推荐学习K122016届高三数学上学期统练试题(五)文
推荐学习K122016届高三数学上学期12月模拟试卷 理(含解析)
2015-2016学年陕西省西安市铁一中学高三（上）12月模拟数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={0，2，3}，B={x|x=ab，a，b∈A}，且a≠b，则B的子集的个数是（）A．4 B．8 C．16 D．152．已知复数z=，则z﹣|z|对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件D．若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πB．πC．8πD．16π5．函数的图象向左平移个单位，所得的图形对应的函数是（）A．偶函数，值域为[0，1] B．奇函数，值域为[0，2]C．偶函数，值域为[0，2] D．奇函数，值域为[0，1]6．已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），则a，b之间的关系是（）A．B．C．D．7．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（）A．DC1⊥D1P B．平面D1A1P⊥平面A1APC．∠APD1的最大值为90°D．AP+PD1的最小值为8．在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A．45 B．60 C．120 D．2109．某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，则不同的安排方法有（）种．A．24 B．48 C．96 D．11410．在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，O为坐标原点，动点P满足，则的最小值是（）A．4﹣2B． +1 C．﹣1 D．11．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，4）B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）C．（﹣4，1）D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）12．对于三次函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d （a≠0），给出定义：设f′（x ）是函数y=f （x ）的导数，f″（x ）是f′（x ）的导数，若方程f″（x ）=0有实数解x0，则称点（x 0，f （x 0））为函数y=f （x ）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数g （x ）=x 3﹣x 2+3x ﹣，则g （）+g （）+…+g （）=（ ） A ．2 013 B ．2 014C ．2 015D ．2 016二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．运行如图所示程序框图，如果输入的t ∈[﹣1，3]，则输出s 属于 ．14．已知椭圆的离心率，则m 的取值范围为 ．15．若△ABC 的内角满足sinA+sinB=2sinC ，则cosC 的最小值是 ．16．若函数f （x ）=（1﹣x 2）（x 2+ax+b ）的图象关于直线x=3对称，则f （x ）的最大值是 ．三．解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4=14，且a 1，a 3，a 7成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设T n 为数列{}的前n 项和，若T n ≥λ对∀n ∈N *恒成立，求实数λ的最大值．18．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱SA，SB，SC两两互相垂直，D，E，F分别是它们的中点，SA=SB=SC=2，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，加上点S，把这四个点每两个点相连后得到一个“空间体”，记这个“空间体”的体积为X（若点S与所取三点在同一平面内，则规定X=0）．（Ⅰ）求事件“X=0”的概率；（Ⅱ）求随机变量X的分布列及数学期望．19．在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图所示，设直线l与圆x2+y2=r2（1＜r＜）、椭圆C同时相切，切点分别为A，B，求|AB|的最大值．21．设函数f（x）=lnx﹣﹣bx（Ⅰ）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲22．选修4﹣1：几何证明选讲如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（1）求证：CE•EB=EF•EP；（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）﹣log2（a2﹣3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年陕西省西安市铁一中学高三（上）12月模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={0，2，3}，B={x|x=ab，a，b∈A}，且a≠b，则B的子集的个数是（）A．4 B．8 C．16 D．15【考点】集合中元素个数的最值．【专题】计算题．【分析】由题意求出集合B，然后求出集合B的子集个数即可．【解答】解：因为集合A={0，2，3}，B={x|x=ab，a，b∈A，a≠b}={0，6}，它的子集有：∅；（0）；{6}；{0，6}．共有4个．故选A．【点评】本题考查集合的子集的求出，集合的基本运算，考查计算能力．2．已知复数z=，则z﹣|z|对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵复数z===，∴z﹣|z|=﹣=+i对应的点所在的象限为第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3．下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件D．若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题．【分析】A．我们知道：命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，同时注意“x=y=0”的否定是“x，y中至少有一个不为0”，据此可以判断出A的真假．B．依据“命题：∃x0∈R，结论p成立”，则￢p为：“∀x∈R，结论p的反面成立”，可以判断出B的真假．C．由于，因此在△ABC中，sinA＞sinB⇔＞0⇔A＞B．由此可以判断出C是否正确．D．由向量，可得的夹角，可以判断出D是否正确．【解答】解：A．依据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，可知：命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”．可判断出A正确．B．依据命题的否定法则：“命题：∃x0∈R，﹣x0+1≤0”的否定应是“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，故B是真命题．C．由于，在△ABC中，∵0＜A+B＜π，∴0，∴，又0＜B＜A＜π，∴0＜A﹣B＜π，∴，∴．据以上可知：在△ABC中，sinA＞sinB⇔＞0⇔A＞B．故在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B 的充要条件．因此C正确．D．由向量，∴，∴的夹角，∴向量与的夹角不一定是钝角，亦可以为平角π，∴可以判断出D 是错误的． 故答案是D ．【点评】本题综合考查了四种命题之间的关系、命题的否定、三角形中的角大小与其相应的正弦值之间的大小关系、向量的夹角，解决问题的关键是熟练掌握其有关基础知识．4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．πB ．πC ．8πD ．16π【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，分别计算柱体和圆锥的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥， 圆柱和圆锥的底面直径为4，故底面半径为2，故底面面积S=4π， 圆柱和圆锥的高h=2，故组合体的体积V=（1﹣）Sh=，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．5．函数的图象向左平移个单位，所得的图形对应的函数是（ ）A ．偶函数，值域为[0，1]B ．奇函数，值域为[0，2]C ．偶函数，值域为[0，2]D ．奇函数，值域为[0，1] 【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；二倍角的余弦． 【专题】计算题．【分析】利用余弦的二倍角公式将y=转化为y=后图象向左平移个单位，可得函数的解析式，从而可得答案．【解答】解：∵y=f（x）==，∴其图象向左平移个单位，得g（x）=f（x+）==，∵g（﹣x）=g（x），∴g（x）=为偶函数，可排除B，D；又0≤g（x）=≤1，可排除C，故选A．【点评】本题考查余弦的二倍角公式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得平移后的解析式是关键，属于中档题．6．已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），则a，b之间的关系是（）A．B．C．D．【考点】绝对值不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】化简|f（x）﹣1|＜a得＜x＜．化简|x+1|＜b得﹣b﹣1＜x＜b﹣1，由题意可得（，）⊆（﹣b﹣1，b﹣1），故﹣b﹣1≤，b﹣1≥，由此求得a，b之间的关系．【解答】解：|f（x）﹣1|＜a即|2x+2|＜a，即﹣a＜2x+2＜a，即＜x＜．|x+1|＜b即﹣b＜x+1＜b 即﹣b﹣1＜x＜b﹣1．∵|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），∴（，）⊆（﹣b﹣1，b﹣1），∴﹣b﹣1≤，b﹣1≥，解得b≥，故选A．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，绝对值不等式的解法，属于中档题．7．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（）A．DC1⊥D1P B．平面D1A1P⊥平面A1APC．∠APD1的最大值为90°D．AP+PD1的最小值为【考点】棱柱的结构特征．【专题】应用题；空间位置关系与距离．【分析】利用DC1⊥面A1BCD1，可得DC1⊥D1P，A正确利用平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，得出平面D1A1P⊥平面A1AP，B正确；当A1P=时，∠APD1为直角，当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，C错；将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值．【解答】解：∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，A正确∵平面D1A1P即为平面D1A1BC，平面A1AP 即为平面A1ABB1，切D1A1⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，∴B正确；当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，∴C错；将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A=135°利用余弦定理解三角形得AD1=，即AP+PD1≥，∴D正确．故选：C．【点评】本题考查正方体的结构特征，空间位置关系的判定，转化的思想．8．在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A．45 B．60 C．120 D．210【考点】二项式定理的应用．【专题】二项式定理．【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可．【解答】解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是： =20．f（3，0）=20；含x2y1的系数是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系数是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系数是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．故选：C．【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．9．某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，则不同的安排方法有（）种．A．24 B．48 C．96 D．114【考点】排列、组合的实际应用．【专题】应用题；分类讨论；综合法；排列组合．【分析】5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有（3，1，1）和（2，2，1）两种，计算出每一种的，再排除A、B住同一房间，问题得以解决．【解答】解：5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有（3，1，1）和（2，2，1）两种，当为（3，1，1）时，有C 53A 33=60种，A 、B 住同一房间有C 31A 33=18种，故有60﹣18=42种，当为（2，2，1）时，有•A 33=90种，A 、B 住同一房间有C 31C 32A 22=18种，故有90﹣18=72种，根据分类计数原理共有42+72=114种， 故选：D ．【点评】本题考查了分组分配的问题，关键是如何分组，属于中档题．10．在直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为，O 为坐标原点，动点P 满足，则的最小值是（ ）A ．4﹣2B ．+1C ．﹣1D ．【考点】三角函数的最值；向量的模． 【专题】计算题；平面向量及应用；直线与圆．【分析】设点P （x ，y ），则由动点P 满足||=1可得圆C ：x 2+（y+2）2=1．根据|++|=，表示点P （x y ）与点M （﹣，﹣1）之间的距离．显然点M 在圆C x 2+（y+2）2=1的外部，求得MC 的值，则|MC|﹣1即为所求．【解答】解：设点P （x ，y ），则由动点P 满足||=1可得x 2+（y+2）2=1．根据++的坐标为（+x ，y+1），可得|++|=，表示点P （x y ）与点M （﹣，﹣1）之间的距离．显然点M 在圆C ：x 2+（y+2）2=1的外部，求得|MC|=，|++|的最小值为|MC|﹣1=﹣1，故选C ．【点评】本题主要考查两点间的距离公式，点与圆的位置关系，两个向量坐标形式的运算，求向量的模，属于中档题．11．若两个正实数x ，y 满足，且不等式有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，4）B ．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）C ．（﹣4，1）D ．（﹣∞，0）∪（3，+∞）【考点】基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式． 【专题】不等式的解法及应用．【分析】将不等式有解，转化为求∴（x+）min＜m2﹣3m，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．【解答】解：∵不等式有解，∴（x+）min＜m2﹣3m，∵x＞0，y＞0，且，∴x+=（x+）（）=+2=4，当且仅当，即x=2，y=8时取“=”，∴（x+）min=4，故m2﹣3m＞4，即（x+1）（x﹣4）＞0，解得x＜﹣1或x＞4，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．属于中档题．12．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f （x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数g（x）=x3﹣x2+3x﹣，则g（）+g（）+…+g（）=（）A．2 013 B．2 014 C．2 015 D．2 016【考点】导数的运算；函数的值．【专题】导数的概念及应用．【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（，1）对称，即f（x）+f（1﹣x）=2，即可得到结论．【解答】解：函数的导数g′（x）=x2﹣x+3，g″（x）=2x﹣1，由g″（x0）=0得2x0﹣1=0解得x0=，而f（）=1，故函数g（x）关于点（，1）对称，∴g（x）+g（1﹣x）=2，故设g（）+g（）+…+g（）=m，则g（）+g（）+…+g（）=m，两式相加得2×2014=2m，则m=2014．故选：B【点评】本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．运行如图所示程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出s属于[﹣3，4] ．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据程序框图的功能进行求解即可．【解答】解：本程序为条件结果对应的表达式为s=，则当输入的t∈[﹣1，3]，则当t∈[﹣1，1）时，s=3t∈[﹣3，3），当t∈[1，3]时，s=4t﹣t2=﹣（t﹣2）2+4∈[3，4]，综上s∈[﹣3，4]，故答案为：[﹣3，4]．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件结构，结合分段函数的表达式是解决本题的关键．14．已知椭圆的离心率，则m的取值范围为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；分类讨论；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的方程，分两种情况求出椭圆的离心率，再根据离心率的范围，求出m的取值范围．【解答】解：当m＞4时，a=，c=，椭圆的离心率为：e=∈[，），解得m∈[，）；当0＜m＜4时，a=2，c=，椭圆的离心率为：e=∈[，），解得m∈（3，]；所以m的范围为：（3，]∪[，）．故答案为：（3，]∪[，）．【点评】本题考查了椭圆的几何性质与离心率的应用问题，解题时应注意椭圆的长轴位置在x，y轴两种情况，是基础题15．若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是．故答案为：．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键．16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=3对称，则f（x）的最大值是36 ．【考点】函数的最值及其几何意义；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】本题考查由图象对称确定待定系数的方法及通过导数求最值的方法．