可知则当取得最大值，则∠MAF必须取得最大值，此时AM与抛物线相切，设直线l的方程，代入抛物线方程，由△=0，考虑求得MA的方程．【解答】解：如图，过M做MP与准线垂直，垂足为P，则，则当|MA||MF|取得最大值，必须取得最小值，∠MAF 必须取得最大值， 此时AM 与抛物线相切，设切线方程为y =k(x +2)，则{y =k(x +2)y 2=8x , 化简得ky 2−8y +16k =0，由△=64−64k 2=0，得k 2=1，则k ±1， 则直线方程y =x +2或y =−x −2， 故选：A ．12.【答案】D【解析】解：当x ∈[2,4)时，f(x)={−x 2+4x,2≤x ≤3x 2+2x,3<x <4，可得f(x)在[2,3]上单调递减，在(3,4)上单调递增， ∴f(x)在[2,3]上的值域为[3,4]， 在(3,4)上的值域为(113,92)， ∴f(x)在[2,4)上的值域为[3,92)， ∵f(x +2)=2f(x)，∴f(x)=12f(x +2)=14f(x +4)，∴f(x)在[−2,0)上的值域为[34,98)， 当a >0时，g(x)为增函数，g(x)=ax +1在[−2,1]上的值域为[−2a +1,a +1]，∴{34≥−2a +198≤a +1，解得a ≥18；当a <0时，g(x)为减函数，g(x)在[−2,1]上的值域为[−a +1,2a +1]，∴{34≥a +198≤−2a +1，解得a ≤−14； 当a =0时，g(x)为常数函数，值域为{1}，不符合题意； 综上，a 的范围是a ≥18或a ≤−14． 故选：D ．求出f(x)在[2,4]上的值域，利用f(x)的性质得出f(x)在[−2,0]上的值域，再求出g(x)在[−2,1]上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a 的范围 本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，属于中档题．13.【答案】3√55【解析】解：2a ⃗ +b ⃗ =(4,2λ+1)， ∵2a ⃗ +b ⃗ 与c ⃗ =(8,6)共线， ∴2λ+1=3，即λ=1． ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =2+λ=3，∴a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为|a ⃗ |⋅cos <a ⃗ ,b ⃗ >=a ⃗ ⋅b ⃗ |b⃗ |=√5=3√55． 故答案为：3√55． 根据向量共线求出λ，计算a ⃗ ⋅b ⃗ ，代入投影公式即可． 本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．14.【答案】x 2a 2−y 2b2=1【解析】解：参数方程{x =a2(t +1t )y =b 2(t −1t)(t 为参数)整理得：{4x 2a2=t 2+2+1t 24y 2b2=t 2−2+1t2，转换为普通方程为x 2a 2−y 2b 2=1． 故答案为：x 2a 2−y 2b 2=1． 直接利用转换关系，把参数方程转换为普通方程．本题考查的知识要点：参数方程和普通方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．15.【答案】0.1【解析】解：∵随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2)，且P(−2≤X ≤0)=0.4， ∴P(0≤X ≤2)=0.4 ∴P(X >2)=0.5−0.4=0.1故答案为：0.1．本题考查正态分布曲线的性质，随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2)，由此知曲线的对称轴为Y轴，可得P(0≤X≤2)=0.4，即可得出结论．本题考查正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，解题的关键是正确正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义，由曲线的对称性求出概率．16.【答案】[2π,4π]【解析】【分析】本题考查了正三棱锥与外接球，过球内一点作球的截面面积的取值范围问题，涉及余弦定理，属较难题．画出图形，利用正三棱锥性质及勾股定理建立方程求得外接球半径，进而求得E到球心O的距离，根据过球O内一点E的截面中，与OE垂直的截面面积最小，过球心的截面面积最大即可得解．【解答】解：如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接O1D，OD，O1E，OE，则BC=CD=BD=3，AB=AD=AC=2√3，则O1D=3sin60°×23=√3，AO1=√AD2−DO12=3，在Rt△OO1D中，R2=3+(3−R)2，解得R=2，∵BD=3BE，∴DE=2，在△DEO1中，O1E=√3+4−2×√3×2×cos30°=1，∴OE=√O1E2+OO12=√2，过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为√22−(√2)2=√2，最小面积为2π．当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．故答案为[2π,4π]．17.【答案】解：(1)由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ，所以x2+y2−4x=0，所以圆C的直角坐标方程为(x−2)2+y2=4．将直线l的参数方程代入圆C：(x−2)2+y2=4，并整理得t2+2√2t=0，解得t1=0，t2=−2√2．所以直线l被圆C截得的弦长为|t1−t2|=2√2．(2)直线l的普通方程为x−y−4=0．圆C的参数方程为{x=2+2cosθy=2sinθ(θ为参数)，可设曲线C上的动点P(2+2cosθ,2sinθ)，则点P到直线l的距离d=√2=|2cos(θ+π4)−√2|，当cos(θ+π4)=−1时，d取最大值，且d的最大值为2+√2．所以S△ABP≤12×2√2×(2+√2)=2+2√2，即△ABP的面积的最大值为2+2√2．【解析】本题考查了极坐标方程以及普通方程的转化，考查点到直线的距离以及三角函数的性质，是一道中档题．(1)根据极坐标以及直角坐标方程的关系求出圆C的直角坐标方程即可，联立直线的参数方程和圆的方程，求出弦长即可；(2)求出直线的普通方程以及圆的参数方程，可设曲线C上的动点P(2+2cosθ,2sinθ)，求出点P到直线l的距离，结合三角函数的性质求出△ABP的面积的最大值．18.【答案】解：(1)|x+1|−|x|≤|x+1−x|=1；∴f(x)的最大值为1；∴m=1；(2)由(1)可知，a+b=1；∴a2b+1+b2a+1=13(a2b+1+b2a+1)[(a+1)+(b+1)](或运用柯西不等式a2b+1+b2a+1=13(a2b+1+b2a+1)[(a+1)+(b+1)]≥13[a√b+1⋅√b+1+b√a+1⋅√a+1)2=13,当且仅当a=b=12时取等号)=13[a2(a+1)b+1+b2(b+1)a+1+a2+b2]≥13(2ab+a2+b2)=13(a+b)2=13；当且仅当a=b=12时取等号；即a2b+1+b2a+1的最小值为13．【解析】本题考查绝对值不等式的性质：|x+a|−|x+b|≤|a−b|，以及基本不等式的应用．(1)根据绝对值不等式：|x+1|−|x|≤|x+1−x|即可求出f(x)的最大值为1，即得出m=1；(2)由m=1，从而得出a+b=1，从而a2b+1+b2a+1=13(a2b+1+b2a+1)[(a+1)+(b+1)]，然后根据基本不等式即可得出a2b+1+b2a+1≥13(a+b)2=13，从而求得最小值为13．19.【答案】解：(1)证明：如图，延长OG交AC于点M．因为G为△AOC的重心，所以M为AC的中点．因为O为AB的中点，所以OM//BC．因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC，所以OM⊥AC．因为PA⊥平面ABC，OM⊂平面ABC，所以PA⊥OM．又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA ∩AC =A ，所以OM ⊥平面PAC ． 即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ， 所以平面OPG ⊥平面PAC ．(2)解：以点C 为原点，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系Cxyz ，则C(0,0，0)，A(0,1,0),B(√3,0,0),O(√32,12,0),P(0,1,2),M(0,12,0)，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,0,0),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,12,2)． 平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量n ⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√32x =0n⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√32x +12y +2z =0 令z =1，得n⃗ =(0,−4,1)． 过点C 作CH ⊥AB 于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH ⊥PA ，又PA ∩AB =A ，所以CH ⊥平面PAB ，即CH 为平面PAO 的一个法向量． 在Rt △ABC 中，由AB =2AC ，得∠ABC =30°，则∠HCB =60°,CH =12CB =√32．所以x H =CHcos∠HCB =√34,y H =CHsin∠HCB =34，所以CH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√34,34,0)． 设二面角A −OP −G 的大小为θ， 则cosθ=|CH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||CH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=|0×√34+4×34+1×0|√316+916×√42+12=2√5117即二面角A −OP −G 的余弦值为2√5117．【解析】(1)延长OG 交AC 于点M.可得OM//BC.由AB 是圆O 的直径，得OM ⊥AC ． 由PA ⊥平面ABC ，可得OM ⊥平面PAC.即OG ⊥平面PAC ，证得平面OPG ⊥平面PAC ．(2)以点C 为原点，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP⃗⃗⃗⃗⃗ 方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系Cxyz ，则C(0,0，0)，A(0,1,0),B(√3,0,0),O(√32,12,0),P(0,1,2),M(0,12,0)利用向量法求解．本题考查了空间面面垂直的判定，向量法求二面角，考查了转化思想、计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)选择方案一，若享受到免单优惠，则需要摸出3个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则 P(A)=C 33C 103=1120，所以两位顾客均享受到免单的概率为 P =P(A)⋅P(A)=114400；(2)若选择方案一，设付款金额为X 元，则 X 可能的取值为0，600，700，1000；计算P(X =0)=C 33C 103=1120,P(X =600)=C 32C 71C 103=740，P(X =700)=C 31C 72C 103=2140,P(X =1000)=C 73C 103=724，故X 的分布列为：所以E(X)=0×1120+600×740+700×2140+1000×724=76416(元)；若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z 元，则Z =1000−200Y ， 由已知可得Y ～B(3,310)，故E(Y)=3×310=910，所以E(Z)=E(1000−200Y)=1000−200E(Y)=820(元)， 因为E(X)<E(Z)，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算．【解析】(1)选择方案一，利用积事件的概率公式计算两位顾客均享受到免单的概率值； (2)选择方案一，计算所付款金额X 的分布列和数学期望值， 选择方案二，计算所付款金额Z 的数学期望值，比较得出结论． 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．21.【答案】解：(1)由椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)焦点在x轴上，离心率e=ca =√22，即a=√2c，a2=2c2，由a2=b2+c2，∴a2=2b2，由a2=2b．∴b=1，a2=2，椭圆的方程：x22+y2=1；(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中点为M(x0,y0).∴{y=x+mx22+y2=1，整理得：3x2+4mx+2m2−2=0，∴△=(4m)2−4×3×(2m2−2)>0，即m2<3，由韦达定理可知：x1+x2=−4m3，∴x0=x1+x22=−2m3，y0=x0+m=m3，即M(−2m3,m 3 ).∵线段AB的中点M点在圆x2+y2=5上，可得(−2m3)2+(m3)2=5，解得：m=±3，与m2<3矛盾．故实数m不存在．【解析】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理和中点坐标公式，考查存在性问题的解法，属于中档题．(1)由题意可知：离心率e=ca =√22，即a=√2c，a2=2c2，由a2=b2+c2，a2=2b2，由a2=2b，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程；(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中点为M(x0,y0)，将直线方程代入椭圆方程，由△>0，即可求得m的取值范围，由韦达定理及中点坐标公式，求得AB的中点M的坐标，代入圆x2+y2=5即可求得m的值，由m=±3，与m2<3矛盾，故实数m不存在．22.【答案】解：(I)当k=2时，f(x)=ln(1+x)−x+x2,f′(x)=11+x−1+2x由于f(1)=ln2，f′(1)=32所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−ln2=32(x−1).即3x−2y+2ln2−3=0(II)f′(x)=11+x−1+kx(x>−1)当k=0时，f′(x)=−x1+x因此在区间(−1,0)上，f′(x)>0；在区间(0,+∞)上，f′(x)<0；所以f(x)的单调递增区间为(−1,0)，单调递减区间为(0,+∞)；当0<k<1时，f′(x)=x(kx+k−1)1+x =0，得x1=0,x2=1−kk >0；因此，在区间(−1,0)和(1−kk ,+∞)上，f′(x)>0；在区间(0, 1−kk )上，f′(x)<0；即函数f(x)的单调递增区间为(−1,0)和(1−kk ,+∞)，单调递减区间为(0,1−kk)；当k=1时，f′(x)=x21+x.f(x)的递增区间为(−1,+∞)当k>1时，由f′(x)=x(kx+k−1)1+x =0，得x1=0,x2=1−kk∈(−1,0)；因此，在区间(−1,1−kk )和(0,+∞)上，f′(x)>0，在区间(1−kk,0)上，f′(x)<0；即函数f(x)的单调递增区间为(−1,1−kk )和(0,+∞)，单调递减区间为(1−kk,0)．【解析】(I)根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；(II)先求出导函数f′(x)，讨论k=0，0<k<1，k=1，k>1四种情形，在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0即可．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论的数学思想，属于基础题．。
山西省朔州市怀仁第一中学2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)
【分析】
由韦达定理可得a4+a12＝﹣3，a4•a12＝1,得a4和a12均为负值，由等比数列的性质可得．
【详解】∵a4，a12是方程x2+3x+1＝0的两根，∴a4+a12＝﹣3，a4•a12＝1,∴a4和a12均为负值,
由等比数列的性质可知a8为负值，且a82＝a4•a12＝1，∴a8＝﹣1,
【详解】：
集合 ， ，则 ，故选B．
【点睛】：该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中,需要先将集合中的元素确定,之后再根据集合的交集中元素的特征，求得结果．
2。已知 为虚数单位，若复数 在复平面内对应的点在第四象限,则 的取值范围为( ）
A。 B。 C。 D。
【答案】B
【解析】
由题 ．又对应复平面的点在第四象限，可知 ，解得 ．故本题答案选 ．
8. 若从1，2,2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数，则不同的取法共有
A. 60种B. 63种C. 65种D。 66种
【答案】D
【解析】
试题分析：要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得 个偶数时，有 种结果，当取得 个奇数时,有 种结果,当取得 奇 偶时有 种结果，共有 种结果.故答案为D.
C。 在犯错误的概率不超过0．1％的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
【答案】A
