二次曲线中的万能弦长公式

二次曲线中的万能弦长公式

王忠全

我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线称为二次曲线，用设而不求的方法，可得到其弦长公式。 设直线方程为：y=kx+b （特殊情况要讨论k 的存在性），二次曲线为f （x ，y ）=0，把直线方程代入二次曲线方程，可化为ax 2+by 2+c=0，（或ay 2+by+c=0），设直线和二次曲线的两交点为A （x 1，y

），B （x ，y ）

那么：x 1，x 2是方程ax +by +c=0的两个解，有

x 1+x 2=-a b ，x 1x 2=a

c ， ()()||k 1x x 4)(k 1))(k (1)()(||2

21221222122212212

21221a x x x x b kx b kx x x y y x x AB ∆

+=-+⋅+=-+=--++-=-+-= 同理：若化为关于y 的方程ay 2+by+c=0，则|AB|= |

|112a k ∆+. 例、已知过点M （-3，-3）的直线m 被圆x 2+y 2+4y-21=0所截得的弦长为45，求直线m 的方程。

解析:设直线方程m:y+3=k(x+3),

即y=kx+3k-3,代入x 2+y 2+4y-21=0,得x 2+k 2x 2+9k 2+9+6k 2x-6kx-18k-21+4kx+12k-12=0, 即(1+k 2)x 2+(6k 2-2k)x+9k 2-6k-24=0,那么

032,092,2,210

232016162416808096246454196246454|1|96246024364243612122222222342342=+-=++=-==--=--+=+-=++-=++-++-+-+y x y x k k k k ，k k ，k k k ，，k

k k k k k k k k k k k

或所求直线方程为得两边平方即

当k 不存在时,直线m 为x=-3,代入x 2+y 2+4y-21=0,得交点为(-3,2),(-3,-6) |AB|=548≠(不合题意)

综上所述: 032,092=+-=++y x y x 或所求直线方程为.

变式: 已知过点M （-3，-3）的直线m 被椭圆14

162

2=+y x 所截得的弦长为2，求直线m 的方程。

评析:用公式解决弦长问题,计算量大,容易出错,这正是高考考查学生计算能力的一个重要方面,这种“设而不求”的思想，在处理圆锥曲线相关问题中占有重要地位。