【解答】由函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=3对称可知，f（2）=f（4），f（1）=f（5）．即，解得：．则f（x）=（1﹣x2）（x2﹣12x+35）=﹣x4+12x3﹣34x2﹣12x+35，则令f′（x）=﹣4（x﹣3）（x2﹣6x﹣1）=0，解得：．而．故答案为：36．法二：f（x）=（1﹣x2）（x2﹣12x+35）=（1﹣x）（x﹣5）（1+x）（x﹣7）=（﹣x2+6x﹣5）（x2﹣6x﹣7）≤=36；（当且仅当﹣x2+6x﹣5=x2﹣6x﹣7，即x=时，等号成立．）故答案为：36．【点评】本题综合性较强，考查图象与函数性质的应用及导数的应用．三．解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项和，若T n≥λ对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．【考点】数列的求和；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式以及等比数列的性质能求出数列{a n}的通项公式．（2）由==，利用裂项求和法能求出实数λ的最大值．【解答】解：（1）设公差为d，∵各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列，∴，解得d=1或d=0（舍），所以a1=2，故a n=n+1．…（2）因为==，…所以+…+=，…而T n随着n的增大而增大，所以T n≥T1=，…因为T n≥λ对∀n∈N*恒成立，即，所以实数λ的最大值为．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．18．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱SA，SB，SC两两互相垂直，D，E，F分别是它们的中点，SA=SB=SC=2，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，加上点S，把这四个点每两个点相连后得到一个“空间体”，记这个“空间体”的体积为X（若点S与所取三点在同一平面内，则规定X=0）．（Ⅰ）求事件“X=0”的概率；（Ⅱ）求随机变量X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；排列、组合的实际应用．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）求出从A、B、C、D、E、F六个点中任取三个点的所有不同的取法，再求出其中所选取的3个点与点S在同一平面内的取法，然后利用古典概型概率计算公式求得所求事件“X=0”的概率；（Ⅱ）由题意可得X的所有可能取值为0，．然后利用古典概型概率计算公式分别求出概率，列出频率分布表，再由期望公式求期望．【解答】解：（Ⅰ）从A、B、C、D、E、F六个点中任取三个点共有种不同的取法，其中所选取的3个点与点S在同一平面内的取法有不同取法，∴所求事件“X=0”的概率P（X=0）=；（Ⅱ）由题意可得X的所有可能取值为0，．由（Ⅰ）得：P（X=0）=，P（X=）=，P（X=）=，P（X=）=，P（X=）=．∴随机变量X的分布列为：X 0P∴E（x）=．【点评】本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，属中档题．19．在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用．【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连接BO，DO，由题设条件推导出DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，由已知条件推导出∠EBF=60°，由此能证明DE∥平面ABC．（Ⅱ）法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，能推导出∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．法二：以OA为x轴，以OB为y轴，以OD为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC，…又∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，∵BE和平面ABC所成的角为60°，∴∠EBF=60°，∵BE=2，∴，…∴四边形DEFO是平行四边形，∴DE∥OF，∵DE不包含于平面ABC，OF⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC．…（Ⅱ）解法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，∵EF⊥平面ABC，∴EF⊥BC，又EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∴EG⊥BC，∴∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角．…Rt△EFG中，，，．∴．即二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…解法二：建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，B（0，，0），C（﹣1，0，0），E（0，，），∴=（﹣1，﹣，0），=（0，﹣1，），平面ABC的一个法向量为设平面BCE的一个法向量为则，∴，∴．…所以，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图所示，设直线l与圆x2+y2=r2（1＜r＜）、椭圆C同时相切，切点分别为A，B，求|AB|的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由已知得，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能推导出当R→时，|AB|取得最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，∴，解得a=，b=1，∴椭圆方程为=1．（Ⅱ）由题意得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0，设A（x1，y1），B（x0，y0），∵直线l与圆M相切，∴ =r，即m2=r2（k2+1），①联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由直线l与椭圆G相切，得△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0，即m2=2k2+1，②由①②得k2=，m2=，设点B（x0，y0），则=，=1﹣=∴|OB|2===3﹣，∴|AB|2=|OB|2﹣|OA|2=3﹣﹣r2=3﹣（r2+）≥3﹣2=3﹣2，∵1，∴1＜r2＜2，∴r2→2时，|AB|取得最大值=．【点评】本题考椭圆C的方程的求法，考查|AB|的最大值的求法，是中档值．21．设函数f（x）=lnx﹣﹣bx（Ⅰ）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．（II）先构造函数F（x）再由以其图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，知导函数≤恒成立，再转化为所以a≥（﹣，x02+x0）max求解．（III）先把程f（x）=mx有唯一实数解，转化为有唯一实数解，再利用单调函数求解．【解答】解：（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．当a=b=时，f（x）=lnx﹣x2﹣x，f′（x）=﹣x﹣=．令f′（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．所以函数f（x）的单调增区间（0，1），函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（Ⅱ）F（x）=lnx+，x∈（0，3]，所以k=F′（x0）=≤，在x0∈（0，3]上恒成立，所以a≥（﹣x02+x0）max，x0∈（0，3]当x0=1时，﹣ x02+x0取得最大值．所以a≥．（Ⅲ）当a=0，b=﹣1时，f（x）=lnx+x，因为方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，所以lnx+x=mx有唯一实数解．∴，设g（x）=，则g′（x）=．令g′（x）＞0，得0＜x＜e；g′（x）＜0，得x＞e，∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数，g（1）=1，g（e2）=1+=1+，g（e）=1+，所以m=1+，或1≤m＜1+．【点评】本题主要考查函数的单调性、极值、不等式、方程的解等基本知识，同时考查运用导数研究函数性质的方法，分类与整合及化归与转化等数学思想．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲22．选修4﹣1：几何证明选讲如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（1）求证：CE•EB=EF•EP；（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题．【分析】（I）由已知可得△DEF∽△CED，得到∠EDF=∠C．由平行线的性质可得∠P=∠C，于是得到∠EDF=∠P，再利用对顶角的性质即可证明△EDF∽△EPA．于是得到EA•ED=EF•EP．利用相交弦定理可得EA•ED=CE•EB，进而证明结论；（II）利用（I）的结论可得BP=，再利用切割线定理可得PA2=PB•PC，即可得出PA．【解答】（I）证明：∵DE2=EF•EC，∠D EF公用，∴△DEF∽△CED，∴∠EDF=∠C．又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA∴△EDF∽△EPA．∴，∴EA•ED=EF•EP．又∵EA•ED=CE•EB，∴CE•EB=EF•EP；（II）∵DE2=EF•EC，DE=3，EF=2．∴32=2EC，∴．∵CE：BE=3：2，∴BE=3．由（I）可知：CE•EB=EF•EP，∴，解得EP=，∴BP=EP﹣EB=．∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PB•PC，∴，解得．【点评】熟练掌握相似三角形的判定和性质定理、平行线的性质、对顶角的性质、相交弦定理、切割线定理是解题的关键．选修4-4：坐标系与参数方程23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可化为直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=4x，利用根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义即可得出．【解答】解：（I）由ρsin2θ=4cosθ，得（ρsinθ）2=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（II）将直线l的参数方程代入y2=4x，得t2sin2α﹣4tcosα﹣4=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1+t2=，t1t2=﹣，∴|AB|=|t1﹣t2|===，当α=时，|AB|的最小值为4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义等基础知识与基本技能方法，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）﹣log2（a2﹣3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）通过对自变量x的范围的讨论，去掉绝对值符号，从而可求得不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）不等式f（x）﹣＞2恒成立⇔+2＜f（x）min恒成立，利用绝对值不等式的性质易求f（x）min=4，从而解不等式＜2即可．【解答】解：（Ⅰ）原不等式等价于或或，解得：＜x≤2或﹣≤x≤或﹣1≤x＜﹣，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅱ）不等式f（x）﹣＞2恒成立⇔+2＜f（x）=|2x+1|+|2x ﹣3|恒成立⇔+2＜f（x）min恒成立，∵|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，∴f（x）的最小值为4，∴+2＜4，即，解得：﹣1＜a＜0或3＜a＜4．∴实数a的取值范围为（﹣1，0）∪（3，4）．【点评】本题考查函数恒成立问题，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查函数的单调性与解不等式组的能力，属于难题．。
【配套K12】高三数学上学期期末教学质量检测试题 文(扫描版)
潮州市2015-2016学年度第一学期期末高三级教学质量检测卷文科数学卷潮州市2015-2016学年度第一学期期末高三级教学质量检测卷数学（文科）参考答案1．由交集的概念可得．2．由于13(3)33i i iz i i i+-===--，于是复数z 的虚部为1． 3．由已知得2(8)(8)log 83f f -=-=-=-．4．由已知得123721a a a a d ++++=L ，所以1(1)21k a a k d d =+-=，故22k =． 5．经过循环后，a 的分别为4、16、256，由于33log 2564log 44=>，于是256a =． 6．因为()a b a ⊥-，所以()0a b a ⋅-=，于是2a b a ⋅=，故2||1cos ,2||||||||a b a a b a b a b ⋅<>===，又,[0,]a b π<>∈．所以,3a b π<>=．7．平移后所得图象对应的函数为sin(2)4y x π=-，由2()42x kk Z πππ-=+∈得3()82k x k Z ππ=+∈，于是当1k =-时，8x π=-． 8．由已知可知双曲线是等轴双曲线，于是2222222c a b e a a+===，故e = 9．因为4cos 5α=-，且(,)2παπ∈，所以3sin 5α=，于是3tan 4α=-．故311tan 4tan()7341tan 14πααα+--===+-． 104=，所以该几何体的体积为122482V =⨯⨯⨯=．11．抛物线28y x =的焦点为(2,0)，由题意得22c e a a===，解得1a =，又222413b c a =-=-=．故双曲线的标准方程为2213y x -=． 12．222'()2432()32f x x ax x a a =-++=--++，因为()f x '的最大值为5，所以2325a +=，又0a >，故1a =，13(1)3f =，'(1)5f =，所以所求切线方程为135(1)3y x -=-，即15320x y --=． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．3； 14．12； 15． 16．π50． 简析：13．画出满足条件可行域，将直线3y x =-向上平移，可知当直线经过点(1,0)时，z 取得最大值为3．14．几何概型，24160a ∆=-<得22a -<<．故概率为2(2)15(3)2--=--．15．由1sin 2ab C =2a =，又2222cos c a b ab C =+-得c =． 16．外接球直径等于长方体的对角线，即505432222=++=R ，故ππ5042==R S三、解答题：（共5小题，每题12分，共60分）17．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．…………………………..….1分由题意得2214S S S =⋅．…………………………………....….2分∴2111(2)(46)a d a a d +=+，整理得212d a d =．…...….3分 又0d ≠，所以12d a =．………………………………..….4分 故公比211111244S a d a q S a a +====．…………………..….6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知12d a =，∴21124S a d a =+=．………….….8分又24S =．∴144a =．∴11a =，2d =．……….…………………………………...10分 故1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-．……….………12分 18．解：（Ⅰ）由已知得：1314010570a cb ===， 解得：4a =，35b =，2c =．……………………………………4分（Ⅱ）设“海济社”已抽取的4人分别为：1A ，2A ，3A ，4A ；“彩虹文艺社” 已抽取的2人分别为：1B ，2B ．从中任选2人的所有基本事件为：1A 2A ，1A 3A ，1A 4A ，1A 1B ，1A 2B ，2A 3A ，2A 4A ，2A 1B ，2A 2B ，3A 4A ，3A 1B ，3A 2B ，4A 1B ，4A 2B ，1B 2B 共15个，以上基本事件都是等可能事件，…………………..……………………………8分其中2人来自不同社团的基本事件为：1A 1B ，1A 2B ，2A 1B ，2A 2B ，3A 1B ，3A 2B ，4A 1B ，4A 2B 共8个，…………………………………………..…………..10分所以2人来自不同社团的概率为815P =.……………………………………12分 19．（Ⅰ）证明：∵PAB ∆是正三角形且H 是AB 的中点，∴PH AB⊥．……………………..………………1分∵在PBC ∆中，2PBAB ==，BC =PC =∴222PC PB BC =+．∴BC PB ⊥．…………………………….…..……3分 又BC BA ⊥，且PBBA B =，PB 、BA ⊂平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB ，…………………………………4分又PH ⊂平面PAB ，∴BC PH ⊥．………………………………………5分 又AB BC B =，AB 、BC ⊂平面ABCD ，∴PH ⊥平面ABCD ．…………………………..………6分 （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知PH 是三棱锥P AHD -的高． 在Rt PAH ∆中，2PA AB ==，112AH AB ==． ∴PH ===分又111222AHD S AH AD∆=⋅⋅=⨯=，∴1133P AHD AHD V S PH -∆=⋅⋅==分 过点E 作//EF PA ，交AB 于点F，又点E 是PA 的中点， 所以EF ⊥平面AHD ，且122EF PH ==．∴11332212E AHD AHD V S EF -∆=⋅=⨯=．………………11分 ∴三棱锥P EHD -的体积为P EHD P AHD E AHD V V V ---=-==．……12分 解法二：在Rt PAH ∆中，2PA AB ==，112AHAB ==．所以PH ===分又E 是PA 的中点，所以11111122222PEH PAH S S AH PH ∆∆==⨯⋅⋅=⨯⨯由（Ⅰ）可知BC ⊥平面PAB 且BC = 又//AD BC 且ADBC =，所以AD ⊥平面PAB且AD =．