【解析】
【详解】由 ，而 ,故由独立性检验的意义可知选A
11。焦点为 的抛物线 的准线与 轴交于点 ,点 在抛物线 上,则当 取得最大值时，直线 的方程为( )
选项C，（2，1，1) （- ，1,− ）=0,（0,2，4） （- ，1，− )=0满足垂直，故正确；
山西省怀仁县第一中学应县第一中学校学年高二数学下学期期末考试试题理
2017-2018学年第二学期高二年级期末考试理科数学试题一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若1z i =+，则z i z i+⋅=（ ） A ．-2 B ．2i - C ．2 D ．2i2.命题p ：0x ∀≥，21x ≥；命题q ：若x y >，则22x y >.则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧⌝D ．p q ⌝∨3.抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）A ．1(0,)16B ．(1,0)C ．(0,1)D ．1(0,)84.若2()24ln f x x x x =--，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)(2,)-+∞C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞5.从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（ ）A ．70种B ．112种C ．140种D ．168种6.已知双曲线221()my x m R -=∈与椭圆2215y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．3y x =±C ．13y x =± D ．3y x =± 7.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=.）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%8.设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A ．若a ，b 与α所成的角相等，则//a b B ．若//a α，//b β，//αβ，则//a bC ．若a α⊂，b β⊂，//a b ，则//a βD ．若a α⊥，b β⊥，a β⊥，若a b ⊥9.由2y x =-与直线23y x =-围成的图形的面积是（ ）A ．53B ．643C ．323D ．9 10.如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且1A 、2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、1A 、2A 正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（ ）A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.57611.某人射击一次命中目标的概率为12，且每次射击相互独立，则此人射击6次，有3次命中且恰有2次连续命中的概率为（ ） A ．3661()2C B ．2641()2A C ．2641()2C D ．1641()2C12.定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，1a ，2a ，…，k a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有（ ）A ．14个B ．13个C ．15个D ．12个二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表由最小二乘法可得线性回归方程y bx a =+中的b 为7.据此模型预报广告费用为10万元时销售额为 （万元）．14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市.丙说：我们三个去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为 ．15.若二项式7(2)ax x +的展开式中31x的系数是84，则实数a = ． 16.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为1，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D 、E 、。
山西省朔州市怀仁县第一中学、应县第一中学校2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2017-2018学年第二学期高二年级期末考试理科数学试题一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1. 设是虚数单位，表示复数的共轭复数.若，则（）A. -2B.C. 2D.【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，所以，故选C.考点：复数的运算.2. 命题：，；命题：若，则.则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先判断命题p,q的真假，再判断选项的真假.详解：由题得命题p是真命题，命题q是假命题，如：0>-1,但是.所以选项中为真命题的是，故答案为：B.点睛：本题主要考查命题的真假，考查含逻辑联结词的命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复合命题的真假的判断口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.3. 抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先把抛物线的方程化成标准方程，再求其焦点坐标.详解：由题得，所以抛物线的焦点坐标为.故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)研究圆锥曲线时，首先一般把曲线的方程化成标准方程再研究.4. 若，则的单调递增区间为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先求，再求函数的单调增区间.详解：由题得令因为x>0，所以x>2.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)用导数求函数的单调区间：求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求,得函数的单调递增（减）区间.5. 从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（）A. 70种B. 112种C. 140种D. 168种【答案】C【解析】试题分析：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有种不同挑选方法，故选C．考点：组合及组合数公式．6. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：抛物线的焦点坐标为，所以双曲线的焦点坐标为，故双曲线的标准方程得，即，即双曲线的标准方程为，所以双曲线的渐近线方程为，故选A.考点：1.抛物线的标准方程及几何性质；2.双曲线的标准方程及几何性质.7. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布，则，.）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意故选B．考点：正态分布视频8. 设，为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是（）A. 若，与所成的角相等，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，若【答案】D【解析】考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．分析：根据题意，依次分析选项，A、用直线的位置关系判断．B、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．C、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．D、由a⊥α，α⊥β，可得到a?β或a∥β，再由b⊥β得到结论．解：A、直线a，b的方向相同时才平行，不正确；B、用长方体验证．如图，设A1B1为a，平面AC为α，BC为b，平面A1C1为β，显然有a∥α，b∥β，α∥β，但得不到a∥b，不正确；C、可设A1B1为a，平面AB1为α，CD为b，平面AC为β，满足选项C的条件却得不到α∥β，不正确；D、∵a⊥α，α⊥β，∴a?β或a∥β又∵b⊥β∴a⊥b故选D9. 由与直线围成的图形的面积是（）A. B. C. D. 9【答案】C【解析】分析：先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y=﹣x2与直线y=2x ﹣3的面积，即可求得结论．详解：由y=﹣x2与直线y=2x﹣3联立，解得y=﹣x2与直线y=2x﹣3的交点为（﹣3，﹣9）和（1，﹣1）因此，y=﹣x2与直线y=2x﹣3围成的图形的面积是S==（﹣x3﹣x2+3x）=．故答案为：C．点睛：（1）本题主要考查利用定积分的几何意义和定积分求面积，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）从几何上看，如果在区间上函数连续，且函数的图像有一部分在轴上方，有一部分在轴下方，那么定积分表示轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积.10. 如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统.当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知、、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A. 0.960B. 0.864C. 0.720D. 0.576【答案】B【解析】试题分析：系统正常工作当①正常工作，不能正常工作，②正常工作，不能正常工作,③正常工作，因此概率.考点：独立事件的概率.11. 某人射击一次命中目标的概率为，且每次射击相互独立，则此人射击6次，有3次命中且恰有2次连续命中的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】两次命中的捆绑在一起，和一次命中的，其它次没有命中的，中间有个空位，个空位选两个排命中的，方法数有种，故概率为.12. 定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，，，…，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有（）A. 14个B. 13个C. 15个D. 12个【答案】A【解析】分析：由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．详解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故答案为：A.点睛：本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏.二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：广告费用（万元）销售额根据上表由最小二乘法可得线性回归方程中的为7.据此模型预报广告费用为10万元时销售额为__________（万元）．【答案】73.5【解析】试题分析：回归直线必过样本点中心（4.5，35），得，因此回归方程为，将代入回归方程，得到答案是73.5。
2018-2019学年山西省怀仁一中高二下学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
山西省怀仁一中2018-2019学年度第二学期高二年级期末考试理 科 数 学一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4{|0}2x A x Z x -=∈≥+，1{|24}4x B x =≤≤，则A B =（ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0,1,2}--D ．{0,1,2}2.已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ）A ．[1,1]-B ．(1,1)-C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞ 3.若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3 B ．－1≤a ≤3 C ．－3≤a ≤3D ．－1≤a ≤14.已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ）A.它们的焦距相等 B ．它们的焦点在同一个圆上 C.它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等5.在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知直线l 过点P (1，0，－1)，平行于向量a ＝(2，1，1)，平面α过直线l 与点M (1，2，3)，则平面α的法向量不可能是( ) A.(1，－4，2)B.⎝⎛⎭⎫14，－1，12C.⎝⎛⎭⎫－14，1，－12 D.(0，－1，1)7.在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )A.14B.3－34C.2－34D.138.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种9.设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 10.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”11.焦点为F 的抛物线C ：28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C.22y x =+或22y x =-+ D ．22y x =-+12.定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11(,)[,)88-∞-+∞ B ．11[,0)(0,]48-C.(0,8]D ．11(,][,)48-∞-+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知(1,)a λ=，(2,1)b =，若向量2a b +与(8,6)c =共线，则a 和b 方向上的投影为 ．14.将参数方程⎩⎨⎧x ＝a 2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝⎛⎭⎫t －1t (t 为参数)转化成普通方程为________．15.已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X >2)＝________. 16.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分)已知直线l 的参数方程为4,22x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点.（1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP ∆的面积的最大值18.(12分)设函数()1f x x x =+-的最大值为m .（1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值. 19.(12分)如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为AOC ∆的垂心.（1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.20.(12分)2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？21. (12分)已知椭圆x2b2＋y2a2＝1 (a>b>0)的离心率为22，且a2＝2b.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在实数m，使直线l：x－y＋m＝0与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.22. (12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋k2x2(k≥0)．(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．高二理科数学期末试卷答案一、选择题1-5:BBBDA 6-10:DBDBC 11-12：AD 二、填空题13.514：x 2a 2－y 2b 2＝1 . 15.0.1 16.[2,4]ππ三、解答题17.解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.将直线l 的参数方程代入圆:C 22(2)4x y -+=，并整理得20t +=，解得10t =，2t =-.所以直线l 被圆C 截得的弦长为12||t t -=. （2）直线l 的普通方程为40x y --=.圆C 的参数方程为22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），可设曲线C 上的动点(22cos ,2sin )P θθ+，则点P 到直线l 的距离d =|2cos()4πθ=+，当cos()14πθ+=-时，d 取最大值，且d 的最大值为2所以1(222ABP S ∆≤⨯=+即ABP ∆的面积的最大值为218.