高等数学11-1第二次单元测验试卷答案201212
河北衡水中学2011~2012学年度下学期一调考试高三数学试题 全解析(理科 )
河北衡水中学2011~2012学年度下学期一调考试高三数学试题 全解析(理科 )本试卷分第I 卷(选择题60分)和第Ⅱ卷(非选择题90分)两部分。
一共6页。
共24题。
本试卷共150分,考试时间120分钟.祝各位考生考试顺利!第I 卷(选择题60分)一、选择题(每小题5分,共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上)1.集合{}Z x x x A ∈≤+=,21,{}11,3≤≤-==x x y y B ,则=B A ( D ) A .(]1,∞-B.[]1,1-C.φD.{}1,0,1-2.若z 是复数,且()13=+i z (i 为虚数单位),则z 的值为 ( B )A .i +-3 B.i --3 C.i +3 D.i -33.已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示, 则甲、乙两人在这十场比赛中得分的平均数与方差的大小关系为( D ) A . 乙甲x x < 22x x S S <<乙甲,乙甲 B. 乙甲x x < 22x x S S <>乙甲,乙甲 C. 乙甲x x >22x x S S >>乙甲,乙甲D. 乙甲x x > 22x x S S><乙甲,乙甲4. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( C )A .2B .1C .23 D .135.设x ,y 满足36020,3x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩若目标函数z=ax+y (a>0)的最大值为14,则a=( B ) A .1 B .2C .23D .5396.等差数列{n a }前n 项和为n s ,满足4020s s =,则下列结论中正确的是( D ) A 、30s 是n s 中的最大值 B 、30s 是n s 中的最小值 C 、30s =0 D 、60s =0 7.阅读右面程序框图,任意输入一次(01)x x ≤≤与(01)y y ≤≤,则能输出数对(,)x y 的概率为( A )A .13B .23C .14 D .34乙 甲 8 6 4 3 1 58 6 3 2 4 58 3 4 9 45 01 3 1 6 798.若函数sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>,||2πϕ<)在一个周期内的图象如图所示,,M N 分别是这段图象的最高点和最低点,且ON OM ⋅=0,(O 为坐标原点)则A ω⋅=( C ) A 、6πB 、712π C 、76π D 、73π 9.已知双曲线221916x y -=,其右焦点为F ,P 其上一点,点M 满足MF =1,0=⋅MP MF ,则MP 的最小值为( B )A 3B 3C 2D 210.设D 是正123PP P ∆及其内部的点构成的集合,点0P 是123PP P ∆的中心,若集合0{|,||||,1,2,3}i S P P D PP PP i =∈≤=,则集合S 表示的平面区域是( D )A . 三角形区域B .四边形区域C . 五边形区域D .六边形区域11.如图,已知平面α⊥平面β,A 、B 是平面α与平面β的 交线上的两个定点,,DA CB ββ⊂⊂,且DA α⊥,CB α⊥,4AD =,8BC =,6AB =,在平面α上有一个动点P ,使得APD BPC ∠=∠,则PAB ∆的面积的最大值是( C )A239 B 536 C 12 D 2412.已知函数()||,()xx af x e a R e=+∈在区间[0,1]上单调递增,则实数a 的取值范围是( C )A . [0,1]a ∈B . ]0,1[-∈a C. [1,1]a ∈- D. ),[],(22+∞⋃--∞∈e e a 第Ⅱ卷( 90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13. 为了测量一古塔的高度,某人在塔的正西方向的A 地测得塔尖的仰角为45°,沿着A 向北偏东30°前进100米到达B 地(假设A 和B 在海拔相同的地面上),在B 地测得塔尖的仰角为,则塔高为_____ 米5014.已知函数()f x 满足:1(1)4f =,4()()()(),(,)f x f y f x y f x y x y R =++-∈,则(2010)f =____________.12βαA CBP D解:令1y =则4()(1)(1)(1),(,)f x f f x f x x y R =++-∈()(1)(1)f x f x f x ∴=++-∴(1)(2)()f x f x f x +=++ ∴()(2)f x f x =+ ∴(2010)(0)f f =令1y =则1(0)2f =∴1(2010)2f =15.在平面直角坐标系中,定义点),(),,(2211y x Q y x P 之间的“直角距离”为||||),(2121y y x x Q P d -+-=。
福建师大附中11-12学年度下学期高一数学期末模块测试新人教A版
某某师大附中2011—2012学年度下学期末模块测试高一数学试题本试卷共4页.满分150分,考试时间120分钟.注意事项:将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷.一、选择题:本大题有12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 1.sin 300tan 240oo+的值是 A .23-B .23C .321+-D .321+ 2.函数2cos 2y x =+是A .最小正周期为π的偶函数B .最小正周期为π的奇函数C .最小正周期为2π的偶函数D .最小正周期为2π的奇函数 3.已知(2,3)A ,(3,0)B ,且2AC CB =-,则点C 的坐标为 A .(3,4)-B .(4,3)-C .8(,1)3D .8(1,3-4.已知a b a ,2||,1||==与b 的夹角为600,若ka b +与b 垂直,则k 的值为A .4-B .4C .43-.435.若把函数cos y x =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变),然后再把图象向左平移6π个单位,则所得图象对应的函数解析式为 A .1cos(26y x π=+B .1cos()212y x π=+C .cos(2)6y x π=+D .cos(2)3y x π=+6.已知扇形的周长是6cm ,面积是22cm ,则扇形的中心角的弧度数是 A .1 B .4 C .1 或4D .2 或47.若,αβ为锐角,且满足45cos ,cos(),513ααβ=+= 则sin β的值是 A .1665B .3365C .5665D .63658.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如图所示,如果2||,0,0πϕω<>>A ,则第14题图A .4=AB .1=ωC .6πϕ=D .4=B9.已知以原点O 为圆心的单位圆上有一质点P ,它从初始位置013()2P 开始,按逆时针方向以角速度1/rad s 做圆 周运动.则点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系为 A .sin(),03y t t π=+≥B .sin(),06y t t π=+≥ C .cos(),03y t t π=+≥D .cos(),06y t t π=+≥ 10.若(010,)4k k k Z πθ=≤≤∈,则sin cos 1θθ+≥的概率为 A .15B .25C .211D .61111.设()2sin()f x x m ωϕ=+-,恒有()()2f x f x π+=-成立,且(14f π=-,则实数m的值为A .1±B .3±C .-3或1D .-1或312.若两个函数的图象仅经过若干次平移后能够重合,则称这两个函数为“同形”函数.给出下列三个函数:1()22f x x =,2()sin cos f x x x=+,3()2)16f x x π=++,则A .123(),(),()f x f x f x 两两为“同形”函数B .12(),()f x f x 为“同形”函数,且它们与3()f x 不为“同形”函数C .23(),()f x f x 为“同形”函数,且它们与1()f x 不为“同形”函数D .123(),(),()f x f x f x 两两不为“同形”函数二、填空题:本大题有5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答卷的相应位置. 13.已知5sin()6x π+=,则2cos()3x π+的值为 *** ; 14.如图,在平行四边形ABCD 中,,,3AB a AD b AN NC ===,则BN = *** (用,a b 表示) ;15.设a =)sin ,23(α,b =31,(cos α,且a ∥b ,则锐角α的大小为 *** ;16.定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数,若()f x 的最小正周期是2π,且当[0,]4x π∈ 时,()cos f x x =,则()3f π= *** ;17.定义平面向量之间的一种运算“⊗”如下:对任意的向量(,),(,)a m n b p q ==,令a b mq np ⊗=-,给出下面四个判断:①若a 与b 共线,则0a b ⊗=; ② 若a 与b 垂直,则0a b ⊗=;③a b b a ⊗=⊗; ④2222()()||||a b a b a b ⊗+⋅=.其中正确的有 *** (写出所有正确的序号).三、解答题:本大题有6题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分10分)已知||2,||1,(23)(2)9a b a b a b ==⋅+=-. (Ⅰ)求a b 与的夹角θ; (Ⅱ)求向量a 在()a b +上的投影.19.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角α、β,它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点.已知A 、B 的横坐标分别为102,552.(Ⅰ)求)tan(βα+的值;(Ⅱ)求22sin sin 26cos cos 2αααα++的值.20.(本小题满分12分)已知向量(cos 2,4),(1,cos )a x b x λ=-=,其中,[0,]2R x πλ∈∈.设函数()f x a b =⋅.(Ⅰ)求)(x f 的解析式; (Ⅱ)若()f x 的最小值是23-,求λ的值.21.(本小题满分12分) (Ⅰ)已知:3sin cos 5αβ+=,4cos sin 5αβ-=,求sin()αβ-的值; (Ⅱ)类比(Ⅰ)的过程与方法,将(Ⅰ)中已知条件中两个等式的左边进行适当改变,写出改变后的式子,并求cos()αβ-的值.22.(本小题满分12分)如图,在半径为1,圆心角为6π的扇形OAB 的弧上任取一点C ,作CD OA ,交OB 于点D ,求OCD ∆的最大面积.23.(本小题满分12分)已知函数()cos 2(),(0,0,0)222A A f x x A πωϕωϕ=-+>><<的图象过点(1,2),相邻两条对称轴间的距离为2,且()f x 的最大值为2. (Ⅰ)求()f x 的单调递增区间; (Ⅱ)计算(1)(2)(2012)f f f +++;(Ⅲ)设函数()()1g x f x m =--,试讨论函数()g x 在区间[1,4]上的零点情况.参考答案一、选择题:1-12:BABADCBCADDC 二、填空题: 13.5-.1344a b -+ 15.4π16.2 17. ①④ 三、解答题:18.解: (Ⅰ)22(23)(2)4439a b a b a a b b +=-⋅-=-, 即16439a b -⋅-=∴1a b ⋅=∴1cos 2||||a b a b θ⋅==∵[0,]θπ∈∴3πθ=(Ⅱ)222||27a b a a b b +=+⋅+= ∴||7a b +=,设a 与()a b +的夹角为α∴向量a 在()a b+上的投影为2()()5||cos ||7||||||||7a ab a a b a a b a a a a b a b a b α⋅+⋅++⋅=====+++ 19.解:由条件得102cos =α,552cos =β,∵α,β为锐角, ∴1027cos 1sin 2=-=αα,55cos 1sin 2=-=ββ, 因此7cos sin tan ==ααα,21cos sin tan ==βββ. (1)32171217tan tan 1tan tan )tan(-=⨯-+=-+=+βαβαβα. (2)2222222sin sin 2sin 2sin cos tan 2tan 491436cos cos 27cos sin 7tan 7492αααααααααααα++++====-+--- 20.