连续函数的运算与初等函数的连续性
高数同济§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性
证明某类初等函数具有某种性质
明确要证明的性质和所使用的初等函数类型，如证明某类 函数在某区间内单调、可导等。
根据所给性质，选择合适的证明方法，如利用定义法、导 数法、比较法等。
在证明过程中，需要严格遵循数学逻辑和推理规则，确保 每一步的推导都是正确的。同时，也要注意书写规范和清 晰性，以便他人能够理解和验证证明过程。
举例说明各类初等函数连续性特点
多项式函数
多项式函数在其定义域内是连续的，且其导数和 积分也是连续的。
指数函数和对数函数
指数函数和对数函数在其定义域内也是连续的， 其中指数函数的增长速度逐渐加快，而对数函数 的增长速度逐渐减慢。
三角函数
三角函数（如正弦、余弦、正切等）在其定义域 内是连续的，且具有周期性。
幂函数
幂函数在其定义域内也是连续的，但其连续性受 到指数的影响。例如，当指数为正整数时，幂函 数在定义域内是连续的；当指数为分数时，幂函 数在定义域内可能存在间断点。
04 闭区间上连续函数性质探 讨
有界性定理及证明过程
有界性定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上有界。
性质
连续函数具有局部保号性、局部有界性、运算性质（和、差 、积、商仍连续）等。
间断点分类与判断
第一类间断点
01
左右极限都存在，包括可去间断点（左右极限相等但
不等于函数值）和跳跃间断点（左右极限不相等）。
第二类间断点
02 左右极限至少有一个不存在，包括无穷间断点和震荡
间断点。
判断方法
03
通过计算函数在某点处的左右极限，并与函数值进行
连续函数的运算与初等函数的连续性
x)
u0
.
定理4 若 u (x) 在点 x0 连续，且 (x0 ) u0 , 而
函数 y = f (u) 在点 u u0 处连续，则复合函数 y f (x)
在点 x0 连续 .
例1
求 lim
x2 9 .
x3 x 3
解
lim
x2 9
x2 9 lim
x0
∵ (1 2x) (1 2x) e 解
3 sin x
1 2x
sinx
x
6
1
6
x sin
x
ln(12
x
)
2
x
1
∴ lim(1 2x) e e 3 sin x
lim
x0
6
x sin
x
ln(12
x
)
2
x
6
x0
说明 函数 u(x)v(x) (u(x) 0 , u(x)不恒等于1) 既不是
lim
1
u(x)
1
1 u( x)1v( x)
u ( x)1
elimu( x)1v( x)
说明 在求解此类极限时，先计算 limu(x) 1v(x),
再对极限值取指数 e 即可.
1
例6 求 lim(x 2ex ) x1 . x0
解 因为 所以
lim(x 2ex ) 2 ,
定理3
若
lim
xx0
(x)
(
x0
)
,
u
(x)
,
而函数 y f (u)
在点 u u0 处连续，则有
连续函数的运算及初等函数的连续性
例、讨论函数y = sin 1的连续性
x
lijuan
解：y = sin 1由y = sin u,u = 1 复合而成
x
x
y = sin u当u ∈ (−∞, +∞)连续
u = 1 当x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, +∞)内连续 x
∴ y = sin 1 在(−∞, 0) ∪ (0, +∞)内是连续的（去掉不连续点） x
14
lijuan
定理3与4的比较：
定理3、（1）lim x → x0
g(x)
=
u0存在，
（2）y = f (u)在u = u0处连续
定理4、（1）lim x → x0
g(x)
=
g ( x0
)连续，
（2）lim u →u0
f (u) =
f
(u0 )连续
15
四、初等函数的连续性 lijuan
1、基本初等函数在其定义域内是连续的， 因此，初等函数在其定义区间内连续
证明：∵
lim
x→ x0
g(x)=
g(x0 )
= u0,
lim
u →u0
f (u) =
f
(u0 )
⎫ ⎬
⇐
连续
⎭
连续
= ∴ lim x → x0
f [g(x)] u = g (x)
=
lim f (u)
u →u0
f (u0 )
= f [lim g(x)] x → x0
= f [g(x0 )]
⇒∴连续
13