解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1， x ≥1，由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1．所以m ＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝ 1 3(a 2b ＋1＋b 2a ＋1)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝ 1 3[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1]≥ 1 3(a 2＋b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)a ＋1) ＝ 13(a ＋b )2＝ 1 3．当且仅当a ＝b ＝ 12时取等号． 即a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为 13． 19.解：（1）如图，延长OG 交AC 于点M . 因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点. 因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥. 又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =，所以OM ⊥平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ， 所以平面OPG ⊥平面PAC .（2）以点C 为原点，CB ，CA ，AP 方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz-，则(0,0,0)C ，(0,1,0)A ，B ，1(,,0)22O ，(0,1,2)P ，1(0,,0)2M，则(2OM =-，1(,2)22OP =-.平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则30,23120,22n OM x n OP x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩令1z =，得(0,4,1)n =-. 过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥， 又PAAB A =，所以CH ⊥平面PAB ，即CH 为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，12CH CB ==.所以cos H x CH HCB =∠=，3sin 4H y CH HCB =∠=. 所以33(,0)4CH =. 设二面角A OP G --的大小为θ，则||cos ||||CH n CH n θ⋅==⋅3|0410|17⨯+⨯=. 20.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则333101()120C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为1()()14400P P A P A =⋅=.（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000.333101(0)120C P X C ===，21373107(600)40C C P X C ===， 123731021(700)40C C P X C ===，373107(1000)24C P X C ===， 故X 的分布列为，所以17217()06007001000120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯17646=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~(3,)10Y B ，故39()31010E Y =⨯=， 所以()(1000200)E Z E Y =-=1000200()820E Y -=（元）.因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.21.解：(1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2， 解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0).联立直线与椭圆的方程得⎩⎨⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，所以Δ＝(2m )2－4×3×(m 2－2)＞0，即m 2＜3， 且x 0＝x 1＋x 22＝－m3，y 0＝x 0＋m ＝2m3，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3，2m 3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 32＝5，解得m ＝±3，与m 2＜3矛盾.故实数m 不存在.22. 解： (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，f ′(x )＝11＋x－1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.(2)f ′(x )＝x kx ＋k －11＋x ，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x .所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0； 在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)， 单调递减区间是(0，＋∞)． 当0<k <1时，由f ′(x )＝x kx ＋k －11＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk>0.所以，在区间(－1,0)和(1－kk，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－k k)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－kk，＋∞)，单调递减区间是(0，1－k k)． 当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x.故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)．当k >1时，由f ′(x )＝x kx ＋k －11＋x＝0，得x 1＝1－k k∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－kk)和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(1－k k，0)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1，1－k k)和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－k k，0)．。
2018-2019学年山西省朔州市怀仁第一中学高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年山西省朔州市怀仁第一中学高二下学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合402x A x Zx ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎭⎩，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎭⎩，则A B ⋂=（ ） A.}{12x x -≤≤ B.{}1,0,1,2-C.{}2,1,0,1,2--D.{}0,1,2【答案】B【解析】：首先根据分式不等式的解法以及指数不等式，化简集合A ，B ，之后根据交集的定义写出A B ⋂． 【详解】 ：集合{}{}4|0|241,0,1,2,3,42x A x Z x Z x x -⎧⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤，则{}1,0,1,2A B ⋂=-，故选B ．【点睛】：该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中，需要先将集合中的元素确定，之后再根据集合的交集中元素的特征，求得结果． 2．已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ） A.[1,1]- B.(1,1)-C.(,1)-∞-D.(1,)+∞【答案】B【解析】由题()()()()1-ti 1-i 1-ti 1-t 1+tz===-i 1+i 1+i 1-i 22．又对应复平面的点在第四象限，可知110022t t且-+>-<，解得11t -<<．故本题答案选B ． 3．若命题“0x R ∃∈，使()200110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．13a ≤≤ B ．13a -≤≤ C ．33a -≤≤ D ．11a -≤≤【答案】B【解析】由命题“0x R ∃∈，使()200110x a x +-+<”是假命题，知∀x ∈R ，使x 2+（a﹣1）x +1≥0，由此能求出实数a 的取值范围． 【详解】∵命题“0x R ∃∈，使()200110x a x +-+<”是假命题，∴∀x ∈R ，使x 2+（a ﹣1）x +1≥0， ∴△＝（a ﹣1）2﹣4≤0， ∴﹣1≤a ≤3． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意由命题“0x R ∃∈，使()200110x a x +-+<”是假命题，知∀x ∈R ，使x 2+（a ﹣1）x +1≥0，由此进行等价转化，能求出结果．4．已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ） A.它们的焦距相等 B.它们的焦点在同一个圆上 C.它们的渐近线方程相同 D.它们的离心率相等【答案】D【解析】由题知222:12x C y -=．则两双曲线的焦距相等且2c =圆223x y +=的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为2y x =±，由于实轴长度不同故离心率ce a=不同．故本题答案选D ， 5．在等比数列{}n a 中，“412a ,a 是方程2x 3x 10++=的两根”是“8a 1=±”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由韦达定理可得a 4+a 12＝﹣3，a 4•a 12＝1，得a 4和a 12均为负值，由等比数列的性质可得． 【详解】∵a 4，a 12是方程x 2+3x+1＝0的两根，∴a 4+a 12＝﹣3，a 4•a 12＝1，∴a 4和a 12均为负值，由等比数列的性质可知a 8为负值，且a 82＝a 4•a 12＝1，∴a 8＝﹣1，故“a 4，a 12是方程x 2+3x+1＝0的两根”是“a 8＝±1”的充分不必要条件.故选：A ． 【点睛】本题考查等比数列的性质和韦达定理，注意等比数列隔项同号，属于基础题． 6．已知直线l 过点P(1,0,－1)，平行于向量(2,1,1)a =，平面α过直线l 与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是（ ）A. (1,－4,2)B.11(,1,)42-C. 11(,1,)42-- D. (0,－1,1) 【答案】D【解析】试题分析：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量(2,1,1)a =，和向量PM ，而PM =（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），选项A ，（2，1，1）⋅（1，-4，2）=0，（0，2，4）⋅（1，-4，2）=0满足垂直，故正确； 选项B ，（2，1，1）⋅（14，-1，12）=0，（0，2，4）⋅（14，-1，12）=0满足垂直，故正确；选项C ，（2，1，1）⋅（-14，1，−12）=0，（0，2，4）⋅（-14，1，−12）=0满足垂直，故正确；选项D ，（2，1，1）⋅（0，-1，1）=0，但（0，2，4）⋅（0，-1，1）≠0，故错误． 【考点】平面的法向量7．在极坐标系中，由三条直线0θ=，3πθ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为（ ）A ．14B C D ．13【答案】B【解析】求出直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，直线3πθ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,3πρ⎛⎫⎪⎝⎭，然后利用三角形的面积公式121sin 23S πρρ=可得出结果. 【详解】设直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，则1cos 01ρ=，得11ρ=.设直线3πθ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,3πρ⎛⎫⎪⎝⎭，则22cossin133ππρρ+=，即22112ρρ+=，得21ρ. 因此，三条直线所围成的三角形的面积为)12113sin 1123224S πρρ==⨯⨯⨯=， 故选：B. 【点睛】本题考查极坐标系中三角形面积的计算，主要确定出交点的极坐标，并利用三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.8．若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种 【答案】D【解析】试题分析：要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得个偶数时，有种结果，当取得个奇数时，有种结果，当取得奇偶时有种结果,共有种结果.故答案为D.【考点】分类计数原理.9．设m 为正整数，(x ＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y)2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a=7b ，则m ＝ ( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】B【解析】试题分析：由题意可知221,m m m m C a C b +==,137a b =,221137m mm m C C +∴=,即()()()2!21!137!!!1!m m m m m m +=⋅⋅+, 211371m m +∴=⋅+,解得6m =．故B 正确．【考点】1二项式系数；2组合数的运算．10．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由2222()110(40302030)7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得, 附表：2()P K k ≥ 0．0500．010 0．001 k3．8416．63510．828参照附表，得到的正确结论是（ ）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】A 【解析】由，而，故由独立性检验的意义可知选A11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线MA 的方程为（ ）A.2y x =+或2y x =--B.2y x =+C.22y x =+或 22y x =-+D.22y x =-+【答案】A【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF===∠∠，则当MA MF取得最大值时，MAF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k =-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离，抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化，如果问题中涉及抛物线上的点到焦点或到准线的距离，那么用抛物线定义就能解决问题．本题就是将到焦点的距离||MF 转化成到准线的距离MP ，将比值问题转化成切线问题求解．12．定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A.11(,)[,)88-∞-+∞ B.11[,0)(0,]48-C.(0,8]D.11(,][,)48-∞-+∞【答案】D【解析】由题知问题等价于函数()f x 在[]2,0-上的值域是函数()g x 在[]2,1-上的值域的子集．当[]2,4x ∈时，()()224,232,34{x x x x xf x --+≤≤+<≤=，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时()93,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由()()22f x f x +=，可得()()()112424f x f x f x =+=+，当[]2,0x ∈-时，[]42,4x +∈．则()f x 在[]2,0-的值域为39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦．当0a >时，()[]21,1g x a a ∈-++，则有3214918{a a -+≤+≥，解得18a ≥，当0a =时，()1g x =，不符合题意；当0a <时，()[]1,21g x a a ∈+-+，则有3149218{a a +≤-+≥，解得14a -≤．综上所述，可得a 的取值范围为][11,,48⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．故本题答案选D ． 点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该 不重复不遗漏．二、填空题13．已知(1,)a λ=，(2,1)b =，若向量2a b +与(8,6)c =共线，则a 在b 方向上的投影为______.【解析】()24,21a b λ+=+ ,由向量2a b + 与()8,6c = 共线，得()248210λ-+= ，解得1λ= ，则2a =14．将参数方程1212a x t t b y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数），转化成普通方程为_______．【答案】22221x y a b-=【解析】将参数方程变形为112112xta tytb t⎧⎛⎫=+⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩，两式平方再相减可得出曲线的普通方程.【详解】将参数方程变形为112112xta tytb t⎧⎛⎫=+⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩，两等式平方得2222222211241124xta tytb t⎧⎛⎫=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+-⎪⎪⎝⎭⎩，上述两个等式相减得22221x ya b-=，因此，所求普通方程为22221x ya b-=，故答案为：22221 x ya b-=.【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，在消参中，常用平方消元法与加减消元法，考查计算能力，属于中等题.15．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)＝____________.【答案】0.1【解析】随机变量ξ服从正态分布()20,Nσ，且()()200.4,020.4,P X P X-≤≤=∴≤≤=()20.50.40.1P X∴>=-=，故答案为0.1.16．已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD 的外接球，BC=3，，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作圆O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__.【答案】【解析】设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接oO1D，OD，O1E，OE，可得R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．【详解】如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接oO1D，OD，O1E，OE，则，AO 1在Rt△OO1D中，R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，∵BD＝3BE，∴DE＝2在△DEO1中，O1E∴过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为，最小面积为2π．当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．故答案为：[2π，4π]【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题．三、解答题17．已知直线l的参数方程为x4t2y t2⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ4cosθ=，直线l与圆C交于A，B两点．()1求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；()2动点P在圆C上(不与A，B重合)，试求ABP的面积的最大值．【答案】(1)(2) 2+.【解析】分析：(1)先根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再将直线l 的参数方程代入圆C 方程，利用韦达定理以及参数几何意义求弦AB 的长；(2)先根据加减消元法得直线l 的普通方程，再根据点到直线距离公式得点P 到直线l 的距离最大值，最后根据三角形面积公式求最大值.详解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为()2224x y -+= 将直线l 的参数方程代入圆()22:24C x y -+=，并整理得20t +=，解得120,t t ==-所以直线l 被圆C截得的弦长为12t t -=. （2）直线l 的普通方程为40x y --= .圆C 的参数方程为222x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），可设圆C 上的动点()22cos ,2sin P θθ+， 则点P 到直线l的距离2cos 4d πθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭当cos 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 取最大值，且d的最大值为2+所以(1222ABP S ∆≤⨯=+ 即ABP ∆的面积的最大值为2+. 点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩.(t 是参数，t 可正、可负、可为0)若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α). (2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝122t t +，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝122t t +. (4)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. 18．选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x x =+-的最大值为m . （1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a bb a +++的最小值. 【答案】(1) m ＝1 (2)13【解析】试题分析：（1）零点分区间去掉绝对值，得到分段函数的表达式，根据图像即可得到函数最值；（2）将要求的式子两边乘以(b ＋1)＋(a ＋1)，再利用均值不等式求解即可. 解析：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1． 所以m ＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，＋＝(＋)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝ [a 2＋b 2＋＋]≥ (a 2＋b 2＋2)＝ (a ＋b )2 ＝．当且仅当a ＝b ＝时取等号．即＋的最小值为．19．如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为 AOC ∆的垂心（1）求证：平面OPG ⊥平面 PAC ；（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.【答案】（1）见解析（2 【解析】试题分析：（1）延长OG 交AC 于点M ，由重心性质及中位线性质可得//OM BC ，再结合圆的性质得OM AC ⊥，由已知PA OM ⊥，可证OM ⊥ 平面PAC ，进一步可得平面OPG ⊥ 平面PAC ；（2）以点C 为原点，CB ，CA ，AP 方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用二面角与二个半平面的法向量的夹角间的关系可求二面角的余弦值．试题解析：（1）如图，延长OG 交AC 于点M .因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点.因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥.因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥.又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面,PAC PA AC ⋂=A ，所以OM ⊥ 平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ，所以平面OPG ⊥平面PAC .（2）以点C 为原点，CB ，CA ，AP 方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，()0,1,0A ，)B，1,022O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,2P ，10,,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，则2OM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1,222OP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(),,n x y z =，则30,{3120,22n OM x n OP x y z ⋅=-=⋅=-++=令1z =，得()0,4,1n =-.过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A ⋂=，所以CH ⊥平面PAB ，即CH 为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，122CH CB ==. 所以cos 4H x CH HCB =∠=，3sin 4H y CH HCB =∠=.所以33,04CH ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭. 设二面角A OP G --的大小为θ，则cos CH n CH nθ⋅==⋅=点睛：若12,n n 分别二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小θ满足12cos ,cos n n θ=〈〉，二面角的平面角的大小是12,n n 的夹角(或其补角，需根据观察得出结论)．在利用向量求空间角时，建立合理的空间直角坐标系，正确写出各点坐标，求出平面的法向量是解题的关键．20．2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】（1）114400；（2）选择第一种抽奖方案更合算.【解析】（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率； （2）选择方案一，计算所付款金额X 的分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付款金额Z 的数学期望值，比较得出结论. 【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则()333101120C P A C ==， 所以两位顾客均享受到免单的概率为()()114400P P A P A =⋅=；（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0、600、700、1000.()3331010120C P X C ===，()2137310760040C C P X C ===， ()12373102170040C C P X C ===，()373107100024C P X C ===. 故X 的分布列为，所以()172171060070010007641204040246E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~3,10Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()3931010E Y =⨯=，所以()()()10002001000200820E Z E Y E Y =-=-=（元）. 因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算. 【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量分布列与数学期望，同时也考查了二项分布的数学期望与数学期望的性质，解题时要明确随机变量所满足的分布列类型，考查计算能力，属于中等题. 21．已知椭圆的离心率为，且.（1）求椭圆的标准方程； （2）直线：与椭圆交于A ，B 两点，是否存在实数，使线段AB 的中点在圆上，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）实数不存在，理由见解析．【解析】试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和的关系，解方程可得，进而得到椭圆方程；（2）设，，线段的中点为．联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得的坐标，代入圆的方程，解方程可得，进而判断不存在．试题解析：（1）由题意得，解得故椭圆的方程为；（2）设，，线段的中点为联立直线与椭圆的方程得，即，即，，所以，即．又因为点在圆上，可得， 解得与矛盾．故实数不存在．【考点】椭圆的简单性质． 22．已知函数2()ln(1)2k f x x x x =+-+(0)k ≥.（1）当2k =时，求函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程. （2）求函数()f x 的单调区间. 【答案】（1）3(1)ln 22y x =-+；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）函数的定义域()1,-+∞，当2k =时，计算可得：()3'12f =，()12f ln =，则切线方程为()3122y x ln =-+. （2）()()211'111kx k x f x kx x x +-=-+=++，考查二次函数()()()()211g x kx k x x kx k =+-=+-，分类讨论：①若0k =，()f x 在()1,0-上单调递增，在()0,+∞上单调递减.②若0k >，()g x 为开口向上的二次函数，两个零点均在定义域()1,-+∞上.则： （i ）若01k <<，函数()f x 在()1,0-和1,k k -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,k k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.（ii ）若1k =，()f x 在()1,-+∞上单调递增. （iii ）若1k >，函数()f x 在11,k k -⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上单调递增，在1,0k k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 试题解析：（1）函数的定义域()1,-+∞， 当2k =时，()1'121f x x x =-++，()13'11222f =-+=， ()12112f ln ln =-+=，∴切线方程为()3122y x ln =-+.（2）()()211'111kx k x f x kx x x +-=-+=++， 易知10x +>，令()()()()211g x kx k x x kx k =+-=+-，①若0k =，()g x x =-，∴()f x 在()1,0-上单调递增，在()0,+∞上单调递减. ②若0k >，()g x 为开口向上的二次函数，零点分别为0，1kk-，其中1111k k k-=->-， 即()g x 的两个零点均在定义域()1,-+∞上. （i ）若01k <<，10k k ->，所以函数()f x 在()1,0-和1,k k -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在10,k k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.（ii ）若1k =，10kk-=，()g x 图象恒在x 轴上方，()'0f x ≥恒成立，∴()f x 在()1,-+∞上单调递增.（iii ）若1k >，10k k -<，∴函数()f x 在11,k k -⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上单调递增，在1,0k k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。
山西省朔州市怀仁第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试卷
