空间向量立体几何(夹角)

2得
n1=(1,1,2).
2
▪ 而面SAD的法向量n2 = (1,0,0). ▪ 于是二面角A-SD-C的大小θ满足
▪
cos cos n1,n2
1
1 6,
11 4 100 6 6
▪ ∴二面角A-SD-C的大小为 arccos 6.
6
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
C
D
思考：
A D1 B
uuur uuur
CD, AB 与的关系？
uuur uuur
DC, AB 与的关系？
uuur uuur
结论： cos | cos CD, AB |
•引入
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
题型二：线面角
题型二：线面角
直线与平面所成角的范围： [0, ]
A
r n
2 思考：
B O
r uuur
n, BA 与的关系？
r uuur
结论： sin | cos n, AB |
•引入
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
题型三：二面角
二面角的范围： [0, ]
uur
n2ur
源自文库
A
O
B n1
uur
n2
ur n1
ur uur
cos | cos n1, n2 |
关键：观察二面角的范围
ur uur
cos | cos n1, n2 |
•引入
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
▪ 例2如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是 AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦 值为_____.
z
A1
D1
B1
C1
A M
3 2
a
,0)
A1(
a 2
,0,).
C(-
a 2
,0,
2a)
▪ 设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)
▪ 得 AB ( a , 2
3 2
a,0),
AA1
(0,0,
2a)
▪ ▪
a
x
3 ay 0 0
由 ，解得 2 2
2az 0
取y= ,得n=(3, ,0)， 3
x 3y z0
3
，
x
B
D
y
C
C
▪ 解: 以A为原点建立如图所示的直角坐标 系A- xyz, 设正方体的棱长为2, 那么
M(1,0, 0), C(2,2,0), B1(2, 0, 2), D(0,2 ,0),
于是：CM (1,2,0) DB1 (2,2,2)
▪设DB1与CM所成角为θ, DB与1 CM所成角为α,
z S
A
B x
y D
C
解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1， 0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0， 0，1）.
▪ 设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由
▪ SC (1,1,1), CD (1,1,0) 得
▪
xxyyz00, 解得
x y
z
2 z
, 取z
▪ 设AC1 (a,0, 2a)与n夹角为α
▪ 而 sin | cos
| 3a 0 0 |
3a 1
▪ ∴ 30.
9 3 0 a2 0 2a2 2 3 3a 2
▪ 故：AC1与侧面ABB1A1所成的角大小为30°.
▪ 例4 在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°， 侧棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求 二面角A-SD-C的大小.
▪∴cosθ =|cosα|
240
2 15
1 4 0 4 4 4 5 4 3 30
▪ 例3正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高 为 2a ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角。
z
C1
A1
A x
B1
C O
B y
▪ 解:建立如图示的直角坐标系,则
▪
A(
a 2
,0,0),B(0,