人教中考数学备考之圆的综合压轴突破训练∶培优篇附答案
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∵ QP⊥OB， ∴ ∠ OPQ=90°
在 Rt△ OPQ 中，cos∠ QOP= OP 1 ， OQ 2
∴ ∠ QOP=60°，
∴ lBQ= 60 10 10 ； 180 3
（2）由折叠的性质可得，BP＝B′P，AB′＝AB＝10 2 ， 在 Rt△ B'OP 中，OP2+(10 2 −10)2=（10-OP）2 解得 OP=10 2 −10，
22
即 O 到折痕 PQ 的距离为 30 ． 点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式
l= n R （n 为圆心角度数，R 为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常 180
考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分．
4．如图．在△ ABC 中，∠ C=90°，AC=BC，AB=30cm，点 P 在 AB 上，AP=10cm，点 E 从点 P 出发沿线段 PA 以 2cm/s 的速度向点 A 运动，同时点 F 从点 P 出发沿线段 PB 以 1cm/s 的速 度向点 B 运动，点 E 到达点 A 后立刻以原速度沿线段 AB 向点 B 运动，在点 E、F 运动过程 中，以 EF 为边作正方形 EFGH，使它与△ ABC 在线段 AB 的同侧，设点 E、F 运动的时间为 t （s）（0＜t＜20）．
（1）当 BC= 2 3 时，判断直线 FD 与以 AB 为直径的⊙O 的位置关系，并加以证明； 3
（2）如图 2，点 B 在 CG 上向点 C 运动，直线 FD 与以 AB 为直径的⊙O 交于 D、H 两点， 连接 AH，当∠ CAB=∠ BAD=∠ DAH 时，求 BC 的长．
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，以 O 为圆心，4 为半径的圆与 x 轴交于点 A，C 在⊙O 上，∠ OAC=60°． （1）求∠ AOC 的度数； （2）P 为 x 轴正半轴上一点，且 PA=OA，连接 PC，试判断 PC 与⊙O 的位置关系，并说明 理由； （3）有一动点 M 从 A 点出发，在⊙O 上按顺时针方向运动一周，当 S△ MAO=S△ CAO 时，求 动点 M 所经过的弧长，并写出此时 M 点的坐标．
或
10s；（2）①S=
7 2
t
2
50t
50(2
t
10)
；②100cm2．
t2 40t 400? (10 t 20)
【解析】
试题分析：（1）如图 1 中，当 0＜t≤5 时，由题意 AE=EH=EF，即 10﹣2t=3t，t=2；如图 2 中，当 5＜t＜20 时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10； （2）分四种切线讨论 a、如图 3 中，当 0＜t≤2 时，重叠部分是正方形 EFGH，S=（3t）
180
3
Байду номын сангаас
④当 C、M 重合时，C 点符合 M 点的要求，此时 M4（2，2 3 ）；
优弧 MA 的长为： 300 4 20 ；
180
3
综上可知：当 S△ MAO=S△ CAO 时，动点 M 所经过的弧长为 4 , 8 , 16 , 20 对应的 M 点坐 33 3 3
标分别为：M1（2，﹣2 3 ）、M2（﹣2，﹣2 3 ）、M3（﹣2，2 3 ）、M4（2，
详解：发现：∵ P 是半径 OB 上一动点，Q 是 AB 上的一动点，
∴ 当 PQ 取最大时，点 Q 与点 A 重合，点 P 与点 B 重合，
此时，∠ POQ=90°，PQ= OA2 OB2 =10 2 ；
思考：（1）如图，连接 OQ，
∵ 点 P 是 OB 的中点，
∴ OP= 1 OB= 1 OQ． 22
S 阴影=S 扇形 AOB-2S△ AOP= 90 102 2 1 10 (10 2 10)
360
2
＝25π−100 2 +100；
探究：如图 2，找点 O 关于 PQ 的对称点 O′，连接 OO′、O′B、O′C、O′P，
则 OM=O′M，OO′⊥PQ，O′P=OP=3，点 O′是 BQ 所在圆的圆心，
发现：∠ POQ＝________时，PQ 有最大值，最大值为________；
思考：（1）如图 2，若 P 是 OB 中点，且 QP⊥OB 于点 P，求 BQ 的长；
（2）如图 3，将扇形 AOB 沿折痕 AP 折叠，使点 B 的对应点 B′恰好落在 OA 的延长线上， 求阴影部分面积； 探究：如图 4，将扇形 OAB 沿 PQ 折叠，使折叠后的弧 QB′恰好与半径 OA 相切，切点为 C，若 OP＝6，求点 O 到折痕 PQ 的距离．
（1）当点 H 落在 AC 边上时，求 t 的值； （2）设正方形 EFGH 与△ ABC 重叠部分的面积为 S．①试求 S 关于 t 的函数表达式；②以
点 C 为圆心， 1 t 为半径作⊙C，当⊙C 与 GH 所在的直线相切时，求此时 S 的值． 2
9t2 ?
