2020年全国高考数学第二轮复习 专题升级训练15 椭圆、双曲线、抛物线 理
高三数学二轮专题复习椭圆双曲线抛物线01含答案
椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称 椭圆双曲线抛物线定义 PF 1＋PF 2＝2a (2a > F 1F 2)|PF 1－PF 2|＝2a (2a < F 1F 2)PF ＝PM 点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2＝2px (p >0)图形几何性质范围 |x |≤a ，|y |≤b |x |≥a x ≥0 顶点 (±a,0)，(0，±b )(±a,0)(0,0) 对称性 关于x 轴，y 轴和原点对称关于x 轴对称焦点(±c,0)(p2，0) 轴长轴长2a ，短轴长2b 实轴长2a ，虚轴长2b离心率 e ＝ca＝ 1－b 2a 2(0<e <1)e ＝c a＝ 1＋b 2a 2(e >1) e ＝1 准线 x ＝±a 2cx ＝±a 2cx ＝－p 2渐近线y ＝±b ax考点一 圆锥曲线的定义与标准方程例1 (1)设椭圆x 22＋y 2m ＝1和双曲线y 23－x 2＝1的公共焦点分别为F 1、F 2，P 为这两条曲线的一个交点，则PF 1·PF 2的值等于________．(2)已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若F A ＝2FB ，则k ＝________. 答案 (1)3 (2)223【详细分析】(1)焦点坐标为(0，±2)，由此得m －2＝4，故m ＝6.根据椭圆与双曲线的定义可得PF 1＋PF 2＝26，PF 1－PF 2＝23，两式平方相减得4PF 1PF 2＝4×3，所以PF 1·PF 2＝3.(2)方法一 抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ：x ＝－2，直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)恒过定点P (－2,0)． 如图，过A 、B 分别作AM ⊥l 于点M ， BN ⊥l 于点N .由F A ＝2FB ，则AM ＝2BN ，点B 为AP 的中点． 连结OB ，则OB ＝12AF ，∴OB ＝BF ，点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为(1,22)．∴k ＝22－01－(－2)＝223.方法二如图，由图可知，BB ′＝BF ，AA ′＝AF ，又AF ＝2BF ，∴BC AC ＝BB ′AA ′＝12，即B 是AC 的中点．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x B ＝x A －2，2y B ＝y A 与⎩⎪⎨⎪⎧y 2A ＝8x A ，y 2B ＝8x B ，联立可得A (4,42)，B (1,22)．∴k AB ＝42－224－1＝223.(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求PF 1＋PF 2＞F 1F 2，双曲线的定义中要求PF 1－PF 2＜F 1F 2，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，提倡画出合理草图．(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为________．(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ， 交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为 ________．答案 (1)x 220＋y 25＝1 (2)y 2＝3x【详细分析】(1)∵椭圆的离心率为32，∴ca ＝a 2－b 2a ＝32， ∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20.∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.(2)如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定 义知，AF ＝AA 1，BF ＝BB 1，∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BB 1，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°.连结A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形， 过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于N ，则NF ＝A 1F 1＝12AA 1＝12AF ，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .考点二 圆锥曲线的几何性质例2 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．(2)(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．答案 (1)57 (2)33【详细分析】(1)在△ABF 中，由余弦定理得 AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF cos ∠ABF ， ∴AF 2＝100＋64－128＝36，∴AF ＝6， 从而AB 2＝AF 2＋BF 2，则AF ⊥BF . ∴c ＝OF ＝12AB ＝5，利用椭圆的对称性，设F ′为右焦点，则BF ′＝AF ＝6，∴2a ＝BF ＋BF ′＝14，a ＝7. 因此椭圆的离心率e ＝c a ＝57.(2)如图，F (c,0)，B (0，b )，则直线BF 的方程为x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy－bc ＝0，d 1＝bcb 2＋c 2＝bc a d 2＝a 2c －c ＝b 2c ， 由已知条件d 2＝6d 1 即b 2c ＝6bca ，整理得：6b 2＋ab －6a 2＝0解得b a ＝26，∴e ＝c 2a 2＝ 1－b 2a 2＝33. 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．(1)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且B F →＝2 F D →，则C 的离心率为________．(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________． 答案 (1)33 (2)102【详细分析】(1)设椭圆C 的焦点在x 轴上，如图，B (0，b )，F (c,0)，D (x D ，y D )， 则B F →＝(c ，－b )，F D →＝(x D －c ，y D )，∵B F →＝2F D →，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2(x D －c )，－b ＝2y D ，∴⎩⎨⎧x D ＝3c2，y D＝－b2.又∵点D 在椭圆C 上，∴⎝⎛⎭⎫3c 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－b 22b 2＝1，即e 2＝13.∴e ＝33.(2)设c ＝a 2＋b 2，双曲线的右焦点为F ′.则PF －PF ′＝2a ，FF ′＝2c .∵E 为PF 的中点，O 为FF ′的中点，∴OE ∥PF ′，且PF ′＝2OE . ∵OE ⊥PF ，OE ＝a2，∴PF ⊥PF ′，PF ′＝a ，∴PF ＝PF ′＋2a ＝3a . ∵PF 2＋PF ′2＝FF ′2，即9a 2＋a 2＝4c 2，∴c a ＝102.∴双曲线的离心率为102.考点三 圆锥曲线的综合问题例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，点F 为椭圆的右焦点，点A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，点M 为椭 圆的上顶点，且满足MF →·FB →＝2－1. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，当直线l 交椭圆于P 、Q 两点时，使点F 恰为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)根据题意得，F (c,0)(c >0)，A (－a,0)，B (a,0)，M (0，b )， ∴MF →＝(c ，－b )，FB →＝(a －c,0)，∴MF →·FB →＝ac －c 2＝2－1.又e ＝c a ＝22，∴a ＝2c ，∴2c 2－c 2＝2－1，∴c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在满足条件的直线l .∵k MF ＝－1，且MF ⊥l ，∴k l ＝1.设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1消去y 得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，则有Δ＝16m 2－12(2m 2－2)>0，即m 2<3， 又x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2m 2－23，∴y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝2m 2－23－4m 23＋m 2＝m 2－23.又F 为△MPQ 的垂心，连结PF ，则PF ⊥MQ ，∴PF →·MQ →＝0， 又PF →＝(1－x 1，－y 1)，MQ →＝(x 2，y 2－1)，∴PF →·MQ →＝x 2＋y 1－x 1x 2－y 1y 2＝x 2＋x 1＋m －x 1x 2－y 1y 2 ＝－43m ＋m －2m 2－23－m 2－23＝－m 2－m 3＋43＝－13(3m 2＋m －4)＝－13(3m ＋4)(m －1)＝0，∴m ＝－43或m ＝1(舍去)，经检验m ＝－43符合条件，∴存在满足条件的直线l ，其方程为3x －3y －4＝0.(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ≥0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．(2)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 解 (1)由椭圆W ：x 24＋y 2＝1，知B (2,0)∴线段OB 的垂直平分线x ＝1.在菱形OABC 中，AC ⊥OB ，将x ＝1代入x 24＋y 2＝1，得y ＝±32.∴AC ＝|y 2－y 1|＝ 3.因此菱形的面积S ＝12OB ·AC ＝12×2×3＝ 3.(2)假设四边形OABC 为菱形．因点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2. ∴线段AC 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2，∵M 为AC 和OB 交点，∴k OB ＝－14k .又k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1，∴AC 与OB 不垂直． 故OABC 不是菱形，这与假设矛盾．综上，四边形OABC 不是菱形．1． 对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．2． 椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的常数，A >B >0时，表示焦点在y轴上的椭圆；B >A >0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB <0时表示双曲线．3． 求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a ，c ，计算e ＝ca；方法二：根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca.4． 通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b 2a ，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p ，过抛物线焦点的弦中通径最短． 椭圆上点到焦点的最长距离为a ＋c ，最短距离为a －c . 5． 抛物线焦点弦性质：已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)S △AOB ＝p 22sin α；(4)1F A ＋1FB 为定值2p； (5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.1． 已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________． 答案 (1,2)【详细分析】由AB ⊥x 轴，可知△ABE 为等腰三角形，又△ABE 是锐角三角形，所以∠AEB 为锐角，即∠AEF <45°，于是AF <EF ，b 2a<a ＋c ，于是c 2－a 2<a 2＋ac ，即e 2－e －2<0，解得－1<e <2.又双曲线的离心率e >1，从而1<e <2.2． 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝2________.(填“内”“外”“上”) 答案 内【详细分析】∵x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－c a .∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2ac a 2. ∵e ＝c a ＝12，∴c ＝12a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫12a 2＝34a 2. ∴x 21＋x 22＝34a 2＋2a ×12a a 2＝74<2.∴P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2内． 3． 过抛物线y 2＝2px (p >0)的对称轴上一点A (a,0)(a >0)的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向直线l ：x ＝－a 作垂线，垂足分别为M 1、N 1. (1)当a ＝p2时，求证：AM 1⊥AN 1；(2)记△AMM 1、△AM 1N 1、△ANN 1的面积分别为S 1、S 2、S 3.是否存在λ，使得对任意的a >0，都有S 22＝λS 1S 3成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．(1)证明 当a ＝p 2时，A (p2，0)为该抛物线的焦点，而l ：x ＝－a 为准线，由抛物线的定义知MA ＝MM 1，NA ＝NN 1， 则∠NN 1A ＝∠NAN 1，∠MM 1A ＝∠MAM 1. 又∠NN 1A ＝∠BAN 1，∠MM 1A ＝∠BAM 1， 则∠BAN 1＋∠BAM 1＝∠NAN 1＋∠MAM 1， 而∠BAN 1＋∠BAM 1＋∠NAN 1＋∠MAM 1＝180°， 则∠N 1AM 1＝∠BAN 1＋∠BAM 1＝90°， 所以AM 1⊥AN 1.(2)解 可设直线MN 的方程为x ＝my ＋a ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋a ，y 2＝2px 得y 2－2pmy －2pa ＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－2pa . S 1＝12(x 1＋a )|y 1|，S 2＝12(2a )|y 1－y 2|，S 3＝12(x 2＋a )|y 2|，由已知S 22＝λS 1S 3恒成立，则4a 2(y 1－y 2)2＝λ(x 1＋a )(x 2＋a )|y 1y 2|.(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4p 2m 2＋8pa ，(x 1＋a )(x 2＋a )＝(my 1＋2a )(my 2＋2a )＝m 2y 1y 2＋2ma (y 1＋y 2)＋4a 2 ＝m 2(－2pa )＋2ma ×2pm ＋4a 2＝4a 2＋2pam 2.则得4a 2(4p 2m 2＋8pa )＝2pa λ(4a 2＋2pam 2)，解得λ＝4， 即当λ＝4时，对任意的a >0，都有S 22＝λS 1S 3成立．(推荐时间：70分钟)一、填空题1． 设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为________________． 答案 y 2＝4x 或y 2＝16x【详细分析】由题意知：F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .2． 与椭圆x 212＋y 216＝1共焦点，离心率互为倒数的双曲线方程是____________．答案y 2－x 23＝1 【详细分析】椭圆x 212＋y 216＝1的离心率为16－1216＝12，且焦点为(0，±2)，所以所求双曲线的焦点为(0，±2)且离心率为2，所以c ＝2，2a ＝2得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3，故所求双曲线方程是y 2－x 23＝1.3． 已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则FM ∶MN ＝________. 答案 1∶ 5【详细分析】由抛物线定义知M 到F 的距离等于M 到准线l 的距离MH . 即FM ∶MN ＝MH ∶MN ＝FO ∶AF ＝1∶ 5.4． 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F ，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM 交y 轴于点P ，切圆于点M,2OM →＝OF →＋OP →，则双曲线的离心率是________． 答案2【详细分析】由已知条件知，点M 为直三角形OFP 斜边PF 的中点，故OF ＝2OM ，即c ＝2a ，所以双曲线的离心率为 2.5． 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于________． 答案433【详细分析】抛物线C 1的标准方程为x 2＝2py ，其焦点F 为⎝⎛⎭⎫0，p2，双曲线C 2的右焦点F ′为(2,0)，渐近线方程为y ＝±33x .由y ′＝1p x ＝33得x ＝33p ，故M ⎝⎛⎭⎫33p ，p6.由F 、F ′、M 三点共线得p ＝433.6． 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．答案 2【详细分析】建立关于m 的方程求解．∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5，∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2.7． 椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且PF →1·PF →2的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是________． 答案 [12，22]【详细分析】设P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF →1＝(－c －x ，－y )，PF →2＝(c －x ，－y )，PF →1·PF →2＝x 2＋y 2－c 2. 又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方，所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，所以(PF 1→·PF 2→)max ＝b 2，所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12，所以12≤e ≤22.8． 椭圆Г：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． 答案3－1 【详细分析】由直线方程为y ＝3(x ＋c )，知∠MF 1F 2＝60°， 又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，所以∠MF 2F 1＝30°， MF 1⊥MF 2，所以MF 1＝c ，MF 2＝3c ， 所以MF 1＋MF 2＝c ＋3c ＝2a .即e ＝ca＝3－1.9． 已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 答案 44【详细分析】由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点，且PQ ＝QA ＋P A ＝4b ＝16，由双曲线定义，PF －P A ＝6，QF －QA ＝6.∴PF ＋QF ＝12＋P A ＋QA ＝28，因此△PQF 的周长为PF ＋QF ＋PQ ＝28＋16＝44.10．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则PM ＋PN 的最小值为________． 答案 7【详细分析】由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且PF 1＋PF 2＝10，从而PM ＋PN 的最小值为PF 1＋PF 2－1－2＝7. 二、解答题11．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1①x 22a 2＋y 22b2＝1②①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0.因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1，设P (x 0，y 0)，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以y 0＝12x 0，即y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)．所以可以解得a 2＝2b 2，即a 2＝2(a 2－c 2)，即a 2＝2c 2， 又因为c ＝3，所以a 2＝6，所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)因为CD ⊥AB ，直线AB 方程为x ＋y －3＝0，所以设直线CD 方程为y ＝x ＋m ，将x ＋y －3＝0代入x 26＋y 23＝1得：3x 2－43x ＝0，即A (0，3)，B ⎝⎛⎭⎫433，－33，所以可得AB ＝463； 将y ＝x ＋m 代入x 26＋y 23＝1得：3x 2＋4mx ＋2m 2－6＝0，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则CD ＝2(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝22318－2m 2，又因为Δ＝16m 2－12(2m 2－6)>0，即－3<m <3，所以当m ＝0时，CD 取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12AB ·CD ＝863.12．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A 、PB 、PM 的斜率分别为k 1、k 2、k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． 解 (1)由P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，得1a 2＋94b2＝1，① 又e ＝c a ＝12，得a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，②②代入①得，c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x 24＋y 23＝1得，(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝k (x 1－1)－32x 1－1＋k (x 2－1)－32x 2－1＝2k －32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝2k －32·8k 24k 2＋3－24k 2－124k 2＋3－8k24k 2＋3＋1＝2k －1.又将x ＝4代入y ＝k (x －1)得M (4,3k )， ∴k 3＝3k －323＝k －12，∴k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．13．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点的抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标；(3)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，且满足P A →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1 (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝k (x －2)＋1得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0. ①因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理，得32(6k ＋3)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32. (3)若存在直线l 1满足条件，则直线l 1的斜率存在，设其方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ， 所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)>0.所以k 1>－12. x 1＋x 2＝8k 1(2k 1－1)3＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21. 因为P A →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 21)＝54，即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54. 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 1(2k 1－1)3＋4k 21＋4(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54， 解得k 1＝±12.因为A ，B 为不同的两点，所以k 1＝12.于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .。
2020届高考数学大二轮复习刷题首选卷第一部分刷考点考点十五直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线课件理
3．(2019·湖南师大附中月考七)已知动圆 C 经过点 A(2,0)，且截 y 轴所
得的弦长为 4，则圆心 C 的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线 答案 D
D．抛物线
解析 设圆心 C(x，y)，弦为 BD，过点 C 作 CE⊥y 轴，垂足为 E，则|BE|
＝2，∴|CA|2＝|CB|2＝|CE|2＋|BE|2，∴(x－2)2＋y2＝22＋x2，化为 y2＝4x，故
r2－A2B2＝ 52－32
10．(2019·河南鹤壁模拟)与双曲线x92－1y62 ＝1 具有相同的渐近线，且经
过点 A(3，－2 3)的双曲线方程是________．
答案 解析
49x2－y42＝1 设与双曲线x92－1y62 ＝1 具有相同的渐近线的双曲线的方程为x92－
1y62 ＝m(m≠0)，代入点 A(3，－2 3)，解得 m＝41，则所求双曲线的方程为x92－
(2)证明：①当直线 l 垂直于 x 轴时，直线 l 的方程为 x＝2，此时直线 l 与椭圆x42＋y32＝1 相切，与题意不符．
②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＋1＝k(x－2)．
y＋1＝kx－2，
由x42＋y32＝1，
消去 y 整理得
(4k2＋3)x2－(16k2＋8k)x＋16k2＋16k－8＝0.