………………10分所以1133412P EHD D PEH PEH V V S AD --∆==⋅⋅=⨯………………12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得2221a c b a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩……………………………………………….1分解得a =1c =. ……………………………………………………3分所以所求椭圆方程为22132x y +=………………………………………4分（Ⅱ）方法一：当直线AB 与x 轴垂直时，||AB =， 此时AOB S ∆=不符合题意故舍掉；…………………………………..5分 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为(1)y k x =+，由22132(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-=………6分设1122(,),(,)A x y B x y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，………………….…..7分∴||AB =======分 原点O 到直线的AB距离d =，…………………………..…10分∴三角形的面积2211)||223AOB k S AB d k∆+===+．由4AOB S ∆=得22k =，故k =分 ∴直线AB的方程为1)y x =+，或1)y x =+．0y -=，0y +=…………………………….12分方法二：由题意知直线AB 的斜率不为O ，可设其方程为1ny x =+．………….5分由221132ny x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得22(23)440n y ny +--=．…………………….6分设1122(,),(,)A x y B x y ，则122423n y y n +=+，122423y y n -=+．…….7分∴121||||2AOB S OF y y ∆=⋅-=分又4AOB S ∆=，所以212129()42y y y y +-=．…………………….……..9分∴2224169()23232n n n +=++．解得n =分∴直线AB的方程为12y x =+，或12y x -=+，即210x +=，或210x +=．………………………..12分21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当1a =-时，()ln f x x x =-． 则11'()1x f x x x-=-=．………………1分当2e x e <<时，'()0f x >．所以()f x 在2[,]e e 上单调递增．………2分又()1f e e =-，22()2f e e =-．所以函数()f x 在2[,]e e 上的值域为2[1,2]e e --．……………………4分（Ⅱ）解法一：由已知得'()1a x a f x x x +=+=．令'()0f x =，即0x a x+=，解得x a =-． 因为1a ≤-，所以1a -≥．当0x a <<-时，'()0f x <，函数()f x 在(0,)a -上单调递减；当x a >-时，'()0f x >，函数()f x 在(,)a -+∞上单调递增；…………6分若1a e ≤-≤，即1e a -≤≤-，则函数()f x 在2[,]e e 上为增函数，此时2max ()()f x f e =．要使()1f x e ≤-对2[,]x e e ∈恒成立，只需2()1f e e ≤-即可，所以有221e a e +≤-，即212e e a -+-≤．而221(31)()022e e e e e -+---+--=<，即212e e e -+-<-，所以此时无解. …………..………8分若2e a e <-<，即2e a e -<<-，则函数()f x 在[,]e a -上为减函数，在2[,]a e -上为增函数，要使()1f x e ≤-对2[,]x e e ∈恒成立，只需2()1()1f e e f e e ≤-⎧⎨≤-⎩，即2112a e e a ≤-⎧⎪⎨-+-≤⎪⎩， 由2211(1)022e e e e -+--++--=<且22211()022e e e e e -+-+---=>． 得2212e e e a -+--<≤……………………………………………………..……10分若2a e -≥，即2a e ≤-，易得函数()f x 在2[,]e e 上为减函数，此时max ()()f x f e =，要使()1f x e ≤-对2[,]x e e ∈恒成立，只需()1f e e ≤-即可，所以有1e a e +≤-，即1a ≤-，又因为2a e ≤-，所以2a e ≤-……………11分综上所述得212e e a -+-≤，故实数a 的取值范围是21(,]2e e -+--∞．.…12分 解法二：由2[,]x e e ∈得ln 0x >，所以()1f x e ≤-可化为1ln e x a x--≤． 令1()ln e xg x x--=，于是要使()1f x e ≤-对任意2[,]x e e ∈恒成立， 只需min ()a g x ≤． ………………………………………………………………..…6分222111(ln 1)ln (1)ln 1'()(ln )(ln )(ln )e e x x e x x x x x g x x x x -⎡⎤---+----⋅--+⎢⎥⎣⎦===．…..…7分 因2[,]x e e ∈时，1ln 10,0e x x-->>． …………….……….………..…10分 所以2[,]x e e ∈时，'()0g x <，所以函数()g x 在2[,]e e 上单调递减．故22min1()()2e e g x g e --==，于是212e e a --≤．所以实数a 的取值范围是21(,]2e e -+--∞ ……………………………..…12分 选做题（共10分）22．（本小题共10分） 证明：（Ⅰ）连接OC ，因为OA OC =，所以OCA OAC ∠=∠．………….…..2分又因为AD CE ⊥，所以90ACD CAD ∠+∠=．又因为AC 平分BAD ∠，所以OAC CAD ∠=∠，…………….…..4分所以90OCA ACD ∠+∠=o，即OC CE ⊥．所以CE 是O e 的切线……………………………………………….….6分（Ⅱ）连接BC ，因为AB 是圆O 的直径，所以090BCA ADC ∠=∠=，又因为OAC CAD ∠=∠，…………………………………….………8分 所以ABC ∆∽ACD ∆所以AC AD AB AC=，即2AC AB AD =⋅………………………………..10分 23．（本小题共10分）解：(Ⅰ)圆C 的参数方程化为普通方程是22(1)1x y -+=．即2220x y x +-=……………………………………………………….…2分又222x y ρ=+，cos x ρθ=．于是22cos 0ρρθ-=，又0ρ=不满足要求．所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=……………………………….……5分 (Ⅱ)因为射线:4OM πθ=的普通方程为(0)y x x =≥．……………………6分联立方程组22,0(1)1y x x x y =≥⎧⎨-+=⎩消去y 并整理得20x x -=． 解得1x =或0x =，所以P 点的直角坐标为(1,1)……………………8分所以P点的极坐标为,)4π…………………………….……………10分解法2：把4πθ=代入2cos ρθ=得2cos4πρ==所以P点的极坐标为)4π………………..……………10分24．（本小题共10分） 解：（Ⅰ）若1a =时，则()|31|3f x x x =-++．当13x ≥时，()5f x ≤可化为3135x x -++≤， 解之得1334x ≤≤；……………………………………………….…2分 当13x <时，()5f x ≤可化为3135x x -+++≤， 解之得1123x -≤<.……………………………………………….……4分 综上所述，原不等式的解集为13{|}.24x x -≤≤……………………5分（Ⅱ）1(3)2,()3()|31|31(3) 4.()3a x x f x x ax a x x ⎧++≥⎪⎪=-++=⎨⎪-+<⎪⎩函数()f x 有最小值的充要条件为3030a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得33a -≤≤….…9分∴实数a 的取值范围是[3,3]-…………………………………….……10分。
【配套K12】高三数学上学期期末考试试题 文(含解析)
丰台区2015—2016学年度第一学期期末练习 2016.01高三数学（文科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.函数0.5()log (1)f x x =-的定义域为（A ）(1,)-+∞ （B ）(1,)+∞ （C ）(0,)+∞ （D ）(,0)-∞ 【考点】函数的定义域与值域 【试题解析】要使函数有意义，需满足：所以函数的定义域为：。
【答案】B2.在复平面内，复数(1i)(2i)z =+-对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【考点】复数乘除和乘方 【试题解析】所以复数对应的点为（3,1），位于第一象限。
【答案】A3．“1x =”是“210x -=”的（A ）充分必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【考点】充分条件与必要条件 【试题解析】 若，则成立； 反过来，若，不一定成立，还可能所以“”是“”的充分而不必要条件。
【答案】C4.已知向量(3,-4)a =，(,)b x y =，若a //b ，则（A ）340x y -= （B ）340x y += （C ）430x y += （D ）430x y -=【考点】平面向量坐标运算 【试题解析】 若，则【答案】C5.已知圆O ：221x y +=，直线l 过点（-2，0），若直线l 上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径，则直线l 的斜率为 （A）（B ）3± （C ）（D ）1±【考点】直线与圆的位置关系 【试题解析】因为直线上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径， 所以直线为圆的切线。
由题知，切线的斜率一定存在，设切线为：，所以 解得：。
【答案】A6. 函数()=sin2cos2f x x x -的一个单调递增区间是 （A ）3[,]44ππ-（B ）3[,]44ππ- （C ）3[,]88ππ- （D ）3[,]88ππ-【考点】三角函数的图像与性质【试题解析】由得：当k=0时，。
推荐学习K12河南省南阳市2016届高三数学上学期期末试卷 文(含解析)
2015-2016学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．22．已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i3．已知{a n}是公差为1的等差数列；S n为{a n}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A．B．C．10 D．124．设D为△ABC所在平面内一点， =3，则（）A． =﹣+B． =﹣C． =+D． =+5．要得到y=cosx﹣sinx的图象，只需将y=2sinx（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．定点P（a，b）在圆x2+y2+2x=1内，直线（a+1）x+by+a﹣1=0与圆x2+y2+2x=1的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．B．[1，2] C．D．（0，2]8．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（）A．20+π B．24+π C．20+（+1）πD．24+（﹣1）π9．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．1210．如图点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+）2=1上，那么|PQ|的最小值为（）A．﹣1 B．﹣1 C．2﹣1 D．﹣111．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．12．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知数列{a n}满足a n+1+2a n=0，a2=﹣6，则{a n}的前10项和等于．14．设函数f（x）=则函数y=f（x）与y=的交点个数是．15．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，则三棱柱ABC ﹣A1B1C1的外接球体积为．16．抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处切线平行于C2的一条渐近线，则p= ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量，，且．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求边c的长．18．某校在寒假放假之前举行主题为“珍惜生命，安全出行”的“交通与安全”知识宣传与竞赛活动，为了了解本次活动举办的效果，从全校学生的答卷中抽取了部分学生的答卷成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），…，[90，100]的数据）：（Ⅰ）求n，x，y的值，并根据频率分布的直观图估计这次竞赛的平均成绩；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加市团委举办的宣传演讲活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率．19．如图1所示，直角梯形ABCD，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=CD=AB=2，点E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直（如图2），在图2所示的几何体D﹣ABC中．（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体F﹣BCE的体积．20．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：x=my﹣1经过点F1与椭圆C交于点M，点M在x轴的上方，当m=0时，|MF1|=．（1）求椭圆C的方程；（2）若点N是椭圆C上位于x轴上方的一点，MF1∥NF2，且=3，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C 的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2．问：是否存在常数λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣4|﹣a），a∈R．（1）当a=﹣2时，求f（x）≥3的解集；（2）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．2015-2016学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解．【解答】解：A={x|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，17，…}，则A∩B={8，14}，故集合A∩B中元素的个数为2个，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z﹣1，进一步求得z．【解答】解：由（z﹣1）i=1+i，得z﹣1=，∴z=2﹣i．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．已知{a n}是公差为1的等差数列；S n为{a n}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A．B．C．10 D．12【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：∵{a n}是公差为1的等差数列，S8=4S4，∴=4×（4a1+），解得a1=．则a10==．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．设D为△ABC所在平面内一点， =3，则（）A． =﹣+B． =﹣C． =+D． =+【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】向量法；综合法；平面向量及应用．【分析】根据向量减法的几何意义便有，，而根据向量的数乘运算便可求出向量，从而找出正确选项．【解答】解：；∴；∴．故选A．【点评】考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．5．要得到y=cosx﹣sinx的图象，只需将y=2sinx（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】由于y=cosx﹣sinx=2sin（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得答案．【解答】解：∵y=cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+）=2sin（x+），∴f（x+）=2sin（x+）=cosx﹣sinx，∴要得到函数y=cosx﹣sinx图象，只需将函数y=2sinx的图象向左平移个单位．故选：A．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查两角和与差的正弦公式，属于中档题．6．定点P（a，b）在圆x2+y2+2x=1内，直线（a+1）x+by+a﹣1=0与圆x2+y2+2x=1的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】由定点P（a，b）在圆x2+y2+2x=1内，得到＜，求出圆x2+y2+2x=1的圆心（﹣1，0）到直线（a+1）x+by+a﹣1=0的距离，能判断出直线（a+1）x+by+a﹣1=0与圆x2+y2+2x=1的位置关系．【解答】解：∵定点P（a，b）在圆x2+y2+2x=1内，圆x2+y2+2x=1的圆心（﹣1，0），半径r==，∴＜，∵圆x2+y2+2x=1的圆心（﹣1，0）到直线（a+1）x+by+a﹣1=0的距离：d==＞=，∴直线（a+1）x+by+a﹣1=0与圆x2+y2+2x=1的位置关系是相离．故选：B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间公式和点到直线的距离公式的合理运用．7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．B．[1，2] C．D．（0，2]【考点】函数奇偶性的性质；对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由偶函数的性质将f（log2a）+f（a）≤2f（1）化为：f（log2a）≤f（1），再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围．【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（a）=f（﹣log2a）=f（log2a），则f（log2a）+f（a）≤2f（1）为：f（log2a）≤f（1），因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|log2a|≤1，解得≤a≤2，则a的取值范围是[，2]，故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于基础题．8．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（）A．20+π B．24+π C．20+（+1）πD．