2018小学五年级上册数学奥数知识点讲解第3课《最大公约数和最小公倍数》试题附答案
小学奥数王峰数论(3)约数_倍数_完全平方数
教 案教师：__ 王鑫___ 学生：_ 王峰 上课时间： 学生签字：__________【专题知识点概述】本讲中的知识点并不难理解，对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过，而完全平方数的定义也很容易，故我们讲解的重点放在这些数的性质上,以及如何正确的运用这些性质解决数论问题。
一、最大公约数与最小公倍数的常用性质(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
即若11(,),(,),a a a b b b a b =⨯=⨯则11(,)1a b =(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即(,)[,]a b a b a b ⨯=⨯注：(,)a b 表示两个数的最大公约数，[,]a b 表示两个数的最小公倍数(3)对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如：567210⨯⨯=，210就是567的最小公倍数b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍例如：678336⨯⨯=，而6,7,8的最小公倍数为3362168÷=二、约数个数与所有约数的和(1)求任一合数约数的个数：一个合数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
如:1400严格分解质因数之后为32257⨯⨯，所以它的约数有(31)(21)(11)43224+⨯+⨯+=⨯⨯=个。
(包括1和1400本身)(2)求任一合数的所有约数的和：一个合数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如：33210002357=⨯⨯⨯，所以21000所有约数的和为2323(1222)(13)(1555)(17)74880++++++++=三、求几个分数的最小公倍数和最大公约数(1)求几个分数的最小公倍数求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；例如：求121624,,202430的最小公倍数首先将3个分数化为最简分数，123162244,, 205243305 ===由[3,2,4]12,(5,3,5)1==，所以12162412[,,]122024301==，即它们的最小公倍数是12.(2)求几个分数的最大公约数求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.例如：求121624,,202430的最大公约数首先将3个分数化为最简分数，123162244,, 205243305 ===由(3,2,4)1,[5,3,5]15==，所以1216241(,,)20243015=，即它们的最大公约数是115.四、完全平方数的性质1.常用主要性质：● 完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
五年级奥数基础教程-最大公约数与最小公倍数小学
最大公约数与最小公倍数（一）如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。
如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。
自然数a1，a2，…，a n的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，a n）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。
如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。
在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。
自然数a1，a2，…，a n的最小公倍数通常用符号[a1，a2，…，a n]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。
常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。
例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。
现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。
题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。