定理5、设函数u = g(x)当x → x0时极限存在且等于u0，
即：lim x→ x0
g(x) = u0，而函数y
连续函数的运算和初等函数的连续性
定理 20.2. （反函数的连续性）连续严格单调递增（减）函数的反函数也是连 续严格单调递增（减）的。 证明：设 y = f (x) 为区间 I 上的连续严格单调递增函数。由定理 5.1（反函数 存在定理）反函数 x = f -1( y) 存在，并且也是严格单调递增的。不妨假设 I = (a,b) ， y0 = f (x0) ，下面证明反函数 x = f -1( y) 在点 y0 = f (x0) 处连续。任取正
|f (u) − f (u0 )|<ε ，当 u ∈U (u0;δ1) 时。
（20.2）
此外，由已知 limx→x0 g(x) = u0 ，故存在正数δ > 0 ，使得 |g(x) − u0|<δ1 ， 当 x ∈U o (x0；δ ) 时。
（20.3）
由（20.2），（20.3）可知，当 x ∈U o(x0；δ ) 时，有（20.1）成立。最后，若
（II）因为基本初等函数在其定义区间内均为连续的，于是基本初等函数经 过有限次四则运算及复合得到的函数在定义区间内仍然连续，于是，初等函 数在基定义区间内连续。
下面的例子告诉我们使用上述定理 20.3 及注记 20.3（II）能较容易地证明函 数的连续性及极限问题。
例子 20.1：设函数 f (x) 与 g(x) 均在[a,b]上连续，证明函数 h(x) = max{ f (x), g(x)}， s(x) = min{ f (x), g(x)} 在 [a, b] 上连续。 证明：注意到函数 m(u) =| u | 是 (−∞,+∞) 上的连续函数。故由定理 20.3 可知 m( f (x) − g(x)) =| f (x) − g(x) |在[a,b]上连续。于是，所述结果可由下列表达式得 到
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 及 第十节 闭区间上连续函数的性质 ㈠．本课的基本要求了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大最小值定理），掌握连续函数的运算。
㈡．本课的重点、难点连续函数的运算为重点，闭区间上连续函数的性质为难点㈢．教学内容一．连续函数的运算1.连续函数的和、差、积、商的连续性函数的连续性是通过极限来定义的，因此由极限运算法则和连续的定义可得到下列连续函数的运算法则：定理1（四则运算）设)()(),()(),()()(),(0x g x f x g x f x g x f x x g x f ⋅±处连续，则均在（在商的情形下要求0)(0≠x g ）都在0x 处连续。
说明：连续函数的和、差、积、商（若分母不为0）都是连续函数。
∵x x x x cot tan ),(cos sin 、内连续，均在和∴+∞-∞在其定义域内也是连续的。
2.反函数与复合函数的连续性定理 2 如果函数)(x f y =在区间x I 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数)(1y f x -=也在对应的区间}),(|{x y I x x f y y I ∈==上单调增加（或单调减少）。
（证略） 例 由于x y sin =在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上单调增加且连续，所以它的反函数x y arcsin =在闭区间]1,1[-上也是单调增加且连续的。
类似可得：x y arccos =在闭区间]1,1[-上单调减少且连续；x y arctan =在区间),(+∞-∞内单调增加且连续；x arc y cot =在区间),(+∞-∞内单调减少且连续。
总之反三角函数在它们的定义域内都是连续的。
定理3（复合函数极限定理） 设函数)(x u ϕ=当0x x →时极限存在且等于a ，而函数)(u f y =在点a u =连续，那么复合函数)]([x f y ϕ=当0x x →时极限存在，且等于)(a f ，即)()]([lim 0a f x f x x =→ϕ。
第07讲 函数的间断点 连续函数的运算及初等函数的连续性
内容提要：
函数的间断点
连续函数的和，差，积，商的连续性 反函数与复合函数的连续性 初等函数的连续性
一.函数的间断点 1.定义：
