空间向量立体几何(夹角)

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专题03 立体几何中的夹角问题(解析版)

第三篇立体几何专题03 立体几何中的夹角问题常见考点考点一线线角典例1．如图，在多面体ABCEF 中，ABC 和ACE 均为等边三角形，D 是AC 的中点，EF BD ∥，2BD EF ==(1)证明：AC BF ⊥；(2)若平面ABC ⊥平面ACE ，求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）证明一条直线垂直于另一条直线，可以先证明前者垂直于后者所在的那个平面；（2）求异面直线的夹角，优先考虑建立空间直角坐标系，用向量的方法来计算. (1)证明：连接DE .因为AB BC =，且D 为AC 的中点，所以AC BD ⊥. 因为AE EC =，且D 为AC 的中点，所以AC DE ⊥.因为BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，且BD DE D ⋂=，所以AC ⊥平面BDE . 因为EF BD ∥，所以BF ⊂平面BDE ，所以AC BF ⊥；(2)由（1）可知DE AC ⊥.因为平面ABC ⊥平面ACE ，平面ABC 平面ACE AC =，DE ⊂平面ACE ，所以DE ⊥平面ABC ，所以DC ，DB ，DE 两两垂直.以D 为原点，分别以DC ，DB .DE 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.则()1,0,0A -，()B ，F ⎛ ⎝，(E ，从而(AE =，0,2BF ⎛=- ⎝. 则15cos 5AE BF AE BF AE BF⋅==⋅，，即异面直线AE 与BF变式1-1．如图，在平行四边形ABCD 中，AB AC =，90ACD ︒=∠，以AC 为折痕将ACD ∆折起，使点D 到达点M 的位置，且AB AM ⊥.(1)证明：平面ACM ⊥平面ABC ；(2)E 为线段AM 上一点，F 为线段BC 上一点，且13AE CF AD ==，求异面直线AC 与EF 所成的角的余弦.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）由题易知AB AC ⊥，由根据线面垂直的判定定理可推出AB ⊥平面ACM ，再由面面垂直的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值； (1) 证明：平行四边形ABCD ，//AB CD ∴，90BAC ACD ∴∠=∠=︒，即AB AC ⊥，AB AM ⊥，AC AM A ⋂=，AC 、AM ⊂平面ACM ， AB ∴⊥平面ACM ，AB ⊂平面ABC ，∴平面ACM ⊥平面ABC ．(2)解：由（1）平面ACM ⊥平面ABC ，MC AC ⊥，平面ACM ⋂平面ABC AC =，MC ⊂平面ACM ，所以CM ⊥平面ABC ，因为CD ⊂平面ABC ，所以MC CD ⊥，如图建立空间直角坐标系，令3AB AC ==，所以()0,0,0C ，()0,3,0A ，()1,1,0F -，()0,2,1E ，所以()0,3,0CA =，()1,1,1FE =，设异面直线AC与EF 所成的角为θ，则3cos 33CA FE CA FEθ⋅===⋅，故异面直线AC 与EF变式1-2．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ，1AB =，AC =2BAC π∠=，D 是棱1CC 上一点．(1)若1A C BD ⊥，求1CDCC ； (2)在（1）的条件下，求直线1B D 与11AC 所成角的余弦值．【答案】(1)112CD CC=【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量求解即可；（2）利用向量求解即可. (1)如图，以AB ，AC ，1AA 的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B，()C，(1A，(1B，(1C ．设()D a，则()BD a =-，又(1AC =，1A C BD ⊥，∴130AC BD ⋅==，∴a =D 为1CC 的中点， ∴112CD CC =．(2)由（1）得1B D ⎛=- ⎝⎭，()11AC =，∴111cos ,B D AC ==．变式1-3．如图，在正方体1111ABCDA B C D -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点.(1)求证：1D F AE ⊥；(2)求直线EF 和1CB 所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)6π 【解析】【分析】（1）以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，计算得出10D F AE ⋅=，即可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得直线EF 和1CB 所成角的大小. (1)解：以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0D 、()2,0,0A 、()10,0,2D 、()2,2,1E 、()0,1,0F 、()0,2,0C 、()12,2,2B ，()10,1,2D F =-，()0,2,1AE =，所以，112210D F AE ⋅=⨯-⨯=，1D F AE ∴⊥.(2)解：()2,1,1EF =---，()12,0,2CB =，111cos ,6EF CB EF CB EF CB ⋅<>===⋅，因此，直线EF 和1CB 所成角为6π.考点二线面角典例2．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，2ABC π∠=，22AB BC AD ===，E ，F 分别为边AB ，CD 上的动点，且EF BC ∥，G 是BC 的中点，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ．(1)求AE 为何值时，BD EG ⊥；(2)在（1）的条件下，求BD 与平面ABF 所成角的正弦值．【答案】(1)1 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用0BD EG ⋅=，得出1AE =；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法得出BD 与平面ABF 所成角的正弦值． (1)沿EF 将梯形ABCD 翻折后，以E 为原点，以EB 所在直线为x 轴，EF 所在直线为y 轴，EA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.设,(0,2)EA t t =∈，则(0,0,0),(0,0,),(2,0,0)E A t B t -，(0,1,),(2,1,0)D t G t -(2,1,)BD t t ∴=-，(2,1,0)EG t =-,0BD EG BD EG ⊥∴⋅=，即2(2)10t --+=，解得1t =或3t =（舍）故当1AE =时，BD EG ⊥(2)在（1）的条件下，(0,0,1)A ，3(1,0,0),0,,0,(0,1,1)2B F D ⎛⎫ ⎪⎝⎭3(1,1,1),(1,0,1),1,,02BD BA BF ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭设平面ABF 的法向量为(,,1)n a b =，由0,0n BA n BF ⋅=⋅=，解得21,3a b == 故21,,13n ⎛⎫= ⎪⎝⎭设BD 与平面ABF 所成角为θ，则sin cos ,BD n θ=1||||3BD n BD n -+⋅===⋅⋅ 故BD 与平面ABF . 变式2-1．如图所示的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，E ，F 分别是棱BC ，CD 上的点，且2BE EC =，2DFFC =，点G 为棱1CC 上的动点，13AA =，1O 为上底面1111D C B A 的中心，1AO ∥平面EFG .(1)求CG 的长度；(2)求直线1BO 与平面EFG 所成的角的正弦值. 【答案】(1)1(2)11【解析】【分析】（1）假设当1CG =时，1AO ∥平面EFG ，连11A C ，取棱AC 的中点O ，连1OC ，得到11AO OC ∥，设OC EF H ⋂=，连接GH ，易证1AO HG ∥，再利用线面平行的判定定理证明；（2）分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，求得平面EFG 的一个法向量为(),,n x y z =，设直线1BO 与平面EFG 所成的角为α，由111sin cos ,n BO n BO n BO α⋅==求解. (1)解：假设当1CG =时，1AO ∥平面EFG ，如图所示，连11A C ，因为1O 为上底面的中心，所以1O 是棱11A C 的中点. 连AC ，取棱AC 的中点O ，连1OC ，则11AO OC ∥，设OC EF H ⋂=，连接GH ，由2BE EC =，2DF FC =；得13CH CO =，又因为113CG CC =，所以1OC HG ∥，所以1AO HG ∥，又因为GH ⊂平面EFG ，1AO ⊄平面EFG ，所以1AO ∥平面EFG ，所以假设成立，即1CG =. (2)由题可知DA ，DC ，1DD 两两相互垂直，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则2,2,03E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，40,,03F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,2,1G ，()11,1,3O ，()2,2,0B ，所以()11,1,3BO =--，22,,033EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，2,0,13EG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面EFG 的一个法向量为(),,n x y z =，则0,0,n EF n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()22,,,,00332,,,0,103x y z x y z ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，令3x =，得3y =-，2z =，所以()3,3,2n =-，设直线1BO 与平面EFG 所成的角为α，则111sin cos ,n BO n BO n BO α⋅==，=. 变式2-2．如图，三棱锥P －ABC 中，PAB △为正三角形，侧面P AB 与底面ABC 所成的二面角为150°，AB ＝AC ＝2，AB AC ⊥，E，M ，N 分别是线段AB ，PB 和BC 的中点.(1)证明：平面PEN ⊥平面ABC ；(2)求直线PN 与平面MAC 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）由PAB △为正三角形，可得PE AB ⊥，再由三角形中位线定理结合已知条件可得EN AB ⊥，再由线面垂直和面面垂直的判定可得结论，（2）以E 为原点，EB 、EN 所在的直线分别为x 、y 轴，过点E 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可 (1)由PAB △为正三角形，E 是AB 的中点，则知PE ⊥AB ，因为E ，N 分别是线段AB 和BC 的中点，所以EN ∥AC ，因为AB ⊥AC ，所以EN ⊥AB ，又PE EN E ⋂=，所以AB ⊥平面PEN ，因为AB 平面ABC 所以平面PEN ⊥平面ABC . (2)由（1）知，∠PEN ＝150°，以E 为原点，EB 、EN 所在的直线分别为x 、y 轴，过点E 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B （1，0，0），C （－1，2，0），A （－1，0，0），30,2P ⎛- ⎝⎭，13,24M ⎛- ⎝⎭，N （0，1，0），∴50,,2PN ⎛= ⎝⎭，33,24AM ⎛=- ⎝⎭，()0,2,0AC =，设平面MAC 的法向量为(),,n x y z =，则00n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2033024y x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，令x ＝1，则y ＝0，z =-(1,0,n =-，设直线PN 与平面MAC 所成角为θ，则sin cos ,7PN n PN n PN nθ⋅====故直线PN 与平面MAC变式2-3．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1222AC AB AA ===，11A B AB M =，11A B B C ⊥.(1)求证：AB AC ⊥；(2)若点N 在线段1A C 上，满足MN ∥平面ABC ，求直线1B N 与平面1A BC 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)49【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明出AC ⊥平面11AA B B ，即可证明AC AB ⊥. （2）连接1A C ，MN ，1B N .先证明出N 为1A C 的中点.以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. (1)∵111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA ⊥平面ABC ，∴1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，又1AA AB =，所以四边形11AA B B 为正方形， ∴11A B AB ⊥，又11A B B C ⊥，111AB B C B ⋂=， ∴1A B ⊥平面1AB C ，又AC ⊂平面1AB C ，∴1A B AC ⊥，又1AC AA ⊥，111A B AA A ⋂=，∴AC ⊥平面11AA B B ，又AB 平面11AA B B ， ∴AC AB ⊥. (2)连接1A C ，MN ，1B N .∵MN ∥平面ABC ，又MN ⊂平面1A BC ，平面1A BC 平面ABC BC =， ∴MN BC ∥.又M 为1A B 的中点，∴N 为1A C 的中点.如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,1A ，()1,0,0B ，()0,2,0C ，()11,0,1B ，10,1,2N ⎛⎫⎪⎝⎭.∴111,1,2B N ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭设平面1A BC 的法向量为(),,n x y z =，又()11,0,1A B =-，()10,2,1AC =-，由1100n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得020x z y z -=⎧⎨-=⎩，不妨取z =2，所以平面1A BC 的一个法向量为()2,1,2n =∴直线1B N 与平面1A BC 所成角θ的正弦值为11124sin cos ,3932B N n B N n B N nθ⋅====⨯.考点三二面角典例3．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 是矩形，AC AB ⊥，12AB AA ==，3AC =，1120A AB ∠=︒，E ，F 分别为棱11A B ，BC 的中点，G 为线段CF 的中点．(1)证明：1//AG 平面AEF ； (2)求二面角A EF B --的余弦值．【答案】(1)证明见解析；【解析】【分析】（1）作图，由对应比例证明1//OF A G ，即可证明1//AG 平面AEF ；（2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，从而得对应平面向量的坐标，求解出法向量，利用向量夹角计算公式代入计算. (1)连接1A B ，交AE 于点O ，连接OF ，由题意，四边形11ABB A 为平行四边形，所以11AB A B =，因为E为11A B 中点，∴112A E AB =，∴1AOE BOA △△，且相似比为12，∴112AO OB =，又∵F ，G 为BC ，CF 中点，∴12GF BF =，∴1//OF A G ，又OF ⊂平面AEF ，1AG ⊄平面AEF ，∴1//AG 平面AEF .