(0 t 2)
【答案】（1）t=2s
【答案】发现： 90°，10
2
；
思考：（1）
10 3
；（2）25π−100
2 +100；（3）点 O
到折痕 PQ 的距离为 30 .
【解析】
分析：发现：先判断出当 PQ 取最大时，点 Q 与点 A 重合，点 P 与点 B 重合，即可得出结
论；
思考：（1）先判断出∠ POQ=60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；
如图 2 中，当 5＜t＜20 时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10． 综上所述：t=2s 或 10s 时，点 H 落在 AC 边上．
（2）①如图 3 中，当 0＜t≤2 时，重叠部分是正方形 EFGH，S=（3t）2=9t2
如图 4 中，当 2＜t≤5 时，重叠部分是五边形 EFGMN，S=（3t）2﹣ 1 （5t﹣10）2=﹣ 2
综上所述：S=
7 2
t
2
50t
50(2
t
10)
．
t2 40t 400? (10 t 20)
②如图 7 中，当 0＜t≤5 时， 1 t+3t=15，解得：t= 30 ，此时 S=100cm2，当 5＜t＜20 时，
2
7
1 t+20﹣t=15，解得：t=10，此时 S=100． 2
综上所述：当⊙C 与 GH 所在的直线相切时，求此时 S 的值为 100cm2 点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知 识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不 能漏解，属于中考压轴题． 5．已知：如图 1，∠ ACG=90°，AC=2，点 B 为 CG 边上的一个动点，连接 AB，将△ ACB 沿 AB 边所在的直线翻折得到△ ADB，过点 D 作 DF⊥CG 于点 F．
∴ O′C=OB=10， ∵ 折叠后的弧 QB′恰好与半径 OA 相切于 C 点， ∴ O′C⊥AO， ∴ O′C∥ OB， ∴ 四边形 OCO′B 是矩形，
在 Rt△ O′BP 中，O′B= 62 42 2 5 ，
在 Rt△ OBO′K，OO′= 102 (2 5)2 =2 30 ， ∴ OM= 1 OO′= 1 × 2 30 = 30 ，
∵ AB 是半圆的直径， ∴ ∠ ACB=90°. ∴ ∠ DCB=180°-∠ ACB=90°. ∴ ∠ DCE+∠ BCE=90°. ∵ OC=OB, ∴ ∠ OCB=∠ B.
∵ DCE=B ，
∴ ∠ OCB=∠ DCE. ∴ ∠ OCE=∠ DCB=90°. ∴ OC⊥CE. ∵ OC 是半径， ∴ CE 是半圆的切线. （2）解：设 AC=2x，
∵ 在 Rt△ ACB 中， tanB AC 2 , BC 3
∴ BC=3x.
∴ AB 2x2 3x2 13x .
∵ OD⊥AB, ∴ ∠ AOD=∠ ACB=90°. ∵ ∠ A=∠ A， ∴ △ AOD∽ △ ACB.
∴
AC
AO
.