x 0 而属于 f x 设 x 0 的任何邻域内均有不同于
定义域中的点，且f x 满足下列三条件之一：
●利用数列中的公式及有关恒等式（先求和） ●单调有界性或夹逼性．（综合性较强的方法）
小结：
会判定各种不同类型的间断点
能从根本上区分两类间断点
会用初等函数的连续性求极限
作业：
第80页习题1-9：
2，4
第85页 习题1-10：
1，2(4-7)，3(2,4)，4
x 0
左右极限存在但不相等， 故为第一类间断点。
图象上有一跳跃，称为跳跃间断点．
-1
例3 判定函数 y tan x 有无间断点，若有，指出其类型。 解 因为 y tan x 在 x 处无定义且 lim tan x
2
x
tan x 的无穷间 故在这些处为第二类间断点， 称 为
其图象为：
y 2 1
x2 1 y x 1
O
1
x
x 1, x 0 例2 判定函数 f ( x) 有无间断点， 若有， 0, x 0 x 1, x 0 y 指出其类型。
解 因为该函数有
x 0
1 O x
lim f ( x) 1, lim f ( x) 1 ，
证明 y f (u )在 u a处 c.t. ,
对于 0, 0s.t. 当 u a 时，
f (u ) f ( a )
连续函数运算法则和初等函数连续性
指数函数和对数函数的连续性
指数函数
$f(x) = a^x$，其中 $a > 0, a neq 1$。 对于任意 $x_0$，有 $f(x_0) = a^{x_0}$， 因此，指数函数在定义域内是连续的。
VS
对数函数
$f(x) = log_a x$，其中 $a > 0, a neq 1$。 对于任意 $x_0 > 0$，有 $f(x_0) = log_a x_0$，因此，对数函数在定义域内也是连 续的。
如果函数在区间内的每一点都连续，则函数在该区间上连续 。
连续函数的性质
局部性质
如果函数在某点连续，则在该点 附近具有局部性质，如局部有界 性、局部单调性等。
整体性质
如果函数在区间上连续，则在整 个区间上具有整体性质，如整体 有界性、整体单调性等。
连续函数的图像
01
连续函数的图像是连续的曲线或 折线，没有间断点。
应用
可以用来证明一些不等式和求解方程的近似解。
开区间上连续函数的不动点定理
不动点定理
应用
如果函数在闭区间上连续，且在该区间内存 在一个不动点，即函数值等于该点的函数值， 则在该区间内至少存在一个不动点。
可以用来证明一些数学问题，如解方程的近 似解和求解优化问题等。
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05
初等函数在开区间上的连续性
开区间上连续函数的性质
极限性质
如果函数在某点的极限存在，则该点是函数 的连续点。
局部性质
如果函数在某点的左右极限相等，则该点是 函数的连续点。
增减性
如果函数在某区间内单调增加或单调减少， 则该区间内函数是连续的。
开区间上连续函数的介值定理
19连续函数的运算与初等函数的连续性
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三、初等函数的连续性 ★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.
★ 指数函数 y a x (a 0, a 1)
在(,)内单调且连续;
★ 对数函数 y log x (a 0, a 1) a 在(0,)内单调且连续;
Jlin Institute of Chemical Technology
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二、反函数与复合函数的连续性
定理4 如果函数y=f(x),在区间Ix上单调增加(或单调减少) 且连续,那么它的反函数x=φ(y)也在对应的区间
Iy={y|y=f(x),x ∈Ix}上单调增加(或单调减少)且连续
例1 y sin x在[ , ]上单调增加且连续,
22 故 y arcsin x 在[1,1]上也是单调增加且连续. 同理 y arccos x 在[1,1]上单调减少且连续; y arctan x, y arccot x 在[,]上单调且连续.
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例6 求 lim a x 1 .
x0
x
解 令 ax 1 t,
则 x log (1 t), a
当x 0时, t 0.