(2)连接1AB ，因为1120A AB ∠=︒，12AB AA ==，所以11AB A B ⊥，112,AB A B ==间直角坐标系，则()()1130,1,0,,,0,,222A B E F ⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则333313,,0,,,0,3,1,22222AE BE EF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平面AEF 和平面BEF 的法向量分别为()()111222,,,,,m x y z n x y z ==，则{AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅m ⃑⃑ =0EF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅m ⃑⃑ =0⇒{√32x 1−32y 1=0−√3x 1+y 1+32z 1=0⇒m ⃑⃑ =(3√3,3,4)，{BE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =0EF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =0⇒{3√32x 2−12y 2=0−√3x 2+y 2+32z 2=0⇒n ⃑ =(√3,9,−4)，所以927cos ,13213m n m n m n⋅+===，因为二面角A EF B --的平面角为锐角，所以二面角A EFB --.【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.变式3-1．如图，ABC中AB BC⊥，且2=，将AEF沿中位线EF折起，使得AE BEAB BC⊥，连结AB，AC，M为AC的中点.(1)证明：MF⊥平面ABC；(2)求二面角E MF C--的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由勾股定理以及等腰三角形的性质得出FM AC⊥，MF BM⊥，再由线面垂直的判定证明即可；（2）以点E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，由向量法得出面面角. (1)设2BC =，则1,2,EF AE BE AF FC =====,AE EF AE BE ⊥⊥，EFBE E =，AE ⊥平面BCFEEC ⊂平面BCFE ，AE EC ∴⊥连接BM ，BF，AC AE ==2,BC AB ==222,AC BC AB BC AB ∴=+⊥12BM AC ∴==MF BF ===222BF MF BM ∴=+，即MF BM ⊥又,AF FC FM AC =∴⊥BM AC M ⋂=，∴MF ⊥平面ABC(2),,AE BE AE EF EF BE ⊥⊥⊥，∴以点E 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系(0,0,2),(2,2,0),(1,1,1)(0,1,0),(0,0),0,A C M F E(1,0,1),(1,1,1),(2,1,0)MF EM FC ∴=--==设平面EMF 的法向量为()111,,n x y z =，平面MFC 的法向量为()222,,m x y z =11111000x z MF n x y z EM n ⎧--=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨++=⋅=⎩⎪⎩，令11z =-，则(1,0,1)n =- 同理可得(1,2,1)m =--，2cos ,||||32m n m n m n ⋅〈〉===⋅⨯ 又二面角E MF C --为钝角，故二面角E MF C --的余弦值为变式3-2．如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB DC ∥，90DAB ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M 是棱PB 的中点.(1)证明：平面PAD ⊥平面PCD ；(2)求平面AMC 与平面BMC 的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)23【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证明DC ⊥平面P AD ，再根据面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面PCD ；（2）建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，继而求得相关向量的坐标，再求出相关平面AMC 和平面BMC 的法向量，根据向量的夹角公式求得答案 (1)∵PA ⊥底面ABCD ，DC ⊂底面ABCD ，∴PA DC ⊥,又由题设知AD DC ⊥，且直线P A 与AD 是平面P AD 内的两条相交直线， ∴DC ⊥平面P AD .又DC ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PCD . (2)∵PA AD ⊥，PA AB ⊥，AD AB ⊥，∴以A 为坐标原点，以AD 为x 轴，以AB 为y 轴，以AP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0A ，()0,2,0B ，()1,1,0C ，()0,0,1P ,10,1,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，10,1,2AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(1,1,0)AC =,设平面AMC 的法向量为()1,,n x y z =，则由1100n AM n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1020y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得2z y x y =-⎧⎨=-⎩，令1y =，得()11,1,2n =--为平面AMC 的一个法向量.由10,1,2BM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,0,2MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,设平面BMC 的一个法向量为()2,,n a b c =，则2200n BM n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即102102b c a c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令1a = ,可得平面BMC 的一个法向量为()21,1,2n =. ∴1212122cos ,3n n n n n n ⋅==-, 故所求平面AMC 与平面BMC 的夹角的余弦值为23.变式3-3．如图，三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA AC ⊥，AB AC ⊥，2AB AC ==，4PA =，点M 是P A 的中点，点D 是AC 的中点，点N 在PB 上，且2PN NB =.(1)证明：BD 平面CMN ；(2)求平面MNC 与平面ABC 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)23【解析】【分析】建立如图所示空间直角坐标系，得到相关点和相关向量的坐标, （1）求出平面CMN 的法向量，利用BD n =0证明即可；（2）由（1）知平面CMN 的法向量，再求平面ABC 的法向量，利用向量的夹角公式即可求解. (1)证明：三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA AC ⊥，AB AC ⊥∴分别以AB ，AC ，AP 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系∵2AB AC ==，4PA =，点M 是P A 的中点，点D 是AC 的中点，点N 在PB 上且2PN NB =∴()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2M ，44,0,33N ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0D设平面CMN 的法向量()000,,n x y z =，()0,2,2CM =-，44,2,33CN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2,1,0BD =-，由00000220442033n CM y z n CN x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩得00012x zy z ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 令02z =- 得0012x y =-⎧⎨=-⎩ ∴()1,2,2n =---∵()()2,1,01,2,20BD n ⋅=-⋅---= ∴BD n ⊥又BD ⊄平面CMN ∴BD 平面CMN ； (2)PA AB ⊥，PA AC ⊥，AB AC A ⋂=∴PA ⊥平面ABC∴PA 为平面ABC 的法向量 ()0,0,4AP =则AP 与n 的夹角α的补角是平面ABC 与平面CMN 所成二面角的平面角θ82cos cos 433AP n AP nθα⋅-=-=-=-=⨯⋅. ∴平面MNC 与平面ABC 所成角的余弦值为23.巩固练习练习一线线角1．如图，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB ⊥AC ，AB =AC =2，AA 1=4，点D 是BC 的中点，求异面直线 A 1B 与C 1D 所成角的余弦值.【解析】【分析】建立空间直角坐标系,利用空间向量法求解. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系：则()()()()110,0,4,2,0,0,0,2,4,1,1,0A B C D ，所以()()112,0,4,1,1,4A B C D =-=--，设异面直线 A 1B 与C 1D 所成的角为θ，所以111111cos cos ,25A B C D A B C D A B C Dθ⋅====⋅. 2．如图，直棱柱111,ABC A B C -在底面ABC 中，1,90CA CB BCA ∠===，棱12,,AA M N =分别为111,A B A A 的中点.（1）求异面直线1BA ､1CB 成角的余弦值；（2）求证：BN ⊥平面1C MN .【答案】（1（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据条件中的垂直关系，以点C 为原点，建立空间直角坐标系，求向量1BA 和1CB 的坐标，再根据公式11cos ,BA CB <>的值；（2）利用向量数量积证明11,C M BN C N BN ⊥⊥，证明线面垂直. 【详解】（1）如图所示，以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz -，依题意得()()()()()110,1,0,1,0,1,1,0,2,0,0,0,0,1,2,B N A C B()()111,1,2,0,1,2BA CB ∴=-= ()111011223BA CB ∴⋅=⨯+-⨯+⨯= 又116,5BA CB ==11111130cos<,10BA CB BA CB BA BB⋅∴>==故11,BA CB （2）证明：依题意得()()()()11111,0,2,0,0,2,0,1,0,1,0,1,,,2,22A CB N M ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()1111,,0,1,0,1,1,1,122C M CC N BN ⎛⎫∴==-=- ⎪⎝⎭()()()111111010,11011122C M BN C N BN ∴⋅=⨯+⨯-+⨯=⋅=⨯+⨯-+-⨯=0,11,C M BN C N BN ∴⊥⊥11,BN C M BN C N ∴⊥⊥又：1111,C M C N C C M ⋂=⊂面11,C MN C N ⊂面1C MNBN ∴⊥平面1.C MN3．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2,,,AC AB A A AB AC D E F ⊥===分别为1,,AB BC BB 的中点.（1）证明：//DF 平面11AB C ；（2）证明：11AFB E ⊥；（3）求异面直线111A F B C 与所成角的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3 【解析】【分析】（1）通过证明1//DF AB 来证得//DF 平面11AB C .（2）建立空间直角坐标系，利用向量法证得11AFB E ⊥. （3）利用向量法求得异面直线1A F 与11BC 所成角的余弦值. 【详解】（1）在三角形1ABB 中，,D F 分别是1,AB BB 的中点，所以DF 是三角形1ABB 的中位线，所以1//DF AB ，由于DF ⊂平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ，所以//DF 平面11AB C . （2）以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()1110,0,2,0,2,1,0,2,2,2,0,2,1,1,0A F B C E ，所以()()110,2,1,1,1,2A F B E =-=--，11220A F B E ⋅=-+=，所以11A F B E ⊥，即11AF B E ⊥.（3）()()1110,2,1,2,2,0A F B C =-=-，设异面直线1A F 与11B C 所成角为θ，则1111cos 55A F B E A F B Eθ⋅===⋅. 所以异面直线1A F 与11B C4．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是1DD ，BD ，1BB 的中点.（1）求证：EF CF ⊥；（2）求EF 与CG 所成角的余弦值；（3）求CE 的长.【答案】（1）证明见解析；（2（3【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，证明0EF CF ⋅=即可；（2）求出cos cos ,EF CG EF CG EF CGθ⋅=<>=⋅即可；（3）利用空间两点间距离公式即可求出. 【详解】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()11110,0,,,,0,0,1,0,1,1,2222E F C G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）111,,222EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,022CF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则111110022222EF CF ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯+⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, EF CF ∴⋅，∴EF CF ⊥；（2）设EF 与CG 所成角为θ，111,,222EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,0,2CG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1cos cos ,153EF CG EF CG EF CGθ⋅=<>===⋅所以EF 与CG（3）CE ==练习二线面角5．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ⊥底面11,60,ABC AA BAA ABC =∠=︒为等腰直角三角形，2AC BC ==．(1)若O 为AB 的中点，求证：1CO AA ⊥； (2)求直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】(1)根据题意可得CO AB ⊥，由面面垂直的性质可得CO ⊥平面11AA B B ，结合线面垂直的性质即可证明；(2)建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面11ACC A 的法向量和1BC ，结合空间向量的数量积计算即可. (1)ABC 为等腰直角三角形，2AC BC ==，由O 为AB 的中点，CO AB ∴⊥，又平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B 平面ABC AB =．CO ∴⊥平面11AA B B ，又1AA ⊂平面111AA B B CO AA ∴⊥，． (2)ABC为等腰直角三角形，2AC BC AB ==∴=，又11260AA BAA =∠=︒∴，四边形11AA B B 为菱形，1AA B 为正三角形，1A O AB ∴⊥，又平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B 平面ABC AB =，1AO ∴⊥平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，1(0,A B C A ，，，，111(2,BC BC CC BC AA =+=+=+=．