AB AD
∵ OA 1 AB 13 x ，AD=2x+10,
②取 C 点关于原点的对称点，此点也符合 M 点的要求，此时 M 点的坐标为：M2（﹣2，
﹣2 3 ）；
劣弧 MA 的长为： 120 4 8 ； 180 3
③取 C 点关于 y 轴的对称点，此点也符合 M 点的要求，此时 M 点的坐标为：M3（﹣2，
2 3 ）；
优弧 MA 的长为： 240 4 16 ；
2=9t2．b、如图 4 中，当 2＜t≤5 时，重叠部分是五边形 EFGMN．c、如图 5 中，当 5＜t＜
10 时，重叠部分是五边形 EFGMN．d、如图 6 中，当 10＜t＜20 时，重叠部分是正方形
EFGH．分别计算即可；
②分两种情形分别列出方程即可解决问题． 试题解析：解：（1）如图 1 中，当 0＜t≤5 时，由题意得：AE=EH=EF，即 10﹣2t=3t，t=2
【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）对应的 M 点坐标分别为：M1（2，﹣2 3 ）、M2 （﹣2，﹣2 3 ）、M3（﹣2，2 3 ）、M4（2，2 3 ）．
【解析】 【分析】 （1）由于∠ OAC=60°，易证得△ OAC 是等边三角形，即可得∠ AOC=60°． （2）由（1）的结论知：OA=AC，因此 OA=AC=AP，即 OP 边上的中线等于 OP 的一半，由 此可证得△ OCP 是直角三角形，且∠ OCP=90°，由此可判断出 PC 与⊙O 的位置关系． （3）此题应考虑多种情况，若△ MAO、△ OAC 的面积相等，那么它们的高必相等，因此 有四个符合条件的 M 点，即：C 点以及 C 点关于 x 轴、y 轴、原点的对称点，可据此进行 求解． 【详解】 （1）∵ OA=OC，∠ OAC=60°， ∴ △ OAC 是等边三角形， 故∠ AOC=60°． （2）由（1）知：AC=OA，已知 PA=OA，即 OA=PA=AC；
∴ AC= 1 OP，因此△ OCP 是直角三角形，且∠ OCP=90°， 2
而 OC 是⊙O 的半径， 故 PC 与⊙O 的位置关系是相切． （3）如图；有三种情况：
①取 C 点关于 x 轴的对称点，则此点符合 M 点的要求，此时 M 点的坐标为：M1（2，﹣
2 3 ）；
劣弧 MA 的长为： 60 4 4 ； 180 3
（2）先在 Rt△ B'OP 中，OP2+(10 2 −10)2=（10-OP）2，解得 OP=10 2 −10，最后用面积
的和差即可得出结论．
探究：先找点 O 关于 PQ 的对称点 O′，连接 OO′、O′B、O′C、O′P，证明四边形 OCO′B 是矩
形，由勾股定理求 O′B，从而求出 OO′的长，则 OM= 1 OO′= 30 ． 2
7 t2+50t﹣50． 2
如图 5 中，当 5＜t＜10 时，重叠部分是五边形 EFGMN，S=（20﹣t）2﹣ 1 （30﹣3t）2=﹣ 2
7 t2+50t﹣50． 2
如图 6 中，当 10＜t＜20 时，重叠部分是正方形 EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．
9t2 ?
(0 t 2)
3
【答案】（1）见解析；(2) 4 13
【解析】
分析: （1）连接 CO，由 DCE B 且 OC=OB,得 DCE OCB ,利用同角的余角相等
判断出∠ BCO+∠ BCE=90°，即可得出结论； （2）设 AC=2x，由根据题目条件用 x 分别表示出 OA、AD、AB，通过证明△ AOD∽ △ ACB， 列出等式即可. 详解：（1）证明：如图，连接 CO.
2 3 ）．
【点睛】
本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．
2．如图，AB 是半圆的直径，过圆心 O 作 AB 的垂线，与弦 AC 的延长线交于点 D，点 E 在
OD 上 DCE B ．
（1）求证：CE 是半圆的切线； （2）若 CD=10， tan B 2 ，求半圆的半径．
2
2
∴
2x
1 13x
2
.
13x 2x 10
解得 x=8.
∴ OA 13 8 4 13 . 2
则半圆的半径为 4 13 .
点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.
3．如图 1，将长为 10 的线段 OA 绕点 O 旋转 90°得到 OB，点 A 的运动轨迹为 AB ，P 是 半径 OB 上一动点，Q 是 AB 上的一动点，连接 PQ.