24+（﹣1）π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】由三视图可以看出该几何体为一个圆柱从中间挖掉了一个圆锥，由此能示出该几何体的表面积．【解答】解：由三视图可以看出该几何体为一个圆柱从中间挖掉了一个圆锥，圆柱表面积为6×（2×2）=24，圆锥的侧面积为π•12•=π，所以该几何体的表面积为24+（）π．故选：D．【点评】本题考查几何体的表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意几何体的三视图的合理运用．9．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．12【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．如图点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+）2=1上，那么|PQ|的最小值为（）A．﹣1 B．﹣1 C．2﹣1 D．﹣1【考点】简单线性规划．【专题】作图题；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，画出圆，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线x﹣2y+1=0的距离，则|PQ|的最小值可求．【解答】解：由题意画出图形如图：圆x2+（y+）2=1的圆心（0，）到直线x﹣2y+1=0的距离为d=，∴|PQ|的最小值为．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a， a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a， a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．12．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知数列{a n}满足a n+1+2a n=0，a2=﹣6，则{a n}的前10项和等于﹣1023 ．【考点】数列的求和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知得=﹣2，从而数列{a n}是公比q=﹣2的等比数列，由此能求出数列{a n}的前10项和S10．【解答】解：由a n+1+2a n=0，得2a n=﹣a n+1，则=﹣2，∴数列{a n}是公比q=﹣2的等比数列，∵a2=﹣6，∴a1=3，则数列{a n}的前10项和S10==1﹣210=﹣1023．故答案为：﹣1023．【点评】本题考查数列的前10项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．14．设函数f（x）=则函数y=f（x）与y=的交点个数是 4 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】作图题；函数的性质及应用．【分析】在同一坐标系中，作出函数y=f（x）==与y=x的图象，数形结合即可知二曲线交点的个数．【解答】解：在同一坐标系中作出函数y=f（x）=的图象与函数y=的图象，如下图所示，由图知两函数y=f（x）与y=的交点个数是4．故答案为：4．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查作图与识图能力，属于中档题．15．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球体积为π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】先根据题意画出图形，再设三棱柱外接球的球半径为r，利用在直角三角形ADO中的边的关系求出球半径，最后利用球的体积公式即可求出这个三棱柱的外接球的体积．【解答】解：设三棱柱外接球的球心为O，球半径为r，三棱柱的底面三角形ABC的中心为D，如图，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，∴=，∴AA1=2，∴OD=1又在正三角形ABC中，AB=，则AD=1，∴在直角三角形ADO中，OA2=OD2+AD2有r2=12+12，∴r=，则这个三棱柱的外接球的体积为V=×r3=π．故答案为：π．【点评】本题是基础题，考查几何体的外接球的体积的应用，三棱柱体积的求法，考查计算能力．16．抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处切线平行于C2的一条渐近线，则p= ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=x2（p＞0）在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．【解答】解：由抛物线C1：y=x2（p＞0）得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（0，）．由﹣y2=1得a=，b=1，c=2．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为=，即x+2y﹣p=0①．设该直线交抛物线于M（x0，），则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知=，得x0=p，代入M点得M（p，）把M点代入①得：．解得p=．故答案为：．【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量，，且．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求边c的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式2sinC=sinA+sinB，利用正弦定理化简得到2c=a+b，已知等式利用平面向量的数量积运算化简，将cosC的值代入求出ab的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与ab的值代入即可求出c的值．【解答】解：（1）∵=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），∴•=sin2C，即sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC=sin2C=2sinCcosC，∵sinC≠0，∴cosC=，∵C为三角形内角，∴C=；（2）∵sinA，sinC，sinB成等差数列，∴2sinC=sinA+sinB，利用正弦定理化简得：2c=a+b，∵•=18，∴abcosC=ab=18，即ab=36，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，将a+b=2c，ab=36代入得：c2=4c2﹣108，即c2=36，解得：c=6．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及等差数列的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．某校在寒假放假之前举行主题为“珍惜生命，安全出行”的“交通与安全”知识宣传与竞赛活动，为了了解本次活动举办的效果，从全校学生的答卷中抽取了部分学生的答卷成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），…，[90，100]的数据）：（Ⅰ）求n，x，y的值，并根据频率分布的直观图估计这次竞赛的平均成绩；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加市团委举办的宣传演讲活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率．【考点】频率分布直方图；茎叶图；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据频率=，求出n、x、y的值，利用频率分布直方图计算平均分；（Ⅱ）求出分数在[80，90）与[90，100）内的人数，用列举法计算基本事件数，求出对应的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，n==50，y==0.004，…x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.03，…平均分约为=55×0.16+65×0.30+75×0.40+85×0.10+95×0.04=70.6；…（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分别记为a、b、c、d、e，分数在[90，100）有2人，分别记为F，G；从竞赛成绩是80（分）以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有如下种情形：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，F），（a，G），（b，c），（b，d），（b，e），（b，F），（b，G），（c，d），（c，e），（c，F），（c，G），（d，e），（d，F），（d，G），（e，F），（e，G），（F，G）共有21个等可能基本事件；…其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有（a，F），（a，G），（b，F），（b，G），（c，F），（c，G），（d，F），（d，G），（e，F），（e，G）共10个，…所以抽取的2名同学来自不同组的概率P=．…【点评】本题考查了频率、频数与样本容量的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．19．如图1所示，直角梯形ABCD，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=CD=AB=2，点E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直（如图2），在图2所示的几何体D﹣ABC中．（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体F﹣BCE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）由题意知，AC=BC=2，从而由勾股定理得AC⊥BC，取AC中点E，连接DE，则DE⊥AC，从而ED⊥平面ABC，由此能证明BC⊥平面ACD．（2）取DC中点F，连结EF，BF，则EF∥AD，三棱锥F﹣BCE的高h=BC，S△BCE=S△ACD，由此能求出三棱锥F﹣BCE的体积．【解答】（1）证明：在图1中，由题意知，AC=BC=2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC取AC中点E，连接DE，则DE⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC=AC，DE⊂平面ACD，从而ED⊥平面ABC，∴ED⊥BC又AC⊥BC，AC∩ED=E，∴BC⊥平面ACD．（2）解：取DC中点F，连结EF，BF，∵E是AC中点，∴EF∥AD，又EF⊂平面BEF，AD⊄平面BEF，∴AD∥平面BEF，由（1）知，BC为三棱锥B﹣ACD的高，∵三棱锥F﹣BCE的高h=BC=2=，S△BCE=S△ACD=×2×2=1，所以三棱锥F﹣BCE的体积为：V F﹣BCE==×1×=．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．20．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：x=my﹣1经过点F1与椭圆C交于点M，点M在x轴的上方，当m=0时，|MF1|=．（1）求椭圆C的方程；（2）若点N是椭圆C上位于x轴上方的一点，MF1∥NF2，且=3，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）求出直线恒过F1（﹣1，0），即c=1，令x=﹣1，代入椭圆方程求得=，又a2﹣1=b2，解方程，即可得到椭圆方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），（y1，y2＞0），代入椭圆方程，结合直线的斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，由=3，可得y1=3y2，联立方程，解得M，N的坐标，即可得到直线l的方程．【解答】解：（1）直线l：x=my﹣1经过（﹣1，0），即有F1（﹣1，0），即c=1，当m=0时，x=﹣1，代入椭圆方程，可得y=±b，即有=，又a2﹣1=b2，解得a=，b=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），（y1，y2＞0），由题意可得， +y12=1， +y22=1，①由MF1∥NF2，则=，即有=，②由=3，则=3即y1=3y2③由①②③解得或，即有M（0，1），N（，）．则m==1．即有直线l：x﹣y+1=0．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，掌握点在椭圆上，满足题意方程，同时考查直线的斜率及直线方程的求法，属于中档题．21．已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C 的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2．问：是否存在常数λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】（1）先求原函数的导数，根据f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；（2）由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，则存在唯一的实数根x0，即b=2x3+x2+x存在唯一的实数根x0，就把问题转化为求函数最值问题；（3）假设存在常数λ，依据曲线C在点A处的切线l1与曲线C交于另一点B，曲线C在点B处的切线l2，得到关于λ的方程，有解则存在，无解则不存在．【解答】解：（1）当a=﹣2时，函数f（x）=x3+x2﹣2x+b则f′（x）=3x2+5x﹣2=（3x﹣1）（x+2）令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜，所以f（x）的单调递减区间为（﹣2，）；（2）函数f（x）的导函数为由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，则即x3+x2+（﹣3x2﹣5x﹣1）x+b=0存在唯一的实数根x0，故b=2x3+x2+x存在唯一的实数根x0，令y=2x3+x2+x，则y′=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=﹣或x=﹣，则函数y=2x3+x2+x在（﹣∞，），（﹣，+∞）上是增函数，在（，﹣）上是减函数，由于x=﹣时，y=﹣；x=﹣时，y=﹣；故实数b的取值范围为：（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞）；（3）设点A（x0，f（x0）），则在点A处的切线l1的切线方程为y﹣f（x0）=f′（x0）（x﹣x0），与曲线C联立得到f（x）﹣f（x0）=f′（x0）（x﹣x0），即（x3+x2+ax+b）﹣（x03+x02+ax0+b）=（3x02+5x0+a）（x﹣x0），整理得到（x﹣x0）2[x+（2x0+）]=0，故点B的横坐标为x B=﹣（2x0+）由题意知，切线l1的斜率为k1=f′（x0）=3x02+5x0+a，l2的斜率为k2=f′（﹣（2x0+））=12x02+20x0++a，若存在常数λ，使得k2=λk1，则12x02+20x0++a=λ（3x02+5x0+a），即存在常数λ，使得（4﹣λ）（3x02+5x0）=（λ﹣1）a﹣，故，解得λ=4，a=，故a=时，存在常数λ=4，使得k2=4k1；a≠时，不存在常数，使得k2=4k1．【点评】本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时还考查了方程根的问题，一般要转化为函数的最值来解决．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，则∠BED+∠EDB=90°，∵BC⊥DE，∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，∵AB切⊙O于点B，∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，则=3，∵BC=，∴AB=3，AC=，则AD=3，由切割线定理得AB2=AD•AE，即AE=，故DE=AE﹣AD=3，即可⊙O的直径为3．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．【专题】压轴题；直线与圆．【分析】（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．【解答】解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为 x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，解得或，∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣4|﹣a），a∈R．（1）当a=﹣2时，求f（x）≥3的解集；（2）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）分类讨论去绝对值当x＜1时，﹣（x﹣1）﹣（x﹣4）≥6，当1≤x≤4时，x﹣1﹣（x﹣4）≥6，即3≥6，不成立；当x＞4时求解即可．（2）根据|a|+|b|≥|a﹣b|求解即可得出|x﹣1|+|x﹣4|≥|（x﹣1）﹣（x﹣4）|=3，把不等式恒成立问题转化为最值问题求解即可．【解答】（1）由题意得，当a=﹣2时，|x﹣1|+|x﹣4|+2≥8，即|x﹣1|+|x﹣4|≥6．①当x＜1时，﹣（x﹣1）﹣（x﹣4）≥6，即5﹣2x≥6，∴x≤﹣；②当1≤x≤4时，x﹣1﹣（x﹣4）≥6，即3≥6，不成立；③当x＞4时，x﹣1+x﹣4≥6，即2x≥11，∴x≥．综上知，f（x）≥3的解集为{x|x≤﹣或x≥．（2）依题意知|x﹣1|+|x﹣4|＞a恒成立．而|x﹣1|+|x﹣4|≥|（x﹣1）﹣（x﹣4）|=3，∴a＜3，即实数a的取值范围是（﹣∞，3）．【点评】本题考查了不等式的性质，对数函数的性质，不等式恒成立问题，属于中档题．。
配套K122016届高三数学上学期期末考试试题 文