又1(2,2,0)(0,2,AC AA ==，，设(,,)n x y z =是平面11ACC A 的一个法向量，则100n AA n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,0,+== 令1z =，则(3,x y n ===-．设直线1BC 与平面11ACC A 所成的角为θ，则1201sin cos ,7n BC θ⨯+===．6．如图，已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AB CD ∥，1AB =，1BC =，2CD =，点A 在平面PCD 内的投影恰好是△PCD 的重心G ．(1)求证：平面PAB ⊥平面PBC ；(2)求直线DG 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；. 【解析】【分析】（1）通过线线垂直先证明BC ⊥平面PAB ，即可由线面垂直证明面面垂直；（2）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，即可由向量法求得线面角的正弦值. (1)因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，因为90ABC ∠=︒，所以BC AB ⊥，因为PA AB A =，PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，又因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBC ． (2)取CD 中点E ，连接AE ，因为90ABC ∠=︒，AB CD ∥，1AB BC ==，2CD =，所以四边形ABCE 是矩形，所以AB AE ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AE ⊥，所以AB 、AE 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系：(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)E ，(1,1,0)D -，设(0,0,)(0)P t t >，则20,,33t G ⎛⎫⎪⎝⎭，20,,33t AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11,,33t CG ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11,,33t DG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为点A 在平面PCD 内的投影恰好是△PCD 的重心G ，所以AG CG ⊥，所以0CG AG ⋅=，所以220099t -+=，t =(0,1,0)BC =，(1,0,PB =，令(2,0,1)m =，因为0BC m ⋅=，0PB m ⋅=，所以m 是平面PBC 的法向量，DG 的方向向量是11,,33DG ⎛=- ⎝⎭，所以直线CG 与平面PBC 所成角θ的正弦值为||3sin |cos ,|3||||3m DG m DG m DG θ⋅=〈〉===⋅. 故直线DG 与平面PBC 所成角的正弦值为3. 7．已知平行四边形ABCD ，2AB =，1BC =，3A π∠=，点E 是AB 的中点，沿DE 将ADE 翻折得PDE △，使得PC =，且点F 为PC 的中点.(1)求证：BF ∥平面PDE ；(2)求直线PE与平面BCDE 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)34【解析】【分析】（1）取PD 的中点H ，证明四边形FHEB 为平行四边形，由线面平行判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可.(1)取PD 的中点H,连接EH,HF∵F ，H 分别为PC ，PD 的中点，∴1//2FH CD FH CD =，又∵E 为AB 的中点，∴1//,2EB CD BE CD =，∴//,FH EB FH EB =，∴FHEB 为平行四边形，∴FB HE ∥，又∵BF ⊄面PDE ，HE ⊂面PDE ，∴BF ∥平面PDE .(2)∵2AB =，1AD =，3A π∠=，∴AD BD ⊥，如图建立平面直角坐标系：令(),,P x y z ，由条件可知()1,0,0A，()B，12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()C -，由11PD PE PC ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，∴()(22222222211121014x y z x y z x y z ⎧++=⎪⎪⎛⎪⎛⎫-++= ⎨ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪+++=⎩，∴1834x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴1384P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.∴53,884EP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，又∵面BCDE 的法向是()0,0,1m =，记PE 与面BCDE 所成角为θ. ∴||3sin 4||EP n n →→→⋅==θ，即PE 与面BCDE 所成角的正弦值为34.8．如图1，在△MBC 中，24,BM BC BM BC ==⊥，A ，D 分别为棱BM ，MC 的中点，将△MAD沿AD 折起到△P AD 的位置，使90PAB ∠=，如图2，连结PB ，PC ，BD ．(1)求证：平面P AD ⊥平面ABCD ；(2)若E 为PC 中点，求直线DE 与平面PBD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；【解析】【分析】(1)推导出PA AD ⊥，PA AB ⊥，利用线面垂直的判定定理可得PA ⊥平面ABCD ，再利用面面垂直的判定定理即可证明；(2)以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A xyz -，利用向量法即可求出直线DE 与平面PBD 所成角的正弦值.(1)由题意知，因为点A 、D 分别为MB 、MC 中点，所以//AD BC ，又BM BC ⊥，所以BM AD ⊥，所以PA AD ⊥.因为90PAB ︒∠=，所以PA AB ⊥，又AB AD A ⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ，又PA ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)因为PA AB ⊥，PA AD ⊥，90PAB ︒∠=，所以AP AB AD 、、两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A xyz -，(0,0,0)(2,0,0)(2,2,0)(0,1,0)(0,0,2)(1,1,1)A B C D P E ，，，，，，则(1,0,1)(2,1,0)(2,0,2)DE BD BP ==-=-，，，设平面PBD 的一个法向量为()n x y z =，，，则0202200n BD x y x z n BP ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，令2y =，得11x z ==，，所以(1,2,1)n =，设直线DE 与平面PBD 所成角为θ，则1sin cos 2DE n DE n DE n θ⋅====，所以直线DE 与平面PBD练习三二面角9．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB DC ∥，AB AD ⊥，224CD AB AD ===，四边形11ADD A 为菱形，1A 在平面ABCD 内的射影O 恰好为AD 的中点，M 为AB 的中点.(1)求证：BC ⊥平面1AOM ； (2)求平面11A BC 与平面11AA D D 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）先证明1A O BC ⊥，BC OM ⊥，即可证明BC ⊥平面1AOM ；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.(1)因为O 为1A 在平面ABCD 内的射影，所以1A O ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以1A O BC ⊥.如图，连接BD ，在Rt △ABD 中，BD =设CD 的中点为P ，连接BP ，因为//AB DC ，AB AD ⊥，224CD AB AD ===，所以BP CD ⊥，且2BP PC ==，则BC =因为22216BD BC CD +==，所以BC BD ⊥，易知//OM BD ，所以BC OM ⊥.因为1A O ⊂平面1AOM ，OM ⊂平面1AOM ，1A O OM O ⋂=，所以BC ⊥平面1AOM . (2)由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，所以可以点O 为坐标原点，以OA ，1OA ，所在直线分别为x ，z ，以平面ABCD 内过点O 且垂直于OA 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,2,0B，(1A ，()1,4,0C -，(12,C -所以(1,0,0)OA =,1OA =,(11,2,A B =，(1BC =-，设平面11AA D D 的法向量为()111,,m x y z =，0m OA ⋅=，10m OA ⋅=，则110,0,x =⎧⎪=可取平面11AA D D 的一个法向量为()0,1,0m =. 设平面11A BC 的法向量为()222,,n x y z =，10n BC ⋅=，10n A B ⋅=，则222222320,20,x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩令2y 11A BC的一个法向量为()23,n =.设平面11A BC 与平面11AA D D 的平面角为α，由法向量的方向可知α与法向量的夹角大小相等，所以3cos 311m nm n α⋅===⨯⋅，所以平面11A BC 与平面11AA D D . 10．如图所示，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD为菱形，SAD 为等边三角形，120ABC ∠=︒，点S 在平面ABCD 内的射影O 为线段AD 的中点.(1)求证：平面SOB ⊥平面SBC ；(2)已知点E 在线段SB 上，32SE BE =，求二面角B OE C --的余弦值.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）证明OB BC ⊥和OS BC ⊥，利用线面垂直的判定定理证明出BC ⊥平面SOB ，再利用面面垂直的判定定理证明出平面SOB ⊥平面SBC .（2）以,,OA OB OS 为正方向建立空间直角坐标系O xyz -，用向量法求解.(1)（1）如图，连接BD .在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，故ABD △为等边三角形.因为O 为AD 的中点，所以OB AD ⊥.因为AD BC ∥，所以OB BC ⊥.由条件可知SO ⊥底面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，所以OS BC ⊥，因为OS OB O =，OS ，OB ⊂平面SOB ，所以BC ⊥平面SOB .因为BC ⊂平面SBC ，故平面SOB ⊥平面SBC .(2)因为SO ⊥底面ABCD ，OB AD ⊥，所以可以以,,OA OB OS 为正方向建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设1OA =，则OS OB =因为()0,0,0O ，()B ，()C -，(S ，所以()OC =-.由32SE BE =，得35OE OS SB ⎛=+= ⎝⎭，设(),,m x y z =是平面OEC 的法向量，由{OE ⃑⃑⃑⃑⃑ ·m ⃑⃑ =0OC ⃑⃑⃑⃑⃑ ·m ⃑⃑ =0得32020y z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令2y =，则x =3z =-，则()3,2,3m =-，又因为平面BOE 的一个法向量为()1,0,0n =，所以cos ,3m n m n m n ⋅===+，故由图可知二面角B OE C --的平面角为锐角，所以二面角B OE C -- 11．如图，在直棱柱111ABC A B C -中，1CA CB ==，90BCA ∠=︒，12AA =，,M N 分别是11A B ，1AA 的中点.(1)求BN 的长；(2)求证：11A B C M ⊥；(3)求二面角11A BC B --的余弦值.【答案】(2)证明见解析【解析】【分析】（1）以点C 为原点建立空间直角坐标系，求得向量BN 的坐标求解；（2）求得向量1A B ，1C M 的坐标，利用向量的数量积运算求解；（3）先求得平面1A BC 的一个法向量(,,)n x y z =，易知(1,0,0)CA =为平面1B BC 的一个法向量，再由cos<n CA n CA n CA ⋅⋅>=⋅求解.(1) 解：依题意，以点C 为原点建立空间直角坐标系（如图），则(1,0,0)A ,(0,1,0)B ，(0,0,0)C ，11(,,2)22M ，(1,0,1)N ,1(1,0,2)A ,1(0,1,2)B ,1(0,0,2)C ，所以向量(1,1,1)BN =-则21BN ==(2) 向量1(1,1,2)A B =--，向量111(,,0)22C M =，因为11A B C M ⋅()11112022=-⨯+⨯+-⨯0= ，所以11A B C M ⊥ 所以11A B C M ⊥；(3)向量1(1,1,2)A B =--，向量()11,0,2AC =--，设(,,)n x y z =为平面1A BC 的一个法向量，则1100A B n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y z x z -+-=⎧⎨--=⎩, 不妨令2x =-，可得(2,0,1)n =-，又(1,0,0)CA =为平面1B BC 的一个法向量，则cos<n CAn CA n CA⋅⋅>=⋅= 12．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，4AB =，AD EF ∥，2AF EF ==，90FAD AEC ∠=∠=︒.(1)证明：AF ⊥平面ABCD ；(2)求二面角B ED C --的正弦值．【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）取AD 的中点为M ，连接EM ，易证AE ⊥平面ECD ，得到AE CD ⊥，再由CD AD ⊥，得到CD ⊥平面ADEF ，进而得到CD AF ⊥，再利用线面垂直的判定定理证明；（2）连接BE ，BD，以A 为原点，AB ，AD ，AF 所在方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得平面BED 的一个法向量(),,m a b c =和平面CED 的一个法向量(),,n x y z =，然后由cos ,n m n m n m ⋅=求解. (1)证明：取AD 的中点为M ，连接EM ，则2EF AM AF ===，又90FAD ∠=︒，//AD EF ，故四边形AFEM 为正方形，故2EM AM MD ===，故90AED ∠=︒，又AE EC ⊥，EC ED E =，故AE ⊥平面ECD ，则AE CD ⊥．又CD AD ⊥，AE AD A =，故CD ⊥平面ADEF ，则CD AF ⊥．又AF AD ⊥，AD CD D =，AD ，CD ⊂平面ABCD ，故AF ⊥平面ABCD ．(2)连接BE ，BD ，以A 为原点，AB ，AD ，AF 所在方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，如图：则B （4，0，0），C （4，4，0），D （0，4，0），E （0，2，2），则()4,4,0BD =-，()4,2,2BE =-，()4,0,0CD =-，()0,2,2DE =-．设平面BED 的一个法向量为(),,m a b c =．则0,0,m BD m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即440,4220,a b a b c -+=⎧⎨-++=⎩令1a =，则()1,1,1m =．设平面CED 的一个法向量为(),,n x y z =，则0,0,n CD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即40,220,x y z -=⎧⎨-+=⎩令1y =，则()0,1,1n =，2cos ,32n m n m n m ⋅===⨯，则3sin ,3n m =，故二面角B ED C --。