解:(Ⅰ),cos 42cos )(x x x f λ-=]2,0[π∈x(Ⅱ)∵()cos 24cos f x x x λ=-222(cos )12.x λλ=---]2,0[π∈x∵]2,0[π∈x , ∴.1cos 0≤≤x设cos ,0 1.t x t =≤≤则222()12,0 1.y t t λλ=---≤≤01<'λ当、时,当且仅当min 0,1t y ==-时,这与已知矛盾. 101≤≤''λ当、时,当且仅当2min ,12t y λλ==--时.由已知得23212-=--λ,解得.21=λ 11>'''λ当、时,当且仅当min 1,14t y λ==-时.由已知得2341-=-λ,解得85=λ,这与1>λ相矛盾.综上所述,21=λ为所求. 21.解:(Ⅰ)∵53cos sin =+βα①54sin cos =-βα②①的平方+②的平方,得22(sin cos cos sin )1αβαβ+-=21)sin(-=-∴βα(Ⅱ)可将(Ⅰ)(1)中已知条件改为,3sin sin 5αβ+=,54cos cos =+βα,将两式平方后求和得1)cos cos sin (sin 22=++βαβα21)cos(-=-∴βα22.解:作DE OA ⊥于点E ,CF OA ⊥于点F ,设AOC α∠=,则0π在Rt OCF∆中,sin CFα=,cos OF α= 在Rt ODE ∆中,∴OE α===∴cos EF OFOE αα=-= ∴21111sin (cos )sin cos 2222OCD S CD CF EF CF αααααα∆=⋅=⋅=⋅=1cos 2)1sin 2sin 2cos 244444αααα-=-=+-1sin(2)234πα=+-,06πα<<. ∵06πα<<,所以22333πππα<+<∴当232ππα+=,即12πα=时,OCD S ∆有最大值且为124- 23.解:(Ⅰ)22,4,02224T T T πππωωω==>∴==∴=, 由于()f x 的最大值为2且A>0, ∴ 所以222A A+=即A=2∴()1cos 2()4f x x πϕ=-+,又函数()f x 的图象过点(1,2)则cos 2()1sin 21422,,24024k k k Zπϕϕππϕπϕππϕπϕ+=-∴=∴=+=+∈<<∴=∴()1cos 2()1sin 442f x x x πππ=-+=+ 由22(),222k x k k Z πππππ-≤≤+∈得1414(),2k x k k Z π-+≤≤+∈∴)(x f 的单调增区间是[14,14]().k k k Z -++∈ (Ⅱ)由(Ⅰ)知()1sin2f x x π=+,∴()f x 的周期为4,而2012=4×503 且(1)2,(2)1,(3)0,(4)1f f f f ==== ∴原式45032012=⨯=(Ⅲ)()()1cos()sin 222g x f x m x m x m πππ=--=-+-=-函数()g x 的零点个数即为函数sin2y x π=的图象与直线y m =的交点个数.在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象(如下图所示),由图象可知:x1) 当1m >或1m <-时,函数sin 2y x π=的图象与直线y m =无公共点,即函数()g x 无零点;2) 当01m <≤或1m =-时,函数sin2y x π=的图象与直线y m =有一个公共点,即函数()g x 有一个零点; 3) 当10m -<≤时,函数sin2y x π=的图象与直线y m =有两个公共点,即函数()g x 有两个零点.。
河北省衡水中学11-12学年高一下学期二调考试(数学文)
2011—2012学年度第二学期第二次调研考试高一年级数学(文科)试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
一、 选择题(每小题5分,共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上)1. 下列两个变量之间的关系是相关关系的是 ( )A.正方体的棱长和体积B.单位圆中角的度数和所对弧长C.单产为常数时,土地面积和总产量D.日照时间与水稻的亩产量2.在下列各数中,最小的数是 ( )A 、)9(85B 、)6(210C 、)4(1000D 、)2(111113.阅读右侧程序:如果输入x =2,则输出结果y 为 ( )A .π-5B .-π-5C .3+πD .3-π4.与01303终边相同的角是 ( )A .0763B .0493C .0371-D .047-5. 已知点A (1,2,-1),点C 与点A 关于xOy 面对称,点B 与点A 关于x 轴对称,则|BC |的值为 ( ) A. 2 5 B. 4 C. 2 2 D. 276.图1是某地参加2011年高考的学生身高统计图,从左到右的各长方形表示的学生人数依次记为1021,A A A ,,(如2A 表示身高(单位:cm )在[)150,155内的学生人数).图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~185cm (含160cm ,不含185cm )的学生人数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 ( ) A.9i < B.8i < C.7i < D.6i <第3题7.有四个游戏盘面积相等,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是 ( )8.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A .63.6万元 B .65.5万元 C .67.7万元 D .72.0万元9. 执行如图所示的程序框图,若输出的n =6,则输入整数p 的最大值是( )A.32B.31C.15D.1610.已知圆的方程为08622=--+y x y x 设该圆中过点(3,5)的最长 弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积是 ( )A .610B .620C .630D .640第9题图S=S+2 n-111.某初级中学有学生270人,其中一年级108人,二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案.使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,…,270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号为1,2,…,270,并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况:①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.关于上述样本的下列结论中,正确的是 ( )A .②、③都不能为系统抽样B .②、④都不能为分层抽样C .①、④都可能为系统抽样D .①、③都可能为分层抽样12. 对任意实数,a b ,定义运算“*”如下:x x f b a b b a a b a 221log )23(log )().(),(*-=⎩⎨⎧>≤=*则函数 x x x f b a b b a a b a 221log )23(log )().(),(*-=⎩⎨⎧>≤=*则函数的值域为 ( ) A .[)+∞,0 B .(]0,∞- C .)0,32(log 2 D .),32(log 2+∞ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、 填空题(每题5分,共20分。
2011-2012学年第一学期期末高二数学(理科)试题及答案
肇庆市中小学教学质量评估 2011—2012学年第一学期统一检测题高二数学(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在空间中,下列命题正确的是A .垂直于同一平面的两条直线平行B .垂直于同一平面的两个平面平行C .平行于同一直线的两个平面平行D .平行直线的平行投影重合 2.下列是全称命题且是真命题的是A .0,2>∈∀x R xB .0,,22>+∈∀y x R y xC .Q x Q x ∈∈∀2,D .1,20>∈∃x Z x 3.双曲线142522=-y x 的渐近线方程是 A .x y 52±= B .x y 25±= C .x y 254±= D .x y 425±=4.命题“若a >-3,则a >-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为A .1B .2C .3D .45.已知向量)0,1,1(=a ,)2,0,1(-=b ,且b a k +与b a -2互相垂直,则k 的值是A .1B .51C .53D .576.若焦点在x 轴上的椭圆1222=+k y x 的离心率为21,则实数k 等于 A .3 B .32 C .38 D .23 7.若圆02)1(222=-+-++m my x m y x 关于直线01=+-y x 对称,则实数m 的值为A .-1或3B .-1C .3D .不存在8.如图,某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形,则该几何体体积为A .34B .32C .4D .2二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,满分30分.9.用一个平面截半径为25的球,截面面积是225π,则球心到截面的距离为 ▲ .10.若A (-2,3)、B (3,-2)、C (21,m )三点共线,则m 值为 ▲ .11.双曲线14222=-y x 的离心率等于 ▲ . 12.若动点P 在122+=x y 上,则点P 与点Q (0,-1)连线中点的轨迹方程是 ▲ . 13.不等式0)1)((<++x x a 成立的一个充分而不必要条件是12-<<-x ,则a 的取值范围是 ▲ .14.如图,在梯形ABCD 中,AB //CD ,AB =4,CD =2. E 、F 分别为AD 、BC 上点,且EF =3, EF //AB ,则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积 比为 ▲ .三、解答题:本大题共6小题,满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分12分)求满足下列条件的直线的方程:(1)经过点A (3,2),且与直线4x +y -2=0平行;俯视图正视图侧视图A BCDEF(2)经过点B (2,-3),且平行于过点M (1,2)和N (-1,-5)的直线; (3)经过点C (3,0),且与直线2x +y -5=0垂直.16.(本小题满分12分)如图,一个高为H 的三棱柱形容器中盛有水. 若侧面AA 1B 1B 水平放置时,液面恰好过AC 、BC 、A 1C 1、B 1C 1的中点E 、F 、E 1、F 1. 当底面ABC 水平放置时,液面高为多少?17.(本小题满分14分)求与x 轴相切,圆心在直线3x -y =0上,且被直线x -y =0截得的弦长为72的圆的方程.18.(本小题满分14分)如图,棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中,M 、N 、E 、F 分别是A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1的中点.(1)求证:B 、D 、E 、F 四点共面; (2)求证:平面AMN //平面BEFD ; (3)求点A 1到平面AMN 的距离.19.(本小题满分14分)如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是棱BC 、CC 1上的点,CF =AB =2CE ,AB :AD :AA 1=1:2:4.(1)求异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值; (2)证明:AF ⊥平面A 1ED ;(3)求二面角A 1—ED —F 的大小的正弦值.111A 1B 120.(本小题满分14分)已知F 1、F 2分别为椭圆C 1:)0(12222>>=+b a bx a y 的上、下焦点,其中F 1也是抛物线C 2:y x 42=的焦点,点M 是C 1与C 2在第二象限的交点,且35||1=MF . (1)求椭圆C 1的方程;(2)已知A (b ,0),B (0,a ),直线 y =kx (k >0)与椭圆C 1相交于E 、F 两点. 求四边形AEBF 面积的最大值.2011—2012学年第一学期统一检测题 高二数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题二、填空题9.20 10.2111.3 12.24x y =13.(2,+∞) 14.7:5 三、解答题15.