哈尔滨市第六中学2015-2016学年度上学期期末考试高三数学试题（文史类）满分：150分 时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．若复数,215iiz -=则z 的共轭复数对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D . 第四象限 2．如果命题" ()"p q ⌝∨为假命题，则（ ）A ．,p q 均为真命题B ．,p q 均为假命题C ．,p q 中至少有一个为真命题D ．,p q 中至多有一个真命题 3．设1.05.0=a ,1.0log 4=b ，1.04.0=c ,则( )A.a c b >> B ．a c b >> C ．c a b >> D. c a b >>4．已知向量(,),a x y =若实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ,则a 的最大值是( )AC ．.5．一个五面体的三视图如右图，正视图是等腰直角三角形，侧视图是 直角三角形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为（ ） A.1 B.2 C.3 D.46．某校高中研究性学习小组对本地区2006年至2008年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区 快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的 信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭（ ）A. 82 万盒B. 83万盒C. 84万盒D. 85万盒7．函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,2πωϕπ>≤≤)的部分图象如上图所示， 其中,A B 两点之间的距离为5， 则=)1(f ( )A ．3B ．3-C ．1D ．1-8．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是( )A ．21B ．1C ．1-D ．29．数列}{},{n n b a 满足111==b a ，*11,2N n b b a a nn n n ∈==-++,则数列}{n a b 的前10项的和为（ ）A ．)14(349- B ．)14(3110- C ．)14(319- D ．)14(3410-10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过F 的直线l 与抛物线C相交于A 、B 两点,则22OA OB +（O 为坐标原点）的最小值为( )A ．4B ．8C ．10D . 1211．函数()f x 的导函数为()f x '，对x R ∀∈,都有()()f x f x '>成立，若(ln 2)2f =，则不等式()xf x e >的解是（ ）A ．1x > B12．若)(x f A ．)(--=x e x f y C ．)(-=xe xf y 二、填空题：（每小题513．正四棱锥O -ABCD O -14．向量AC AB ,若a ⊥15．若直线2-+by ax 42-+x y 则12a b+16．若对于任意的实数三、解答题：17.（本小题满分12在ABC ∆cos ,10A =sin sin sin sin 5a Ab Bc C a B +-=. （1）求B 的值；（2）设10=b ，求ABC ∆的面积S .18.（本小题满分12分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数, 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认, 在图中以x 表示.（1）如果乙组同学投篮命中次数的平均数为354, 求x 及乙组同学投篮命中次数的方差;（2）在（1）的条件下, 分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中,各随机选取一名, 记事件A ：“两名同学的投篮命中次数之和为17”, 求事件A 发生的概率.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，其对角线的交点为O ， 且,SA SC SA BD =⊥．（1）求证：SO ⊥平面ABCD ；（2）设60BAD ∠=︒，2AB SD ==，P 是侧棱SD 上的一点，且SB ∥平面APC ，求三棱锥A PCD -的体积．20.（本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 上的点到两焦点的距离和为32，短轴长为21，直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线MN 与圆O :25122=+y x 相切， 证明：MON ∠为定值；21.（本小题满分12分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈．（1）当2a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）设函数1()()ah x f x x+=+，求函数()h x 的单调区间； （3）若1()ag x x+=-，在[]()1 2.71828e e =⋯，上存在一点0x ，使得()()00f x g x ≤成立， 求a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. （22）（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲如图所示，AB 是圆O 的直径，AC 切圆O 于点A ，AC AB =，CO 交圆O 于点P ， CO 的延长线交圆O 于点F ，BP 的延长线交AC 于点E ．（1）求证：AP FAPC AB=； （2）若圆O 的直径1AB =，求tan CPE ∠的值．(23)（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同；曲线C 的方程是)4sin(22πθρ-=，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，πα<≤0），设(2,1)P ,直线l 与曲线C 交于B A ,两点. （1）当0=α时，求||AB 的长度； （2）求22||||PB PA +的取值范围．（24）（本小题满分10）选修4一5：不等式选讲已知函数()|2||2|,f x x x a a R =---∈．（1）当3a =时，解不等式()0f x >；（2）当(,2)x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围．哈尔滨市第六中学2015-2016学年度上学期期末考试高三数学试题（文史类）答案一、选择题：CCAAB DDABC CB二、填空题： 13． π)74(- 14．3 15．223+ 16． 1->a 三、解答题：17.解析：（1）sin sin sinC sin a A b B c B +-=，∴222a b c +-=．∴222cos 2a b c C ab +-==．又A B C 、、是ABC ∆的内角，∴sin 105A C ==．()cos cos cos sin sinA C A C A C +=-== 又A B C 、、是ABC ∆的内角，∴0A C π<+<，∴34A C π+=．∴()4B AC ππ=-+=．（2）sin sin c b C B =，∴sin sin bc C B=⨯=∴ABC ∆的面积11sin 106022S bc A ==⨯⨯= 18．解析：（Ⅰ）8x =，21116s =；（Ⅱ）13.19.解析：（1）证明：∵底面ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥．又,,BD SA SA AC A BD ⊥⋂=∴⊥平面SAC ．又,SO SAC BD SO ⊂⊥平面 ,,SA SC AO OC SO AC ==∴⊥又,AC BD O SO ⋂=∴⊥平面ABCD ． （2）连接OP ，∵SB 平面APC ，SB ⊂平面SBD ，平面SBD ⋂平面APC OP =，SB OP ∴． 又∵O 是BD 的中点，∴P 是SD 的中点．由题意知ABD 为正三角形．1OD ∴=．由（1）知SO ⊥平面ABCD ，∴SO OD ⊥．又2SD =，∴在Rt SOD中，SO =P 到面ABCD11122sin1203222A PCD P ACD V V --⎛⎫∴==⨯⨯⨯︒⨯= ⎪⎝⎭20．解析：（1）229161x y +=；（2）2π=∠MON ;21. 解析：（1）20x y +-=；（2）当1a >-时，单调递增区间为(1,)a ++∞时，单调递减区间为(0,1)a +；当1a ≤-时，单调递增区间为(0,)+∞时，无单调递减区间；（3）211e a e +≥-或2a ≤﹣.22. 解析：（1）见解析；（2）12． 23. 解析：(1)||AB =分 (2)22||||(14,22]PA PB +∈——————————10分24. 解析：解：（1）当3a =时，()0f x >即|2||23|0x x --->等价于：3210x x ⎧≤⎪⎨⎪->⎩或322350x x ⎧<<⎪⎨⎪-+>⎩或210x x ≤⎧⎨-+>⎩ 解得312x <≤或3523x <<或x ∈∅所以原不等式的解集为：5{|1}3x x <<（2）()2|2|f x x x a =---所以()0f x <可化为|2|2x a x ->- ① 即22x a x ->-或22x a x -<-①式恒成立等价于min (32)x a ->或max (2)x a +<(,2)x ∈-∞， ∴a ∈∅或4a ≥ 4a ∴≥。
【配套K12】2016届高三数学上学期第一次月考试题 文
湘阴一中2016届第一次月考试卷数 学(文 科）满分：150分 时量：120分钟一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.1．设集合2{|90},{|14}A x x B x x =-≤=-<≤，则AB = （ ）A ．[3,4]-B ． (1,3]-C ． [3,1)--D ． [1,3]-2．如果命题“p q ∨”和命题“p q ∧”都是真命题，则有（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假3．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）A ．0:p x ⌝∃∈R ，0sin 1x ≥B ．0:p x ⌝∀∈R ，0sin 1x ≥C ．0:p x ⌝∃∈R ，0sin 1x >D ．0:p x ⌝∀∈R ，0sin 1x >4．已知集合1{|24},{|0}2x M x N x x k =≤≤=->，若M N =∅，则k 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(,1]-∞-C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞5. 若,a b 为实数，则“10b a<<”是“01ab <<”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．函数()f x = ）A ．[0,1]B ．(1,1)-C ．[1,1]-D ．(,1)(1,)-∞-+∞7．函数223,0()2ln ,0x x x f x x x +-≤⎧=⎨-+>⎩的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 8. 函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若f (x )＝x 2＋2x －3，则f (x )在区间[－2，1]上的值域是( )A ．[－4，－3]B ．[－3，0]C ．[－4，0]D ．[0，2]10．设a ＝1.70.7，b ＝0.71.2，c ＝log 0.71.2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <b <a11.定义：区间[]1212,()x x x x <的长度等于21x x -，函数log (1)a y x a =>的定义域为[],()m n m n <，值域为[]0,1，若区间[],m n 的长度的最小值为34，则实数a 的值为（ ） A ．74B ．2C ．154D ．412. 设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题:本大题共4个小题，共20分，将答案填写在题中的横线上.13．设集合{1,2}A =，则满足{1,2,3}A B =的集合B 的个数为 ．14．若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．．15．已知幂函数()f x 的图象经过点1(,4)2，则f = ． 16．已知函数2()2,()2f x x x g x mx =-=+，[]11,2x ∀∈-，[]01,2x ∃∈-，使10()()g x f x =，则m 的取值范围 ．三、解答题:本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知集合2{|680},{|()(3)0}(0)A x x x B x x a x a a =-+<=--<> （1）若{|34},AB x x =<<求实数a 的值；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知函数2()22,[5,5].f x x ax x =++∈-（1）当1a =-时，求函数()f x 的最大值和最小值；（2）求实数a 的取值范围，使函数()f x 在区间[5,5]-上是单调函数.19．（本小题满分12分）已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<.（1）求函数()f x 的定义域； （2）若函数()f x 的最小值为4-，求a 的值.20．（本小题满分12分）已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的负实数根，命题q ：29()lg[(4)]2f x mx m x =-++的定义域为R ， 试判断p 是q 的什么条件，并说明理由.21．（本小题满分10分）已知函数124()lg 3x x af x ++=，且a R ∈，若当(,1]x ∈-∞时，()f x 有意义，求a 的取值范围.22．（本小题满分12分）据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v （/km h ）与时间t （h ）的函数图像如图所示，过线段OC 上一点(,0)T t 作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t （h ）内沙尘暴所经过的路程s （km ）.（1）当2t =时，求s 的值；（2）将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由.湘阴一中2016届第一次月考答题卷lT数学(文科）满分：150分时量：120分钟命题：李振奎审题：盛任一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.把答案填在下面表格中.二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分，把答案填在下面对应题号后的横线上。
【配套K12】高三数学上学期期末练习试题 文
丰台区2015—2016学年度第一学期期末练习 2016.01高三数学（文科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.函数0.5()log (1)f x x =-的定义域为（A ）(1,)-+∞ （B ）(1,)+∞ （C ）(0,)+∞ （D ）(,0)-∞ 2.在复平面内，复数(1i)(2i)z =+-对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3．“1x =”是“210x -=”的（A ）充分必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 4.已知向量(3,-4)a =，(,)b x y =，若a //b ，则（A ）340x y -= （B ）340x y += （C ）430x y += （D ）430x y -= 5.已知圆O ：221x y +=，直线l 过点（-2，0），若直线l 上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径，则直线l 的斜率为 （A）±（B ）3± （C）（D ）1±6. 函数()=sin2cos2f x x x -的一个单调递增区间是 （A ）3[,]44ππ-（B ）3[,]44ππ- （C ）3[,]88ππ- （D ）3[,]88ππ-7.如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（A ）12 （B ）14（C）2 （D）2参考数据：0.4883元/度⨯2880度=1406.30元，0.5383元/度⨯(4800-2880)度+1406.30元=2439.84元.(A) ①② (B) ②③ (C) ①③ (D)①②③第二部分 （非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
【配套K12】2016届高三数学上学期第五次月考试题 理
高三理科数学期末综合模拟测试1月份月考试题1.已知集合{}{}2,,1,2,3,M m N ==则“3m =”是“M N ⊆”的（ ）A.充分而不必条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.已知i 是虚数单位，3,,1ia b R a bi i+∈+=-，则a b +等于（ ） A. 1-B.1C.3D.43.设随机变量ξ服从正态分布()()()3,4232N P a P a ξξ<-=>+，若，则实数a 等于（ ）A.73B.53C.5D.34.设等差数列{}n a 的前n 项和为25911,2n S a a a =-+=-，若，则当n S 取最小值时，n 等于（ ）A.9B.8C.7D.65.根据如下样本数据得到的回归方程为.7.9y bx a a x =+=若，则$每增加1个单位，y 就（ ）A.增加1.4个单位B.减少1.4个单位C.增加1.2个单位D.减少1.2个单位6.已知O 是坐标原点，点()21A -，，若点(),M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅uu r uuu r的取值范围是（ ）A. []0,1B. []0,2C. []1,0-D. []1,2-7.已知,m n 是满足1m n +=，且使19m n+取得最小值的正实数.若曲线y x α=过点2,3P m n ⎛⎫⎪⎝⎭，则α的值为（ ）A. 1-B.12C.2D.38.某校开设A 类课3门，B 类课5门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）A.15种B.30种C.45种D.90种9.如图是函数()2f x x ax b =++的图象，则函数()()ln g x x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭B. ()1,2C. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()2,310.设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()()4f x f x +=，且当[]()12,063xx f x ⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭时，，若在区间(]2,6-内关于x的()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A. ()1,2B. ()2,+∞C. (D.)2二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置. 11.已知()sin cos 0,,tan αααπα-=∈=则 . 12.若关于x 的不等式23mx -<的解集为5166x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则m= . 13.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线垂直于直线:250l x y --=，双曲线的一个焦点在l上，则双曲线的方程为 .14.执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为10，则输出s 的值为 .15.学校体育组新买2个同样篮球，3个同样排球，从中取出4个发放给高一4个班，每班1个，则共有______种不同的发放方法.三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置. 16.（本小题满分12分）已知函数()()21cos cos 0,2f x x x x x R ωωωω=-->∈的图像上相邻两个最高点的距离为π.