高中数学第二章空间向量与立体几何2.5.3直线与平面的夹角10121数学

(1)证明：平面 POD⊥平面 PAC； (2)求二面角 B－PA－C 的余弦值．
12/13/2021
• [证明] 解法1：(1)连接OC，因为OA＝OC，
D是AC的中点，所以AC⊥OD．
• 又PO⊥底面⊙O，AC 底面⊙O，所以 AC⊥PO，因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥ 平面POD，而AC
12/13/2021
设平面 ADE 法向量 n2＝(x2，y2，z2)，则 n2·D→E＝n2·A→D＝0 解得：n2＝(1,0， 2) 设平面 ABD 与平面 ADE 夹角为 θ，
cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝1＋4×0＋32＝
3 2
∴平面 ABD 与平面 ADE 的二面角平面角为π6.
5.3直线与平面的夹角
12/13/2021
• 1．共面直线的夹角 • 当角两中条，直范线围在l1与__l2_共_面_[0_，时_π2_]，__我__们内把的两角条叫直作线两交直
线的夹角． • 2．异面直线的夹角 • 当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取
一点A作AB∥l2，我们把直线l1与直线AB的夹角叫作异面直线l1和l2的夹角．
12/13/2021
4．平面夹角的概念在两个平面所成的二面角的平面角中，称范围在 ___[_0_，__π2_]____ 内的角为两个平面的夹角． 5．平面夹角的求法设平面 α 与平面 β 的法向量分别为 n1 与 n2，两平面的夹角为 θ.当 0≤〈n1，n2〉≤π2时，θ＝_〈__n_1_，__n_2_〉___；当π2<〈n1，n2〉≤π 时，θ＝_π_－__〈__n_1，__n__2〉_．即 cosθ＝|_c_o_s〈__n_1_，__n_2_〉_.|

立体几何中的夹角、距离、向量归纳

D BA C α一、空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角 1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π。