(本小题满分12分)解:(1)由直线4x +y -2=0得直线的斜率为-4, (2分) 所以经过点A (3,2),且与直线4x +y -2=0平行的直线方程为y -2=-4(x -3),即4x +y -14=0. (4分) (2)由已知,经过两点M (1,2)和N (-1,-5)的直线的斜率271125=----=k , (6分) 所以,经过点B (2,-3),且平行于MN 的直线方程为)2(273-=+x y ,即7x -2y -20=0. (8分) (3)由直线2x +y -5=0得直线的斜率为-2, (9分) 所以与直线2x +y -5=0垂直的直线的斜率为21. (10分) 所以,经过点C (3,0),且与直线2x +y -5=0垂直的直线方程为)3(21-=x y ,即x -2y -3=0. (12分)16.(本小题满分12分)解:当侧面AA 1B 1B 水平放置时,水的体积V 等于 四棱柱ABFE —A 1B 1F 1E 1的体积,H S V V ABFE •==梯形四棱柱. (3分)当底面ABC 水平放置时,设水面高为h ,则水的体积h S V ABC •=∆. (6分) 因为E 、F 为AC 、BC 的中点,所以ABC CEF S S ∆∆=41, 所以ABC ABFE S S ∆=43梯形. (8分) 由h S H S ABC ABFE •=•∆梯形,即h S H S ABC ABC •=•∆∆43,得H h 43=. (11分)故当底面ABC 水平放置时,液面高为H 43. (12分)17.(本小题满分14分)解:设所求的圆的方程是)0()()(222>=-+-r r b y a x , (2分) 则圆心到直线x -y =0的距离为2||b a -, (4分)所以222)7()2||(+-=b a r ,即14)(222+-=b a r ① (6分)111因为所求的圆与x 轴相切,所以22b r = ② (8分) 又因为所求圆心在直线3x -y =0上,所以3a -b =0 ③ (10分)联立①②③,解得⎪⎩⎪⎨⎧===,3,3,1r b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=.3,3,1r b a (12分)故所求圆的方程为9)3()1(22=-+-y x 或9)3()1(22=+++y x . (14分)18.(本小题满分14分) (1)证明:如图,连接B 1D 1. 因为E 、F 为B 1C 1、C 1D 1的中点, 所以EF //B 1D 1. (2分) 又因为BD //B 1D 1,所以EF //BD . (3分) 故B 、D 、E 、F 四点共面. (4分) (2)证明:连接EN .因为M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点,所以MN //B 1D 1.又EF //B 1D 1,所以MN / / EF . (5分) 因为EF ⊂平面BEFD ,所以MN //平面BEFD . (6分) 因为E 、N 为B 1C 1、A 1D 1的中点,所以EN //A 1B 1,且EN =A 1B 1. 又AB //A 1B 1,且AB =A 1B 1,所以NE / / AB ,且NE =AB .所以四边形ABEN 为平行四边行,故AN //BE . (7分) 因为BE ⊂平面BEFD ,所以AN //平面BEFD . (8分) 因为MN ⊂平面AMN ,AN ⊂平面AMN ,且MN ∩AN =N ,所以平面AMN //平面BEFD . (9分) (3)证明:设A 1到平面AMN 的距离为d . 在∆AMN 中,a a a AN AM 254122=+==,a a a MN 22414122=+=, 所以22283162452221a a a a S AMN =-⨯⨯=∆. (11分)A 1因为MN A A AMN A V V 11--=三棱锥三棱锥, (12分)即a a d a ⨯⨯=⨯⨯2281318331, (13分) 解得3a d =,故A 1到平面AMN 的距离为3a. (14分)19.(本小题满分14分)解:以A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB =1,依题意得A (0,0,0),A 1(0,0,4), D (0,2,0),E (1,23,0),F (1,2,1). (2分) (1)易得)1,21,0(=EF ,)4,2,0(1-=D A . (3分)所以535225410||||,cos 111-=⨯-+=•>=<D A EF D A EF D A EF , (5分)故异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值为53. (6分)(2)易得)1,2,1(=AF ,)4,23,1(1-=E A ,)4,2,0(1-=D A . (7分)因为04311=-+=•E A AF ,04401=-+=•D A AF , (8分) 所以E A AF 1⊥,D A AF 1⊥. (9分) 又A 1E ⊂平面A 1ED ,A 1D ⊂平面A 1ED ,A 1E ∩A 1D = A 1,所以AF ⊥平面A 1ED . (10分) (3)设平面EFD 的法向量为),,(z y x m =.由)1,21,0(=EF ,)0,21,1(-=ED ,⎪⎩⎪⎨⎧=•=•,0,0m ED m EF得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+,021,021y x z y 解得⎩⎨⎧-=-=.2,z y z x不妨令1-=z , 得)1,2,1(-=m . (11分)由(2)可知,)1,2,1(=AF 为平面A 1ED 的一个法向量. (12分) 于是3266141||||,cos =⨯-+=•>=<AF m AF m AF m , (13分) 从而35,sin >=<AF m . 所以二面角A 1—ED —F 的大小的正弦值为35. (14分)20.(本小题满分14分)解:(1)设)0)(,(000<x y x M .由C 2:y x 42=,得F 1(0,1). (1分) 因为M 在抛物线C 2上,故024y x =. ① (2分) 又35||1=MF ,则3510=+y . ② (3分) 解①②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.32,36200y x (4分) 因为点M 在椭圆上,故1)362()32(2222=-+b a ,即1389422=+ba ③ (5分) 又c =1,则122+=b a ④ (6分)解③④得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,422b a 故椭圆C 1的方程为13422=+x y . (7分) (2)不妨设),(11y x E ,),(22y x F ,且21x x <.将kx y =代入13422=+x y 中,可得431222+=k x , (8分) 即4332212+=-=k x x ,所以4332212+=-=k k y y . (9分)由(1)可得2||,3||==OB OA . (10分) 故四边形AEBF 的面积为22223232212221y x y x S S S AEF BEF +=⨯⨯+⨯⨯=+=∆∆. (11分) 所以43341324364334222++•=+++=k kk k k S (12分)因为k k 34432≥+,所以143342≤+k k. (13分)所以62≤S ,当且仅当332=k 时,等号成立. 故四边形AEBF 面积的最大值为62. (14分)。
11-12-1高数(一)期终考试试题答案及评分标准(A)
| | | | | | | |装| | | | |订|| | | | |线| | | | | | | | |防灾科技学院2011~2012学年 第 一 学期期末考试《高等数学(一)》试卷(A ) 使用班级 11级本科 答题时间_120分钟(本试卷理工、财经各专业通用,共三页24道题)一、选择题(本大题共5小题,每题3分,共 15 分。
)1、设22()54,()(1)x x x x x αβ=-+=-,则当1x →时,( D )。
A. ~αβ B. αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小C.αβ是比高阶的无穷小 D. 低阶的无穷小是比βα2、设2,1(),1ln x xf x x a b x ≤⎧=⎨>+⎩在点1=x 处可导,则,a b 的值为( B )。
A. 0,1a b == B. 1,2a b == C. 1,12a b == D. 1,0a b == 3、设⎰++=dx x x x I sin 1cos ,则I =( D )。
A. 2(1cos )x C ++ B. a r c s i n x x C ++C. l n 1c o s x C ++D. ln sin x x C ++4、在[0,1]上''()0f x >,0)('<x f ,则其在区间[0,1]上为( B )。
A.单调增,凹 B. 单调减,凹 C. 单调增,凸 D. 单调减,凸5.下列反常积分中发散的是( C )。
A. 211dx x +∞-∞+⎰ B. 1+∞⎰C.1dxx⎰D. 1⎰二、 填空题(本大题共5小题,每题3分,共15 分。
)6、n nn n n sin lim3++∞→= 0 ;7、设x x x f ln )1(+=+,则()''=f x 2)1(1--x ;8、已知)(x f 的一个原函数是)tan 1(x x +,⎰='x x f x d )(则C x x +22sec ;9、微分方程y x y 2'=的通解是 3x Ce ;10、用待定系数法求解二阶常系数非齐次线性常微分方程xe x y y y 2//)4(23+=+'-的特解时,所设特解的形式为=*y x e b ax x 2)(+。
河北省衡水中学11-12学年高一数学下学期一调考试 理
2011—2012学年度第二学期第一次调研考试高一年级数学(理科)试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生将自己的某某、某某号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
一、选择题(每小题5分,共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上)1.已知}104|{+∈=N x x x A 的公倍数,与是,},20|{+∈==N m m x x B ,则 ( ) A .B A ⊆且B A ≠B .A B ⊆且B A ≠C . B A =D .B A ∈2.已知函数⎩⎨⎧>≤=)0(log )0(3)(2x x x x f x ,那么1[()]8f f 的值为( ) A .27 B .127C .27-D .127- 3.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是 ( ) A.32 B.16+162C.48 D.16322+4.若直线y x b =-与曲线1)2(22=+-y x 有两个不同的公共点,则实数b 的取值X 围为 ( ) A.(22,1)- B.[22,22]-+ C.(,22)(22,)-∞-++∞D.(22,22)-+5.已知直二面角l αβ--,点A α∈,AC l ⊥,C 为垂足,B β∈,BD l ⊥,D 为垂足,若2,1AB AC BD ===,则CD =( )D.16.设)(x f 为定义在R 上的奇函数,当0≥x 时,b x x f x++=22)((b 为常数),则)1(-f =( )A .3 B.1 C.-1 D.-37.设(0,0),(1,1),(4,2)A B C ,若线段AD 是△ABC 外接圆的直径,则点D 的坐标是(). A .(-8,6) B .(8,-6) C .(4,-6) D .(4,-3) 8.如图,M 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点,给出命题①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都相交; ②过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都垂直; ③过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都相交; ④过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都平行. 其中真命题是( )A .②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③ 9.定义新运算“&”与“*”:1&y x y x -=,(1)log x x y y -*=,则函数(&3)1()32xx f x +=*是( )A 、奇函数B 、偶函数C 、非奇非偶函数D 、既是奇函数又是偶函数 10.若点A (2,-3)是直线0111=++y b x a 和0122=++y b x a 的公共点,则相异两点),(11b a 和),(22b a 所确定的直线方程为 ( ) A.0132=--y x B.0123=+-y x C.0132=+-y x D. 0123=--y x 11.在边长为1的菱形ABCD 中,∠ABC=60O,将菱形沿对角线AC 折起,使折起后BD=1,则三棱锥B-ACD 的体积为为( ) A.122 B.121 C.62 D.42B 11M12.已知直线01243:=-+y x l ,若圆上恰好存在两个点P 、Q ,他们到直线l 的距离为1,则称该圆为“完美型”圆。