二、填空题 9．(2019·湖南株洲第二次教学质量检测)设直线 l：3x＋4y＋a＝0，与圆 C：(x－2)2＋(y－1)2＝25 交于 A，B，且|AB|＝6，则 a 的值是________．
答案 10 或－30
解析 因为|AB|＝6，所以圆心到直线的距离为 d＝ ＝4，所以|6＋324＋＋4a2|＝4，即 a＝10 或 a＝－30.
2020届数学(理)高考二轮专题复习与测试：第二部分 专题五 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
A 级 基础通关一、选择题1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，则( )A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b解析：由e ＝c a ＝12，则a ＝2c .又a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4b 2. 答案：B2．(2019·天一联考)设双曲线C ：x 28－y 2m ＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，点N 在右支上，若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝( )A ．8B ．4C ．8 2D ．4 2解析：由∠F 2MN ＝∠F 2NM ，知|F 2M |＝|F 2N |， 又|MF 2|－|MF 1|＝42，|NF 1|－|NF 2|＝4 2. 两式相加，得|NF 1|－|MF 1|＝82， 故|MN |＝|NF 1|－|MF 1|＝8 2.答案：C3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67解析：如图所示，在△AFB中，|AB|＝10，|BF|＝8，cos ∠ABF＝45，由余弦定理得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB||BF|cos ∠ABF＝100＋64－2×10×8×45＝36，所以|AF|＝6，∠BFA＝90°，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′.根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．所以|BF′|＝6，|FF′|＝10，所以2a＝8＋6，2c＝10，解得a＝7，c＝5，所以e＝ca＝57.答案：B4．(2019·长郡中学模拟)已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若点F2关于双曲线渐近线的对称点A满足∠F1AO ＝∠AOF1(O为坐标原点)，则双曲线的渐近线方程为() A．y＝±3x B．y＝±2xC．y＝±2x D．y＝±x解析：设F2A与渐近线y＝ba x交于点M，且O，M分别为F1F2、F2A的中点，故OM∥F1A，则F1A⊥F2A，OA＝OF1＝c.又∠F 1AO ＝∠AOF 1，所以△F 1OA 为正三角形， 所以∠MOF 2＝π3，故双曲线的渐近线为y ＝±3x . 答案：A5．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C ．2D. 5解析：设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 的坐标为(c ，0)．由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设PQ 与OF 交于点M ，连接OP ，如图所示． 则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得2·⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2， 故ca＝2，离心率e ＝ 2.答案：A 二、填空题6．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y2b2＝1(b＞0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．解析：因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)经过点(3，4)，则9－16b 2＝1(b＞0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y22＝1，因此双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 答案：y ＝±2x7．(2019·珠海调研)已知直线l 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O 和焦点F ，且与直线l 相切，则抛物线的方程为________．解析：由已知圆心在OF 的中垂线上，故圆心到准线的距离为34p ，所以34p ＝3，所以p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x8．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．解析：设F 1为椭圆的左焦点，分析可知点M 在以F 1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎨⎧（x ＋4）2＋y 2＝64，x 236＋y220＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)． 答案：(3，15) 三、解答题9．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.10．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0. 证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差． (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m .①由题设得0<m <32，故k <－12.(2)解：由题意得F (1，0)．设P (x 3，y 3)，则 (x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0)． 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1， y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0. 又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P (1，－32)，|FP →|＝32，于是|FA →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3（1－x 214）＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列． 设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 .② 将m ＝34代入①得k ＝－1，所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x＋14＝0. 故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128. 所以该数列的公差为32128或－32128. B 级 能力提升11．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m.由椭圆的定义知，4m ＝2a ， 得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．如图． 不妨设A (0，－b )，由F 2(1，0)，AF 2→＝2F 2B →，得B ⎝⎛⎭⎪⎫32，b 2.由点B 在椭圆上，得94a 2＋b 24b2＝1，得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.答案：B12．(2019·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55.(1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意2b ＝4，得b ＝2. 又e ＝ca ＝55，且a 2＝b 2＋c 2＝4＋c 2，所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M ，0)．设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0， 可得x P ＝－20k4＋5k 2， 代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k 24＋5k 2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245， 从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.。
高三数学二轮复习-专题五第二讲-椭圆、双曲线、抛物线课件
抛物线的方程及几何性质
(5分)(2011·山东)设M(x0，y0)为抛物线C: x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为 圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交， 则y0的取值范围是
A．(0,2)
B．[0,2]
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
【标准解答】 ∵x2＝8y, ∴焦点F的坐标为 (0,2), 准线方程为y＝－2.
∴c2＝a2－b2＝8.∴e＝ac＝2 4 2＝
2 2.
答案 D
4．(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该
抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的 距离为
3 A.4
B．1
5
7
C.4
D.4
解析 ∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋12＝3，∴xA＋xB＝52.
解析 由于直线AB的斜率为－ba，故OP的斜率为－ba，
直线OP的方程为y＝－bax.
与椭圆方程ax22＋by22＝1联立，解得x＝±
2 2 a.
因为PF1⊥x轴，所以x＝－ 22a，
从而－ 22a＝－c，即a＝ 2c. 又|F1A|＝a＋c＝ 10＋ 5， 故 2c＋c＝ 10＋ 5，解得c＝ 5， 从而a＝ 10.所以所求的椭圆方程为1x02 ＋y52＝1. 答案 1x02 ＋y52＝1
又双曲线的离心率e＝ a2a＋b2＝ a7，所以 a7＝247， 所以a＝2，b2＝c2－a2＝3， 故双曲线的方程为x42－y32＝1.
答案 x42－y32＝1
圆锥曲线是高考考查的重点，一般会涉及到 圆锥曲线的定义、离心率、圆锥曲线的几何 性质及直线与圆锥曲线的位置关系等. 在命题 中体现知识与能力的综合，一般地，选择题、 填空题的难度属中档偏下，解答题综合性较 强，能力要求较高，故在复习的过程中，注 重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线的综 合问题的强化训练，尤其是对推理、运算能 力的训练.