原式 lim t y0 log (1 t )
a
1
lim t0
1
log (1 t)tห้องสมุดไป่ตู้
a
lna
Jlin Institute of Chemical Technology
9
1 6 66
定理4 设函数u ( x)在点x x 连续, 且 0
( x ) u , 而函数y f (u)在点u u 连续,
1-9连续函数的运算与初等函数的连续性
1-9连续函数的运算与初等函数的连续性<i>高等数学上册第一章函数与极限课件好东西,一起分享</i>一、四则运算的连续性定理1:若函数f ( x ), g( x )在点x0处连续,f ( x) 则f ( x ) g( x ), f ( x ) g( x ), (g ( x 0 ) 0) g( x ) 在点x0处也连续.即连续函数经过四则运算后还是连续的。
例如sin x, cos x在( , )内连续,sin x 故tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续. cos x 即三角函数在其定义域内连续.<i>高等数学上册第一章函数与极限课件好东西,一起分享</i>二、反函数的连续性定理2:单调递增(递减)的连续函数必有单调递增(递减)的连续反函数.例如, y sin x在[ , ]上单调增加且连续, 2 2 故y arcsin x 在[ 1,1]上也是单调增加且连续.同理y arccos x 在[ 1,1]上单调减少且连续;y arctan x, y arc cot x 在( , )上单调且连续.反三角函数在其定义域内连续.<i>高等数学上册第一章函数与极限课件好东西,一起分享</i>可以证明指数函数y a (a 0, a 1)x在( , )内单调且连续. 对数函数y log a x (a 0, a 1)在(0, )内单调且连续;<i>高等数学上册第一章函数与极限课件好东西,一起分享</i>三、复合函数的连续性定理3:如果lim ( x ) u0 , 且函数f ( u)在点u0x x0连续, 则有lim f [ ( x )] lim f ( u) f ( u0 ).x x0 u u0令( x ) u即x x0lim f [ ( x )] f [ lim ( x )].x x0意义：如果f 是连续函数，求极限时可以把极限符号与函数符号交换。
高等数学连续函数运算与初等函数连续性
x0 x 0 的连续性。
e
2x
2
x
1
,
x0
解：在（ ，0）上，f ( x) sin x 是初等函数，处处连续； x
在（0， ）上，f ( x) e 2x 1 也是初等函数，处处连续； 2x
在点x 0处，lim f ( x) lim e 2x 1 lim 2 x 1
f ( x0 )
( x0 定义区间)
例1 求 lim sin e x 1. x1
解 原式 sin e1 1 sin e 1.
例2 求 lim 1 x2 1 .
x0
x
解 原 式 lim ( 1 x2 1)( 1 x2 1)
x0
x( 1 x2 1)
x x0
x x0
定理4 设函数u ( x)在点 x x0连 y f (u)在点u u0 连续,
则复合函数y f [( x)]在点 x x0也连续.
注意 定理4是定理3的特殊情况.
例如,
u 1 在( , 0) (0, )内连续, x
f ( x) g( x),
f ( x) g( x),
f (x) g( x)
( g( x0 ) 0)
在点 x0 处也连续
证
lim
x x0
f (x) g(x)
lim
x x0
f ( x) lim g( x) x x0
f ( x0 ) g( x0 ).
故 f ( x) g( x) 在点 x0 处也连续，其它同理可证。
x0 x y0 ln(1 y)
特别地
1
(1 x)n 1
连续函数的运算与初等函数的连续性
2021/4/10
5
例求 解 原式
3 sin
x
ln(1
2x)
3 2x
x
说明 若 lim u(x) 0, lim v(x) , 则有
x x0
x x0
lim 1 u(x) v(x) e
x x0
lim v(x)u(x)
e xx0
2021/4/10
6
求下列函数极限：
(1 x)ecos x
例8 求 lim ln(1 x) .
x0
x
1
1
解 原式 lim ln(1 x)x ln[lim(1 x)x ] ln e 1.
x0
x0
2021/4/10
4
例9
求
ex lim
1.
x0 x
解 令 e x 1 y, 则 x ln(1 y), 当x 0时, y 0.
原式 lim y lim y0 ln(1 y) y0
1 1 1.
ln(1 y) y
定理4 设函数 u ( x)在点 x x0连续, 且( x0 ) u0 , 而函数 y f (u)在点u u0 连续,则复合函数 y f [( x)]
在点 x x0也连续.
注 定理4是定理3的特殊情况.
y cos u, u x2是连续函数, 故复合函数 y cos x2也是连续函数.
0 过程, 常常需要因式分解、约分、通分或分子分母同乘以函数.
来化简. 记住结论: lim Pn ( x) Pn ( x0 ) x x0 Qm ( x ) Qm ( x0 )
2. 利用重要极限
lim sin x 1,
lim(1
1 )x
lim(1
1
连续函数的运算与初等函数的连续性
结论 反三角函数在其定义域内皆连续.