高等数学统考卷11-12届附答案
高等数学统考卷 1112届附答案一、选择题(每题1分,共5分)1. 下列函数中,哪个函数是奇函数?A. y = x^3B. y = x^2C. y = x^4D. y = |x|A. 积分的上下限互换,积分值不变B. 被积函数乘以常数,积分值也乘以该常数C. 积分区间可加性D. 积分中值定理3. 下列极限中,哪个是正确的?A. lim(x→0) (sin x) / x = 0B. lim(x→0) (1 cos x) / x^2 = 1C. lim(x→∞) (1 / x) = 0D. lim(x→∞) (x^2 1) / x = 1A. ∫∫(x^2 + y^2) dxdyB. ∫∫xy dxdyC. ∫∫x dxdyD. ∫∫y dxdy5. 下列级数中,哪个是收敛的?A. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …B. 1 1/2 + 1/3 1/4 + …C. 1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …D. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …二、判断题(每题1分,共5分)1. 高斯公式可以用来计算曲面积分。
()2. 泰勒公式可以用来近似计算函数值。
()3. 无穷小量相乘仍为无穷小量。
()4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
()5. 偏导数连续必可微。
()三、填空题(每题1分,共5分)1. 函数f(x) = e^x 在x = 0处的导数值为______。
2. 曲线y = x^3 在点(1, 1)处的切线方程为______。
3. 若f(x, y) = x^2 + y^2,则f_x(1, 2) =______。
4. 设A为矩阵,若|A| = 0,则A为______矩阵。
5. 空间曲线r(t) = (cos t, sin t, t) 在t = π/2处的切线方向向量为______。
四、简答题(每题2分,共10分)1. 简述罗尔定理的内容。
2. 解释复合函数求导法则。
3. 举例说明什么是隐函数。
11-12-2高等数学下(通信、电子本科)A卷及标准答案
2011 - 2012学年第二学期期末考试《高等数学(下)》试卷(A)答卷说明:1、本试卷共6页,四个大题,满分 100分,120分钟完卷。
2、闭卷考试。
3、适用班级:11级通信系、电子系本科各班题号-一--二二三四总分分数评阅人: ____________ 总分人: __________________________、单项选择题(共 10小题,每小题3分,共30分)。
【A 】设有直线L : 口 =丄二二2及平面二:2x y =1,则直线L1 -2 1(A)平行于二 (B) 在二内 (C)垂直于二 (D) 与二斜交【D 】2.锥面z立体在xoy 面的投影为[A l 4.函数z = f (x, y)在点(x 0, y 0)处可微分,则函数在该点1 1【C 】5.将二次积分pdx. f(x,y)dy 转化成先对x ,后对y 的二次积分为(A)必连续 (C)必有极值(D)(B)偏导数必存在且连续偏导数不一定存在(A) (x -1)2 y 2=1 (B) (x-1)2 y 2 乞 1(C)z= 0,(x -1)2y 2 -1(D)z =0,(x_1)2y 2 _1【C 3.设函数z 二z(x, y)由方程e z = e + xyz 确定,则一z的值为(1,0,1)(A) d(B)e (C)(D)11 1 x( A )°dy y f(x, y)dx(B)°dy 0f(x,y)dx( C )1 y0dy 0f(x,y)dx(D) 1 10dy 0f(x,y)dx【D] 6.设L为圆周x22y =1(逆时针方向),则口L(x y)dx (3y -2x)dy( A 3 二(B) 2 二(C) 4 二(D) -3':【D】7.下列级数中,收敛的级数是001(A) ----------- (B)n4 . 2n 1f (3n4 2n(C)1 nn4 1 * n2(D)nm n ■ 1°°(x _1)n 【B] 8.幕级数a(x n丿■的收敛域为心n3n(A) ( -2, 4) (B)[-2,4)(C)[-2,4](D)(-2, 4]【C】9.微分方程y - y = 0满足初始条件y l x出=2的特解为(A) y =e x1( B)xy = e 2x x(C) y = 2e (D) y = e【B] 10.具有特解y1.x .x二e , y2 二xe的二阶常系数齐次线性微分方程是(A) y -2y y = 0(B)y 2y y = 0(C) y y - 2y = 0(D)y - y 2y = 0得分|二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)1. 设两点A(1,2,1)及B (2,1,3),则| AB | = | AB | = •、6 _;向量AB与z轴的夹角为,r则方向余弦COS ;* = ____ . COS f = ----32. 设z = y x,则dz=_dz = y x In yd^xy x^dy.3. 函数f(x, y) =x2y — y2在点P(1,1)处方向导数的最大值为_T5 _____________ .4. 设L是连接(1,0)及(0,1)两点的直线段,则[(x + y)ds=_J2 _______________ .15.函数 展开成X 的幕级数为3 x1.已知曲面Z =x 2 ・y 2-2上一点M (2,1,3),⑴ 求曲面在M 点处的一个法向量;(2) 求曲面在M 点处的切平面及法线方程•2.求函数 f (x, y) = 2(x 「y)「x 2「y 2 的极值.2 2 2 23.平面薄片的面密度为」(x,y)=x y 1,所占的闭区域 D 为圆周x y =1及坐标轴所围成的第一象限部分,求该平面薄片的质量.4.利用高斯公式计算曲面积分(3z 2x)dydz - (y 3 -2xz)dxdz - (3x 2z)dxdy ,其中Z为上半球面z = a 2 -x 2 - y 2及平面z = 0所围立体的整个边界曲面的外侧5.设曲线通过原点,且曲线上任一点 M (x, y)处的切线斜率等于 x - y ,求该曲线的方程.6. 求微分方程y -3y ,2y =e x 的通解.3n7. 判断级数v (-1)n °半是否收敛?如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛?心 4四、综合应用题(共2小题,共13分,其中第1题6分,第2题7分).1. (6分)要用钢板造一个体积为4( m 3)长方体无盖容器,应如何选择容器的尺寸,使n 1n z03nx , -3 ::三、计算题(共7小题,每小题6分,共42分)得用料最省?》 2 * 》2. (7分)设在xoy平面有一变力F(x, y) =(x • y2) i (2x^8) j构成力场,(1)证明质点在此力场中移动时,场力所作的功与路径无关 ;(2)计算质点从点 A(1,0)移动到点《高等数学(下)》试卷(A) 第5页 共6页B(2,1)时场力所作的功(1)|ABH<6; COS 63x(2) dz = y Inydx xy x_l dy、2「¥x n ,—3»3n £3三.计算题(每小题6分,共42分).1.(6 分)(1)由 z = x 2y 2 -2 得,Z x =2x,Z y =2y ,曲面在点M (2,1,3)处的一个法n=(-4, -2,1))2分)⑵ 在点M (2,1,3)的切平面方程为4(x-2),2(y-1)-(z-3) =04x 2y-z -7 -0选择题每小题3分共30分)..填空题(每小题3分,共15分).... (2 分) 法x y 42分)线z -3 -1A 二 f xx (1,—1) = —2,B 二 f xy (1,—1) = °,C 二 f yy (1, — 1) = -2,则2AC - B=4 ° , A :: ° , .................................................................................. (2 分)所 以 (-1 为 极 大 值 点 , 极 大 值f (1,—1) =2 ............................................................. (2 分) 3.(6分)平 面 薄 片的 质M 二 J(x, y )dxdy 二(x 2 y 2 1)dxdy .......................... ( 2 分)DD1 o2dr C 1)Z ° - °v/【丄加丄詩彳二3二 ................................ (2分)2 4 2 84.(6 分)所围空间区域 门={( x, y, z ) |0 _ z _ a 2-X 2 - y 2} 由高斯公式,有原式r "耳◎迅)dv0 ex oy cz!!! (3z 2 3y 2 3x 2)dv ............................. ( 2 分)Q2 a=3茁 2sin 「d 「r 2 r 2dr ................................. ( 2 分)0 - 0 02.(6 分)f x =2_2x, f y =-2—2yf x 二 0,占八(2 分)y=°,(2 分)(-1 xy丑1 6=3 2二[-cos J: [ r5]0 a5......................... ( 2 分)5 55.(6分)设所求曲线为y = y(x),由题意得,y = x- y , y(0) = 0,该方程为一阶线性微分方程y・y=x, 其中P( x) 1 Q, x ........................... x .......................... ( 2 分)_p(x)dx |P(x)dx _|dx f dx故通解为y = e [ e Q(x)dx C] =e [ xe dx C] [xe x dx C]二e ▲ (xe x _ e x C)二Ce」x -1(2 分)2分)从而Q(x)二-x,特解y - -xe x, (2 分)y(0)=0 从而所求曲线为6.(6 分)对应的齐次方程y”-3y、2y=0的特征方程为r2-3r•2=0,得特征根则对应的齐次方程的y =C1e x C2e2x2分)对于非齐次方程y ” -3y: 2y二e x, ' =1为r2-3r *2=0的单根,P(x) =1,设其* y特解为y -Q(x)e x,其中Q(x)=ax, a为待定系数,Q(x)满足Q (x) (2' p)Q(x)二P(x)0 (2 1 _3)(a) =17.(6分)由于》(一1)n 4 3n4ny 二C^x C2e2x_xe x.而|im 加=lim匸匕=丄 , 贝U (—2卑1 )收y u n F 4n 4 心4n 敛,................................... ( 3 分)3n从而'•(_ ni i3n )也收敛,且为绝对收心4n敛. ....................................... (3分)四、综合应用题(共2小题,共13分,其中第1题6分,第2题7分).41.(6分)设该容器的长,宽,高为x, y,z,由题意知xyz=4,则z ,容器的表面积xy4 8 8A = xy 2yz 2xz = xy 2(x y) xy , x 0, y 0xy x y分)( 2 分)因实际问题存在最小值,且驻点唯一,所以当x二y = 2( m), z = 1( m)时,容器的表面积最小,从而用料最省. .....................................................................(1分)2.(7 分)证明:(1)P(x, y)=x y2, Q(x, y) = 2xy-8,由于在xoy面内,—=2y Q恒成立,且P连续,® ex cy ex2分)故质点在该力场中移动时场力所作的功与路径无关. ................................... (4分)⑵质点从点A(1,0)移动到点B(2,1)时场力所作的功(与路径无关),路径L可取折线段A > C,C > B,其中点C(2,0),从而(2,1) * (2,1)W F dr Pdx Qdy%,。
河北衡水中学2011~2012学年度下学期一调考试高三数学试题全解析(理科)
x2 y 2 解: 解 :( 1)因为椭圆 E: a2 b2 1 ( a,b>0)过 M ( 2, 2 ) , N( 6 ,1)两点 ,
42
11
所以 a2 6
b2 1
1
解得
a2
1
8 所以 a2
8
椭圆 E 的方程为
x2
1
b2 4
8
y2 1
4
a2 b2 1
b2 4
( 2)假设存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,
0.6 ,高考分数
达到该大学录取分数线的概率是 0.3 .