（2）求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决（3）具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角 2、直线与平面所成的角（1）直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。

（2）求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

（3）具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。

3、二面角（1）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指],0(π，解题时要注意图形的位置和题目的要求。

（2）作二面角的平面角常有三种方法图一图二图三 ①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；如图一示②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；如图二示③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角如图三示1、点到直线的距离：点Ｐ到直线a 的距离为点Ｐ到直线a 的垂线段的长，常先找或作直线a 所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作a 的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a 的距离。

在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可。

例1、在△ABC 中，AB=2，BC=3，AC=4，求点A 到BC 的距离。

解：作BC AD ⊥，垂足为D ，又 AB=2，BC=3，AC=4， 874322432cos 222222=⨯⨯-+=⋅-+=∴BC AC AB BC AC C815)87(1sin 2=-=∴C41538154321sin 4321=⨯⨯⨯=⨯⨯=∴∆C S ABC AD BC S ABC ⋅=∆21又 2153415322=⨯==∴∆BCS AD ABC∴点A 到BC 的距离为2152、点到平面的距离：点Ｐ到平面α的距离为点Ｐ到平面α的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为n m :，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n m :．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法例2、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，,22,2,51===AA BC AB E 在AD 上，且AE=1，F 在AB 上，且AF=3，（1）求点1C 到直线EF 的距离；（2）求点C 到平面EF C 1的距离。

立体几何五夹角的计算

空间向量在立体几何中的应用一：两直线的夹角：1.当两条直线1l 与2l 共面时，我们把两条直线交角中，范围在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的角叫作两直线的夹角．当直线1l 与2l 是异面直线时，在直线1l 上任取一点A 作AB ∥2l ，我们把直线1l 和直线AB 的夹角叫作异面直线1l 与2l 的夹角．异面直线的夹角的范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦.2. 直线夹角的向量计算方法：已知空间两条直线a ，b ，且A ，C 是直线a 上不同的两点，B ，D 是直线b 上不同的两点，设直线a ，b 的夹角θ由向量AC BD ，确定，满足||cos ||||AC BD AC BD θ⋅=⋅.要点诠释：空间两直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角.例1. 如图所示，在四棱锥P ABCD －中，底面是矩形，⊥底面. 是的中点，已知，，，求异面直线与所成的角的大小．【变式2】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB =2=，AC BC =，D 为1BB 的中点，若异面直线1AB 与CD 的夹角为，求AC 的长．要点二：平面间的夹角1. 平面间的夹角的定义：平面1π与2π相交于直线l ，点R 为直线l 上任意一点，过点R ，在平面1π上作直线1l ⊥l ，在平面2π上作直线2l ⊥l ，则12l l =R 。

我们把直线1l 和2l 的夹角叫做平面1π与2π的夹角.2. 平面间夹角的向量计算方法：设平面1π与2π的法向量分别为1n 和2n ，平面1π与2π的夹角为θ，则121212cos =cos =.θ⋅n n n n n n ，两平面的夹角范围是02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 3. “平面间的夹角”不同于“二面角” （1）二面角的有关概念半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫半平面.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 如图，可记作二面角--a αβ或--AB αβ.（2）区别：平面间的夹角二面角构成面-线-面半平面-线-半平面范围 02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， []0π，表示法语言叙述语言叙述或符号表示例2. 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，AF AB BC FE====12AD，求平面ACD和平面CDE的夹角的余弦值.变式：如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD DC=，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．(1)求证：PB⊥平面EFD；(2)求平面与平面的夹角的大小．三：直线和平面的夹角1.斜线与平面的夹角：平面的一条斜线与它在该平面内的射影的夹角叫作该直线与此平面的夹角.如图，l 是平面α的一条斜线，斜足为O ，OA 是l 在平面α内的射影，POA ∠就是直线l 与平面α的夹角.（1）直线和平面所成角的范围是02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.（2）最小角定理：斜线和射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角；2. 线面角的向量计算方法设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的角为ϕ，则有||sin |cos |||||θϕ⋅==⋅a u a u .例3. 如图，在正四面体ABCD 中，E 为AD 的中点，求直线CE 与平面BCD 成的角．变式:四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，45ABC =∠，2AB =，22BC =，侧面SBC ⊥底面ABCD ．3SA SB ==．（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的正弦值．DBCAS变式:如图，四棱锥P ABCD -中，AB AP =，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，4AB AD +=，CD =2，45CDA ∠=︒．若直线PB 与平面PCD 所成的角为︒30，求线段AB 的长.习题1：如图，在ABC ∆中，ABC ∠︒=60，90,BAC ∠=︒AD BC 是上的高，沿AD 把ABD 折起，使090BDC ∠=. 设E 为BC 的中点，求AE与DB 夹角的余弦值.习题2：如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥AC ，D E 、分别为11AA B C 、的中点，DE ⊥平面1BCC ，若平面ABD 和平面BCD 为60°,求1B C 与平面BCD 的夹角的大小.。

3.2立体几何中的向量方法-夹角

0
题型一：利用空间向量求线线角、线面角
【例 1】(2010· 课标全国)如图，已知四棱椎 P－ABCD 的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点． (1)证明：PE⊥BC； (2)若∠APB＝∠ADB＝60° ，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值．解：以 H 为原点，HA，HB，HP 分别为 x，y，z 轴，线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则 A(1,0,0)B(0,1,0)． (1)证明：设 C(m,0,0)， P(0,0，n)(m<0，n>0)，

※注：由于两条直线所成的角，线面角都是锐角或直角，因此可直接通过绝对值来表达，故可直接求出，而二面角的范围是[0，π]，有时比较难判断二面角是锐角还是钝角，因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断，故这是求二面角的
题型一：利用空间向量求线线角、线面角空间中的角题目如下：
【例 1】(2010· 课标全国)如图，已知四棱椎 P－ABCD 的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点． (1)证明：PE⊥BC； (2)若∠APB＝∠ADB＝60° ，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值．解：以 H 为原点，HA，HB，HP 分别为 x，y，z 轴，线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则 A(1,0,0)B(0,1,0)． (1)证明：设 C(m,0,0)， P(0,0，n)(m<0，n>0)，
0
2012•山东18题
由已知线线平行关系面EFG//面ABCD.由EA 面ABCD EA 面EFG. Z E Z F Z G, 设G （x，， 0 z），AC=m，AD=n D(0，n，， 0) C （m，0,0） n 1 1 m M (0，，， 0) B(m， -n，。又 0) EG // AC EG // AC （x，0,0）（ = ，0,0）。 2 2 2 2 m m m n x=（，0,z） G （，0,z） GM （- ，，）。可表示出 -z AE =（0，， 0 z）， 2 2 2 2 AB =(m， -n，。由共面向量定理：只要 0) GM =p AE +q AB （）（p，q为未知数）即可。 m n 把（）代入整理（- ，，）（ -z = 0，0,pz） +(qm， -qn， 0)=(qm， -qn，pz) 2 2 m n 1 - =qm， =-qn， -z=pz q=- ，p=-1。故成立！ 2 2 2

空间向量夹角计算

空间向量夹角计算
空间向量夹角的ห้องสมุดไป่ตู้算可以通过以下步骤进行：
1.首先，确定两个空间向量的坐标。假设有两个向量A=(Ax,Ay,Az)和B=(Bx,By,Bz)。
2.计算两个向量的点积（也称为数量积或内积）。点积的计算公式为：
A⋅B=Ax×Bx+Ay×By+Az×Bz
3.计算两个向量的模（也称为长度或大小）。模的计算公式为：
∣A∣=Ax2+Ay2+Az2
∣B∣=Bx2+By2+Bz2
4.使用点积和模来计算两个向量之间的夹角θ。夹角的计算公式为：
cosθ=∣A∣×∣B∣A⋅B
5.最后，使用反余弦函数arccos来找到夹角θ的实际值。注意，由于arccos的值域是[0,π]，因此θ的值也将在这个范围内。
θ=arccos(∣A∣×∣B∣A⋅B)
这就是计算空间向量夹角的方法。

3.2.4立体几何中的向量方法求夹角

30 . 10
42
所以 B D与1 所A F成1 角的余弦值为
30 10
[题后感悟] 如何用坐标法求异面直线所成的角？
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；
(3)利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角；
(4)结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角．
别为X轴、Y轴、Z轴，建立空间直角坐标系，设BE=m，则 A ( 0 ,0 ,0 ) ,P ( 0 ,0 ,1 ) ,D (3 ,0 ,0 ) ,E ( m ,1 ,0 ) ,
2、二面角
①方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）
的夹角。如图（2），设二面角l 的大小为
其中AB l,A B ,C D l,C D
cos cosAB,CD ABCD
B
ABCD

A
C
D
L

2、二面角
②法向量法如将图，二向面量角转n 化为，二m 面角的两，个面的法向量的夹角。
(3)向量求法:设直线l的方向向量为 a ,平面的法
向量为 u ,直线与平面所成的角为 , a 与 u 的
夹角为 ,则有
cos |cos||au| 或 cossin
|a||u|
如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1 的底面边长为a，侧棱长为 2a，求AC1与侧面 ABB1A1所成角的大小．
平面 A B C 的法向量平移到 A 1 B 1 C 1 位置，已知
BCCACC1，取 A 1B 1 、 A 1 C 1 的中点 D 1 、 F 1 ，

选2-13.2立体几何中的向量方法(夹角问题)

