高等数学11-1第二次单元测验试卷答案201212

重庆大学 高等数学Ⅱ-1-2 课程试卷

juan

2012 ~2013

学年 第 1学期 开课学院： 数学 课程号： 10019565 考试日期： 20121215

考试方式：

考试时间： 120 分钟

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1.若lim ()x f x k →∞

'=，则lim[()()]x f x a f a →∞

+-为【A 】

A ．ka

B ．k

C ．a

D ．不存在

2.若()x

f x e -=，则(ln )

f x dx x

'=⎰

【A 】 A ．1c x

+ B ．1

c x -+ C ．x c + D ．x c -+

3.曲线221

x x

y x +=-渐近线的条数为【C 】

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

4.极限2

lim ln

()()

x x x x a x b →+∞=-+【C 】 A ．

0 B ．1 C ．a b -

D ．b a -

5.设曲线2

x y e

-=，则其拐点的个数为【B 】

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

二、填空题（每小题3分，共15分） 1.设ln sin y x =，在5[

,]66

ππ

上满足罗尔中值定理中的ξ=

2

π 2.

= ln(x c ++

3.若()f x 的一个原函数为

tan x x ，则()xf x dx '=⎰ 2

2t a n s e c x x c x

-+ 4.极限011lim ln(1)x x x →⎡⎤-=⎢

⎥+⎣

⎦ 1

2 5.曲线2

()sin()f x x =，则(6)

(0)f

= 120-

解法1：2()sin(),(0)0f x x f ==

2()2cos(),(0)0f x x x f ''==

22222()2cos 4sin 2cos 4(),(0)2f x x x x x x f x f ''''=-=-=

222()4sin 8()4()12()4(),(0)0f x x x xf x x f x xf x x f x f ''''''''=---=--= (4)2()12()12()8()4()f x f x xf x xf x x f x ''''=----

212()20()4()f x xf x x f x '''=---

(5)2()12()20()20()8()4()f x f x f x xf x xf x x f x '''''''''=-----

232()28()4()f x xf x x f x ''''''=---

(6)2(4)()32()28()28()8()4()f x f x f x xf x xf x x f x ''''''''''=-----

2(4)60()36()4()f x xf x x f x '''''=---

.(6)

(0)120f

=-

解法2：35

11sin 3!5!x x x x =-

++ 2261011

()sin 3!5!

f x x x x x ==-++

(6)1

(0)6!1203!

f =-⋅=-

三、计算题（一）（每小题8分，共24分）

命

题人：

组

题人：

审题人：

命题时间：

教

务处制

学院 专业、班 年级 学号 姓名

公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊

封

线

密

1.求a ，使函数1()sin sin 33

f x a x x =+

在3x π=处取得极值，并问3x π

=是()f x 的

极大值还是极小值，再求其极值。

解：因()cos cos3f x a x x '=+，则1

()1032f a π

'=-=知2a =，故

()2sin 3sin3f x x x ''=--

()03f π''=<

，从而()3

f π

=

2.计算不定积分(sin cos )cos 2n

I x x xdx =+⎰，其中n 为正整数。

解法1：()2

2(sin cos )

cos

sin n

I x x x x dx =+-⎰

1(sin cos )(sin cos )n x x d x x +=++⎰ 21

(sin cos )2

n x x c n +=

+++ 解法2：2

2

211(1sin 2)sin 2(1sin 2)22

n n I x d x x c n +=+=

+++⎰ 解法3：2

2sin()sin 2()44n

n I x x dx ππ⎡

⎤=++⎢⎥⎣

⎦⎰

1

12

2

sin()sin()44

n n

x d x ππ

++⎡

⎤=++⎢⎥⎣⎦

⎰

2

2

2sin()24n

n x c n π+⎡⎤=++⎢⎥+⎣⎦

3.

计算不定积分

3

.dx ⎰

解法1：令2tan ,arctan ,2

2

x x t x x π

π

==-

<<

，则

3

3238tan 2sec 8tan sec 2sec t

tdt t tdt t =⋅=⎰⎰

238

8(sec 1)sec sec 8sec 3

t d t t t c =-=-+⎰

3

13

c =- 解法2

：

3

2221122x t ==

222341412(4)423

u

t u u udu u du u u c u =--⋅=-=-+⎰⎰

313

c =-

四、计算题（二）（第1至2题每小题8分，第3题9分，共25分） 1.计算积分2

2

(ln )x x dx ⎰

。 解法1：22

2332

2111(ln )(ln )(ln )2ln 333x x dx x dx x x x xdx =

=-⋅⎰

⎰⎰

32312

(ln )ln ()39x x xd x =-⎰ 3233122(ln )ln 3927

x x x x x c =-++ 解法2：令ln ,u

x u x e ==，则

222223(ln )u u u

x x dx e u e du u e du =⋅=⎰⎰⎰

2.计算极限1lim

.1ln x

x x x x x

→--+ 解：教材上的例子

3.一商家销售某种商品的价格满足关系70.2p x =-（万元/吨），x 为销售量（单位：

吨），商品的成本函数是31c x =+（万元）。（1）若每销售一吨商品，政府要征税t 万元，求该商家获最大利润时的销售量；（2）t 为何值时，政府税收总额最大。 解：（1）总税额T tx =，商品销售总收入为

2(70.2)70.2R px x x x x ==-=-

利润函数为2

()0.2(4)1L x R C T x t x =--=-+--