(I )求这名同学参加考试次数
的分布列及数学期望;
(II )求这名同学被该大学录取的概率.
解:( I )记“获省高中数学竞赛优胜奖”为事件
A; 记“获国家高中数学联赛一等奖”为事
件 B;记“通过自主招生考试” 为事件 C;记 “高考分数达到一本分数线”为事件 D; 记“高
P( ABCD )
随机变量 的分布列为:
2
4
0.55
0.45
P( )
E( ) 2 0.55 4 0.45 2.90
(II )记“这名同学被该大学录取”为事件 M 则 M AB AE ABCD ABCE
P( M ) P(AB AE ABCD ABCE)
P( M ) P( AB) P( AE) P( ABCD) P( ABCE )
C
12
D 24
2
5
P
A
B
D C
12.已知函数 (C )
f ( x) | ex
a ex
|,(
a
R) 在区间 [0,1] 上单调递增,则实数
11-12(2)高等代数与解析几何试卷(A)参考答案及评分标准
中国计量学院2011 ~ 2012学年第 2 学期《高等代数》(2)课程试卷(A )参考答案及评分标准一、单项选择题(每小题3分,共15分)1.D2.B3.D4.C5.A二、填空题(每小题3分,共15分)1.1111⎛⎫ ⎪-⎝⎭;2. __1,-3__;3.100010011⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭; 4. 20x y +-= 5.222x y pz +=.三、计算题1.(12分)设A 是3P 中的线性变换,且A 在基)1,1,1(1-=η,)1,0,1(2-=η,)1,1,0(3=η下的矩阵为101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭求A 在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===下的矩阵.解 因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε,3ε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011, 所以 (1ε,2ε,3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ,-------------4分故A 在基1ε,2ε,3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211 -------------12分2.(12分)求λ矩阵222211λλλλλλλλλλ()A ⎛⎫-⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭的标准形、不变因子、行列式因子、初等因子.解 对-λ矩阵作初等变换,有A =)(λ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--222211λλλλλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--222101λλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--)1(00001λλλλ → )()1(0000001λλλλD =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+ 标准形为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=)1(000001)(λλλλD ;----------------------6分 不变因子为:)1()(,)(,1)(321+===λλλλλλd d d ;----------------------8分 行列式因子为:)1()(,)(,1)(2321+===λλλλλλD D D ;----------------------10分 初等因子为:1,,2+λλλ.----------------------12分3.(12分) 设二次型()222123123121323,,22448f x x x x x x x x x x x x =---++ ,求一正交变换 x Ty =,将二次型化为标准形. 解 二次型对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=242422221A ,----------------------2分且A 的特征多项式为 2)2)(7(-+=-λλλA E ,特征值为2,7321==-=λλλ.---------------------4分 相应的特征向量为 ()()()1,0,2,0,1,2,2,2,1321=-=-=ααα,---------------------6分正交化,可得()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=1,54,52,0,1,2,2,2,1321βββ, 再单位化,有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=535,534,532,0,51,52,32,32,31321ηηη, ----------------------8分令X=TY ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=53503253451325325231T ,----------------------10分 则 232221'227y y y AX X ++-=.----------------------12分4.(12分) 求顶点在原点,准线为01,0122=+-=+-z y z x 的锥面方程. 解 设为锥面上任一点),,(z y x M ,过M 与O 的直线为:z Zy Y x X ==----------------------3分 设其与准线交于),,(000Z Y X ,即存在t ,使zt Z yt Y xt X ===000,,, -----------6分 将它们代入准线方程,并消去参数t ,得:0)()(222=-+--y z y z z x即:0222=-+z y x此为所要求的锥面方程. ----------------------12分5. (12分)求过双曲抛物面z y x =-41622上的点(2,1,0)的直母线方程. 解:双曲抛物面z y x =-41622的两族直母线为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x u uy x )24(24 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-z yx v v yx 24(24----------------------6分将点(2,1,0)分别代入上面两族直母线的方程,求得,1==v u----------------------10分因此,所求的直母线方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x yx 24124 及 ⎪⎩⎪⎨⎧==-024z y x ----------------------12分四、证明题((每小题5分,共10分)1.在2R 中,定义变换(,)(2,2)x y x y x y σ=++. (1)证明:σ是2R 的线性变换.(2)取2R 的一组基:12(1,0),(0,1)εε==,求σ的值域2()σR 及2()σR 的一组基.证明(1)设1221x x A y y σξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,σ是2R 到R 的映射,且2,,k αβ∀=∈∀∈R R ,有()()k l A k l kA lA σαβαβαβ+=+=+,所以σ是线性变换;-----------------3分(2) 对于2R 的基:12(1,0),(0,1)εε==,有12()(1,2),()(2,1)σεσε==,易知12(),()σεσε线性无关,于是它们构成2()σR 的一组基,且值域为 12()((),())((1,2),(2,1))L L σσεσε==3R .-----------------5分 2.欧氏空间V 中的线性变换A 称为反对称的,如果对任意α,β∈V ,有(A α,β)= —(α,A β). 证明:如果V 1是反对称线性变换A —子空间,则V 1⊥也是A —子空间.证明 任取∈αV 1⊥,可证A ∈αV 1⊥,即A ∈αV 1,事实上,任取β∈V 1,由于V 1是A 子空间,因此A β1V ∈,而∈αV 1⊥,故(α,A β)=0.----------------------3分再由题设,A 是反对称的,知(A α,β)= —(α,A β)=0,----------------------4分由β的任意性,即证A ∈αV 1 .从而V 1⊥也是A —子空间.----------------------5分。
11-12高等数学试题(A)解答
广州大学2011-2012学年第一学期考试卷高等数学Ⅰ1(90学时)参考解答与评分标准一.填空题(每空2分,本大题满分30分) 1.曲线1cos 1x y x x=+有水平渐近线y =1和铅直渐近线x =1-.2.设1()(12)xf x x =+,则0lim ()x f x →=2e ,lim ()xf x →+∞=1.3.设2y x x =-,当2x =,0.01x ∆=时,y ∆=0.0301,d y =0.03.4.设sin sin cos x ty t t t =⎧⎨=+⎩,则d d y t =cos t t,d d yx=t.5.若点(1,2)为曲线326y ax x b =-+的拐点,则常数a =2,b =6.6.设22,0()1sin ,0x e bx a x f x x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩在点0x =处连续且可导,则常数a =1-,b =2-.7.设31()sin d xf x t t -=⎰,则(1)f =0,()f x '=3sin x ,(10)(0)f =9!6-.二.解答下列各题(每小题8分,本大题满分24分)1.求函数y=.解:y''=。
(2分)321(4)xx=-=。
(5分)y''=4=。
(8分)2.求曲线33(1)9y x y x+-+=在点1x=处的切线方程.解:将1x=代入曲线方程,得2y=,切点为(1,2). 。
(1分)曲线方程两边对x求导,得22d d3(1)30d dy yy y x xx x++-+=。
(5分)将1x=,2y=代入上式,得切线斜率1,2d5d12x yykx====-,。
(6分)切线方程为52(1)12y x-=--,即512290x y+-=. 。
(8分)3.求函数()cosxf x e x=的极大值和极小值.解:()cos sinx xf x e x e x'=-,。
高等数学11-1(09-10-1)答案[1]
高等数学Ⅱ-1试题答案(09-10-1)一、填空题(每小题2分,共10分)1.设2,1()5,1x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩,则(5)f x -= 2(5),6(5).,6x x f x x x ⎧-≤-=⎨>⎩ 2.2x →= 23.当0x →+x 的 阶无穷小。
144.设ln mx t y t=⎧⎨=⎩,则22d y dx = 2mm t 5.1cos 1cos xdx x -=+⎰ 解:221cos tan sec 2tan .1cos 222x x x xdx dx dx x c x -===-++⎰⎰⎰ 二、计算题(一)(每小题7分,共21分) 1.已知(sin )cos 12xf x =+,求(cos ).2x f解:(cos )(sin())(sin )cos()1cos 12222x x xf f f x x πππ-=-==-+=-+另:22(sin )12sin 122sin 222x x x f =-+=- 22()22(cos )22cos .22x xf t t f =-⇒=-2.求2220ln(sin )lim .ln()2x x x x e xx e x→+-+-解:222222200ln(sin )ln (sin 1)lim limln()2ln (1)2x x x x x x x x x e x e x e xx e x e x e x→→+-+-=+-+- 22222200ln(sin 1)sin lim lim 1ln(1)x xx x x x x e x e x e x e→→+===+ 另:222222200ln(sin )sin 222lim lim 12sin ln()2x x x xx x x x x e xx e x e x e x e x e x →→⎡⎤⎡⎤+-++=--⎢⎥⎢⎥+++-⎣⎦⎣⎦2222001sin 2sin 12cos 2sin 2lim lim 12sin 212x x x x x x e x x x xx e x x x→→+--=⋅==+--3.指出函数22()(1)x xf x x x -=-的间断点及其类型。