（I ）求函数()f x 的单调递增区间；（II ）若ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，且()0,sin c f C B ===3sin A ，求a ，b 的值.17.某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ==--=-∑∑，a y bt =-18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 前n 项和n S 满足：21n n S a += （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设()()11211n n n n a b a a ++=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <.19. （本小题满分12分）下表为某专业的学生的毕业综合能力测试成绩（百分制）的频率分布表，已知80~90分数段的学生数为21人.（I ）求该专业毕业生综合能力测试成绩在90~95分数段内的人数；（II ）现欲将90~95分数段内的毕业生派往甲、乙、丙三个单位，若向甲单位派往两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率分为35.求90~95分数段内男女各几人？ （III ）在（II ）的结论下，设随机变量ξ表示派往乙单位的三名学生中男生的人数，求ξ的20. （本小题满分13分）已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0. （I ）求()f x 的解析式；（II ）若对任意[)0,x ∈+∞不等式()1mxf x x x ≤-+恒成立，求实数m 的取值范围.21. （本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为，且长轴长与短轴长之比为，点()00,R x y 是椭圆上任意一点，从原点O 引圆()()()222000:22R x x y y x -+-=≠的两条切线分别交椭圆C 于点M 、N.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）求四边形OMRN 面积的最大值.高三理科数学期末综合模拟测试1月份月考试题答案一、选择题1～5 ACACB 6～10 DBCCD二、填空题 11.－1 12.－613.221520x y -=14.40 15.10三、解答题16.解：由题意可得()()1121cos 2222f x x x ωω=-+-12cos 212x x ωω=--sin 216x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 2分又因为函数图像上相邻两个最高点的距离为π， 所以有22ππω=∴1ω= ∴()sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ······· 4分 （Ⅰ）令222262k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈即：222233k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ 即：63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ 所以函数()f x 的单调增区间为：,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ ···· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知： ()sin 2106f C C π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ 即：sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴()0,C π∈ ∴262C ππ-= ∴3C π= ·· 8分 由正弦定理得：sin sin a b A B =可得：sin sin a Bb A⋅= 又sin 3sin B A = ∴3b a = ··················· 9分由余弦定理可得： 222222971cos 262a b c a a C ab a +-+-=== 整理可得：221073a a -= 解得：1a = ∴3b = ········ 12分 17.解析：（1）由题意知，4t =，=43y .， 所以31.420.700.51.831.60.59410149b ⨯++++++⨯==++++++， 所以 4.30.54 2.3a y bt =-=-⨯=，所以线性回归方程为0.5 2.3y t =+. 6分 （2）由（1）中的线性回归方程可知，0b >，所以在2007至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增加，平均每年增加0.5千元. ··········· 8分令9t =得：0.59 2.3 6.8y =⨯+=，故预测该地区在2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元。
【配套K12】高三数学上学期期末考试试题 文3
长阳一中2015—2016学年度高三期末考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知两个集合{}21x y R x A -=∈=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-+=011|x x x B 则=⋂B A （ ） A. {|11}x x -≤≤ B. {|11}x x -≤< C ．}1,1{- D ．φ2、设复数iz --=12，则=⋅z z （ ）A .1B ．2C ．2D ．43、已知1,,,921--a a 成等差数列，1,,,,9321--b b b 成等比数列 ，则()212a a b +等于（ ） A ．30B ．30-C ．±30 D．154、设函数11()sin())22f x x x θθ=++(||)2πθ<的图象关于原点对称，则角θ=（ ）A ．6π-B ．6π C ．3π-D ．3π5、已知x ，y 满足不等式组,22,y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的比值为( )A.12B ．2 C.32D.436、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中 的x 的值是（ ）A ．2B ．92C ．32D ．37、已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的离心率e ∈，则一条渐近线与x 轴所成角的取值范围是（ ）A ．]4,6[ππ B ．]3,6[ππ C ．]3,4[ππ D ．]2,3[ππ 8、在长为12cm 的线段AB 上任取一点C. 现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB 的长,则该矩形面积大于20cm 2的概率为（ ）A ．16 B ．13 C ． 23 D ． 459、执行右图所示的程序框图（其中][x 表示不超过x 的最大整数），则输出的S 值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．410、当a >0时，函数f (x )＝(x 2＋2ax )e x的图象大致是()11、已知等腰OAB ∆中，2OA OB ==，且3O A O BA B +≥，那么OA OB ⋅的取值范围是（ ）A ．[)2,4-B ．()2,4-C ．()4,2-D ．(]4,2-12、已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x )，满足g ′(x )－g (x )<0，若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，且g (4)＝1，则不等式g （x ）ex>1的解集为( )A ．(－2，＋∞) B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D ．(－∞，2) 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13、在错误！未找到引用源。
【配套K12】高三数学上学期期末质量抽测试题 文(含解析)
昌平区2015－2016学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（文科）（满分150分，考试时间 120分钟）2016.1考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3． 答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）若集合{}33Αx x =-<<，{}|(4)(2)0Βx x x =+->，则ΑΒ=A ．{}|32x x -<<B ．{}|23x x <<C ．{|32}x x -<<-D ．{|4x x <-或3}x >- 【考点】集合的运算 【试题解析】或，，所以。
【答案】B（2）下列函数中，为偶函数的是（ ）A. y =2x y = C.sin y x = D. cos y x =【考点】函数的奇偶性【试题解析】因为偶函数的图像关于y 轴对称，所以结合函数图像知：是cos y x =偶函数。
【答案】D（3）已知向量(1,2)=a ，(1,)m =-b ，若⊥a b ，则m 的值为A. 2-B. 2C. 12D. 12- 【考点】平面向量坐标运算【试题解析】若，则【答案】C（4）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 A.36 B.18 C.12 D ．6【考点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】 由题知：【答案】D（5）设0.5222,0.5,log 0.5a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b a c >> 【考点】对数与对数函数指数与指数函数 【试题解析】 因为所以。
[推荐学习]高三数学上学期12月月考试卷 文(含解析)1
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2015-2016学年山东省青岛市平度市高三（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合M={x|lg（1﹣x）＜0}，集合N={x|x2≤1}，则M∩N=（）A．（0，1） B．[0，1）C．[﹣1，1] D．[﹣1，0）2．已知命题p、q，则“p且q为假”是“p或q为真”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．向量，，且∥，则cos2α=（）A． B．C． D．4．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βB．若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥αC．若m⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n5．函数f（x）=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．6．设实数数列{a n }，{b n }分别为等差数列与等比数列，且a 1=b 1=4，a 4=b 4=1，则以下结论正确的是（ ） A ．a 1＞b 2 B ．a 3＜b 3 C ．a 5＞b 5 D ．a 6＞b 67．若正实数a ，b 满足a+b=1，则（ ）A ．有最大值4B ．ab 有最小值C ．有最大值D ．a 2+b 2有最小值8．已知函数f （x ）=x 2+mx+1，若命题“∃x 0＞0，f （x 0）＜0”为真，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2] B ．[2，+∞） C ．（﹣∞，﹣2） D ．（2，+∞）9．设定义在R 上的奇函数y=f （x ），满足对任意t ∈R 都有f （t ）=f （1﹣t ），且时，f （x ）=﹣x 2，则f （2015）的值等于（ ）A ．B ．C ．0D ．10．设，S n =a 1+a 2+…+a n ，在S 1，S 2，…，S 50中，正数的个数是（ ）A ．25B ．30C ．40D ．50二、填空：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知函数f（x）=，则f（f（））的值是= ．12．在△ABC中，若=3，b2﹣a2=ac，则cosB的值为．13．观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律，第n个等式可为．14．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．15．若函数f（x）满足：存在非零常数a，使f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为“准奇函数”，给出下列函数：①f（x）=x2；②f（x）=（x﹣1）3；③f（x）=e x﹣1；④f（x）=cosx．则以上函数中是“准奇函数”的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．求y=g（x）在区间[0，10π]上零点的个数．17．把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）．（Ⅰ）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；（Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．19．设函数的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（﹣1）=0；②对一切实数x，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；（Ⅱ）求证：（n∈N*）．20．设等比数列{a n}的前n项和为S n，且（Ⅰ）求k的值及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d n的等差数列，求数列的前n项和T n，并求使成立的正整数n的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x，a∈R．（Ⅰ）若f（1）=0，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数g（x）的单调区间；（Ⅲ）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明x1+x2≥．2015-2016学年山东省青岛市平度市高三（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合M={x|lg（1﹣x）＜0}，集合N={x|x2≤1}，则M∩N=（）A．（0，1） B．[0，1）C．[﹣1，1] D．[﹣1，0）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；函数的性质及应用；集合．【分析】分别求出M与N中不等式的解集确定出M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：lg（1﹣x）＜0=lg1，且1﹣x＞0，解得：0＜x＜1，即M=（0，1），由N中不等式解得：﹣1≤x≤1，即N=[﹣1，1]，则M∩N=（0，1），故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知命题p、q，则“p且q为假”是“p或q为真”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】根据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系，得出判断．【解答】解：“p且q为假”，p、q都可为假，故充分性不成立；“p或q为真”，p、q都可为真，故必要性不成立；故选D．【点评】本题考查充分、必要与充要条件的判断，属于基础题，要掌握判断充要条件的方法．3．向量，，且∥，则cos2α=（）A． B．C． D．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】根据向量平行的条件建立关于α的等式，利用同角三角函数的基本关系算出sinα=，再由二倍角的余弦公式加以计算，可得cos2α的值．【解答】解：∵，，且∥，∴，即，化简得sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=故选：D【点评】本题给出向量含有三角函数的坐标式，在向量互相平行的情况下求cos2α的值．着重考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式和向量平行的条件等知识，属于基础题．4．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βB．若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥αC．若m⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：若m⊥α，m∥n，n∥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故A正确；若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则由直线与平面平行的判定定理得m∥α，故B正确；若m⊥β，m⊂α，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】常规题型；函数的性质及应用．【分析】函数图象题一般用排除法．【解答】解：由函数f（x）=可知，函数值都不小于0，故排除A、C、D，故选B．【点评】本题考查了函数图象的性质，利用排除法解答，属于中档题．6．设实数数列{a n}，{b n}分别为等差数列与等比数列，且a1=b1=4，a4=b4=1，则以下结论正确的是（）A．a1＞b2B．a3＜b3C．a5＞b5D．a6＞b6【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，∵a1=b1=4，a4=b4=1，∴4+3d=4q3=1，解得d=﹣1，q3=．∴a n=4﹣（n﹣1）=5﹣n，b n=4×q n﹣1=．由于b2==＜=4=a1，∴A正确，故选：A．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．若正实数a，b满足a+b=1，则（）A．有最大值4 B．ab有最小值C．有最大值D．a2+b2有最小值【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】由于==2+≥4，故A不正确．由基本不等式可得a+b=1≥2，可得ab≤，故B不正确．由于=1+2≤2，故≤，故 C 正确．由a2+b2 =（a+b）2﹣2ab≥1﹣=，故D不正确．【解答】解：∵正实数a，b满足a+b=1，∴==2+≥2+2=4，故有最小值4，故A不正确．由基本不等式可得a+b=1≥2，∴ab≤，故ab有最大值，故B不正确．由于=a+b+2=1+2≤2，∴≤，故有最大值为，故C正确．∵a2+b2 =（a+b）2﹣2ab=1﹣2ab≥1﹣=，故a2+b2有最小值，故D不正确．故选：C．【点评】本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．8．