指数函数 y e x (, )内单调增加且连续， 对数函数 y ln x在(0, )内单调增加且连续 .
y
y ex
1
o1
y ln x
x
2.复合函数的连续性
定理3
若
lim
x x0
g(
x)
u0
,
而函数 f (u)在点u0连续,
lim
x x0
f [g( x)] lim uu0
y sin 1 在(, 0) (0, )内连续. x
y
y sin 1
x
o
x
三、初等函数的连续性
已有结果： (1) 三角函数在它们的定义域内是连续的. (2) 反三角函数在它们的定义域内是连续的. (3) 指数函数 y a x (a 0, a 1)在(, )内连续.
(4) 对数函数 y loga x (a 0, a 1)在(0, )内连续. (5)幂函数 y x在定义区间内连续.
基本初等函数在定义区间内连续.
y x e ln x
y eu , u ln x.
在(0, )内连续, 讨论不同值,
(均在其定义域内连续 )
基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续
一切初等函数 在定义区间内 连续
例如
y 1 x2 的连续区间为[1,1].(端点为单侧连续) y lnsin x的连续区间为(2n π, (2n 1) π ) , n Z.
lim sin x 1， x0 x
x0
cos x1
解:
原式
lim
[1
(cos
x
1
1)]cos x1
高等数学1.10连续函数的运算与初等函数的连续性教师教材.ppt
limf [j(x)]=f(u0)=f [j(x0)]．
x x0
青苗辅导
8
例 4 讨论函数 y=sin1 的连续性． x
解 函数 y=sin1 可看作是由 y=sin u 及 u1= 复合而成的．
x
x
sin u 在(-, +)内连续，1 在(-, 0)和(0, +)内连续． x
由定理 6，函数 sin1 在无限区间(-，0)和(0，+)内是连续的． x
青苗辅导
9
三、初等函数的连续性
基本的连续函数： 三角函数： sin x ， cos x ， tan x ， cot x ； 反三角函数：arcsinx ，arccosx ，arctanx ，arccotx ； 指数函数：a x (a>0，a 1)； 对数函数：log ax (a>0，a 1)； 证明 指数函数ax (a>0，a1)对于一切实数x 都有定义，且
例 2 由于 y=sin x 在闭区间[- ， ]上单调增加且连续，
22 加且连续，所以它的反函数y=arcsin x 在区间[-1,1]上也是单调 增加且连续的．
青苗辅导
4
同样，y=arccos x 在区间[-1，1]上也是单调减少且连续； y=arctan x 在区间(-，+)内单调增加且连续；y=arccot x 在区 间(-，+)内单调减少且连续．
点 x0=0 是初等函数 f(x)= 1 - x2 的定义区间[-1，1]上的点，
所以lim 1 - x2 = 1 =1； x0
又如
点 x 0=
2
是初等函数 f(x)=ln sin x
的一个定义区间（0，）内
高数同济1.9连续函数的运算与初等函数的连续性
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sin x
练例习4 讨 论 函 数f
(x)
1
x
x0 x 0 的连续性。
e
2x
2
x
1
,
x0
解：在（- ，0）上，f ( x) sin x 是初等函数，处处连续； x
在（0，+ ）上，f ( x) e 2x - 1 也是初等函数，处处连续； 2x
在点x 0处，lim f ( x) lim e 2x - 1 lim 2 x 1
x0+
x0+ 2 x
x0+ 2 x
lim f ( x) lim sin x 1 lim f ( x) 1 f (0),
x0-
x x0-
x0
f ( x)在定义域上处处连续。
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练例习5设 lim u( x) A 0, lim v( x) B,则
x x0
x x0
lim
特别地
原式 lim x lna lna x
ex -1
lim
1.
x0 x
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思考: 求 解: 原式
3 sin
x
ln(1
+
2
x)
3 2x
x
说明: 若 lim u(x) 0, lim v(x) , 则有
x x0
x x0
lim 1+ u(x) v(x) e
x x0
lim v(x)u(x)
即 ln(1 + x)
ln(1 + y)
1,
当x 0时, y 0.
(1 + x) - 1
y ln(1 + x)
初等函数的连续性
(均基在本其初定等义函域数内在连定续义)域内是连续的.