∴AE⊥平面DBC，
∴∠ADE即为AD与平面CBD所成的角。
E
∵AB＝BD，∠CBA=∠DBC，EB＝EB
∴∠ABE＝∠DBE
∴△DBE≌△ABE
∴DE⊥CB且DE＝AE
∴∠ADB＝45°
∴AD与平面CBD所成的角为45°
（2）由（1）知CB⊥平面ADE ∴AD⊥BC即AD与BC所成的角为90°
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°. (2)证明由AM (1 ,1, 1),CE (1,0,1), AD (0,2,0),
22
可得CE AM 0，CE AD 0.因此CE AM,CE AD. 又AM∩AD=A，故CE⊥平面AMD.而CE 平面
CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.
求法向量坐标
求两法向量夹角
定值
例5 如图5，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD
中，AD//BC，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，
SA 1 , AB=BC=1， AD 1 .
2
2
求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦。
z S
A
By
D
x
C
图5
解：以A为原点如图建立空间直角坐标系，
则
S
例3 如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，
侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD= 3，在线段BC
上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450? 若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。
P
Az By
E
D
C
x
设BE=m，则 A(0, 0, 0), P(0, 0,1), D( 3, 0, 0), E(m,1, 0),

用空间向量研究夹角问题

知识回顾
单位向量：
b
b

( x, y , z )
x y z
2
2
2
(
x
x y z
2
2
2
y
,
x y z
2
2
2
,
投影向量:
a cos
b
b
(a
a b
ab
)
b
(
a b
b
)
b
b
b
a
b
投影:
a cos a
a b
ab

a b
b
b
(a
b
b
)
b
(1)建立适当的空间直角坐标系.
(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.
(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.
(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.
2.求两条异面直线所成的角的两个关注点.
(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而
对应的方向向量的夹角可能为钝角.
谢谢
再见
u
直线与平面的夹角
sin = cos < , > =
l1
v
n
·

=
·

B

C

平面与平面的夹角
n2
cos = cos < 1, 2 > =
1·2
1 2
=
1·2
1 2

n1

5.布置作业
教科书习题1.4第9，10题.
目标检测设计
教科书练习第1，2，3，4题.

两个空间向量的夹角公式

两个空间向量的夹角公式
cos(θ) = (a·b) / (||a|| ||b||)。

其中，a·b表示a和b的点积，||a||和||b||分别表示向量a
和b的模长。

通过这个公式，我们可以计算出两个向量之间的夹角，从而更好地理解它们之间的关系。

这个夹角公式在实际应用中非常有用，比如在物理学、工程学
和计算机图形学等领域都有广泛的应用。

通过计算向量之间的夹角，我们可以确定它们之间的相互关系，进而应用到具体的问题中。

在实际问题中，我们可以利用夹角公式来判断两个向量之间的
关系，比如它们是否垂直、平行或者成某一特定角度。

这对于解决
实际问题非常有帮助，比如在计算力的合成、判断空间中两条直线
的关系等方面都可以得到应用。

总之，两个空间向量的夹角公式是一个非常重要的数学工具，
它可以帮助我们理解向量之间的关系，并在实际问题中得到应用。

通过深入理解和应用这个公式，我们可以更好地解决各种复杂的问题，为实际应用提供更加精确的解决方案。

空间向量立体几何(夹角)

A1
B1
C
O A B x y

解:建立如图示的直角坐标系,则 a a a 3 A( 2 ,0,0),B(0, 2 a ,0) A1( 2 ,0,). C(- 2 ,0, 2a) 设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z) a 3 AB ( , a,0), AA (0,0, 2a) 得 2 2 a 3 x 3 y x ay 0 0 由，解得， 2 2 z 0 2az 0 取y= 3 ,得n=(3, 3 ,0)，设 AC1 (a,0, 2a) 与n夹角为α | 3a 0 0 | 3a 1 而 sin | cos 2 2 2 3 3a 2 9 3 0 a 0 2a ∴ 30 . 故：AC1与侧面ABB1A1所成的角大小为30°.
x y0 y 2
而面SAD的法向量n2 = (1,0,0). 于是二面角A-SD-C的大小θ满足 1 cos cos n , n 1 2
1 6 , 6 11 4 1 0 0 6
6. arccos 6
∴二面角A-SD-C的大小为
1
2
cos | cos n1, n2 |
关键：观察二面角的范围
•引入
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
例2如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是 AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____.
z A1 B1 C1 D1
A M
D
C
y
x
B
C
解: 以A为原点建立如图所示的直角坐标系A- xyz, 设正方体的棱长为2, 那么 M(1,0, 0), C(2,2,0), B1(2, 0, 2), D(0,2 ,0), 于是： CM (1,2,0) DB1 (2,2,2)

空间向量的夹角和距离公式

空间向量的夹角和距离公式
cosθ = (A·B) / (，A， * ，B，)
其中，A·B表示向量A和向量B的点乘，A，和，B，表示向量A和向量B的模。

点乘的计算方法如下：
A·B=A1*B1+A2*B2+A3*B3
其中，A1、A2、A3和B1、B2、B3分别表示向量A和向量B的三个分量。

模的计算方法如下：
A，=√(A1^2+A2^2+A3^2)
B，=√(B1^2+B2^2+B3^2)
其中，^2表示求平方根的操作。

夹角θ的取值范围是[0,π]，即0到180度。

此外，空间向量的夹角还可以通过向量的叉乘计算。

设有两个三维向量A和B，它们的夹角θ可以通过以下公式计算：
sinθ = ，A × B， / (，A， * ，B，)
其中，A×B表示向量A和向量B的叉乘。

叉乘的计算方法如下：
A×B=(A2*B3-A3*B2,A3*B1-A1*B3,A1*B2-A2*B1)
其中，A1、A2、A3和B1、B2、B3分别表示向量A和向量B的三个分量。

距离公式：
两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)之间的距离可以通过以下公式计算：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)
其中，^2表示求平方根的操作。

这个公式适用于二维和三维空间的点之间的距离计算。

总结起来，空间向量的夹角可以通过点乘和叉乘计算，距离可以通过
坐标差的平方和再开方计算。

这些公式在物理学、几何学和计算机图形学
等领域有广泛应用。

空间向量与立体几何之夹角的计算

若直线l与平面的夹角为夹角为
1当0
rr u, a
时， =
r r u, a ，
2
2
0，2
l
，则
u a 此时：sin
sin
2
rr u, a
rr
= cos
rr u, a
ua rr
ua
2当
rr u, a
时， =
rr u, a
，
2
2
此时：sin
sin
rr u, a
2
l a
= cos
（1）求证：直B线1O 面MAC （2）求二面角B1 MA C 的余弦值
D1
C1
A1 M
B1
D O
A
C B
rr a, b
=
rr ab rr
ab
rr
ab
ab
a
l cos = r r
a b
b
m
b
a
l m
练习一：P45 1 ur
已知直u线ur l1的方向向量为s1=(1,-1,1)，直线l2的方向向量为s2 =(-1,2,0)，求两条直线夹角的余弦值
2. 平面间的夹角
二面角定义：从一条直线出发的两个
2
rr
设平面和的法向量分别为u和v，若两个平面的
夹角为，则
1当0
rr u, v
时， =
rr u, v
，此时：cos
cos
rr u, v
rr
=
uv rr
2
uv
u 注意法向量的方向：一进一出，两平面的夹角等于法向量夹角 v
2当
rr u, v
时， =

新教材2023高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离夹角问

【例 3】如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P-ABCD
中,AB⊥AC,PA⊥平面 ABCD,且 PA=AB,E 是 PD 的中点,求
平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角.
解:方法一:如图,以 A 为坐标原点,AC,AB,AP 所在直线
分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,连
接 BD,与 AC 交于点 O,取 AD 中点 F,连接 OE,OF.
=

5
,AF1=
2
1
4
1+ =
5
,
2
1
6
= .
2 2
在△AEF1 中,由余弦定理,得
cos∠AF1E=
12 +12 - 2
21 ·1
=
6 5 5
+ 4 4 4
6
5
2× 2 × 2
=
30
.
10
所以 BD1 与 AF1 所成角的余弦值为
30
.
10
方法二:如图所示,以 C 为原点,CA,CB,CC1 所在直线分别
|1 |·|1 | 1×
2
2.同类练如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知
DA=DC=4,DD1=3,则异面直线 A1B 与 B1C 所成角的余弦
9
值为 25 .
解析:如图,以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直
线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,
)
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析:设直线 l 与平面 α 所成的角为 θ,则
sin
1
θ=|cos<m,n>|= ,所以

1.4.2-用空间向量研究距离、夹角问题

探究已知直线l的单位方向向量为u, A是直线l上的定点，P是直线l外一点. 如何利
用这些条件求点P到直线l的距离? 如图示，向量AP在直线l上的投影向量为 AQ ，则△APQ是直角
u
P
三角形，因为A，P都是定点，所以|AP|，AP 与 u 的夹角∠PAQ都
dn
是确定的. 于是可求 |AQ|. 再利用勾股定理，可以求出点P到直线l
点C1到平面AB1 E
的距离为 |
C1B1 |n|
n
|
1 3
.
D
A x
F
C
y
B
即直线FC1到平面AB1
E的距离为
1 3
.
3. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB与平面D1CB1的距离.
解 : 平面A1DB//平面D1CB1,平面A1DB与平面D1CB1的距离 z
MN AN AM
1 ( AB AF ) 1 ( AB AD)
2
2
1 (c b) 2
∴|MN|2 1 (c b )2 1 ,
4
2
∴|MN| 2 ,即MN 2 .
2
2
【巩固训练4】如图，两条异面直线a, b所成的角为θ，在直线a, b上分别取点A′, E和
点A, F，使AA′⊥a，且AA′⊥b (AA′称为异面直线a, b的公垂线). 已知A′E=m, AF=n，
易得C1 (0, 1, 1),
A(1,
0, 0),
E(0,
0,
1 ). 2
E
∴C1 A
(1,
1, 1),
AE
(1, 0,
1 ). 2
D
F