已知函数f（x）=x2+mx+1，若命题“∃x0＞0，f（x0）＜0”为真，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（2，+∞）【考点】特称命题；命题的否定．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据“命题“∃x0＞0，f（x0）＜0”为真”，不等式对应的是二次函数，利用二次的图象与性质加以解决即可．【解答】解：因为函数f（x）=x2+mx+1的图象过点（0，1），若命题“∃x0＞0，f（x0）＜0”为真，则函数f（x）=x2+mx+1的图象的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个交点，∴△=m2﹣4＞0，且﹣＞0，即m＜﹣2，则m的取值范围是：（﹣∞，﹣2）．故选C．【点评】本题考查特称命题、二次不等式恒成立，解决此类问题要结合二次函数的图象处理．9．设定义在R上的奇函数y=f（x），满足对任意t∈R都有f（t）=f（1﹣t），且时，f（x）=﹣x2，则f（2015）的值等于（）A． B． C．0 D．【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据已知可得函数y=f（x）是周期为2的周期函数，结合时，f（x）=﹣x2，可得答案．【解答】解：∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（t）=f（1﹣t），∴f（x+2）=f[1﹣（x+2）]=f（﹣x﹣1）=﹣f（x+1）=﹣f[1﹣（x+1）]=﹣f（﹣x）=f（x），即函数y=f（x）是周期为2的周期函数，故f（2015）=f（1）=﹣f（0），又∵时，f（x）=﹣x2，∴f（2015）=f（1）=﹣f（0）=0，故选：C【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的对称性，函数的周期性，函数求值，根据已知分析出函数y=f（x）是周期为2的周期函数，是解答的关键．10．设，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…，S50中，正数的个数是（）A．25 B．30 C．40 D．50【考点】数列的求和．【专题】计算题；点列、递归数列与数学归纳法；三角函数的求值．【分析】由可知当0＜n≤25时，a n≥0，当25＜n≤50时，a n＜0；再结合S1=sin＞0，S50＞0，从而判断即可．【解答】解：∵，∴当0＜n≤25时，a n≥0，当25＜n≤50时，a n＜0；∴S n在[1，25]上单调递增，在（25，50]上单调递减；∵S1=sin＞0，S50=sin+sin+…+0+sin+sin+…+0=（1﹣）sin+（﹣）sin+…+（﹣）sin+0＞0，∴S1，S2，…，S50都是正数，故选D．【点评】本题考查了数列的递减性的判断与数列前n和的求法，同时考查了三角函数诱导公式的应用．二、填空：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知函数f（x）=，则f（f（））的值是= ﹣2 ．【考点】对数的运算性质；函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利于抑制投机求出f（）的值，然后求解所求表达式的值．【解答】解：∵函数，∴f（）=2+=4．=f（4）==﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查函数值的求法，指数以及对数的运算法则，解题方法是由里及外逐步求解，考查计算能力．12．在△ABC中，若=3，b2﹣a2=ac，则cosB的值为．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】方程思想；转化思想；解三角形．【分析】由=3，利用正弦定理可得，代入b2﹣a2=ac，可得b2=．再利用余弦定理即可得出．【解答】解：在△ABC中，∵ =3，∴，∴c=3a，代入b2﹣a2=ac，解得b2=．则cosB===．故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律，第n个等式可为．【考点】归纳推理．【专题】压轴题；规律型．【分析】等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．再分n为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可．【解答】解：观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…分n为奇数和偶数讨论：第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．当n为偶数时，分组求和（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣1）2﹣n2]=﹣，当n为奇数时，第n个等式左边=（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣2）2﹣（n﹣1）2]+n2=﹣+n2=．综上，第n个等式为．故答案为：．【点评】本题考查规律型中的数字变化问题，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系．14．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为11 ．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】该几何体为长方体切去一个棱锥得到的，作出直观图，使用作差法求体积．【解答】解：由三视图可知该几何体为长方体切去一个棱锥A′﹣AMD′得到的，直观图如图所示，∴V=2×2×3﹣××1×2×3=11．故答案为11．【点评】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，对于不规则几何体常采用作差法，分解法等求体积．15．若函数f（x）满足：存在非零常数a，使f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为“准奇函数”，给出下列函数：①f（x）=x2；②f（x）=（x﹣1）3；③f（x）=e x﹣1；④f（x）=cosx．则以上函数中是“准奇函数”的序号是②④．【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；新定义；数形结合；函数的性质及应用．【分析】根据准奇函数的定义，先求﹣f（2a﹣x），并判断它能否等于f（x），并根据﹣f （2a﹣x）=f（x）求出a，若a≠0便得到该函数是准奇函数，若a=0便不是．按照这个方法即可判断每个选项的函数是否为准奇函数．【解答】解：A．﹣f（2a﹣x）=﹣（2a﹣x）2≤0，f（x）=x2≥0，∴f（x）=x2不是准奇函数；B．由﹣f（2a﹣x）=﹣（2a﹣x﹣1）3=（x﹣2a+1）3=（x﹣1）3得，﹣2a+1=﹣1，∴a=1，即存在a=1，使f（x）=﹣f（2a﹣x）；∴该函数为准奇函数；C．﹣f（2a﹣x）=﹣e2a﹣x﹣1＜0，而f（x）=e x﹣1＞0，∴该函数不是准奇函数；D．存在非零常数，使﹣f（2×﹣x）=﹣cos（2×﹣x）=cosx=f（x），∴该函数是准奇函数．故答案为：②④．【点评】考查对新概念﹣准奇函数的理解程度，以及根据准奇函数的定义判断一个函数是否为准奇函数的过程．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．求y=g（x）在区间[0，10π]上零点的个数．【考点】两角和与差的正弦函数；函数的零点；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】（I）根据二倍角的三角函数公式与辅助角公式化简得，利用周期公式算出ω=1，得函数解析式为．再由正弦函数单调区间的公式，解关于x的不等式即可得到函数f（x）的单调增区间；（II）根据函数图象平移的公式，得出函数g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1．由此解g（x）=0得sin2x=﹣，利用正弦函数的图象解出或，可见g（x）在每个周期上恰有两个零点，即可算出g（x）在区间[0，10π]上零点的个数．【解答】解：（Ⅰ）由题意，可得f（x）==．∵函数的最小正周期为π，∴ =π，解之得ω=1．由此可得函数的解析式为．令，解之得∴函数f（x）的单调增区间是．（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，可得函数y=f（x+）+1的图象，∵∴g（x）=+1=2sin2x+1，可得y=g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1．令g（x）=0，得sin2x=﹣，可得2x=或2x=解之得或∴函数g（x）在每个周期上恰有两个零点，∵函数y=g（x）在[0，10π]恰好有10个周期，∴g（x）在[0，10π]上有20个零点．【点评】本题给出三角函数式满足的条件，求函数的单调区间并依此求函数g（x）在[0，10π]上零点的个数．着重考查了二倍角的三角函数公式、辅助角公式与三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．17．把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）．（Ⅰ）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；（Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数模型的选择与应用．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）根据容器的高为x，求得做成的正三棱柱形容器的底边长，从而可得函数V （x）的解析式，函数的定义域；（Ⅱ）实际问题归结为求函数V（x）在区间上的最大值点，先求V（x）的极值点，再确定极大值就是最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为﹣﹣﹣﹣．则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣函数的定义域为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）实际问题归结为求函数V（x）在区间上的最大值点．先求V（x）的极值点．在开区间内，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令V'（x）=0，即令，解得（舍去）．因为在区间内，x1可能是极值点．当0＜x＜x1时，V'（x）＞0；当时，V'（x）＜0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因此x1是极大值点，且在区间内，x1是唯一的极值点，所以是V（x）的最大值点，并且最大值即当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，解题的关键是求出体积，利用导数知识求解．单峰函数，极值就是最值．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．可得DO为△AB1C中位线，A1B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中线BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）利用等体积转换，即可求三棱锥C﹣BC1D的体积．【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，∴A1B∥OD．∵OD⊂平面AB1C，A1B⊄平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D；（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，∵底面ABC正三角形，D是AC的中点∴BD⊥AC∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，∴S△BCD==，∴V C﹣BC1D=V C1﹣BCD=••6=9．【点评】本题给出直三棱柱，求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了锥体体积公式的应用，属于中档题．19．设函数的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（﹣1）=0；②对一切实数x，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；（Ⅱ）求证：（n∈N*）．【考点】综合法与分析法(选修）；函数奇偶性的性质；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】证明题．【分析】（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x），根据g（x）的奇偶性求出b，根据k（﹣1）=0，求出，再由对一切实数x恒成立，解得a、c的值，即得函数k（x）的表达式．（Ⅱ）根据，即证，把代入要证不等式的左边化简即可证得不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x）=ax2+bx+c．…由为偶函数，得为偶函数，显然有．…又k（﹣1）=0，所以a﹣b+c=0，即．…又因为对一切实数x恒成立，即对一切实数x，不等式恒成立．…显然，当时，不符合题意．…当时，应满足，注意到，解得．… 所以．…（Ⅱ）证明：因为，所以．…要证不等式成立，即证．…因为，…所以=．所以成立．…【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，函数的恒成立问题，利用导数研究曲线在某点的切线斜率，以及用裂项法对数列进行求和，属于难题．20．设等比数列{a n}的前n项和为S n，且（Ⅰ）求k的值及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d n的等差数列，求数列的前n项和T n，并求使成立的正整数n的最大值．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；分类法；等差数列与等比数列．【分析】（I）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式可得T n，再利用不等式的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵，当n≥2时，，两式相减得：，当n=1时，即S1=3+k，∵数列{a n}为等比数列，∴，解得：k=﹣1∴通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∵a n+1=a n+（n+1）d n，∴，∴．令…，则…①…②①…②得…=，∴．∴，即，3n≤81，得n≤4，∴使成立的正整数n的最大值为4．【点评】本题考查了递推关系、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x，a∈R．（Ⅰ）若f（1）=0，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数g（x）的单调区间；（Ⅲ）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明x1+x2≥．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）先求出a的值，然后求原函数的极值即可；（2）求导数，然后通过研究不等式的解集确定原函数的单调性；（3）结合已知条件构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论．【解答】解：（Ⅰ）因为f（1）=，所以a=2．此时f（x）=lnx﹣x2+x，x＞0，，由f'（x）=0，得x=1，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故当x=1时函数有极大值，也是最大值，所以f（x）的最大值为f（1）=0．（Ⅱ），所以．当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数，当a＞0时，，令g′（x）=0，得．所以当时，g′（x）＞0；当时，g′（x）＜0，因此函数g（x）在是增函数，在是减函数．综上，当a≤0时，函数g（x）的递增区间是（0，+∞），无递减区间；当a＞0时，函数g（x）的递增区间是，递减区间是．（Ⅲ）由x1＞0，x2＞0，即x1+x2＞0．令t=x1x2，则由x1＞0，x2＞0得，．t＞0可知，φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥φ（1）=1，所以，解得或．又因为x1＞0，x2＞0，因此成立．【点评】本题难度较大，属于利用导数研究函数的单调性、最值，以及利用导数证明单调性进一步研究不等式问题的题型．。
配套K12高三数学上学期期末质量检测(一调)试题 文(扫描版)