绝密★启用前 山西省朔州市怀仁第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理)试卷 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合402x A x Z x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎭⎩，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎭⎩，则A B ⋂=（ ） A.}{12x x -≤≤ B.{}1,0,1,2- C.{}2,1,0,1,2-- D.{}0,1,2 2．已知i 为虚数单位，若复数11ti z i -=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ） A.[1,1]- B.(1,1)- C.(,1)-∞- D.(1,)+∞ 3．若命题“0x R ∃∈，使()200110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．13a ≤≤ B ．13a -≤≤ C ．33a -≤≤ D ．11a -≤≤ 4．已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ） A.它们的焦距相等 B.它们的焦点在同一个圆上 C.它们的渐近线方程相同 D.它们的离心率相等 5．在等比数列{}n a 中，“412a ,a 是方程2x 3x 10++=的两根”是“8a 1=±”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6．已知直线l 过点P(1,0,－1)，平行于向量(2,1,1)a =，平面α过直线l 与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是（ ） A. (1,－4,2) B.11(,1,42- C. 11(,1,)42-- D. (0,－1,1) 7．在极坐标系中，由三条直线0θ=，3πθ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为（ ） A ．14 B C D ．138．若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种9．设m 为正整数，(x ＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y)2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a=7b ，则m ＝ ( )A ．5B ．6C ．7D ．810．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：附表：2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001k 3．841 6．635 10．828参照附表，得到的正确结论是（ ）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A.2y x =+或2y x =-- B.2y x =+ C.22y x =+或 22y x =-+ D.22y x =-+ 12．定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ） A.11(,[,)88-∞-+∞ B.11[,0)(0,]48- C.(0,8] D.11(,][,)48-∞-+∞第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．已知(1,)aλ=，(2,1)b=，若向量2a b+与(8,6)c=共线，则a在b方向上的投影为______.14．将参数方程1212ax ttby tt⎧⎛⎫=+⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩（t为参数），转化成普通方程为_______．15．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)＝____________.16．已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD的外接球，BC=3，，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作圆O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__.三、解答题17．已知直线l的参数方程为x4t2y t2⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ4cosθ=，直线l与圆C交于A，B两点．()1求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；()2动点P在圆C上(不与A，B重合)，试求ABP的面积的最大值．18．选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x x=+-的最大值为m.（1）求m的值；（2）若正实数a，b满足a b m+=，求2211a bb a+++的最小值.…○…………线………______…○…………线………垂心 （1）求证：平面OPG ⊥平面 PAC ； （2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.20．2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. （1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 21．已知椭圆 的离心率为 ，且 . （1）求椭圆的标准方程； （2）直线 ： 与椭圆交于A ，B 两点，是否存在实数 ，使线段AB 的中点在圆 上，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由． 22．已知函数2()ln(1)2k f x x x x =+-+(0)k ≥. （1）当2k =时，求函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程. （2）求函数()f x 的单调区间.参考答案1．B【解析】【分析】：首先根据分式不等式的解法以及指数不等式，化简集合A ，B ，之后根据交集的定义写出A B ⋂．【详解】： 集合{}{}4|0|241,0,1,2,3,42x A x Z x Z x x -⎧⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤，则{}1,0,1,2A B ⋂=-，故选B ．【点睛】：该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中，需要先将集合中的元素确定，之后再根据集合的交集中元素的特征，求得结果．2．B【解析】 由题()()()()1-ti 1-i 1-ti 1-t 1+t z===-i 1+i 1+i 1-i 22．又对应复平面的点在第四象限，可知110022t t 且-+>-<，解得11t -<<．故本题答案选B ． 3．B【解析】【分析】由命题“0x R ∃∈，使()200110x a x +-+<”是假命题，知∀x ∈R ，使x 2+（a ﹣1）x +1≥0，由此能求出实数a 的取值范围．【详解】∵命题“0x R ∃∈，使()200110x a x +-+<”是假命题， ∴∀x ∈R ，使x 2+（a ﹣1）x +1≥0，∴△＝（a ﹣1）2﹣4≤0，∴﹣1≤a ≤3．故选：B ．【点睛】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意由命题“0x R ∃∈，使()200110x a x +-+<”是假命题，知∀x ∈R ，使x 2+（a ﹣1）x +1≥0，由此进行等价转化，能求出结果．4．D【解析】 由题知222:12x C y -=．则两双曲线的焦距相等且2c =焦点都在圆223x y +=的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为2y x =±，由于实轴长度不同故离心率c e a=不同．故本题答案选D ， 5．A【解析】【分析】 由韦达定理可得a 4+a 12＝﹣3，a 4•a 12＝1，得a 4和a 12均为负值，由等比数列的性质可得．【详解】∵a 4，a 12是方程x 2+3x+1＝0的两根，∴a 4+a 12＝﹣3，a 4•a 12＝1，∴a 4和a 12均为负值， 由等比数列的性质可知a 8为负值，且a 82＝a 4•a 12＝1，∴a 8＝﹣1，故“a 4，a 12是方程x 2+3x+1＝0的两根”是“a 8＝±1”的充分不必要条件.故选：A ．【点睛】本题考查等比数列的性质和韦达定理，注意等比数列隔项同号，属于基础题．6．D【解析】试题分析：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量(2,1,1)a =，和向量PM ， 而PM =（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），选项A ，（2，1，1）⋅（1，-4，2）=0，（0，2，4）⋅（1，-4，2）=0满足垂直，故正确； 选项B ，（2，1，1）⋅（14，-1，12）=0，（0，2，4）⋅（14，-1，12）=0满足垂直，故正确；选项C ，（2，1，1）⋅（-14，1，−12）=0，（0，2，4）⋅（-14，1，−12）=0满足垂直，故正确；选项D ，（2，1，1）⋅（0，-1，1）=0，但（0，2，4）⋅（0，-1，1）≠0，故错误． 考点：平面的法向量7．B【解析】【分析】求出直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，直线3πθ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,3πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后利用三角形的面积公式121sin 23S πρρ=可得出结果.【详解】设直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，则1cos 01ρ=，得11ρ=. 设直线3πθ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,3πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22cos sin 133ππρρ+=，即221122ρρ+=，得21ρ=.因此，三条直线所围成的三角形的面积为)1211sin 11232S πρρ==⨯⨯= 故选：B.【点睛】 本题考查极坐标系中三角形面积的计算，主要确定出交点的极坐标，并利用三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.8．D【解析】试题分析：要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得 个偶数时，有种结果，当取得 个奇数时，有 种结果，当取得 奇 偶时有 种结果,共有 种结果.故答案为D.考点：分类计数原理.9．B【解析】试题分析：由题意可知221,m m m m C a C b +==,137a b =,221137m m m m C C +∴=,即()()()2!21!137!!!1!m m m m m m +=⋅⋅+, 211371m m +∴=⋅+,解得6m =．故B 正确． 考点：1二项式系数；2组合数的运算．10．A【解析】由，而，故由独立性检验的意义可知选A11．A【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MAMAMF MP AMP MAF===∠∠，则当MA MF取得最大值时，MAF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k =-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ． 点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离，抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化，如果问题中涉及抛物线上的点到焦点或到准线的距离，那么用抛物线定义就能解决问题．本题就是将到焦点的距离||MF 转化成到准线的距离MP ，将比值问题转化成切线问题求解． 12．D 【解析】由题知问题等价于函数()f x 在[]2,0-上的值域是函数()g x 在[]2,1-上的值域的子集．当[]2,4x ∈时，()()224,232,34{x x x x xf x --+≤≤+<≤=，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时()93,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由()()22f x f x +=，可得()()()112424f x f x f x =+=+，当[]2,0x ∈-时，[]42,4x +∈．则()f x 在[]2,0-的值域为39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦．当0a >时，()[]21,1g x a a ∈-++，则有3214918{a a -+≤+≥，解得18a ≥，当0a =时，()1g x =，不符合题意；当0a <时，()[]1,21g x a a ∈+-+，则有3149218{a a +≤-+≥，解得14a -≤．综上所述，可得a 的取值范围为 ][11,,48⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．故本题答案选D ．点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该 不重复不遗漏．13 【解析】()24,21a b λ+=+ ,由向量2a b + 与()8,6c = 共线，得()248210λ-+= ，解得1λ= ，则2a =14．22221x y a b-=【解析】 【分析】将参数方程变形为112112x t a t y t b t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，两式平方再相减可得出曲线的普通方程.【详解】将参数方程变形为112112x t a t y t b t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，两等式平方得2222222211241124x t a t y t bt ⎧⎛⎫=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，上述两个等式相减得22221x y a b -=，因此，所求普通方程为22221x y a b -=，故答案为：22221x y a b-=.【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，在消参中，常用平方消元法与加减消元法，考查计算能力，属于中等题. 15．0.1 【解析】随机变量ξ服从正态分布()20,N σ，且()()200.4,020.4,P X P X -≤≤=∴≤≤=()20.50.40.1P X ∴>=-=，故答案为0.1.16． 【解析】 【分析】设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接oO 1D ，OD ，O 1E ，OE ，可得R 2＝3+（3﹣R ）2，解得R＝2，过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．【详解】如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接oO1D，OD，O1E，OE，则，AO1在Rt△OO1D中，R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，∵BD＝3BE，∴DE＝2在△DEO1中，O1E∴过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为，最小面积为2π．当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．故答案为：[2π，4π]【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题．17．(1)(2)2【解析】分析：(1)先根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再将直线l 的参数方程代入圆C 方程，利用韦达定理以及参数几何意义求弦AB 的长；(2)先根据加减消元法得直线l 的普通方程，再根据点到直线距离公式得点P 到直线l 的距离最大值，最后根据三角形面积公式求最大值.详解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为()2224x y -+= 将直线l 的参数方程代入圆()22:24C x y -+=，并整理得20t +=，解得120,t t ==-所以直线l 被圆C截得的弦长为12t t -=（2）直线l 的普通方程为40x y --= .圆C 的参数方程为222x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），可设圆C 上的动点()22cos ,2sin P θθ+， 则点P 到直线l的距离2cos 4d πθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭当cos 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 取最大值，且d的最大值为2+所以(1222ABP S ∆≤⨯=+ 即ABP ∆的面积的最大值为2+. 点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩.(t 是参数，t 可正、可负、可为0)若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α). (2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝122t t +，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝122t t +. (4)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. 