一元不等式的证明

一元不等式的证明

利用函数性质与最值证明一元不等式是导数综合题常涉及的一类问题，考察学生构造函数选择函数的能力，体现了函数最值的一个作用——每一个函数的最值带来一个恒成立的不等式。此外所证明的不等式也有可能对后一问的解决提供帮助，处于承上启下的位置。 一、基础知识： 1、证明方法的理论基础

（1）若要证()f x C <(C 为常数）恒成立，则只需证明：()max f x C <，进而将不等式的证明转化为求函数的最值 （2）已知()(

),f

x g x 的公共定义域为D ，若()()m i n

m a x

f

x g x >，则

()(),x D f x g x

∀∈>

证明：对任意的1x D ∈，有()()()()11min max ,f x f x g x g x ≥≤

∴由不等式的传递性可得：()()()()11min max f x f x g x g x ≥>>，即

()(),

x D f x g

x

∀∈> 2、证明一元不等式主要的方法有两个：

第一个方法是将含x 的项或所有项均挪至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，通过分析函数的单调性得到最值，从而进行证明，其优点在于目的明确，构造方法简单，但对于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性

第二个方法是利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，转化成为

()()f x g x >的形式，若能证明()()min max f x g x >，即可得：()()f x g x >，本方法的优点在于对x 的项进行分割变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式。

但缺点是局限性较强，如果()min f x 与()max g x 不满足()()min max f x g x >，则无法证明()()f x g x >。所以用此类方法解题的情况不多，但是在第一个方法失效的时候可以考虑尝试此法。

3、在构造函数时把握一个原则：以能够分析导函数的符号为准则。

4、若在证明()0f x >中，解析式()f x 可分解为几个因式的乘积，则可对每个因式的符号进行讨论，进而简化所构造函数的复杂度。

5、合理的利用换元简化所分析的解析式。

6、判断解析式符号的方法：

（1）对解析式进行因式分解，将复杂的式子拆分为一个个简单的式子，判断出每个式子的符号即可得到解析式的符号

（2）将解析式视为一个函数，利用其零点（可猜出）与单调性（利用导数）可判断其符号

（3）将解析式中的项合理分组，达到分成若干正项的和或者若干负项的和的结果，进而判断出解析式符号 二、典型例题： 例1：求证：ln 1x x ≤- 思路：移项构造函数求解即可

证明：所证不等式等价于：ln 10x x -+≤

令()ln 1f x x x =-+ 则只需证明：()max 0f x ≤ ()'111x

f x x x

-=-= 令()'0f x >解得：1x < ∴

()()m a x 10f x f ∴== ()()10f x f ∴≤= 即所证不等式成立 小炼有话说：

（1）此题的解法为证明一元不等式的基本方法，即将含x 的项移至不等号的一侧，构造函数解决。

（2）一些常见不等关系可记下来以备使用：

① ln 1x x ≤- ② 1x e x ≥+ ③ ()sin 0,x x x >∈+∞ 例2：设函数()1x f x e -=-，证明：当1x >-时，()1

x

f x x ≥

+ 思路：本题依然考虑构造函数解决不等式，但如果仅仅是移项，则所证不等式为

101x x e x ---

≥+，令()11

x x

g x e x -=--

+，其导函数比较复杂（也可解决此题），所以考虑先对不等式进行等价变形，转变为形式较为简单的不等式，再构造函数进行证明 证明：111x x e x -≥+111

111

x x x e x e x ⇔≤-⇔≤

++

1x >-，所以所证不等式等价于

110x x e x e x ≥+⇔--≥ 设()1x g x e x =-- ∴只需证()min 0g x ≥即可

()'1x g x e =- 令()'00g x x >⇒>

()g x ∴在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增 ()()min 00g x g == ()()00g x g ≥= 故不等式得证

小炼有话说：本题在证明时采取先化简再证明的策略，这也是我们解决数学问题常用的方法之一，先把问题简单化再进行处理。在利用导数证明不等式的问题中，所谓的“简化”的标准就是构造的函数是否易于分析单调性。 例3：已知函数()()1ln 1f x x x x =+-+，证明：()()10x f x -≥

思路：若化简不等式左边，则所证不等式等价于()()2

21ln 10x x x ---≥，若将左

边构造为函数，则函数的单调性难于分析，此法不可取。考虑原不等式为乘积式，且与0进行比较，所以考虑也可分别判断各因式符号，只需让()1x -与()f x 同号即可。而()1x -的正负一眼便可得出，()f x 的符号也不难分析，故采取分别判断符号的方法解决。 解：()'11

ln 1ln x f x x x x x +=

+-=+ ()''22111

x f x x x x

-=-= ()'f x ∴在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增

()()''110f x f ∴≥=> ()f x ∴为增函数

()10f = ()0,1x ∴∈时，()()10f x f <= ()()10x f x ∴-> [)1,x ∈+∞时，()()10f x f ≥= ()()10x f x ∴-≥

∴综上所述，()()10x f x -≥成立

小炼有话说：与0比较大小也可看做是判断一侧式子的符号，当不等式的一侧可化为几个因式的乘积时，可分别判断每一个因式的符号（判断相对简单），再决定乘积的符号。

例4：已知()ln x f x e a x a =--，其中常数0a > （1）当a e =时，求函数()f x 的极值