2020年高考数学(理)二轮复习命题考点串讲系列-专题15 椭圆、双曲线与抛物线(含答案解析)
2020年高考数学（理）二轮复习命题考点串讲系列-专题15 椭圆、双曲线与抛物线1、考情解读1.以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长问题、双曲线的渐近线等，可能会与数列、三角函数、平面向量、不等式结合命题，若与立体几何结合，会在定值、最值、定义角度命题．2.每年必考一个大题，相对较难，且往往为压轴题，具有较高的区分度．平面向量的介入，增加了本部分高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本部分还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识结合进行综合考查．2、重点知识梳理一、椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)定点F和定直线l，点F不在直线l上，P到l距离为d，|PF|＝d标准方程焦点在x轴上x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)焦点在x轴上x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)焦点在x轴正半轴上y2＝2px(p>0)图象几何性范围|x|≤a，|y|≤b |x|≥a，y∈R x≥0，y∈R顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称关于x轴对称质焦点 (±c,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 轴 长轴长2a ，短轴长2b 实轴长2a ，虚轴长2b 离心率 e ＝c a ＝1－b2a2(0<e<1)e ＝c a ＝1＋b2a2(e>1)e ＝1 准线 x ＝－p 2 通径 |AB |＝2b 2a |AB |＝2p 渐近线y ＝±b ax【误区警示】1．求椭圆、双曲线方程时，注意椭圆中c 2＝a 2＋b 2，双曲线中c 2＝a 2－b 2的区别． 2．注意焦点在x 轴上与y 轴上的双曲线的渐近线方程的区别．3．平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点；平行于抛物线的轴的直线与抛物线有且仅有一个交点．3、高频考点突破考点1 椭圆的定义及其方程例1．(2017·北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m ＋2n （x －m ），y ＝n2－m （x －2），解得点E 的纵坐标y E ＝－n （4－m 2）4－m 2＋n 2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n . 又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |， S △BDN ＝12|BD |·|n |，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A【变式探究】已知椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵A ，B 在椭圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1 ②①－②，得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2＝0，即b 2a 2＝－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）（x 1＋x 2）（x 1－x 2），∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而y 1－y 2x 1－x 2＝k AB ＝0－（－1）3－1＝12，∴b 2a 2＝12.又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1，故选D. 答案 D考点2 椭圆的几何性质例2．【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）（A）1 3（B）12（C）23（D）34【答案】A【变式探究】(2015·北京，19)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线P A交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b＝1，ca＝22，a2＝b2＋c2解得a2＝2，故椭圆C的方程为x22＋y2＝1.设M(x M，0)．因为m≠0，所以－1＜n＜1.直线P A的方程为y－1＝n－1m x.所以x M＝m1－n，即M⎝⎛⎭⎪⎫m1－n，0.考点3 双曲线的定义及标准方程例3．(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为() A．2 B. 3C. 2D.23 3解析：取渐近线y＝ba x，化成一般式bx－ay＝0，圆心(2，0)到直线的距离为22－12＝|2b|a2＋b2，又由c2＝a2＋b2得c2＝4a2，e2＝4，e＝2.答案：A【变式探究】【2016高考天津理数】已知双曲线2224=1x yb-（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD 的面积为2b，则双曲线的方程为（）（A）22443=1yx-（B）22344=1yx-（C）2224=1x yb-（D）2224=11x y-【答案】D【变式探究】(2015·福建，3)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3解析 由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ，∵|PF 1|＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3，∴|PF 2|－|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝9，故选B.答案 B考点4 双曲线的几何性质例4．【2016高考新课标1卷】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )（A ）()1,3- （B ）(3- （C ）()0,3 （D ）(3 【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得21m =，因为方程22113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13n n >-⎧⎨<⎩，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ．【变式探究】(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2解析 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1，0)，∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2a sin 60°＝3a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2a cos 60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入x2a2－y2b2＝1，可得a2＝b2，∴e＝ca＝a2＋b2a2＝2，选D.答案 D考点5 抛物线的定义及方程例5．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M 在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()A. 5 B．2 2C．2 3 D．3 3答案：C【变式探究】【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线22(p0)y px=>上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为( )（A 3（B）23（C2（D）1【答案】C【变式探究】过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B . 2 C.322D ．2 2解得x 1＝2，x 2＝12.∴|BF |＝x 2＋1＝32， ∴|AB |＝3＋32＝92.∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×92×223＝322. 答案 C考点6 抛物线的几何性质例6．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2，0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． (1)证明：设l ：x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎨⎧y 2＝2x ，x ＝my ＋2，得y 2－2my －4＝0，Δ＝4m 2＋16恒大于0，y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－4. OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4 ＝－4(m 2＋1)＋2m ·2m ＋4＝0， 所以OA→⊥OB →，即O 在圆M 上． (2)解：由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径r ＝（m 2＋2）2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0，故(x 1－4)·(x 2－4)＋(y 1＋2)·(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4，所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3，1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=,|DE|=则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B【解析】如图,设抛物线方程为22y px =,,AB DE 交x 轴于,C F 点,则AC =即A 点纵坐标为则A 点横坐标为4p ,即4OC p=, 由勾股定理知2222DF OF DO r +==,2222AC OC AO r +==,即22224()()2p p+=+,解得4p =,即C 的焦点到准线的距离为4,故选B.【变式探究】(2015·天津，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1B.x 228－y 221＝1C.x 23－y 24＝1D.x 24－y 23＝1解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba ＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7②， 联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D.答案 D4、真题感悟（2014-2017）1.【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为()11y k x =-，联立方程()214{ 1y xy k x ==-，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=- 212124k k +=，同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++=，由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=，当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号.2.【2017课标II ，理9】若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2 BCD．3【答案】A3.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是ABC ．23D ．59【答案】B【解析】33e ==B ． 4.【2017天津，理5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=【答案】B【解析】由题意得224,14,188x y a b c a b c ==-⇒===-=- ，选B. 5.【2017北京，理9】若双曲线221y x m-=m =_________.【答案】2【解析】221,a b m ==，所以c a ==，解得2m = .6.【2017课标1，理】已知双曲线C：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为________.【答案】233【解析】如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则MN 为双曲线的渐近线by x a=上的点，且(),0A a ， AM AN b ==， 而AP MN ⊥，所以30PAN ∠=o ，点(),0A a 到直线by x a=的距离221b AP b a =+，在Rt PAN V 中， cos PA PAN NA∠=，代入计算得223a b =，即3a b =，由222c a b =+得2c b =， 所以2333c e a b===. 7.【2017课标II ，理16】已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。
2020年高考数学三轮题型突破 2 填空题突破 题型15 椭圆、双曲线的标准方程与几何性质(教师版含解析)
第二篇主题15 椭圆、双曲线的定义、标准方程与几何性质【主题考法】本主题考题形式为选择题或填空题，与函数、向量、正余弦定理、数列、不等式等知识结合重点考查椭圆与双曲线的定义、标准方程、几何性质，考查运算求解能力、推理论证能力，难度为基础题或中档题，分值5分.【主题考前回扣】1.椭圆的定义：把平面内与两定点12,F F 的距离之和等于常数(大于12||F F )的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：12||||2PF PF a +=(122||a F F >). 注意：(1)当122||a F F =时，轨迹是线段12F F .(2)当122||a F F <时，轨迹不存在.2.椭圆的几何性质焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程22221(0)x y a b a b+=>> 22221(0)y x a b a b+=>> 焦点 (±c,0)(0，±c )焦距 |F 1F 2|＝2c (c 2＝a 2－b 2) 范围 |x |≤a ；|y |≤b|x |≤b ；|y |≤a顶点 长轴顶点(±a,0)，短轴顶点(0，±b ) 长轴顶点(0，±a )，短轴顶点(±b,0) 对称性 曲线关于x 轴、y 轴、原点对称 曲线关于x 轴、y 轴、原点对称离心率e ＝ca ∈(0，1)，其中c ＝a 2－b 23.双曲线的定义：把平面内与两定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数(小于12||F F )的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：12||||2PF PF a -=±(122||a F F <).注意：(1)当122||a F F =时，轨迹是直线12F F 去掉线段12F F .(2)当122||a F F >时，轨迹不存在.4.双曲线的几何性质焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程22221(0,0)x y a b a b-=>> 22221(0,0)y x a b a b-=>> 焦点 (±c,0)(0，±c )焦距|F 1F 2|＝2c (c 2＝a 2+b 2) 范围 |x |≥a ；y ∈Rx ∈R ；|y |≥a顶点 实轴顶点(±a,0)，虚轴顶点(0，±b ) 实轴顶点(0，±a )，虚轴顶点(±b,0) 对称性 曲线关于x 轴、y 轴、原点对称 曲线关于x 轴、y 轴、原点对称离心率 e ＝ca ∈(1，+∞)，其中c ＝22a b +渐近线by x a=±a y x b=±5. 等轴双曲线： 实轴与虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，，其标准方程为22(0)x y λλ-=≠，离心率为2y x =±.6.椭圆的通径(过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径)长度为22b a，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值.【易错点提醒】1.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a <|F 1F 2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．2．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a ，b ，c 三者之间的关系，导致计算错误．3．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解．【主题考向】考向一 椭圆的定义及其标准方程【解决法宝】1.涉及椭圆上的点到两焦点的距离问题时，要灵活运用椭圆的定义与正余弦定理解题； 2.求解椭圆的标准方程的求法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的22,b a 的值，最后代入写出椭圆的标准方程.例1【2020内蒙古包头一中期末】设1F 、2F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，经过1F 的直线交椭圆C 于A 、B 两点，若2F AB ∆的面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为______________. 【分析】作出图形，利用三角形的面积公式求出等边2F AB ∆的边长，利用该三角形的周长可计算出a 的值，利用等边三角形三线合一的思想可得出12F F 的值，可得出c 的值，进而得出b 的值，由此可求出椭圆的标准方程.【解析】设椭圆C 的焦距为()20c c >，如下图所示，由于2F AB ∆是面积为43的等边三角形，则2213sin 43234AB AB π⨯==，得AB 4=，即2F AB ∆是边长为4的等边三角形，该三角形的周长为1212124AF AF BF BF a =+++=，可得3a =，由椭圆的对称性可知，点A 、B 关于x 轴对称，则216AF F π∠=且AB x ⊥轴，所以2124AF AF ==，12AF ∴=，221221223c F F AF AF ∴==-=，3c ∴=，则226b a c =-=，因此，椭圆C 的标准方程为22196x y +=.考向二 椭圆的几何性质【解决法宝】1.椭圆的离心率是椭圆的主要性质，是反映椭圆的扁平程度的一个量，在求解有关离心率的问题时，一般不是直接求出a 和c 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c b a ,,的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围； 要牢记几个最值：①椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的点M 到中心O 的距离的范围：a OM b ≤≤；②椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的点M 到一焦点F 的距离的范围：c a MF c a +≤≤-.例2．【2020华中师范大学一附中期中】椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为( )A ．31+ B ．31-C ．22D ．51- 【分析】根据椭圆的定义可知12||||2PF PF a +=，又1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =且12PF PF ⊥，即可列出方程求椭圆的离心率.【解析】由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且 12PF PF ⊥，又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-，在12Rt PF F ∆中，222(2)4a c c c -+=，即2222a ac c -=，所以2220,(0,1)e e e +-=∈，解得21231e -+==-，故选B 考向三 双曲线定义及其标准方程【解决法宝】1.涉及双曲线上的点到两焦点的距离问题时，要灵活运用双曲线的定义；求解双曲线的标准方程的求法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的22,b a 的值，最后代入写出双曲线的标准方程.学#科网例3．【2020山西临汾模拟(2)】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M 的中点，O 为坐标原点，22ON NF b -=, 260ONF ∠=︒, 12F MF △的面积为23( )A ．22142x y -=B ．22144x y -=C ．22182y x -=D ．22184x y -=【分析】根据N 为2MF 的中点，由中位线定理可得1//ON MF ，且11||||2ON MF =，1260F MF ∠=︒，再由双曲线的定义结合22ON NF b -=，可得2a b =，然后设双曲线的焦距为2c ，在12MF F △中由余弦定理，结合正弦定理12F MF △的面积为121||||sin 602MF MF ⋅⋅︒=.【解析】由N 为2MF 的中点，所以1//ON MF ，且11||||2ON MF =，故1260F MF ∠=︒，2121||||(||||)2ON NF MF MF a -=-=，故2a b =，设双曲线的焦距为2c ，在12MF F △中，由余弦定理可得22212124||||2||||cos60c MF MF MF MF =+-⋅︒，21212(||||)||||MF MF MF MF =-+⋅2124||||a MF MF =+⋅，22212||||444MF MF c a b ∴⋅=-=，12F MF ∴△的面积为2121||||sin 602MF MF ⋅⋅︒=2222,48b a b ∴===，双曲线的方程为22182y x -=，故选C 考向四 双曲线几何性质【解决法宝】1.双曲线的离心率是双曲线的主要性质，是反映双曲线的开口大小的一个量，在求解有关离心率的问题时，一般不是直接求出a 和c 的值，而是根据题目给出的双曲线的几何特征，建立关于参数c b a ,,的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围；2.双曲线的渐近线问题，要分焦点在x 轴上上和焦点在y 轴上分别处理，关键在找关于a,b 的关系式.例4 【2020湖北省宜昌一中期末】已知点P 为双曲线()222210b x y a ba ->>=右支上一点，点12,F F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F ∆的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有121213IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥成立，则双曲线的离心率取值范围是( ) A ．(]1,2B ．()1,2C ．(]0,3D ．(]1,3【分析】设12PF F ∆的内切圆半径为r ，由12122,2PF PF a F F c -==，用12PF F ∆的边长和r 表示出等式中的三角形面积，结合双曲线的定义得到a 与c 的不等式，可求出离心率取值范围. 【解析】设12PF F ∆的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得12122,2PF PF a F F c -==，121211,22PF PF S PF r S PF r ∆∆=⋅=⋅，12122PF F S c r cr ∆=⋅⋅=，由题意得12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥，故()12332c PF PF a ≤-=，故3c e a =≤，又1e >，所以双曲线的离心率取值范围是(]1,3，故选D.【主题集训】1.【2020百校联盟TOP20三月联考】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点A ，B 是椭圆C 上关于原点O 对称的两个点，且||||AO AF =，0FA FB ⋅=u u u r u u u r，则椭圆C 的离心率为( )A ．31-B ．23-C ．22D ．23【答案】A【解析】因为0FA FB ⋅=u u u r u u u r，所以90AFB ∠=︒，因为||||AO AF =，所以||2||AB AF =，故30ABF ∠=︒，设椭圆C 的左焦点为1F ，根据椭圆的性质，四边形1AF BF 为平行四边形，且90AFB ∠=︒，所以四边形1AF BF 为矩形，在直角三角形1AF F 中，130AF F ∠=︒，13AF c =，||AF c =，根据椭圆的定义，1||2AF AF a +=，即32c c a +=，则椭圆C 的离心率31ce a==-，故选A.2.【2019届北京市海淀区一模】椭圆与双曲线的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为( ) A ．，B ．，C ．，D ．，【答案】C【解析】椭圆中：a ＝2，b ＝1，所以，c ＝，离心率为，设双曲线的离心率为e 则，得，双曲线中，即，又，所以，得，双曲线的渐近线为：，所以两条渐近线的倾率为，倾斜角分别为，，故选C.3.