18．(1) m ＝1 (2)13【解析】试题分析：（1）零点分区间去掉绝对值，得到分段函数的表达式，根据图像即可得到函数最值；（2）将要求的式子两边乘以(b ＋1)＋(a ＋1)，再利用均值不等式求解即可. 解析：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1． 所以m ＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，＋＝(＋)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝ [a 2＋b 2＋＋]≥ (a 2＋b 2＋2)＝ (a ＋b )2 ＝．当且仅当a ＝b ＝时取等号．即＋的最小值为．19．（1）见解析（2【解析】试题分析：（1）延长OG 交AC 于点M ，由重心性质及中位线性质可得//OM BC ，再结合圆的性质得OM AC ⊥，由已知PA OM ⊥，可证OM ⊥ 平面PAC ，进一步可得平面OPG ⊥ 平面PAC ；（2）以点C 为原点，CB ，CA ，AP 方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用二面角与二个半平面的法向量的夹角间的关系可求二面角的余弦值．试题解析：（1）如图，延长OG 交AC 于点M .因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点.因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥.因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥.又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面,PAC PA AC ⋂=A ，所以OM ⊥ 平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ，所以平面OPG ⊥平面PAC .（2）以点C 为原点，CB ，CA ，AP 方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，()0,1,0A，)B，1,02O ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,1,2P ，10,,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，则2OM ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，1,222OP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(),,n x y z =，则30,{3120,22n OM x n OP x y z ⋅=-=⋅=-++=令1z =，得()0,4,1n =-.过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A ⋂=，所以CH ⊥平面PAB ，即CH 为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，12CH CB ==.所以cos H x CH HCB =∠=3sin 4H y CH HCB =∠=.所以33,04CH ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭. 设二面角A OP G --的大小为θ，则cos CH n CH nθ⋅==⋅=. 点睛：若12,n n 分别二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小θ满足12cos ,cos n n θ=〈〉，二面角的平面角的大小是12,n n 的夹角(或其补角，需根据观察得出结论)．在利用向量求空间角时，建立合理的空间直角坐标系，正确写出各点坐标，求出平面的法向量是解题的关键． 20．（1）114400；（2）选择第一种抽奖方案更合算.【解析】 【分析】（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率； （2）选择方案一，计算所付款金额X 的分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付款金额Z 的数学期望值，比较得出结论. 【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则()333101120C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为()()114400P P A P A =⋅=；（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0、600、700、1000.()3331010120C P X C ===，()2137310760040C C P X C ===， ()12373102170040C C P X C ===，()373107100024C P X C ===. 故X 的分布列为，所以()172171060070010007641204040246E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-， 由已知可得3~3,10Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，故()3931010E Y =⨯=， 所以()()()10002001000200820E Z E Y E Y =-=-=（元）. 因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算. 【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量分布列与数学期望，同时也考查了二项分布的数学期望与数学期望的性质，解题时要明确随机变量所满足的分布列类型，考查计算能力，属于中等题. 21．（1）；（2）实数不存在，理由见解析．【解析】试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和的关系，解方程可得，进而得到椭圆方程；（2）设，，线段的中点为．联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得的坐标，代入圆的方程，解方程可得，进而判断不存在．试题解析：（1）由题意得，解得故椭圆的方程为；（2）设，，线段的中点为联立直线与椭圆的方程得，即， 即，，所以，即．又因为点在圆上，可得， 解得与矛盾．故实数不存在．考点：椭圆的简单性质． 22．（1）3(1)ln 22y x =-+；（2）见解析. 【解析】 试题分析：（1）函数的定义域()1,-+∞，当2k =时，计算可得：()3'12f =，()12f ln =，则切线方程为()3122y x ln =-+. （2）()()211'111kx k x f x kx x x +-=-+=++，考查二次函数()()()()211g x kx k x x kx k =+-=+-，分类讨论：①若0k =，()f x 在()1,0-上单调递增，在()0,+∞上单调递减.②若0k >，()g x 为开口向上的二次函数，两个零点均在定义域()1,-+∞上.则： （i ）若01k <<，函数()f x 在()1,0-和1,k k -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,k k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.（ii ）若1k =，()f x 在()1,-+∞上单调递增. （iii ）若1k >，函数()f x 在11,k k -⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上单调递增，在1,0k k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 试题解析：（1）函数的定义域()1,-+∞，当2k =时，()1'121f x x x =-++，()13'11222f =-+=， ()12112f ln ln =-+=，∴切线方程为()3122y x ln =-+.（2）()()211'111kx k x f x kx x x +-=-+=++， 易知10x +>，令()()()()211g x kx k x x kx k =+-=+-，①若0k =，()g x x =-，∴()f x 在()1,0-上单调递增，在()0,+∞上单调递减. ②若0k >，()g x 为开口向上的二次函数，零点分别为0，1k k -，其中1111k k k-=->-， 即()g x 的两个零点均在定义域()1,-+∞上. （i ）若01k <<，10k k ->，所以函数()f x 在()1,0-和1,k k -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在10,k k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.（ii ）若1k =，10kk-=，()g x 图象恒在x 轴上方，()'0f x ≥恒成立，∴()f x 在()1,-+∞上单调递增.（iii ）若1k >，10k k -<，∴函数()f x 在11,k k -⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上单调递增，在1,0k k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。
山西省朔州市怀仁某校2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题理201911010344
山西省朔州市怀仁某校2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4{|0}2x A x Z x -=∈≥+，1{|24}4x B x =≤≤，则A B =（ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{1,0,1,2}- C ．{2,1,0,1,2}-- D ．{0,1,2}2.已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ）A ．[1,1]-B ．(1,1)-C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞3.若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3 B ．－1≤a ≤3 C ．－3≤a ≤3D ．－1≤a ≤14.已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ）A.它们的焦距相等 B ．它们的焦点在同一个圆上 C.它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等5.在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知直线l 过点P (1，0，－1)，平行于向量a ＝(2，1，1)，平面α过直线l 与点M (1，2，3)，则平面α的法向量不可能是( )A.(1，－4，2)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1，－12D.(0，－1，1)7.在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )A.14B.3－34C.2－34D.138.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种9.设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 10.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝n ad －bc a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d算得，K 2＝－260×50×60×50≈7.8.附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”11.焦点为F 的抛物线C ：28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．2y x =+或2y x =--B ．2y x =+C.22y x =+或22y x =-+ D ．22y x =-+12.定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11(,)[,)88-∞-+∞ B ．11[,0)(0,]48-C.(0,8]D ．11(,][,)48-∞-+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知(1,)a λ=，(2,1)b =，若向量2a b +与(8,6)c =共线，则a 和b 方向上的投影为 ．14.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t (t 为参数)转化成普通方程为________．15.已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X >2)＝________. 16.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）ABCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分)已知直线l的参数方程为4,2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点.（1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP ∆的面积的最大值18.(12分)设函数()1f x x x =+-的最大值为m .（1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值. 19.(12分)如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为AOC ∆的垂心.（1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.20.(12分)2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？21. (12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1 (a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)是否存在实数m ，使直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.22. (12分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k2x 2(k ≥0)．(1)当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间．高二理科数学期末试卷答案一、选择题1-5:BBBDA 6-10:DBDBC 11-12：AD 二、填空题13.514：x 2a 2－y 2b 2＝1 . 15.0.1 16.[2,4]ππ三、解答题17.解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.将直线l 的参数方程代入圆:C 22(2)4x y -+=，并整理得20t +=，解得10t =，2t =-所以直线l 被圆C 截得的弦长为12||t t -=（2）直线l 的普通方程为40x y --=.圆C 的参数方程为22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），可设曲线C 上的动点(22cos ,2sin )P θθ+，则点P 到直线l 的距离d =|2cos()4πθ=+，当cos()14πθ+=-时，d 取最大值，且d 的最大值为2+所以1(222ABP S ∆≤⨯+=+即ABP ∆的面积的最大值为218.解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1，x ≥1，由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1．所以m ＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝ 13(a 2b ＋1＋b2a ＋1)[(b ＋1)＋(a ＋1)]＝ 13[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1]≥ 1 3(a 2＋b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)a ＋1) ＝ 13(a ＋b )2＝ 1 3．当且仅当a ＝b ＝ 1 2时取等号． 即a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为 13． 19.解：（1）如图，延长OG 交AC 于点M . 因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点. 因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥. 又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =，所以OM ⊥平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ， 所以平面OPG ⊥平面PAC .