所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5（元）。
为节约篇幅，除必要时外，在求最大公约数和最小公倍数时，将不再写出短除式。
例2 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？分析与解：因为498，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。
498-450=48，450-414=36，498-414=84。
五年级上册数学试题-3.倍数与因数(巧用公因数)北师大版【精品】
第3讲巧用公因数【精品】【知识导入】（一）最大公因数：几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数.其中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。
例如12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。
12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。
求最大公约数用短除法，只要两个数继续能除，就一直除下去。
最大公约数=短除号左侧所有除数的积。
两个数的最大公约数用小括号表示，如（a,b）表示a与b的最大公约数。
（二）最大公因数性质：1. 如果两个数的公因数只有1的非零自然数，那么我们称这两个数为互质数。
2. 相邻的两个自然数，最大公因数=1.这两个数为互质数。
3. 如果较小数是较大数因数,那么较小数就是这两个数的最大公因数.如：9是27的因数,它们的最大公因数就是9.【牛刀小试】一、求出下面各组数的最大公因数。
65和39 48和108 144和36 28和9824和42 60和150 92和12 24和36二、判断1.甲=2×3×5，乙=2×3×7，甲和乙的最大公因数是6。
（）2.A=2×3×5，B=2×5×2，A和B的最大公因数是2。
（）3.自然数a除以自然数b，商是15，那么a和b的最大公因数是a。
（）4.互质数是没有公因数的两个数．（）5.成为互质数的两个数，一定是质数．（）6.最小的合数和最小的质数这两个数的公因数只有1。
（）例1、一根铁丝长42厘米，一根铜丝长56厘米，现在要把它们都截成同样长的小段，并且没有剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成几段？思路分析：“都截成同样长的小段，并且没有剩余”，就是每段长度是原来两根长度的公因数，求“最长”就是公因数中最大的一个。
至于求共截多少段，可由两根截成的段数相加即可得到。
根据题意得：1.一根铁丝长42厘米，另一根铁丝长63厘米，现在要把它们都截成同样长的小段，并且没有剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成几段？例2、把一张长12厘米，宽8厘米的长方形纸裁成相同的正方形纸片（纸没有剩余），至少能裁成几张？思路分析：把长12厘米、宽8厘米的长方形纸裁成相同的正方形纸片，要求没有剩余，那么裁成的小正方形纸片的边长是12厘米和8厘米的公因数。
小学奥数-精讲-约数与倍数PPT
问答互动环节设计思路
自动评分
利用课件的自动评分功能，对学生的测验结果进行客观评价。
反馈与建议
根据学生的测验成绩和表现，提供针对性的反馈和建议，帮助学生改进学习方法。
设计测验题目
根据教学目标和内容，设计合理的测验题目，检验学生学习效果。
测验反馈机制构建策略
导航菜单优化建议
清晰明了
确保导航菜单清晰明了，方便学生快速找到所需内容。
例2
答案揭秘
第一群只数:5、10、15……
第二群只数:4、8、12……
第三群只数:3、6、9……
三群总只数:12、24、36……
60÷12=5 120÷24=5……
花生总数:60、120、180 ……
答:每只猴子可得5粒花生。
举一反三
练习1
用945个同样大小的正方形拼成一个长方形,有______种不同的拼法。
图片选择与处理
为图片添加必要的标注和说明文字，帮助观众更好地理解和记忆图片内容。
图片标注与说明
将多张图片进行排版和组合，形成具有逻辑关系和视觉冲击力的图表或画廊效果。
图片排版与组合
图片编辑与美化方法
选用通用的音频视频格式，确保课件能够在不同设备和平台上正常播放。
音频视频格式选择
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从第一次同时发车到第二次同时发车 的时间是3,5,9,15和10的最小公倍数。
规 律 总 结
练习2
9,15和10的最小公倍数是90, 所以3,5,9,15和10的最小公倍数也是90。 从第一次同时发车后90 分钟又同时发第二次车。
参 考 答 案
方法
应用
小学数学奥数知识点