山东省枣庄市2016届高三数学上学期期末质量检测（一调）试题文（扫描版）二○一六届高三第一学期期末质量检测高三数学（文科）参考答案及评分标准 2016.1一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．DDCA AAAC BD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.12- 12.2 13.2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-14.8π315.2 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.解：(1)因为直线π4x =、5π4x =是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴，所以，函数()f x 的最小正周期5π2(4π)2π4T ⨯=-=.………………………………2分 从而2π2π12πT ω===.……………………………………………………………………3分因为函数()f x 的图象关于直线π4x =对称， 所以πππ,42k k ϕ+=+∈Z ，即ππ,4k k ϕ=+∈Z .………………………………………5分 又因为ππ22ϕ-<<，所以π.4ϕ=………………………………………………………6分 (2)由(1)，得π()sin()4f x x =+.由题意，π4sin()45α+=-.………………………………7分由3ππ(,)44α∈--，得ππ(,0)42α+∈-.从而π3cos()45α+=.…………………………8分ππππππsin sin[()]sin()cos cos()sin 444444αααα=+-=+-+…………………………10分4355=-=………………………………12分17.解：(1)因为113322,,S a S a S a +++成等差数列，所以33112233S a S a S a S a +--=+--.…………………………………………1分Ob a66化简得314a a =.……………………………………………………………………3分 所以23114a q a ==. 因为0q >，所以12q =.………………………………………4分 故111111()().222n n n n a a q --==⨯=……………………………………………………6分(2) 2222221111.11log log ()[(2)](2)log ()log ()22n n n n n b a a n n n n ++====⋅--++⋅…………8分可见，111().22n b n n =-+……………………………………………………………10分121n n n T b b b b -=++++11111111111111[(1)()()()()()()]232435462112n n n n n n =-+-+-+-++-+-+---++ 1111(1)2212n n =+--++ 1311().2212n n =--++………………………………………………………………12分18.解: （1）判别式22440a b ∆=-≥， a 和b 非负，∴a b ≥．当1,1a b ≥≥时，方程2220x ax b -+=有实根的充要条件是1a b ≥≥．……………2分 设事件A 为“方程2220x ax b -+=有实根”, 当1a =时,1b =; 当2a =时,1,2b =;,当6a =时,1,2,3,4,5,6b =．所以适合1a b ≥≥的情况有123621++++=种．………………………5分所求概率为()2176612P A ==⨯．……………………………6分 (2) a 和b 满足的条件为2236,06,06,.a b a b a b ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≥……………8分其图形为阴影部分(如图)，即以原点为圆心，6为半径，圆心角 为π4的扇形区域. ………………………………………………………………………10分C所求概率为21π6π24668P ⨯⨯==⨯．…………………………………………………12分 19.证明：（1）连接AC ，设.AC BD G =因为ABCD 是正方形，所以G 是线段AC 的中点. 又E 是线段PC 的中点，所以EG 是△PAC 的中位线.…………………………2分 所以.PAEG …………………………………………3分又PA ⊄平面EDB ，EG ⊂平面EDB ，所以PA平面EDB .…………4分注：条件PA ⊄平面EDB ，或EG ⊂平面EDB 中少写一个，扣1分. （2）因为PD ⊥底面ABCD ，所以.PD BC ⊥ 又BC DC ⊥，PDDC D =，所以BC ⊥平面.PDC …………………………6分 又DE ⊂平面PDC ，所以.DE BC ⊥…………7分 在△PDC 中，DP DC =，E 是PC 的中点， 所以.DE PC ⊥………………………………8分 又DE BC ⊥，PCBC C =，所以DE ⊥平面.PBC ………………………10分所以.DE PB ⊥……………………………………………………………………11分又EF PB ⊥，DEEF E =，所以PB ⊥平面EFD .………………………12分20.解：（1）设椭圆的半焦距为.c因为双曲线222x y -=，所以椭圆的离心率为2，即2ca =.………………………………………………1分由题意，得2a =解得a ……………………………………………………2分 于是1c =， 222211b a c =-=-=.故椭圆的方程为2212x y += (3)分（2）（i ）设1122(,),(,)A x y B x y ，则2222112222,22x y x y =-=-.由于点A 与点C 关于原点对称，所以11(,)C x y --.……………………………………4分222222212121212122222221212121121.2(22)(22)2()AB BCy y y y y y y y y y k k x x x x x x y y y y -+---⋅=⋅====--+----- 故直线AB 与BC 的斜率之积为定值12-.…………………………………………6分（ii ）设直线AB 的方程为1x ty =-.设1122(,),(,)A x y B x y由221,22x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 并整理，得22(2)210.t y ty +--=………………………7分 因为直线AB 与椭圆交于,A B 两点，所以12122221,.22t y y yy t t -+==++…………8分 法一：||AB==2t =+………………………………9分 点O 到直线AB 的距离为d =.………………………………………………10分因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2.d1||2222ABCS AB d t t =⋅++△.……………………………11分u =，则1u ≥. 1ABC S u u u ==++△12分 当且仅当1u u=，即1u =，亦即0t =时，ABC △此时直线AB 的方程为1x =-.…………………………………………………………13分法二：由题意，ABC S =△2ABO S =△11212(||||)2OF y y ⨯⨯⨯-12||y y =-……………9分=…………………………………………11分以下过程同方法一.21.解：(1)对()f x 求导，得()ln 1f x x a '=+-.………………………………………1分 则(1)1f a '=-.又(1)0f =，所以，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)(1)y a x =--.…………3分 (2)因为()ln 1f x x a '=+-为增函数，所以当(0,)x a ∈时， ()()ln 1f x f a a a ''<=+-.………………………………4分令()ln 1a a a ϕ=+-，求导得11()1aa a aϕ-'=-=.………………………………5分 当(0,1)a ∈时, ()0a ϕ'>,()a ϕ为增函数；当(1,)a ∈+∞时, ()0a ϕ'<,()a ϕ为减函数. 因此()(1)0a ϕϕ=…，即()0f a '…. …………………………………………………7分 所以，当(0,)x a ∈时， ()0f x '<.所以()f x 在(0,)a 上为减函数.…………………………………………………………8分 (3)解法1：()ln 1f x x a '=+-.①当1a …时，因为()ln 1f x x a '=+-为增函数，所以当1x …时,ln 1ln111x a a a +-+-=-…0?,因此()0f x '…. 当且仅当1a =且1x =时等号成立.所以()f x 在(1,)+∞上为增函数. 因此当1x …时，()(1)0f x f =….…………………………………………………………11分 ② 当1a >时，由()ln 10f x x a '=+-=，得ln 1x a =-.解得1e a x -=. 当1(1,e )a x -∈时，()0f x '<，因此()f x 在1(1,e )a -上为减函数. 所以当1(1,e )a x -∈时，()(1)0f x f <=，不合题意.综上所述，实数a 的取值范围是(,1]-∞.……………………………………………14分解法2：()ln (1)0f x x x a x =--…⇔1ln (1)0x a x--….令1()ln (1)g x x a x =--，则221()a x a g x x x x-'=-=.①当1a …时，因为1x …，所以()0g x '….当且仅当1a =且1x =时等号成立. 所以()g x 在(1,)+∞上为增函数. 因此，当1x …时，()(1)0g x g =….此时()0f x ….………………………………11分 ② 当1a >时，当(1,)x a ∈时，()0g x '<，因此()g x 在(1,)a 上为减函数. 所以，当(1,)x a ∈时，()(1)0g x g <=，此时()0f x <,不合题意.综上所述，实数a 的取值范围是(,1]-∞.……………………………………………14分。
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银川二中2016届高三年级第五次月考数 学 试 卷（文）第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ={}0342<+-x x x ， =B {}42<<x x 则=⋂B A ( )A ．（1,3）B ．（1，4）C ．（2，3）D ．（2，4）2.cos800cos 130°—sin800sin130°等于( )B. -3．设数列}{n a 的前n 项和2n S n =，则9a 的值为（ ）A ．15B ．17C ．49D ．64 4.曲线xe y =在点A （0，1）处的切线斜率为( ) A ．2B ．1C ．eD ．e1 5.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组：[)50,40, [)60,50, [)70,60 , [)80,70 , [)90,80 , [)100,90 加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A ．588B ．480C ．450D ．1206.已知直线012=-+ay x 与直线02)2(=+--ay x a 平行，则a 的值是( ) A ．23 B ．23或0 C ．-32 D ．32-或07．平面向量a 与向量b 满足3)(=+⋅,12==,则向量a 与b 的夹角为 （ ） A ．6π B ．3πC ．32πD ．65π8.如图，12F F 、是双曲线2222-=1(>0,>0)x y a b a b的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的右左两支分别交于点A 、B 两点．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A ．4 BCD9．用a 、b 、c 表示三条不同的直线， β表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥β，b ∥β，则a ∥b ； ④若a ⊥β，b ⊥β，则a ∥b 其中的正确命题是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④10.已知点⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+14),(x x y y x y x P 满足，过点P 的直线与圆1422=+y x 相交于B A ,两点，则AB 的最小值为（ ）A ．2 B．411.若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 和圆c c b y x (,)2(222+=+为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A. )53,55(B. )55,52(C. )53,52(D. )55,0( 12.若函数0(2ln )(2>---+=a m a x x a x f x且)1≠a 有两个零点，则m 的取值范围是（ ）A. )3,1(-B.)1,3(-C.),3(+∞D.)1,(--∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡中横线上) 13．对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计， 作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法： ①中位数为84； ②众数为85；③平均数为85； ④极差为12； 其中，正确说法的序号是__________14. 若抛物线)0(22>=p px y 上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离为___________15. 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为_______．16．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的______________三、解答题 17．（本小题满分12分） 已知函数)2sin(sin 32sin 2)(2π+⋅+=x x x x f （0>ω）． （1）求)(x f 的最小正周期； （2）求函数)(x f 在区间]32,0[π上的取值范围．18.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)若BD ＝1，求三棱锥D －ABC 的表面积．19.(本小题满分12分）已知n S 为等比数列的前n 项和，且531=+a a ,1042=+a a . (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若7a +7，k a 2，-k S 成等差数列，求正整数k 的值20. (本题满分12分)在平面直角坐标系xoy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23，直线x y =被椭圆C 截得的弦长为5104。
（1）求椭圆C 的方程；（2）过原点的直线与椭圆C 交于B A ,两点(B A ,不是椭圆C 的顶点)。
点D 在椭圆C 上，且AB AD ⊥,直线BD 与x 轴、y 轴分别交于N M ,两点。
求OMN ∆面积的最大值。
21.本小题满分12分）已知函数x a ax x x f )12(ln )(2+-+=，其中a 为常数，且.0≠a （1）当2=a 时，求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 在1=x 处取得极值，且在],0(e 的最大值为1，求a 的值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在ABC ∆中，090=∠B ，以AB 为直径的圆O 交AC 于D ，过点D 作圆O 的切线交BC 于E ，AE 交圆O 于点F ． （1）证明：E 是BC 的中点；（2）证明：AF AE AC AD ⋅=⋅．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同；曲线C 的方程是)4sin(22πθρ-=，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 2cos 1t y t x （t 为参数，πα<≤0），设)2,1(P ,直线l 与曲线C 交于B A ,两点. （1）当0=α时，求AB 的长度； （2）求22PB PA +的取值范围．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数2)(-=x x f ，m x x g ++-=3)(． （1）解关于x 的不等式)(01)(R a a x f ∈>-+；（2）若函数)(x f 的图象恒在函数)(x g 图象的上方，求m 的取值范围．银川二中2016届高三年级第五次月考数学（文）答案一.选择题：1.C2.A3.B4.B5.B6.A7.C8.B9.B 10.D 11A 12.A 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分：13--①③--- 14 ---4---- 15 -----1--- 16---1/2----三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17试题解析：（1所以)(x f 的最小正周期为（2所以 ()[0,3]f x ∈即)(x f 在区间上的取值范围是[0,3]．18.[解析] (1)∵折起前A D 是BC 边上的高． ∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ， 又DB∩DC＝D ，∴AD ⊥平面BDC ， ∵AD ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BDC.(2)由(1)知，DA ⊥DB ，DB ⊥DC ，DC ⊥DA ， ∵DB ＝DA ＝DC ＝1， ∴AB ＝BC ＝CA ＝2，从而S △DAB ＝S △DBC ＝S △DCA ＝12×1×1＝12，S △ABC ＝12×2×2×sin60°＝32，∴三棱锥D －ABC 的表面积S ＝12×3＋32＝3＋32.19. (本小题满分12分) (1) 12-n (2) 320.(本小题满分12分)解析：（1）由题意知，2322=-=a b a ac，可得224b a = 联立⎩⎨⎧==+xy a y x 2224得a x 55±= 所以510455211=+=a AB ，解得2=a 所以椭圆方程为1422=+y x 。
（2）设),(),,(2211y x D y x A ，则),(11y x B -- 所以11x y k AB =，且AD AB ⊥,所以11y x k AD -= 设直线AD 的方程为m kx y +=，由题意知0,0≠≠m k⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x mkx y 消去y 得0448)41(222=-+++m kmx x k 所以221418k mk x x +-=+，221214122)(kmm x x k y y +=++=+ 所以112121441x y k x x y y k BD =-=++=所以直线BD 的方程为)(41111x x x y y y +=+ 令0=y 得13x x =，即)0,3(1x M 。
令0=x 得143y y -=，即)43,0(1y N - 所以11118943321y x y x S OMN =⨯⨯=∆ 又因为14212111=+≤y x y x ，当且仅当22211==y x 时，等号成立。
所以OMN ∆面积的最大值为89。
21(本小题满分12分)试题解析：（1，令()0f x'=，1，则增所以()f x在和(1,)+∞上单调递增，在（2）(fx'=（）因为f x（）在1x=处取得极值，1时，f x（）在01（，）上单调递增，在]1e（，上单调递减，所以f x（）在区间]1e（，上的最大值为1f（），令11f=（），解得2a=-；（i时，f x（）在上单调递减，1e（，）上单调递增所以最大值1x=e处取得，（ii时，f x（）在区间（0，1上单调递增，所以最大值1可能在x=1或x=e 处取得而()11210f ln a a =+-+<（），所以2211f e lne ae a e =+-+=（）（），解得与（iiif （X ）在区间（0，1）上单调递增，在（1，e ）单调递减，所以最大值1可能在x=1处取得，而()11210f ln a a =+-+<（），矛盾，或2a =-．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 （Ⅰ）证明：连接BD ，因为AB 为⊙O 的直径，所以BD AC ⊥，又90B ∠=，所以CB 切⊙O 于点B ， 且ED 切于⊙O 于点E ，因此EB ED =，EBD EDB∠=∠， 90CDE EDB EBD C ∠+∠==∠+∠，所以CDE C ∠=∠，得ED EC =，因此EB EC =， 即E 是BC 的中点（Ⅱ）证明：连接BF ，显然BF 是t R ABE ∆斜边上的高，可得ABE AFB ∆∆∽A ，于是有AB AEAF AB=， 即2AB AE AF =⋅，同理可得2AB AD AC =⋅，所以AD AC AE AF ⋅=⋅23. （本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程 （Ⅰ）曲线C 的方程为2)1()1(22=-++y x 当0=α时，直线2:=y l ，2||=AB（Ⅱ）设21,t t 为相应参数值,03)sin 2cos 4(2=+++t t αα， 由0>∆，得1)(sin 532≤+<ϕα ⎩⎨⎧=+-=+3)sin 2cos 4(2121t t t t αα 6)(sin 208)sin 2cos 4(2)(||||222122122-+=-+=-+=+ϕαααt t t t PB PA ]14,6(||||22∈+PB PA24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 解：（Ⅰ）不等式()10f x a +->即为|2|10x a -+->， 当1a =时，解集为2x ≠，即(,2)(2,)-∞+∞；当1a >时，解集为全体实数R ，当1a <时，解集为(,1)(3,)a a -∞+-+∞（Ⅱ）()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，即为|2||3|x x m ->-++对任意实数x 恒成立，即|2||3|x x m -++>恒成立，又对任意实数x 恒有|2||3||(2)(3)|5x x x x -++--+=≥， 于是得5m <，即m 的取值范围是(,5)-∞。