【2020广西南宁三中期末】已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112PF F F =，则2133e e +的最小值为( ) A ．623+ B ．622+C ．8D ．6【答案】 C【解析】设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a '，半焦距为c ，则1c e a =，2c e a='，设2PF m =，由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：1222m PF PF a a c +=⇒=+，2122mPF PF a a c ''-=⇒=-则2133e e +33322633322m m c c a c c c m m c a c c c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=++'⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3262832m c c m c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥+⋅=⎛⎫- ⎪⎝⎭，当且仅当73a c =时，取等号，故选C ． 4.【2019届湖南省衡阳市联考(二)】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“”.设是椭圆的左焦点，直线交椭圆于、两点，若，恰好是的“勾”“股”，则此椭圆的离心率为( ) A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】如图，设是椭圆的右焦点，因为线段与被点互相平分，且，所以四边形是矩形，又，∴，∴是等边三角形，由，∴，，∴，所以，故选A5.【2020届福建泉州3月适应性(一)】已知椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>的焦距为2c ，1F ，2F 是E 的两个焦点，点P 是圆222()4x c y c -+=与E 的一个公共点.若12PF F ∆为直角三角形，则E 的离心率为( )A ．51- B ．21-C ．2 D ．21+【答案】B【解析】依题意可得122F F PF =2c =，又因为12PFF ∆为直角三角形，所以2190PF F ∠=︒，故1122PF F F =⋅，2222c c a ⋅+= ，解得:2121c a ==-+，所以21e =-，故选B 6.【2019届广西梧州市等期末】设P 为椭圆C ：上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点Q ，使得，则动点Q 的轨迹方程为 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】为椭圆C ：上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点Q ，使得，，，，的轨迹是以为圆心，为半径的圆，动点Q 的轨迹方程为，故选C ．7. 【2020湖南洪湖一中期末】已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为5y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为( )A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B【解析】双曲线C 的渐近线方程为52y x =,可知52b a =①,椭圆221123x y +=的焦点坐标为(－3,0)和(3,0),所以a 2＋b 2＝9②,根据①②可知a 2＝4,b 2＝5，故选B. 8. 【2019届安徽省蚌埠市一质检】已知，是椭圆的左右焦点，点M 的坐标为，则的角平分线所在直线的斜率为 A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】，，是椭圆的左右焦点，，轴，，，点关于的角平分线对称的点在线段的延长线上，又，，，线段的中点，的角平分线的斜率．故选A ．9.【2020届湖南省长郡中学第二次适应性考】已知12,F F 分别为椭圆221168x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上一点，过点2F 作12F MF ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，若||2ON =(O 为坐标原点)，则||OM =( )A ．332B 3C 3D ．3【答案】D【解析】延长2F N ,交1MF 的延长线于点P ，因为MN 为12F MF ∠的角平分线，且2F N MN ⊥,所以2||MF MP =，所以2111||MF MF MP MF F P -=-=,因为,O N ，分别为122,F F F P 的中点，所以ON 为12PF F △的中位线，所以11||22ON PF ==,所以，2112||4MF MF F P ON -===①，12,F F 分别为椭圆221168x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上一点，1242F F =21+8MF MF =②，由①②可得，122=6MF MF =，，根据余弦定理可得22212212112222cos =324226F F MF MF MF F F F MF +-∠=⋅⨯=⨯ 22222221||2cos OM OF MF OF MF MF F =+-⋅∠228362226233=+-⨯⨯⨯=，故选D .10.【2019届河南名校联盟2月联考】椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，若的面积为，且，则椭圆方程为()A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】在中，得，可得，所以，又面积为，即， 解得，则，所以椭圆方程为，故选C.11.【2020上海市复旦大学附属中学期末】“2λ>”是圆锥曲线22152y x λλ-=+-的焦距与实数λ无关的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】若圆锥曲线22152y x λλ-=+-，即22152y x λλ+=+-为椭圆，则()2527c λλ=+--=，即焦距与λ无关.此时502052λλλλ+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得2λ>.若圆锥曲线22152y x λλ-=+-为双曲线，则()2527c λλ=++-=，与λ无关.此时()()520λλ+->，解得52λ-<<，所以当()()5,22,λ∈-⋃+∞时，圆锥曲线22152y x λλ-=+-的焦距与实数λ无关，所以“2λ>”是圆锥曲线22152y x λλ-=+-的焦距与实数λ无关的充分不必要条件，故选A. 12.【2019届吉林省实验中学第八次月考】设分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，若，则该双曲线的离心率为( ) A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由，可知,则由双曲线定义得即解得，故选：A13.【2020届湖南郴州第二次质量监测】设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( ) A ．23⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．23⎛ ⎝⎦C ．)3,⎡+∞⎣D ．(3【答案】A【解析】依题意可得如下图象，22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++112PE PF EF a =++-1224PF a b ≥-=，()12242PF a b a c ∴=+>+，所以2b c >，则22244c a c ->，所以2234c a >，所以22243c e a =>，所以23e >，即33e ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，故选A14.【2020届山东省潍坊五县联合模拟】已知F 为双曲线C ：22221x y a b-=(0a b >>)的右焦点，A ，B 是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，0AF BF ⋅=u u u r u u u r，且AF 的中点在双曲线C 上，则C 的离心率为( ) A ．51- B ．221-C ．31+D ．51+【答案】A【解析】设双曲线的一条渐近线是b y x a =，设,b A m m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0m >，则,b B m m a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(),0F c ，则由0AF BF ⋅=u u u r u u u r 得,,0b b c m m c m m a a ⎛⎫⎛⎫--⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得222220b m c m a --=，即2222c c m a =，得22m a =，则m a =，即(),A a b ，则AF 的中点为,22a c b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵AF 的中点在双曲线C 上，∴2222241a c b a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭-=，即2151244a c a +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即()2151e 44+=，则()21e 5+=，则1e 5+=，即e 51=-，故选A. 15.【2019届贵州适应性考试】已知点是双曲线的右焦点，过原点且倾斜角为的直线与的左、右两支分别交于，两点，且，若，则的离心率取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】如图：∵，∴F 在以AB 为直径的圆上，O 为AB 中点，则OA=OB=OF=c ，且,过O 作OC则C 为AF 的中点，∴CF=，OC=，∴AE=，AF=，∴，，∴，∴，故选D.16.【2020届百校联考百日冲刺金卷(三)】已知O 为坐标原点，双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，点A ，B 分别在双曲线C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，0BO BA ⋅<u u u r u u u r，四边形OAFB 为梯形，则双曲线C 离心率的取值范围是( )A ．231,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．23,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C ．()1,23D ．()23,+∞【答案】A【解析】设(),0F c ，所以22c a b =+，直线OB 的方程为b y x a =-，直线BF 的方程为()by x c a=-，解得,22c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,22c bc BO a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，又直线OA 的方程为b y x a =，则,bc A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,22c bc BA a ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u ur ，又因为0BO BA ⋅<u u u r u u u r ，所以22223044c b c a -+<，2213b a ∴<，243e ∴<，2313e ∴<<，故选A. 17.【2019届安徽省六安一中模拟(四)】设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，过作的垂线与双曲线交于两点，若，则双曲线的渐近线的斜率为 A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为，过点作的垂线与双曲线交于两点，不妨设点在第一象限，所以得，，又因为双曲线的左、右顶点分别是，所以，因为，所以，即，即，由得，，故斜率为，故选B18. 【2020届四川眉山二诊】已知椭圆C ：2216428x y =＋的左焦点为1F ，椭圆C 上的一点P 到左焦点的距离为6，点M 是线段1PF 的中点，O 为坐标原点，则||OM =_______. 【答案】5【解析】由椭圆的定义得12216PF PF a +==，∵16PF =，∴210PF=，又12OF OF =，1MF PM =，∴2152OM PF ==。
2019-2020年高考数学二轮复习专题六解析几何课时作业十五椭圆双曲线抛物线理
2019-2020年高考数学二轮复习专题六解析几何课时作业十五椭圆双曲线抛物线理A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，22C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13解析：如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝F 1F 2＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c .∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.答案：C11．(xx·北京卷)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.解析：由双曲线的标准方程知a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ， 故双曲线的离心率e ＝c a＝1＋m ＝3， ∴ 1＋m ＝3，解得m ＝2. 答案：212．(xx·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析：双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝bax ，即bx －ay ＝0，圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝abc ，因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin60°＝ab c，即32b ＝ab c ，所以e ＝23＝233. 答案：23313．(xx 全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析：通解 依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2,0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上为x 23＋y 22＝1.16．如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．解析：(1)由已知得抛物线的焦点为F (1,0)．因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1. (2)设直线l的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消元得y 2－4my－4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0.|AB |＝m 2＋1|y 1－y 2| ＝m 2＋1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝m 2＋1·4m2－4×－4＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1， 即x ±2y －1＝0.17．(xx·陕西省高三教学质量检测试题(一))已知椭圆与抛物线y 2＝42x 有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)过点P (0,1)的直线与该椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AP →＝2PB →，求△AOB 的面积．解析：(1)依题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意可得c ＝2，又e ＝ca ＝22，∴a ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 21－y 1＝2y 2－1.设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程整理，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，∴x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1·x 2＝－22k 2＋1. 将x 1＝－2x 2代入上式可得，(4k 2k 2＋1)2＝12k 2＋1，解得k 2＝114.∴△AOB 的面积S ＝12|OP |·|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 22＝12·28k 2＋22k 2＋1＝3148. 18．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，求k 的取值范围．解析：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋361－3k2＝361－k2>0，。
2020年高考数学专题提升： 椭圆、双曲线、抛物线(含答案)
椭圆、双曲线、抛物线一、单项选择题（每题5分；共60分）1.若双曲线C：x2m−y2=1的一条渐近线方程为3x+2y=0，则m=（）A. 49B. 94C. 23D. 322.已知斜率为13的直线l经过双曲线y2a2−x2b2=1的上焦点F，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A. 1<e<√103B. 1<e<√10 C. e>√103D. e>√103.设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C上的点，且PF1与x轴垂直，ΔPF1F2的内切圆的方程为(x+1)2+(y−1)2=1，则双曲线C的渐近线方程为（）A. y=±√33x B. y=±√3x C. y=±12x D. y=±2x4.已知P是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|=12，直线PF2的斜率为−4√3，ΔPF1F2的面积为24√3，则双曲线的离心率为（）A. 3B. 2C. √3D. √25.过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，Q(1,2)，若1|AB|+1|CD|=14，则|PF|+|PQ|的最小值是（）A. 1B. 2C. 3D. 46.已知F1、F2为椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点，过点F2作斜率为1的直线l与C交于A、B两点，则ΔABF1的面积为（）A. 12√27B. 6√27C. 127D. 12√377.已知双曲线x2a2−y2b2=1的右支与抛物线x2=2py相交于A,B两点，记点A到抛物线焦点的距离为d1，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为d2，点B到抛物线焦点的距离为d3，且d1,d2,d3构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A. y=±√22x B. y=±√2x C. y=±√3x D. y=±√33x8.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1 （ a >0 ， b >0 ）的实轴长为4，左焦点F 到C 的一条渐近线的距离为3，则C 的方程为（ ） A.x 22−y 23=1 B. x 24−y 23=1 C. x 24−y 29=1 D. x 216−y 29=19.设椭圆 C 的两个焦点分别为 F 1 ， F 2 ，若 C 上存在点 P 满足 |PF 1|:|F 1F 2|:|PF 2|=4:3:2 ，则椭圆 C 的离心率等于（ ）A. 12 B. 23 C. 2 D. 32 10.抛物线 x 2=2py(p >0) 的焦点与双曲线 x 216−y 29=1 的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p 的值为（ ）A. 152 B. 403 C. 203 D. 8√7311.若双曲线x 2a 2−y 2b 2= 1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ， 过点F 的直线y =√3 （x ﹣2）与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为（ ）A. 1B. √3C. 2D. 2 √312.已知双曲线 C 的中心为坐标原点，离心率为 √3 ，点 P(2√2,−√2) 在 C 上，则 C 的方程为（ ） A.x 24−y 22=1 B. x 27−y 214=1 C. x 22−y 24=1 D. y 214−x 27=1二、填空题（每题4分；共20分）13.若椭圆 C:x 22m+1+y 22m =1 的离心率为 12 ，则 C 的短轴长为________． 14.若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的渐近线方程为 y =±x ，则双曲线的离心率为________． 15.设抛物线 y 2=2x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且 |AF|=4|BF| ，则弦长 |AB|= ________．16.从抛物线 y 2=4x 图象上一点 A 作抛物线准线的垂线，垂足为 B ，且 |AB|=5 ，设 F 为抛物线的焦点，则 △ABF 的面积为________.17.过抛物线 C ： x 2=4y 的准线上任意一点 P 作抛物线的切线 PA ， PB ，切点分别为 A ， B ，则 A 点到准线的距离与 B 点到准线的距离之和的最小值是________.三、解答题（共3题；共40分）18.求以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2， √6 )的椭圆的标准方程. （10分）19.（1）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(−2√3,0)，且长轴长是短轴长的2倍，求该椭圆的标准方程；（5分）（2）已知双曲线焦点在y轴上，焦距为10，双曲线的渐近线方程为x±2y=0，求双曲线的方程．（10分）20.已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点M(4,1)，N(2,2).（1）求椭圆C的方程；（5分）（2）若斜率为1的直线与椭圆C交于不同的两点，且点M到直线l的距离为√2，求直线l的方程.（10分）参考答案一、单项选择题 1.【答案】 A 2.【答案】 D 3.【答案】 B 4.【答案】 B 5.【答案】 C 6.【答案】 A 7.【答案】 A 8.【答案】 C 9.【答案】 A 10.【答案】 B 11.【答案】 C 12.【答案】 B 二、填空题13.【答案】 2√3 14.【答案】 √2 15.【答案】25816.【答案】 10 17.【答案】 4 三、解答题18.【答案】 解：椭圆 9x 2+5y 2=45 化成标准方程，得y 29+x 25=1 ，∴ 椭圆的焦点在 y 轴，且 c 2=9−5=4 ，得 c =2 ，焦点为 (0,2) ， (0,−2) ． ∵ 所求椭圆经过点 M(2,√6) 且与已知椭圆有共同的焦点， ∴ 设椭圆方程：y 2a2+x 2a 2−4=1 ，将 M(2,√6) 代入 6a 2+4a 2−4=1 ，解得： a 2=12 ， 因此所求的椭圆方程为y 212+x 28=1 ，19.【答案】 （1）解：由题意，该椭圆的焦点在x 轴，设椭圆的标准方程为 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) ， ∴ {2a =2⋅2b a 2−b 2=(2√3)2 ，解得 {a =4b =2 ， ∴该椭圆的标准方程为x 216+y 24=1（2）解：由题意，设双曲线的标准方程为 y 2a2−x 2b 2=1(a >0,b >0) ，设焦距为2c ，∴ {a 2+b 2=c 2a b =122c =10 ，解得 {a =√5b =2√5c =5 ， ∴该双曲线的方程为y 25−x 220=120.【答案】 （1）解：设椭圆C 的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m≠n)，由题意得 {16m +n =14m +4n =1 解得 {m =120n =15∴椭圆C 的方程为 x 220+y 25＝1.（2）解：由题意可设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，将其代入椭圆方程, 得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0.则Δ＝(8m)2－4×5(4m 2－20)＝－16m 2＋400＞0， ∴－5＜m ＜5.又点M(4,1)到直线l 的距离为 √1+1= √2∴m ＝－1或m ＝－5(舍去). ∴直线l 的方程为x －y －1＝0.。
【精编】高考数学二轮复习 15 椭圆、双曲线与抛物线课件 文-精心整理
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能力目标解读 热点考题诠释
123456
1.(2014 安徽高考,文 3)抛物线 y=14x2 的准线方程是(
)
A.y=-1
B.y=-2
C.x=-1
D.x=-2
命题定位:本题主要考查抛物线方程和抛物线的性质,对基本运算能力
有一定要求.