2011-2012学年合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷和参考答案
2011----2012学年第二学期期末考题解答一.填空题(每小题3分, 满分15分)1. 过直线L:x-1y+2z-2==且垂直于平面3x+2y-z=5的平面方程是2-32_________.【解】应填:x-8y-13z+9=0.直线L的方向向量s={2,-3,2}.已知平面的法向量n1={3,2,-1},设所求平面的法向量为n,由题意知n⊥s且n⊥n1,故可取ijk n=s⨯n1=2-32={-1,8,13},32-由条件知,所求平面过点P0(1,-2,2)于是所求平面方程为,-(x-1)+8(y+2)+13(z-2)=0,即x-8y-13z+9=0.2. 设x2+2xy+y+zez=1,则dz【解】应填:-2dx-dy.由x+2xy+y+ze=1,两边求全微分,得 2z(0,1)=2xdx+2ydx+2xdy+dy+(1+z)ezdz=0,当x=0,y=1时,代入原方程得z=0,所以dz(0,1)=-2dx-dy.3. 椭圆抛物面∑:z=2x+y在点P0(1,-1,3)处的法线方程是___________.【解】应填:22x-1y+1z-3==. 4-2-1曲面∑在点P0(1,-1,3)处的法向量可取为n={4x,2y,-1}(1,-1,3)={4,-2,-1},于是曲面∑在点P0(1,-1,3)处的法线方程为x-1y+1z-4=-2=3-1.4.曲面z=与z=x2+y2所围立体的体积为.【解】应填:6. V=⎰⎰⎰dv=2π0dθ1rπΩ⎰⎰0rdr⎰r2dz=6.5. 设L为上半圆周y=⎰(xL-xy+y2)ds=____________.【解】应填:π.由对称性,代入技巧及几何意义可得⎰2L(x-xy+y2)ds=⎰Lds+0=π二.选择题(每小题3分, 满分15分)1.方程y''-3y'+2y=1+2x-3ex的特解形式为(). (A)(ax+b)ex (B) (ax+b)xex(C) ax+b+cex(D) ax+b+cxex【解】选(D)2.设unn=(-1),则级数().(A)∑∞∞∞u2n与∑un都收敛(B)n=1n=1∑u2n与n=1∑un都发散n=1 (C)∑∞∞∞∞u2n收敛,而n发散(D)u2n发散,而n收敛n=1∑un=1∑n=1∑u【解】选(C)3.二元函数f(x,y)的两个偏导数fx¢(x,y),fy¢(x,y)在点P0(x0,y0)处都连续是f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分的()(A) 充分条件 (B) 必要条件(C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件【解】若fx¢(x,y),fy¢(x,y)在点P0(x0,y0)都连续,则f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分,选(A)4.⎰10dx⎰2x1=()(A)121 (B))131 (C)(D【解】原积分=⎰dy0101121==⎰231.选(B) )⎧x2-π≤x<05. 设f(x)=⎨,则周期为2π的函数f(x)的傅立叶级数在x=2π处⎩x-π0≤x<π收敛于.(A)-π2 (B)-π (C)0 (D)π 2【解】选(A)三. (10分) 设z=f(xy,xy)+g(),其中f有二阶连续偏导数,g有二阶导yx∂2z数,求.∂x∂y【解】根据复合函数求偏导公式得∂z1y=f1'⋅y+f2'⋅+g'⋅(-2), ∂xyx∂2z∂⎛∂z⎫∂⎛1y⎫= ⎪= f1'⋅y+f2'⋅+g'⋅(-2)⎪∂x∂y∂y⎝∂x⎭∂y⎝yx⎭x11xy1=f1'+y[f11''x+f12''⋅(-2)]-2f2'+[f21''x+f22''⋅(-2)]-g''⋅3-g'⋅2yyyyxx1xy1=f1'+xyf11''-2f2'-3f22''-3g''-2g'yyxxx2四. (10分) 求z=f(x,y)=x-y在闭区域D:+y2≤1上的最大值和最小值.22【解】在D的内部,⎧fx'=2x=0⇒(0,0)为驻点,且f(0,0)=0 ⎨'f=-2y=0⎩y在D的边界上,x2x25x22222+y=1⇒y=1-⇒z=x-y=-1由444(-2≤x≤2)dz5x==0⇒x=0,此时,y=±1,,则有f(0,±1)=-1,dx2比较上述函数值知,f(±2,0)=4函数z=f(x,y)=x-y在D上的最大值为4,最小值为-1.五. (10分) 求微分方程y''=22y'+xex的通解. x1p=xex, x【解】不显含y,故令y'=p,则y''=p',代入原方程得p'-利用通解公式求得通解为p=x(ex+C1),积分得原方程通解为1y=(x-1)ex+C1x2+C2.2六. (12分)(Ⅰ)试确定可导函数f(x),使在右半平面内,y[2-f(x)]dx+xf(x)dy为某函数u(x,y)的全微分,其中f(1)=2;(Ⅱ)求u(x,y);【解】(Ⅰ)P=y[2-f(x)],Q=xf(x).因为y[2-f(x)]dx+xf(x)dy是函数u(x,y)的全微分,所以有即∂Q∂P, =∂x∂yf(x)+xf'(x)=2-f(x),故xf'(x)+2f(x)=2.上述微分方程的通解为f(x)=1+所以C.由f(1)=2得C=1, x21. x2f(x)=1+(Ⅱ)在右半平面内取(x0,y0)=(1,0),则11u(x,y)=⎰P(x,0)dx+⎰Q(x,y)dy=⎰0(x+)dy=y(x+).10xxxyy七. (12分) 求幂级数∞∑n(n+1)xn=1∞n的收敛域及和函数.【解】易求得其收敛域为(-1,1),令S(x)=∑n(n+1)x=x∑n(n+1)xnn=1n=1∞n-1=x⋅S1(x),其中S1(x)=∑n(n+1)xn-1,n=1∞∞两边积分⎰再积分xS1(x)dx=∑⎰n(n+1)xn=1∞xn-1dx=∑(n+1)xn,n=1⎰(⎰xxS1(x)dx)dx=∑⎰(n+1)xdx=∑xnn=1∞x∞n+1n=1x2. =1-x因此x22S1(x)=()''=,1-x(1-x)3故原级数的和S(x)=2x,x∈(-1,1).(1-x)3八. (12分) 计算积分I=⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy∑,其中∑是抛物面z=x2+y2(0≤z≤1),取下侧.【解】补S0:z=1(x2+y2 1),取上侧,设∑与∑0围成空间区域Ω, Ω及∑0在xOy平面上的投影区域Dxy:x+y≤1.由Gauss公式,I=22∑+∑0 ⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy-⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy ∑0=⎰⎰⎰[Ω∂∂(y-z)+(x+2z)]dv-⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy ∂y∂z∑0∑0=3⎰⎰⎰dv-⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy. Ω因为∑0垂直于zOx平面,∑0在zOx平面上的投影区域面积为零,所以⎰⎰(y-z)dzdx=0.∑0I=3⎰⎰[⎰2Dxy1x+y2dz]dxdy-⎰⎰[x+2(x2+y2)]dxdy Dxy2π1=⎰⎰(3-5x2-5y2)dxdy=⎰dθ⎰(3-5r2)rdr=Dxy00π.2九. (4分) 设函数ϕ(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分ϕ(y)dx+2xydy2x+y24L的值恒为同一常数.证明:对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有ϕ(y)dx+2xydy2x+y24C=0;【证明】将C分解为:C=l1+l2,另作一条曲线l3围绕原点且与C相接,则ϕ(y)dx+2xydy2x+y24C=ϕ(y)dx+2xydy2x+y24l1+l3-ϕ(y)dx+2xydy2x+y24l2+l3=0.。
(2021年整理)高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案
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(完整)高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案高等代数2011—2012第一学期期末试卷答案课程名称:《高等代数》参考答案及评分标准(A 卷)考试(考查):考试 时间:200 年 月 日 本试卷共7页,满分100 分; 考试时间:120 分钟答题前请将密封线内的项目填写清楚一.选择题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分.请在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案,并将其号码填入题后的括号内)。
1.在[]F x 里一定能整除任意多项式的多项式是 【 B 】 A .零多项式 B .零次多项式 C .本原多项式 D .不可约多项式2.设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式,则=k 【 C 】A .4B .3C .2D .13.A ,B 是n 阶方阵,则下列结论成立的是 【 C 】A .AB O A O ≠⇔≠且B O ≠ B 。
0A A O =⇔=C .0AB A O =⇔=或B O =D . 1||=⇔=A I A4.设n 阶矩阵A 满足220A A I --=,则下列矩阵哪个不可逆 【 B 】A 。
2A I +B 。
A I +C .A I -D .A5.设A 为3阶方阵,且1)(=A r ,则 【 A 】 A 。
2011年高考全国卷Ⅱ数学(理)考试试题(真题和答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II )本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页,第II 卷3至4页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项:1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
在试题上作答无效........。
3.第I 卷共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)复数z =1+i ,z 为z 的共轭复数,则z z -z -1=(A )-2i (B )-i (C )i (D )2i(2)函数y =x ≥0)的反函数为(A )y =24x (x ∈R ) (B )y =24x (x ≥0) (C )y =24x (x ∈R ) (D )y =24x (x ≥0)(3)下面四个条件中,使a >b 成立的充分而不必要的条件是(A )a >b +1 (B )a >b -1 (C )2a >2b (D )3a >3b(4)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若11a =,公差d = 2, 224k k S S +-=,则k =(A ) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5(5) 设函数()()cos 0f x x ωω=>,将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最小值等于(A )13(B )3 (C )6 (D )9 (6)已知直二面角α –ι- β, 点A ∈α ,AC ⊥ ι ,C 为垂足,B ∈β,BD ⊥ ι,D 为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则D 到平面ABC 的距离等于( )(A )3(B )3 (C) 3 (D) 1 (7) 某中学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有( )(A )4种 (B) 10种 (C) 18种 (D)20种(8)曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为(A )13 (B )12 (C )23 (D )1(9)设()f x 是周期为2的奇函数,当01x ≤≤时,()f x 2(1)x x =-,则5()2f -= (A )12-(B )14- (C )14 (D )12 (10)已知抛物线C:2y =4x 的焦点为F ,直线y=2x-4与C 交于A,B 两点,则cos<AFB=( ) (A) 54 (B)53 (C).—53 (D) —54(11)已知平面α截一球面得圆M,过圆心M 且与 成60 二面角的平面β截该球面得N 。
工科类本科《高等数学》第11,12章自测题参考答案