小学数学奥数知识点小学数学奥数知识常见的知识点主要有以下方面：加法原理和乘法原理排列组合分数运算勾股定理简单的代数方程逻辑推理几何图形的性质和计算概率问题数列问题质数与合数因数与倍数最大公约数与最小公倍数平均数、中位数和众数简单的立体几何速度、时间和距离问题百分数和小数对称性与反射逆向思维和试错法等式和不等式等等这些内容，就不一一列举了，后面正文里面有详细描述。
一.加法原理和乘法原理：加法原理：指如果一个事件可以分为若干个互不相交的事件，那么这个事件发生的可能性等于这些互不相交事件发生的可能性之和。
乘法原理：指如果一个事件可以分为若干个步骤，每个步骤有若干个不同的选项，那么这个事件发生的可能性等于每个步骤选项数的积。
例题：一个商店出售5种颜色的T恤，6种颜色的裤子，和4种颜色的帽子。
一个顾客想购买一套衣服，包括一件T恤，一条裤子，和一顶帽子。
问有多少种不同的搭配？解答：根据乘法原理，共有5×6×4=120种不同的搭配。
学习方法：通过实际生活中的例子，让学生理解加法原理和乘法原理的应用，多做练习题提高运用能力。
二.排列组合：排列指的是从一组对象中选取若干个对象进行排列，而不同的排列方式被视为不同的情况。
一般来说，如果从n 个对象中选取k 个对象进行排列，那么不同的排列数为n 的k 次方，即A(n,k) = n! / (n-k)!。
组合指的是从一组对象中选取若干个对象进行组合，而不同的组合方式被视为同一种情况。
一般来说，如果从n 个对象中选取k 个对象进行组合，那么不同的组合数为C(n,k) = n!/((n-k)!k!)。
例题：有8个人参加比赛，前三名将获得奖品。
有多少种不同的获奖组合？解答：用排列公式，8×7×6=336种排名。
学习方法：学习排列组合的公式，通过例题演示如何运用公式解决问题，并进行大量实战练习。
三.分数运算：加减运算：对于两个分数进行加减运算，需要将分数的分母化为相同的数，然后将分子相加或相减即可。
五年级上册数学试题-第三单元求最大公因数与最小公倍数的方法(含答案)北师版
10.求最大公因数与最小公倍数的方法一、认真审题，填一填。
(每空2分，共22分)1．60以内6的倍数：()，9的倍数：()，6和9的公倍数：()。
2．50以内8和12的公倍数有()，最小公倍数是()。
3．一个数既是4的倍数又是6的倍数，这个数最小是()。
4．100以内8和12的公倍数有()个。
5．在括号里填上最简分数。
80分＝()时600千克＝()吨40厘米＝()米60平方分米＝()平方米二、火眼金睛，判对错。
(每小题2分，共8分)1．约分就是把分数的分子、分母变小。
() 2．最简分数的分子和分母没有公因数。
() 3．a和b的最大公因数是a，最小公倍数一定是b。
() 4．两个数的最小公倍数一定是最大公因数的倍数。
()三、仔细推敲，选一选。
(每小题2分，共8分)1．在3，5，7，8中，只有公因数1的有()对。
A．3 B．4 C．5 D．62．数a是数b的倍数，那么a和b的最大公因数是()。
A．a B．b C．1 D．ab3．下列叙述的几组数中，()的最大公因数是1。
A．两个不同的质数B．两个不同的奇数C．一个质数和一个合数D．一个奇数和一个偶数4．a÷b＝10(a，b均为不等于0的自然数)，a和b的最小公倍数是()。
A．a B．b C．10 D．无法确定四、按要求完成各题。
(共44分)1．求出下列各组数的最小公倍数。
(12分)28和42 9和18925和45 48和722．找出下列各组数的最大公因数。
(12分)15和50 66和8851和1726和783．写出分子和分母的最大公因数。
(6分)912() 515()810()420() 1545()4527()4．圈出最简分数，并把其余的分数约分。
(6分)6 15711486465 91133734515．把下面各组分数通分。
(8分)4 9和5181842和12145 24和113647和613五、聪明的你，答一答。
(共18分)1．一张长方形纸长80 cm，宽60 cm，要把它剪成若干大小相等的正方形(边长为整厘米数)，没有剩余，正方形的边长最长是多少厘米？可以剪多少个？(9分)2．五年级同学排队做操，排成每队15人或每队18人，都刚好排完。
五年级数学公倍数和公因数试题
五年级数学公倍数和公因数试题1.（3分）A=2×3×7，B=2×5×3，那么A和B的最大公因数是。
【答案】6【解析】【考点】求几个数的最大公因数的方法。
分析：根据求两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，据此得解。
解答：A=2×3×7，B=2×5×3，所以A和B的最大公因数是2×3=6；点评：考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答。
2.（3分）一个奇数与一个偶数的乘积一定是（）。
A．奇数B．偶数C．合数D．素数【答案】B【解析】【考点】奇数与偶数的初步认识。
分析：根据奇数与偶数的意义，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；奇数×奇数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数；据出解答。