13
连续函数的运算与初等函数的连续性
基本初等函数在定义区间内连续 一切初等函数
连续函数经四则运算仍连续
在定义区间内
连续函数的复合函数连续
连续
注 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;
则称{[ an , bn ]}构成一个区间套.
• Thm 3.16 设 {[an , bn ]}是一个区间套，
则必存在唯一的实数 r , 使得 r 包含在所有
的区间里，即
r
[an
,
bn
].
n 1
证明：P75 2
闭区间上连续函数的性质
二、介值定理 零点定理
定理(方程实根的存在定理) 设 f ( x) C[a, b],
x 0, x 0,
20
连续函数的运算与初等函数的连续性
思考题2 (是非题)
设y f (u), u g( x),且 lim g( x)存在,
y
f (u)在u0
x x0
g( x0 )处有定义,则
lim f [g( x)] f [ lim g( x)]
x x0
x x0
非
设y
f
(u)
1, 1,
例
求
limsin1
1
x
x x
g( x)
解
由
lim
x
g(
x)
lim1 x
1 x
x
e,
sinu在u e连续,
所以sliimnmlsiimn1 xxx
1 x
xx
sin
第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性
第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性要求：会利用函数的连续性求函数的极限，会讨论分段函数的连续性。
重点：利用函数的连续性求函数的极限。
难点：分段函数连续性的讨论。
作业：习题1－10（86P ）4)5)6)7)3)4)1,2,3,4 问题提出 为了讨论函数的连续性，用定义逐点讨论将是很困难的．但是，如果我们用连续函数的一些特殊性质来讨论将会方便得多，因此来讨论连续函数的四则运算，复合运算，从而讨论我们主要研究对象――初等函数连续性．一、连续函数的和、差、积及商的连续性定理1 有限个在某点连续函数的和（差）是在该点的连续函数．定理2 有限个在某点连续函数的乘积是在该点的连续函数．定理3 两个在某点连续函数的商是在该点的连续函数，且分母在该点不为零．例1． 函数xx x x x x sin cos cot ,cos sin tan ==，因为x x cos ,sin 在区间),(+∞-∞内连续，故由定理3知正切x tan 和余切函数x cot 在它们的定义域内是连续函数． 结论2 三角函数在它们的定义域内是连续函数．二、反函数与复合函数的连续性定理4 如果函数)(x f y =在区间x I 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数)(y x ϕ=在对应的区间{}x y I x x f y I ∈==)(上单调增加（或单调减少）且连续．例2． 正弦函数x y sin =在区间]2,2[ππ-上单调增加且连续，所以它的反正弦函数x y arcsin =在相应的闭区间]1,1[-上也是单调增加且连续．同样，反余弦函数x y arccos =在区间]1,1[-上是单调减少且连续；反正切函数x y arctan =在区间),(+∞-∞内是单调增加且连续；反余切函数x arc y cot =在),(+∞-∞是单调减少且连续．结论3 反三角函数在它们的定义域内是连续函数．定理5 设函数)(x u ϕ=当0x x →时的极限存在且等于a ，即a x x x =→)(lim 0ϕ，而函数)(u f y =在点a u =处连续，那么复合函数)]([x f y ϕ=，当0x x →时的极限也存在且等于)(a f ，即)()]([lim 0a f x f x x =→ϕ． 说明（1）上式又可写为)](lim [)]([lim 00x f x f x x x x ϕϕ→→=； （2）定理5中的0x x →换成∞→x 可得类似定理．例3．求极限0sin lim arctan x x x→． 解 00sin sin lim arctan arctan(lim )arctan1x x x x x x →→==4π=． 定理6 设函数)(x u ϕ=在点0x 处连续且00)(u x =ϕ，而函数)(u f y =在点0u 处连续，那么复合函数)]([x f y ϕ=在点0x 处也是连续的．证明 因为lim ()()u af u f a →=，所以0,0,εη∀>∃>当||u a η-<时，有 |()()|f u f a ε-<．又因为()x ϕ在点0x 连续，所以对上述的0η>，0δ∃>，当0||x x δ-<时，有 |()|x a ϕη-<即 ||u a η-<于是，对0,0,εδ∀>∃>当0||x x δ-<时，总有|[()]()|f x f a ϕε-<所以复合函数)]([x f y ϕ=在点0x 处连续．例4．讨论函数2sin(325)y x x =++及xy 1sin =的连续性． 