在 Rt△ OPQ 中，cos∠ QOP= OP 1 ， OQ 2
∴ ∠ QOP=60°，
∴ lBQ= 60 10 10 ； 180 3
（2）由折叠的性质可得，BP＝B′P，AB′＝AB＝10 2 ， 在 Rt△ B'OP 中，OP2+(10 2 −10)2=（10-OP）2 解得 OP=10 2 −10，
22
即 O 到折痕 PQ 的距离为 30 ． 点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式
l= n R （n 为圆心角度数，R 为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常 180
考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分．
4．如图．在△ ABC 中，∠ C=90°，AC=BC，AB=30cm，点 P 在 AB 上，AP=10cm，点 E 从点 P 出发沿线段 PA 以 2cm/s 的速度向点 A 运动，同时点 F 从点 P 出发沿线段 PB 以 1cm/s 的速 度向点 B 运动，点 E 到达点 A 后立刻以原速度沿线段 AB 向点 B 运动，在点 E、F 运动过程 中，以 EF 为边作正方形 EFGH，使它与△ ABC 在线段 AB 的同侧，设点 E、F 运动的时间为 t （s）（0＜t＜20）．
（1）当 BC= 2 3 时，判断直线 FD 与以 AB 为直径的⊙O 的位置关系，并加以证明； 3
（2）如图 2，点 B 在 CG 上向点 C 运动，直线 FD 与以 AB 为直径的⊙O 交于 D、H 两点， 连接 AH，当∠ CAB=∠ BAD=∠ DAH 时，求 BC 的长．
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，以 O 为圆心，4 为半径的圆与 x 轴交于点 A，C 在⊙O 上，∠ OAC=60°． （1）求∠ AOC 的度数； （2）P 为 x 轴正半轴上一点，且 PA=OA，连接 PC，试判断 PC 与⊙O 的位置关系，并说明 理由； （3）有一动点 M 从 A 点出发，在⊙O 上按顺时针方向运动一周，当 S△ MAO=S△ CAO 时，求 动点 M 所经过的弧长，并写出此时 M 点的坐标．
或
10s；（2）①S=
7 2
t
2
50t
50(2
t
10)
；②100cm2．
t2 40t 400? (10 t 20)
【解析】
试题分析：（1）如图 1 中，当 0＜t≤5 时，由题意 AE=EH=EF，即 10﹣2t=3t，t=2；如图 2 中，当 5＜t＜20 时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10； （2）分四种切线讨论 a、如图 3 中，当 0＜t≤2 时，重叠部分是正方形 EFGH，S=（3t）
180
3
Байду номын сангаас
④当 C、M 重合时，C 点符合 M 点的要求，此时 M4（2，2 3 ）；
优弧 MA 的长为： 300 4 20 ；
180
3
综上可知：当 S△ MAO=S△ CAO 时，动点 M 所经过的弧长为 4 , 8 , 16 , 20 对应的 M 点坐 33 3 3
标分别为：M1（2，﹣2 3 ）、M2（﹣2，﹣2 3 ）、M3（﹣2，2 3 ）、M4（2，
详解：发现：∵ P 是半径 OB 上一动点，Q 是 AB 上的一动点，
∴ 当 PQ 取最大时，点 Q 与点 A 重合，点 P 与点 B 重合，
此时，∠ POQ=90°，PQ= OA2 OB2 =10 2 ；
思考：（1）如图，连接 OQ，
∵ 点 P 是 OB 的中点，
∴ OP= 1 OB= 1 OQ． 22
S 阴影=S 扇形 AOB-2S△ AOP= 90 102 2 1 10 (10 2 10)
360
2
＝25π−100 2 +100；
探究：如图 2，找点 O 关于 PQ 的对称点 O′，连接 OO′、O′B、O′C、O′P，
则 OM=O′M，OO′⊥PQ，O′P=OP=3，点 O′是 BQ 所在圆的圆心，
发现：∠ POQ＝________时，PQ 有最大值，最大值为________；
思考：（1）如图 2，若 P 是 OB 中点，且 QP⊥OB 于点 P，求 BQ 的长；
（2）如图 3，将扇形 AOB 沿折痕 AP 折叠，使点 B 的对应点 B′恰好落在 OA 的延长线上， 求阴影部分面积； 探究：如图 4，将扇形 OAB 沿 PQ 折叠，使折叠后的弧 QB′恰好与半径 OA 相切，切点为 C，若 OP＝6，求点 O 到折痕 PQ 的距离．
（1）当点 H 落在 AC 边上时，求 t 的值； （2）设正方形 EFGH 与△ ABC 重叠部分的面积为 S．①试求 S 关于 t 的函数表达式；②以
点 C 为圆心， 1 t 为半径作⊙C，当⊙C 与 GH 所在的直线相切时，求此时 S 的值． 2
9t2 ?