工科类本科《高等数学》第11,12章自测题参考答案1. 若L 是抛物线 x y =2上从点A )1,1(-到点B )1,1(的一段弧,则()Lx y dx +=⎰43;(3)Lx y dy -=⎰ 2 . 解:L 的方程为2,x y y =从-1变到1,而2dx ydy =,于是()1111232211104()222043Lx y dx yy ydy y dy y dy y dy ---+=+⋅=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰.()1111222111(3)33602Lx y dy y y dy y dy ydy y dy ----=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰.注意:定积分的积分区间关于原点对称,考虑被积函数的奇偶性可以简化计算. 2.已知L 为圆周 122=+y x 沿逆时针方向,则曲线积分()(sin )xLey dx y x dy -++⎰=2π.解:计算封闭曲线积分,一般考虑用格林公式,这里(),sin ,112x Q P P e y Q y x x y ∂∂=-=+-=--=∂∂.于是()222211(sin )222xLx y x y ey dx y x dy dxdy dxdy π+≤+≤-++===⎰⎰⎰⎰⎰.注意:221x y dxdy +≤⎰⎰等于圆域221x y+≤的面积.3.若曲线积分()3222(cos )1sin 30Laxy y x dx ay x x y dy -+-+=⎰,则a =__2___.解:依题意,有Q P x y∂∂=∂∂,这里3222cos ,1sin 3,P axy y x Q ay x x y =-=-+2232cos ,cos 6.P Q axy y x ay x xy y x ∂∂=-=-+∂∂比较可得2a =. 4.若22xdy aydxx y-+在右半平面0x >内是某个函数的全微分,则a =__1__. 解:依题意,有Q P x y∂∂=∂∂,这里2222,,ay xP Q x y x y -==++ ()()()()()()2222222222222222222222,.a x y ay y x y x x P ax ay Q x y y x x y x y x y x y -++⋅+-⋅∂-+∂-+====∂∂++++ 比较可得1a =. 5.将()1x f x x +=展开为x 的幂级数1xx=+()1231, 1.n n x x x x x --+-+-+<或1xx=+()111,1n n n x x ∞-=-<∑.解:当1x <时,()()11x x f x x x =+--=为首项是x 公比为x -的等比级数,所以()()1123111, 1.1n n nn n xx x x x x x x∞--==-+-+-+=-<+∑6. 幂级数∑∞=1n 3n n x n的收敛半径R= 13,收敛域是11-33⎡⎫⎪⎢⎣⎭,.解:n n 113311,lim lim 33n n n n n n a n a R n a n +→∞→∞++===⋅=收敛半径,收敛区间是11-33⎛⎫⎪⎝⎭,,而当13x =-时,级数n 1131(1)n n n n x n n ∞∞===-∑∑是条件收敛的交错级数;当13x =时,级数n 1131n n n x n n∞∞===∑∑是发散的调和级数.故收敛域是11-33⎡⎫⎪⎢⎣⎭,.7.下列级数发散的是( A ).A.11ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑; B. 211n n∞=∑; C. 115n n ∞=∑; D. 111(1)2n nn ∞-=-∑. 解:A.1ln 1n u n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,取1n v n =,由lim 1n n nu v →∞=,而调和级数11n n ∞=∑发散,故11ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散.B 选项是p 级数,21p =>,故211n n∞=∑收敛.C 选项是公比为15q =的等比级数,由115q =<知115n n ∞=∑收敛.D选项是交错级数,而正项级数11111(1)22n n n n n ∞∞-==-=∑∑115q ⎛⎫=< ⎪⎝⎭是收敛的等比级数,故111(1)2n n n ∞-=-∑绝对收敛.8.下列级数收敛的是( C ). A.11sin n n ∞=∑; B. 1n ∞= C. 115n n ∞=∑;D. n ∞=解:A 选项1sin n u n =,取1n v n =,由lim 1n n nu v →∞=,而调和级数11n n ∞=∑发散,故11sin n n ∞=∑发散.B选项15nn u -==,由0lim 510n n u →∞==≠知级数n ∞=. C 选项是公比为15q =的等比级数,由115q =<知115n n ∞=∑收敛. D选项1151n n n∞∞===∑是p 级数,115p =<,故n ∞=. 9.计算曲线积分22(3)(3),Lx y dx y x dy +++⎰其中L 是从O(0, 0)沿上半圆224(0)x y x y +=≥到A(4,0)的曲线段.解:已知22(,)3,(,)3P x y x y Q x y y x =+=+,则3,3P Qy x∂∂==∂∂.因为P Qy x∂∂=∂∂,所以曲线积分与路径无关.选取x 轴上直线段OA 路径,此时0,y x =从0 到4,0dy =,于是44222300164(3)(3)33Lx y dx y x dy x dx x +++===⎰⎰. 10.计算曲线积分3(2)(2)Ly x dy x y dx +-+⎰其中L 是从A(2, 0)沿上半圆222(0)x y x y +=≥到O(0,0)的曲线段.解: 已知3(,)(2),(,)2P x y x y Q x y y x =-+=+,则2,2,4P Q Q P y x x y∂∂∂∂=-=-=∂∂∂∂. 为了使用格林公式,添加辅助直线段OA ,记它与L 所围成的区域为D,D 是上半圆域222,0x y x y +≤≥,且边界封闭曲线方向是规定的正向. 而直线段OA 方程为:0,y x =从0到2,此时0dy =.则 3(2)(2)Ly x dy x y dx +-+⎰33(2)(2)(2)(2)L OAOAy x dy x y dx y x dy x y dx +=+-+-+-+⎰⎰()2342001444D Ddxdy x dx dxdy x =--=+⎰⎰⎰⎰⎰1442 4.2ππ=⋅+=+(注Ddxdy ⎰⎰等于上半圆域D 的面积)11.设dy y xy x dx y xy x du )32()23(2222+--+-=,求原函数),(y x u . 解法一:已知2222(,)32,(,)(23)P x y x xy y Q x y x xy y =-+=--+, 而22,22P Q x y x y y x ∂∂=-+=-+∂∂.因为P Qy x∂∂=∂∂,所以曲线积分L Pdx Qdy +⎰与路径无关.取折线路线0AB :(0,0)(,0)(,)O A x B x y →→.其中直线段OA 方程为:0,y x =从0到x ,此时0dy =;直线段AB 方程为:,x x y =从0到y ,此时0dx =.则原函数 (,)OAB OAABu x y Pdx Qdy C Pdx Qdy Pdx Qdy C =++=++++⎰⎰⎰22203(23)xy x dx x xy y dy C =+--++⎰⎰3223x x y xy y C =-+-+解法二:已知2222(32),(23)u ux xy y x xy y x y∂∂=-+=--+∂∂,两式子分别对,x y 两边积分,有 22322(,)(32)()u x y x xy y dx x x y xy y ϕ=-+=-++⎰,22223(,)(23)()u x y x xy y dy x y xy y x ψ=--+=-+-+⎰.从而,有 322223()()x x y xy y x y xy y x ϕψ-++=-+-+, 比较上式两边,有 33(),()y y C x x C ϕψ=-+=+.故 3223(,)u x y x x y xy y C =-+-+. 解法三:依题意,知2232u x xy y x ∂=-+∂(1), 22(23)ux xy y y∂=--+∂(2).(1)式两边对x 积分,得 22322(,)(32)()u x y x xy y dx x x y xy y ϕ=-+=-++⎰(3)(3)式两边对y 求偏导,得22()ux xy y yϕ∂'=-++∂ (4). 比较(2)、(4)式,得 2()3y y ϕ'=-,两边对y 积分,得 3()y y C ϕ=-+. 故 3223(,)u x y x x y xy y C =-+-+. 12.判别下列正项级数的敛散性:(1)12sin 3nn n π∞=∑;(2)2121n n n n ∞=+-∑;(3)13!n nn n n ∞=⋅∑;(4)121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑. 解:(1)()22sin2333nnn n nn u n πππ⎛⎫=⋅=→∞ ⎪⎝⎭,取23nn v ⎛⎫= ⎪⎝⎭.由23lim lim 23nn n n n nu v ππ→∞→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭,又已知等比级数122133n n q ∞=⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑收敛. 因此根据正项级数的比较判别法知 级数2sin3n nπ∑收敛.(2)221n n u n n =+-,取1n v n =. 由22lim lim 121n n n nu n v n n →∞→∞==+-,又已知调和级数1n ∑发散.因此根据正项级数的比较判别法知 级数221nn n +-∑发散.(3)13!n nn n n∞=⋅∑ 解:3!n n n n u n ⋅=,因为 ()()11131!13lim lim 3lim 3lim 13!1111nn n n n n n n n n n nn u n n u n n e n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+⎛⎫=⋅===> ⎪⋅+⎝⎭+⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 所以根据正项级数的比值判别法知 级数3!n nn n ⋅∑发散.(4)21n n n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑ 解:21nn n u n ⎛⎫= ⎪+⎝⎭,因为1lim 1212n n n n →∞==<+, 所以根据正项级数的根值判别法知 级数21nn n ⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛.13.求下列幂级数的和函数:(1)111n n x n -∞=+∑;(2)11n n nx ∞-=∑. 解:(1)此幂级数的收敛半径为1,收敛区间为(1,1)-.设幂级数的和函数为()s x ,则11()1n n x s x n -∞==+∑ (1x <), 1(0)2s =对121()1n n x x s x n +∞==+∑逐项求导,得()1211()11n n n n x x x s x x n x +∞∞=='⎛⎫'=== ⎪+-⎝⎭∑∑ ()11x -<< 对上式从0到x 积分,得 ()[]2000111()1ln(1).111xx x t t x s x dt dt dt x x t t t --⎛⎫⎛⎫==-=--=-+- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 于是当0x ≠时,有 2ln(1)()x x s x x +-=-.从而 和函数2ln(1),01;()1,0.2x x x xs x x +-⎧-<<⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩.特殊的,当1x =-时,级数()()112111n nn n n n-∞∞==--=+∑∑收敛.所以2ln(1)()x x s x x +-=-在1x =-也成立.(2)此幂级数的收敛半径为1,收敛区间为(1,1)-.设和函数为()s x ,则11()n n s x nx∞-==∑ (1x <).对上式从0到x 逐项积分,得111()1x xn n n n xs t dt nt dt x x∞∞-=====-∑∑⎰⎰ 对上式求导,得22(1)(1)1()1(1)(1)x x x s x x x x '--⋅-⎛⎫=== ⎪---⎝⎭,1x <.。
广西师范大学11级高等数学2试卷A答案
6 6 x 2 xyz 6 4 y 2 xyz 6 2 z 2 xyz 2y2 z2 6 0
…… 19 分
解之得所求点坐标为 (
6 , 1, 3
2 ) ,此时四面体有最小体积 V 3 3 .