抛物线 x2=4y 的准线方程为 y=-1. A
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解析 答案
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1.设 F1,F2 是双曲线 x2-2������42=1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且
3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2 的面积等于( )
A.4 2
B.8 3
C.24
D.48
由 P 是双曲线 x2-2������42=1 上的一点和 3|PF1|=4|PF2|, 可知|PF1|-|PF2|=2,解得|PF1|=8,|PF2|=6. 又|F1F2|=2c=10,所以△PF1F2 为直角三角形. 所以△PF1F2 的面积 S=12×6×8=24. C
A.2
B.
6 2
C.
5 2
D.1
命题定位:本题主要考查双曲线的方程、双曲线的性质,体现了对要具 备基本运算求解能力的要求.
由已知得 ���������2���+3=2, D 且 a>0,解得 a=1,故选 D.
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解析 答案
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能力目标解读 热点考题诠释
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4.(2014 四川高考,文 11)双曲线���4���2-y2=1 的离心率等于
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5因所.(为2以01由△4A椭安BF圆徽2 定的高义考周,可长文得为2141)a6设=, 1F61,,|FA2F分1|+别|A是F椭2|=圆2aE=:������8������22. + ������������22=1(a>b>0)的左、 右焦点故,|过AF点2|=F21 的a-|直AF线1|交=8椭-3圆=5E. 于 A,B 两点,|AF1|=3|F1B|.
2020版高考数学二轮复习教程第二编专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线练习理
第2讲椭圆、双曲线、抛物线「考情研析」 1.考查圆锥曲线的定义、方程及几何性质，特别是椭圆、双曲线的离心率和双曲线的渐近线． 2.以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的位置关系（弦长、中点等）.核心知识回顾1.圆锥曲线的定义式(1)椭圆：｜PF1|＋|PF2｜＝2a(2a〉｜F1F2|)；(2)双曲线：｜|PF1|－|PF2｜|＝2a(2a<｜F1F2|）；（3)抛物线：|PF|＝｜PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于M（l 为抛物线的准线方程)．2．圆锥曲线的重要性质(1）椭圆、双曲线中a,b，c之间的关系①在椭圆中：错误!a2＝b2＋c2；离心率为e＝错误!＝错误!；错误!c2＝a2＋b2；离心率为e＝错误!＝错误!.（2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线错误!－错误!＝1（a〉0，b>0）的渐近线方程为错误!y＝±错误! x;焦点坐标F1错误!(－c，0)，F2错误!（c,0)；②双曲线错误!－错误!＝1（a〉0,b〉0）的渐近线方程为错误!y＝±错误!x，焦点坐标F1错误!(0,－c),F2错误!(0，c）．（3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y2＝±2px(p〉0）的焦点坐标为错误!错误!,准线方程为错误! x＝∓错误!；②抛物线x2＝±2py（p>0)的焦点坐标为错误!错误!,准线方程为错误!y ＝∓错误!。
3．弦长问题(1）弦长公式设直线斜率为k,直线与圆锥曲线交于A(x1，y1），B（x2，y2）时,｜AB｜＝错误!｜x1－x2｜＝错误!错误!或|AB|＝错误!|y1－y2|＝错误!错误!.(2）过抛物线焦点的弦长过抛物线y2＝2px（p>0)焦点F的弦AB，若A（x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝错误!，y1y2＝－p2，弦长｜AB|＝错误!x1＋x2＋p。
热点考向探究考向1 圆锥曲线的定义和标准方程例1 (1)（2019·永州市高三第三次模拟)过双曲线C：错误!－错误!＝1(a>0，b〉0）左焦点F的直线l与C交于M，N两点，且错误!＝3错误!，若OM⊥FN，则C的离心率为( )A．2 B.7 C．3 D。
2020高考理科数学二轮提分专题能力训练 椭圆、双曲线、抛物线 Word版含解析
专题能力训练17椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.已知双曲线C:x 2a −y2b=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为()A.x 28−y210=1 B.x24−y25=1C.x 25−y24=1 D.x24−y23=1答案:B解析:由题意得ba =√52,c=3.又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为x 24−y25=1.2.(2019黑龙江大庆二模,8)已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过点R(2,1)的直线l 与抛物线C相交于A,B两点,R为线段AB的中点.若|FA|+|FB|=5,则直线l的斜率为()A.3B.1C.2D.12答案:B解析:设A(x1,y1),B(x2,y2).因为R(2,1)为线段AB的中点,所以x1+x2=2×2=4.根据抛物线的定义可知|FA|+|FB|=x1+x2+p=2×2+p=5,解得p=1.所以抛物线方程为y2=2x.所以y12=2x1,y22=2x2,两式相减并化简得y2-y1x2-x1=2y1+y2=22×1=1,即直线l的斜率为1,故选B.123.(2018全国Ⅱ,理5)若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,则其渐近线方程为( ) A.y=±√2x B.y=±√3xC.y=±√22x D.y=±√32x答案:A解析:∵e=c a =√3, ∴c 2a 2=b 2+a 2a 2=(b a )2+1=3.∴ba=√2. ∵双曲线焦点在x 轴上,∴渐近线方程为y=±ba x , ∴渐近线方程为y=±√2x.4.已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点.设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2,且d 1+d 2=6,则双曲线的方程为( ) A .x 24−y 212=1 B .x 212−y 24=1C .x 23−y 29=1D .x 29−y 23=1答案:C解析:由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=ba x.如图所示,|AD|=d 1,|BC|=d 2,过点F 作EF ⊥CD 于点E.3由题易知EF 为梯形ABCD 的中位线, 所以|EF|=12(d 1+d 2)=3.又因为点F (c ,0)到y=ba x 的距离为√22=b ,所以b=3,b 2=9.因为e=ca =2,c 2=a 2+b 2,所以a 2=3, 所以双曲线的方程为x 23−y 29=1.故选C .5.(2019全国Ⅱ,理8)若抛物线y 2=2px (p>0)的焦点是椭圆x 23p +y 2p=1的一个焦点,则p=( ) A.2 B.3 C.4 D.8答案:D解析:∵y 2=2px 的焦点坐标为p 2,0,椭圆x 23p +y 2p=1的焦点坐标为(±√3p -p ,0),∴3p-p=p 24,解得p=8,故选D .6.如图,圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状,则该椭圆的离心率为 .。
2020年高考数学三轮冲刺专题15椭圆、双曲线、抛物线专项讲解与训练
专题15椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线的定义及标准方程[核心提炼](1)l交椭圆C 于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则椭圆C的方程为( )A.x23＋y22＝1 B．x23＋y2＝1C.x212＋y28＝1 D.x212＋y24＝1(2)(2019·沈阳质量检测(一))已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|－|BN|＝12，则a＝( )A．3 B．4C．5 D．6(3)(2017·高考全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴上方)，l 为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )A. 5 B．2 2C．2 3 D．3 3【答案】(1)A (2)A (3)C【解析】(1)由椭圆的定义知△AF1B的周长为4a＝43，所以a＝ 3.由e＝ca＝c3＝33，得c＝1，所以b2＝a2－c2＝2.所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A.(2)如图，设MN 的中点为P .因为F 1为MA 的中点，F 2为MB 的中点， 所以|AN |＝2|PF 1|，|BN |＝2|PF 2|， 又|AN |－|BN |＝12，所以|PF 1|－|PF 2|＝6＝2a ，所以a ＝3.故选A.若已知条件涉及圆锥曲线上的点与焦点的连线段长度问题，首先考虑用定义求解，这样会使问题简捷、快速得到解答． 【对点训练】1已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF的面积为( ) A.13 B ．12 C.23 D.32【答案】D.【解析】法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，因为点A (1，3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.故选D. 法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，因为点A (1，3)，所以AP →＝(1，0)，PF →＝(0，－3)，所以AP →·PF →＝0，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.故选D.2．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝____________． 答案：6解析：法一：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2，0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，设M (a ，b )(b >0)，所以a ＝1，b ＝22，所以N (0，42)，|FN |＝4＋32＝6.法二：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2，0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，则点M 的横坐标为1，所以|MF |＝1－(－2)＝3，|FN |＝2|MF |＝6.圆锥曲线的几何性质[核心提炼]1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. 2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．(1)设A 、B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0，1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0，1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)(2)(2019·湖南五市十校联考)已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1且与x 轴垂直的直线与双曲线左支交于点M ，N ，已知△MF 2N 是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是( ) A. 2 B ．2 C ．1＋ 2D ．2＋ 2【答案】 (1)A (2)C【解析】 (1)依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧3m≥tan∠AMB 20<m <3或 ⎩⎪⎨⎪⎧m 3≥tan ∠AMB 2m >3，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m ≥tan 60°0<m <3或⎩⎪⎨⎪⎧m3≥tan 60°m >3，解得0<m ≤1或m ≥9.故选A. (2)由已知得b 2a＝2c ，即c 2－2ac －a 2＝0，所以e 2－2e －1＝0，解得e ＝1±2， 又e >1，所以e ＝1＋2，故选C.圆锥曲线性质的应用(1)分析圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．[注] 求椭圆、双曲线的离心率，常利用方程思想及整体代入法，该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到．故所求的抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－36x .解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)； (3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． 【对点训练】(2019·太原二模)如图，曲线C 由左半椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0，x ≤0)和圆N ：(x －2)2＋y 2＝5在y 轴右侧的部分连接而成，A ，B 是M 与N 的公共点，点P ，Q (均异于点A ，B )分别是M ，N 上的动点． (1)若|PQ |的最大值为4＋5，求半椭圆M 的方程；(2)若直线PQ 过点A ，且AQ →＋AP →＝0，BP →⊥BQ →，求半椭圆M 的离心率．【解析】：(1)令x ＝0，由(x －2)2＋y 2＝5得y ＝±1， 所以A (0，1)，B (0，－1)， 所以b ＝1.由题意可知当P ，Q 均在x 轴上时，|PQ |取得最大值， 所以a ＋2＋5＝4＋5，所以a ＝2. 所以半椭圆M 的方程为x 24＋y 2＝1(x ≤0)．(2)由(1)得A (0，1)，B (0，－1)，由题意知直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋1. 设P (x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2a2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0， 所以x 1＝－2a 2k 1＋a 2k 2.设Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1（x －2）2＋y 2＝5， 得(1＋k 2)x 2＋2(k －2)x ＝0， 所以x 2＝4－2k 1＋k 2.因为AQ →＋AP →＝0， 所以x 1＝－x 2. 因为BP →⊥BQ →， 所以BP →·BQ →＝0，所以(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝0， 所以(1＋k 2)x 22－4＝0，将x 2＝4－2k 1＋k 2代入上式，得k ＝34，所以x 1＝－24a 216＋9a 2，x 2＝85，所以24a 216＋9a 2＝85，所以a 2＝83，c 2＝53，所以e ＝104. 课时作业 [基础达标]1．若a ＞1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1，2)【答案】C.【解析】依题意得，双曲线的离心率e ＝1＋1a2，因为a >1，所以e ∈(1，2)，选C. 2．(2019.东北四市联考)若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A ．2 B ．12 C.14 D.18【答案】D.【解析】由题意知x 2＝12y ，则F (0，18)，设P (x 0，2x 20)，则|PF |＝x 20＋（2x 20－18）2＝4x 40＋12x 20＋164＝2x 20＋18，所以当x 20＝0时，|PF |min ＝18.3．(2019·惠州第三次调研)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝132，则它的渐近线方程为( ) A ．y ＝±32xB ．y ＝±23xC ．y ＝±94xD ．y ＝±49x【答案】A.4．(2019·湖北七市(州)联考)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的离心率为3，左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点，∠F 1PF 2的平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，|F 2Q |＝2，则双曲线的方程为( ) A.x 22－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.x 23－y 2＝1 【答案】B.【解析】因为∠F 1PF 2的平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ， 所以|PF 1|＝|PQ |，而|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 所以|PQ |－|PF 2|＝2a ， 即|F 2Q |＝2＝2a ， 解得a ＝1.又e ＝c a＝3⇒c ＝3⇒b 2＝c 2－a 2＝2， 所以双曲线的方程为x 2－y 22＝1.故选B.5．(2018·成都第二次诊断性检测)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P .若以OF 1(O 为坐标原点)为直径的圆与PF 2相切，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2B ．－3＋624C. 3D.3＋627。
2020高考押题专题15 椭圆、双曲线、抛物线(高考押题)(原卷版)
高考押题专练15椭圆、双曲线、抛物线1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为()A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝12．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的()A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍3．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝()A ．2B ．4C ．6D ．84．设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点P )22,26(在此双曲线上，且PF 1⊥PF 2，则双曲线C 的离心率等于()A.22B.2C.3D.625．已知抛物线C 的顶点是椭圆x 24＋y 23＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点F 2重合，若抛物线C 与该椭圆在第一象限的交点为P ，椭圆的左焦点为F 1，则|PF 1|＝()A.23B.73C.53D ．26．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为()A ．23B ．25C ．43D ．457．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是()A ．4B ．33C ．43D ．88．已知直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k ＝()A.13B.223C.23D.239．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F (c ，0)(c >0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别为x 1，x 2，则P (x 1，x 2)()A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2外C ．必在圆x 2＋y 2＝1外D ．必在圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＝2形成的圆环之间10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线y 2＝158(a ＋c )x 与椭圆交于B ，C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率等于()A.158B.415C.23D.1211．已知A (－1，0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为()A.x 212＋y 211＝1 B.x 236－y 2351 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝112．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1的右顶点为A ，过右焦点F 的直线l 与C 的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B ，则S △ABF ＝()A.3B.32C.334D.33813．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |等于________．14．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的一点M (1，t )(t ＞0)到焦点的距离为5，双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为________．15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为P ，若线段PF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．16．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．17．设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)OA →(λ∈R)，且OA →·OP →＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．19．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M .(1)若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程；(2)若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积．20．如图，已知椭圆C 的中心在原点，其一个焦点与抛物线y 2＝46x 的焦点相同，又椭圆C 上有一点M (2，1)，直线l 平行于OM 且与椭圆C 交于A ，B 两点，连接MA ，MB .(1)求椭圆C 的方程；(2)当MA ，MB 与x 轴所构成的三角形是以x 轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l 在y 轴上截距的取值范围．21．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆C 经过点P )31,34(.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0，2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，求点Q 的轨迹方程．22．如图，已知M (x 0，y 0)是椭圆C ：x 26＋y 23＝1上的任一点，从原点O 向圆M ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝2作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q .(1)若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(2)试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．23．已知动点P 到定点F (1，0)和到直线x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝mx ＋n 与曲线E 交于C ，D 两点，与线段AB 相交于一点(与A ，B 不重合)．(1)求曲线E 的方程；(2)当直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由．24．如图，已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (1，2)作抛物线C 的弦AP ，AQ .(1)若AP ⊥AQ ，证明：直线PQ 过定点，并求出定点的坐标；(2)假设直线PQ 过点T (5，－2)，请问是否存在以PQ 为底边的等腰三角形APQ ？若存在，求出△APQ 的个数，若不存在，请说明理由．25.已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切．26．已知椭圆E 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离心率等于223，P 是椭圆E 上的点．以线段PF 1为直径的圆经过F 2，且9PF 1―→·PF 2―→＝1.(1)求椭圆E 的方程；(2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N .如果线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，求直线l 的倾斜角的取值范围．。
2020高考文科数学专用专题能力训练：椭圆、双曲线、抛物线含解析
������ = ������(������-������), 由{������ = 1 ������2 消去 y,整理得:x2-4kx+4kt=0,
4
由于直线 PA 与抛物线相切,得 k=t.