(0 t 2)
【答案】（1）t=2s
【答案】发现： 90°，10
2
；
思考：（1）
10 3
；（2）25π−100
2 +100；（3）点 O
到折痕 PQ 的距离为 30 .
【解析】
分析：发现：先判断出当 PQ 取最大时，点 Q 与点 A 重合，点 P 与点 B 重合，即可得出结
论；
思考：（1）先判断出∠ POQ=60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；
如图 2 中，当 5＜t＜20 时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10． 综上所述：t=2s 或 10s 时，点 H 落在 AC 边上．
（2）①如图 3 中，当 0＜t≤2 时，重叠部分是正方形 EFGH，S=（3t）2=9t2
如图 4 中，当 2＜t≤5 时，重叠部分是五边形 EFGMN，S=（3t）2﹣ 1 （5t﹣10）2=﹣ 2
综上所述：S=
7 2
t
2
50t
50(2
t
10)
．
t2 40t 400? (10 t 20)
②如图 7 中，当 0＜t≤5 时， 1 t+3t=15，解得：t= 30 ，此时 S=100cm2，当 5＜t＜20 时，
2
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1 t+20﹣t=15，解得：t=10，此时 S=100． 2
综上所述：当⊙C 与 GH 所在的直线相切时，求此时 S 的值为 100cm2 点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知 识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不 能漏解，属于中考压轴题． 5．已知：如图 1，∠ ACG=90°，AC=2，点 B 为 CG 边上的一个动点，连接 AB，将△ ACB 沿 AB 边所在的直线翻折得到△ ADB，过点 D 作 DF⊥CG 于点 F．
∴ O′C=OB=10， ∵ 折叠后的弧 QB′恰好与半径 OA 相切于 C 点， ∴ O′C⊥AO， ∴ O′C∥ OB， ∴ 四边形 OCO′B 是矩形，
在 Rt△ O′BP 中，O′B= 62 42 2 5 ，
在 Rt△ OBO′K，OO′= 102 (2 5)2 =2 30 ， ∴ OM= 1 OO′= 1 × 2 30 = 30 ，
∵ AB 是半圆的直径， ∴ ∠ ACB=90°. ∴ ∠ DCB=180°-∠ ACB=90°. ∴ ∠ DCE+∠ BCE=90°. ∵ OC=OB, ∴ ∠ OCB=∠ B.
∵ DCE=B ，
∴ ∠ OCB=∠ DCE. ∴ ∠ OCE=∠ DCB=90°. ∴ OC⊥CE. ∵ OC 是半径， ∴ CE 是半圆的切线. （2）解：设 AC=2x，
∵ 在 Rt△ ACB 中， tanB AC 2 , BC 3
∴ BC=3x.
∴ AB 2x2 3x2 13x .
∵ OD⊥AB, ∴ ∠ AOD=∠ ACB=90°. ∵ ∠ A=∠ A， ∴ △ AOD∽ △ ACB.
∴
AC
AO
.