解答：奇数×偶数=偶数；所以，一个奇数和一个偶数的积一定是偶数。
点评：此题考查的目的是使学生理解和掌握偶数与奇数的意义。
3.有一车饮料，如果5箱一数，剩1箱；如果7箱一数，也剩1箱。
这车饮料至少有多少箱？【答案】36箱【解析】【考点】公因数和公倍数应用题。
分析：由“如果每次搬5箱还剩1箱，如果每次搬7箱还剩1箱．”可知，求出5、7的最小公倍数再加上一箱即可。
解答：因为5和7互质，所以它们的最小公倍数是：5×7=35；35+1=36（箱）；答：这车饮料至少有36箱。
点评：此题考查用求最小公倍数的方法解决生活中的实际问题，关键求出最小公倍数加上剩下的一箱即可。
4. 9和12的公约数有个，它们的最小公倍数是．【答案】2，36【解析】分析：根据公约数和最小公倍数的意义分别求出它们的公约数和公倍数找出最小的，据此解答．解答：9的约数有：1，3，9，12的约数有：1，2，3，4，6，12，9和12的公约数有：1，3．一共2个；9的倍数有：9，18，27，36，45，54，63，72，81…，12的倍数有：12，24，36，48，60，72…，9和12的公倍数有：36，72…，它们的最小公倍数是36；【考点】因数、公因数和最大公因数；求几个数的最小公倍数的方法．5. 1、2、3、7都是42的因数．．（判断对错）【答案】√．【解析】根据因数与倍数的意义，42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42，由此可知，1、2、3、7都是42的因数．解答：解：42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42，故1、2、3、7都是42的因数．故答案为：√．点评：本题主要是考查因数与倍数的意义．一个数没有公因数，只有两个或两个以上的数才能有公因数．6. 7的倍数都是合数．．（判断对错）【答案】×．【解析】根据一个数的倍数和合数的特点进行解答：一个数的最小倍数是它本身，一个数的倍数的个数是无数个；一个数除了1和它本身之外还有其它因数的数是合数．解答：解：7的最小倍数是7，而7除了1和和它本身7之外没有其它因数，所以7是质数，不是合数．所以“7的倍数都是合数”这个说法是错误的．故答案为：×．点评：解决本题的关键是不能忘记考虑到7本身是质数．7. a、b是两个自然数，且a=3b，那么a、b的最大公因数是，最小公倍数是．【答案】b，a【解析】a、b是两个自然数，且a=3b，说明a是b的整数倍，进而根据当两个数为倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数；由此解答问题即可．解答：解：因为a、b是两个自然数，且a=3b可知a是b的整数倍，所以a、b的最大公因数是b，最小公倍数是a．故答案为：b，a．点评：此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公约数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数．8. A=2×3×5，B=2×5×7，A和B的最大公约数是，最小公倍数是．【答案】10，210．【解析】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，最小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可．解答：解：A=2×3×5，B=2×5×7，A和B的最大公约数是2×5=10A和B的最小公倍数是2×3×5×7=210．故答案为：10，210．点评：此题主要考查求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．9.一个三位数，百位上既不是质数也不是合数，十位上是最小的奇数，个位上是2和3的倍数，这个数是．【答案】116．【解析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；除了1和它本身外，还有别的因数的数叫合数；百位上既不是质数也不是合数的数，是1，十位上是最小的奇数是1，个位上是2和3的倍数是6；由此解答即可．解答：解：由分析可知：该三位数百位上是1，十位上是1，个位上是6，所以这个数是116；故答案为：116．点评：本题关健是要明白质数、合数、奇数的定义．10.把下列各数写成两个质数和的形式24= + = +30= + = + ．【答案】11.13；7，17；13，17；11，19．【解析】首先要明确质数的定义，即一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其它自然数（0除外）整除，那么它就叫做质数（也叫素数）．解答：解：24=11+13=7+1730=13+17=11+19．故答案为：11.13；7，17；13，17；11，19．点评：此题考查了合数与质数，明确质数的定义，是解答此题的关键．。