………… 21 分
四、证明题(本大题 6 分) 证明 令 f ( x , y )dxdy A ,则有 f ( x, y ) xy A .
0 0 2 3
2] d
………………… 9 分
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6. 解 1) 令 F ( x, y, z ) 3 x 2 2 y 2 z 2 6 则 Fx (1,1,1) 6 , Fy (1,1,1) 4 , Fz (1,1,1) 2 …………………… 3 分
0 e
4
1
e
2 sec
0
f ( ) d ;5.0; 6.[-2,2).
三、计算题(本大题 6 小题,共 64 分) 1.解 令 F ( x, y, z )
1 xz x z 1 ln ,则有 Fx , Fy , Fz 2 ,………… 4 分 z z y y z
P Q . 6 xy 2 2 y cos x y x
………………………………… 2 分
由格林公式知 所以有
L OB BA
Pdx Qdy (
D
Q P )dxdy 0 ,…………………… 5 分 x y
(2 xy
L L
3
y 2 cos x)dx (1 2 y sin x 3 x 2 y 2 )dy
OB BA
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
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重庆大学 高等数学Ⅱ-1-2 课程试卷juan2012 ~2013学年 第 1学期 开课学院: 数学 课程号: 10019565 考试日期: 20121215考试方式:考试时间: 120 分钟一、单项选择题(每小题3分,共15分)1.若lim ()x f x k →∞'=,则lim[()()]x f x a f a →∞+-为【A 】A .kaB .kC .aD .不存在2.若()xf x e -=,则(ln )f x dx x'=⎰【A 】 A .1c x+ B .1c x -+ C .x c + D .x c -+3.曲线221x xy x +=-渐近线的条数为【C 】A .0B .1C .2D .34.极限2lim ln()()x x x x a x b →+∞=-+【C 】 A .0 B .1 C .a b -D .b a -5.设曲线2x y e-=,则其拐点的个数为【B 】A .1B .2C .3D .4二、填空题(每小题3分,共15分) 1.设ln sin y x =,在5[,]66ππ上满足罗尔中值定理中的ξ=2π 2.= ln(x c ++3.若()f x 的一个原函数为tan x x ,则()xf x dx '=⎰ 22t a n s e c x x c x-+ 4.极限011lim ln(1)x x x →⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦ 12 5.曲线2()sin()f x x =,则(6)(0)f= 120-解法1:2()sin(),(0)0f x x f ==2()2cos(),(0)0f x x x f ''==22222()2cos 4sin 2cos 4(),(0)2f x x x x x x f x f ''''=-=-=222()4sin 8()4()12()4(),(0)0f x x x xf x x f x xf x x f x f ''''''''=---=--= (4)2()12()12()8()4()f x f x xf x xf x x f x ''''=----212()20()4()f x xf x x f x '''=---(5)2()12()20()20()8()4()f x f x f x xf x xf x x f x '''''''''=-----232()28()4()f x xf x x f x ''''''=---(6)2(4)()32()28()28()8()4()f x f x f x xf x xf x x f x ''''''''''=-----2(4)60()36()4()f x xf x x f x '''''=---.(6)(0)120f=-解法2:3511sin 3!5!x x x x =-++ 2261011()sin 3!5!f x x x x x ==-++(6)1(0)6!1203!f =-⋅=-三、计算题(一)(每小题8分,共24分)命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密1.求a ,使函数1()sin sin 33f x a x x =+在3x π=处取得极值,并问3x π=是()f x 的极大值还是极小值,再求其极值。
解:因()cos cos3f x a x x '=+,则1()1032f a π'=-=知2a =,故()2sin 3sin3f x x x ''=--()03f π''=<,从而()3f π=2.计算不定积分(sin cos )cos 2nI x x xdx =+⎰,其中n 为正整数。
解法1:()22(sin cos )cossin nI x x x x dx =+-⎰1(sin cos )(sin cos )n x x d x x +=++⎰ 21(sin cos )2n x x c n +=+++ 解法2:22211(1sin 2)sin 2(1sin 2)22n n I x d x x c n +=+=+++⎰ 解法3:22sin()sin 2()44nn I x x dx ππ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰1122sin()sin()44n nx d x ππ++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰222sin()24nn x c n π+⎡⎤=++⎢⎥+⎣⎦3.计算不定积分3.dx ⎰解法1:令2tan ,arctan ,22x x t x x ππ==-<<,则33238tan 2sec 8tan sec 2sec ttdt t tdt t =⋅=⎰⎰2388(sec 1)sec sec 8sec 3t d t t t c =-=-+⎰313c =- 解法2:32221122x t ==222341412(4)423ut u u udu u du u u c u =--⋅=-=-+⎰⎰313c =-四、计算题(二)(第1至2题每小题8分,第3题9分,共25分) 1.计算积分22(ln )x x dx ⎰。
解法1:2223322111(ln )(ln )(ln )2ln 333x x dx x dx x x x xdx ==-⋅⎰⎰⎰32312(ln )ln ()39x x xd x =-⎰ 3233122(ln )ln 3927x x x x x c =-++ 解法2:令ln ,ux u x e ==,则222223(ln )u u ux x dx e u e du u e du =⋅=⎰⎰⎰2.计算极限1lim.1ln xx x x x x→--+ 解:教材上的例子3.一商家销售某种商品的价格满足关系70.2p x =-(万元/吨),x 为销售量(单位:吨),商品的成本函数是31c x =+(万元)。
(1)若每销售一吨商品,政府要征税t 万元,求该商家获最大利润时的销售量;(2)t 为何值时,政府税收总额最大。
解:(1)总税额T tx =,商品销售总收入为2(70.2)70.2R px x x x x ==-=-利润函数为2()0.2(4)1L x R C T x t x =--=-+--令()0.440L x x t '=-+-=,得10 2.5x t =-,且0.40L ''=-<, 故10 2.5x t =-为利润最大时的销售量。
(2)将10 2.5x t =-代入T tx =,得210 2.5T t t =-令1050dTt dt=-=,得2t =,且2250d T dt =-<故当2t =时,T 最大。
此时,政府税收总额最大。
五、证明题(每小题7分,共21分)1.证明:0x >时,11(1)x e x ++>。
证:令1()(1)ln(1)1f x x x=++-11()ln(1)0f x x x'=+-<所以当0x >时,()f x 单减,从而()()lim ()0x f x f f x →+∞>+∞==。
故11(1)x e x++>。
2.设函数()y f x =在某0x x r -<内有四阶连续的导数,(4)0000()()()0,()0f x f x f x f x ''''''===≠ 。
证明0()f x 为极值。
证法1:由已知(4)0()0fx ≠,不妨设(4)0()0f x >,因()f x 有四阶连续的导数,故由极限的保号性知,存在0δ>,当0(,)x U x δ∈时,有(4)()0f x >。
0(,)x U x δ∈,由泰勒公式:2000001()()()()()()2!f x f x f x x x f x x x '''=+-+- 3(4)400011()()()()3!4!f x x x f x x ξ'''+-+-,其中0(,)U x ξδ∈ (4)40001()()()()4!f x f x x f x ξ=+->所以0()f x 为极小值。
同理可证,(4)0()0f x <时,0()f x 为极大值。
证法2:课堂上所讲方法。
课堂上的证明方法是没有已知()f x 有四阶连续的导数的证明方法,只已知了四阶导数(4)0()0fx ≠。
3.设函数()f x 在[)0+∞,上可导,对(0,)x ∀∈+∞,()0f x k '≥>(k 为一常数)。
证明:存在0M >及0Z >,x Z ∀>有().f x Mx ≥证明:因()f x 在[)0+∞,上可导,故0x ∀> ()(0)()()f x f f x kx x ξ'-=>→+∞→+∞从而()f x →+∞,当x →+∞时,故存在0,Z x Z >∀>,有()0f x >。
x Z ∀>,(2)()()(2)()f x f x f x kx f x kx f x kx ξ'-=≥⇒≥+≥取,22k x M Z =∀>,有()2xf x k Mx ≥⋅=。