AB AD
∵ OA 1 AB 13 x ，AD=2x+10,
②取 C 点关于原点的对称点，此点也符合 M 点的要求，此时 M 点的坐标为：M2（﹣2，
﹣2 3 ）；
劣弧 MA 的长为： 120 4 8 ； 180 3
③取 C 点关于 y 轴的对称点，此点也符合 M 点的要求，此时 M 点的坐标为：M3（﹣2，
2 3 ）；
优弧 MA 的长为： 240 4 16 ；
2=9t2．b、如图 4 中，当 2＜t≤5 时，重叠部分是五边形 EFGMN．c、如图 5 中，当 5＜t＜
10 时，重叠部分是五边形 EFGMN．d、如图 6 中，当 10＜t＜20 时，重叠部分是正方形
EFGH．分别计算即可；
②分两种情形分别列出方程即可解决问题． 试题解析：解：（1）如图 1 中，当 0＜t≤5 时，由题意得：AE=EH=EF，即 10﹣2t=3t，t=2
【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）对应的 M 点坐标分别为：M1（2，﹣2 3 ）、M2 （﹣2，﹣2 3 ）、M3（﹣2，2 3 ）、M4（2，2 3 ）．
【解析】 【分析】 （1）由于∠ OAC=60°，易证得△ OAC 是等边三角形，即可得∠ AOC=60°． （2）由（1）的结论知：OA=AC，因此 OA=AC=AP，即 OP 边上的中线等于 OP 的一半，由 此可证得△ OCP 是直角三角形，且∠ OCP=90°，由此可判断出 PC 与⊙O 的位置关系． （3）此题应考虑多种情况，若△ MAO、△ OAC 的面积相等，那么它们的高必相等，因此 有四个符合条件的 M 点，即：C 点以及 C 点关于 x 轴、y 轴、原点的对称点，可据此进行 求解． 【详解】 （1）∵ OA=OC，∠ OAC=60°， ∴ △ OAC 是等边三角形， 故∠ AOC=60°． （2）由（1）知：AC=OA，已知 PA=OA，即 OA=PA=AC；
∴ AC= 1 OP，因此△ OCP 是直角三角形，且∠ OCP=90°， 2
而 OC 是⊙O 的半径， 故 PC 与⊙O 的位置关系是相切． （3）如图；有三种情况：
①取 C 点关于 x 轴的对称点，则此点符合 M 点的要求，此时 M 点的坐标为：M1（2，﹣
2 3 ）；
劣弧 MA 的长为： 60 4 4 ； 180 3
（2）先在 Rt△ B'OP 中，OP2+(10 2 −10)2=（10-OP）2，解得 OP=10 2 −10，最后用面积
的和差即可得出结论．
探究：先找点 O 关于 PQ 的对称点 O′，连接 OO′、O′B、O′C、O′P，证明四边形 OCO′B 是矩
形，由勾股定理求 O′B，从而求出 OO′的长，则 OM= 1 OO′= 30 ． 2
7 t2+50t﹣50． 2
如图 5 中，当 5＜t＜10 时，重叠部分是五边形 EFGMN，S=（20﹣t）2﹣ 1 （30﹣3t）2=﹣ 2
7 t2+50t﹣50． 2
如图 6 中，当 10＜t＜20 时，重叠部分是正方形 EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．
9t2 ?
(0 t 2)
3
【答案】（1）见解析；(2) 4 13
【解析】
分析: （1）连接 CO，由 DCE B 且 OC=OB,得 DCE OCB ,利用同角的余角相等
判断出∠ BCO+∠ BCE=90°，即可得出结论； （2）设 AC=2x，由根据题目条件用 x 分别表示出 OA、AD、AB，通过证明△ AOD∽ △ ACB， 列出等式即可. 详解：（1）证明：如图，连接 CO.
2 3 ）．
【点睛】
本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．
2．如图，AB 是半圆的直径，过圆心 O 作 AB 的垂线，与弦 AC 的延长线交于点 D，点 E 在
OD 上 DCE B ．
（1）求证：CE 是半圆的切线； （2）若 CD=10， tan B 2 ，求半圆的半径．
2
2
∴
2x
1 13x
2
.
13x 2x 10
解得 x=8.
∴ OA 13 8 4 13 . 2
则半圆的半径为 4 13 .
点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.
3．如图 1，将长为 10 的线段 OA 绕点 O 旋转 90°得到 OB，点 A 的运动轨迹为 AB ，P 是 半径 OB 上一动点，Q 是 AB 上的一动点，连接 PQ.