因此,点 A 的坐标为(2t,t2).
设圆 C2 的圆心为 D(0,1),点 B 的坐标为(x0,y0),由题意知:点 B,O 关于直线 PD 对称,
(2)由(1)知|AP|=t·√1 + ������2和直线 PA 的方程 tx-y-t2=0.
点 B 到直线 PA 的距离是 d=√1������+2������2. 设△PAB 的面积为 S(t),
所以 S(t)=12|AP|·d=������23. 10.解 (1)设 M 的坐标为(x,y),当 x=-1 时,直线 MA 的斜率不存在;
(1)求点 A,B 的坐标; (2)求△PAB 的面积.
2 / 10
注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物 线相切,称该公共点为切点.
10.如图,动点 M 与两定点 A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线 MA,MB 的斜率之积为 4,设动 点 M 的轨迹为 C.
对于方程①,其判别式 Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,
而当 1 或-1 为方程①的根时,m 的值为-1 或 1.
结合题设(m>0)可知,m>0,且 m≠1.
设 Q,R 的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),
A.������2 − ������2=1
B.������2 − ������2=1
4 12
12 4
C.������32-y2=1
高三数学二轮限时训练 第15讲 椭圆、双曲线、抛物线
[第15讲 椭圆、双曲线、抛物线](时间：5分钟＋40分钟) 基础演练1．椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1，F2，点P 在椭圆上，若||PF1＝4，则|PF2|＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．下列双曲线的渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x22－y24＝1 B ．x24－y22＝1 C ．x24－y216＝1D ．x216－y24＝13．若双曲线y2k ＋x25＝1与抛物线y2＝12x 有相同的焦点，则k 的值为( ) A ．4B ．－4C ．2D ．－24．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点将长轴三等分，则该椭圆的离心率e 等于( ) A ．13B ．12C ．22D ．325．抛物线y ＝12x2的焦点坐标是________.提升训练6．抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的左焦点，则p ＝( ) A ．22 B ． 2C ．22D ．427．已知直线2x －y ＋4＝0过椭圆C ：x2m ＋y22＝1(m ＞0)的一个焦点，则椭圆C 的长轴长为( ) A ．2 6 B ．2 C ．3 2D ．48．已知F 是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点，E 是双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( ) A ．(1，2) B ．(1，2) C ．(1，3)D ．(1，3) 9．已知椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A ．x245＋y236＝1 B ．x236＋y227＝1 C ．x227＋y218＝1D ．x218＋y29＝110．过抛物线C ：x2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段|AF|＝________.11．若直线y ＝mx ＋1与曲线x2－4y2＝1恰有两个不同的交点，则m 的取值范围是________________.12．椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2C ．若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________. 13．已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点M(4，1)，N(2，2). (1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于不同的两点，且点M 到直线l 的距离为2，求直线l 的方程.14．如图15-1，已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，右焦点为F(2，0).抛物线C2：y2＝2px(p ＞0)与椭圆C1交于A ，B 两点. (1)求椭圆C1的方程；(2)求FA →·FB →的最小值，并求此时抛物线C2的方程.图15-115．已知两定点F1(－2，0)，F2(2，0)，满足条件|PF2→|－|PF1|＝2的点P 的轨迹是曲线E ，直线y ＝kx －1与曲线E 交于A ，B 两点. (1)求k 的取值范围； (2)如果|AB →|＝6 3，求k 的值.专题限时集训(十五) 【基础演练】1．B [解析] 因为a ＝3，根据椭圆的定义有|PF1|＋|PF2|＝2a ＝6，而||PF1＝4，所以|PF2|＝2.2．C [解析] 设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，因为双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，所以ba ＝2，故选C.3．B [解析] 因为抛物线的焦点坐标为(3，0)，又双曲线y2k ＋x25＝1与抛物线有共同的焦点，所以k ＜0且5－k ＝9，解得k ＝－4.4．13 [解析] 由题意知2c ＝13×2a ，所以离心率为13.5．⎝⎛⎭⎫0，12 [解析] 因为抛物线方程为x2＝2y ，p ＝1，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，12. 【提升训练】6．C [解析] 双曲线的左焦点坐标为(－2，0)，抛物线的准线方程为x ＝－p2，所以p ＝2 2.7．A [解析] 令方程2x －y ＋4＝0中的y ＝0，得x ＝－2，由题意知椭圆的一个焦点为(－2，0)，则m ＝22＋2＝6，则椭圆C 的长轴长为26.8．A [解析] 由△ABE 为锐角三角形可知，只需∠AEF<45°即可，即|AF|<|EF|⇒b2a <a ＋c ，化简得e2－e －2<0⇒1<e<2.9．D [解析] 直线AB 的斜率k ＝0＋13－1＝12，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，两式相减得x1＋x2a2＋y1＋y2b2·y1－y2x1－x2＝0，将中点坐标及斜率代入得1a2－12b2＝0，又c ＝3，可解得a2＝18，b2＝9.10．1 [解析] 设B(x1，y1)，因为y ＝12x2，所以y′＝x ，y′|x ＝x1＝x1＝1，可得B ⎝⎛⎭⎫1，12.因为F⎝⎛⎭⎫0，12，所以直线l 的方程为y ＝12，故|AF|＝|BF|＝12－⎝⎛⎭⎫－12＝1.11．⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52 [解析] 由题意，方程组⎩⎪⎨⎪⎧x2－4y2＝1，y ＝mx ＋1恰有两个解，即方程(1－4m2)x2－8mx －5＝0恰有两个解，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－4m2≠0，（－8m ）2－4×（1－4m2）×（－5）>0，解得－52<m<52且m≠±12.12．3－1 [解析] 如图所示，在△MF1F2中，直线MF1的斜率为3，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.又|F1F2|＝2c ，所以|MF1|＝c ，|MF2|＝3c.根据椭圆的定义得2a ＝|MF1|＋|MF2|＝c ＋3c ，得e ＝ca ＝23＋1＝3－1.13．解：(1)设椭圆C 的方程为mx2＋ny2＝1(m ＞0，n ＞0，m≠n)，则⎩⎪⎨⎪⎧16m ＋n ＝1，4m ＋4n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝120，n ＝15，所以椭圆C 的方程为x220＋y25＝1. (2)设l ：y ＝x ＋m ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4y2＝20，y ＝x ＋m ，消去y 得5x2＋8mx ＋4m2－20＝0，则Δ＝－16m2＋400＞0，所以－5＜m ＜5，因为点M 到直线l 的距离为|m ＋3|2＝2，解得m ＝－1(m ＝－5舍去)，所以直线l 的方程为x －y －1＝0.14．解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，解得a ＝22，c ＝2，由b2＝a2－c2得b ＝2. 故椭圆C1的方程为x28＋y24＝1.(2)点A 与点B 关于x 轴对称，设A(x0，y0)，B(x0，－y0)， 由于点A 在椭圆C1上，∴y20＝4⎝⎛⎭⎫1－x208，由已知有FA →＝(x0－2，y0)，FB →＝(x0－2，－y0)，则FA →·FB →＝x20－4x0＋4－4⎝⎛⎭⎫1－x208＝32x20－4x0＝32⎝⎛⎭⎫x0－432－83，由于0＜x0＜22，故当x0＝43时，FA →·FB →取得最小值为－83， 当x0＝43时，y20＝289，又点A 在抛物线C2上，代入抛物线C2的方程得2p ＝73， ∴抛物线C2的方程为y2＝73x.15．解：(1)由双曲线的定义可知，曲线E 是以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的双曲线的左支，且c ＝2，a ＝1，易知b ＝1，故双曲线E 的方程为x2－y2＝1(x ＜0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x2－y2＝1，消去y 得(1－k2)x2＋2kx －2＝0.又直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k2≠0，Δ＝（2k ）2＋8（1－k2）＞0，x1＋x2＝－2k1－k2＜0，x1x2＝－21－k2＞0，解得－2＜k ＜－1.(2)因为|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2 ＝1＋k2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k22－4·－21－k2＝2（1＋k2）（2－k2）（1－k2）2.依题意得2（1＋k2）（2－k2）（1－k2）2＝63，整理后得28k4－55k2＋25＝0，解得k2＝57或k2＝54，但－2＜k ＜－1，所以k ＝－52.。
椭圆、双曲线、抛物线(押题专练)-2020年高考文数二轮复习精品资料Word版含解析
1．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等解析：选A.由25＋(9－k )＝(25－k )＋9，知两曲线的焦距相等． 2．抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( ) A.12B.32C ．1 D. 3解析：选D.由抛物线y 2＝8x ，有2p ＝8⇒p ＝4，焦点坐标为(2,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，不妨取其中一条3x －y ＝0，由点到直线的距离公式，有d ＝|3×2－0|3＋1＝3，故选D.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点．则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D .x 24－y 23＝1 解析：选B.∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝52x ，则b a ＝52，① 又∵椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点，易知c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B.4．已知抛物线y 2＝2px的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 解析：选D.因为抛物线y 2＝2px的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点(4,0)重合，所以p ＝8.设A (m ，n )，又|AK |＝2|AF |，所以m ＋4＝|n |， 又n 2＝16m ，解得m ＝4，|n |＝8， 所以△AFK 的面积为S ＝12×8×8＝32.5．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．06．点A 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6解析：选C.取双曲线的一条渐近线为y ＝ba x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝b a x ⇒⎩⎨⎧x ＝2pa 2b2，y ＝2pa b ，故A ⎝⎛⎭⎫2pa 2b 2，2pa b .因为点A 到抛物线C 1的准线的距离为p . 所以p 2＋2pa 2b 2＝p ，所以a 2b 2＝14.所以双曲线C 2的离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝ 5. 7．已知抛物线y 2＝8x与双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．5x ±3y ＝0 B ．3x ±5y ＝0 C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：选A.抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，设M (m ，n )，则由抛物线的定义可得|MF |＝m ＋2＝5，解得m ＝3，由n 2＝24，可得n ＝±2 6.将M (3，±26)代入双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)，可得9a2－24＝1(a ＞0)，解得a ＝35，故双曲线的渐近线方程为y ＝±53x ，即5x ±3y ＝0.故选A.8．已知双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，F 为其右焦点，A 1，A 2分别是实轴的左、右端点，设P 为双曲线上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P ，A 2P 与直线x ＝a 分别交于M ，N 两点，若FM →·FN →＝0，则a 的值为( )A.169B.95C.259D.165解析：选B.∵双曲线x 29－y 216＝1，右焦点F (5,0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)，设P (x ，y )，M (a ，m )，N (a ，n )，∵P ，A 1，M 三点共线，∴m a ＋3＝yx ＋3，m ＝y a ＋3x ＋3，∵P ，A 2，N 三点共线，∴n a －3＝yx －3，∴n ＝y a －3x －3.∵x 29－y 216＝1，∴x 2－99＝y 216，∴y 2x 2－9＝169.又FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －5，y a ＋3x ＋3，FN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －5，y a －3x －3，∴FM →·FN →＝(a －5)2＋y 2a 2－9x 2－9＝(a －5)2＋16a 2－99， ∵FM →·FN →＝0，∴(a －5)2＋16a 2－99＝0， ∴25a 2－90a ＋81＝0，∴a ＝95.故选B.9．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线的离心率为( )A.2＋12 B.2＋1 C.3＋12D.3＋1解析：选C.因为双曲线右支上存在一点P ，使PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→， 因为|PF 1|＝3|PF 2|，所以|F 1F 2|＝2|PF 2|＝4c ，即|PF 2|＝2c ， 所以|PF 1|－|PF 2|＝3|PF 2|－|PF 2| ＝(3－1)|PF 2|＝2a ，因为|PF 2|＝2c ，所以2c (3－1)＝2a ， e ＝c a ＝13－1＝3＋12. 10．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．811．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为( ) A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 【答案】C 【解析】以F 1，F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，又因为点(3，4)在圆上，所以32＋42＝c 2，所以c ＝5，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，且点(3，4)在这条渐近线上，所以b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得a ＝3，b ＝4，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1，故选C.12．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍【答案】A 【解析】由题设知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，如图，∵线段PF 1的中点M 在y 轴上， ∴可设P (3，b )，把P (3，b )代入椭圆x 212＋y 23＝1，得b 2＝34.∴|PF 1|＝36＋34＝732，|PF 2|＝0＋34＝32. ∴|PF 1||PF 2|＝73232＝7.故选A. 13．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】B 【解析】由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|⇒cos 60°＝（|PF 1|－|PF 2|）2＋2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|⇒|PF 1|·|PF 2|＝4.14．