（2）以点C 为原点，CB ，CA ，AP 方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz-，则(0,0,0)C ，(0,1,0)A ，B ，1(,0)22O ，(0,1,2)P ，1(0,,0)2M ，则(2OM =-，1(,,2)22OP =-.平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则30,23120,22n OM x n OP x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩令1z =，得(0,4,1)n =-. 过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥， 又PAAB A =，所以CH ⊥平面PAB ，即CH 为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，12CH CB ==.所以cos 4H x CH HCB =∠=，3sin 4H y CH HCB =∠=. 所以33(,0)44CH =. 设二面角A OP G --的大小为θ，则||cos ||||CH n CH n θ⋅==⋅3|0410|17-⨯+⨯=. 20.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则333101()120C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为1()()14400P P A P A =⋅=.（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000.333101(0)120C P X C ===，21373107(600)40C C P X C ===， 123731021(700)40C C P X C ===，373107(1000)24C P X C ===， 故X 的分布列为，所以17217()06007001000120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯17646=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-， 由已知可得3~(3,)10Y B ，故39()31010E Y =⨯=， 所以()(1000200)E Z E Y =-=1000200()820E Y -=（元）. 因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.21.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0).联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，所以Δ＝(2m )2－4×3×(m 2－2)＞0，即m 2＜3， 且x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3，2m 3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 32＝5，解得m ＝±3，与m 2＜3矛盾.故实数m 不存在.22. 解： (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，f ′(x )＝11＋x－1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.(2)f ′(x )＝x kx ＋k －11＋x ，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x .所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0； 在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)， 单调递减区间是(0，＋∞)． 当0<k <1时，由f ′(x )＝x kx ＋k －11＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk>0.所以，在区间(－1,0)和(1－kk，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－kk)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－k k，＋∞)，单调递减区间是(0，1－k k)． 当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x.故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)．当k >1时，由f ′(x )＝x kx ＋k －11＋x＝0，得x 1＝1－k k∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－kk)和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(1－k k，0)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1，1－k k)和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－k k，0)．。
2018-2019学年山西省朔州市怀仁县第一中学高二下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年山西省朔州市怀仁县第一中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合P={x|x 2-2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P ）∩Q=（ ） A.[)0,1 B.(]0,2 C.()1,2D.[]1,2【答案】C【解析】先化简集合A ，再求R P ð ，进而求()R P Q ⋂ð. 【详解】x （x-2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（-∞，0]∪[2，+∞） 由题意得，R P ð=（0,2），∴()()1,2R P Q ⋂=ð，故选C. 【点睛】本题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，要先化简集合，明确集合的运算法则，进而求得结果．2．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-【答案】A【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行3．若向量，满足2a b ==r r，与的夹角为60，则a b +等于（ ）A ．B ．C ．4D ．12【答案】B【解析】将a b +平方后再开方去计算模长，注意使用数量积公式. 【详解】因为2222cos 6044412a b a a b b +=+︒+=++=，所以23a b +=， 故选：B. 【点睛】本题考查向量的模长计算，难度一般.对于计算xa yb +这种形式的模长，可通过先平方再开方的方法去计算模长.4．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ) A ．8 B ．10C ．12D ．14【答案】C【解析】试题分析：假设公差为d ,依题意可得1323212,22d d ⨯+⨯⨯=∴=.所以62(61)212a =+-⨯=.故选C.【考点】等差数列的性质.5．一个样本数据从小到大的顺序排列为12，15，20，x ，23，28，30，50，其中，中位数为22，则x =（ ） A ．21 B ．15C ．22D ．35【答案】A【解析】数据的个数为偶数个，则中位数为中间两个数的平均数. 【详解】因为数据有8个，所以中位数为：23222x +=，所以解得：21x =， 故选：A. 【点睛】本题考查中位数的计算问题，难度较易.当一组数据的个数为偶数时（从小到大排列），中位数等于中间两个数的平均数；当一组数据的个数为奇数时（从小到大排列），中位数等于中间位置的那个数.A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B．【考点】由三视图求面积、体积．7．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A ．34B ．55C ．78D ．89【答案】B【解析】试题分析：由题意，①1,1,2x y z ===⇒②1,2,3x y y z z =====⇒③2,3,5x y z ===⇒④3,5,8x y z ===⇒⑤5,8,13x y z ===⇒⑥8,13,21x y z ===⇒⑦13,21,34x y z ===⇒⑧21,34,5550x y z ===>，从而输出55z =，故选B.【考点】1.程序框图的应用. 8．已知，，则等于( )A. B.C.D.【答案】B【解析】根据余弦的半角公式化简、运算，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，可知，则，又由半角公式可得，故选B ．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟练应用余弦函数的半角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 9．已函数()()sin 0,2f x x πωφωφ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是，若将其图象向右平移3π个单位后得到的图象关于原点对称，则函数()f x 的图象( ) A.关于直线12x π=对称B.关于直线512x π=对称 C.关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】B【解析】函数()()sin 0,2f x x πωφωφ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是2T ππω==，解得2ω=，()()sin 2f x x φ=+将其图象向右平移3π个单位后 得到2sin 2sin 2333f x x x πππφφ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 因为关于原点对称，所以2k π,k Z 3πφ-+=∈,2 k π,k Z,3πφ=+∈ 因为2πφ<，所以π3φ=-. ()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.12x π=时，π1 sin 2121232f ππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A,C 不正确； 512x π=时，55π sin 2112123f ππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以关于直线512x π=对称； 故选B.10．已知直线、经过圆的圆心，则的最小值是A ．9B ．8C ．4D ．2 【答案】A【解析】由圆的一般方程得圆的标准方程为，所以圆心坐标为，由直线过圆心，将圆心坐标代入得，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以最小值为9 【详解】 圆化成标准方程，得，圆的圆心为，半径．直线经过圆心C ，，即，因此，，、，，当且仅当时等号成立． 由此可得当，即且时，的最小值为9．【点睛】若圆的一般方程为，则圆心坐标为，半径 11．已知点，抛物线的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若，则的值等于（ ）A ．B ．C ．2D ．4 【答案】C【解析】试题分析：设,是点到准线的距离，,,即,那么,即直线的斜率是-2，所以，解得，故选C ．【考点】抛物线的简单性质【思路点睛】此题考察抛物线的性质，和数形结合思想的考察，属于偏难点的基础题型，对于抛物线的考察不太同于椭圆和双曲线，对应抛物线的基础题型，当图形中有点到焦点的距离，就一定联想到点到准线的距离，再跟据平面几何的关系分析，比如此题，，转化为，那分析图像等于知道的余弦值，也就知道了直线的斜率，跟据斜率的计算公式，就可以得到结果．12．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0)2(=f ,当0>x 时，有2()()0xf x f x x '-<恒等式2()0x f x >的解集是（ ） A ．(2,0)-∪(2,)+∞ B ．(,2)-∞-∪(0,2) C ．(,2)-∞-∪(2,)+∞ D ．(2,0)-∪(0,2) 【答案】B【解析】试题分析：因为当0>x 时，有2()()0xf x f x x '-<恒成立，所以'()0f x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭恒成立，所以()f x x在(0,)+∞内单调递减．因为0)2(=f ,所以在(0,2)内恒有()0f x >；在(2,)+∞内恒有()0f x <．又因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以在(,2)-∞-内恒有()0f x >；在(2,0)-内恒有()0f x <．又因为不等式2()0x f x >的解集，即不等式()0f x >的解集，由上分析可得，其解集为(,2)-∞-∪(0,2)，故应选B ． 【考点】1、函数的基本性质；2、导数在研究函数的单调性中的应用．【思路点睛】本题主要考查了函数的基本性质和导数在研究函数的单调性中的应用，属中档题．其解题的一般思路为：首先根据商函数求导法则可知2()()0xf x f x x '-<化为'()0f x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭；然后利用导数的正负性可判断函数()f x x 在(0,)+∞内的单调性；再由0)2(=f 可得函数)(x f 在(0,)+∞内的正负性；最后结合奇函数的图像特征可得，函数)(x f 在(,0)-∞内的正负性，即可得出所求的解集．二、填空题13．已知实数x ，y 满足条件210201x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z=x+3y 的最小值是_______________.【答案】-5【解析】作可行域,则直线z=x+3y 过点A(1,-2)取最小值-5点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，则三棱锥1A DED -的体积为＿＿＿＿＿.【答案】16【解析】以△1ADD 为底面，则易知三棱锥的高为1， 故111111326V =⋅⋅⋅⋅= 15．设函数()f x 的导数为()f x '，且()sin cos 2f x f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭'，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭' ．【答案】 【解析】试题分析：，而，所以，，故填：. 【考点】导数16．已知双曲线C：2222y xa b-＝1(a>0，b>0)，P为x轴上一动点，经过P的直线y＝2x＋m(m≠0)与双曲线C有且只有一个交点，则双曲线C的离心率为________．【解析】即双曲线的渐近线与直线y＝2x＋m平行，即ab＝2，所求的离心率e＝ca＝.17．如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,CA CB CD BD AB AD======（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求点E到平面ACD的距离.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）7【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）要证明AO⊥平面BCD，需要证明AO OC⊥，AO BD⊥，证明时主要是利用已知条件中的线段长度满足勾股定理和等腰三角形三线合一的性质（Ⅱ）中由已知条件空间直角坐标系容易建立，因此可采用空间向量求解，以O为坐标原点，以,,OB OC OA方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面ACD的法向量(3,1,n=-和斜线的方向向量1(,,0)22EC=-，代入公式EC ndn⋅=计算试题解析：（Ⅰ）证明：,AB AD O=为BD的中点，AO BD∴⊥，又2,CA =222CA OA OC ∴=+，AO OC ∴⊥，BD OC O ⋂=，,BD OC 均在平面BCD 内，AO ∴⊥平面BCD（Ⅱ）方法一：以O 为坐标原点，以,,OB OC OA 方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1(0,0,1),(1,0,0),(1,0,0),(2A B C D E -，(0,3,1),(1,AC CD =-=-设n 为平面ACD 的法向量，则nAC ⊥，nCD ⊥0,0,zx -=∴=取n1,=-，1(2EC =-，则点E 到平面ACD的距离为37EC n d n⋅===方法二：设点H 在CD 上，且14DH DC =，连AH ， 2,CB CD DB ===O 为BD 的中点，OH CD ∴⊥AO ⊥Q 平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，,AO CD ∴⊥,,AO OH O AO OH ⋂=⊂平面AOH ，CD \^平面AOHCD ⊂平面ACD ，∴平面AOH ⊥平面ACD ，且交线为AH过点O 作OP AH ⊥于点P ，则OP ∴⊥平面ACD,O E 分别为,BD BC 的中点，则//,OE CD OE ⊄平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，//OE ∴平面ACD，E ∴点到平面ACD 的距离即OP，11,AO OHAO OH AH OP AH⋅===∴===故点E 到平面ACD 的距离为7【考点】1.