立体几何中夹角范围

立体几何中夹角范围
在立体几何中，夹角是指两个不同直线、射线或线段之间的角
度大小。

夹角的范围取决于它们所在的平面或空间的维度以及它们
的相对位置。

在二维平面几何中，夹角的范围通常是0度到180度
之间，而在三维空间中，夹角的范围则是0度到360度之间。

在二维平面几何中，夹角的范围可以分为锐角（0度到90度）、直角（90度）、钝角（90度到180度）三种情况。

锐角是指小于
90度的角，直角是指恰好为90度的角，而钝角是指大于90度但小
于180度的角。

在三维空间中，夹角的范围更加复杂，因为它涉及到不同平面
的相交情况。

例如，两个平面的夹角可以是平面内的夹角，也可以
是空间中的夹角。

在空间中，两个直线或射线的夹角范围也是0度
到180度之间。

此外，在立体几何中，夹角的范围还受到一些特殊情况的影响，比如平行线之间的夹角为0度，垂直线之间的夹角为90度等等。

总的来说，夹角的范围是根据几何体的维度、相对位置以及特殊情况来确定的，需要根据具体的几何问题来进行分析和计算。

用空间向量研究夹角问题

用空间向量研究夹角问题课程标准学习目标1.能用向量方法解决简单夹角问题.2.体会向量方法在研究几何问题中的作用1.知道两个相交平面夹角的含义,借助直线的方向向量和平面的法向量,能求直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角或夹角.2.能分析和解决一些立体几何中的角度问题,体会向量方法与综合几何方法的共性和差异,体会直线的方法向量和平面的法向量的作用,感悟向量是研究几何问题的有效工具知识点一空间角空间图形范围向量法几何法异面直线所成的角0°< θ≤90°cosθ=|cos <u ,v>|= 平移交于一点,解三角形直线与平面所成的角sin θ=|cos <u ,n>|=过直线上一点作平面的垂线,解三角形平面与平面的夹角cos θ=|cos <n 1,n 2>|=作两平面的垂面解三角形【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)异面直线所成的角与其方向向量的夹角相等.( )(2)若平面α的法向量为u ,直线l 的方向向量为v ,直线l 与平面α所成的角为θ,则cos θ=|u ·v ||u ||v |.( )(3)二面角的大小等于平面与平面的夹角. ( ) 知识点二解决立体几何中空间角问题的步骤用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”可以概括为“一化二算三译”六字诀.“一化”就是把立体几何问题转化为向量问题;“二算”就是通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系以及它们之间的角度问题;“三译”就是把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.探究点一异面直线所成角的求法例1 (1)已知在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 是DC 的中点,建立如图1-4-27所示的空间直角坐标系,图1-4-27则AB 1与D 1E 所成角的余弦值为( )A .√1010 B .√105 C .-√1010D .-√105(2)如图1-4-28所示,在三棱柱OAB-O 1A 1B 1中,平面OBB 1O 1⊥平面OAB ,∠O 1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO 1=2,OA=√3,求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值.图1-4-28[素养小结]用向量法求异面直线的夹角时,常在两异面直线a 与b 上分别取点A ,B 和C ,D ,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为a ,b 的方向向量,若异面直线a ,b 的夹角为θ,则cos θ=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |.运用向量法常有两种途径:①基底法:在一些不适合建立坐标系的题型中,经常采用取基底的方法.在由公式cos <a ,b>=a ·b|a ||b |求向量a ,b 的夹角时,关键是求出a ·b ,|a|与|b|,一般是把a ,b 用基向量表示出来,再求有关的量.②坐标法:根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出相关各点的坐标,利用坐标法求线线角,避免了传统找角或作角的步骤,使过程变得简单.探究点二求直线和平面所成的角例2 [2020·安徽芜湖高二期中] 如图1-4-29,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是AB的中点.(1)证明:AC1⊥平面D1B1C;(2)求直线CE与平面D1B1C所成角的余弦值.图1-4-29变式[2020·山东肥城高二期中] 在如图1-4-30所示的多面体中,AD⊥平面PDC,四边形ABCD为平行四边形,E为AD的中点,F为线段BP上一点,∠CDP=120°,AD=3,AP=5,CD=2.(1)若F为BP的中点,证明:EF∥平面PDC;BP,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值.(2)若BF=13图1-4-30[素养小结]向量法求线面角的步骤:①分析图形中的位置关系,建立空间直角坐标系;②求出直线的方向向量s和平面的法向量n;③求出夹角<s,n>;④判断直线和平面所成的角θ和<s ,n>的关系,求出角θ.拓展 [2021·北京丰台区高二期中] 如图1-4-31,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA 1=3.M 是AB 的中点,N 是B 1C 1的中点,点P 在线段A 1N 上,且A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,Q 是BC 1与B 1C 的交点.(1)求证:PQ ∥平面A 1CM.(2)在线段AA 1上是否存在点S ,使得直线CS 与平面A 1CM 所成角的正弦值为√214?请说明理由.图1-4-31探究点三求平面与平面的夹角例3 [2020·江苏如皋高二期中] 如图1-4-32所示,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB=BC ,AA 1,AC ,A 1C 1的中点分别为D ,E ,F. (1)求证:AC ⊥平面BEF ;(2)若异面直线AA 1与BF 所成的角为45°,且BC 与平面BEF 所成角的正弦值为√55,求平面BCD 与平面CDB 1夹角的余弦值.图1-4-32变式 [2020·江苏盐城亭湖区月考] 如图1-4-33所示,在三棱锥P-ABC 中,△PAC 为等腰直角三角形,∠APC=90°,△ABC 为正三角形,AC=2. (1)证明:PB ⊥AC ;(2)若平面PAC ⊥平面ABC ,求平面APC 与平面PCB 夹角的余弦值.图1-4-33[素养小结]设n 1,n 2分别是平面α,β的法向量,则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是两个平面的夹角θ,用坐标法的解题步骤如下:(1)建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系; (2)求法向量:在建立的坐标系下求两个平面的法向量n 1,n 2; (3)计算:cos θ=|n 1·n 2||n 1||n 2|.拓展如图1-4-34,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥AD ,AB ∥CD ,CD ⊥AD ,AD=CD=2AB=2,E ,F 分别为PC ,CD 的中点,DE=EC. (1)求证:平面ABE ⊥平面BEF ;(2)设PA=a ,若平面EBD 与平面ABCD 的夹角θ∈π4,π3,求a 的取值范围.图1-4-341.若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l 与平面α所成的角等于( )A .120°B .60°C .30°D .以上均错2.已知两个平面的法向量分别是m=(1,2,-1),n=(1,-1,0),则这两个平面所成的二面角的余弦值为 ( ) A .-√36或√36B .-√33或√33C .-√36D .√363.[2020·江苏南通高一期末] 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AA 1=1,则直线BC 1与平面BB 1DD 1所成角的正弦值为 ( ) A .√63B .√102C .√155D .√1054.[2021·天津部分区高二期中] 如图1-4-35,在四面体OABC 中,OA=OB=OC ,OA ⊥OB ,OB ⊥OC ,OC ⊥OA ,则平面BAC 与平面ACO 夹角的余弦值为 ( )图1-4-35A .√33 B .√22C .1D .13用空间向量研究夹角问题参考答案【课前预习】知识点一|u ·v ||u ||v |0°≤θ≤90° |u ·n ||u ||n |0°≤θ≤90° |n 1·n 2||n 1||n 2|诊断分析(1)× (2)× (3)× [解析] (1)当两个方向向量的夹角是锐角或直角时,向量的夹角与异面直线所成的角相等;当两个方向向量的夹角为钝角时,向量的夹角与异面直线所成的角互补.故错误. (2)sin θ=|u ·v ||u ||v |,故错误.(3)二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角.故错误. 【课中探究】探究点一例1 (1)A [解析] ∵A (2,2,0),B 1(2,0,2),E (0,1,0),D 1(0,2,2),∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,2),ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),∴|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2,|ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0-2+4=2,∴cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2√2×√5=√1010,∴AB 1与ED 1所成角的余弦值为√1010. (2)解:建立如图所示的空间直角坐标系,则O (0,0,0),O 1(0,1,√3),A (√3,0,0),A 1(√3,1,√3),B (0,2,0),所以A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,-√3),O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,-1,-√3),所以|cos <A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √3,√3)·(√3,√3√7×√7=17,所以异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为17.探究点二例2 解:(1)证明:如图,以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A (2,0,0),E (2,1,0),C (0,2,0),B 1(2,2,2),C 1(0,2,2),D 1(0,0,2), ∴CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,2),CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,2). ∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2×0+2×(-2)+2×2=0, AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2×2+2×0+2×2=0,∴AC 1⊥D 1C ,AC 1⊥B 1C ,又D 1C ∩B 1C=C , ∴AC 1⊥平面D 1B 1C.(2)由(1)知,EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0), AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,2)是平面D 1B 1C 的一个法向量,设直线CE 与平面D 1B 1C 所成的角为θ,则sin θ=|cos <EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√5×2√3=√155,∴直线CE 与平面D 1B 1C 所成角的余弦值为(√155)=√105. 变式解:(1)证明:以D 为坐标原点,DC 所在直线为x 轴,过点D 且与平面ABCD 垂直的直线为y 轴,DA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系(图略),则D (0,0,0),C (2,0,0),B (2,0,3),P (-2,2√3,0),A (0,0,3). 因为E 为AD 的中点,F 为BP 的中点,所以E 0,0,32,F 0,√3,32,所以直线EF 的方向向量EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0). 易知平面PDC 的一个法向量为n=(0,0,1). 因为EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n=0,所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ,又EF ⊄平面PDC , 所以EF ∥平面PDC.