文科数学高考总复习指数与指数函数

数学高考总复习（9）指数与指数函数

【考纲要求】

1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质

2.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；

3.掌握指数函数图象：通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，体会数形结合的思想方法；

【考点梳理】

根式的概念和运算法则

(1)n 次方根的定义：若x n

=y(n ∈N *

，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根. 要点诠释：n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，

是负数，记为n

y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；

n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，

记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，

0=.

(2)根式的意义与运算法则y y n n =)( ⎩⎨⎧=)

(||)(,为偶数为奇数n a n a a n n

分数指数幂的概念和运算法则

为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *

，且

m

n

为既约分数，分数指数幂可如下定义：

1n a =

m m n a ==-1m

n m n

a a =

有理数指数幂的运算性质

()Q b a ∈>>βα,00，，(1);a a a αβ

αβ+⋅= (2)();a a αβαβ= (3)();ab a b ααα=

当a>0，p 为无理数时，a p

是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；

(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如244

2)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如21

42)4()4(-≠-.

指数函数(1)定义：函数y=a x

(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数， (2)

【典型例题】

类型一、指数运算、化简、求值

例1. (1)1

00.2563

71.5()86-

⨯-+-；

(2)63425.0031

)32(28)6

7()81(⨯+⨯+-⨯-；

类型二、函数的定义域、值域 例2．求下列函数的定义域、值域.

(1)212

x x

y =+；(2) 421x x

y =-+；

类型三、指数函数的单调性应用 例3．判断下列各数的大小关系：

(1)2

4

-231(),3,()331 (2)22.5，(2.5)0， 2.51()2

(3) 0.3 3.11.08,0.981

(4)0,1)a a >≠

例4.求函数232

3

x x y -+-=的值域及单调区间.

类型四、判断函数的奇偶性

例5．判断下列函数的奇偶性：)()2

1

121()(x x f x ϕ+-= (()x ϕ为奇函数)

【变式】判断函数的奇偶性：()2

21x x x

f x =+

-.

例1.【解析】(1)原式11

31231

334422()2223()242711033

=+⨯+⨯-=+⨯=；

(2)原式=6

2

163141413

)

3

1

)(1()3()2(2)2(18

⨯+⨯+⨯--112322

2324

143=⨯++=+；

例2【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，2x

≠-1).

∵ x

x x y 2

111211)21(+-=+-+=，又∵ 2x >0， 1+2x

>1， ∴ 12110<+<

x ， ∴ 02111<+-<-x ，∴ 12

1110<+-

， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，43)212(12)2(22+-=+-=x x x y ，∵ 2x >0， ∴ 2

12=x

即 x=-1时，

y 取最小值43，同时y 可以取一切大于43的实数，∴ 值域为[+∞,4

3

).

例3．例3．【解析】 (1)2-24311()<()<333 (2) 2.50 2.51

()<(2.5)<22

(3)1.080.3>1>0.983.1 (4)a>1时，<时，>

【总结升华】(2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)； (3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是0和1).

例4.【解析】设u=-x 2+3x-2， y=3u

，

其中y=3u

为R 上的单调增函数，u=-x 2

+3x-2在3(,]2

x ∈-∞上单增， u=-x 2

+3x-2在3[,)2

x ∈+∞上单减， 则232

3

x x y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2

x ∈+∞上单减.

又u=-x 2

+3x-22311()244

x =--+≥， 232

3x x y -+-=的值域为1

4(0,3].

例5【解析】f(x)定义域关于原点对称

令21

121)(+-=x x g ，则211222*********)(+--=+-=+-=--x

x x x x

x g )()2

1

121(21121121121)12(x g x x x x -=+--=+---=+----=

∴ g(x)为奇函数， 又 ∵()x ϕ为奇函数，∴ f(x)为偶函数. 【变式】【解析】定义域{x|x ∈R 且x ≠0}，

又112121

()()()()222211221x x x

x x f x x x x --=-+=-+=---- 21111111

()(1)()()222

212121x x

x x x x x f x -+=-=+-=+=---， ∴ f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数.