线面垂直的判定；2.点到面的距离三、解答题18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(),a b 在直线()sin sin sin sin x A B y B c C -+=上．（1）求角C 的值；（2）若()22618a b a b +=+-，求ABC ∆的面积．【答案】（1）3C π=；（2【解析】（1）代入点到直线的方程，根据正弦定理完成角化边，对比余弦定理求角；（2）将等式化简成“平方和为零”形式，计算出a b 、的值，利用面积公式计算ABC ∆的面积. 【详解】解：（1）由题意得()sin sin sin sin a A B b B c C -+=， 由正弦定理，得()22a ab bc -+=，即222a b c ab +-=，由余弦定理，得222cos 122a b c C ab +-==，结合0C π<<，得3C π=.（2）由()22618a b a b +=+-，得()()22330a b -+-=， 从而得3a b ==，所以ABC ∆的面积213sin 234S π=⨯⨯=. 【点睛】本题考查正、余弦定理的简单应用，难度较易.使用正弦定理进行角化边或者边化角的过程时，一定要注意“齐次”的问题.19．【选修4-4，坐标系与参数方程】在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），在以O为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与轴的交点为P，直线与曲线C的交点为A,B,求的值.【答案】（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）．【解析】试题分析：本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线与圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用，，转化方程；第二问，将直线方程与曲线方程联立，消参，得到关于的方程，利用两根之积得到结论.试题解析：（Ⅰ）直线的普通方程为，，曲线的直角坐标方程为.（Ⅱ）将直线的参数方程（为参数）代入曲线：，得到：，，.【考点】本题主要考查：1.极坐标方程，参数方程与直角方程的相互转化；2.直线与圆的位置关系.20．已知椭圆C：22221x ya b+=＝1（a＞b＞0）的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线2212yx-=的焦点重合，过点P（4，0）且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B 两点.（1）求椭圆C 的方程； （2）求OA OB ⋅的取值范围. 【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，若焦点明确，设椭圆的标准方程，结合条件用待定系数法求出的值，若不明确，需分焦点在轴和轴上两种情况讨论；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：解：（1）由题意知22222211,24c c a b e e a a a -==∴===，2243a b =.又双曲线的焦点坐标为(0,b =224,3a b ∴==，∴椭圆的方程为22143x y +=. （2）若直线l 的倾斜角为0，则(2,0),(2,0),4A B OA OB -⋅=-， 当直线l 的倾斜角不为0时，直线l 可设为4x my =+，22224{(34)243603412x my m y my x y =+⇒+++=+=，由 2220(24)4(34)3604m m m ∆>⇒-⨯+⨯>⇒>设1122(4,),(4,)A my y B my y ++，1212222436,3434m y y y y m m +=-=++， 21212121212(4)(4)416OA OB my my y y m y y my y y y ⋅=+++=+++2116434m =-+，2134,(4,)4m OA OB >∴⋅∈-，综上所述：范围为13[4,)4-. 【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合问题.21．莫言是中国首位获得诺贝尔文学奖的文学家，国人欢欣鼓舞。
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山西省怀仁一中2018-2019学年度第二学期高二年级期末考试理 科 数 学一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4{|0}2x A x Z x -=∈≥+，1{|24}4x B x =≤≤，则A B =（ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0,1,2}--D ．{0,1,2}2.已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ）A ．[1,1]-B ．(1,1)-C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞ 3.若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3 B ．－1≤a ≤3 C ．－3≤a ≤3D ．－1≤a ≤14.已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ）A.它们的焦距相等 B ．它们的焦点在同一个圆上 C.它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等5.在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知直线l 过点P (1，0，－1)，平行于向量a ＝(2，1，1)，平面α过直线l 与点M (1，2，3)，则平面α的法向量不可能是( ) A.(1，－4，2)B.⎝⎛⎭⎫14，－1，12C.⎝⎛⎭⎫－14，1，－12 D.(0，－1，1)7.在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )A.14B.3－34C.2－34D.138.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种9.设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 10.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”11.焦点为F 的抛物线C ：28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C.22y x =+或22y x =-+ D ．22y x =-+12.定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11(,)[,)88-∞-+∞ B ．11[,0)(0,]48-C.(0,8]D ．11(,][,)48-∞-+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知(1,)a λ=，(2,1)b =，若向量2a b +与(8,6)c =共线，则a 和b 方向上的投影为 ．14.将参数方程⎩⎨⎧x ＝a 2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝⎛⎭⎫t －1t (t 为参数)转化成普通方程为________．15.已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X >2)＝________. 16.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分)已知直线l 的参数方程为4,22x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点.（1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP ∆的面积的最大值18.(12分)设函数()1f x x x =+-的最大值为m .（1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值. 19.(12分)如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为AOC ∆的垂心.（1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.20.(12分)2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？21. (12分)已知椭圆x2b2＋y2a2＝1 (a>b>0)的离心率为22，且a2＝2b.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在实数m，使直线l：x－y＋m＝0与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.22. (12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋k2x2(k≥0)．(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．高二理科数学期末试卷答案一、选择题1-5:BBBDA 6-10:DBDBC 11-12：AD 二、填空题13.514：x 2a 2－y 2b 2＝1 . 15.0.1 16.[2,4]ππ三、解答题17.解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.将直线l 的参数方程代入圆:C 22(2)4x y -+=，并整理得20t +=，解得10t =，2t =-.所以直线l 被圆C 截得的弦长为12||t t -=. （2）直线l 的普通方程为40x y --=.圆C 的参数方程为22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），可设曲线C 上的动点(22cos ,2sin )P θθ+，则点P 到直线l 的距离d =|2cos()4πθ=+，当cos()14πθ+=-时，d 取最大值，且d 的最大值为2所以1(222ABP S ∆≤⨯=+即ABP ∆的面积的最大值为218.解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1， x ≥1，由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1．所以m ＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝ 1 3(a 2b ＋1＋b 2a ＋1)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝ 1 3[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1]≥ 1 3(a 2＋b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)a ＋1) ＝ 13(a ＋b )2＝ 1 3．当且仅当a ＝b ＝ 12时取等号． 即a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为 13． 19.解：（1）如图，延长OG 交AC 于点M . 因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点. 因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥. 又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =，所以OM ⊥平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ， 所以平面OPG ⊥平面PAC .（2）以点C 为原点，CB ，CA ，AP 方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz-，则(0,0,0)C ，(0,1,0)A ，B ，1(,,0)22O ，(0,1,2)P ，1(0,,0)2M，则(2OM =-，1(,2)22OP =-.平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则30,23120,22n OM x n OP x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩令1z =，得(0,4,1)n =-. 过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥， 又PAAB A =，所以CH ⊥平面PAB ，即CH 为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，12CH CB ==.所以cos H x CH HCB =∠=，3sin 4H y CH HCB =∠=. 所以33(,0)4CH =. 设二面角A OP G --的大小为θ，则||cos ||||CH n CH n θ⋅==⋅3|0410|17⨯+⨯=. 20.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则333101()120C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为1()()14400P P A P A =⋅=.（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000.333101(0)120C P X C ===，21373107(600)40C C P X C ===， 123731021(700)40C C P X C ===，373107(1000)24C P X C ===， 故X 的分布列为，所以17217()06007001000120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯17646=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~(3,)10Y B ，故39()31010E Y =⨯=， 所以()(1000200)E Z E Y =-=1000200()820E Y -=（元）.因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.21.解：(1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2， 解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0).联立直线与椭圆的方程得⎩⎨⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，所以Δ＝(2m )2－4×3×(m 2－2)＞0，即m 2＜3， 且x 0＝x 1＋x 22＝－m3，y 0＝x 0＋m ＝2m3，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3，2m 3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 32＝5，解得m ＝±3，与m 2＜3矛盾.故实数m 不存在.22. 解： (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，f ′(x )＝11＋x－1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.(2)f ′(x )＝x kx ＋k －11＋x ，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x .所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0； 在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)， 单调递减区间是(0，＋∞)． 当0<k <1时，由f ′(x )＝x kx ＋k －11＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk>0.所以，在区间(－1,0)和(1－kk，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－k k)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－kk，＋∞)，单调递减区间是(0，1－k k)． 当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x.故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)．当k >1时，由f ′(x )＝x kx ＋k －11＋x＝0，得x 1＝1－k k∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－kk)和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(1－k k，0)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1，1－k k)和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－k k，0)．。