(2)由(1)知,CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,3),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-2√3,0), 设F (x ,y ,z ),BF⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,y ,z-3)=13BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-43,23√3,-1, 所以F23,23√3,2,所以AF⃗⃗⃗⃗⃗ =23,23√3,-1.设平面PBC 的法向量为n 1=(x ,y ,z ),则{n 1·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{3z =0,4x -2√3y =0,取y=1,得n 1=√32,1,0,所以cos <AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1>=AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1|=23×√32+23√3√49+43+1×√34+1=√353×√72=6√2135, 所以直线AF 与平面PBC 所成角的正弦值为635√21.拓展解:(1)证明:以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示,则A 1(0,0,3),C (2,0,0),M (0,1,0),N (1,1,3),Q 1,1,32,∴A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),A 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1,1,-32,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0),CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,3),∴A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23,23,0,∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13,13,-32.设平面A 1CM 的法向量为n=(x ,y ,z ),则{n ·CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-2x +3z =0,-2x +y =0,取z=2,得n=(3,6,2),∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n=3×13+6×13-2×32=0,∴PQ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n , 又PQ ⊄平面A 1CM ,∴PQ ∥平面A 1CM.(2)假设在线段AA 1上存在点S ,使得直线CS 与平面A 1CM 所成角的正弦值为√214. 不妨设AS=h (0≤h ≤3), 则S (0,0,h ),∴CS⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,h ), ∴|cos <CS ⃗⃗⃗⃗ ,n>|=|CS⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||CS⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=√4+ℎ2×7, ∴7√4+ℎ2=√214,解得h=2或h=347(舍),∴当点S 为线段AA 1上靠近A 1的三等分点时,直线CS 与平面A 1CM 所成角的正弦值为√214.探究点三例3 解:(1)证明:由题可知,AA 1⊥平面ABC ,∵AC ∥A 1C 1,AC=A 1C 1,E ,F 分别是AC ,A 1C 1的中点,∴AE=A 1F ,∴四边形AEFA 1是平行四边形, ∴EF ∥AA 1,∴EF ⊥平面ABC ,又AC ⊂平面ABC ,∴EF ⊥AC.∵AB=BC ,E 是AC 的中点, ∴BE ⊥AC ,又BE ∩EF=E , ∴AC ⊥平面BEF.(2)∵AA 1∥EF ,∴∠BFE 为异面直线AA 1与BF 所成的角,即∠BFE=45°,∴EF=BE.∵AC ⊥平面BEF ,∴∠CBE 为直线BC 与平面BEF 所成的角, ∴sin ∠CBE=√55,∴tan ∠CBE=12,∴BE=2CE.以E 为原点,EB ,EC ,EF 所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,设CE=1,则B (2,0,0),C (0,1,0),D (0,-1,1),B 1(2,0,2), ∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0),CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,2).设平面BCD 的法向量为m=(x 1,y 1,z 1),则{m ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y 1-z 1=0,-2x 1+y 1=0,取x 1=1,得m=(1,2,4).设平面CDB 1的法向量为n=(x 2,y 2,z 2),则{n ·DC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y 2-z 2=0,2x 2-y 2+2z 2=0, 取y 2=1,得n=-32,1,2,∴cos <m ,n>=m ·n|m ||n |=172√21×√292=17√609609.设平面BCD 与平面CDB 1的夹角为θ,则cos θ=|cos <m ,n>|=17√609609, ∴平面BCD 与平面CDB 1夹角的余弦值为17√609609. 变式解:(1)证明:取AC 的中点D ,连接PD ,BD ,∵△PAC 为等腰直角三角形,D 为中点,∴PD ⊥AC ,又△ABC 为正三角形,D 为中点,∴BD ⊥AC ,又PD ∩BD=D ,PD ⊂平面PBD ,BD ⊂平面PBD ,∴AC ⊥平面PBD.∵PB ⊂平面PBD ,∴PB ⊥AC.(2)∵平面PAC ⊥平面ABC ,平面PAC ∩平面ABC=AC ,PD ⊂平面PAC ,PD ⊥AC ,∴PD ⊥平面ABC.由(1)知BD ⊥AC ,以D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (1,0,0),B (0,√3,0),C (-1,0,0),P (0,0,1),∴DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0). 设n=(x ,y ,z )为平面PBC 的法向量,则{CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,CB⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x +z =0,x +√3y =0, 取x=1,得n=1,-√33,-1,又DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)是平面PAC 的一个法向量, ∴cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n>=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=-√77, 设平面APC 与平面PCB 的夹角为θ,则cos θ=|cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n>|=√77, ∴平面APC 与平面PCB 夹角的余弦值为√77.拓展解:(1)证明:∵AB ∥CD ,CD ⊥AD ,AD=CD=2AB=2,F 为CD 的中点,∴四边形ABFD 为矩形,∴AB ⊥BF.∵DE=EC ,F 为CD 的中点,∴DC ⊥EF ,又AB ∥CD ,∴AB ⊥EF.∵BF ∩EF=F ,∴AB ⊥平面BEF.又AB ⊂平面ABE ,∴平面ABE ⊥平面BEF.(2)由(1)知DC ⊥EF ,又PD ∥EF ,AB ∥CD ,∴AB ⊥PD.又AB ⊥AD ,PD ∩AD=D ,∴AB ⊥平面PAD ,∴AB ⊥PA.以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴,AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B (1,0,0),D (0,2,0),P (0,0,a ),C (2,2,0),E 1,1,a 2, 所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,1,a 2. 易得平面ABCD 的一个法向量为n 1=(0,0,1).设平面EBD 的法向量为n 2=(x ,y ,z ),由{n 2⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 2⊥BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{n 2·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x +2y =0,y +az 2=0, 取y=1,得x=2,z=-2a , 则平面EBD 的一个法向量为n 2=2,1,-2a , ∴cos θ=2a√4+1+4a 2=√5a 2+4.又∵平面EBD 与平面ABCD 的夹角θ∈π4,π3,∴cos θ∈12,√22, 即2√5a 2+4∈12,√22,∴2√55≤a ≤2√155, 故a 的取值范围是2√55,2√155.【课堂评价】 1.C [解析] ∵l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°,∴它们所在直线的夹角为60°,则直线l 与平面α所成的角为90°-60°=30°.2.A [解析] 设两个平面的夹角为θ,则|cos θ|=|cos <m ,n>|=√6×√2=√36,故cos θ=±√36. 3.D [解析] 如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AA 1=1,以D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,DD 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,则B (2,2,0),C 1(0,2,1),D (0,0,0),D 1(0,0,1),所以BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,1),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1).设平面BB 1DD 1的法向量为n=(x ,y ,z ),则{n ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0,n ·DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =z =0,取x=1,得n=(1,-1,0).设直线BC 1与平面BB 1DD 1所成角为θ,则sin θ=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=√5×√2=√105.故选D .4.A [解析] 在四面体OABC 中,OA=OB=OC ,OA ⊥OB ,OB ⊥OC ,OC ⊥OA ,以O 为原点,OA 所在直线为x 轴,OB 所在直线为y 轴,OC 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,设OA=OB=OC=1,则A (1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),O (0,0,0),所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1).设平面ABC 的法向量为n=(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x +y =0,n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x +z =0,取x=1,得n=(1,1,1),由题知平面AOC 的一个法向量为m=(0,1,0),设平面BAC 与平面ACO 的夹角为θ,则cos θ=|cos <m ,n>|=|m ·n ||m ||n |=√3=√33,故平面BAC 与平面ACO 夹角的余弦值为√33.故选A .。

空间向量立体几何(夹角)

专题03 立体几何中的夹角问题(解析版)

高中数学第二章空间向量与立体几何2.5.3直线与平面的夹角10121数学

立体几何中的夹角、距离、向量归纳

立体几何五 夹角的计算

3.2立体几何中的向量方法-夹角

空间向量夹角计算

3.2.4立体几何中的向量方法求夹角

选2-13.2立体几何中的向量方法(夹角问题)

用空间向量研究夹角问题

两个空间向量的夹角公式

空间向量立体几何(夹角)

空间向量的夹角和距离公式

空间向量与立体几何之夹角的计算

新教材2023高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离夹角问

1.4.2-用空间向量研究距离、夹角问题

立体几何中夹角范围

用空间向量研究夹角问题

立体几何五夹角的计算