解 函数2sin(325)y x x =++可看作由u y sin =及2325u x x =++复合而成，而正弦函数u y sin =在区间+∞<<∞-u 内是连续函数，又函数2325u x x =++在(,)-∞+∞内是连续函数，据定理6知复合函数2sin(325)y x x =++在区间(,)-∞+∞内是连续函数． 函数x y 1sin=可看作由u y sin =及xu 1=复合而成，而正弦函数u y sin =在区间+∞<<∞-u 内是连续函数，又函数xu 1=在0<<∞-x 和+∞<<x 0内是连续函数，据定理6知复合函数xy 1sin =在区间)0,(-∞和),0(+∞内是连续函数． 三、初等函数的连续性 1． 指数函数)1,0(≠>=a a a y x 在区间),(+∞-∞内是连续函数．证明 对任),(0+∞-∞∈x ，000(1)x x x x x y aa a a +∆∆∆=-=-，在极限部分已证明极限1lim 0=→x x a ，所以1lim 0=∆→∆x x a ，故0)1(lim lim 000=-=∆∆→∆→∆x x x x a a y ，因此指数函数x a y =在点0x 处连续，又由于),(0+∞-∞∈x 的任意性，指数函数x a y =在),(+∞-∞内连续．2． 对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 在区间),0(+∞内是连续函数．由指数函数x a y =单调性和连续性得到．3．幂函数μx y =（μ为任何实数）．幂函数定义域随μ而变，不过在),0(+∞内总是有定义的，因此幂函数在),0(+∞内是连续的．因为x e x y ln μμ==，函数u e y =与x u ln μ=都是连续的，由定理6可知幂函数μx y =在区间),0(+∞内连续．4．幂指函数形如)0)((,)()(>=x u x u y x v 的函数称为幂指函数．若函数(),()u x v x 连续，且()0u x >，则幂指函数()()v x y u x =连续．若极限B x v A A x u x x x x =>=→→)(lim ),0()(lim 00，则B x v x x A x u =→)()(lim 0． 例5．求极限2sin 0lim(1)x x x →+．解 2sin 0lim(1)x x x →+12sin 0lim(1)x x x x x ⋅→=+012lim 2sin 0lim(1)x x x x x x e →⋅→=+=结论4 指数函数，对数函数，幂函数在它们的定义域内连续．5．初等函数连续性（1）基本初等函数在它们的定义域内是连续函数．（2）一切初等函数在其定义区间内是连续的．（定义区间：包含在定义域内的区间） 说明 由连续性提供了求极限的方法，如果)(x f 是初等函数，且0x 是函数)(x f 的定义区间内的点，则有)()(lim 00x f x f x x =→． 例6．求极限x x sin ln lim 2π→．解 因为20π=x 是初等函数x x f sin ln )(=定义区间内的点，所以02sinln sin ln lim 2==→ππx x ．例7．求极限0x →．解0lim x x →2012x x →→===-． 例8． 求极限0log (1)lim a x x x→+． 解 0l o g (1)l i m a x x x →+ae x x a x x a x a x ln 1log )1(lim log )1(log lim 1010==+=+=→→， 若e a =，则1)1ln(lim 0=+→xx x ． 例9．求极限xa x x 1lim 0-→． 解 x a x x 1lim 0-→a t t a t t a x ln )1(log lim 01=+→=-=， 若e a =，则11lim 0=-→xe x x ． 例10．求极限xx x )21ln(lim 0+→． 解 2ln )21(lim ln )21ln(lim )21ln(lim 22210100==+=+=+⋅→→→e x x xx x x x x x ． 又同理可得331lim 1lim 0330=⋅--→=→=t e x e tt t x x x ． 从上面两例可得到，11lim ,1)1ln(lim 00=∆-=∆∆+∆→∆→∆e ，（∆中变量一样）． 例11．求极限)0()1(lim >-∞→a a n n n ．解 由于∞→n 改为连续变量+∞→x ，令t x =1，则 =-+∞→)1(lim x x a x =-+∞→x a x x 11lim 1=-+∞→xa x x 11lim 1=-→t e a t t 1lim ln 0a a at e a t t ln ln ln 1lim ln 0=-→， 又由函数极限与数列极限关系定理，当n 为自然数时，有a a n n n ln )1(lim =-∞→． 例12．当b 为何值时，函数⎩⎨⎧≤+>=1,1,)(2x b x x x x f 在区间),(+∞-∞上连续．