设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点P ⎝⎛⎭⎫62，22在此双曲线上，且PF 1⊥PF 2，则双曲线C 的离心率等于( ) A.22 B. 2 C. 3 D.62【答案】B 【解析】根据已知条件得：⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－12b 2＝1，⎝⎛⎭⎫62＋c 2＋12＋⎝⎛⎭⎫62－c 2＋12＝4c 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2－1c 2－a 2＝2，c 2＝2， ∴解得a ＝1，c ＝ 2.∴双曲线C 的离心率e ＝ca＝ 2.故选B.15．已知抛物线C 的顶点是椭圆x 24＋y 23＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点F 2重合，若抛物线C 与该椭圆在第一象限的交点为P ，椭圆的左焦点为F 1，则|PF 1|＝( ) A.23 B.73 C.53D ．2 【答案】B 【解析】由椭圆的方程可得a 2＝4，b 2＝3，∴c ＝a 2－b 2＝1，故椭圆的右焦点F 2为(1，0)，即抛物线C 的焦点为(1，0)，∴p2＝1，∴p ＝2，∴2p ＝4，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y 2＝4x .解得⎩⎨⎧x ＝23，y ＝263或⎩⎨⎧x ＝23，y ＝－263，∵P 为第一象限的点，∴P ⎝⎛⎭⎫23，263，∴|PF 2|＝1＋23＝53，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝4－53＝73，故选B.16．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( ) A ．2 3 B ．2 5 C ．4 3 D ．4 5【答案】B 【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋p2＝4，－p2＝－2，－1＝（－2）·b a⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，a ＝2，b ＝1⇒c ＝a 2＋b 2＝ 5. ∴双曲线的焦距2c ＝2 5.故选B.17．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( ) A ．4 B ．3 3 C ．4 3 D ．8【答案】C 【解析】∵y 2＝4x ，∴F (1，0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得x ＝3或x ＝13(舍)，故A (3，23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.故选C.18．已知直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若||F A ＝2||FB ，则k ＝( )A.13B.223C.23D.23【答案】B 【解析】设A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2， 由||F A ＝2||FB 得y 1＝2y 2(如图)．由y ＝k (x ＋1)得，x ＝yk －1，代入C ：y 2＝4x 并整理得ky 2－4y ＋4k ＝0，又y 1，y 2是该方程的两根，∴⎩⎨⎧3y 2＝y 1＋y 2＝4k， ①2y 22＝y 1y 2＝4kk＝4， ②∴由①②得，2＝y 22＝⎝⎛⎭⎫43k 2.∵k >0，∴k ＝223.故选B.19．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F (c ，0)(c >0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别为x 1，x 2，则P (x 1，x 2)( ) A ．必在圆x 2＋y 2＝2内 B ．必在圆x 2＋y 2＝2外 C ．必在圆x 2＋y 2＝1外D ．必在圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＝2形成的圆环之间【答案】D 【解析】椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F (c ，0)(c >0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝－ca，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝b 2a 2＋2ac a 2>a 2＋c 2a 2＝1＋e 2，因为0<e <1， 即0<e 2<1. 所以1<e 2＋1<2，所以x 21＋x 22>1，又b 2a 2＋2ac a 2<b 2＋a 2＋c 2a 2＝2， 所以1<x 21＋x 22<2，即点P 在圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2＝2形成的圆环之间．故选D.20．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线y 2＝158(a ＋c )x 与椭圆交于B ，C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率等于( ) A.158 B.415 C.23 D.12【答案】D 【解析】∵椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，∴A (a ，0)，F (－c ，0)．∵抛物线y 2＝158(a ＋c )x 与椭圆交于B ，C 两点，∴B ，C 两点关于x 轴对称，可设B (m ，n )，C (m ，－n )． ∵四边形ABFC 是菱形， ∴m ＝12(a －c )．将B (m ，n )代入抛物线方程，得 n 2＝158(a ＋c )·12(a －c )＝1516b 2，∴B ⎝⎛⎭⎫12（a －c ），154b ，再代入椭圆方程，得⎣⎡⎦⎤12（a －c ）2a 2＋⎝⎛⎭⎫154b 2b 2＝1，即14·（a －c ）2a 2＝116， 化简整理，得4e 2－8e ＋3＝0，解得e ＝12(e ＝32>1不符合题意，舍去)．故选D.21．过曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作曲线C 2：x 2＋y 2＝a 2的切线，设切点为M ，直线F 1M交曲线C 3：y 2＝2px (p ＞0)于点N ，其中曲线C 1与C 3有一个共同的焦点，若|MF 1|＝|MN |，则曲线C 1的离心率为( )A. 5B.5－1C.5＋1D.5＋1222．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1，2) B ．(2，3) C ．(3，2) D ．(2，＋∞) 【答案】D 【解析】如图所示，过点F 2(c ，0)且与渐近线y ＝b a x 平行的直线为y ＝b a (x －c )，与另一条渐近线y ＝－ba x 联立得⎩⎨⎧y ＝ba （x －c ），y ＝－bax ，解得⎩⎨⎧x ＝c2，y ＝－bc2a ，即点M ⎝⎛⎭⎫c 2，－bc 2a . ∴|OM |＝⎝⎛⎭⎫c 22＋⎝⎛⎭⎫－bc 2a 2＝c 21＋⎝⎛⎭⎫b a 2.∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外， ∴|OM |>c ， 即c21＋⎝⎛⎭⎫b a 2>c ， 得1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>2.∴双曲线离心率e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>2.故双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)．故选D.23．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为P ，若线段PF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．【解析】 方法一：由题意设F (c ，0)，相应的渐近线方程为y ＝b a x ，根据题意得k PF ＝－ab ，设P ⎝⎛⎭⎫x ，b a x ，代入k PF ＝－a b 得x ＝a 2c ，则P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c ，则线段PF 的中点为⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫a 2c ＋c ，ab 2c ，代入双曲线方程得14⎝⎛⎭⎫a c ＋c a 2－14⎝⎛⎭⎫a c 2＝1，即14⎝⎛⎭⎫1e ＋e 2－14·⎝⎛⎭⎫1e 2＝1，∴e 2＝2，∴e ＝ 2. 方法二：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为x a ±yb ＝0，焦点F 到渐近线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪c a ⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫±1b 2＝b .设线段PF 的中点M (x 0，y 0)，则其到两条渐近线的距离分别为b ，b 2，距离之积为b 22，又距离之积为⎪⎪⎪⎪x 0a －y 0b ⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫－1b 2·⎪⎪⎪⎪x 0a ＋y 0b ⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫1b 2＝a 2b 2c 2， 则a 2b 2c 2＝b 22， ∴a 2c 2＝12，e ＝ 2. 【答案】224．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．【解析】 将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y 23a2＝1，抛物线的准线为x ＝－2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，y 2＝8ax ，解得x＝3a ，即点P 的横坐标为3a .而由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a解得|PF 2|＝6－a ，∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，解得a ＝1，∴抛物线的准线方程为x ＝－2. 【答案】 x ＝－225．设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．【解析】 依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2.由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2.由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38. 【答案】 23或3826．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)OA →(λ∈R )，且OA →·OP →＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________． 【解析】 ∵AP →＝(λ－1)OA →， ∴OP →＝λOA →，则O ，P ，A 三点共线． ∵OA →·OP →＝72，∴|OA →||OP →|＝72，设线段OP 与x 轴的夹角为θ，设A (x ，y )，B 为点A 在x 轴的投影， 则线段OP 在x 轴上的投影长度为|OP →|cos θ＝72|OB →||OA →|2＝72×|x |x 2＋y 2＝72×11625|x |＋9|x |≤72×1216×925＝15. 当且仅当|x |＝154时等号成立．则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15. 【答案】 1527．已知离心率e ＝52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，若△AOF 的面积为4，则a 的值为________．解析：因为e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，|AF ||OA |＝b a ＝12，设|AF |＝m ，|OA |＝2m ，由面积关系得12×m ×2m ＝4，所以m ＝2，由勾股定理，得c ＝m 2＋2m2＝25，又c a ＝52，所以a ＝4. 答案：428．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．29．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|AB ||MN |的最小值为________． 解析：设AF ＝a ，BF ＝b ，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝34(a ＋b )2， 因为a ＋b 2＝AF ＋BF 2＝MN ， 所以|AB |2≥34|2MN |2，所以|AB ||MN |≥3，所以最小值为 3. 答案： 330．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M .(1)若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程；(2)若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积．解：(1)由题意得抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M ，所以p ＝2，M (0，1)，①当直线l 的斜率不存在时，x ＝0，满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设方程为y ＝kx ＋1，代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0，当k ＝0时，x ＝14，满足题意，直线l 的方程为y ＝1；当k ≠0时，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝0，所以k ＝1，方程为y ＝x ＋1，综上可得，直线l 的方程为x ＝0或y ＝1或y ＝x ＋1.(2)结合(1)知抛物线C 的方程为y 2＝4x ，直线MF 的方程为y ＝－x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝－x ＋1，得y 2＋4y －4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝42，所以S △OAB ＝12|OF ||y 1－y 2|＝2 2. 31．如图，已知椭圆C 的中心在原点，其一个焦点与抛物线y 2＝46x 的焦点相同，又椭圆C 上有一点M (2，1)，直线l 平行于OM 且与椭圆C 交于A ，B 两点，连接MA ，MB .(1)求椭圆C 的方程；(2)当MA ，MB 与x 轴所构成的三角形是以x 轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l 在y 轴上截距的取值范围．解：(1)抛物线y 2＝46x 的焦点为(6，0)，又椭圆C 上有一点M (2，1)，由题意设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝6＝a 2－b 2，4a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2， ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1. (2)∵l ∥OM ⇒k 1＝k O M ＝12，设直线在y 轴上的截距为m ，则直线l ：y ＝12x ＋m . 直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．联立⎩⎨⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1消去y 得 x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，∴Δ＝(2m )2－4(2m 2－4)＝4(4－m 2)＞0，∴m 的取值范围是{m |－2＜m ＜2，且m ≠0}，设MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，∴k 1＋k 2＝0，则A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则k 1＝y 1－1x 1－2，k 2＝y 2－1x 2－2，x 1x 2＝2m 2－4，x 1＋x 2＝－2m ， ∴k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝（y 1－1）（x 2－2）＋（y 2－1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝⎝⎛⎭⎫12x 1＋m －1（x 2－2）＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋m －1（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝x 1x 2＋（m －2）（x 1＋x 2）－4（m －1）（x 1－2）（x 2－2）＝2m 2－4－2m 2＋4m －4m ＋4（x 1－2）（x 2－2）＝0， 故MA ，MB 与x 轴始终围成等腰三角形时，∴直线l 在y 轴上的截距m 的取值范围是{m |－2＜m ＜2，且m ≠0}．32．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫43，13. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0，2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，求点Q 的轨迹方程．解：(1)由椭圆定义知，2a ＝|PF 1|＋|PF 2| ＝⎝⎛⎭⎫43＋12＋⎝⎛⎭⎫132 ＋⎝⎛⎭⎫43－12＋⎝⎛⎭⎫132＝22， 所以a ＝ 2.又由已知，得c ＝1，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12＝22. (2)由(1)知，椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. 设点Q 的坐标为(x ，y )．①当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0，1)，(0，－1)两点，此时点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，2－355. ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2＝(1＋k 2)x 21，|AN |2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2.由2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，得 2（1＋k 2）x 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22， 即2x 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 22.①将y ＝kx ＋2代入x 22＋y 2＝1中，得 (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6>0，得k 2>32. 由②可知，x 1＋x 2＝－8k 2k 2＋1，x 1x 2＝62k 2＋1， 代入①中并化简，得x 2＝1810k 2－3.③ 因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上，所以k ＝y －2x，代入③中并化简， 得10(y －2)2－3x 2＝18.由③及k 2>32，可知0<x 2<32， 即x ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62. 又点⎝⎛⎭⎫0，2－355满足10(y －2)2－3x 2＝18，故x ∈⎝⎛⎭⎫－62，62. 由题意知Q (x ，y )在椭圆C 内，所以－1≤y ≤1.又由10(y －2)2＝18＋3x 2有(y －2)2∈⎣⎡⎭⎫95，94，且－1≤y ≤1，则y ∈⎝⎛⎦⎤12，2－355. 所以点Q 的轨迹方程为10(y －2)2－3x 2＝18，其中x ∈⎝⎛⎭⎫－62，62，y ∈⎝⎛⎦⎤12，2－355. 33．如图，已知M (x 0，y 0)是椭圆C ：x 26＋y 23＝1上的任一点，从原点O 向圆M ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝2作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q .(1)若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(2)试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．解：(1)证明：因为直线OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x 与圆M 相切，所以|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝2， 化简得：(x 20－2)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－2＝0，同理：(x 20－2)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－2＝0，所以k 1，k 2是方程(x 20－2)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－2＝0的两个不相等的实数根，所以k 1·k 2＝y 20－2x 20－2. 因为点M (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 206＋y 203＝1，即y 20＝3－12x 20， 所以k 1k 2＝1－12x 20x 20－2＝－12为定值． (2)|OP |2＋|OQ |2是定值，定值为9.理由如下：方法一：①当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x 21＝61＋2k 21，y 21＝6k 211＋2k 21， 所以x 21＋y 21＝6（1＋k 21）1＋2k 21，同理得x 22＋y 22＝6（1＋k 22）1＋2k 22， 又因为k 1k 2＝－12， 所以|OP |2＋|OQ |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝6（1＋k 21）1＋2k 21＋6（1＋k 22）1＋2k 22＝6（1＋k 21）1＋2k 21＋6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎫－12k 121＋2⎝⎛⎭⎫－12k 12＝9＋18k 211＋2k 21＝9.学科网 ②当直线OP ，OQ 落在坐标轴上时，显然有|OP |2＋|OQ |2＝9， 综上：|OP |2＋|OQ |2＝9为定值．方法二：①当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为k 1k 2＝－12，所以y 21y 22＝14x 21x 22， 因为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 216＋y 213＝1，x 226＋y 223＝1，即⎩⎨⎧y 21＝3－12x 21，y 22＝3－12x 22，所以⎝⎛⎭⎫3－12x 21⎝⎛⎭⎫3－12x 22＝14x 21x 22，整理得x 21＋x 22＝6， 所以y 21＋y 22＝⎝⎛⎭⎫3－12x 21＋⎝⎛⎭⎫3－12x 22＝3，所以|OP |2＋|OQ |2＝9. ②当直线OP ，OQ 落在坐标轴上时，显然有|OP |2＋|OQ |2＝9， 综上：|OP |2＋|OQ |2＝9为定值．。
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专题升级训练15 椭圆、双曲线、抛物线(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．(2020·安徽安庆二模，2)在同一坐标系下，下列曲线中，右焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合的是( )．A ．5x 23＋5y 22＝1B ．x 29＋y 25＝1C ．x 23－y 22＝1D ．5x 23－5y22＝12．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过定点A (0,1)，B (0，－1)，且以该圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是( )．A ．x 23＋y 24＝1(y ≠0)B ．x 24＋y 23＝1(y ≠0)C ．x 23＋y 24＝1(x ≠0) D ．x 24＋y 23＝1(x ≠0) 3．若点P 为共焦点的椭圆C 1和双曲线C 2的一个交点，F 1，F 2分别是它们的左、右焦点，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2.若12PF PF u u u r u u u u r ＝0，则1e 21＋1e 22＝( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )．A ．至少1个B ．2个C ．1个D ．0个5．已知点A ，B 是双曲线x 2－y 22＝1上的两点，O 为坐标原点，且满足·OA OB u u u r u u u r＝0，则点O 到直线AB 的距离等于( )．A ． 2B ． 3C ．2D ．2 26．(2020·山东潍坊3月模拟，10)直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )．A ．74B ．2C ．94D ．4 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 7．(2020·江苏苏、锡、常、镇四市调研，8)已知点M 与双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点的距离之比为2∶3，则点M 的轨迹方程为__________．8．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )，到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝__________.9．连接抛物线x 2＝4y 的焦点F 与点M (1,0)所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则△OAM 的面积为__________．三、解答题(本大题共3小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分15分)(2020·河北邯郸一模，20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长等于焦距，椭圆C 上的点到右焦点F 的最短距离为2－1.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点E (2,0)且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于M ，N 两点，P 是点M 关于x 轴的对称点，证明：N ，F ，P 三点共线．11．(本小题满分15分)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1的焦点在x 轴上，左、右顶点分别为A 1，A ，上顶点为B .抛物线C 1，C 2分别以A ，B 为焦点，其顶点均为坐标原点O ，C 1与C 2相交于直线y ＝2x 上一点P .(1)求椭圆C 及抛物线C 1，C 2的方程；(2)若动直线l 与直线OP 垂直，且与椭圆C 交于不同两点M ，N ，已知点Q (－2，0)，求QM QN ⋅u u u u r u u u r的最小值．12．(本小题满分16分)(2020·安徽安庆二模，20)已知直线l ：x ＋y ＋8＝0，圆O ：x2＋y 2＝36(O 为坐标原点)，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝32，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的长轴长相等．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(3,0)作直线l ，与椭圆C 交于A ，B 两点，设OS OA OB =+u u u r u u u r u u u r(O 是坐标原点)，是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线长相等？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题 1．D2．C 解析：过点A ，B ，O (O 为坐标原点)分别向抛物线的准线作垂线，垂足为A 1，B 1，O 1，设抛物线的焦点F (x ，y )，则|FA |＝|AA 1|，|FB |＝|BB 1|，∴|FA |＋|FB |＝|AA 1|＋|BB 1|. ∵O 为AB 的中点，∴|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4.∴|FA |＋|FB |＝4，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，其方程为x 23＋y 24＝1.又F 点不能在y 轴上，故所求轨迹方程为x 23＋y 24＝1(x ≠0)．故选C.3．B 解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝1(m ＞0，n ＞0)，其中两焦点距离为2c .不妨令P 在第一象限，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|－|PF 2|＝2m ，∴|PF 1|＝a ＋m ，|PF 2|＝a －m ，又12·0PF PF u u u r u u u u r ＝，∴PF 1⊥PF 2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴2(a 2＋m 2)＝4c 2，∴221211e e +＝a 2＋m 2c2＝2，故选B.4．B 解析：∵直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，∴圆心到直线的距离d ＝4m 2＋n2＞2，解得m 2＋n 2＜4，即点P (m ，n )在以原点为圆心，半径为2的圆的内部，而此圆在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故点P 在椭圆内部，经过此点的任意直线与椭圆有两个交点．故选B.5．A 解析：由·OA OB u u u r u u u r＝0⇒OA ⊥OB ，由于双曲线为中心对称图形，因此可考查特殊情况，令点A 为直线y ＝x 与双曲线在第一象限的交点，因此点B 为直线y ＝－x 与双曲线在第四象限的一个交点，因此直线AB 与x 轴垂直，点O 到直线AB 的距离就为点A 或点B 的横坐标的值．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1y ＝x⇒x ＝ 2.故选A.6．C 解析：据抛物线定义知，|AB |＝x 1＋14＋x 2＋14＝4，∴x 1＋x 2＝72.故弦AB 的中点到x ＝－12的距离为x 1＋x 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝74＋12＝94.二、填空题7．x 2＋y 2＋26x ＋25＝0 解析：由题意得a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝16＋9＝25.∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)．设M (x ，y )，有|MF 1||MF 2|＝23，即(x ＋5)2＋y 2(x －5)2＋y 2＝23，整理即可得解． 8．14 解析：根据抛物线的性质得1＋p2＝5，∴p ＝8. 不妨取M (1,4)，则AM 的斜率为2，由已知得－a ×2＝－1. 故a ＝14.9．32－ 2 解析：线段FM 所在直线方程x ＋y ＝1与抛物线交于A (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x 2＝4y⇒y 0＝3－22或y 0＝3＋22(舍去)．∴S △OAM ＝12×1×(3－22)＝32－ 2.三、解答题10．(1)解：由题可知⎩⎨⎧2b ＝2c ，a －c ＝2－1，解得a ＝2，c ＝1，∴b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设直线l 为y ＝k (x －2)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 1，－y 1)，F (1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.所以x 1＋x 2＝8k 22k 2＋1，x 1x 2＝8k 2－22k 2＋1.而FN u u u r＝(x 2－1，y 2)＝(x 2－1，kx 2－2k )， FP u u u r＝(x 1－1，－y 1)＝(x 1－1，－kx 1＋2k )．∵(x 1－1)(kx 2－2k )－(x 2－1)(－kx 1＋2k )＝k [2x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋4]＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 2－42k 2＋1－24k 22k 2＋1＋4＝0， ∴FN u u u r ∥FP u u u r.∴N ，F ，P 三点共线．11．解：(1)由题意得A (a,0)，B (0，2)，故抛物线C 1的方程可设为y 2＝4ax ，C 2的方程为x 2＝42y .由⎩⎨⎧y 2＝4ax ，x 2＝42y ，可得a ＝4，P (8，82).y ＝2x所以椭圆C ：x 216＋y 22＝1，抛物线C 1：y 2＝16x ，抛物线C 2：x 2＝42y .(2)由(1)知，直线OP 的斜率为2，所以直线l 的斜率为－22，设直线l 的方程为y ＝－22x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 22＝1，y ＝－22x ＋b ，消去y ，整理得5x 2－82bx ＋8b 2－16＝0，因为动直线l 与椭圆C 交于不同两点，所以Δ＝128b 2－20(8b 2－16)＞0，解得－10＜b ＜10. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝82b 5，x 1x 2＝8b 2－165，y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22x 1＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22x 2＋b ＝12x 1x 2－2b 2(x 1＋x 2)＋b 2＝b 2－85.因为QM u u u u r ＝(x 1＋2，y 1)，QN uuu r＝(x 2＋2，y 2)，所以QM u u u u r ·QN uuu r＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2＝9b 2＋16b －145.因为－10＜b ＜10，所以当b ＝－89时，QM QN ⋅u u u u r u u u r 取得最小值，其最小值为95×289⎛⎫- ⎪⎝⎭＋165×⎝ ⎛⎭⎪⎫－89－145＝－389.12．解：(1)∵圆心O 到直线l ：x ＋y ＋8＝0的距离为d ＝82＝42，直线l 被圆O 截得的弦长2a ＝2R 2－d 2＝4，∴a ＝2.又c a ＝32，a 2－b 2＝c 2，解得b ＝1，c ＝ 3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵OS OA OB =+u u u r u u u r u u u r，∴四边形OASB 是平行四边形．假设存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线长相等．则四边形OASB 为矩形，因此有OA OB ⊥u u u r u u u r，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝0.直线l 的斜率显然存在，设过点(3,0)的直线l 方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，由Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)＞0，可得－5k 2＋1＞0，即k 2＜15.x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2(x 1－3)(x 2－3)＝(1＋k 2)x 1x 2－3k 2(x 1＋x 2)＋9k 2＝(1＋k 2)36k 2－41＋4k2－3k 224k 21＋4k2＋9k 2， 由x 1x 2＋y 1y 2＝0得，k 2＝441，∴k ＝±24141，满足Δ＞0.故存在这样的直线l ，其方程为y ＝±24141(x －3)．。