解 当1>x 时，2)(x x f =为初等函数，所以是连续函数，当1<x 时，b x x f +=)(为初等函数, 所以是连续函数，当1=x 时，若使函数在1=x 处连续，必有)1()01()01(f f f =+=-，即11=+b ，所以，当0=b 时，函数)(x f 在点1x =处连续，从而在区间),(+∞-∞上连续．6．常用的基本极限（1）设m m m n n n b x b x b x Q a x a x a x P +++=+++=-- 110110)(,)(，（n m b a ,,0,000≠≠为自然数）则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≠=∞≠=→0)(,0)(0)(,0)(,0)(,)()()()(l i m 00000000x P x Q x P x Q x Q x Q x P x Q x P x x 消去零因子，， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<∞>==∞→n m n m n m b a x Q x P x ,,0,)()(lim 00． （2）21cos 1lim ,1tan lim ,1sin lim 2000=-==→→→x x x x x x x x x ． （3）e x e xx x x x =+=+→∞→10)1(lim ,)11(lim ， )1)1ln(lim (ln 1)1(log lim 00=+=+→→xx a x x x a x ， )11lim (ln 1lim 00=-=-→→xe a x a x x x x ． （4）)0(1lim ,1lim >==∞→∞→a a n n n n n ． （5）2arctan lim ,2arctan lim ππ-==-∞→∞→x x x xπ==-∞→+∞→x arc x arc x x cot lim ,0cot lim0lim ,lim =∞=-∞→+∞→x x x x e e ．。
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在( −∞ ,+∞ )内单调且连续;
3
对数函数 y = log a x
(a > 0, a ≠ 1)
在(0,+∞ )内单调且连续 ;
4
注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续; 例如, 定理4 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 注意 2. 初等函数求极限的方法代入法. 注：定义区间是指包含在定义域内的区间.
−2
9
10
2
连续函数的运算与初等函数的连续性
定理1
若函数 f ( x ), g ( x )在点 x0处连续 , f ( x) ( g ( x0 ) ≠ 0 ) g( x )
二、反函数与复合函数的连续性
定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数. 例如, y = sin x在[− , ]上单调增加且连续 , 2 2 故 y = arcsin x 在[−1,1]上也是单调增加且连续 .
反三角函数在其定义域内皆连续.
2
初等函数的连续性
定理3
设函数 u = ϕ( x ) 在点 x = x0连续, 且 ϕ( x0 ) = u0 , 而函数 y = f ( u) 在点 u = u0 连续, 则复合函数 y = f [ϕ( x )]在点 x = x0也连续 .
三角函数及反三角函数在它们的定义 域内是连续的.( x ) ⋅ g ( x ), 在点 x0处也连续 .
π π
例如, sin x , cos x在 ( −∞ ,+∞ )内连续 ,
故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续 .
1
同理 y = arccos x 在[−1,1]上单调减少且连续 ; y = arctan x , y = arc cot x 在[−∞ ,+∞ ]上单调且连续 .
7
8
例 a，b为何值时，函数 ⎧ax + b ⎪ f ( x) = ⎨ 2 ⎪ln(bx + 1) ⎩
2
例 确定常数a，使函数
0 < x <1 x =1 1< x ≤ 3
x = 1处连续，并求函数的连续区间.
⎧ (2 x3 + cos 2 x) x , x ≠ 0 ⎪ f ( x) )= ⎨ x=0 ⎪ ⎩ a, 在定义域内连续.
x → x0
y = cos x − 1,
D : x = 0,±2π ,±4π , "
这些孤立点的邻域内没有定义.
lim f ( x) = f ( x0 )
( x0 ∈ 定义区间 )
5
6
1
例 求极限 x + ex lim x →1 arctan x
例 讨论函数在定义域上的连续性.
1 ⎧ x− 2 x<2 ⎪e f ( x) = ⎨ π ⎪sin x≥2 x ⎩